PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO - 2002 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Texto completo

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO - 2002

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos 1.-El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opciones. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo en cada uno de ellos una sola de las opciones (A o B).

2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

3.- Todas las preguntas se puntúan igual.

4.- No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. BLOQUE 1 (Álgebra)

1-A) Discutir, según los valores de a, el sistema siguiente:

      

= +

= −

= − −

= + +

2 3 2

5 3

1 3 2

z ay

ay x

az y x

z ay x

. Si para

algún valor de a es compatible determinado, resolverlo en este caso. ---

Las matrices de coeficientes y ampliada son:

{

2 3

}

1 3 3

1 2 2

4 ' 0

1 3 2

1 3 2

1 2

1 · 4 2 3 2

4 6 4

2 2

1

2 3

2 0

4 6

4 0

2 2 1

0

3 2

1

3 2

3 2 0

5 0 3

1 1

1

3 2 1

'

2 3 2 0

5 0 3

1 1

1

3 2 1

' ; ;

3 2 0

0 3

1 1

2 1

F F R a M

Rango a

a

a a

a a

a a

a a

a a a

F F F

F F F

a a

a a

M

a a

a a

M

a a

a a

M

=

∈ ∀ <

= +

+ =

+ +

=

= − −

− − − − −

⇒    

 

− →

− →

− − − =

    

 

    

 

− − − =

    

 

    

 

(2)

Vamos a estudiar ahora el rango de M en función de a:

{

}

    

− = =

± − = ±

− = + ± − = =

− +

= + − − = − + − − = −

− −

⇒ ⇒

2 3 1

4 5 1 4

25 1 4

24 1 1 ;

; 0 3 2

; ; 0 6 2 4 6

3 2 0

3 1 1

2 1

, , '

2 1 2

2 2

2 3

2 1

a a

a a

a

a a a

a a a

a a

L L L M

{

}

3 4 2 3 0 ;; 2 3 0

3 2 0

1 1

2 1

, ,

' ⇒ 1 2 4 ⇒ − − =− + a+ a2 − a= a2 +a− =

a a a

L L L M

{

}

3 6 9 0 ;; 2 3 0

3 2 0

0 3

1 1

, ,

' 2 2

4 3

2 − =− − + = + − =

− −

a a a a a

a a

a

L L L M

ado Deter

Compatible incógnitas

n M

Rango M

Rango a

a

Para ' 3 º min

3 2 1

= = =

⇒     

  

− ≠

Por ser el sistema compatible determinado para cualquier otro valor de a, despre-ciamos una ecuación y resolvemos el sistema formado por las otras tres, por ejemplo, para a = 0:

3 2 ; ; 3 4 3 5 3 3

2 ; ; 3 2 1 3 5 1

3 5 5

3 1

3 2

= =

− = − = =

= − = − =

= →

    

= = −

= +

z x

z y

x y

x x

y x

z x

(3)

2-A) a ) Comprobar que la matriz           − − − − = 1 1 2 0 0 1 1 0 1

A cumple que A3 =−AI

y calcular

la matriz inversa de A.

b ) Si A es cualquier matriz de n filas y n columnas tal que A3 =−AI

y se sabe que

( )

A =m

det , calcular el valor del determinante de A + I en función de m. --- a ) IGUALES A I A A A A A A A A A ⇒             =           − − − =           − − − +           − − = − − = =           − − − =           − − − −           − − − = =           − − − =           − − − −           − − − − = = 3 3 3 2 3 2 2 1 2 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 0 1 2 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 1 · 1 1 1 1 0 1 0 1 1 · 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 0 1 1 0 1 · 1 1 2 0 0 1 1 0 1 ·

Ahora vamos a calcular la matriz inversa de A:

(4)

b )

(

)

;; 3

(

)

;; 3

(

)

(*)

3

I A A

I A A

I A I

A

A =− − =− + = − + = − +

Para determinar el determinante de la opuesta de una matriz debemos tener en cuenta que si se cambian de signo todos los elementos de una fila o una columna de un determinante, su valor cambia de signo. Tratándose de una matriz m x m, sería:

( )

A

A = −1m ·

En el caso que nos ocupa (*), es:

(

) ( )

( )

( )

3

( )

3

3 3

· 1 ·

1 1

; ; ·

1 A I A A I A A I A m

I

A m m ⇒ + = − m = − m

− = + =

+ −

= + −

(

) ( )

3

·

1 m

I

A+ = − m

(5)

BLOQUE 2 (Análisis)

2-A) Sea la función

( )

1 2

2

2 − − =

x x L x

f . Se pide:

a ) Dominio, cortes con los ejes y asíntotas. b ) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c ) A partir de los datos anteriores, representar gráficamente la función. ---

a )

Para estudiar el dominio de la función tendremos en cuenta que los números ne-gativos no tienen logaritmo, por lo tanto tiene que ser 0

1 2

2

2 > − −

x x

. Como quiera que el signo de la anterior expresión depende del numerador y del denominador, estudiaremos la situación de forma gráfica, teniendo en cuenta que las raíces del numerador son 2 y

2

− y la del denominador es

2 1

.

