Física 3-01.pdf

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l l

l q

q q

Prof. A.F.Guimarães

Física 3 – Questões 1

Questão 1

Calcule a distância entre dois prótons para que o módulo da força elétrica repulsiva entre os prótons seja igual ao peso de um próton na superfície da terrestre.

Resolução:

Na superfície terrestre, o peso de um próton é dado por:

(1.1)

A força elétrica de repulsão é dada por:

| | | |

(1.2)

Substituindo os valores do peso e da carga do próton bem como da constante envolvida, em (1.2), teremos:

(

₎

(1.3)

Questão 2

A carga total de duas pequenas esferas positivamente carregadas vale .

Determine a carga total de cada esfera, sabendo que quando a distância entre as esferas é de , a força de repulsão possui módulo igual

a .

Resolução:

Utilizando a expressão de (1.2), teremos:

| | | |

(2.1)

Para a carga total, teremos:

(2.2)

Poderemos utilizar o resultado de (2.1), isolar uma das variáveis e substituir em (2.2). Teríamos dessa forma uma equação do segundo grau a ser solucionada. Porém, uma observação mais apurada, nos leva a procurar dois números cujo produto é dado por (2.1) e a soma é dada por (2.2) sendo os dois números positivos. Logo, teremos como uma possível solução:

(2.3)

Questão 3

Em cada vértice de um triângulo equilátero de lado igual a l, existe uma carga q. Determine o módulo da força que atua sobre qualquer uma das três cargas em função de l e de q.

Resolução:

Considere a figura abaixo como representação da configuração do nosso problema.

Figura 3-1

A resultante das forças que atuam, por exemplo, na carga do vértice inferior esquerdo será dada por:

⃗ ⃗ ⃗

(2)

a a

r r

R

Q _Q

q

θ

𝐹⃗ 𝐹⃗

𝐹⃗

°

𝐹⃗_𝑅

Em que:

| |

(3.2)

O módulo da resultante será dado pela lei dos cossenos. Assim, utilizando (3.2), teremos:

Figura 3-2

°

[ ( )]

( )

(3.3)

Questão 4

Duas cargas positivas iguais estão separadas por uma distância . Uma carga de prova

puntiforme é colocada num plano equidistante das duas primeiras, perpendicular ao segmento de reta que as une. (a) Calcule o raio r da circunferência de simetria nesse plano, para os pontos da qual a força na carga de prova é máxima. (b) Qual a direção e o sentido desta força, supondo-se uma carga de prova positiva?

Resolução:

Considere o seguinte diagrama como representação do nosso problema.

Figura 4-1

Em que

| | | |

(4.1)

A força resultante aponta na direção do raio da circunferência no sentido do afastamento do centro. Seu módulo será dado por:

( )

(4.2)

Procuramos o valor de R para que seja máximo. Tomando a derivada de , teremos:

[

( ) ( ) ( ) ]

(4.3)

Agora, tomando o valor nulo de (4.3), teremos:

( ) ( )

√ √

(4.4)

Questão 5

Uma certa carga Q deve ser dividida em duas: q e Q – q. Qual a relação entre Q e q, para que a repulsão Coulombiana entre as duas partes seja máxima?

Resolução:

Seja a força de repulsão dada por:

| | | |

(5.1)

(3)

θ θ

x

l l

q q

q

𝐹⃗

𝑤 ⃗

𝑇 ⃗ 𝜃

( )

(5.2)

O valor máximo ocorrerá para

. Logo, de

(5.2), teremos:

(5.3)

Questão 6

Duas bolas iguais, de massa m e carga q, estão penduradas por fios de seda de comprimento l, como mostra a figura. Admita que o ângulo θ é

tão pequeno que a tg θ possa ser substituída por sen θ sem erro apreciável. Mostre que, dentro dessa aproximação, teremos:

(

)

onde x é a separação entre as duas bolas. Se l = 120 cm, m = 10 g e x = 5,0 cm, qual o valor de q?

