5 ¿Cómo expresas la distancia entre la Tierra y el Sol en notación científica, si tiene

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(1)

leyes de Newton

62

Genéricas:

1.1. Enfrenta las dificultades que se le presentan

y es consciente de sus valores, fortalezas y

debilidades.

4.2. Aplica distintas estrategias comunicativas

se-gún quienes sean sus interlocutores, el

con-texto en el que se encuentra y los objetivos

que persigue.

Disciplinares básicas de las ciencias experimentales:

2. Fundamenta opiniones sobre los impactos de

la ciencia y la tecnología en su vida cotidiana,

asumiendo consideraciones éticas.

Disciplinares extendidas ciencias experimentales:

7. Diseña prototipos o modelos para resolver

pro-blemas, satisface necesidades o demostrar

principios científicos, hechos o fenómenos

rela-cionados con las ciencias experimentales.

Competencias

el alumno resolverá problemas aplicando de forma

práctica las leyes de Newton, a partir del análisis y

descripción de las características de dichas leyes,

y valorando su utilidad en la comprensión de

múlti-ples fenómenos.

(2)

63

Fuerza

Leyes de Newton

Fuerzas en equilibrio

Equilibrio

Diagramas de cuerpo libre

Fricción

(3)

Mediante esta evaluación podrás identificar tus conocimientos previos y compararlos

con los de tus compañeros, en la coevaluación posterior.

1

¿Quién de los siguientes científicos descubrió la fuerza boyante o de empuje en

los líquidos?

a)

Newton

b)

Aristóteles

c)

Arquímedes

d)

Platón

2

¿Cuál material crees que es el más denso?

a)

Plomo

b)

Plástico

c)

Acero

d)

Madera

3

El científico que calculó el perímetro terrestre por primera vez fue…

a)

Newton.

b)

Aristóteles.

c)

Eratóstenes.

d)

Platón.

4

¿Quién descubrió la ley de la gravitación universal?

a)

Newton

b)

Aristóteles

c)

Arquímedes

d)

Platón

5

¿Cómo expresas la distancia entre la Tierra y el Sol en notación científica, si tiene

un valor de unos 150 000 000 km?

6

Escribe una magnitud escalar y justifica tu respuesta.

(4)

8

Anota una magnitud vectorial y explica tu respuesta.

9

¿A cuánto equivale en metros un megámetro?

10

¿Consideras que la Física es una ciencia experimental? Explica tu respuesta.

(5)

2.1 Fuerza

Isaac Newton (1643-1727) nació en Inglaterra y ha sido una de las inteligencias más

bri-llantes que han existido hasta nuestros tiempos. Fue estudioso de las leyes naturales que

rigen el movimiento de los cuerpos. Observó la caída de una manzana al suelo y a partir de

ahí estableció relaciones entre la fuerza que provocaba la caída de la manzana y la fuerza

que sostenía a la Luna en su órbita alrededor de la Tierra. En 1679 ya había determinado

con precisión el radio terrestre: 6371.45 Km.

En 1687 publicó su Philosohiae Naturalis Principia

Mathematica; libro en el que expuso tres leyes conocidas

como Leyes de Newton o Leyes de la Dinámica.

2.1.1 Primera Ley de Newton o Ley

de la inercia

Esta Ley afirma que un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme tiende a mantenerse

así indefinidamente, lo mismo sucede con un cuerpo que se encuentra en reposo, trata de

mantenerse inmóvil.

Un ejemplo de la ley de la inercia se presenta al viajar en un automóvil: cuando el

conductor aplica bruscamente los frenos, tanto él cómo sus acompañantes son arrojados

violentamente hacia adelante, ya que el automóvil es el único que recibe una fuerza para

detenerse, pero los pasajeros no la reciben y por su inercia siguen en movimiento.

De igual manera, cuando el automóvil está parado y el conductor lo acelera bruscamente,

se observa que todo lo que está en su interior se comporta como si hubiera sido arrojado hacia

atrás; ello se debe a su inercia, pues los cuerpos en reposo tratan de conservar esa posición.

Otro ejemplo es cuando tenemos un florero sobre una mesa, porque permanecerá en

su lugar hasta que el gato lo derribe.

La tendencia que presenta un cuerpo en reposo a permanecer inmóvil, o la de un

cuer-po en movimiento a tratar de no detenerse, recibe el nombre de inercia. Para detener un

cuerpo que está en movimiento como para moverlo si esta en reposo, o para modificar su

dirección, sentido o la magnitud de su velocidad, debemos aplicarle una fuerza.

De acuerdo con lo anterior, todo cuerpo en movimiento debería seguir conservando

ese mismo estado sin alterar su velocidad ni dirección, pero entonces, ¿por qué se detiene

una canica puesta en movimiento?; la razón es que sobre la canica actúa una fuerza llamada

fricción, que se opone a su movimiento.

Actividad

Ejercicios

Ejemplos

de conversiones

Ejemplos

Busca a un compañero y contesten entre ambos las siguientes preguntas.

a) ¿Por qué es importante que utilices el cinturón de seguridad del automóvil?

(6)

c) ¿Por qué?

d) ¿Qué sucedería si a un objeto, por ejemplo una taza, le aplicamos una fuerza en una superficie que estuviera libre de toda fricción?

f) ¿Cuál de las siguientes situaciones ejemplifica un sistema inercial?

Caso 1 -Nos encontramos en la parte posterior de un camión repartidor de refrescos, el cual se mueve a velocidad constante.

Caso 2 -Nos encontramos en la parte posterior de un camión repartidor de refrescos, el cual se en-cuentra constantemente acelerando.

f) De la pregunta anterior, en el segundo caso, ¿qué le puede pasar a la persona que va atrás?

Masa

La primera ley de Newton explica el concepto de fuerza, pero algo es necesario para

ayudar-nos a medir su intensidad. Si definimos la fuerza como algo que produce una aceleración,

parecería lógico medir su tamaño por medio del de la aceleración que trae consigo.

Cuando nos restringimos a un cuerpo en especial, por ejemplo, una pelota de

ba-loncesto, esto tiene sentido. Si empujamos el balón a lo largo del suelo con una fuerza

constante, se mueve cada vez más rápido, y después de diez segundos, se mueve con una

velocidad de, digamos, 2 m/s. Su aceleración es: 2 m/s, dividido por 10 segundos, es

decir, 0.2 m/s

2

.

Si empezamos desde cero y no empujamos tanto, al final de diez segundos puede ser

que el balón se mueva a sólo 1 m/s; por tanto, su aceleración será 0.1 m/s

2

. Puesto que la

aceleración es dos veces más grande en el primer caso que en el segundo, parece razonable

suponer que la fuerza es dos veces más grande también en el primer caso.

2.1.2 Segunda Ley de Newton o Ley de la

proporcionalidad entre fuerzas y aceleraciones

Toda fuerza resultante aplicada a un cuerpo le produce una aceleración en la

misma dirección en que actúa. La magnitud de dicha aceleración es

inversamen-te proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada e inversameninversamen-te proporcional

a la masa del cuerpo.

Esta Ley se refiere a los cambios en la velocidad que sufre un cuerpo

cuan-do recibe una fuerza. Un cambio en la velocidad de un cuerpo efectuacuan-do en la

unidad de tiempo, recibe el nombre de aceleración. Así, el efecto de una fuerza

desequilibrada sobre un cuerpo produce una aceleración. Cuanto mayor sea la

magnitud de la fuerza aplicada, mayor será la aceleración. Debemos recordar que

(7)

aceleración también significa cambios en la dirección del objeto en movimiento,

indepen-dientemente de que la magnitud de la velocidad cambie o permanezca constante; tal es el

caso cuando se hace girar un cuerpo atado al extremo de una cuerda, pues ésta aplica una

fuerza al objeto y evita que salga disparado en línea recta acelerándolo hacia el centro de la

circunferencia.

