Capítulo 1
Sucesos y probabilidades
1.1. Experimentos con el azar
Mucl¡as acciones producen resultados que son en cierta medida impredecibles a priori; tira¡ una moneda o lanza¡ un da¡do son ejemplos sencillos. La teoría de probabiüdad€r¡ se ocupa de ese tipo de acciones y de sus consecuencias. La teoría matemática arrar¡ca con la idea de erperimento (o pruefu), que es algrin procedimiento u operación cuyo resultado no está predeterminado; este orperi-mento se reformulia como un objeto matemático al que llamamos un espocio de prohbilidnd. En términos generales, el espacio de probabilidad correspondiente a un experimento dado consta de tres cosas:
(i) el conjunto de todos los resultados posibles del experimento,
(ii) una lista de las cosas que pueden o no suceder en vista de ese resultado,
(iii) una decla¡ación de cuán probable es que se cumplan.
Por ejemplo, si el o<perimento es el de tira¡ un dado ordinario de seis caras, bien equilibrado, el espacio de probabiüdad consta de
(i) el conjunto {1,2,3,4,5,6} de los posibles resultados,
(ii) una lista de sucesos como tel resultado es 3', tel resultado no es menor que 4', 'el resultado es utr número primot,
(iii) la declaración de que cada uno de los números {1,2,3,4,5,6} es igualmente probable como resultado.
Para cualquier o<perimento en el que intervenga el azx, hay su correspon-diente espacio de probabilidad, y el estudio de tales espacios es lo que se lla.m¿ t¿,orío de prcbahilidod. A continuación veremois con m¡ís detalle cómo construir esos espacios.
4 Capítulo 1. Sucesos y probabilidades
L.2. Resultados y sucesos
Usamos la letra € par.a^ nombrar un cierto ocperimento cu¡o resultado es incierto. La primera cosa que hacemos es una lista de todos los posibles resultados de á; el conjunto de esos resultados se llama el esp,cio mueshvl de € y se denota habitualmente como O. La letra griega o designa un elemento cualquiera de O, y lla,mamos a cada tal elemento ar de O ún &L&so elementaL
Si por ejemplo el experimento á consiste en tirar un dado equilibrado una vez, entonces
O : {1,2,3,4,5,6}.
Hay muchas oosas que podemos preguntar acerca del resultado que tenga este experimento (preguntas como '¿fue eI rcsultodo un númeto pri,mo?'), y todas ellas pueden reformularse en términos de subconjuntos de O (la pregunta anterior se reduce a'¿estó, el rcsaltoilo en el submnjunto {2,3,5} deQ?').
La segunda cosa que hacemos es una lista de todos los sucesos que puedan interesarnos; esa lista toma la forma de una colección de subconjuntos de On en la que cada subconjunto ,4 representa al suceso tel resultado de á está en .A'. De modo que nos preguntamos cuáles de estos sucesos pueden interesarnos, y hacemos una lista de los mrrespondientes subconjuntos de Q. Esta relación entre cu&sos y subunjuntos es muy natural, sobre todo porque dos o m¡ís suc€sos se combina,n entre sí en la misma forma que los correspondientes subconjuntos; por ejemplo, si á y B son subconjuntos de O, entonces
el subconjunto .A U B corresponde al suceso 'ocurri6 A o B', el subconjunto ,4 ñ B corresponde al suceso 'ocurrieron arnbos: A y B', el subconjunto O \.4 correspondel al suceso t.A no ocurre',
donde decimos que un subconjunto C deQ octtttv si el resultado de á está en C. De ese modo, cada combinación o enunciado que se haga con subconjuntos de O tiene su traducción en términos de sucesos; por ejemplo, la fórmula
a \ ( á n B ) : ( a \ Á ) u ( o \ B )
se puede leer como: 'si Ay B no ocurren alavez, es porque, o bien ,4 no ocurre, o bien B no ocurre'. Del mismo modo, si At,Azr... son sucesos, entonces el conjunto UE, Á, y el conjunto l-lE,4 representan respectivamente los sucesos f.4¡ ocürr€, para algún i' y 'A¿ ocurre, para cada i t.
De forma que escribimos una colección f : {A¿ : i e I} de subconjuntos de O que nos interesa¡ y lla"rnarnos srr&so a cada .4 € .F. En casos simples, como el mencionado de tira¡ el dado, solemos toma¡ como f el conjunto de todos los subconjuntos de O (el llamado conjunto ile partes de O), pero por ra,zones que se entenderán m:ís tarde, hay muchos casos en los que se usa como f una colección mucho más pequeña que el conjunto total de partes.
( 1 ) (2)
t-gl
1.2. Resuhados y sucesots 5
En todo caso, o<igimos que es¿ selección tenga una cierta consistencia, en el sentido siguiente: si 4,8,C,... € f, cabe esperar que estemos interesados ta¡¡¡bién en los sucesos t-Á no ocurret y tde los sucesos ArBrC,..., ocurre al menos unot. Con esa idea, exigimos que f cumpla la definición siguiente.
Una colección f de subconjuntos del espacio muestral O se llama w espacio d,e $tesos si
f es no vacío,
s i A e f , e n t o n c e s O \ A e f ,
si A¡,A2,... € f, entonces UE.tr e f.
Resumimos Io anterior diciendo que un espacio de sucesos f a enado por Ios opemciones de tomar annplanentarios y aniones nwnembles.
Una consecuencia elemental de los a)domas (1)-(3) es que en uu espacio de sucesos f tienen que estar el conjunto ualc;ío O y el total O. Esto es cierto porque algrín conjunto A debe esta¡ en f (por (1)), y en cor¡secuencia ta,nrbién su complementario O\.4 (por (2)), y por fin la unión de a,mbos, Q :.4U(O\/), juuto con el complementario O \ ll: 6 de ésta
última-He aquí algunos ejemplos de pares (O,f) de espacios muestrales y espacios de sucesos.