Resolução:

Na situação de equilíbrio, temos, por exemplo, para a carga da esquerda:

Logo,

(6.1) Ou melhor:

(6.2) Em que

(6.3)

Levando em consideração o que foi colocado no enunciado, temos:

(6.4)

Utilizando (6.2), (6.3) e (6.4), teremos:

( )

(6.5)

Substituindo os valores fornecidos, teremos:

(6.6)

Questão 7

Suponha que numa experiência de Eletroquímica você consiga retirar um elétron de cada conjunto de 10 átomos de um bloco de cobre de massa m = 0,3 kg. A massa atômica do cobre vale 64 g·mol-1_{. (a) Determine a carga livre}

(4)

q q

q 1 m 1 m

1 m

0,1 m

0,1 m carga do elétron e, da massa m e da massa

atômica M. (b) Calcule o valor dessa carga livre.

Resolução:

O número total de átomos é dado por:

(7.1)

Para um conjunto de 10 átomos, temos 1 elétron retirado. Assim, para N átomos, teremos:

(7.2) Assim, a carga obtida é dada por:

(7.3)

Substituindo os dados em (7.3), teremos:

(7.4)

Então a carga total de elétrons será de

.

Questão 8

Em cada vértice de um quadrado existe uma carga q. Determine o módulo da força elétrica resultante sobre qualquer uma das quatro cargas em função do lado a do quadrado, de q e de .

Resolução:

Para qualquer carga dos vértices do quadrado, existem três forças atuando, conforme mostra a figura abaixo.

Figura 8-1

Em que:

(8.1) E

(8.2) A força resultante é dada por:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(8.3) Para o módulo de (8.3) temos:

(√ )

(

√ )

(8.4)

Questão 9

Três pequenas bolas, cada qual com a massa de 10 g, estão suspensas de um mesmo ponto por três fios de seda de 1,0 m de comprimento. As bolas têm cargas idênticas e estão situadas nos vértices de um triângulo equilátero de 0,1 m de lado. Qual o valor da carga de cada bola?

Resolução:

Figura 9-1

A Figura 9-1 mostra a configuração do problema em questão. Cada carga do vértice do triângulo estará sujeita a quatro forças, sendo duas forças elétricas, a tração e seu peso. Assim, para que seja mantido o equilíbrio estático, temos:

q 𝐹⃗

(5)

q q

q 1 m 1 m

0,1 m

𝐹⃗ 𝐹⃗

𝑤 ⃗

𝑻

⃗ 𝜽 𝑎

𝑏

(9.1) Desta forma teremos:

Figura 9-2

⃗ ⃗ ⃗

(9.2) E

⃗ ⃗

(9.3) Em que:

(9.4)

Primeiro passo será a determinação do módulo de (9.2). Teremos, utilizando (9.4):

√ ° _√

(9.5)

Segundo passo, determinar o módulo de (9.3). Assim, utilizando (9.4), teremos:

(9.6)

Observando a Figura 9-2, temos que:

√ √ √

(9.7)

Observa-se, da Figura 9-2, que Ty é perpendicular ao plano do triângulo equilátero e Tx é paralelo ao plano do referido triângulo, sendo θ o ângulo entre T e a vertical. Logo, utilizando (9.4) e (9.7), temos:

√

(9.8) Mas, de (9.5) e (9.6), temos:

√

(9.9)

Também de (9.4): . Assim,

utilizando (9.8) e (9.9), teremos:

_√

√

(9.10)

Questão 10

Coloca-se uma carga Q em dois vértices opostos de um quadrado, e uma carga q em cada um dos demais. (a) Qual a relação entre Q e q para que a força resultante nas cargas Q seja nula? (b) Será possível escolher um valor de q de modo que a resultante seja nula sobre qualquer carga?

Resolução:

Figura 10-1

Q

Q q

q

𝐹⃗

(6)

Para que a força resultante seja nula na carga Q, do vértice inferior esquerdo, teremos:

⃗ ⃗ ⃗

(10.1) Assim,

√

| | | |

(10.2)

Em que

Logo, teremos:

√

(10.3)

Como a força entre Q e q é de atração, necessariamente essas cargas terão sinais diferentes. Assim, pode-se concluir que:

√

(10.4)

Para que a força resultante seja nula na carga q, por exemplo, a carga do vértice superior esquerdo na Figura 10-1. Teremos a seguinte relação:

√

(10.5)

Não existe um valor de q que satisfaça as relações (10.4) e (10.5), simultaneamente.