Podemos observar claramente cómo varía la aceleración de un cuerpo al aplicarle una

fuerza, realizando la siguiente actividad:

Si a un coche de juguete le damos dos golpes diferentes, primero uno leve y después

otro más fuerte, el resultado será una mayor aceleración del mismo a medida que aumenta

la fuerza que recibe.

La segunda Ley de Newton también relaciona la aceleración con la masa de un cuerpo,

pues señala claramente, que una fuerza constante acelera más a un objeto ligero que a uno

pesado. Compruebe lo anterior empujando un carro de los que se usan en los

supermer-cados; observará que al moverlo cuando está vacío, exige menor esfuerzo que cuando está

lleno.

Matemáticamente, dicha ley se expresa de la siguiente manera:

a = a a

Donde:

a = valor de la aceleración en m/s

2

, cm/s

2

, pies/s

2

F = valor de la fuerza aplicada en newtons (N), dinas o libras fuerza (lbF)

m = masa del cuerpo en kilogramos (kg), gramos (g) o slug

De esta ecuación podemos despejar la fuerza, lo cual nos permitirá comprender con

mayor facilidad el significado del newton como unidad de fuerza en el Sistema

Interna-cional:

F = m a

Sustituyendo las unidades de masa y aceleración tenemos:

F = kg m / s

2

= newton (N).

Por definición, se aplica una fuerza de un newton cuando a un cuerpo cuya masa es de

un kilogramo se le imprime una aceleración de un metro por segundo cuadrado. La

equi-valencia entre newtons y dinas es la siguiente:

1 N = 1 × 10

5

dinas.

Como el peso de un cuerpo representa la fuerza con que la tierra atrae a la masa de

dicho cuerpo, entonces:

P = mg, por tanto, m = p / g.

Entonces, la Segunda Ley de Newton puede escribirse también como:

F = Pg a

Donde F = Valor de la fuerza aplicada al cuerpo en newtons (N)

P = Valor del peso del cuerpo en newtons (N)

g = valor de la aceleración de la gravedad = 9.8 m/s

2

(8)

69

Bloque 2 • Concepto fundamental: Fuerza, Leyes de Newton

Ejercicios

Ejemplos

de conversiones

Ejemplos

En equipos de tres compañeros, resuelvan los siguientes problemas y verifiquen sus resultados con el profesor.

a) Por medio de un cordón se arrastra un escritorio en una superficie sin fricción, con una masa de 75 kg y una fuerza de 200 N, ¿cuál será la aceleración del escritorio?

b) Para jalar el viejo ropero de la abuela que pesa 120 kg se requirieron 325 N de fuerza, ¿cuál fue la aceleración que tuvo el ropero?

c) Un objeto de 15 kg tiene una aceleración de 3.5 m/s2, ¿cuál será la fuerza neta que actúa

so-bre el objeto?, y si la misma fuerza la aplicamos a un objeto de 8 kg, ¿qué aceleración tendrá?

d) Se encuentran dos personas empujando un automóvil que se quedó parado en el tránsito de la ciudad. Una de las personas aplica una fuerza de 300 N mientras que la otra aplica una fuerza de 220 N. Si el automóvil pesa 1 200 kg, ¿qué aceleración tendrá el automóvil considerando que existe una fuerza de fricción contraria de 180 N?

e) Obtén la aceleración de un cuerpo al ejercer una fuerza de 60 N si tiene una masa de 15 000 g.

f) Determina la aceleración de un cuerpo como resultado de las fuerzas aplicadas mostradas a continuación:

g) ¿Cuál es la fuerza que se tendría que aplicar a un bulto de cemento cuya masa es de 50 kg si requerimos una aceleración de 1.5 m/s2?

m=5kg

F =40 N1 F =25 N2

2.1.3 Tercera Ley de Newton o Ley de la acción

y la reacción

La tercera ley, también conocida como

principio de acción y reacción nos dice que si un

cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de

sentido contrario.

Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo,

cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La

reac-ción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba.

Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros también nos

move-mos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre

noso-tros, aunque no haga el intento de empujarnos.

Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tengan el mismo valor y

sentidos contrarios, no se anulan entre sí puesto que actúan sobre cuerpos distintos.

(9)

Fuerza de la pesa sobre el techo Fuerza del techo sobre la pesa (a)

Fuerza de la mujer sobre el piso Fuerza del piso sobre la mujer (b)

Fuerza del hombre sobre la pared Fuerza de la pared sobre el hombre

(c)

Fuerza del martillo sobre el clavo

Fuerza del clavo sobre el martillo

(d)

Fuerza del tractor

sobre el trineo (e) Fuerza del trineosobre el tractor

1. Calcula la aceleración que produce una fuerza de 50 N a un cuerpo cuya masa es de 5 000 g. Expresa el resultado en m/s2.

datos Fórmula Sustitución

a = ? a = F / m a = 50 kg m/s

2

= 10 m/s2

5 kg F = 50 N

m = 5 000 g = 5 kg

2. Calcula la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza de 100 N le produce una aceleración de 200 cm/s2.

Expresa el resultado en kg.

datos Fórmula Sustitución

m = ? m = F/a m = 100 kg m/s

2

3 m/s2

F = 100 kg m/s2

a = 200 cm/s2 = 2 m/s2 m = 50 kg

3. Determina la fuerza que recibe un cuerpo de 30 kg, la cual le produce una aceleración de 3 m/s2.

datos Fórmula Sustitución

F = ? F = ma F = 30 kg × 3 m/s2

m = 30 kg F = 90 kg m/s2

a = 3 m/s2 F = 90 n.

4. Determina el peso de un cuerpo cuya masa es de 60 kg.

datos Fórmula Sustitución

P = ? P = mg P = 60 kg × 9.8 m/s2

m = 60 kg P = 588 kg m/s2

g = 9.8 m/s2 P = 588 n.

Actividad

Ejercicios

Ejemplos

de conversiones

(10)

5. Calcula la masa de un cuerpo cuyo peso es de 980 N.

datos Fórmula Sustitución

m = ? m = P/g m = 980 kg m/s

2

9.8 m/s2

P = 980 kg m/s2

g = 9.8 m/s2 m = 10 kg

6. Calcula la aceleración que produce una fuerza de 50 N a un cuerpo cuya masa es de 5 000 g. Expresa el resultado en m/s2.

datos Fórmula Sustitución

a = ? a = Fm a = 50 kg m/s25 kg =10 m/s2

F = 50 N

m = 5 000 g = 5 kg

7. Calcula la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza de 100 N le produce una aceleración de 200 cm/s2.

Expresa el resultado en kg.

datos Fórmula Sustitución

m = ? a=Fm ∴ m=Fa m=100 kg m/s22 m/s2=50 kg

F = 100 N

a = 200 cm/s2 = 2 m/s2

8. Calcula la aceleración que recibirá el siguiente cuerpo como resultado de las fuerzas aplicadas:

 

F

1

 =  30  N  

       F

2

 =  20  N  

m  =  2  k

g

 

datos Fórmula Sustitución

a = ? FR = F1 + F2 FR=30 N+− 20 N=10 N

F1 = 30 N

F2 = 20 N a= FRm a= FRm=10 kg m/s22 kg=5 m/s2

m = 2 kg

9. Un bloque cuya masa es de 4 kg es jalado mediante una fuerza horizontal (Fx) como se ve en la siguiente figura.

 

R  =  ?  

F

x

 =  ?  

P  =  ?  

a) Calcula la fuerza de reacción (R) que ejerce el piso sobre el bloque.

