Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden
Teoría y ejemplos (Parte II)
c
°
2000 CRESLINE, S.L.
Métodos exactos de resolución
En esta sección consideraremos ciertos tipos básicos de ecuaciones diferenciales de primer orden para las que pueden obtenerse soluciones exactas mediante pro-cedimientos determinados. El propósito de la sección es, por tanto, capacitar al lector para que reconozca estos diversos tipos y sepa aplicar los correspondientes métodos de resolución.
Las ecuaciones diferenciales de primer orden que estudiaremos en esta sección pueden escribirse, bien en la forma de derivada onormal
dy
dx =f(x, y)
o bien en la formadiferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
Es claro que una ecuación escrita en una de esas formas puede transformarse fácilmente en la otra. Por ejemplo, la ecuación
dy dx =
x2+y2
x−y
puede escribirse como
(x2+y2)dx+ (y−x)dy= 0
La ecuación
(sinx+y)dx+ (x+ 3y)dy= 0
puede escribirse como
dy dx =−
sinx+y x+ 3y
De la propia notación aparece claro que en la forma normaly se considera como variable dependiente y x como variable independiene; sin embargo, en la forma diferencial podemos realmente considerar cualquier variable como de-pendiente y la otra como indede-pendiente. No obstante, consideraremos que en todas las ecuaciones diferenciales enxeyde la forma diferencialyes la variable dependiente yxla independiente, a menos que se diga lo contrario.
ww
w.
ap
re
nd
es
Ecuaciones diferenciales exactas
Definición 1 Sea F una función de dos variables reales que posee derivadas parciales primeras continuas en un dominioD. Ladiferencial totaldF de la funciónF viene definida por la fórmula
dF(x, y) = ∂F(x, y)
∂x dx+
∂F(x, y)
∂y dy
para toda(x, y)∈D.
Ejemplo 1 Sea F una función real de dos variables definida por
F(x, y) =xy2+ 2x3y
para todo(x, y)∈R2. Entonces
∂F(x, y)
∂x =y
2+ 6x2y y ∂F(x, y)
∂y = 2xy+ 2x
3
y la diferencial totaldF viene definida por
dF(x, y) = (y2+ 6x2y)dx+ (2xy+ 2x3)dy
para todo(x, y)∈R2.
Definición 2 La expresión
M(x, y)dx+N(x, y)dy
recibe el nombre dediferencial exactaen un dominioDsi existe una función
F real de dos variables reales tal que su diferencial total dF(x, y) coincide con dicha expresión para todo(x, y)∈D, es decir, si F verifica
∂F(x, y)
∂x =M(x, y) y
∂F(x, y)
∂y =N(x, y)
para todo (x, y) ∈D. Si M(x, y)dx+N(x, y)dy es una diferencial exacta, la ecuación diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
se denominaecuación diferencial exacta.
Ejemplo 2 La ecuación diferencial
y2dx+ 2xy dy= 0
es una ecuación diferencial exacta, ya que la expresión y2dx+ 2xy dy es una diferencial exacta. En realidad, es la diferencial total de la función F definida por
F(x, y) =xy2
ww
w.
ap
re
nd
es
para todo(x, y)∈R2, ya que
∂F(x, y)
∂x =y
2 y ∂F(x, y)
∂y = 2xy
Por otra parte, una ecuación de apariencia tan simple como
y dx+ 2x dy= 0
obtenida a partir de la anterior dividiento pory, no es exacta.
En el ejemplo anterior ??? afirmamos que la ecuación diferencial
y2dx+ 2xy dy= 0
es exacta, mientras que la ecuación diferencial
y dx+ 2x dy= 0
no lo es. En el primer caso, comprobamos nuestra afirmación explicitando la funciónF de la que la expresión y2dx+ 2xy dy es la diferencial total. Sin em-bargo, en el segundo caso no razonamos nuestra afirmación, demostrando que no existe una función F tal que y dx+ 2x dy sea su diferencial total. Es evi-dente que necesitamos una manera sencilla de determinar cuando una ecuación diferencial dada es exacta. El próximo teorema resuelve esta cuestión.
Teorema 1 Consideremos la ecuación diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
dondeM yN poseen derivadas parciales primeras continuas en todos los puntos
(x, y) de un dominio rectangularD. Entonces la ecuación diferencial es exacta enD si y sólo si
∂M(x, y)
∂y =
∂N(x, y)
∂x
para todo(x, y)∈D.
Demostración: Si la ecuación diferencial es exacta en D, se verifica que
M(x, y)dx+N(x, y)dy es una diferencial exacta en D. Por la definición de diferencial exacta, existe una funciónF tal que
∂F(x, y)
∂x =M(x, y) y
∂F(x, y)
∂y =N(x, y)
para todo(x, y)∈D. Por lo tanto,
∂2F(x, y)
∂y∂x =
∂M(x, y)
∂y y
∂2F(x, y)
∂x∂y =
∂N(x, y)
∂x
ww
w.
ap
re
nd
es
para todo(x, y) ∈ D. Pero, usando la continuidad de las derivadas parciales primeras deM yN, por el teorema de Schwarz tenemos
∂2F(x, y)
∂y∂x =
∂2F(x, y)
∂x∂y
y, en consecuencia,
∂M(x, y)
∂y =
∂N(x, y)
∂x
para todo(x, y)∈D.
Recíprocamente, partimos de la hipótesis
∂M(x, y)
∂y =
∂N(x, y)
∂x
para todo(x, y)∈D, teniendo que demostrar queM(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
es exacta enD. Esto significa que hemos de probar que existe una función F
que verifica
∂F(x, y)
∂x =M(x, y)
y
∂F(x, y)
∂y =N(x, y)
para todo(x, y)∈D.Supongamos queF satisface
∂F(x, y)
∂x =M(x, y)
Entonces, por integración tenemos
F(x, y) =
Z
M(x, y)dx+φ(y)
donde Z
M(x, y)dx
indica una integración parcial con respecto ax, manteniendoyconstante, yφes una función arbitraria dey solamente. Efectuando ahora la derivación parcial respecto dey, obtenemos
∂F(x, y)
∂y =
∂ ∂y
Z
M(x, y)dx+φ0(y)
Puesto que
∂F(x, y)
∂y =N(x, y)
ha de satisfacerse, debemos tener
N(x, y) = ∂
∂y
Z
M(x, y)dx+φ0(y)
ww
w.
ap
re
nd
es
y, en consecuencia,
φ0(y) =N(x, y)− ∂
∂y
Z
M(x, y)dx
Puesto queφes función de y únicamente, la derivada φ0(y)ha de ser también independiente dex, es decir,
N(x, y)− ∂
∂y
Z
M(x, y)dx
ha de ser independiente dex. Para ello, demostraremos que
∂ ∂x
·
N(x, y)− ∂
∂y
Z
M(x, y)dx
¸ = 0 Resulta que ∂ ∂x ·
N(x, y)− ∂
∂y
Z
M(x, y)dx
¸
= ∂N(x, y)
∂x −
∂2
∂x∂y
Z
M(x, y)dx
Ahora bien, se cumple ∂F(x,y)
∂x =M(x, y) =⇒
∂2F(x,y)
∂y∂x =
∂M(x,y) ∂y ∂F(x,y)
∂y =N(x, y) =⇒
∂2F(x,y)
∂x∂y =
∂N(x,y) ∂x
y por hipótesis
∂N(x, y)
∂y =
∂M(x, y)
∂x
luego
∂2F(x, y)
∂x∂y =
∂2F(x, y)
∂y∂x
Ahora bien, se cumple
F(x, y) =
Z
M(x, y)dx+φ(y)
Por tanto,
∂2
∂x∂y
Z
M(x, y)dx= ∂
2F(x, y)
∂x∂y =
∂2F(x, y)
∂y∂x =
∂2
∂y∂x
Z
M(x, y)dx
De aqui, obtenemos
∂ ∂x
·
N(x, y)− ∂
∂y
Z
M(x, y)dx
¸
= ∂N(x, y)
∂x −
∂2 ∂x∂y
Z
M(x, y)dx
= ∂N(x, y)
∂x −
∂2
∂y∂x
Z
M(x, y)dx
= ∂N(x, y)
∂x −
∂M(x, y)
Entonces, de
φ0(y) =N(x, y)− ∂
∂y
Z
M(x, y)dx
por integración obtenemos
φ(y) =
Z ·
N(x, y)−
Z ∂M(x, y)
∂y dx
¸
dy
Sustituyendo este valor deφ(y)en la ecuación
F(x, y) =
Z
M(x, y)dx+φ(y)
obtenemos
F(x, y) =
Z
M(x, y)dx+
Z ·
N(x, y)−
Z ∂M(x, y)
∂y dx
¸
dy
Esta función F satisface claramente las condiciones para que M(x, y)dx +
N(x, y)dy= 0sea exacta enD.