Ejemplo 4
Q es cualquie.r conjunto y f es el conjunto de partes de O. !
Ejemplo 5
O es cualquier conjunto y f = {o,A,A \,4,O}, donde á es un cierto
subconjunto de O. D
Ejemplo 6
d¿- {1,2,3,4,5,6} y f es la siguiente colección de subconjunüos de O: o , {t,2}, {3,4}, {5,6}, {1,2,3,4}, {3,4,5,6}, {5,6, 1,2}, Q. No es probable que este espacio de sucesos ¿parezÍ:. de manera natural en
la pníctica. !
Ejercicios
En estos ejercicios, O es rm conjunto y f es un espacio de sucesos formado por subconjrmtos de O.
l. Si .4,.B € .F, proba,r qrc An B e f .
2. La üfercrcia .4 \ A de dos zubconjrmtos á y B de O se define como el conjunto .4 n (O \ B) de los puntos de O qrre estrín en r{ pero no en B.
Si á, B € f, proba,r que .4 \ .B e .F.
3. La dilercrnia simétric¡ AAB de dos subconjrmtos A y B de O se define como el conjrmto de los puntos de O que están eü I o m B pe¡o ¡ro en a¡nbos. Si Á,.B € .f, probar qrre AA,B e f .
Capítulo 1. Sucesos y probabilidades
4. Si At,Az,...,A^ € f y k e un e.¡te¡o positivo, probar que p€rterece también a f el mnjunto formado por los prmtos de O que estrin en er<acta,mente & de los m subconjuntos ,4i (el caso m :2, k = 1, e¡a el ejercicio anterbr).
5. Probar que si O es un conjrmto finito, f consta de un nrlmero par de subcoajuntos de O.
1.3. Probabilidades
Partiendo de un experimento á, hemos deñnido ya el espacio muestral y el de sucesos, pero hasta ahora no se han mencionado las probabilidades. La tercera cosa que hacemos es asignar una probabilidad a cad¿ zuceso de f, llama.ndo P(A) a la probabilidad del suceso .4. Supondremos que esto puede hacerse, y se hace, de tal modo que la función de probabiüdad P cumpla ciertas propiedades intuitivarnente plausibles:
(i) cada suceso :4. del espacio de sucesos tendrá una probabüdad P(.4) conrprendida entre 0 y l;
(ii) el suceso O, equivalente a que'algo sucede', tendrá probabilidad l, y el a,'núa sucede', probabilidad 0;
(iii) si ,4 y B son suoesos disjuntos (es decir, An B : Z), entonces P ( A u B ) : P ( A ) + P(B).
Recogemos estas condiciones en La siguiente definición formal:
Una función P : f + R se llama ttnn medid,a de prcbaWülad sobre (O,.F) si
P ( , 4 ) > 0 p a r a c a d a A e f ,
P ( O ) : l y P ( a ) = Q ,
suoesos disjuntos (es decir, A¿ n A¡ : @ si i + j'),
@ @
P(U,4,):
tp(.4,).
i = l i = l
Recordemos que una medida de probabiüdad P sobre (O,f) estará definida solamente para aquellos subconjuntos de O que sean elementos de f. La segunda parte de la condición (8) es superflua; pa,ra ver por qué, nótese que O,u son sucesos disjuntos con unión dlJ 6 : O , y por lo tar¡to
P ( l ) ) : P ( O u a ) : P ( O ) +P(a), por (9).
La condición (9) exige que b probabilidad de un¿ unión numerable2 de sucesos disjuntm sea la suma de las probabilidades de todos elloe.
'Ut -tjt"t" S * ll"-" r.""rr-b¿e si se puede poDer en correspondencia unoa-uno oon algún subconjunto del conjunto {1,2,3,... } de lc natur¿lee.
(7) (8)
1.4. Espacios de probabilidad 7
Ejemplo 1O
Sea Q un conjunto y ¿ un subconjunto propio de O (es decir, A*A,@). Si .F es el espacio de sucesos {@,A,n \ ¿,O} , entoces cada medida de probabilidad P sobre (O, f) tiene la forma
P ( a ) = s , P ( A ) : p , P ( O \ , 4 ) : I - p ¡ P ( O ) : 1 ,
para algrínp que cumpla 0<p< 1. tr
Ejemplo 11
Sea O : {rt,*",...,{rN} un conjunto finito de exactamente N puntos y sea f el conjunto de partes de Q. Es fiicil comprobar que es una medida de probabilidad sobre (Q,f) la función P definida pof
8
(13) Prueba
El complementa¡io de f''lEr r{, coincide con la [-f[r(O \.4¡), que es un suceso por ser unión numerable de complementarios de sucesos. Luego la intersección de los A¿ es ta,mbién uD suoeso.
(14)
Prueba
Si A e f , entonces P(.4) + P(O \,4) : 1.
.4, O \ Á son sucesos disjuntos con unión O , luego
1 : P(O) : P(Á) + P(o \ /). n
(15) Si .4, B € f, entonces P(Au B) + P(.4 n B) = P(.4) + P(B). Prueba
El conjunto .4 es la unión disjunüa de los conjuntos .A \ B, A n B, luego P(,4) : P(,4 \ B) + P(á n B) , por (9). Lo mismo se puede decir de B, resultando en total
P ( r 4 ) + P ( B ) : P ( á \ B ) + 2 P ( A n B ) + P ( B \ , 4 )
(16)
Prueba
: P((,4\B)u(ánB)u(B\/))+P(AnB),
p o r
( e )
:P(Au B) + P(Án
B).
tr
Si A,B e f y AC B, entonces P(A) S P(B).