(11)

datos Fórmula

m = 4 kg P = mg

R = ? Fx = max

Fx = ? Fy = may

Vx = 6 ms t = 2 s g = 9.8 ms2

Sustitución y resultado

a) Para calcular la reacción que el piso ejerce sobre el bloque, con la segunda ley de Newton deter-minamos la suma de fuerzas en el eje vertical: F∴= R + − P = may

El signo ( − ) del peso es porque su sentido es hacia abajo, como el bloque se desplaza únicamente en forma horizontal no hay movimiento vertical; por tanto, la aceleración vertical a∴ es cero de donde:

F∴ = ma∴= 0 ∴ R − P = 0

Es decir, la reacción (R) es igual al peso del cuerpo (P); R=P=mg=4 kg X 9.8 ms2=39.2 N

b) Para calcular la fuerza horizontal (Fx) que se requiere para mover el bloque con una velocidad horizontal (Vx) de 6ms en 2 segundos, tenemos que la única fuerza que actúa sobre el eje horizontal es la fuerza que estamos calculando; de donde, según la fuerza de Newton: Fx=max

Para calcular la aceleración horizontal (a∴): a∴= Vx − Vot= 6 ms − 02 s=3 m/s2

Donde: F∴=ma∴=4 kg X 3 ms2=12 N

10. En una polea se suspende un cuerpo cuyo peso es de 500 N, como se ve en la siguiente figura.

a) Calcula la tensión en el cable que lo sujeta cuando des-ciende con una aceleración de 2 m/s2 .

b) Calcula la tensión en el cable que lo sujeta cuando as-ciende con la misma aceleración.

datos Fórmula

P = 500 N F∴=P + T=ma∴

Tal descender= ? P = mg ∴ m=Pg Tal ascender= ?

ay=2 m/s2 g=9.8 m/s2

Sustitución y resultado

a) Si el cuerpo estuviera en reposo sostenido por el cable, la tensión en este sería igual al peso del cuerpo T = P, pero como está en movimiento descendiendo, es evidente que el peso debe ser mayor que la tensión. De donde, sustituyendo en la fórmula de la suma de las fuerzas en el eje vertical ( F∴), se tiene que esta fuerza es igual al producto de la masa del cuerpo (m) por su aceleración (ay).

F∴=P + T = ma∴

como m=Pg

(12)

Sustituyendo:

F∴=− 500 N + T = − 500 N− 9.8 ms2(− 2m/s2)

Recuerda: el signo (−) tanto del peso, como el de la aceleración de la gravedad y el de la aceleración del cuerpo es porque actúan en dirección vertical con sentido hacia abajo.

F∴=− 500 N + T=− 102.04 N

Despejando la tensión (T) tenemos: T = 500 N − 102.04 N= 397.96 N

b) Al estar ascendiendo el cuerpo con una aceleración vertical (ay) tenemos que la tensión en el cable debe ser mayor que el peso del cuerpo. Sustituyendo valores en la ecuación:

F∴= P + T = Pg a∴

Observamos que los valores son los mismos que sustituimos para responder el inciso a) del proble-ma; pero ahora, el signo de la aceleración del cuerpo será positivo, ya que actúa hacia arriba toda vez que el cuerpo sube. El signo del peso y de la aceleración de la gravedad siguen siendo ( − ) pues actúan hacia abajo.

F∴= − 500 N + T =− 500 N− 9.8 ms2(2m/s2) F∴=− 500 N + T = 102.04 N

Despejando la tensión tenemos:

T = 500 N+102.04 = 602.04 N

1. Con una polea se eleva un cuerpo cuyo peso es de 980 N, aplicando una fuerza de 1 400 N como se ve en la figura. Determine la aceleración que adquiere el cuerpo.

datos Fórmula

P = 980 N F∴ = P + T = ma∴

T = 1 400 N como m = Pg

ay = ? F∴ = P + T= P g a∴

Sustitución y resultado

− 980 N + 1 400 N=(− 980 N− 9.8 m s2) (a∴) 420 N=100 kg( a∴)

Despejando la aceleración del cuerpo:

(13)

Cuadro de

valoración

En equipos de tres compañeros, responde las siguientes cuestiones:

1.

Si un cuerpo se mueve con velocidad constante:

a) ¿Puede asegurarse que alguna fuerza lo está impulsando?

b) ¿Puede asegurarse que no está aplicada fuerza alguna sobre ese cuerpo?

c) ¿Puede asegurase que si existe alguna fuerza sobre ese cuerpo, no es la única?

d) ¿Puede asegurase que si existen fuerzas sobre ese cuerpo, se anulan entre sí,

dando como resultante cero?

2.

Si sobre un cuerpo actúa una fuerza única, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

a) El cuerpo no se mueve.

b) El cuerpo puede no moverse.

c) El cuerpo se mueve con velocidad constante.

d) El cuerpo se mueve con velocidad variable.

3.

Si un cuerpo permanece en reposo en el suelo, ¿cuál de las siguientes opciones es

verdadera?

a) No actúa ninguna fuerza sobre él.

b) Actúa sobre él una fuerza muy pequeña.

c) Actúan sobre él dos fuerzas que se anulan entre sí.

d) Actúa una única fuerza sobre él.

4.

¿Qué relación tiene el cinturón de seguridad en los automóviles con las leyes de Newton?

Selecciona la opción correcta de las siguientes preguntas:

5.

La primera ley de Newton establece que si no actúa fuerza neta sobre un cuerpo

cualquie-ra, entonces ese cuerpo:

a) Permanecerá en reposo.

b) Podrá moverse aceleradamente.

c) Se moverá con velocidad constante.

d) Podrá permanecer en reposo o moverse con velocidad constante.

6.

Según la segunda ley de Newton, si un carro de masa (m) se mueve con cierta

acelera-ción bajo la influencia de una fuerza neta (F) y luego se duplica la fuerza, y la masa se

cambia de tal manera que la aceleración resulta dividida entre dos, habrá sucedido que:

a) La masa se dividió entre dos.

b) La masa se dividió entre cuatro.

c) La masa se multiplicó por dos.

d) La masa se multiplicó por cuatro.

7.

Según la tercera ley de Newton sucede que:

a) Las fuerzas de acción y de reacción son idénticas.

(14)

c) Las fuerzas de acción y de reacción actúan sobre cuerpos distintos y son iguales en

magnitud y en dirección, pero de sentidos contrarios.

d) Puesto que las fuerzas de acción y de reacción tienen sentidos contrarios, se

anu-lan mutuamente.

8.

Un carro de 500 kg es impulsado por un motor que le proporciona una fuerza de 300 N. Se

observa que ese carro se mueve con aceleración de 0.5 m/s

2

. Puede decirse entonces que:

a) La segunda ley de Newton no se cumplió, pues según ésta, debe obtenerse que:

• a = F / m

• a = 300 N / 500 kg = 0.6 m/s

2

b) La segunda ley de Newton sí se cumple, pero hay que tomar en cuenta la fuerza de

fricción, la cual es de 100 N.

c) La segunda ley de Newton sí se cumple, pero hay que tomar en cuenta la fuerza de

fricción, la cual es de 50 N.

d) Todo está en orden.

12.

Una masa de 20 kg deberá elevarse verticalmente con aceleración de 2 m/s

2

, utilizando

una cuerda. Para lograr eso, deberá ejercerse una tensión hacia arriba:

a) Igual al peso de esa masa. Es decir, T = 196 kg

b) Mayor que 196 N, pero menor que 230 N

c) Mayor o igual que 230 N, pero menor que 250 N.

d) Mayor o igual que 250 N.

13.

Calcula la masa de un cuerpo en kg, si al recibir una fuerza de 300 N le produce una

aceleración de 150 cm/s

2

.

14.

Calcula la aceleración que recibirá el cuerpo que se ve en la figura, como resultado de las

fuerzas aplicadas:

15.

Determina la aceleración en m/s

2

que produce una fuerza de 75 N a un cuerpo cuya

masa es de 1 500 g.

 

m  =  3  kg   F1  =  30  N  

(15)

16.