Ejemplo 3 Consideremos la ecuación diferencial
y2dx+ 2xy dy= 0
Tenemos
M(x, y) =y2 y N(x, y) = 2xy
Como
∂M(x, y)
∂y = 2y =
∂N(x, y)
∂x
para todo(x, y)∈R2. En consecuencia, la ecuación es exacta en todo dominio
rectangularD. Por otra parte, para la ecuación
y dx+ 2x dy= 0
tenemos
M(x, y) =y y N(x, y) = 2x
y como
∂M(x, y)
∂y = 16= 2 =
∂N(x, y)
∂x
para todo (x, y)∈ R2 y, en consecuencia, la ecuación no es exacta en ningún
dominio rectangularD.
Ahora que disponemos de un criterio con el que determinar la exactitud de una ecuación diferencial de primer orden, procedemos a resolver ecuaciones diferenciales exactas.
ww
w.
ap
re
nd
es
Teorema 2 Supongamos que la ecuación diferencialM(x, y)dx+N(x, y)dy= 0es exacta en un rectánguloD deR2. Entonces una familia uniparamétrica de
soluciones de esta ecuación diferencial viene dada porF(x, y) =c, donde F es una función tal que
∂F(x, y)
∂x =M(x, y) y
∂F(x, y)
∂y =N(x, y)
para todo(x, y)∈D y ces una constante arbitraria.
Demostración: Si la ecuaciónM(x, y)dx+N(x, y)dy= 0es exacta en un dominioD, existirá una funciónF tal que
∂F(x, y)
∂x =M(x, y) y
∂F(x, y)
∂y =N(x, y)
para todo(x, y)∈D. Entonces la ecuación puede escribirse
∂F(x, y)
∂x dx+
∂F(x, y)
∂y dy= 0
o simplemente
dF(x, y) = 0
Por tanto, la relación
F(x, y) =c
es evidentemente una solución de esta ecuación diferencial, donceces una con-stante arbitraria.
La función F se obtiene bien procediendo como en la demostración del teo-rema ???, o mediante el denominado ”método de agrupamiento” que explicare-mos más adelante.
Ejemplo 4 Resolver la ecuación
(3x2+ 4xy)dx+ (2x2+ 2y)dy= 0
Solución: Nuestra primera misión es determinar si esta ecuación es exacta. Aquí tenemos
M(x, y) = 3x2+ 4xy y N(x, y) = 2x2+ 2y
luego
∂M(x, y)
∂y = 4x y
∂N(x, y)
∂x = 4x
para todo(x, y)∈R2y, en consecuencia, la ecuación es exacta en todo dominio
D. Por lo tanto, hemos de hallarF tal que satisfaga
∂F(x, y)
∂x =M(x, y) = 3x
2+ 4xy y ∂F(x, y)
∂y =N(x, y) = 2x
2+ 2y
ww
w.
ap
re
nd
es
De la primera de estas ecuaciones se deduce
F(x, y) =
Z
M(x, y)dx+φ(y)
=
Z
(3x2+ 4xy)dx+φ(y)
= x3+ 2x2y+φ(y)
Entonces
∂F(x, y)
∂y = 2x
2+φ0(y)
Pero se ha de cumplir
∂F(x, y)
∂y =N(x, y) = 2x
2+ 2y
luego
2x2+ 2y= 2x2+φ0(y)
o sea,
dφ(y)
dy = 2y
Por tanto,
φ(y) =y2+c0
dondec0 es una constante arbitraria, de modo que
F(x, y) =x3+ 2x2y+y2+c0
Como consecuencia, una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial esF(x, y) =c1, es decir,
x3+ 2x2y+y2+c0=c1
Combinando las constantesc0 yc1, podemos escribir esta solución en la forma
x3+ 2x2y+y2=c
en dondec=c1−c0 es una constante arbitraria. El lector observará que no se pierde generalidad tomandoc0= 0y escribiendoφ(y) =y2.
Método de agrupamiento.
Resolveremos ahora la ecuación diferencial del ejemplo ???, agrupando los tér-minos de manera que su primer miembro aparezca como la suma de ciertas diferenciales exactas. Escribimos la ecuación diferencial
(3x2+ 4xy)dx+ (2x2+ 2y)dy= 0
ww
w.
ap
re
nd
es
en la forma
3x2dx+ (4xydx+ 2x2dy) + 2ydy= 0
No hay dificultad en ver que esta expresión es
d(x3) +d(2x2y) +d(y2) =d(c)
dondeces una constante arbitraria, o bien
d(x3+ 2x2y+y2) =d(c)
De aquí obtenemos inmediatamente por integración
x3+ 2x2y+y2=c
Es evidente que este procedimiento es mucho más rápido; sin embargo re-quiere un buen conocimiento de diferenciales y una cierta habilidad en deter-minar cómo han de agruparse los términos. El método normal (aplicado en el ejemplo ???) puede ser más laborioso y largo, pero es completamente directo. El adoptar uno u otro dependerá del lector.
Factores integrantes
Dada la ecuación diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
si
∂M(x, y)
∂y =
∂N(x, y)
∂x
la ecuación es exacta y podemos obtener una familia uniparamétrica de solu-ciones mediante cualquiera de los procedimientos estudiados. Sin embargo, si
∂M(x, y)
∂y 6=
∂N(x, y)
∂x
la ecuación no es exacta y no pueden aplicarse los métodos anteriores. ¿Qué podemos hacer en tal caso? Quizá podríamos multiplicar esta ecuación, que no es exacta, por alguna expresión que la transformara en una ecuación exacta, equivalente a la primera, o sea con las mismas soluciones. Si esto es posible, se puede proceder a resolver la ecuación exacta resultante por uno de los métodos estudiados. Consideremos de nuevo la ecuación
y dx+ 2x dy= 0
introducida en el ejemplo ???. Ya observamos allí que esta ecuación no es exacta. No obstante, si multiplicamos esta ecuación pory, se transforma en la ecuación equivalente
y2dx+ 2xy dy= 0
que es exacta. Puesto que la ecuación exacta resultante, es integrable, lla-mamos ay ”factor integrante” de esta ecuación diferencial. En general, ten-dremos la siguiente definición
ww
w.
ap
re
nd
es
Definición 3 Si la ecuación diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
no es exacta en un dominioD, pero la ecuación diferencial
µ(x, y)M(x, y)dx+µ(x, y)N(x, y)dy= 0
es exacta enD,µ(x, y)recibe el nombre de factor integrante de la ecuación diferencial.
Ejemplo 5 Consideremos la ecuación diferencial
(3y+ 4xy2)dx+ (2x+ 3x2y)dy= 0
Se trata de comprobar queµ(x, y) =x2y es un factor integrante. Tenemos
M(x, y) = 3y+ 4xy2 y N(x, y) = 2x+ 3x2y
y
∂M(x, y)
∂y = 3 + 8xy y
∂N(x, y)
∂x = 2 + 6xy
Puesto que
∂M(x, y)
∂y 6=
∂N(x, y)
∂x
excepto para los(x, y)que satisfacen 2xy+ 1 = 0, la ecuación no es exacta en ningún dominioD. Si multiplicamos la ecuación dada porµ(x, y)obtenemos
(3x2y2+ 4x3y3)dx+ (2x3y+ 3x4y2)dy= 0
Esta ecuación es exacta en todo dominioD ya que
∂[µ(x, y)M(x, y)]
∂y = 6x
2y+ 12x3y2=∂[µ(x, y)N(x, y)]
∂x
para todo(x, y)∈R2. Por tanto µ(x, y) =x2y es un factor integrante para la
ecuación.
