Ecuaciones de la Recta en el Plano

Texto completo

(1)

Ecuaciones de la Recta en el Plano

(2)

Introducci´

on

Existen varias formas de caracterizar con una ecuaci´on los puntos (x, y) que pertenecen a una recta en el plano cartesiano.

(3)

Outline

1 Introducci´on

2 Ecuaciones

3 Posici´on Relativa de dos Rectas en el Plano

(4)

Introducci´on

Introducci´

on

Tenemos que ser capaces de:

Hay que saber encontrar la ecuaci´on conocidos algunos “datos geom´etricos” (inclinaci´on, un punto por el que pasa, etc.) y conocer “datos geom´etricos” a partir de la ecuaci´on.

Proposici´on:

Recordemos que una recta queda determinada por:

dos puntos

o por un punto y su direcci´on (vector o pendiente).

(5)

Outline

1 Introducci´on

2 Ecuaciones

3 Posici´on Relativa de dos Rectas en el Plano

(6)

Ecuaciones

Ecuaci´

on Vectorial y Ecuaci´

on Param´

etrica

Si de una recta conocemos un punto (a1, a2) y unvector director

v= (v1, v2), podemos escribir sus ecuaciones:

VECTORIAL

Los puntos (x, y) que est´an en la recta son de la forma:

(x, y) = (a1, a2) +λ(v1, v2) = (a1+λv1, a2+λv2) λ∈R

PARAM ´ETRICA

Los puntos (x, y) que est´an en la recta son de la forma:

(

x=a1+λv1

y=a2+λv2

(7)

Ecuaci´

on Continua

Despejandoλen cada una de las ecuaciones param´etricas e igualando obtenemos la ecuaci´on:

CONTINUA:

Los puntos (x, y) que est´an en la recta de vector director (v1, v2) y que pasa por el punto (a1, a2) son los que cumplen la ecuaci´on:

x−a1

v1

=y−a2

v2

(8)

Ecuaciones

Ecuaci´

on General o Impl´ıcita

Operando desde la ecuaci´on continua y pasando todo al mismo miembro, obtenemos la ecuaci´on:

´IMPL´ICITA O GENERAL

Los puntos (x, y) que est´an en la recta son los que cumplen la ecuaci´on:

Ax+By+C= 0

M´as de una ecuaci´on puede representar la misma recta (multiplos). Se cumple una propiedad muy interesante:el vector (A, B) es perpendicular

(perpendicular al vector director) de la recta.

Tambi´en es muy sencillo escribir directamente esta ecuaci´on:

(1) Conociendo el vector director de la recta y un punto por el que pasa, o

(2) dos puntos y resolviendo un sistema para obtenerA,B yC.

(9)

Ecuaci´

on Expl´ıcita

Si una recta no es vertical, de su ecuaci´on implicita podemos despejar lay y obtener la ecuaci´on:

EXPL´ICITA

Los puntos (x, y) que est´an en la recta son los que cumplen la ecuaci´on:

y=mx+n

Esta ecuaci´on establece una relaci´onfuncionalentre ambas variables. La ecuaci´on expl´ıcita es tambi´en muy f´acil de calcular conocidos dos puntos haciendo un sistema.

Adem´as, los t´erminosmyntienen una interpretaci´on geom´etrica muy interesante:

mes lapendiente(lo que la recta sube dividido por lo que avanza).

(10)

Ecuaciones

Ecuaci´

on Punto-Pendiente

Si tenemos la pendiente y un punto, la ecuaci´on m´as sencilla de obtener es la:

Punto-Pendiente

Si una rectarpasa por un punto un puntoA= (a1, a2) y tiene pendientem los puntos de la misma satisfacen la ecuaci´on:

(11)

Outline

1 Introducci´on

2 Ecuaciones

3 Posici´on Relativa de dos Rectas en el Plano

(12)

Posici´on Relativa de dos Rectas en el Plano

Versi´

on Sint´

etica

En la Geometr´ıa de Primaria aprendimos que, dadas dos rectasrysen el plano, pudiera pasar que:

rysfueranparalelas=⇒ r∩s=∅.

rysfueransecantes=⇒ ∃!P ∈ r∩s. AP se le llama elpunto de cortede ambas rectas.

(13)

Versi´

on Anal´ıtica

Si identificamos dos rectasr yscon (la que sea de) sus ecuaciones, estudiar los puntos que pertenecen a ambas (problema geom´etrico) se convierte en resolver un sistema (problema algebraico):

Si el sistema no tiene soluci´on (incompatible) las rectas son paralelas.

Si el sistema tiene una ´unica soluci´on (compatible determinado) las rectas sonsecantes.

Si existe una recta entera de soluciones (compatible indeterminado) las rectas soncoincidentes.

Pero muchas veces hayatajosque nos permiten ahorrarnos el sistema:

Si dos rectas tienen direcciones diferentes, entonces son secantes(basta mirar que no tienen el mismo vector director, o el mismo vector normal).

(14)

´

Angulos entre rectas y distancias en el plano

Outline

1 Introducci´on

2 Ecuaciones

3 Posici´on Relativa de dos Rectas en el Plano

(15)

´

Angulos entre rectas

Si dos rectas son secantes o coincidientes, se define el´anguloentre ellas como el ´angulo entre sus vectores normales.

Un caso importante, como siempre, es el de lasrectas perpendiculares:

rectas que se cortan en un ´angulo de90o.

(16)

´

Angulos entre rectas y distancias en el plano

Distancia de un Punto a una Recta

Hay que saber quela distancia de un puntoP a una rectar, es la distancia entreP y la proyecci´on ortogonal de P sobrer. Por lo tanto para calcularla:

Calculo la ecuaci´on (la que sea) de la rectasperpendicular arque pasa porP.

Calculo la proyecci´on ortogonalQdeP sobreR.

d(P, r) =d(P, Q).

Tambi´en hay una f´ormula cuandorviene dada con una ecuaci´on impl´ıcita

Ax+By+C= 0 yP = (x0, y0)hay que saber los dos m´etodos:

(17)

Distancia entre dos Rectas Paralelas

En general, la distancia entre dos curvas esla distancia entre los dos puntos m´as cercanos (uno de cada una).

En el caso de dos rectas paralelasrys, hay muchos puntos que est´an a la misma distancia. Podemos resolver el problema de dos maneras:

Cogemos un punto cualquieraP ∈ry calculamosd(P, s) que coincidir´a cond(r, s).

Encontramos una rectatsimult´aneamente perpendicular arys. Sean los puntos de corteP der yt yQdesyt, entoncesd(r, s) =d(P, Q).

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...