Calcula la fuerza que se le aplica a un cuerpo de 10 kg de masa si adquiere una

acele-ración de 2.5 m/s

2

.

17.

Un bloque cuya masa es de 8 kg es jalado mediante una fuerza horizontal como se ve

en la figura:

a) Encuentra la fuerza de reacción (R) que ejerce el piso sobre el bloque.

b) Calcula la fuerza horizontal (∴∴) que se requiere para dar al bloque una velocidad

horizontal de 4 m/s

2

en 1.5 s a partir del reposo, sin considerar la fricción entre el

piso y el bloque.

18.

En un montacargas está suspendido un cuerpo cuyo peso es de 950 N como se ve en

la figura:

 

m  =  8   kg  

Fx  =  ?  

(16)

a) Determina la tensión en el cable que lo sujeta cuando desciende con una

aceler-ación de 3 m/s

2

.

b) Calcula la tensión en el cable que lo sujeta cuando asciende con la misma

aceler-ación.

Respuestas: a) T = 659.18 N; b) T= 1240.81 N

19.

Calcula la tensión que soporta un cable al subir a un elevador que vacío pesa 2 500 N,

si además se suben a él cuatro personas que tienen un peso de 2 352 N. El elevador

sube con una aceleración constante de 1.3 m/s

2

.

20.

Un montacargas eleva un cuerpo cuyo peso es de 2 310 N, con una fuerza de 2 935 N.

determina la aceleración con que sube el cuerpo.

21.

Una persona pesa 686 N y asciende por un elevador con una aceleración de 2 m/s

2

.

Calcula:

a) El peso aparente de la persona, o sea, la fuerza de reacción que ejercerá el piso del

elevador al subir.

(17)

2.1.4 Fuerzas en Equilibrio

Equilibrio traslacional

Las fuerzas pueden actuar de tal manera que causen movimiento o lo impidan. Los

gran-des puentes deben diseñarse de tal manera que el efecto global de las fuerzas sea impedir

el movimiento. Toda armadura, viga, trabe y cable debe estar en

equilibrio. En otras

palabras, las fuerzas resultantes que actúen en cualquier punto de la estructura deben

estar equilibradas. Las plataformas, montacargas, ganchos, cables

elevadores, e incluso los grandes edificios deben ser construidos

de tal manera que los efectos de las fuerzas sean controlados y

so-portados. En este capítulo continuaremos el estudio de las fuerzas

en relación con los objetos en reposo. La fuerza de fricción, que

es tan importante para el equilibrio en tantas aplicaciones, será

también introducida en este capítulo como una extensión natural

de nuestro trabajo con todas las fuerzas.

2.1.5 Equilibrio

La fuerza resultante fue definida como una fuerza única cuyo

efec-to es el mismo que el de un sistema dado de fuerzas. Si la

ten-dencia de un conjunto de fuerzas es provocar un movimiento, la

resultante también producirá esta tendencia. Existe una condición de equilibrio donde

la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto es cero. Esto es

lo mismo que decir que cada fuerza externa se equilibra con la suma de todas las

de-más fuerzas externas cuando existe equilibrio. Por tanto, de acuerdo con la primera

ley de Newton, un cuerpo en equilibrio deberá estar en reposo o en movimiento con

velo-cidad constante, ya que no existe ninguna fuerza externa no equilibrada.

Consideremos el sistema de fuerzas que se muestra en la figura 1. La solución por

el método del polígono de vectores demuestra que independientemente de la secuencia

en que los vectores se sumen, su resultante es siempre cero. El extremo del último vector

siempre termina en el origen del primer vector.

(a) y x A B C D (b) A B C D (c) A A A B B B C C C D D D

Un sistema de fuerzas que no esté en equilibrio puede estarlo al reemplazar la fuerza

resultante por una fuerza igual pero opuesta que recibe el nombre de

equilibrante. Por

ejemplo, las dos fuerzas A y

B de la figura 2 tienen una resultante R a

30

°

sobre la

(18)

zontal. Si le sumamos E

, que es igual en magnitud a R pero cuya dirección es de un ángulo

de

180

°

mayor, el sistema estará equilibrado, tal como se muestra.

(b) A

B

E

(a) A

30º

30º B

E

R

La condición para que un cuerpo permanezca en equilibrio es que la resultante de

to-das las fuerzas que actúan sobre él sea cero. En este caso ambas componentes rectangulares

deben ser también iguales a cero.

F = 0

F = 0

Ecuación 1

Estas dos ecuaciones representan una proposición matemática de la

primera

condi-ción de equilibrio, que puede ser enunciada como sigue:

Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio traslacional si y sólo si, la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.

El término equilibrio traslacional se utiliza para distinguir la primera condición de la

segunda condición de equilibrio, la cual se refiere al equilibrio rotacional que estudiaremos

en el capítulo siguiente.

2.1.6 Diagramas de cuerpo libre

Antes de intentar aplicar la primera condición de equilibrio a la resolución de problemas de

física, se debe aprender a construir un

diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas.

El procedimiento para lograrlo es el siguiente: considérese, por ejemplo, el peso de 40 lb

suspendido por cuerdas mostrado en (a) de la figura 3. Hay tres fuerzas actuando en el

nudo, ejercidas por el techo, la pared y la tierra (peso). Si cada una de estas fuerzas es

mar-cada y representada por un vector, podemos dibujar un diagrama de vectores como el que

se muestra en (b) de dicha figura. Este diagrama se denomina

diagrama de cuerpo libre.

Un

diagrama de cuerpo libre es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas

que actúan sobre un cuerpo u objeto. Nótese que en el caso de fuerzas concurrentes, todos

los vectores apuntan hacia afuera del centro de los ejes x y y, los cuales se intersecan en un

origen común. Al dibujar diagramas de cuerpo libre, es muy importante distinguir entre

fuerzas de acción y reacción. En nuestro ejemplo, hay fuerzas en el nudo, pero también hay

tres fuerzas de reacción iguales y opuestas ejercidas por el nudo. Aplicando la tercera ley de

Newton, las fuerzas de reacción son ejercidas por el nudo en el techo, la pared y la tierra,

y se muestran en la figura 3 (c). Para evitar confusión, es importante escoger un punto en

el cual todas las fuerzas estén actuando y dibujar aquellas que actúan sobre el cuerpo en

ese punto.

(19)

En la figura 4 se muestra otro ejemplo de cómo formar un diagrama de cuerpo libre.

Nótese que el origen de los ejes está en donde actúan todas las fuerzas, que es el punto

se-ñalado con un círculo. Los ángulos que se muestran son el resultado de aplicar el concepto

de ángulos alternos internos a dos líneas paralelas cortadas por una secante, que se estudió

en geometría plana o euclidiana el semestre anterior.

Probablemente la parte más difícil de la construcción de diagramas vectoriales sea la

visualización de las fuerzas. Dos ejemplos adicionales se muestran en la figura 5. Nótese

que la fuerza ejercida por la percha es hacia afuera y no hacia adentro de la pared. Esto es a

causa de que estamos interesados en las fuerzas ejercidas en el extremo de la percha, no en

las que son ejercidas por el extremo de la percha. Escogemos un punto en el extremo de

la percha en donde las dos sogas estén atadas. El peso de 60 N y la tensión

T son fuerzas

actuantes ejercidas por la soga en este punto. Si el extremo de la percha no ha de moverse,

estas fuerzas deben estar equilibradas por una tercera fuerza, la ejercida por la pared (a

través de la percha). Esta tercera fuerza

B, actuando en el extremo de la percha no debe

confundirse con la fuerza de reacción hacia dentro que actúa sobre la pared.