Como.A y B\á son disjuntos, P(B): P(/4) + P(B\, ) > P(r{). tr
Suele ser útil dibujar diagramas de Venn al trabajar con probabilidades. Por ejemplo, para ilustrar la igualdad (15) podemos dibujar el de la Figura 1.1 y obserr¡a¡ que la probabiüdad de AU B 6 P(,4) + P(B) - P(á n B) porque esta última se cuenta dos veces en la suma P(,4) + P(B).
Fig. 1.r Diagr¡ne dg yenn que ilustra la igualdad P(.4U.B) : P(A) + P(B) - P(.4n8).
Capítulo 1. Sucesos y probabilidades
Si A1, A2, -. - € f , entonces f^lEr,{¡ € f.
p(,4):
* 14.
Ejercicios
6. Sean p1, p2, . . ., p¡v núme¡os ro negativos tales que pr * pz * . . . * pn : l, y sea dl = {uy,uz. . .. , r,r¡}, con .F el conjunto de partes de O, como en el Ejenplo 11. Probar que l¿ ñ¡¡ción Q dada por
Q @ ) : D . r ¿ a P ; , ¡ r a r a á € / ,
es ua medida de probabüdad sobre (O,f). ¿Es Q un¿ medida de probabiüdad si .f no es el conjunto de partes de O, sino sólo un cierto espacio de zucesos formado por subconjrmtoo de O?
I.4.
Espacios de probabilidad
Combina,mos ahora las ideas ar¡teriores y definimos un esp,cio d,e prcbobilidad como una terna (O, f, P) en la que
(i) O es un conjunto,
(ü) f es r¡n espacio de sucesm formado por subconjuntos de O, (iii) P es una medida de probabilidad sobre (O,f).
Hay muchas consecuencias elementales de los arciomas que. esta definición engloba, y pasa¡nos a,hora a mencionar alguna.s de ellas.
Sea (O, f, P) un espacio de probabilidad.
(12) Si A,B € f, entoncesa A\B e f .
Prueba El complementario de .4 \ B coincide con (A \ A)u B, que es unión de dos sucesos y por lo tanto un suceso. Luega también lo es á \ B, por (2). D
3E,l ol'dinal l,4l de un conjunto á es el número de sug elementos. aA
1,5. Espacios muestrales discretos
Ejercicios
7. Si A,B € f, probar que
P(/ \ B) : P(.4) - P(.4 n B).
8. Si A,B,C € f, probar que
P (Au Buc) : P(,4)+p(.B)+p (C) -p (AnB) -p (Anc) _p (Bnc) +p (AnB nc).
9. Sean A,B,C sucesos tales que
P ( A ) : 5 ¡ 1 s , P ( B ) : 7 / r 0 , P ( C ) = 6 / 1 3 , P ( / n B ) : 3 / r 0 , P ( B n C ) : 4 / r 0 , p ( A n c ) = 2 / r o ,
P ( A n B n C ) = r / r 0 .
Usando un diagremr de Venn o de otro modo, hallar la probabilidad de que ocru¡an er@ctanente dos de los tres sucesos A,B,C.
10. Se ti¡a 10 r¡eces una moueda equübrada (de modo que la probabilidad de qne salga ca¡a es cada w l/2). Describir m detaüe el es¡racio de probabiüdad pertinente cuando
(i) interea conside¡a¡ el resultado de cada ttada, (ii) sólo interesa el nlme¡o total de caras.
En el primer caso, tendrá que haber 22to sucesos en.F, ¡rero en el segundo caso, sola,mente 2rr.
L.5. Espacios muestrales discretos
Sea á un o<perimento con espacio de probabilidad (O,f, P). La esüructu¡a de este espacio depende mucho de si Q es un conjunto numerable (es decir, finito o infinito numerable), o si por el contra¡io es no numerable. En el primer caso se suele tomar como .F el conjunto de todas las partes de O, por la razón siguiente: supongamos que Q - {ut,a2,... }, y que interesa saber, para cada o, € O, si fue ése o no el resultado del experimento; eso supone pedir que cada conjunto elemental {r.r} esté en .F. Sea / g O. Como A es numerable (por serlo O), á es unión de una ca¡tidad numerable de esos conjuntos elementales: A: U,E¡{u} €. f , por (3). La probabilidad P(:{) del suceso .¡{ viene entonces determinada por las probabiüdades {p({,¿}): ar € O}, puesüo que, por (g),
P(.4): I pt{r}).
a € A
Solemos escribir P(o) para la probabilidad p({r}) de un sumo que contiene sólo un punto ar € O,
Ejemplo 17 Renltados eqÁyabables.
Si O : {or,¡.D,...,rr¡v} y P(ari) : P(ar¡) para cada i,j, entonces P(o):1/N para caAau € O, y P(A) :lAl/N para cada AgO. ü
10 Capítulo 1. Sucesos y probabilidades
Ejemplo LE Entercs aleatnrios.
Hay afirmaciones que son uintuitivamente cla¡astt pero que no tienen sen-tido en teorla de probabilidades, como ésta por eje.mplo: si escogemos an enterc posiüao al ozor, Iwbnú prcbobilidod 1/2 de qte sea par. Si interpretamos ual aza¡" como la a,firmación de que cada uno de ellos tiene igual probabilidad de ser escogido, y lla.ma,mos p a esa probabiüdad, el espacio de probabilidad (O, f, P) del ocperimento será
( i ) O : {1,2,...},
(ii) f es el conjunto de partes de O,
(iii) si .4 e Q, entonces P(á) : Dr.¿ P(i) : plA| Pero entonces
si p - 0, se tendrá P(O) : ![t 0 = 0, si p ) 0, se tendrá P(O) : DXrp: oo, y ninguna de esas posibilidades respeta la regla de que P(O) : 1. Una posible forma de dar sentido a la afirmación citada sería la siguiente: fijado un entero positivo N, sea á¡y el experimento de escoger al aza¡ un elemento del conjunto de enteros O¡ = {1, 2, . . . , JV}. La probabilidad de que el resultado de álv sea par es
1/2 si .rV es par,
|tt - f l si N es impar,
de modo que, al toma¡ N + oo, esa probabüdad tiende a 1/2. Pese a esta versión plausible del contenido de la frase, insistimos en que, en la forma dada, es un¿ afirmación sin sentido, que cualquier probabiüsta serio
debería evita¡. n
Ejercicios
Ios problemas mls ele¡oentales en teorla de probabüdades se basan el ocperi-meroto€ como barajar un mazo de cartas o tira¡ un dado, eu los que suele da¡se el caso de que todos los posible resr¡ltados sean igualmente probables, mmo en el Ejenplo 17. Esos problenas se zuelen reducir al proble.ma de anúar el n¡úmem de montos en las qn tn determinofu anceso ptde dcrse; los que sigum son ejercicios de ese tipo.
