Ecuaciones de la Recta en el Plano
Introducci´
on
Existen varias formas de caracterizar con una ecuaci´on los puntos (x, y) que pertenecen a una recta en el plano cartesiano.
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1 Introducci´on
2 Ecuaciones
3 Posici´on Relativa de dos Rectas en el Plano
Introducci´on
Introducci´
on
Tenemos que ser capaces de:
Hay que saber encontrar la ecuaci´on conocidos algunos “datos geom´etricos” (inclinaci´on, un punto por el que pasa, etc.) y conocer “datos geom´etricos” a partir de la ecuaci´on.
Proposici´on:
Recordemos que una recta queda determinada por:
dos puntos
o por un punto y su direcci´on (vector o pendiente).
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Ecuaciones
Ecuaci´
on Vectorial y Ecuaci´
on Param´
etrica
Si de una recta conocemos un punto (a1, a2) y unvector director
v= (v1, v2), podemos escribir sus ecuaciones:
VECTORIAL
Los puntos (x, y) que est´an en la recta son de la forma:
(x, y) = (a1, a2) +λ(v1, v2) = (a1+λv1, a2+λv2) λ∈R
PARAM ´ETRICA
Los puntos (x, y) que est´an en la recta son de la forma:
(
x=a1+λv1
y=a2+λv2
Ecuaci´
on Continua
Despejandoλen cada una de las ecuaciones param´etricas e igualando obtenemos la ecuaci´on:
CONTINUA:
Los puntos (x, y) que est´an en la recta de vector director (v1, v2) y que pasa por el punto (a1, a2) son los que cumplen la ecuaci´on:
x−a1
v1
=y−a2
v2
Ecuaciones
Ecuaci´
on General o Impl´ıcita
Operando desde la ecuaci´on continua y pasando todo al mismo miembro, obtenemos la ecuaci´on:
´IMPL´ICITA O GENERAL
Los puntos (x, y) que est´an en la recta son los que cumplen la ecuaci´on:
Ax+By+C= 0
M´as de una ecuaci´on puede representar la misma recta (multiplos). Se cumple una propiedad muy interesante:el vector (A, B) es perpendicular
(perpendicular al vector director) de la recta.
Tambi´en es muy sencillo escribir directamente esta ecuaci´on:
(1) Conociendo el vector director de la recta y un punto por el que pasa, o
(2) dos puntos y resolviendo un sistema para obtenerA,B yC.
Ecuaci´
on Expl´ıcita
Si una recta no es vertical, de su ecuaci´on implicita podemos despejar lay y obtener la ecuaci´on:
EXPL´ICITA
Los puntos (x, y) que est´an en la recta son los que cumplen la ecuaci´on:
y=mx+n
Esta ecuaci´on establece una relaci´onfuncionalentre ambas variables. La ecuaci´on expl´ıcita es tambi´en muy f´acil de calcular conocidos dos puntos haciendo un sistema.
Adem´as, los t´erminosmyntienen una interpretaci´on geom´etrica muy interesante:
mes lapendiente(lo que la recta sube dividido por lo que avanza).
Ecuaciones
Ecuaci´
on Punto-Pendiente
Si tenemos la pendiente y un punto, la ecuaci´on m´as sencilla de obtener es la:
Punto-Pendiente
Si una rectarpasa por un punto un puntoA= (a1, a2) y tiene pendientem los puntos de la misma satisfacen la ecuaci´on:
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Posici´on Relativa de dos Rectas en el Plano
Versi´
on Sint´
etica
En la Geometr´ıa de Primaria aprendimos que, dadas dos rectasrysen el plano, pudiera pasar que:
rysfueranparalelas=⇒ r∩s=∅.
rysfueransecantes=⇒ ∃!P ∈ r∩s. AP se le llama elpunto de cortede ambas rectas.
Versi´
on Anal´ıtica
Si identificamos dos rectasr yscon (la que sea de) sus ecuaciones, estudiar los puntos que pertenecen a ambas (problema geom´etrico) se convierte en resolver un sistema (problema algebraico):
Si el sistema no tiene soluci´on (incompatible) las rectas son paralelas.
Si el sistema tiene una ´unica soluci´on (compatible determinado) las rectas sonsecantes.
Si existe una recta entera de soluciones (compatible indeterminado) las rectas soncoincidentes.
Pero muchas veces hayatajosque nos permiten ahorrarnos el sistema:
Si dos rectas tienen direcciones diferentes, entonces son secantes(basta mirar que no tienen el mismo vector director, o el mismo vector normal).
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Angulos entre rectas y distancias en el plano
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3 Posici´on Relativa de dos Rectas en el Plano
´
Angulos entre rectas
Si dos rectas son secantes o coincidientes, se define el´anguloentre ellas como el ´angulo entre sus vectores normales.
Un caso importante, como siempre, es el de lasrectas perpendiculares:
rectas que se cortan en un ´angulo de90o.
´
Angulos entre rectas y distancias en el plano
Distancia de un Punto a una Recta
Hay que saber quela distancia de un puntoP a una rectar, es la distancia entreP y la proyecci´on ortogonal de P sobrer. Por lo tanto para calcularla:
Calculo la ecuaci´on (la que sea) de la rectasperpendicular arque pasa porP.
Calculo la proyecci´on ortogonalQdeP sobreR.
d(P, r) =d(P, Q).
Tambi´en hay una f´ormula cuandorviene dada con una ecuaci´on impl´ıcita
Ax+By+C= 0 yP = (x0, y0)hay que saber los dos m´etodos:
Distancia entre dos Rectas Paralelas
En general, la distancia entre dos curvas esla distancia entre los dos puntos m´as cercanos (uno de cada una).
En el caso de dos rectas paralelasrys, hay muchos puntos que est´an a la misma distancia. Podemos resolver el problema de dos maneras:
Cogemos un punto cualquieraP ∈ry calculamosd(P, s) que coincidir´a cond(r, s).
Encontramos una rectatsimult´aneamente perpendicular arys. Sean los puntos de corteP der yt yQdesyt, entoncesd(r, s) =d(P, Q).