El segundo ejemplo, figura 5 (b), también muestra las fuerzas en dos contrapesos

conectados por una cuerda. Las fuerzas de fricción, que serán analizadas más tarde, no se

incluyen en estos diagramas. La tensión en la cuerda en ambos lados se muestra como T

,

y las fuerzas normales N

1

y N

2

son fuerzas perpendiculares ejercidas por el plano sobre los

bloques. Si estas fuerzas estuvieran ausentes los bloques se balancearían juntos. Nótese que

Figura 3

(20)

en el plano inclinado se hizo una rotación de ejes, esto es con el propósito de hacer

coin-cidir la mayor cantidad de fuerzas que actúan en el problema, directamente sobre los ejes

perpendiculares x y y, para evitar trabajar con varios ángulos a la vez.

Figura 5

Figura 6

En este caso la primera condición de equilibrio nos dice que la resultante debe ser cero:

R∴= F∴ = 0 R∴= F∴ = 0

De esta manera tenemos dos ecuaciones que podemos usar para calcular las fuerzas desconocidas. Se deben seguir ciertos pasos, los cuales explicaremos al resolver un ejercicio concreto.

Ejemplo 1. Una pelota de 100 N suspendida del cordel A es tirada hacia un lado por otro cordel B y mantenida de tal forma que el cordel A forma un ángulo de con la pared vertical (véase figura 6). Encuentra las tensiones en los cordeles A y B.

Paso 1. Dibuja un bosquejo.

Actividad

Ejercicios

Ejemplos

de conversiones

(21)

Paso 2. Dibuja un diagrama de cuerpo libre, Figura 6 (b).( Fig. 3-8b )

Paso 3. Resuelve todas las fuerzas en sus componentes (Tabla 4-1). Nótese en la figura que y son negativos.

Tabla 4.1

Fuerza θx componente en X componente en Y

A 60° Ax = – A cos60° Ay = – A cos60°

B 0° Bx = B By = 0

W − 90° Wx = 0 Wy = – 100 N

F∴ = ∴−∴cos60° F∴ =∴ sen60°−100 N

Paso 4. Aplica ahora la primera condición de equilibrio. La suma de fuerzas en el eje X resulta en

F∴ = ∴−∴cos60°=0 De lo que obtenemos:

B = A cos60° = 0.5 A (recuerde que cos60° = 0.5)

La segunda ecuación resulta de sumar las componentes en Y, de la cual obtenemos:

F∴ =∴ sen60°−100 N=0 de lo cual:

A sen60° = 100 N.

Paso 5. Finalmente, resuelve las fuerzas desconocidas. Dado que sen60° = 0.866, de la ecuación anterior obtenemos:

0.866 A = 100 N o sea,

∴= 100 N0.866=115 N

Ahora que se conoce el valor de A, B se puede obtener a partir de B = 0.5 A, la cual se obtuvo con anterioridad:

B = 0.5A = (0.5) (115 N) B = 57.5 N

Ejemplo 2. Una pelota de 200 N cuelga de un cordel anudado a otros dos cordeles, como se muestra en la figura 7. Encuentre las tensiones en los cordeles A, B, C.

(22)

Solución: dado que ya se nos proporciona el bosquejo, el primer paso es trazar el diagrama de cuerpo libre, como está indicado en (b). Las componentes X y Y de cada vector calculadas a partir de la figura son las siguientes:

Componente en x componente en y

Ax = – A cos60° Ay = A sen60° By = B cos45° By = B sen45°

Cx = 0 Cy = – 200 N

Sumando todas las fuerzas a lo largo del eje x, obtenemos F∴ = −∴cos60°+∴ cos45°=0

Que puede ser simplificada por sustitución de funciones trigonométricas conocidas. Así,

–0.5 A + 0.707 B = 0 Ecuación (a)

Se requiere más información para resolver esta ecuación. Obtenemos una segunda ecuación al sumar las fuerzas a lo largo del eje Y, resultando:

0.866 A + 0.707 B = 0 Ecuación (b)

Las ecuaciones (a) y (b) están ahora resueltas simultáneamente para A y B mediante el proceso de sustitución. Resolviendo para A en la ecuación (a) se obtiene:

A = 0.707 B = 1.414 B

0.5 Ecuación (c)

Ahora sustituimos esta igualdad en la ecuación (b) obteniendo:

0.866 (1.414 B) + 0.707 B = 200 N

Que puede ser resuelta para B como sigue:

1.225 B + 0.707 B = 200 N 1.93 B = 200 N ∴= 200 N1.93=104 N

La tensión A puede ahora encontrarse por sustitución de B = 104 N en la ecuación (c).

A = 1.414 (104 N) = 147 N

La tensión en la cuerda C es, por supuesto, 200 N puesto que debe ser igual al peso.

Ejemplo 3. Un bloque de 200 lb descansa sobre un plano inclinado sin fricción que tiene una pendien-te de 30º. El bloque está atado a un cordel que pasa sobre una polea sin fricción en el vértice del plano inclinado y del cual cuelga a su vez otro bloque. ¿Cuál debe ser el peso del segundo bloque para que el sistema se encuentre en equilibrio, sin considerar el peso del cordel?

(23)

Solución: después de hacer un bosquejo de la situación, un diagrama de cuerpo libre se ha cons-truido para cada cuerpo tal como se muestra en la figura 8. Al aplicar la primera condición de equilibrio al segundo bloque, encontramos que:

TW = 0

es decir, T = W

Dado que el cordel es continuo y que el sistema está libre de fricción, la tensión en la figura 8 para el bloque de 200 lb debe ser también igual al peso W.

Al considerar el diagrama para el bloque de 200 lb, determinamos las componentes de cada fuerza como sigue:

Componente en x componente en y

Tx = T = W Ty = 0

Nx = 0 Ny = N

(200 lb)x = (–200 lb) (sen 30º) (200 lb)y = (–200 lb) (cos 30º)

Al aplicar la primera condición de equilibrio nos da

T – (200 lb) (sen30°) = 0 Ecuación (a) N – (200 lb) (cos30°) = 0 Ecuación (b)

A partir de la ecuación (a) obtenemos:

T = (200 lb) (sen30°) = 100 lb

y, por tanto, W = 100 lb, ya que T = W. Entonces, se requiere un peso de 100 lb para mantener el equilibrio.

La fuerza normal que el plano ejerce sobre el bloque de 200 lb puede calcularse a partir de la ecuación (b), aun cuando este cálculo no fue necesario para determinar el peso de W.

2.2 Fricción

Siempre que un cuerpo se mueve estando en contacto con otro cuerpo, existen fuerzas de

fricción o rozamiento que se oponen al movimiento relativo. Estas fuerzas son

consecuen-cia de la adhesión de una superficie a la otra y por la trabazón de las irregularidades en las

superficies en roce. Es precisamente este rozamiento lo que mantiene un clavo dentro de

una tabla, lo que nos permite caminar y lo que hace que los frenos de los automóviles

fun-cionen. En todos estos casos el rozamiento tiene un efecto deseable.

En muchas otras circunstancias, sin embargo, es deseable minimizar el efecto del

roza-miento. Por ejemplo, cuando éste aumenta el trabajo necesario para operar alguna

máqui-na, causa desgaste y genera calor, que en muchos casos provoca a su vez daños adicionales.

Los automóviles y los aviones son diseñados aerodinámicamente para reducir el

rozamien-to con el aire, que resulta ser muy grande a altas velocidades.

Siempre que una superficie se desliza sobre otra, la fuerza de rozamiento ejercida por

cada cuerpo sobre el otro es paralela o tangente a las dos superficies, y actúa de tal

mane-ra que se opone al movimiento relativo de las superficies. Es importante notar que estas

fuerzas no sólo existen cuando ocurre un movimiento relativo, sino que también están

presentes cuando uno de los cuerpos tiende a deslizarse sobre el otro.

a) En la fricción estática, el movimiento está impedido; b) en la fricción cinética, las

(24)

Supóngase que una fuerza se ejerce sobre un bloque que descansa en reposo sobre una

superficie horizontal como se muestra en la figura 9. Al principio el bloque no se moverá

debido a la acción de una fuerza llamada

fuerza de rozamiento estático F

s

.