Observación 1 1. Al multiplicar una ecuación diferencial que no es exacta por un factor integrante que la transforma en una ecuación exacta nos hemos referido a esta ecuación exacta resultante diciendo que era ”equiv-alente” a la original. Esta ecuación exacta equivalente posee la misma fa-milia uniparamétrica de soluciones que la ecuación original. No obstante, la multipliación de dicha ecuación original por el factor integrante puede dar lugar a (1) la pérdida de (una o más) soluciones de la original, o (2) la aparición de (una o más) funciones que son soluciones de la ”nueva” ecuación pero no de la original o (3) ambos fenómenos. Por tanto, siem-pre que transformemos una ecuación que no es exacta en una exacta, mediante la multiplicación por un factor integrante, hemos de comprobar cuidadosamente si hemos perdido o ganado soluciones.
ww
w.
ap
re
nd
es
2. Un problema se presenta ahora: ¿Cómo puede encontrarse un factor in-tegrante? No intentaremos responder a esta cuestión ahora. En su lugar procederemos al estudio de otras clases importantes de ecuaciones diferen-ciales y veremos que las ecuaciones de variables separables poseen siempre factores integrantes que son evidentes, mientras que las ecuaciones lineales siempre tienen factores integrantes de una cierta forma especial. Nuestro objetivo aquí ha sido meramente el introducir la noción de factor inte-grante.
Ejemplo 6 Resolver el siguiente problema de valores iniciales
(2xcosy+ 3x2y)dx+ (x3−x2siny−y)dy= 0
y(0) = 2
comprobando en primer lugar que la ecuación es exacta en todo dominio D y resolviendo la ecuación por los dos métodos estudiados.
Solución: Observamos que la ecuación es exacta ya que
∂M(x, y)
∂y =−2xseny+ 3x
2=∂N(x, y)
∂x
para todo(x, y)real. Pasemos ahora a su resolución.
Método normal: para ello hemos de hallar una función F que satisfaga
∂F(x, y)
∂x =M(x, y) = 2xcosy+ 3x
2y
y
∂F(x, y)
∂y =N(x, y) =x
3
−x2siny−y
Entonces
F(x, y) =
Z
M(x, y)dx+φ(y)
=
Z
(2xcosy+ 3x2y)dx+φ(y)
= x2cosy+x3y+φ(y)
De aquí, entonces tenemos
∂F(x, y)
∂y =−x
2siny+x3+dφ(y)
dy
Pero, por hipótesis se cumple la igualdad
∂F(x, y)
∂y =N(x, y) =x
3
−x2siny−y
de manera que
dφ(y)
dy =−y
ww
w.
ap
re
nd
es
por lo que
φ(y) =−y
2
2 +c0
Por tanto,
F(x, y) =x2cosy+x3y−y
2
2 +c0
En consecuencia, una familia uniparamétrica de soluciones esF(x, y) =c1, la cual puede escribirse
x2cosy+x3y−y
2
2 =c
Aplicando ahora la condición inicialy= 2cuandox= 0, hallamosc=−2. Por tanto, la solución del problema de valores iniciales dado es
x2cosy+x3y−y
2
2 =−2
Método de agrupamiento: para ello agrupamos los términos del modo siguiente:
(2xcosy dx−x2siny dy) + (3x2y dx+x3dy)−ydy= 0
Tenemos entonces
d(x2cosy) +d(x3y)−d
µ
y2
2
¶
=d(c)
de manera que
x2cosy+x3y−y
2
2 =c
es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial. Natural-mente, la condición inicialy(0) = 2proporciona de nuevo la solución particular ya obtenida.
Ecuaciones diferenciables de variables separables
Definición 4 Una ecuación diferencial de la forma
f(x)dx+g(y)dy= 0
se llamaecuación de variables separadas. Una ecuación de la forma
f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)dy= 0
se denominaecuación de variables separables.
ww
w.
ap
re
nd
es
Por ejemplo, la ecuación
(x−4)y4dx−x3(y2−3)dy= 0
es una ecuación de variables separables.
En general, la ecuación de variables separables no es exacta, aunque, eviden-temente,1/g1(y)f2(x)es factor integrante, ya que si multiplicamos la ecuación por esta expresión separamos las variables, obteniéndose así la ecuación
f1(x)
f2(x)
dx+g2(y)
g1(y)
dy= 0
Esta ecuación es exacta puesto que
∂ ∂y
·
f1(x)
f2(x)
¸
= 0 = ∂
∂x
·
g2(y)
g1(y)
¸
Si hacemos
M(x) = f1(x)
f2(x)
y N(y) =g2(y)
g1(y) la ecuación toma la forma
M(x)dx+N(y)dy= 0
ComoMes función únicamente dexyN es función únicamente dey, de manera inmediata resulta que una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial es Z
M(x)dx+
Z
N(y)dy=c
dondeces una constante arbitraria. El problema de hallar esta familia de solu-ciones de la ecuación diferencial se ha reducido al de llevar a cabo la integración indicada. Es en este sentido que las ecuaciones de variables separables son las ecuaciones diferenciales de primer orden más sencillas.
Observación 2 Al multiplicar por el factor integrante1/g1(y)f2(x), es decir, al
dividir porg1(y)f2(x)puede dar lugar a que se pierdan las soluciones que anulan
este producto. En particular, si como es normal y es la variable dependiente, consideremos la situación que se presenta cuandog1(y) es cero. Escribiendo la
ecuación diferencial original con la notación de derivada
f1(x)g1(y) +f2(x)g2(y)
dy dx = 0
observamos inmediatamente lo siguiente: Siy0 es cualquier número real para el
queg1(y0) = 0, tenemos entonces que y=y0 es una solución (constante) de la
ecuación diferencial original y esta solución puede haberse (o no) perdido en el proceso formal de separación. Por tanto, al hallar una familia uniparamétrica de soluciones de una ecuación de variables separables, supondremos siempre que ninguno de los factores por los que dividimos en ese proceso formal de separación es cero. Después, hemos de hallar las solucionesy=y0de la ecuacióng1(y) = 0
y determinar si algunas de ellas son soluciones de la ecuación original perdidas en el proceso formal de separación.
ww
w.
ap
re
nd
es
Ejemplo 7 Resolver la ecuación
(x−4)y4dx−x3(y2−3)dy= 0
Solución: La ecuación es de variables separables y separando las variables mediante la división porx3y4, resulta
x−4
x3 dx−
y2−3
y4 dy= 0
o bien
(x−2−4x−3)dx−(y−2−3y−4)dy= 0
Integrando, obtenemos la familia uniparamétrica de soluciones
−x1+ 2
x2 +
1
y −
1
y3 =c
dondeces una constante arbitraria.
Al dividir porx3y4 en el proceso de separación, hemos supuesto quex36= 0
e y4 6= 0. Consideramos ahora la solución y = 0 de y4 = 0. Esta solución no es miembro de la familia uniparamétrica que hemos obtenido. No obstante, escribiendo la ecuación diferencial original en forma normal
dy dx =
(x−4)y4
x3(y2−3)
es evidente quey = 0ese una solución de esta ecuación original. Concluimos pues que es una solución que se había perdido en el proceso de separación.
Ecuaciones homogéneas
Consideraremos ahora una clase de ecuaciones diferenciales que pueden reducirse a ecuaciones de variables separables mediante un cambio de variables.
Definición 5 Se dice que la ecuación diferencial de primer orden
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
eshomogénea si escrita en la forma normal
dy
dx =f(x, y)
existe una funcióng tal quef(x, y)pueda expresarse en la forma g(y/x).
Ejemplo 8 La ecuación diferencial
(x2−3y2)dx+ 2xy dy= 0
ww
w.
ap
re
nd
es
es homogénea. Para ver esto, escribamos esta ecuación en forma normal
dy dx =
3y2−x2
2xy
Observando ahora que
3y2−x2
2xy =
3y
2x− x
2y =
3 2
³y
x
´
−12
µ
1
y/x
¶
vemos que la ecuación diferencial que consideramos puede escribirse en la forma
dy dx =
3 2
³y
x
´
−1
2
µ
1
y/x
¶
en la que el segundo miembro es de la fomrag(y/x)para una cierta funcióng. La ecuación
(y+px2+y2)dx−x dy= 0
es también homogénea. En efecto, cuando la escribimos en la forma normal
dy dx =
y+px2+y2
x
el segundo miembro puede expresarse como
y x±
p
x2+y2
√ x2
o
y x±
r
1 +³y
x
´2
dependiendo del signo de x, es decir, lo tenemos evidentemente en la forma
g(y/x).
