I
I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ
A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO - 2002
(RESUELTOS por Antonio Menguiano)
MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos 1.-El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opciones. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo en cada uno de ellos una sola de las opciones (A o B).
2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.
3.- Todas las preguntas se puntúan igual.
4.- No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. BLOQUE 1 (Álgebra)
1-A) Discutir, según los valores de a, el sistema siguiente:
= +
= −
= − −
= + +
2 3 2
5 3
1 3 2
z ay
ay x
az y x
z ay x
. Si para
algún valor de a es compatible determinado, resolverlo en este caso. ---
Las matrices de coeficientes y ampliada son:
{
2 3}
1 3 3
1 2 2
4 ' 0
1 3 2
1 3 2
1 2
1 · 4 2 3 2
4 6 4
2 2
1
2 3
2 0
4 6
4 0
2 2 1
0
3 2
1
3 2
3 2 0
5 0 3
1 1
1
3 2 1
'
2 3 2 0
5 0 3
1 1
1
3 2 1
' ; ;
3 2 0
0 3
1 1
2 1
F F R a M
Rango a
a
a a
a a
a a
a a
a a a
F F F
F F F
a a
a a
M
a a
a a
M
a a
a a
M
=
⇒
∈ ∀ <
⇒
= +
+ =
+ +
=
= − −
−
− − − − −
⇒
− →
− →
⇒
− − − =
− − − =
Vamos a estudiar ahora el rango de M en función de a:
{
}
− = =
⇒
± − = ±
− = + ± − = =
− +
= + − − = − + − − = −
− −
⇒ ⇒
2 3 1
4 5 1 4
25 1 4
24 1 1 ;
; 0 3 2
; ; 0 6 2 4 6
3 2 0
3 1 1
2 1
, , '
2 1 2
2 2
2 3
2 1
a a
a a
a
a a a
a a a
a a
L L L M
{
}
3 4 2 3 0 ;; 2 3 03 2 0
1 1
2 1
, ,
' ⇒ 1 2 4 ⇒ − − =− + a+ a2 − a= a2 +a− =
a a a
L L L M
{
}
3 6 9 0 ;; 2 3 03 2 0
0 3
1 1
, ,
' 2 2
4 3
2 − =− − + = + − =
− −
⇒
⇒ a a a a a
a a
a
L L L M
ado Deter
Compatible incógnitas
n M
Rango M
Rango a
a
Para ' 3 º min
3 2 1
⇒
= = =
⇒
− ≠
≠
Por ser el sistema compatible determinado para cualquier otro valor de a, despre-ciamos una ecuación y resolvemos el sistema formado por las otras tres, por ejemplo, para a = 0:
3 2 ; ; 3 4 3 5 3 3
2 ; ; 3 2 1 3 5 1
3 5 5
3 1
3 2
= =
− = − = =
= − = − =
⇒
= →
= = −
= +
z x
z y
x y
x x
y x
z x
2-A) a ) Comprobar que la matriz − − − − = 1 1 2 0 0 1 1 0 1
A cumple que A3 =−A−I
y calcular
la matriz inversa de A.
b ) Si A es cualquier matriz de n filas y n columnas tal que A3 =−A−I
y se sabe que
( )
A =mdet , calcular el valor del determinante de A + I en función de m. --- a ) IGUALES A I A A A A A A A A A ⇒ = − − − = − − − + − − = − − = = − − − = − − − − − − − = = − − − = − − − − − − − − = = 3 3 3 2 3 2 2 1 2 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 0 1 2 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 1 · 1 1 1 1 0 1 0 1 1 · 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 0 1 1 0 1 · 1 1 2 0 0 1 1 0 1 ·
Ahora vamos a calcular la matriz inversa de A:
b )
(
)
;; 3(
)
;; 3(
)
(*)3
I A A
I A A
I A I
A
A =− − =− + = − + = − +
Para determinar el determinante de la opuesta de una matriz debemos tener en cuenta que si se cambian de signo todos los elementos de una fila o una columna de un determinante, su valor cambia de signo. Tratándose de una matriz m x m, sería:
( )
AA = −1m ·
−
En el caso que nos ocupa (*), es:
(
) ( )
( )
( )
3( )
33 3
· 1 ·
1 1
; ; ·
1 A I A A I A A I A m
I
A m m ⇒ + = − m = − m
− = + =
+ −
= + −
(
) ( )
3·
1 m
I
A+ = − m
BLOQUE 2 (Análisis)
2-A) Sea la función
( )
1 2
2
2 − − =
x x L x
f . Se pide:
a ) Dominio, cortes con los ejes y asíntotas. b ) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c ) A partir de los datos anteriores, representar gráficamente la función. ---
a )
Para estudiar el dominio de la función tendremos en cuenta que los números ne-gativos no tienen logaritmo, por lo tanto tiene que ser 0
1 2
2
2 > − −
x x
. Como quiera que el signo de la anterior expresión depende del numerador y del denominador, estudiaremos la situación de forma gráfica, teniendo en cuenta que las raíces del numerador son 2 y
2
− y la del denominador es
2 1
.