Pero a medida que la fuerza aplicada aumenta, llega un momento en que se provoca

el movimiento del bloque, y la fuerza de rozamiento ejercida por la superficie horizontal,

mientras el bloque se encuentra en movimiento, se denomina

fuerza de rozamiento

ci-nético F

k

.

Las leyes que gobiernan las fuerzas de rozamiento se determinan experimentalmente

en el laboratorio por medio de un aparato similar al que se ilustra en la figura10. Una caja

de peso

W se coloca sobre una mesa horizontal y un cordel ligero que está atado a la caja

se pasa por una polea con rozamiento despreciable, y se cuelga del otro extremo del cordel

una serie de pesas conocidas. Todas las fuerzas que actúan sobre la caja y las pesas se

mues-tran en sus correspondientes diagramas de cuerpo libre (Figuras 10).

Consideremos que el sistema está en equilibrio, para lo cual la caja debe permanecer en

reposo o moviéndose con velocidad constante. En cualquiera de los casos podemos aplicar

la primera condición de equilibrio. Consideremos el diagrama de fuerzas como se muestra

en la figura 10.

F – T = 0

N – W = 0

Es decir:

F = T y N = W

Vemos así que la fuerza de rozamiento es de magnitud igual que la tensión en el

cor-dón, y que la fuerza normal ejercida por la mesa sobre la caja es igual al peso de la caja.

Nótese que la tensión en el cordón es a su vez igual al peso de las pesas más el del soporte.

Figura 9

(25)

Empezamos el experimento colocando gradualmente pesas en el soporte, para

aumen-tar lentamente la tensión del cordel. Al aumenaumen-tar la tensión, la fuerza de rozamiento

está-tico, que es igual en magnitud pero opuesto en dirección, también aumenta. Si

T aumenta

lo suficiente, la caja se empezará a mover, indicando que

T ha sobrepasado la máxima

fuerza de rozamiento estático

F

s, max

. Así, aunque la fuerza de rozamiento estático F

s

variará

de acuerdo con los valores de la tensión del cordel, existe un valor máximo único F

s, max

.

Sólo este valor máximo es útil en la solución de problemas de fricción. Por tanto, en esta

antología F

s

se entenderá que representa F

s, max

.

Para continuar el experimento, supóngase que agregamos peso a la caja, con lo que

aumentaríamos la presión normal entre la caja y la mesa. Nuestra fuerza normal será ahora

N = W + peso agregado

Al repetir nuestro experimento anterior, veremos que un nuevo valor de

T,

proporcio-nalmente

mayor, será necesario para contrarrestar F

s

. En otras palabras, al duplicar la fuerza

normal entre las dos superficies, la máxima fuerza de rozamiento estático que debemos

contrarrestar también se duplica. Si N se triplica, F

s

también se triplica, y así ocurre con

todos los demás factores. Puede decirse por tanto que la máxima fuerza de rozamiento

estático es directamente proporcional a la fuerza normal entre las dos superficies. Esta

pro-porcionalidad puede escribirse como

F

s

N

Que puede escribirse como ecuación:

F

s

=

m

s

N

En la que

m

s

es una constante de proporcionalidad llamada

coeficiente de

rozamien-to estático. Dado que

m

s

es una relación constante entre dos fuerzas, es una cantidad sin

dimensiones.

En el experimento que precede debe notarse que una vez que

T ha superado en

mag-nitud a F

s

, la caja aumentará su velocidad, o se acelerará, hasta topar con la polea. Esto

in-dica que un valor menor que

T bastaría para mantener a la caja moviéndose con velocidad

constante. Por tanto, la fuerza de rozamiento cinético F

k

debe ser menor que F

s

para las

mismas superficies. En otras palabras, se requiere de más fuerza para iniciar el movimiento

de un bloque que para mantenerlo moviéndose a velocidad constante. En este último caso

la primera condición de equilibrio también se satisface; así, el mismo rozamiento que nos

llevó a derivar la ecuación para F

s

para el rozamiento estático, nos dará la siguiente

propor-cionalidad para el rozamiento cinético:

F

k

N

Que puede también expresarse como una ecuación:

F

k

=

m

k

N

Donde

m

k

es una constante de proporcionalidad llamada

coeficiente de rozamiento

cinético.

La tabla 1 muestra algunos valores representativos

de los coeficientes de rozamiento

(26)

Tabla 1 Coeficientes de fricción aproximados

Material µs µk

Madera sobre madera 0.7 0.4

Acero sobre acero 0.15 0.09

Metal sobre cuero 0.6 0.5

Madera sobre cuero 0.5 0.4

Hule sobre concreto seco 0.9 0.7

Hule sobre concreto húmedo 0.7 0.57

Los problemas que incluyen fricción se resuelven como otros problemas de

fuer-zas, excepto que se deben considerar los siguientes puntos:

1. Las fuerzas de rozamiento son paralelas a las superficies y se oponen directamente

al movimiento relativo de las superficies entre sí.

2. La fuerza de rozamiento estático es mayor que la fuerza de rozamiento cinético

para los mismos materiales.

3. Al dibujar diagramas de cuerpo libre, generalmente resulta más conveniente elegir el

eje x paralelo al plano del movimiento y el eje y normal al plano del movimiento.

4. Se puede aplicar la primera condición de equilibrio para obtener dos ecuaciones

que representan las fuerzas a lo largo del plano de movimiento y normales a él.

5. Las ecuaciones para la fricción estática y cinética obtenidas anteriormente, se

pue-den aplicar para obtener la cantidad deseada.

1. Un bloque de 50 lb descansa sobre una superficie horizontal. Se requiere una fuerza horizontal de 10 lb para iniciar el movimiento del bloque. Una vez en movimiento, sólo se necesita una fuerza de 5 lb para mantener una velocidad constante. Encuentra los coeficientes de fricción estática y cinética.

Solución: las palabras clave que deben ser reconocidas son para iniciar el movimiento y el de velocidad constante. Las primeras implican fricción estática, mientras que las últimas se refieren a la fricción cinética. En cada caso existe una condición de equilibrio. Los diagramas de cuerpo libre se ilustran en las figuras 11 (a) y 11 (b).

Actividad

Ejercicios

Ejemplos

de conversiones

Ejemplos

(27)

Consideremos la fuerza que contrarresta la fricción estática. Al aplicar la primera condición de equilibrio en la figura 11 (a) obtenemos:

10 lb – Fs = 0 N – 50 lb = 0

de lo que podemos observar que

Fs = 10 lb N = 50 lb

De este modo podemos calcular el coeficiente de fricción estática a partir de la ecuación para la fricción estática:

2

.

0

50

10

=

=

=

lb

lb

N

F

s s

m

La fuerza que contrarresta la fricción cinética es de 5 lb. De aquí que la suma de las fuerzas a lo largo del eje X resulte:

5 lb – Fk = 0 para obtener Fk = 5 lb

La fuerza normal es aún 50 lb, y así:

1

.

0

50

5

=

=

=

lb

lb

N

F

k k

m

2. ¿Qué fuerza T con ángulo de 30º sobre la horizontal se requiere para arrastrar un bloque de 40 lb hacia la derecha a velocidad constante si µk = 0.2?

Solución: dibujemos primero un bosquejo del problema y tracemos después el diagrama de cuerpo libre tal como se muestra en la figura 12. Al aplicar la primera condición de equilibrio ob-tenemos:

Tx – Fk = 0 N + Ty – 40 lb = 0

La última ecuación muestra que la fuerza normal es

N = 40 lb – Ty

Figura 12

La fuerza T con un ángulo sobre la horizontal reduce la fuerza normal, resultando en una de fricción menor.