Questão 11

Um cubo de aresta a tem uma carga puntiforme q colocada em cada vértice. (a) Mostre que o módulo da força resultante sobre cada carga é:

(b) Qual a direção de FR em relação às arestas do cubo?

Resolução:

Figura 11-1

A Figura 11-1 mostra a configuração do problema em questão. Todas as forças representadas na cor preta possuem o mesmo módulo que vale:

(11.1)

As forças em vermelho também possuem o mesmo módulo, dado por:

(11.2)

A força em verde possui o módulo valendo:

(11.3)

Previamente, somaremos apenas as forças representadas em preto e vermelho. Observando a Figura 11-1, concluímos que na direção do eixo x, por exemplo, teremos:

( °°₎

( √

)

(11.4)

O mesmo ocorre para as componentes de y e z. A resultante das componentes de x, y e z será:

x

y z

𝐹⃗ 𝐹

⃗

(7)

( )

( √

) √

(11.5)

Pela simetria do problema, verifica-se que a resultante F dos componentes x, y e z se encontra exatamente na direção da diagonal do cubo, ou seja, exatamente na mesma direção e sentido de F3. Logo, utilizando (11.3) e (11.5) a resultante

será:

(√ √

)

(11.6)

Questão 12

A Figura 12-1mostra uma barra longa, isolante, sem massa, de comprimento l, presa por um pino no centro e balanceada com um peso W, a uma distância x da sua extremidade esquerda. Nas extremidades esquerda e direita da barra estão presas cargas positivas q e 2q, respectivamente. A uma distância h, diretamente abaixo de cada uma dessas cargas encontra-se afixada uma carga positiva Q. (a) Determine a distância x para a posição do peso, quando a barra está balanceada. (b) Qual deve ser o valor de h para que a barra não exerça uma força vertical sobre o suporte, na situação balanceada? Despreze a interação entre as cargas nas extremidades opostas da barra.

Figura 12-1

Resolução:

Para que ocorra o equilíbrio, sem rotação, temos para o torque resultante a seguinte condição:

(12.1)

Tomando o centro como ponto de referência, teremos:

( )

(12.2)

Em que

e

. Resolvendo (12.2), teremos:

(

)

(12.3)

Para que o suporte não exerça força, temos a seguinte condição:

(12.4) Resolvendo (12.4), teremos:

(

)

(12.5)

Substituindo o resultado de (12.5) em (12.3), teremos:

(12.6)

Questão 13

Um elétron é lançado com uma velocidade inicial de diretamente contra

um próton que está em repouso. Se o elétron estiver inicialmente a uma distância grande do próton, qual será seu afastamento do próton

+

l

x

W

h q 2q

(8)

𝑞 𝑞

𝑞 𝐹⃗

4,00 cm 3,00 cm

5,00 cm

𝐹⃗

quando sua velocidade for igual a duas vezes o valor inicial? (Sugestão: Usar o teorema do trabalho-energia.)

Resolução:

Utilizando o teorema do trabalho-energia, teremos:

∫

[ ] ( )

(

₎

( )

(13.1)

Questão 14

Três cargas são colocadas como indica a Figura 14-1. O módulo de é igual a , porém

não conhecemos seu sinal e nem o valor da carga . A carga é igual a e a força

resultante ⃗ sobre aponta para o sentido

negativo do eixo 0x. A) Considerando os possíveis sinais diferentes para as cargas e , existem quatro diagramas de forças possíveis para representar as forças ⃗ e ⃗ exercidas por e

sobre a carga . Faça desenhos mostrando esses quatro diagramas possíveis. B) Usando os desenhos da parte (a) e a direção e o sentido de

⃗, determine os sinais das cargas e . C)

Calcule o módulo de . D) Calcule o módulo da força resultante ⃗ que atua sobre .

Figura 14-1

Resolução:

a) Os possíveis diagramas de forças:

b) Como a força resultante aponta para o sentido negativo de 0x, o diagrama de forças que melhor representa as interações é o primeiro (1). Assim,

.

c) Utilizando o digrama 1, temos:

Podemos utilizar uma semelhança de triângulos. Assim, teremos:

(14.1)

Em que

| | | |

( ₎ Assim, utilizando (14.1), temos:

(14.2) d) Utilizando (14.1), temos:

(14.3) 1

𝐹

𝐹 _𝐹

2

𝐹

3

𝐹