11. Proba¡ que si se tira u¡a mo¡eda n \re,ces, hay eccacta,mente
/"\ n!
\t/
:
n5=¡
secuencias posibles de resultados en las que apa¡ezca¡r o<ac,tam€nte É caras. Si la moreda estó equübrada (de modo que cara y cnrz son igual de probables e¡r cada ttada), probar que la probabilidad de que salgan al menos r ca,ras €sr
1.5. Espacios muestrales discretos 11
12. Se distribuyen aI azar r bolas distinguibks (por ejemplo, nuneradas) en n cajas, que permiten poner cualquier nrlmero de bolas m cada una. Probar que (i) hay z" r¡ar¡eras posibles de hqcerlo,
(ii) hay ([)(n - f)"-e de ell,as en las que la primera caja recibe exactanente & bolas,
(iü) si cada bol¡ r¡¿ a para¡ con igual probabiüdad a cualquiera de las cajas, la probabiüdad de que la primera caja reciba e:ractanente /c bolas es
/-\
| '. l1r7n¡-1r
- r/n)'-*
13. Probar que la probabilidad de que reciba u ¿s cada r¡no de bs cuatro jugadores en un juego de üridges es
,#:o.ro55
14. Fijados dos de esos cuatro jugadores, proba¡ que la probabilidad de que reciban mtre los dos exacta¡nente lc ases es
(o\( * \ r/*\
\u/ \* -*)/ \za)
15. Proba¡ que la probabilidad de que rmo determürado de esos cuatro jugadores reciba 6 picas, 3 corazones, ! di¡mnntss y 2 trébobs es
16. Explicar cu¡il de las siguientes cosas¡ ea -á. probable: (i) sacar al menos u.n seis en 4 tiradas de un dado, o (ii) sacar al menos un dobleseis m 24 tiradas de dos dados.
Esto se conoce como la paradoja de de Mhé; Antoine Gombaud, Cheaaker de Méré (1607-8/) fue un ensayista y ocperto jugador que había llegado a obstr:.tor lr ma¡or frecuencia de r¡¡o de estos sucesos, pese a c¡eer gue debierab tener igual probabüdad; planteo esa contradicción al filósofo y matemático Blaise Pascal.
sNotl op¡, tR¡oucron. Poco hay que saber sob¡e et hed@e para este ejercicio y los siguien-tcs: las 52 c¿rtas (t3 por polo) se ¡ep¿rten ¿l comienzo ent¡e los 4 jugadores; y en cada uno de loe palos (orczones, díomontes, pins, tr'ébobs) bay un as.
(1e)
12 Capítulo 1. Sucesos y probabilidades
1.6.
Probabilidades
condicionadas
Sea á un enperimento con espacio de probabilidad (O, f, P). A veces podemos tener información parcial sobre el resultado de á sin saber exacta,mente cuál ha sido. Por ejemplo, si tiramc un dado y un amigo nos informa de que ha salido un número par, este dato carnbia todos nuestros crílculos de probabilidades sobre qué núrnero salió. En general, si A y B son sucesos (es decir, A,B €. n y si tenemos el dato de que B ocurrió, la probabilidad de á no puede, con esa información, seguir siendo P(,4). Está cla¡o que en tal caso á ocurre si y sólo si AA B ocurre, lo que sugiere que su nueva probabiüdad será proporcional a P(.4 n B). Formalicemos a,hora toda esta cha¡la intuitiva en una deúnición.
Si .4, B € f , an P(B) > O, la prcbaülidad ile A condicionoila o B se denota P(AIB) y se define así:
P(AIB) = P(An B) / P(B)
Nótese que la constante de proporcionalidad escogida en (19) es la adecuada para que P(B|B), Ia prcbabilülad ile B conücionado a B, sea 1. Debeuros a.hora verifica¡ que esta definición produce un espacio de probabilidad.
Teorema 1A
Si B e f , con P(B) ) 0, y si defrnimos Q : f
- R amo Q(A) : P(A|B), entonces (Q,F,Q) es un mpacio de probabiüdad.
Prueba Sólo necesitamos probar que Q es una medida de probabilidad sobre (O, f). Se tiene Q(.4) ) 0 para cada A e f , y
Pto q B) a ( o ) : P ( Q l B )
luego sólo falta probar que I cumple (9). Supongamos que á1,42,. . . son suoesos disjuntos de f. Entonces
Q(u;A;) : P((u¡,4) n B) /P(B) : P(u¡(A n B)) /P(B)
: !, P(.Ai n B) /P(B) , puesto que P cumple (9)
:D¿Q(A)'
o
Ejercicios
17. Si (O,.F,P) es un espacio de probabüdad y A,B,C son sucesos, probar que P(Añ B nC) =P(AIB nc)P(Blc)P(C)
siempre que sea P(B n C) > 0. 18. Probar que
pt B) P(BlÁ) : P(,418);üÍ
s i P ( Á ) > 0 y P ( B ) > 0 .
