CALCULO VECTORIAL
Ejercicios tomados de la guía de Cálculo Vectorial del Prof. Mauricio Orellana GUÍA DE EJERCICIOS N° 1
INTEGRALES DE LINEA Y SUS APLICACIONES
1.- En cada uno de los siguientes casos calcular la integral de línea dada
a) ++− , donde C es el segmento de recta que une el punto O(0,0) con el punto M(3,4) R: 151/3
b) −++ , siendo C la poligonal OBA con O(0,0), A(4,2) y B(2,0)
R: 136/3
c) . , donde ,= (,+) y C es la curva de ecuación = que une el origen de coordenadas con el punto (1,1). R: 27/20
d) ||
||
con C el contorno del cuadrado de vértices (a,0), (0,a), (-a,0), (0,-a), recorrido
en sentido antihorario, siendo a una constante positiva. R: 0
e) ∮ మమ , C es la circunferencia de centro (0,0) y radio a recorrida en sentido
antihorario. R: -2π
f) ++ donde C es un cuarto de la circunferencia de ecuaciones =, =, = 1 recorrida en el sentido del crecimiento del parámetro t. R: 1/6
g) − , C es la elipse situada en el plano z=k (k>0), con centro en (1,1,k) y semiejes a y b. El sentido de recorrido de C es antihorario cuando la miramos desde arriba.
R: abπ
h) . donde =−,+,− y C es la poligonal cerrada OABCO con O(0,0,0), A(0,0,1), B(1,0,1), C(1,1,1). R: -1/12
i) ++ donde C es la curva de intersección de las superficies += 2 y ++ = 2(+) recorrida en sentido horario cuando se mira desde el origen de
Ejercicios tomados de la guía de Cálculo Vectorial del Prof. Mauricio Orellana
j) 1 ++1 ++, C es la curva contenida en la región definida por las condiciones 0 ≤≤ 1, que se obtiene por intersección de la superficie = con el plano ++ = 0. El recorrido de C es desde el punto (0,0,0) hasta (1,-1/2,-1/2).
R: 32 − 17/6
k) ++ siendo C la curva de intersección de ++ = 9 con el plano = 2, recorrida en sentido antihorario cuando la miramos desde arriba del plano dado. R:0
2.- Calcular el valor de las siguientes integrales
a) +, donde C es el contorno del triángulo de vértices (0,0), (1,0) y (0,1)
R: √2 + 1
b) మమమ, C es la primera espira de la hélice de ecuaciones
=, =, = R: √ మమ
c) , C definida por =,, 0 ≤ ≤ R: −√2− 1
d) ∮ +, C es el contorno del triángulo de vértices (0,0), (1,0) y (0,1) R:√2 + 1
e) ∮ , C es la intersección de la esfera ++ = 1, con el plano ++ = 0
R: 2π/3
3.- Obtenga el valor de las integrales dadas a continuación
a) x , donde =̂+̂+ y C es la circunferencia de centro en el origen y
radio R, situada en el plano, recorrida en sentido antihorario. R: 2
b) .! , C es la parte de la circunferencia de centro en el origen y radio 1, ubicada en
el primer cuadrante y ! es el vector normal unitario exterior a C. Si =̂+̂
R:
+
CALCULO VECTORIAL
Ejercicios tomados de la guía de Cálculo Vectorial del Prof. Mauricio Orellana
c) + 2 , donde C es el contorno de la región D, constituida por el conjunto de puntos del plano que satisfacen al menos una de las siguientes inecuaciones +− 2 < 0, +− 2< 0, recorrida en sentido antihorario. R: 3π/2 + 1
Aplicaciones de la integral de línea
4.- En cada caso calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas dado, para mover una partícula a lo largo de la curva indicada.