Nótese que la fuerza normal está disminuida por la componente y de T. Sustituyendo:

Fk = µk N en la ecuación Tx – Fk = 0 nos da

Txµk N = 0

(28)

Del diagrama de cuerpo libre podemos notar que:

Tx = T cos 30º = 0.866 T Ty = T sen 30º = 0.5 T De aquí, y recordando que µk = 0.2, podemos escribir lo siguiente:

Txµk (40 lb – Ty) = 0 0.866 T – (0.2)(40 lb – 0.5T) = 0 De la que podemos resolver T como sigue:

0.866T – 8 lb + 0.1 T = 0 0.966T – 8 lb = 0

=

=

966

.

0

8

lb

T

8.3 lb

Por tanto, se necesita una fuerza de 8.3 lb para arrastrar el bloque a velocidad constante si la cuerda hace un ángulo de 30º sobre la horizontal.

3. Un bloque de 100 lb descansa sobre un plano inclinado de 30º. Si µk = 0.1, ¿qué empuje P paralelo al plano y dirigido hacia arriba se requerirá para que el bloque se mueva: a) hacia arriba a velocidad constante y b) hacia abajo a velocidad constante?

Solución: a) el problema general se ha bosquejado en la figura 4-14(a). Para el movimiento ha-cia arriba la fuerza de fricción apunta haha-cia abajo del plano inclinado como se ilustra en la figura13 (b). Aplicando la primera condición de equilibrio obtenemos

0

=

F

x

P

F

k

W

x

=

0

F

y

=

0

N

W

y

=

0

Figura 13

De la figura vemos que las componentes X e Y del peso son las siguientes:

Wx = (100 lb)(sen 30º) = 50 lb Wy = (100 lb)(cos 30º) = 86.6 lb

Sustituyendo 86.6 lb en la ecuación para

F

y

=

0

, podemos obtener la normal.

N – 86.6 lb = 0 que da N = 86.6 lb

De la ecuación para

F

x

=

0

, el empuje requerido para mover el bloque hacia arriba es:

(29)

Pero Fk = µk N, por lo que:

P = µk N + Wx

Sustituyendo los valores conocidos de µk, N y Wx, obtenemos: P = ( 0.1) ( 86.6 ) + 50 lb

P = 58.7 lb

Nótese que el empuje hacia arriba del plano debe contrarrestar en este caso tanto la fuerza de fricción de 8.66 lb como la componente de 50 lb del peso del bloque hacia abajo y a lo largo del plano.

Solución: b) ahora debemos considerar el empuje P necesario para detener el movimiento hacia abajo del bloque. La única diferencia en este problema y la parte a) es que la fuerza de fricción se dirige ahora hacia arriba del plano. La fuerza normal no cambia y las componentes del peso tampoco cambian. Por tanto, si sumamos las fuerzas a lo largo del eje X de la figura 4-14(c) tenemos:

0

=

F

x P + FkWx = 0

De la cual:

P = WxFk Por tanto:

P = 50 lb – 8.66 lb P = 41.3 lb

La fuerza de 41.3 lb está dirigida hacia arriba del plano inclinado y detiene el movimiento hacia abajo del bloque de tal manera que su velocidad sea constante. Si esta fuerza P no se ejerciera, el bloque se aceleraría hacia abajo del plano por su propio peso.

Actividad

Ejercicios

Ejemplos

de conversiones

Ejemplos

1. Define los siguientes términos <<Incluir una pleca para cada inciso>>

a) Inercia

b) Fuerza de reacción

c) Equilibrio

d) Equilibrante

e) Diagrama de cuerpo libre

f) Fuerza de fricción

g) Coeficiente de fricción

h) Fuerza normal

(30)

2. Explica las siguientes interrogantes.

1. Cuando se suelta la cabeza de un martillo, se pude volver a sujetarla, manteniendo el martillo verticalmente y golpeando la base del mango contra el piso. Explica lo que ocurre. ¿Qué ley queda ilustrada?

2. Explica el papel que juega la tercera ley de Newton en las siguientes actividades: a)caminar,

b)remar,

c)el lanzamiento de cohetes y

d)el paracaidismo.

3. ¿Puede un cuerpo en movimiento estar en equilibrio? Menciona varios ejemplos.

4. Un cable largo de acero se estira entre dos edificios. Demuestra por medio de diagramas y ex-plicaciones por qué no es posible estirar el cable tan tenso que esté perfectamente horizontal sin colgarse del centro.

5. Hemos visto que es siempre ventajoso elegir los ejes X y Y de los diagramas de cuerpo libre, de tal manera que el mayor número posible de fuerzas queden alineadas a uno de los ejes. Cuando ya no se pueden alinear más fuerzas por medio de la rotación de ejes, ¿sería mejor alinear uno de los ejes con una fuerza conocida o con una desconocida?, ¿por qué?

6. Explica algunos usos de la fuerza de fricción.

(31)

8. ¿Es siempre la fuerza normal igual al peso de un cuerpo?

9. Cuando se camina sobre un lago congelado, ¿se deben dar pasos cortos o largos?, ¿por qué? Si no hubiera nada de fricción en el hielo, ¿sería posible salirse del lago congelado? Explica tu respuesta.

Resuelvan los siguientes problemas:

1. Considera el peso suspendido en la figura 14. Visualiza las fuerzas que actúan en el nudo y dibuja el diagrama de cuerpo libre. Aplica la primera condición de equilibrio para establecer dos ecuacio-nes y resuelve para las tensioecuacio-nes en las cuerdas A y B.

Respuesta: A = 1 374 N, B = 1 462 N

Figura 14

Figura 15

(32)

3. Encuentra la tensión en los cordeles A y B de cada uno de los ejemplos de la figura 16.

Respuesta: a) A = 170 N, B = 294 N, b) A = 134 N, B = 209 N c) A = 1 410 N, B = 1 150 N

Figura 16

4. Encuentra la tensión en el cable y la compresión en la viga para los arreglos de la figura 17.

Figura 17

5. Encuentra la tensión en la cuerda A y la compresión B en el montante de la figura 18.

Respuesta: A = 231 N, B = 462 N

(33)

6. Si el esfuerzo de ruptura del cable A en la figura 19 es de 200 N, ¿cuál es el máximo peso W que puede soportar este aparato?

Figura 19

7. Determina la compresión en el montante central B y la tensión en la cuerda A, para la situación descrita en la figura 20.

Respuesta: A = 643 N, B = 940 N

A

A B

500 N

A

50º 20º

8.

Encuentra la tensi

ón en cada cuerda de la figura 21

si el peso W es de 476 N.

Figura 20

A

A

B

W

C

C

30º

30º

A

60º

(34)

9. Un bloque de madera de 20 N es jalado con una fuerza máxima estática de 12 N; al tratar de deslizarlo sobre una superficie horizontal de madera, ¿cuál es el coeficiente de fricción estático entre las dos superficies?

Respuesta: µs = 0.6

10. Se aplica una fuerza de 85 N sobre un cuerpo para deslizarlo a velocidad constante sobre una su-perficie horizontal. Si el peso del cuerpo es de 213 N, ¿cuál es el coeficiente de fricción cinético?

11. Un refrigerador de 200 lb se coloca sobre una manta y es arrastrado sobre un piso de mosaicos. Si µs = 0.4 y µk = 0.2, ¿qué fuerza horizontal se requiere para iniciar el movimiento, y qué fuerza hará moverse al refrigerador con una velocidad constante?

Respuesta: 80 lb, 40 lb

12. Un bloque de hielo se desliza con velocidad constante sobre un piso de madera cuando una fuerza horizontal de 8 lb es aplicada. ¿Cuál es el peso del bloque de hielo si µk = 0.15?