(20)
( 2 1 )
1.7. Sucesos ¡ndepend¡eñte 13
19. Considérese el eccperimeuto de tirar 7 veces u¡¿ moneda equiübrada. Halla¡ la pmbabiüdad de que el nrlmero de ca¡as ¡esulte se¡ primo, si sabemos que ha salido ca¡a en al
-enos 6 de las ti¡adas.
t.7.
Sucesos independientes
Llarnamos irulepenilientes a dos sucesos A, B si el que ocurra uno de ellos no cambia la probabiüdad de que ocurra el otro; dicho ¡n¡ís formrlÍ¡ente, esto significa que si P(A), P(B) > 0, entonces
P(AIB): P(/) , P(BIA): P(B) y al escribir P(AIB)
- P(An B)/P(8), descubrimos que la siguiente definición es la adecuad¿:
Se dice que los sucesos A,B de un espacio de probabilidad (O,f,P) son inilepenüentes si
P ( A n B ) : P ( z { ) P ( B ) y dependáentu en caso contra¡io.
Esta definic¡ón es ügera,mente mrís general que (20) porque permite que .4 y B tengan probabilidad nula. Se generaliza sin dificultad a más de dos sucesos:
Los sucesos de una fa,miüa A: {A¡ : i e I} se lla,man inilepe.nüentes si
P(f^| .¿ á,) : II¡e¡ P(A¡) , para cada subconjunto finito ./ de f, y se llaman ind,ependientes d,os a ilos si (22) se cumple siempre que sea lJl : Z.
De modo que tres suceso's A, B,C son independientes si y sólo si se cumplen todas las igualdades siguientes:
P ( A ñ B n C ) : P ( , 4 ) P ( B ) P ( C ) , P ( á n B ) : P ( A ) P ( B ) P(B n C) : P(B) P(C) , P(AñC): P(A) P(C)
Hay familias de sucesos que no son independientes, pero sí independientes dos a dos.
Ejemplo 23
Suponer que tiramos un dado equilibrado con cuatro caras (que podemos pe¡rsa¡ como un cuadrado-dado en un rrniys¡'ss 2-dimensional). Podemos tomar entonces Q : {1,2,3,4} con cada rrr € Q igualmente probable. Los suoesos A: {1,2}, B : {1,4}, C : {1,4}, son independientes dos a dos,
pero no independientes. ú
Ejercicios
20. Seatr A, B zucesos que cumplen P(.4), P(B) > 0, y tales que P(álB) = P(A). Probar qrre también P(Blá) : P(,B).
14 Capítulo 1. Sucese y probabilidades
21. Si los sucesos ,tl,8 son disjuntos e indepe¡rdientes, ¿qué podemos decir sobre la probabiüdad de cada r¡¡o?
22. Proba¡ que los sucesos .4, B son independientes si y sólo si los zucesos .4, O \ B son indepeadientes.
23. Proba¡ que los sucesos At, Az, . .. ,4- son independientes si y solo si son inde pendientes los sucesos O \ A¡, O \ 42,...,O \ /4-.
24. Sí At,42,..., A- son independimtes y P(ár) - p para i = !,2,...,m, halla¡ Ia probobüdad de que
(i) ninguno de los ,4i ocu¡rai (ü) un nrlmero par de los á¡ ocu¡:an.
25. Tenemos sobre l¡ m€sa lm dado muy peculia¡, con ru¡ núnero primo de caras equiprobables, y }o tiranos r¡na sola vez. Probar que no puede habe¡ dos sucesos A, B que sean independientes, salrc si u¡o de ellos es el suceso r¡acío o el espacio muestral completo.
1.8. Particiones: la fórrnula de la prcfubi.lidad
total
Sea (O,f, P) un espacio de probabilidad.
U:ara paúición es una colecciór {.B¡ : i e I} de sucesos disjuntos (es decir, Bif\ B¡ : o si i * i) con unión l-lr B¡ : Q.
La siguiente fónr¿u.la k Ia ptobabilidad total es extremadamente útil:
Teorema 18
Si {B¡ : i e .f} es una partición de Q tal que P(B¿) } O para cúa i, P(/) : Dr P(r{lBr)P( B¿), pra cda A < F.
Esta igualdad está estrecharnente relacionada con la que suele lla.¡narse fónrnila ile Bages.
Prueba
P ( , 4 ) : P ( á n ( U , . B , ) ) : P ( U i ( A n B i ) )
(22)
: D r P ( . 4 n B i ) , = Dc P(.4lBr)P(Br) ,
por (9)
por (19). tr
He aquí un ejemplo de este teoreura en acción.
Ejemplo 24
1.9. Las rnedidas de probabilidad son continuas
Solución:
Se¿ A el suceso de que llegue tarde, y B el suceso de que llueuc. El par B, E es una partición del espacio muestral (puesto que ocurirá una oosa o la otra). Si aplicarnos el Teorema 18, resulta
P ( , 4 ) :
P ( A | B ) P ( B )
+ P ( A | B " ) P ( B ) :
t . 3 + 8 . 8 : # .
n
Ejercicios
26. He aqul un problema rutina¡io sobre bolas en unras. Teoe¡nos dos unras: l¡ Ilrna I contiene 3 bolas blancas y 4 negras, y la Uraa II contiene 2 bolas blancas y 6 negras. Se toma al aza¡ rma bol¿ de L¡ Urna I, que se deposita en Ia Urna II. A continuación se toma r¡na bola al aza¡ de esa Urna II. ¿Qué probabilidad hay de gue sea negra?
27. Ura cierta moneda produce cara al ti¡a¡la cou probabüdad p = | - g. Se¿ u. lr probabilidad de que, en rr tiradas, no salgan dos ca¡as seguidas. Probar que se tiene Ix¡a r¿ ) |
,rn*2 = q,-.+r + wun
y hallar u- por el méüodo habitual (descrito en el Apéndice) si,p:2/3. (Indicación: usa¡ el Teorema 18, siendo B; el sucrcso de que en las d - I primeras tiradas salga cara y en la i4sima salga cruz).