a) , =̂+̂, C es el contorno del dominio limitado por =, =, recorrida en sentido antihorario. R: 6/35
b) =
con k cte y C es el segmento de recta que une el punto "( ) con el punto #( )
5.- Dado el campo definido por ,=−−̂−̂ y C la curva de ecuación =− 1− 1, 0 ≤ ≤ 1. Determinar el valor de a de manera que el trabajo realizado por el campo para mover una partícula a lo largo de la curva C desde el punto (0,1) hasta el punto (1,0) sea mínimo. R: -1/2
6.- En cada caso determinar la circulación del campo$% dado, a lo largo de la curva C especificada
a) $% =,,, C es la curva situada en el primer octante , obtenida por la intersección de las superficies + =− 1 con los planos coordenados, recorrida en sentido antihorario cuando se mira desde arriba del plano xy R: 0
b) $% =,, y C es la curva de intersección de + = 1 y ++ = 1
recorrida de manera que su proyección en el plano xy lo sea en sentido antihorario R:-π
7.- La base de una pared delgada (una cerca) tiene la forma de la curva definida por las ecuaciones = 30, = 30, 0 ≤≤/2 y la altura de la misma, en cada punto (x,y) está dada por &,= 1 +
. Si se quiere pintar ambos lados de la pared,
sabiendo que el costo por m2 de pintura es de Bs 70, ¿Cuál es el costo total de pintar la pared? (Las longitudes están medidas en m) R: 31500
8.- Sea C una curva parametrizada por = , ∈ [,] y sea '% el campo de vectores tangente unitarios a C, con ´ ≠(% en todo punto. ¿Qué se calcula con la integral ' . ?
R: kଵ
Ejercicios tomados de la guía de Cálculo Vectorial del Prof. Mauricio Orellana
9.- Un alambre tiene la forma de la circunferencia de ecuación + =. Determinar su momento de inercia respecto a uno de sus diámetros, si la densidad en cada punto del mismo es igual a ||+ || R: 4a2
10.- Un alambre delgado, homogéneo de longitud L, sirve de contorno a un cuadrante de
círculo. Determine las coordenadas del centroide del mismo. R: ̅ =+= మ
11.- En cada uno de los siguientes casos, dado el campo vectorial , determinar si la
integral . es o no independiente de la trayectoria. En caso afirmativo hallar una
función potencial Φ para
a) , =6−̂+6− 3̂ R: Φx, y= 3−
b),,=8+ 5, 4+ 5+ 2, 5+ 2()
R: Φx, y, z= 4+ 5− 2cos ()
c) , =+ 1̂++̂
d) , =̂+̂ R: Φx, y=
e) , = R: Φr =
మ
f) ,,=,, −
,()-
12.- En cada caso demostrar que la integral dada es independiente de la trayectoria y calcular el valor de la misma.
a) ((,,))3+ 2+ (+ 4) R: 0
b) (బ,బ)2+ (−)
(,) R:
−
c) ((,,))2+ 2+ (2−) R: 2
13.- Dado el campo ,,= (2+ 6, 6− 2, 3−)
a) Demostrar que el mismo es conservativo y hallar una función potencial para él.
CALCULO VECTORIAL
Ejercicios tomados de la guía de Cálculo Vectorial del Prof. Mauricio Orellana 14.- Dado el campo ,,=
a) Demostrar que es conservativo y hallar una función potencial para el mismo.
b) Calcular ((,,,,)). R: a) Φr=
ర
, b) 4
15.- Verificar el Teorema de Green-Riemann en cada uno de los siguientes casos
a) .,=, /,=, 0 es la región definida por + ≤ 1
b) ., = 6− 3, /,= 7+, 0 es la región acotada por
మ
+
మ
= 1
c) .,= 2−, /,= 3+ , 0 es la región en el primer cuadrante
encerrada por las curvas = y =
d) ., =, /,= 0, 0 es la parte del cuadrado definido por 1−4,42x[−4,4]
que no pertenece a los discos definidos por − 2+ < 1, + 2+ < 1
e).,=, /,=−, 0 es la región del plano xy determinada por las
desigualdades + ≤ 4 ,−− 2 ≤ 0.