( )

∪

(

)

  

 

2,

2 1 , 2

f D

Los cortes con los ejes son:

( )

(

) (

)

( )

(

)

    

     

 

= =

=

− +

± = ±

= ± = + ± =

= − − −

= − =

− −

= =

2 , 0 2

0 0

0 , 2 1 ; ; 0 , 2 1 2

1 2

2 2 2 2

8 2 2

4 4 2

0 1 2 ;

; 1 2 2 ;

; 1 1 2

2

0 2 2

2

L C L

f y x

Y Eje

B A

x

x x x

x x

x x

f y X Eje

Las asíntotas de la función son las siguientes:

Horizontales: son los valores finitos que toma y cuando x tiende a valer infinito; son de la forma y = k.

(

2

)

: 2

x Numerador

− −

1 2

2

2

x x

(

2 1

)

:

minador x

Deno

2

+

+

+

+

2

2 1

(6)

( )

L No tiene x

x x

lím L

x x L x

lím x

f x

lím k

y  = ∞=∞ ⇒

  

 

− − ∞ → =

   

 

− − ∞

→ = ∞

→ = =

1 2

2 1

2

2 2

2

Verticales: son los valores finitos x para los cuales f(x) tiende a infinito:

2 1 ;

; 0 1

2x− = x= . La tendencia es:

( )

=+∞ −

− → −

1 2

2

2

2 1

x x x

lím

( )

 =−∞

  

 

− − −

= +

1 2

2 2

2

2

x x L x

lím x

( )

=−∞

  

 

− − →

= +

1 2

2 2

2

2

x x L x

lím x

Oblicuas: Son de la forma y=mx+n

(

m≠0 ; m≠∞

)

.

( )

(

)

(

)

(

)

m x

x x

x lím

x x L x

L x

lím

Hopital L

Ind x

x x L

x lím

x x f x

lím m

= = − = − − − +∞ → = − −

− +∞

⇒ ⇒

∞ ∞ = − −

+∞ → = +∞

→ =

0 1

0 0 1

1 2

2 2 2 1

2 2

' .

1 2

2

2 2

2

1

No tiene asíntotas oblicuas.

b )

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, derivamos:

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

f

( )

x

x x

x x x

x

x x

x x

x x x x

x x x

f x

L x

L x

x L x f

' 1 2 2

2 ·

2 1 2 2

4 2 2

1 2 2

4 2 2 4 1 2

2 2 2 '

; ; 1 2 2

1 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

= − −

+ − =

− −

+ − =

= − −

+ − − =

− − − = −

− − =

− − =

El numerador es positivo para cualquier valor real de x, por lo cual solamente es-tudiamos el denominador que, curiosamente, puede ser útil el estudio del dominio de la función, ya que los signos son exactamente los mismos, lo cual significa que:

(7)

c )

La representación aproximada de la función es la siguiente:

********** O

f(x)

X Y

2

− =

x

2

=

x

2 1

=

(8)

2-B) Expresar el número 60 como suma de tres números enteros positivos de forma que el segundo sea triple del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor de di-cho producto.

--- Sean los números: x, y, z, enteros y positivos.

( ) (

)

(

)

(

)

   

= =

= − =

− =

= −

= − =

− =

− = =

+ +

⇒   

= = + +

=

10 0 0

10 36 36

360 '

12 180

4 60 · 3 4 60 · 3 ·

: 4

60 ;

; 60 3

3 60 · ·

2 1 2

3 2

2

x x x

x x

x P

P x x

x x

x x

x P

producto el

en do Sustituyen x

z z

x x x y

z y x

Máximo z

y x P

El valor de x = 0 carece de sentido lógico. (es para mínimo). La solución lógica es para x = 10, cosa que vamos a justificar:

( )

( )

    

< − =

> =

− = −

=

Máximo P

Mínimo P

x P

x x P

0 720 360 10

''

0 360 0

'' 72

360 ' ' ; ; 36 360

' 2

40 ,

30 ,

10 = =

= y z

x son números Los

1200 40

· 30 ·

10 =

=

P es producto Su

(9)

BLOQUE 3 (Geometría)

3-A) Dadas las rectas

   + = − = ≡    − = = + ≡ 1 2 2 2 2 1 z y y x r y z x y x

r , se pide:

a ) Determinar las coordenadas del punto P en que se cortan y la ecuación del plano π que las contiene.

b ) Calcular la ecuación de la recta s que pasa por el punto Q(2, 0, 1) y corta perpendi-cularmente a r1.

c ) Obtener las coordenadas del punto R, intersección de r1 y s, y el área del triángulo de vértices P, Q, R.