13. Calcula la fuerza que se debe aplicar para deslizar un bloque de peso P = 200 N con velocidad constante sobre una superficie con coeficiente de fricción cinético igual a 0.4, al presentarse las siguientes situaciones:

a) Se empuja el bloque con un ángulo de 30º. Véase figura 22 (a)

b) Se jala el bloque con un ángulo de 30º. Véase figura 22 (b)

Respuesta: a) 121.2 N, b) 75.05 N

(35)

14. Una caja de 300 lb descansa sobre un plano horizontal. Se le aplica una fuerza de 76 lb con un ángulo de 37º bajo la horizontal para que empiece a moverse. ¿Cuál es el coeficiente de fricción?

15. Un bloque de peso P = 50 N se desliza sobre una tabla al existir un coeficiente de fricción cinético de 0.3. Determina la fuerza que se debe aplicar al bloque para que se mueva con una velocidad constante cuando:

a) La tabla se encuentra sobre una superficie horizontal. Ver figura 23 (a).

b) La tabla forma un ángulo de 20º respecto al plano horizontal. Ver figura 23 (b).

Respuesta: a) 15 N b) 37.99 N (para que el bloque ascienda)

(b)

(a)

F=?

F=?

30º

30º

P=200 N

P=200 N

Figura 24

16. En la situación representada en la figura 24, suponga que el coeficiente de fricción estática entre el bloque de 200 N y la superficie es de 0.3. Calcula el peso máximo W que se puede colgar para que el sistema permanezca en equilibrio.

Respuesta: 21.8 lb

W O C

70º 200lb

(36)

Actividad

Ejercicios

Ejemplos

de conversiones

Ejemplos

actividad experimental 1.

COEFiCiEnTES dE ROZaMiEnTO

Objetivos

1. Determinar experimentalmente, valores de los coeficientes de rozamiento estático (me) y cinético (mc)

2. Comprobar alguna de las utilidades del plano inclinado

Material

Cronómetro Regla graduada

Madera que actuará de plano inclinado Maderas pegadas, que actuarán de soporte. Cuerda

b

a

Figura 25

desarrollo

Coeficiente estático de rozamiento

Para obtener el coeficiente estático de rozamiento entre dos cuerpos, dispondremos del montaje representado esquemáticamente en la figura.

Colocaremos en el suelo, tendida horizontalmente, la tabla que actuará de plano inclinado, y en-cima de ella, en el extremo de la derecha, el taco de madera. Después ataremos una cuerda a esta tabla, también por su extremo derecho, mediante un pequeño cáncamo clavado previamente en la madera. A continuación haremos pasar la cuerda por encima de las tablas (deben estar pegadas), que actúan de soporte. Si se tira ahora lentamente de la cuerda según el sentido de la flecha, se verá que la tabla que sostiene al taco, se irá levantando por su parte derecha, y llegará un momento en que el taco comenzará a deslizarse. En este preciso instante dejaremos de tirar y, sin soltar la cuerda, pro-curaremos que la tabla mantenga su inclinación. La tangente del ángulo que forman la tabla inclinada y el suelo, tiene el valor del coeficiente estático de rozamiento entre el taco y el plano inclinado. Se puede obtener el coeficiente estático de rozamiento (me), dividiendo la longitud a por la longitud b. Es decir, me = a / b.

Coeficiente cinético de rozamiento

(37)

Para comprobar cuándo el movimiento es uniforme, haremos uso tanto de la regla graduada, con la que dividiremos previamente en partes iguales la longitud del plano inclinado, y del cronómetro. Sólo habrá que conseguir que el taco recorra los tramos iguales en tiempos iguales. Al igual que en el caso anterior, podemos hacer el cálculo m c = a / b. Por supuesto que aquí, tanto a como b tendrán valores distintos a los del caso anterior.

Se observará que en este caso, el ángulo es un poco más pequeño que en el anterior. El coeficien-te cinético de rozamiento es menor que el estático.

Conclusiones

Los coeficientes que se han obtenido son por deslizamiento.

Los resultados nos indican que la resistencia que ofrece un cuerpo a iniciar el movimiento es mayor que la ofrecida a mantenerlo con movimiento rectilíneo y uniforme.

2.2.1 Momento de torsión y equilibrio rotacional

En los capítulos previos nos hemos referido a las fuerzas que actúan en un solo punto.

Exis-te equilibrio traslacional cuando la suma vectorial es cero. Sin embargo, hay muchos casos

en los cuales, las fuerzas que actúan en un objeto no tienen un punto común de aplicación.

Tales fuerzas se denominan

no concurrentes. Por ejemplo,

el volante de un automóvil es girado por fuerzas que no

tienen un punto común de aplicación. Un mecánico ejerce

una fuerza en el maneral de una llave para apretar un perno.

El ingeniero considera las fuerzas de torsión que tienden a

arrancar una viga de la pared. En tales casos, puede haber

una tendencia a girar que definiremos como momento de

torsión. Si aprendemos a medir o a predecir los momentos

de torsión producidas por ciertas fuerzas, podremos obtener

los efectos rotacionales deseados. Si no se busca la rotación,

no debe haber ningún momento de torsión resultante. Esto

conduce, naturalmente, a la condición de

equilibrio

rota-cional, que es muy importante en las aplicaciones

industria-les y de ingeniería.

Condiciones de equilibrio

Cuando un cuerpo está en equilibrio, debe estar en reposo o en estado de movimiento

rectilíneo uniforme. De acuerdo con la primera ley de Newton, lo único que puede alterar

esta situación es la aplicación de una fuerza resultante. Hemos visto que si todas las fuerzas

que actúan sobre un cuerpo tienen un solo punto de intersección, y la suma vectorial es

igual a cero, el sistema debe estar en equilibrio. Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas

que no tienen un punto de intersección, puede existir equilibrio traslacional pero no

ne-cesariamente equilibrio rotacional. Por tanto, al estudiar el equilibrio debemos tomar en

consideración no sólo la magnitud y dirección de cada una de las fuerzas que actúan sobre

un cuerpo, sino también su punto de aplicación.

Considérese el arreglo que se muestra en la figura 26 (a), en el que dos fuerzas

F

(38)

sa-tisfacer la posibilidad de movimiento rotacional. Un

enunciado formal para esta condición será dado un

poco más adelante.

a) Hay equilibrio cuando las fuerzas tienen la

misma línea de acción.

b) No hay equilibrio cuando las fuerzas

opues-tas no tienen la misma línea de acción.

En la figura 26 (b) las fuerzas

F no tienen la

mis-ma

línea de acción. La línea de acción de una fuerza

es una línea imaginaria extendida indefinidamente a lo

largo del vector en ambas direcciones.

Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se

intersecan en un mismo punto, puede producir

rota-ción respecto a un punto llamado

eje de rotación. En

nuestro ejemplo, el eje de rotación es una línea

imagi-naria que pasa a través del perno perpendicular a la página.

2.2.2 Brazo de palanca

La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de una fuerza recibe el

nombre de

brazo de palanca de esa fuerza. Este factor determina la eficacia de una fuerza

dada para causar movimiento de rotación. Por ejemplo, si aplicamos una misma fuerza

F a

distancias cada vez mayores del centro de una gran rueda, nos será cada vez más fácil lograr

que gire. (Véase figura 27).

El

brazo de palanca de una fuerza es la distancia perpendicular desde

la línea de acción de la fuerza al eje de rotación.

F F

N

W F

F

F

F F

F N

W (a)

(b)

Figura 26

B

F

C

F

A

F

Figura 27

Si la línea de acción de la fuerza pasa por el eje de rotación (punto A de la figura 27), el

brazo de palanca es igual a cero, y se observa que no se produce ningún efecto de rotación

sobre la rueda, sin importar la magnitud de la fuerza. En este ejemplo simple, el brazo de

Figure

Tabla 1  Coeficientes de fricción aproximados

Tabla 1

Coeficientes de fricción aproximados p.26
Figura 20 AA B W CC 30º30ºA60º Figura 21

Figura 20

AA B W CC 30º30ºA60º Figura 21 p.33

Referencias

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