16.- Utilizar el Teorema de Green-Riemann para calcular la integral dada a lo largo de la curva C mostrada en la figura, siendo AB un cuarto de circunferencia de centro O y radio 1 ∮ − 3+3−
. R:
23
17.- Usar el teorema de Green-Riemann para calcular las integrales dadas a continuación
a) ∮ 2−++, C es la circunferencia unitaria R: 3π/2
b) ∮ −,4 es la frontera de la región definida por [−1,1]x[−1,1] R: -8
c) ∮ ,4 es el contorno del triángulo de vértices 0,0,0,1y (1,0) R: 1/2
A B
Ejercicios tomados de la guía de Cálculo Vectorial del Prof. Mauricio Orellana
d)
∮
మమ
, C es el contorno de la región definida por [-2,4]x[-2,2], que es exterior a
las circunferencias + = 1 y −5++ 6 = 0 R: -2 π
18.- En caso de que pueda aplicar el teorema de Green, utilícelo para calcular la integral
∮
మమ
cuando
i) C es la curva +− 6 = 2 R: 0
ii) C es la curva + = 1 R: -2 π
19.- Sea C la curva que limita la región del plano definida por +− 2≤ 0,
+− ≤ 0, con a>0 constante, calcular 2−+2+
R: ,√ −
-20.- Calcular la integral
మ
−
మమ
+
మ
+
మమ
−
, donde
C es una curva que une el punto (1,1,1) al punto (2,2,2) y que no corta al plano yz ni al xz.
R: -1/2
21.- Verificar el teorema de Green para el campo
=
̂̂మమ, D es la región definida por
las condiciones ≤+≤ 1. R: 0
22.- Dada la integral de línea 5= 1 (&+6)+ 32+1&+62, sabiendo que
- I no depende del camino de integración
- 60 = 0; 6 es una función derivable definida en todo
- f(x) es un polinomio
Calcular el valor de I cuando C es una curva que une los puntos (0,0) y (x,y)
R: −
మమ
−
మ
CALCULO VECTORIAL
Ejercicios tomados de la guía de Cálculo Vectorial del Prof. Mauricio Orellana 23.- Calcular la siguiente integral de línea
∮
మమ
en los siguientes casos
i.- C es una circunferencia de radio R y centro (0,0) R: 2π
ii.- C es el contorno de un cuadrado de lado 2a (a>0) y centro (0,0) R: 2π
iii.- C es el contorno de un cuadrado de lado 2a y centro (2a,0) R: 0
24.- Consideremos la integral ∮ 7 ++8++7 +9 donde C es el contorno del cuadrado de vértices (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). ¿Cómo utilizaría el teorema de Green para calcular dicha integral? Sugerencia: observe que el campo dado no es derivable en (0,0) R: 1/3
25.- En cada uno de los siguientes ejercicios utilice integrales de línea para calcular el área de la región acotada por las curvas dadas
a) Circunferencia + = R:
b) Curva de ecuaciones =, =, 0 ≤ ≤ 2 R: మ
c) Elipse మ
మ+
మ
మ = 1 R:
d) =, = R:
e) = 4, = 16 R: 128/3
f) =, =, 8 = 1 R:
1 + 32 ó
7 − 32
26.- Sea D la región acotada por una curva cerrada C, simple, regular a trozos ubicada en el plano xy. Demostrar que las coordenadas del centroide de D están dadas por :
̅= 1
2
ଶ ,
=−1
2
ଶ
27.- Sea C una curva cerrada, simple, regular a trozos, que limita una cierta región D del plano xy. Encuentre un entero n tal que 5=∮ −, siendo Iz el momento de inercia de la región D respecto al eje z. Tome la densidad igual a 1
28.- Calcular la circulación a lo largo de la circunferencia + = del campo :̅=71 ++̂+8++71 ++9̂.