--- a )

Las expresiones por unas ecuaciones paramétricas de las rectas r1 y r2 son:

     = + = − − = ≡ ⇒ = − − = − = + = ⇒ = ⇒    + = − = ≡      = + = − = ≡ ⇒ + = + = − = − = ⇒ = ⇒    − = = + ≡ k z k y k x r x k y x k y k z z y y x r k z k y k x r k y k x y k x k z z x y x r 1 1 1 ; ; 1 1 1 2 1 ; ; 2 2 2 2 ; ; 2 2 2 2 2 2 1 1

Sabiendo que se cortan, para hallar su punto de corte se obtiene igualando su pun-to genérico:

(

2,2,1

)

1 ; ; 1 2 1 1 1 2 − ⇒ = − − = − ⇒           = + = − − = =           = + = − = P k k k k z k y k x k z k y k x

Dos vectores directores de las rectas son:

(

)

(

)

      − = → − = → 1 , 1 , 1 1 , 1 , 2 2 1 v r u r

El plano π pasa por un punto cualquiera de una de las rectas, por ejemplo P, y tiene como vectores a los de las rectas:

(10)

b )

El plano α perpendicular a la recta r1 tiene como vector normal al vector director de la recta, u =

(

−2,1,1

)

:

0

2 + + + =

x y z D

α ; por pasar por Q(2, 0, 1) tiene que satisfacer su ecuación:

0 3 2

3 ;

; 0 1

0

4+ + + = = ⇒ ≡ − − − =

D D α x y z

El punto R de corte de α con r1 es:

(

) (

)

   

 

⇒         

        

− = =

= − = + =

=

     

− − = − =

⇒ ⇒

− = −

= −

= =

− − − − − =

− − + − −

3 2 , 3 1 , 3 4

3 2

3 1 3 2 1 1

3 4 3 2 · 2 2

3 2 ;

; 2 3 ; ; 4 6 ; ; 0 3 1

4 ; ; 0 3 1

2 2

R

k z

k y

k x

R

k k

k k

k k

k k k

La recta s pedida es la que pasa por los puntos R y Q:

(

)

(

2, 1,5

)

3 5 , 3 1 , 3 2 3

2 , 3 1 , 3 4 1 , 0 ,

2  ⇒ = −

  

=

   

− =

=Q R w

QR

El vector wr es director de s por ser linealmente dependiente del vector QR.

{ }

    

+ =

− =

+ = ≡

⇒ ⇒

k z

k y

k x

s w

Q s

5 1

2 2 ,

c )

El puno 

  

 

3 2 , 3 1 , 3 4

R ya se calculó en el apartado anterior.

Los vectores que determinan el triángulo son:

(

) (

) (

)

QP

Q P QP y

QR  = − = − − = − =

  

 

= 2, 2,1 2, 0,1 4, 2, 0 2

5 , 3 1 , 3 2

(11)

(

)

( ) ( )

PQR

PQR

S u j

i j

i

i k k j k

j i k

j i QP

QR S

= =

= − + − =

− − =

− − =

= − − + − = −

− =

− − =

∧ =

2 2

2 3 5 3 1 3 2

3 5 5 5 · 3 5 2 1

· 3 5 2 ·

3 5 10 5 · 3 1

5 2 2 10 · 3 1

0 1 2

5 1 2 · 3 1

0 2 4 · 2 1 ·

2 1

(12)

3-B) Se considera el plano π ≡−`x+2y+ z+1=0, la recta 3 2

1 3

2==

x y z

r y el

punto A(1, 0, 2).

a ) Obtener la ecuación del plano π1 que pasa por el punto A, es paralelo a la recta r y es perpendicular al plano π .

b ) Determinar, si es posible, un plano π2 perpendicular a π que pase por A y que no sea paralelo a r.

--- a )

El plano π1 pedido tiene los siguientes vectores directores: el normal al plano π,

(

−1, 2,1

)

=

u y el vector director de r, v =

(

3, 2,1

)

y pasa por A(1, 0, 2):

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

0 4 2 ;

; 0 16 8 4

; ; 0 2 8 4 ; ; 0 1

2 2 6 2 2 3 1 2

; ; 0 1

2 3

1 2 1

2 1

, ;

1 1

= + − ≡ =

+ −

= − − =

+ − − − − − − + −

= −

− −

z y z

y

z y y

x z

z y x

z y x

v u A

π π

b)

El plano π2 pedido tiene los siguientes vectores directores: el normal al plano π,

(

−1, 2,1

)

=

u y cualquier vector que sea linealmente independiente del vector director de la recta r, por ejemplo, w =

(

1,1,1

)

y también pasa por A(1, 0, 2):

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

0 5 3 2 ;

; 0 6 3 2 1

; ; 0 2 3 2 1 ;

; 0 1

2 2 2 1

2

; ; 0 1

1 1

1 2 1

2 1

, ;

2 2

= + − + ≡ =

+ − + −

= − − + − =

+ − − − − − − + −

= −

− −

z y x z

y x

z y x

y x

z z

y x

z y x

w u A

π π

Figure

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