1.9. Las medidas de probabilidad son continuas
Hay una cierta propiedad de las medidas de probabilidad que será crucial m¡ís tarde y que pasamos al¡ora a describir. No se debería poner a estas altuas dernasiado énfasis en esa propiedad, y por eso recomenda,u¡os vivamente al lecüor que omita esta sección en la primera lectura.Una sucesión de sucesos At, A2,.. . en un espacio de probabilidad (O,.F, P) se llama aecie¡úe si
A t e A z c . . . E ü q c A n g A n + t e . . .
L¿ unión.A : UEr .4¡ de unatal sucesión se llam¿ sulúnite, y es consecuencia inmediata de los axiouras de un espacio de sucesos que.A es un suceso. Quizá no es sorprendente que la probabilidad P(.4) se pueda ercpresar como el lím"-- P(.,{") de las probabilidades de los -4..
Teorema lC
Sea (Q,f,P) un espacio de probabiüdad. Si 41,42,... es un¿ sucesjó¡ creciente de suoesos de f can límite A, se tiene P(á) : lím.*- P(A") .
Antes de la prueba del teorerna, darnos una aplicación del mismo.
Ejemplo 25
Es intuitivamente cla¡o que La probabilidad de no saca¡ ninguna ca¡a en una secuencia infinita de tiradas de una moneda equilibrada debe ser 0.
1 5 Capítulo 1. Sucesoc y probabilidades
Una prueba de esto es como sigue. Sea á. el suceso de que en las primeras r¿ tiradas sale ca¡a al menos una vez. Cla¡amente
An C Ar¡1 PáJa fl,: 1r2r...,
es decir, los .4, forman una sucesión creciente; el conjunto límite á es el suceso de que aparezca mrás pronto o miís tarde alguna cara. Segúr¡ el Teorem¿ lC.
P(Á) : lÍm.** P(.,{"); pero P(.4.) : l-(L/Z), de modo que se tiene P(A')
- 1 cuando r¿ + oo . Por lo tanto P(,4) : l, de donde la probabiüdad de que nunca salga una c¿ra es P(O \,4) : g .
Prueba del Teorema
Sea B¿ - Á¡ \ Á¡-r para i : 2,3,.,. Entonces á es la unión A : A t U B z U 8 t . . .
de sucesos disjuntos de f (esto se ve claramente con un diagrama de Venn). Por (9),
P(A) : P(á¡) + P(82) + P(.B3) + - - . : P(,4r) * lím,-- DL|P(B*)
Pero por otro lado, P(B¡): P(A;)-P(Ar-t) para i:2,3,... ,luego
P(.4) : P(,41) + lím.-* Dt, [P(ár) - P(,{r-¡)] - lim,-* P(.r{.) porque la última suma se reduce a P(Á¿) - P(.Al). D
La conclusión del Teorem¿ lC se ercpresa en términos de sucesiones aeci,entes de sucesos, pero el correspondiente resultado para sucesiones d,ectutienlles es igual de cierto: si B1,fi2,.. . es una sucesión de sucesos de .F que cumplen B¡ C B¡-1 para i : 2,3,..,, entonces P(Íl")
- P(Il) cuando /¿ + oo, donde B : ñLt B" es el límite de los B" cua¡do r¿ + oo. La forma más clara de ver esto es tomar Á¡ : O \ B' en el Teorem¿ lC.
1.10. Problemas resueltos
Ejemplo 26Se tira dos veces un dado equiübrado de seis caras (cuando se aplica a objetos como dados o monedas, el adjetivo 'eqvilibrudo' o 'no sesgod,o' significa que cada posible reultado tiene igual probabilidad).
(a) Describa el espacio de probabilidad de este ercperimento.
1.10. Problemas resueltos
Solución
El espacio de probabilidad de este e:cperimenüo es la terna (O, f, P), donde (i) O: {(i,i), i,i : L,2,-.-,6} es el conjunto de lc pares ordenados de enterm del I al 6,
(ii) f es el conjunto de partes de O,
(iii) cada punto de O tiene igual probabiüdad, de modo que
P ( ( i ' i ) ) : l / 3 6 Pata i, i : I,2,...,6, y mlís en general P(4) : lAl/36 para cada.4 I O. Los sucesos B y C son los subconjuntos siguientes de O:
B : {(i,j) ; i : L,2,3 y j : L,2,...,6}, C : {(i,j) : i + ¡ :6, con i,j : 1,2,...,6}. B contiene 3 x 6: 18 pa¡es ordenados y C, 5 pares ordenados, luego
P(B) = L8/36: r/2, P(C) :5¡36. Por riütimo" B ñ C contiene sólo 3 oares:
B n C :11r, s¡,
12,
a¡,
1s,
a¡1,
de modo que
PoB\:
(urDl:P(9,!,c)
:3/-ffi
ljB)- : I¡/go- : t¡ov
P ( B t c ) : W : T * : t / s .
D
Ejemplo 27
Viaja usted en el tren acompañado de su he¡m¿na, a,mboe sin billete, y el revisor les ha descubierto. Y resulta que está autorizado a administrar un castigo inmediato por esta falta: les presenta una caja con ¡ueve chocola-tinas aparentemente idénticas, pero tres de las cuales contienen un veneno mortffero. El revisor les conmina a que, uno tras otro, escojan una de las cholatinas y se la coman.
(a) Si escoge usted antes que su hermana, ¿qué probabiüdad tiene de so brevivir?
(b) Si escoge usüed primero y sobrwive, ¿qué probabilidad de sobrevivir tiene su hermana?
(c) Si escoge usted primero y muere, ¿qué probabilidad de sobrwivir tiene su hermana?