( )
∪(
∞)
−
⇒ 2,
2 1 , 2
f D
Los cortes con los ejes son:
( )
(
) (
)
( )
(
)
⇒
= =
⇒
=
⇒
− +
⇒
± = ±
= ± = + ± =
= − − −
= − =
− −
⇒
= =
⇒
2 , 0 2
0 0
0 , 2 1 ; ; 0 , 2 1 2
1 2
2 2 2 2
8 2 2
4 4 2
0 1 2 ;
; 1 2 2 ;
; 1 1 2
2
0 2 2
2
L C L
f y x
Y Eje
B A
x
x x x
x x
x x
f y X Eje
Las asíntotas de la función son las siguientes:
Horizontales: son los valores finitos que toma y cuando x tiende a valer infinito; son de la forma y = k.
(
−2)
⇒: 2
x Numerador
⇒
− −
1 2
2
2
x x
(
2 −1)
⇒:
minador x
Deno
2
+
+
+
+
2
−
2 1
( )
L No tiene xx x
lím L
x x L x
lím x
f x
lím k
y = ∞=∞ ⇒
− − ∞ → =
− − ∞
→ = ∞
→ = =
1 2
2 1
2
2 2
2
Verticales: son los valores finitos x para los cuales f(x) tiende a infinito:
2 1 ;
; 0 1
2x− = x= . La tendencia es:
( )
=+∞ −− → −
1 2
2
2
2 1
x x x
lím
( )
=−∞
− − −
→
⇒
−
= +
1 2
2 2
2
2
x x L x
lím x
( )
=−∞
− − →
⇒
= +
1 2
2 2
2
2
x x L x
lím x
Oblicuas: Son de la forma y=mx+n
(
m≠0 ; m≠∞)
.( )
(
)
(
)
(
)
m x
x x
x lím
x x L x
L x
lím
Hopital L
Ind x
x x L
x lím
x x f x
lím m
= = − = − − − +∞ → = − −
− +∞
→
⇒
⇒ ⇒
⇒
∞ ∞ = − −
+∞ → = +∞
→ =
0 1
0 0 1
1 2
2 2 2 1
2 2
' .
1 2
2
2 2
2
1
No tiene asíntotas oblicuas.
b )
Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, derivamos:
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f( )
xx x
x x x
x
x x
x x
x x x x
x x x
f x
L x
L x
x L x f
' 1 2 2
2 ·
2 1 2 2
4 2 2
1 2 2
4 2 2 4 1 2
2 2 2 '
; ; 1 2 2
1 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
= − −
+ − =
− −
+ − =
= − −
+ − − =
− − − = −
− − =
− − =
El numerador es positivo para cualquier valor real de x, por lo cual solamente es-tudiamos el denominador que, curiosamente, puede ser útil el estudio del dominio de la función, ya que los signos son exactamente los mismos, lo cual significa que:
c )
La representación aproximada de la función es la siguiente:
********** O
f(x)
X Y
2
− =
x
2
=
x
2 1
=
2-B) Expresar el número 60 como suma de tres números enteros positivos de forma que el segundo sea triple del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor de di-cho producto.
--- Sean los números: x, y, z, enteros y positivos.
( ) (
)
(
)
(
)
= =
⇒
= − =
− =
= −
= − =
− =
− = =
+ +
⇒
= = + +
⇒
=
10 0 0
10 36 36
360 '
12 180
4 60 · 3 4 60 · 3 ·
: 4
60 ;
; 60 3
3 60 · ·
2 1 2
3 2
2
x x x
x x
x P
P x x
x x
x x
x P
producto el
en do Sustituyen x
z z
x x x y
z y x
Máximo z
y x P
El valor de x = 0 carece de sentido lógico. (es para mínimo). La solución lógica es para x = 10, cosa que vamos a justificar:
( )
( )
⇒
< − =
⇒
> =
⇒
− = −
=
Máximo P
Mínimo P
x P
x x P
0 720 360 10
''
0 360 0
'' 72
360 ' ' ; ; 36 360
' 2
40 ,
30 ,
10 = =
= y z
x son números Los
1200 40
· 30 ·
10 =
=
P es producto Su
BLOQUE 3 (Geometría)
3-A) Dadas las rectas
+ = − = ≡ − = = + ≡ 1 2 2 2 2 1 z y y x r y z x y x
r , se pide:
a ) Determinar las coordenadas del punto P en que se cortan y la ecuación del plano π que las contiene.
b ) Calcular la ecuación de la recta s que pasa por el punto Q(2, 0, 1) y corta perpendi-cularmente a r1.
c ) Obtener las coordenadas del punto R, intersección de r1 y s, y el área del triángulo de vértices P, Q, R.