Antes de proceder a hallar realmente la solución de las ecuaciones homogéneas, consideraremos un procedimiento ligeramente diferente para reconocer tales ecuaciones.
Definición 6 Se dice que una fuciónf es homogénea de gradon si
f(tx, ty) =tnf(x, y)
Por ejemplo, la funciónf dada porf(x, y) =x2+y2−xyes homogénea de grado2, ya que
f(tx, ty) = (tx)2+ (ty)2−(tx)(ty) = t2(x2+y2−xy) = t2f(x, y)
ww
w.
ap
re
nd
es
Supongamos ahora que las funcionesM yN en la ecuación diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
son ambas homogéneas y del mismo gradon. Entonces, puesto queM(tx, ty) =
tnM(x, y)si hacemost= 1/x, tenemos
M
µ
1
x·x,
1
x·y
¶ = µ 1 x ¶n
M(x, y)
Es evidente que esta expresión puede escribirse en la forma más sencilla
M³1,y x ´ = µ 1 x ¶n
M(x, y)
de donde se obtiene inmediatamente
M(x, y) =
µ
1
x
¶−n
M³1,y x
´
Del mismo modo, podemos obtener
N(x, y) =
µ
1
x
¶−n
N³1,y x
´
Escribiendo ahora la ecuación diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
en la forma
dy dx =−
M(x, y)
N(x, y)
tenemos
dy dx =−
¡1 x
¢−n
M¡1,yx¢
¡1 x
¢−n
N¡1,yx¢ =−
M¡1,yx¢ N¡1,yx¢
Queda claro que la expresión de la derecha es de la formag(y/x), de modo que la ecuación es homogénea en el sentido de la definición original de homo-geneidad. Llegamos, en consecuencia, a la conslución de que si M y N son ambas funciones homogéneas del mismo gradon, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial homogénea.
Volvamos ahora a los ejemplos considerados anteriormente. En la primera ecuación se tiene
M(x, y) =x2−3y2 y N(x, y) = 2xy
que son funciones homogénas de grado2. Por tanto, la ecuación diferencial es homogéna. En la segunda ecuación tenemos
M(x, y) =y+px2+y2 y N(x, y) =−x
ww
w.
ap
re
nd
es
esta última función es homogénea de grado1, y como
M(tx, ty) = ty+p(tx)2+ (ty)2
= t(y+px2+y2)
= t M(x, y)
vemos que M es también homogénea de grado 1. Concluimos, por tanto, que la ecuación es también homogénea.
Demostraremos ahora que toda ecuación homogénea puede reducirse a una ecuación de variables separables en el siguiente teorema.
Teorema 3 Si
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
es una ecuación homogénea, el cambio de variables y = ux transforma esta ecuación en otra de variables separables en las variablesuy x.
Demostración: Puesto que
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
es homogénea, puede escribirse en la forma normal siguiente
dy dx =g
³y
x
´
Seay=ux, entonces
dy
dx =u+x du dx
y, por tanto, tenemos
g(u) =u+xdu dx
o bien
[u−g(u)]dx+x du= 0
que es una ecuación de variables separables y separando las variables obtenemos
du u−g(u)+
dx x = 0
En consecuencia, para resolver una ecuación diferencial homogénea de la forma
dy dx =g
³y
x
´
hacemosy =ux, con lo que transformamos dicha ecuación homogénea en una ecuación de la forma
du u−g(u)+
dx x = 0
ww
w.
ap
re
nd
es
Según esto, tenemos Z
dv v−g(v)+
Z dx
x =c
dondeces una constante arbitraria. Si llamamos
F(v) =
Z dv
v−g(v)
volviendo a la variable dependiente originaly, la solución toma la forma
F³y x
´
+ ln|x|=c
Ejemplo 9 Resolver la ecuación
(x2−3y2)dx+ 2xydy= 0
Solución: Ya comprobamos en el ejemplo ??? que esta ecuación es ho-mogénea. Escribiéndola en la forma
dy dx =−
x
2y +
3y
2x
y haciendoy=ux, obtenemos
u+xdu dx =−
1 2u+
3u
2
de donde
xdu dx =−
1 2u+
u
2
es decir,
xdu dx =
u2−1 2u
Esta ecuación es de variables separables. Separando variables resulta
2u u2−1dv=
1
xdx
Integrando, obtenemos
ln¯¯u2−1¯¯= ln|x|+ln|c|
y de aquí ¯
¯u2−1¯¯=|cx|
donde c es una constante arbitraria. El lector debe observar que no se han perdido soluciones en el proceso de separación. Sustituyendo ahoraupory/x
obtenemos las soluciones en la forma
¯ ¯ ¯ ¯y
2
x2 −1
¯ ¯ ¯ ¯=|cx|
ww
w.
ap
re
nd
es
o bien ¯
¯y2−x2¯¯=|cx|x2
Siy≥x≥0, las soluciones adoptan la forma más sencilla
y2−x2=cx3
Ecuaciones diferenciales lineales
Definición 7 Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es lineal, considerando y como variable dependiente y xcomo variable independiente, si está escrita, o se puede escribir, en la forma
dy
dx+p(x)y=q(x)
Por ejemplo, la ecuación
xdy
dx + (x+ 1)y=x
3
es una ecuación diferencial lineal de primer orden ya que puede escribirse como
dy dx +
µ
1 + 1
x
¶
y=x2
que es de la forma considerada, conp(x) = 1 + (1/x)yQ(x) =x2.
Teorema 4 La ecuación diferencial lineal
dy
dx+p(x)y=q(x)
posee un factor integrante de la forma
µ(x) =eR p(x)dx
Una familia uniparamétrica de soluciones de esta ecuación es
y=e−Rp(x)dx·Z ³eRp(x)dxq(x)dx´+c
¸
Demostración: Escribamos la ecuación en la forma
[p(x)y−q(x)]dx+dy= 0
es decir, puede expresarse como
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
ww
w.
ap
re
nd
es
si hacemos
M(x, y) =p(x)y−q(x) y N(x, y) = 1
Puesto que
∂M(x, y)
∂y =p(x) y
∂N(x, y)
∂x = 0
la ecuación lineal no es exacta a menos que seap(x) = 0en cuyo caso la ecuación degenera en una sencilla ecuación de variables separables. No obstante, la ecuación posee un factor integrante que sólo depende de x y que puede hal-larse fácilmente. En efecto, multiplicando la ecuación porµ(x)se obtiene
[µ(x)p(x)y−µ(x)q(x)]dx+µ(x)dy= 0
Por definición, µ(x) es un factor integrante para la ecuación si y sólo si dicha ecuación es exacta; es decir, si y sólo si
∂
∂y[µ(x)p(x)y−µ(x)q(x)] = ∂ ∂x[µ(x)]
Esta condición se reduce a
µ(x)p(x) = dµ(x)
dx
En esta ecuación,p(x)es conocido, mientras queµes una función incógnita de
xque tratamos de determinar.En consecuencia, escribimos
µ p(x) = dµ
dx
en la variable dependiente µ y en la variable independiente x, siendo p una función conocida de x. Esta ecuación diferencial es de variables separables. Separando variables, obtenemos
dµ
µ =p(x)dx
Integrando, resulta la solución particular
ln|µ|=
Z
p(x)dx
es decir,
µ=eRp(x)dx
donde, evidentemente,µ >0. Multiplicando por el factor integrante la ecuación lineal, obtenemos
eRp(x)dxdy dx+e
R
p(x)dxp(x)y=q(x)eR p(x)dx
ww
w.
ap
re
nd
es
que es precisamente
d dx
h
eRp(x)dxyi=q(x)eRp(x)dx
Por integración, obtenemos la solución de la ecuación lineal en la forma
eRp(x)dxy=
Z ³
eRp(x)dxq(x)dx´+c
o bien
y=e−Rp(x)dx·Z ³eRp(x)dxq(x)dx´+c
¸
dondeces una constante arbitraria.