(d) ¿Le interesa convencer a su her¡n¿na de que elija ella primero? (e) Si elige usted primero, ¿qué probabilidad tiene de sobreviür, suponien-do que su herrnana sobrwive?
Capítulo 1. Sucesos y prúabilidades
Solución
Sea.¿4 el suceso de que la primera chocolatina elegida no está envenenada, B el suceso de que la segunda chocolatina elegida no está envenenada. Un calculo sencillo muestra que
P(A):6¡s, e1a¡e¡ - s7a, P(BlAc) = 6/8, lo que por la fórmula de la probabilidad total (Teorema 18) da
p(B)
: p(Bll4)p(á)+p(BlA.)p(.4")
:
:. 3. 3 O -f,)
:ztt
Por lo tanto, P(B) : P(A), y la rúnic¿ ventaja de escoger después es la de aumentar su esperanza de vida unoe segundos.La última pregunta parece estar en el orden temporal erróneo, puesto que su herma¡a woge ilespÉs que usted. La ma¡era de responderla es co. menzar por el condiciona,miento recíproco, de este modo:
(28)
p@tB):ffi'=p(Bt¿)ft;3,
y por Io ta,nto
P ( A i B ) : :
# : :
Resulta que P(,41.El) : P(B|A), lo que confirma el hecho antes obser\¡ado de que el orden en el que se escoja es irreler¡ante para las probabiüdades de sobrevivir.
1.11. Problemas
1. Se tira un dado equilibrado n veces. Pruebe que la probabilidad de que salga seis un número pa,r de veces (incluyendo 0), es
t / , , / 2 \ " \
t \ ' - \ B /
)
2. ¿Puede haber un espacio de sucesos que m¡ste de er<actammte 6 sucesos? 3. Pruebe Ia desigualdad de Boole:
/ n \ r
r
|.gr,,) s tP(A,)
1.11. Problenras
5. La Urna I contieoe 4 bolas blancas y 3 negras, y la Urna II coatiene 3 bolas blancas y 7 negras. Se esc,oge al a,za¡ u¡¡a de las dos Urnas y se er<tra€ una bola de ella. ¿Cuál es la probabüdad de que es¿ bole sea negra? Si la bola resulta ser blanca, ¿c.Ál es la probabiDdad de que haya sido escogida la Urna I? 6. Se extrae al azar una carta de una baraja de 52 cartas6. De mtre las restantes,
se saca¡¡ dos al azar y ¡esultan ser picas. ¿Cuál es la probabiüdad de que la carta a[terbrmente eurtralda ñrcse de ese mismo palo?
7. Dos personas tiran lnA moneda equübrada, cada una de ellas n veces. Pruebe que la probabiüdad de que anbas saquen el miwo núme¡o de ca¡as es
('"\,,,,r,*.
\ " /
8. En los circuitos de lr Fig. 1.2, cada intemrptor está cemado con probabiüdad p, independientemente de todos los demás. Para cada ci¡cuito, halle la probabüdad de que pueda ci¡cula¡ la corriente entre A y B.
9. Si es ¿' la probabüdad de que rn solgan I carcs seguidas en u¡a serie de n ti¡adas de una moneda equübrada, pruebe que pa¡a ,¡ > 4 se tiene
y^: |u,.-r + lu*-z + | u--e + rtu^-e .
Usando esta ecuación, pruebe que en 8 ti¡adas esa probabüdad es208/256. +10. Cada nrimero t.l € [0, 1] tiene rm desa¡rollo deci-al
u : O . s t s z . . .
y r¡a¡nos ¿ llamar Í*(u,n) a la proporción de r¡eces que el dfgito k aparece en bs n lugares de ese desarrollo. f,lamnmog a ¡¿ w númeto twrmol si
f r ( w , n ) + - a
c u a n d o n + o o , p a ¡ a f t : 0 , 1 , 2 , . . . , I . Intuitir¡amente cabe esperar que lr ma¡aor perte de los núme¡os r.r € [0, f] sean normale, y Borel prob5 que elr efecto eso es cierto. Pero muy otra cosa es probar que un número dado es normal. Se sabe qr¡e es norqal el ntlme¡o
0.1234567891011121314. . .
Pruébelo. Es aún un problema abierto el probar que sea¡t normales (o no lo seao) I o s n r l m e r o s e - 2 y r - 3 .
/\
/1\
A . / - . \
B A , / t \ \ B
\,/'
\l,/
Fig. 1.2 Dos circuitos eléctricos con inte¡ruptorcs.
1 1 .
Capítulo 1. Sucesoe y probabilidades
Se diüde un tablero cuad¡ado m 16 casillas cuadradas iguales mediante lineas a sus lados. En rm¿ de esas casillas, ecogida al azar, se coloca una ficüa que a continuación es desplazada r? veces. En cad¿ desplazamiento, la ficha puede trasladarse, con igual probabilidad, a cualqubra de las casillas vecinas, ya sea horizontal, r¡ertical o diagonalmente.
Sea c. l¿ p¡obabilidad de que la casilla de una detemdnada esquina esté, tras los ¿ movimie¡rtos, ocupada por la ficha, y sea¡l s¿, rn. respectirramente, las correpo:ndimtes probabilidades para ruta de l¡s casillas centrales de un borde y para r¡n¿ de las centrales del table¡o. Pruebe que
4c- + 8s- + 4rnn - 1, para n = O,L,2,,..,
¿ - : ls*-t * t^n-t, para n : L,2,.. ..