--- a )
Las expresiones por unas ecuaciones paramétricas de las rectas r1 y r2 son:
= + = − − = ≡ ⇒ = − − = − = + = ⇒ = ⇒ + = − = ≡ = + = − = ≡ ⇒ + = + = − = − = ⇒ = ⇒ − = = + ≡ k z k y k x r x k y x k y k z z y y x r k z k y k x r k y k x y k x k z z x y x r 1 1 1 ; ; 1 1 1 2 1 ; ; 2 2 2 2 ; ; 2 2 2 2 2 2 1 1
Sabiendo que se cortan, para hallar su punto de corte se obtiene igualando su pun-to genérico:
(
2,2,1)
1 ; ; 1 2 1 1 1 2 − ⇒ = − − = − ⇒ = + = − − = = = + = − = P k k k k z k y k x k z k y k x
Dos vectores directores de las rectas son:
(
)
(
)
− = → − = → 1 , 1 , 1 1 , 1 , 2 2 1 v r u rEl plano π pasa por un punto cualquiera de una de las rectas, por ejemplo P, y tiene como vectores a los de las rectas:
b )
El plano α perpendicular a la recta r1 tiene como vector normal al vector director de la recta, u =
(
−2,1,1)
:0
2 + + + =
−
≡ x y z D
α ; por pasar por Q(2, 0, 1) tiene que satisfacer su ecuación:
0 3 2
3 ;
; 0 1
0
4+ + + = = ⇒ ≡ − − − =
− D D α x y z
El punto R de corte de α con r1 es:
(
) (
)
−
⇒
− = =
= − = + =
=
− − = − =
⇒ ⇒
⇒
− = −
= −
= =
− − − − − =
− − + − −
3 2 , 3 1 , 3 4
3 2
3 1 3 2 1 1
3 4 3 2 · 2 2
3 2 ;
; 2 3 ; ; 4 6 ; ; 0 3 1
4 ; ; 0 3 1
2 2
R
k z
k y
k x
R
k k
k k
k k
k k k
La recta s pedida es la que pasa por los puntos R y Q:
(
)
(
2, 1,5)
3 5 , 3 1 , 3 2 3
2 , 3 1 , 3 4 1 , 0 ,
2 ⇒ = −
−
=
−
− =
−
=Q R w
QR
El vector wr es director de s por ser linealmente dependiente del vector QR.
{ }
+ =
− =
+ = ≡
⇒ ⇒
k z
k y
k x
s w
Q s
5 1
2 2 ,
c )
El puno
−
3 2 , 3 1 , 3 4
R ya se calculó en el apartado anterior.
Los vectores que determinan el triángulo son:
(
) (
) (
)
QPQ P QP y
QR = − = − − = − =
−
= 2, 2,1 2, 0,1 4, 2, 0 2
5 , 3 1 , 3 2
(
)
( ) ( )
PQRPQR
S u j
i j
i
i k k j k
j i k
j i QP
QR S
= =
= − + − =
− − =
− − =
= − − + − = −
− =
− − =
∧ =
2 2
2 3 5 3 1 3 2
3 5 5 5 · 3 5 2 1
· 3 5 2 ·
3 5 10 5 · 3 1
5 2 2 10 · 3 1
0 1 2
5 1 2 · 3 1
0 2 4 · 2 1 ·
2 1
3-B) Se considera el plano π ≡−`x+2y+ z+1=0, la recta 3 2
1 3
2= − = −
−
≡ x y z
r y el
punto A(1, 0, 2).
a ) Obtener la ecuación del plano π1 que pasa por el punto A, es paralelo a la recta r y es perpendicular al plano π .
b ) Determinar, si es posible, un plano π2 perpendicular a π que pase por A y que no sea paralelo a r.
--- a )
El plano π1 pedido tiene los siguientes vectores directores: el normal al plano π,
(
−1, 2,1)
=
u y el vector director de r, v =
(
3, 2,1)
y pasa por A(1, 0, 2):(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
0 4 2 ;
; 0 16 8 4
; ; 0 2 8 4 ; ; 0 1
2 2 6 2 2 3 1 2
; ; 0 1
2 3
1 2 1
2 1
, ;
1 1
= + − ≡ =
+ −
= − − =
+ − − − − − − + −
= −
− −
≡
z y z
y
z y y
x z
z y x
z y x
v u A
π π
b)
El plano π2 pedido tiene los siguientes vectores directores: el normal al plano π,
(
−1, 2,1)
=
u y cualquier vector que sea linealmente independiente del vector director de la recta r, por ejemplo, w =
(
1,1,1)
y también pasa por A(1, 0, 2):(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
0 5 3 2 ;
; 0 6 3 2 1
; ; 0 2 3 2 1 ;
; 0 1
2 2 2 1
2
; ; 0 1
1 1
1 2 1
2 1
, ;
2 2
= + − + ≡ =
+ − + −
= − − + − =
+ − − − − − − + −
= −
− −
≡
z y x z
y x
z y x
y x
z z
y x
z y x
w u A
π π