Observación 3 Se puede demostrar que la familia uniparamétrica de solu-ciones de la ecuación lineal incluye todas las solusolu-ciones de dicha ecuación (ver la unidad ”Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales”)
Ejemplo 10 Resolver la siguiente ecuación lineal
dy dx +
µ
2x+ 1
x
¶
y=e−2x
Solución: En este caso
p(x) =2x+ 1
x
de donde se deduce que el factor integrante es
µ(x) = exp
µZ
p(x)dx
¶
= exp
·Z µ
2x+ 1
x
¶
dx
¸
= exp(2x+ ln|x|) = exp(2x) exp(ln|x|) = xexp(2x)
Multiplicando ahora los dos miembros de la ecuación por este factor integrante, obtenemos
x e2xdy dx+e
2x(2x+ 1)y=x
es decir,
d dx(x e
2xy) =x
Integrando, hallamos las soluciones
xe2xy= x
2
2 +c
ww
w.
ap
re
nd
es
es decir,
y=1 2xe
−2x+ c
xe −2x
dondeces una constante arbitraria.
Ejemplo 11 Resolver la ecuación diferencial
y2dx+ (3xy−1)dy= 0
Solución: Esta ecuación escrita en forma normal es
dy dx =
y2
1−3xy
que, evidentemente, no es lineal en y. Además, la ecuación no es exacta, ni de variables separables, ni homogénea, por lo que parece ser de algún tipo que todavía no hemos encontrado. Sin embargo, recordemos que en la forma difer-encial de una ecuación de primer orden los papeles dexeyson intercambiables, en el sentido de que cualquier variable podía considerarse como dependiente y la otra como independiente. Teniendo esto en cuenta para esta ecuación, vamos a considerar que la variable dependiente es ahoraxy la independientey. Con esta interpretación, escribimos ahora la ecuación en forma normal y resulta
dx dy =
1−3xy y2
es decir,
dx dy +
3
yx=
1
y2 Observemos ahora que la ecuación es de la forma
dx
dy +p(y)x=q(y)
y, por tanto, lineal enx. En consecuencia, la teoría desarrollada para ecuaciones lineales puede aplicarse a esta ecuación mediante el simple intercambio de los papeles desempeñados porxey. Entonces, un factor integrante es
µ(y) = exp
µZ
p(y)dy
¶
= exp
µZ
3
ydy
¶
= exp³ln|y|3´
= y3
Multiplicando la ecuación pory3obtenemos
y3dx dy + 3y
2x=y
ww
w.
ap
re
nd
es
es decir,
d dy
¡
y3x¢=y
Integrando, hallamos soluciones de la forma
y3x=y
2
2 +c
o bien
x= 1 2y +
c y3 dondeces una constante arbitraria.
Ecuaciones de Bernoulli
Consideraremos ahora un tipo especial de ecuaciones que se pueden reducir a una ecuación lineal mediante una transformación apropiada. Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones de Bernoulli.
Definición 8 Una ecuación de la forma
dy
dx +p(x)y=q(x)y
n
se denominaecuación diferencial de Bernoulli.
Observamos que sin= 0on= 1, la ecuación de Bernoulli es realmente una ecuación lineal y, por tanto, es fácilmente resoluble como tal. No obstante, en el caso general en el quen6= 0on6= 1, no se presenta esta situación tan sencilla, por lo que hemos de proceder de un modo diferente. Enunciamos y demostramos ahora el siguiente teorema, el cual proporciona un método de resolución en el caso general.
Teorema 5 Supongamos que n6= 0o n6= 1. Entonces la tranformación z =
y1−n reduce la ecuación de Bernoulli
dy
dx +p(x)y=q(x)y
n
a una ecuación lineal enz.
Demostración: Multiplicamos primeramente la ecuación pory−n, expresán-dola por tanto en la forma equivalente
y−n dy
dx+p(x)y
1−n =q(x)
Si hacemosz=y1−n, entonces
dz
dx = (1−n)y −n dy
dx
ww
w.
ap
re
nd
es
y la ecuación se transforma en
1 1−n
dz
dx+p(x)z=q(x)
o, lo que es equivalente,
dz
dx+ (1−n)p(x)z= (1−n)q(x)
Haciendo
p1(x) = (1−n)p(x)
q1(x) = (1−n)q(x)
podemos escribir la ecuación como
dz
dx +p1(x)z=q1(x)
que es lineal enz.
Ejemplo 12 Consideremos la ecuación diferencial
dy
dx+y=xy
3
Esta ecuación es del tipo de Bernoulli conn= 3. Primeramente multiplicamos los dos miembros de la ecuación pory−3 y obtenemos la siguiente forma
equiv-alente
y−3dy dx +y
−2=x
Si ahora hacemosz=y−2, entonces
dz dx =−2y
−3dy
dx
y la ecuación diferencial anterior se transforma en la ecuación lineal
−12 dzdx+z=x
es decir,
dz
dx−2z=−2x
Un factor integrante para esta ecuación es
µ(x) = eRp(x)dx
= e−2R dx
= e−2x
Multiplicando la ecuación pore−2x, tenemos
e−2xdz dx−2e
−2xz=
−2xe−2x
ww
w.
ap
re
nd
es
es decir,
d dx(e
−2xz) =
−2xe−2x
Integrando, obtenemos
e−2xz=1 2e
−2x(2x+ 1) +c
es decir,
z=x+1 2+ce
2x
dondeces una constante arbitraria. Pero
z= 1
y2
por lo que se obtienen entonces las soluciones de la ecuación diferencial en la forma
1
y2 =x+
1 2+ce
2x
Observación 4 Consideremos la ecuación diferencial
df(y)
dy dy
dx+p(x)f(y) =q(x)
dondef es una función conocida de y. Haciendoz=f(y), tenemos
dz
dx =
dz dy
dy dx
= df(y)
dy dy dx
y la ecuación se transforma en
dz
dx+p(x)z=q(x)
que es lineal enz. Observamos ahora que la ecuación diferencial de Bernoulli es un caso especial de la ecuación considerada. En efecto, la ecuación de Bernoulli es
dy
dx +p(x)y=q(x)y
n
la cual podemos escribir como
y−n dy
dx+p(x)y
1−n =q(x)
multiplicando los dos miembros por(1−n), tenemos
(1−n)y−n dy
dx +p1(x)y
1−n=q 1(x)
ww
w.
ap
re
nd
es
donde
p1(x) = (1−n)p(x)
q1(x) = (1−n)q(x)
Esta última ecuación es de la forma considerada si tomamosf(y) =y1−n, por lo que haciendoz=y1−n se transforma en
dz
dx +p1(x)z=q1(x)
que es lineal enz.
Factores integrantes y transformaciones especiales
Hemos tratado hasta ahora cinco tipos distintos de ecuaciones diferenciales de primer orden, para las que se podían obtener soluciones mediante métodos ex-actos: las ecuaciones exactas, de variables separables, homogéneas, lineales y de Bernoulli. En el caso de las ecuaciones exactas, seguimos un procedimiento sistemático para obtener soluciones directamente. Para los otros cuatro tipos existen también procedimientos determinados, pero realmente no son tan direc-tos. Tanto en el caso de variables separables, como en el caso de ecuaciones lineales, el método es multiplicar por factores integrantes apropiados que re-ducen las ecuaciones dadas a otras que son del tipo exacto más básico. Para las ecuaciones homogéneas y de Bernoulli llevamos a cabo transformaciones apropi-adas, que reducen tales ecuaciones a los tipos de variables separables y lineales más básicos, respectivamente.
Esto sugiere la utilización de dos planes generales de ataque para la resolu-ción de una ecuaresolu-ción diferencial que no sea de uno de los cinco tipos menciona-dos. Bien (1) podemos multiplicar la ecuación dada por un factor integrante apropiado y reducirla directamente a una ecuación exacta, o (2) podemos lle-var a cabo una transformación apropiada que reduzca la ecuación dada a una ecuación de algún tipo más básico (por ejemplo, uno de los cinco tipos ya estu-diados). Desgraciadamente no pueden darse directrices generales para hallar un factor integrante o una transformación en todos los casos. No obstante, existe una variedad de tipos especiales de ecuaciones, que poseen tipos especiales de factores integrantes, o bien se les puede aplicar una transformación especial. Nosotros trataremos ahora unos cuantos de esos tipos especiales.