Encuentre otras ecuaciones pa¡a g¿ y rr¿¡ €tr termi¡os de c.-r, B*-r y fft¡-r. Deduzca de ellas los r¡alores de c¡¡ s¡ ! rnn. (Oxford 1974M) 12. (a) Pruebe que, pa¡a sucesos Ar , :{2, . . . , A. dados, sus probabilidades cumplen
p (
U A t ) : I
p t ¿ l -
t
p ( A , n A ¡ ) +
. . . +(-r)'*'p( ¡ 4).
r S ¡ S ¡ 1 S ¡ S ¡ ¡ S i < j S ¿ l S ¡ S ¡ (b) Al intentar cierta noche el portero de un hotel colgar n llave, cada una eD su correE)ondiente gancbo, sólo acertó a colgar cada una de ellas al azar, independienteme¡te de las demás; y no habfa llmite para el nrinero de llnves que se podlan colgar en cada gancho. Halle la probabilidad de que al mems u¡a de las llar¡es qudase colgada m su propio gancho.
Tias la reprimenda del gerente a l¿ mañana siguiente, el portero se esme¡ó esa noche en colgar solo una llar¡e en cada gancho, pero sólo consiguió elegir un gancho para cada u.ua al aza¡ e independientemente. Haüe la probabilidad de que esta vez ninguna llave quedase en su lugar corecto.
Halle el llmite de ambas ercpresiones cuando n tiende a infnito. (Puede usa.r que
:;r-* (t *
#)" para cada o real.) (O:&rd 1978M)
13. Dos barajas idénticas, cada una con N cartas, se acabau de barajar. Decimos que se produce w k-utado si las dos coinciden entoDces en er<actanente /c lugares. Pruebe que la probabilidad de que se produzca tm h-rcvetdn e
y que
":Es
,-:*('-+.*
_
I , , ( - 1 ) t - * \3 i
f . . . _
I N : T /
pa¡a lc : 0,1,2,. .., iV. (Rccorda,r que se define 0! = 1).
Nótee que rk x e-r fh! para lV graode y & ñjado. Estas probabilidades de acuerdo son rltiles para juzgar si se desvfan del aza¡ Ios resultados de cosas como tests psicológicos o catas de vinos.
1.11. Probhmas 2t
f4. Los autobr¡ses qr¡e paran al final de mi calle no ¡espeta¡ zu horario. Deberí¿¡ pasar cada cuarto de hora, a las 8:30, 8:45, 9:ü), ... , pero el caso es que cada rmo llega o bien 5 minutoa demasiado tarde, o 5 mi¡rutos demasiado pronto, siendo Ios dos hechos iguslmente probebles, e iadependieut€s para distit¡tos autobuses. Ios viajeros llegan a la parada de tal modo que, f mimrtos tras !a partida de un sutobús, la probabilided de que lo haya nadie es¡rerando al siguiente s e-t16. ¿Cuál es la probabiüdad de que a las 9:00 no haya nadie esperando? Un viajem se acerca a !r pa,rada a las 9:ü) y no \re allf a nadie. Pruebe que la probabiüdad de que haya ¡rerdido el autobrls de las 9:fl) es más que cuatro a uno. (S,e puede usar la aproximación e3 = 20.) (Oxford L97lM) 15. Se tira repetidanente rn¡ ps¡sfla; en cado tirada la probabilidad de cara es p
y la de cruz 1 - p, independientemente de las demás. Sea -E el zuceso de que la primera racha de r caras seguidas se produzca a¡rtes que la primera racha de s cruces. Sea á el resultado de la prime.ra ttada. Pruebe que
P(El A : cora) : p"-r + (l - p"-') P(El A : euz). Halle una erqrresión similrr para P(ElA= anz) y deduzca P(E).
(Oxford 1981M) 16. Conside¡e el P¡oble¡na de Eddington: Si cada uno de los n{etos A,B,C,D dire la verdad, en media, una de cada tres r¡€ces (independientemente de los deoás) y á asegura gue B niega que C declara que D miente, ¿cuál es la probabüdad de que D haya dicüo esta r¡ez la verdad?
*17. Pruebe que si P es frnitamente aditiva, el axioma de que P sea uumerablemente aditiva equirirale al axioma de que P sea contiura. Concretamente, sea O ua conjunto, f un es¡racio de suc,esos formado por subconjuntos de Q y P una aplicación de.F en [0, fl que cunple los tres a><iomas
(i) P(o) = r, P(o): s
(ü) si á,.B € f V AnB = o, entorces P(áUB): P(,4)+P(.B),
(iü) si A : UT r A¿, con At, Az, -.. € f , A; C .A¡+r para cada i, eritonces P ( ¿ ) : i r n P ( / i ) .
Pruebe que entonces P cumple ta¡nbién
p(Ü¡,)
=ir¡a,)
i = l i = ¡ para cada sucesión de sucesos Ai disjuntos.
18. En u¡ cierto equipo electrónico, rur puerto, que puede esta¡ abie¡to o cerrado, f¡rncion¿ de acuerdo con el siguiente modelo aleatorio. En cada miliseglrndo, sl puerto puede cambiar su estado, y los canbios ocwren del modo siguiente: (i) si está abierto, sigue abiento con probabilidad 1-o y se ciema con probabilidad c, (ii) si está cerrado, sigue asl con probabilidad I - 0 y * abre con probabilidad p.
Si0 < a ( 1,0 ( 0 <l,y es 0. l¡probabilidad de qrreelpuerto estéce,rrado al cabo de n milisegundoc, obtenga r¡na relación de ¡ecurrencia para el valor de á', razonando clara,mente cómo ha llegado a ella.
Resuelva justifcadamente su recurrencia pera obtmer 0, eu función de n, a, p
Capítulo 1. Sr¡cesoe y probabilidades
y de la p¡obabüdad áo de que el puerto estuvi€se inicialme¡te cerrado. Deduzca cuánto vale el llm--- d. y expüque intuitir¡a,mente por qué es razonable que éste no dependa de áe.
Ilalle 0. en cada r¡no de bs casos:
a : O : 0 ; o : 0 , A = t ; a = t , A : O ; a = L = 9 .