¿Cómo encontrar factores integrantes?
Supongamos que la ecuación
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
no es exacta y que µ(x, y)es un factor integrante para ella. En ese caso la ecuación
µ(x, y)M(x, y)dx+µ(x, y)N(x, y)dy= 0
ww
w.
ap
re
nd
es
es exacta. Usando ahora el criterio de exactitud, podemos decir que la ecuaicón es exacta si y sólo si
∂
∂y[µ(x, y)M(x, y)] = ∂
∂x[µ(x, y)N(x, y)]
De esta condición se deduce
N(x, y)∂µ(x, y)
∂x −M(x, y)
∂µ(x, y)
∂y =
·
∂M(x, y)
∂y −
∂N(x, y)
∂x
¸
µ(x, y)
En este caso M y N son funciones conocidas de xe y, mientras que µ es la función de x e y que tratamos de determinar. Por tanto, µ es un factor integrante de la ecuación diferencial si y sólo si es una solución de la ecuación diferencial
N(x, y)∂µ
∂x −M(x, y) ∂µ ∂y =
·
∂M(x, y)
∂y −
∂N(x, y)
∂x
¸
µ
que es una ecuación en derivadas parciales que ahora no estamos en condi-ciones de intentar resolver. En su lugar vamos a intentar determinar factores integrantes de ciertos tipos especiales.
Teorema 6 Consideremos la ecuación diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
Si
1
N(x, y)
·
∂M(x, y)
∂y −
∂N(x, y)
∂x
¸
depende dexúnicamente, la función
µ(x) = exp
½Z
1
N(x, y)
·
∂M(x, y)
∂y −
∂N(x, y)
∂x
¸
dx
¾
es un factor integrante de la ecuación. Si
1
M(x, y)
·
∂N(x, y)
∂x −
∂M(x, y)
∂y
¸
depende únicamente dey, la función
µ(y) = exp
½Z
1
M(x, y)
·
∂N(x, y)
∂x −
∂M(x, y)
∂y
¸
dy
¾
es un factor integrante de la ecuación.
Demostración: Supongamos que la ecuación
M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0
ww
w.
ap
re
nd
es
no es exacta y queµ(x)es un factor integrante. Entonces se cumple
∂
∂y[µ(x)M(x, y)] = ∂
∂x[µ(x)N(x, y)]
AhoraMyN son funciones conocidas dexey, mientras que el factor integrante
µdepende solamente dex. Luego, de la condición anterior se deduce
µ(x)∂M(x, y)
∂y =µ(x)
∂N(x, y)
∂x +N(x, y) dµ(x)
dx
o, de forma equivalente,
dµ(x)
µ(x) = 1
N(x, y)
·
∂M(x, y)
∂y −
∂N(x, y)
∂x
¸
dx
Si
1
N(x, y)
·∂M(x, y)
∂y −
∂N(x, y)
∂x
¸
contiene la variable y, esta ecuación contiene entonces dos variables dependi-entes, con lo que nos encontramos de nuevo en dificultades. No obstante, si
1
N(x, y)
·
∂M(x, y)
∂y −
∂N(x, y)
∂x
¸
depende únicamente dex, la ecuación
dµ(x)
µ(x) = 1
N(x, y)
·
∂M(x, y)
∂y −
∂N(x, y)
∂x
¸
dx
es una ecuación ordinaria separada, conxcomo única variable independiente y
µcomo la única variable dependiente. En este caso podemos integrar y obtener así el factor integrante
µ(x) = exp
½Z
1
N(x, y)
·
∂M(x, y)
∂y −
∂N(x, y)
∂x ¸ dx ¾ Análogamente, si 1
M(x, y)
·∂N(x, y)
∂x −
∂M(x, y)
∂y
¸
depende únicamente de y, podemos obtener de la misma manera un factor integrante que dependa únicamente dey.
Observación 5 Insistimos en que, dada una ecuación diferencial, no tenemos en general ninguna seguridad de que sea aplicable uno de estos procedimientos. Puede ocurrir que
1
N(x, y)
·
∂M(x, y)
∂y −
∂N(x, y)
contengay y que
1
M(x, y)
·∂N(x, y)
∂x −
∂M(x, y)
∂y
¸
contengaxpara la ecuación diferencial que se intenta resolver, por lo que hemos de buscar otros procedimientos. De cualquier modo, puesto que el cálculo de es-tas expresiones es generalmente muy simple, es útil calcularlas antes de intentar algo más complicado.
En general, de manera análoga se pueden hallar las condiciones de existencia de factores integrantes que dependen dex±y,x2±y2,xy,y/x, etc.
Ejemplo 13 Consideremos la ecuación diferencial
(2x2+y)dx+ (x2y−x)dy= 0
Observemos en primer lugar que esta ecuación no es exacta, ni de variables separables, ni homogénea, ni lineal, ni de Bernoulli. Veamos entonces si el teorema ??? es aplicable. En este caso
M(x, y) = 2x2+y N(x, y) =x2y−x
con lo que
1
N(x, y)
·
∂M(x, y)
∂y −
∂N(x, y)
∂x
¸
= 1
x2y−x[1−(2xy−1)]
= 2(1−xy)
x(xy−1)
= −2
x
que depende solamente dexy, por tanto,
exp
µ
−
Z 2
xdx
¶
= exp(−2 ln|x|) = 1
x2
es un factor integrante para la ecuación. Multiplicando la ecuación por este factor integrante, obtenemos la ecuación
³
2 + y
x2
´
dx+
µ
y− 1 x
¶
dy= 0
El lector puede comprobar fácilmente que esta última ecuación es efectivamente exacta y que la solución es
2x+y
2
2 −
y x =c
ww
w.
ap
re
nd
es
Transformaciones especiales
Ya hemos usado transformaciones al reducir las ecuaciones homogéneas y de Bernoulli a tipos más tratables. Otro tipo de ecuación que puede reducirse a uno de los ya estudiados por medio de una transformación conveniente es
(a1x+b1y+c1)dx+ (a2x+b2y+c2)dy= 0
dondea1, b1, c1, a2, b2, c2, son constantes. Si
a2
a1 6
= b2
b1 la transformación
x=u+h y=v+k
donde(h, k)es la solución del sistema
a1h+b1k+c1= 0
a2h+b2k+c2= 0
¾
reduce la ecuación dada a la ecuación homogénea siguiente
(a1X+b1Y)du+ (a2X+b2Y)dv= 0
en las variablesuev. Si
a2
a1
= b2
b1 la transformación
z=a1x+b1y
reduce la ecuación dada a una ecuación de variables separables en las variables
xyz.
Los ejemplos siguientes ilustran estos dos casos.
Ejemplo 14 Consideremos la ecuación diferencial
(x−2y+ 1)dx+ (4x−3y−6)dy= 0
En este caso
a2
a1
= 4 6= 3 2=
b2
b1
Nos encontramos pues en el primer caso. Aplicamos la transformación
x=u+h y=v+k
donde(h, k)es la solución del sistema
h−2k+ 1 = 0 4h−3k−6 = 0
¾
ww
w.
ap
re
nd
es
Resolviendo este sistema, obtenemos h= 3y k= 2, de modo que la transfor-mación es
x=u+ 3
y=v+ 2
Esto reduce la ecuación dada a la ecuación homogénea siguiente
(u−2v)du+ (4u−3v)dv= 0
Expresamos primeramente esta ecuación homogénea en la forma
dv du =
1−2(v/u) 3(v/u)−4
y ahora hacemosv=zu. Entonces
dv
du =z+u dz du
y obtenemos
z+udz du =
1−2z
3z−4
de donde resulta una ecuación de variables separables
3z−4
3z2−2z−1dz=−
du u Integrando, obtenemos 1 2ln ¯
¯3z2−2z−1¯¯−3 4ln
¯ ¯ ¯ ¯33zz−+ 13
¯ ¯ ¯
¯=−ln|u|+ ln|c|
es decir,
ln¡3z2−2z−1¢2−ln
¯ ¯ ¯ ¯33zz−+ 13
¯ ¯ ¯ ¯ 3 = ln µ c4 u4 ¶ o sea, ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
(3z+ 1)5
z−1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ln
µ
c4
u4
¶
Finalmente, tenemos
u4 ¯¯(3z+ 1)5¯¯=C|z−1|
donde C = c4. Éstas son las soluciones de la ecuación de variables separa-bles. Sustituyendo ahora z por v/u, obtenemos las soluciones de la ecuación homogénea en la forma
|3v+u|5=C|v−u|
Sustituyendofinalmente upor x−3y v pory−2, tendremos las soluciones de la ecuación diferencial dada en la forma
|3(y−2) + (x−3)|5=C|y−2−x+ 3|
o bien
|x+ 3y−9|5=C|y−x+ 1|
ww
w.
ap
re
nd
es
Ejemplo 15 Consideremos la ecuación diferencial
(x+ 2y+ 3)dx+ (2x+ 4y−1)dy= 0
En este caso tenemos
a2
a1
= 2 = b2
b1
Por tanto, nos encontramos ahora en el segundo caso. Hacemos
z=x+ 2y
luego
dz=dx+ 2dy
y la ecuación se transforma en
(z+ 3)dx+ (2z−1)
µ
dz−dx
2
¶
= 0
o sea,
7dx+ (2z−1)dz= 0
que es de variables separables. Integrando, tenemos
7x+z2−z=c
Sustituyendozporx+2y, obtenemos la solución de la ecuación diferencial dada en la forma
7x+ (x+ 2y)2−(x+ 2y) =c
o bien
x2+ 4xy+ 4y2+ 6x−2y=c
Ecuaciones de Ricatti
Definición 9 Una ecuación de la forma
dy
dx +p(x)y+q(x)y
2=r(x)
se denominaecuación diferencial de Ricatti.
En general, este tipo de ecuación no se integra por cuadraturas, pero por medio de una transformación puede convertirse en una ecuación de Bernoulli, si se conoce una solución particulary1. En efecto, haciendo
y=y1+z
se obtiene
y01+z0+p(x) (y1+z) +q(x) (y1+z)2=r(x)
ww
w.
ap
re
nd
es
Ahora bien, como
y0
1+p(x)y1+q(x)y12=r(x) obtenemos
z0+p(x)z+ 2q(x)y1z+q(x)z2= 0 es decir,
z0+ [p(x) + 2q(x)y1]z=−q(x)z2 que es una ecuación de Bernoulli.
Ejemplo 16 Consideremos la ecuación diferencial
dy dx =y
2
−x22
Es una ecuación de Ricatti, puesp(x) = 0,q(x) =−1yr(x) =−2/x2. En este
caso no es difícil hallar la solución particular
y1=
1
x
Hacemos
y= 1
x+z
luego
y0=−1
x2 +z0
y, por tanto,
−x12 +z0=
µ
1
x+z
¶2
−x22
o bien,
z0−2
xz=z
2
que es una ecuación de Bernoulli. Ahora multiplicamos los dos miembros de esta ecuación porz−2 y obtenemos la siguiente forma equivalente
z−2z0−2 xz
−1= 1
Si ahora hacemosu=z−1, entonces
du dx =−z
−2 dz
dx
y la ecuación diferencial anterior se transforma en la siguiente ecuación lineal enu
−dudx−x2u= 1
o bien,
du dx +
2
xu=−1
ww
w.
ap
re
nd
es
En este caso
p(x) = 2
x
de donde se deduce que el factor integrante es
µ(x) = exp
µZ
p(x)dx
¶
= exp
·Z
2
xdx
¸
= exp(2 ln|x|) = exp(lnx2) = x2
Multiplicando ahora los dos miembros de la ecuación por este factor integrante, obtenemos
x2du
dx + 2xu=−x
2
es decir,
d dx(x
2u) =
−x2
Por integración, obtenemos
x2u=−x
3
3 +c
Sustituyendouporz−1, tenemos
x2
z =− x3
3 +c
o bien,
z = x
2
−x3 3 +c
= 3x
2
3c−x3
Por consiguiente, la solución general de la ecuación de Ricatti es
y= 1
x+
3x2
C−x3
dondeC= 3c.
ww
w.
ap
re
nd
es
Ecuaciones diferenciales no resueltas con respecto a la derivada
La ecuación diferencial de primer orden no resuelta con respecto a la derivada tiene la forma
F(x, y, y0) = 0
Si esta ecuación es de grado mayor que uno y puede ser resuelta con respecto dey0, se obtienen varias ecuaciones
y0=fi(x, y) (i= 1,2, ...)
Integrando estas ecuaciones se hallan las soluciones de la ecuación inicial.
Ejemplo 17 Consideremos la ecuación diferencial
(y0)2+ (x+y)y0+xy= 0
Esta ecuación es de la formaF(x, y, y0) = 0. Resolviendo esta ecuación, que es
cuadrática respecto ay0, obtenemos
−(x+y)±p(x+y)2−4xy
2 =
−(x+y)±p(x−y)2
2
= −(x+y)±(x−y) 2
es decir, y0 = y e y0 = x son las soluciones. Integrando cada una de estas
ecuaciones, obtenemos dos familias de soluciones
y=cex y y= x
2
2 +c
dondeces una constante arbitraria. Todas aquellas curvas que están formados por un arco de curva de una familia y por un arco de curva de la otra familia son curvas integrales de la ecuación diferencial dada, si en el punto de intersección poseen una tangente común. Por ejemplo,
y1(x) =
½ x2 2 +
1
2 si − ∞< x≤1
ex−1 si1< x <+∞
y
y2(x) =
½ x2
2 si − ∞< x≤0
0 six >0
son dos curvas integrales de la ecuación diferencial.
De esta manera, la ecuación
F(x, y, y0) = 0
puede ser integrada resolviendo la ecuación con respecto ay0 e integrando las ecuaciones obtenidas
y0=f
i(x, y) (i= 1,2, ...)
ww
w.
ap
re
nd
es
ya resueltas con respecto a la derivada. Sin embargo, raramente la ecuación
F(x, y, y0) = 0se resuelve de modo sencillo con respecto ay0, y con menor
fre-cuencia aún las ecuacionesy0=f
i(x, y), obtenidas después de la resolución con respecto ay0, se llegan a integrar fácilmente. Por eso, a menudo hay que
inte-grar las ecuaciones del tipoF(x, y, y0) = 0por otros métodos. Consideraremos
primero algunos casos sencillos.
• La ecuación diferencial es de la forma F(y0) = 0y además existe
por lo menos una solución realy0 =k
Integrando la ecuacióny0=k, obtenemos
y=kx+c
es decir,
k=y−c
x
Al serk una solución de la ecuaciónF(y0) = 0, tenemos que
F(y−c
x ) = 0
es solución de la ecuación diferencial considerada.
Ejemplo 18 Consideremos la ecuación
(y0)7+ (y0)5+y0−3 = 0
Es evidente quey0= 1 es una solución de esta ecuación. Por tanto,
µ
y−c x
¶7
+
µ
y−c x
¶5
+y−c
x −3 = 0
es solución de la ecuación diferencial dada.
• La ecuación diferencial es de la forma F(x, y0) = 0
Si esta ecuación es difícil de resolver con respecto a y0, entonces es
conve-niente introducir un parámetrot y sustituir la ecuación F(x, y0) = 0 por dos
ecuaciones
x=ϕ(t)
y0=φ(t)
¾
Entonces,
dy
dt =
dy dx
dx dt
= φ(t)ϕ0(t)
de donde
y=
Z
φ(t)ϕ0(t)dt+c
ww
w.
ap
re
nd
es
Por tanto, las curvas integrales de la ecuación F(x, y0) = 0 se determinan en forma paramétrica mediante las siguientes ecuaciones
x=ϕ(t)
y=R φ(t)ϕ0(t)dt+c
¾
En caso de que la ecuaciónF(x, y0) = 0 sea fácilmente resoluble respecto a x,
es decir,
x=ψ(y0)
Entonces, es conveniente introducir la sustitución y0 = t con lo cual la solu-ción de la ecuasolu-ción diferencial viene dada paramétricamente por las siguientes ecuaciones
x=ψ(t)
y=Rtψ0(t)dt+c
¾
pues
dy
dt =
dy dx
dx dt
= t ψ0(t)
Ejemplo 19 Consideremos la ecuación
x= (y0)3−y0−1
Observamos que esta ecuación está resuelta con respecto a x. Por tanto, hace-mos la sustitucióny0 =t. Entonces
x=t3−t−1
y
y =
Z
t(3t2−1)dt
= 3t
4
4 −
t2
2 +c
Por tanto, la familia de curvas integrales de la ecuación dada viene dada paramétri-camente por
x=t3−t−1
y= 3t4 4 −
t2 2 +c
¾
Ejemplo 20 Consideremos la ecuación
xp1 + (y0)2=y0
Si hacemos la sustitucióny0= tant en−π/2< x < π/2, entonces
x
cost = tant
ww
w.
ap
re
nd
es
es decir,
x= sint
Entonces
y =
Z
tantcost dt
=
Z
sint dt
= −cost+c
Por tanto, la solución de la ecuación en forma paramétrica es
x= sint y=−cost+c
¾
o, eliminandot, a partir de la relación
sin2t+ cos2t= 1
obtenemos
x2+ (y−c)2= 1
que es una familia de circunferencias.
• La ecuación diferencial es de la forma F(y, y0) = 0
Si es difícil resolver esta ecuación con respecto ay0, entonces es conveniente introducir un parámetroty sustituir la ecuaciónF(y, y0) = 0por dos ecuaciones
y=ϕ(t)
y0=φ(t)
¾
Entonces,
dy
dt = ϕ
0(t)
dy
dx = φ(t)
de donde
dx = dx
dy dy dt dt
= ϕ0(t)
φ(t) dt
luego
x=
Z ϕ0(t)
φ(t) dt+c
ww
w.
ap
re
nd
es
Por tanto, las curvas integrales de la ecuación F(y, y0) = 0 se determinan en forma paramétrica mediante las siguientes ecuaciones
x=R ϕφ(t)0(t)dt+c y=ϕ(t)
)
En particular, si la ecuaciónF(y, y0) = 0se resuelve fácilmente con respecto a
y, entonces resulta cómodo hacer la sustitucióny0 =t. En efecto, siy =ϕ(t),
entonces
dx = dx
dy dy dt dt
= ϕ 0(t)
t dt
luego
x=
Z ϕ0(t)
t dt+c
Por tanto, en este caso las curvas integrales de la ecuación F(y, y0) = 0 se
determinan en forma paramétrica mediante las siguientes ecuaciones
x=R ϕ0t(t)dt+c y=ϕ(t)
¾
Ejemplo 21 Consideremos la ecuación
y= (y0)5+ (y0)3+y0+ 5
Haciendo la sustitucióny0=t, tenemos
y=t5+t3+t+ 5
Por tanto
x =
Z 5t4+ 3t2+ 1
t dt
= 5t
4
4 + 3t2
2 + ln|t|+c
En consecuencia, la familia de curvas integrales viene dada paramétricamente por
x= 5t44 +3t22+ ln|t|+c y=t5+t3+t+ 5
¾
Ejemplo 22 Consideremos la ecuación
y=p1 + (y0)2
ww
w.
ap
re
nd
es
Haciendo la sustitucióny0= sinht, tenemos
y= cosht
Por tanto
x =
Z sinht
sinhtdt
= t+c
Por tanto, las curvas integrales de la ecuación F(y, y0) = 0 se determinan en
forma paramétrica mediante las siguientes ecuaciones
x=t+c y= cosht
¾
o bien, eliminandot a partir de la relación
x=t+c
obtenemos
y= cosh(x−c)
En general, si la ecuación
F(x, y, y0) = 0
se resuelve fácilmente con respecto ay, es conveniente hacer la sustitucióny0 =p. Entonces,y=f(x, p)y
dy= ∂f(x, p)
∂x dx+
∂f(x, p)
∂p dp
o bien
dy dx =
∂f(x, p)
∂x +
∂f(x, p)
∂p dp dx
es decir,
p= ∂f(x, p)
∂x +
∂f(x, p)
∂p dp dx
De aquí resulta
dp dx =
p−∂f(x, p) ∂x ∂f(x, p)
∂p
que es una ecuación de primer orden y primer grado en las variables x y p. Integrando esta ecuación, se obtiene
Φ(x, p, c) = 0
ww
w.
ap
re
nd
es
La familia de curvas integrales de la ecuación diferencial se obtiene a partir de las ecuaciones
y=f(x, p)
Φ(x, p, c) = 0
¾
eliminandopcuando sea posible, o bien podemos expresarxeyseparadamente como funciones del parámetrop.
Si la ecuación
F(x, y, y0) = 0
se resuelve fácilmente con respecto ax, de nuevo es conveniente hacer la susti-tucióny0 =p. Entonces,x=f(y, p)y
dx=∂f(y, p)
∂y dy+
∂f(y, p)
∂p dp
o bien
dx dy =
∂f(y, p)
∂y +
∂f(y, p)
∂p dp dy
es decir,
1
p=
∂f(y, p)
∂y +
∂f(y, p)
∂p dp dy
De aquí resulta
dp dy =
1 p −
∂f(y, p)
∂y ∂f(y, p)
∂p
que es una ecuación de primer orden y primer grado en las variables y y p. Integrando esta ecuación, se obtiene
Φ(y, p, c) = 0
Esta ecuación junto con x = f(y, p) determinan las curvas integrales de la ecuación diferencial.
Ecuaciones de Lagrange
Definición 10 Una ecuación diferencial de la forma
y=x ϕ(y0) +ψ(y0)
dondeϕy ψson funciones conocidas de y0, se llamaecuación de Lagrange.
Haciendo la sustitución y0 =p, entonces la ecuación original toma la forma
y=x ϕ(p) +ψ(p)
Derivando respecto ax, obtenemos
p=ϕ(p) + [x ϕ0(p) +ψ0(p)]dp
dx
ww
w.
ap
re
nd
es
o bien
p−ϕ(p) = [x ϕ0(p) +ψ0(p)]dp
dx
Obsérvese que la ecuación se transforma en una identidad para todo valor con-stantep=p0 que satisfaga la ecuacion
p0−ϕ(p0) = 0
ya que
dp0
dx = 0
Por tanto, para cadap0
dy dx =p0
da una solución de la ecuación diferencial dada. Es claro que esta solución se obtiene también por sustitución depporp0 en la ecuación original, es decir,
y=x ϕ(p0) +ψ(p0)
Si esta solución no se deduce de la solución general será, por tanto, unasolución singular. Para hallar lasolución general, de la ecuación
p−ϕ(p) = [x ϕ0(p) +ψ0(p)]dp
dx
multiplicando por
1
p−ϕ(p)
dx dp
obtenemos
dx dp −
ϕ0(p)
p−ϕ(p)x=
ψ0(p)
p−ϕ(p)
que es una ecuación lineal enxcon variable independientep. Resolviendo esta ecuación, encontramos
x=φ(p, c)
Eliminando el parámetropa partir de las ecuaciones
x=φ(p, c)
y=x ϕ(p) +ψ(p)
¾
obtenemos la integral general de la ecuación original en la forma
Φ(x, y, c) = 0
Ejemplo 23 Consideremos la ecuación
y=x(y0)2+ (y0)2
ww
w.
ap
re
nd
es
Es evidente que se trata de una ecuación de Lagrange. Hacemos y0 = p y, entonces tenemos
y=x p2+p2
Derivando respecto ax, obtenemos
p=p2+ [2xp+ 2p]dp
dx
Las posibles soluciones singulares se obtendrán de
p=p2 ⇐⇒ p
0= 0 y p1= 1
Por tanto, estas soluciones son
y= 0
y=x+ 1
Después de encontrar la solución general, veremos si estas funciones son o no soluciones singulares. Para hallar la solución general escribimos la ecuación dada en la forma
dx dp−
2p p−p2x=
2p p−p2
es decir,
dx dp −
2 1−px=
2 1−p
que es una ecuación lineal enxcon variable independientep. Resolviendo esta ecuación por el procedimiento ya estudiado, obtenemos
x=−1 + c (p−1)2
Eliminandopde las ecuaciones
x=−1 +(p−c1)2
y=x p2+p2
¾
obtenemos la solución general
y= (c+p1 +x2)2
La solucióny= 0es singular ya que no se deduce de la solución general para un cierto valor de la constante arbitraria. Sin embargo, la solucióny=x+ 1no es una solución singular, sino particular, ya que se deduce de la solución general tomandoc= 0.