PRUEBA A PROBLEMAS
PR-1.- Sea m un número real y sean r y π la recta y el plano dados respectivamente por
x z m.
z y x
m z
my x
r ≡ + = −
⎩ ⎨ ⎧
= + +
− = + −
≡ , 3 2 2
0 2
2 2
π
a) Estúdiese la posición relativa de r y π en función del valor de m.
b) Para el valor m=1, hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de corte de r y π y es perpendicular a la recta t≡ x= y= z.
{ }
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{ }
(
Corroboralocalculadoenel apartadoanterior)
soluciones Infinitas
m
con que ya m
para ado Deter
Compatible m
m
m m
m m
m m
m m
m
m m
m m
m m
m z
y m m x
r y m m
z
z y y m m y
m m x
m y
m x z
y x
m z
my x r
forma Otra
plano el en contenida
está recta La erm In
Comp m
Si
punto un en cor Se Determ Comp
incognitas de
N A
rang A
m
m m
A Si m
m m
m A
m z
x
z y x
m z
my x a
⇒ = ⇒ =
− ℜ ∈ ∀ ⇒
− = ⇒ = −
⇒ = + + − + ⋅ + − ⇒ = + − + − − + + ⋅ + −
− = + − − ⋅ + + + − ⋅ ⇒ ⎪
⎩ ⎪ ⎨ ⎧
+ − − =
= + + − = ≡ ⇒ +
− − =
= + + + + − ⇒ +
+ − = ⇒ − = + − ⇒ ⎩
⎨ ⎧
= − − −
− = + − ≡
⇒ ⇒
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛ −
≡ ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛ −
≡ ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛ −
≡ ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛ −
=
⇒ ⇒
= = ⇒
≠ ⇒ − ℜ ∈ ∀
= ⇒ = + − ⇒ = ⇒
+ − = + − − = −
= ⇒ ⎪
⎩ ⎪ ⎨ ⎧
− = +
= + +
− = + −
0 0 2
2 min
2 0 0
2
0 4
2 2 3
0 2
4 2 4 2 2 3
3 6
2 4 2
2 2 2
3
4 2
2 2
4 2
0 2
2 2
2 2
2 2 0
2
2 2
. det .
0 0 0
0 0 0
1 6 0
1 2 2
0 0 0
1 6 0
1 6 0
1 2 2
0 0 0
4 0 6
2 4 2
1 2 2
0 0 0
2 0 3
1 2 1
1 2 2
2
tan .
. º
3 0
2
2 0
2 0
2 2
6 3 8
2 0 3
1 2 1
1 2
2 2 3
0 2
2 2
)
λ λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
Continuación del Problema 1 de la Opción A
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
1,1,1) (
1, , 1)
0 1 1 0 00 1
, , 1 1
, 0 , 1 , ,
1 , 1 , 1
1 , 0 , 1 1 2
2 1 1 0 2 0 0
5 1 1 5 1 2
2
2 1 1
2 0 0
1 5 0
1 1 2
5 1 1
5 15 0
1 5 0
1 1 2
1 1 1
1 3 0
1 5 0
1 1 2
2 0 1
4 0 6
2 4 2
1 1 2
1 0 1
2 0 3
1 2 1
1 1 2 )
= + + ≡ ⇒ = + + + − ⇒ = + −
⋅
⇒ = ⋅ ⇒ ⊥
⇒ ⎪⎩
⎪ ⎨ ⎧
+ −
= − −
=
= =
− ⇒
= ⇒ = ⇒ = − − ⇒ = ⇒ = ⇒ − = − ⇒ − = ⇒ − =
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎜ ⎝ ⎛
− − −
≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎜ ⎝ ⎛
− − − ≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎜ ⎝ ⎛
− − − ≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎜ ⎝
⎛ −
≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎜ ⎝
⎛ −
⇒
z y x z
y x z
y x
PG v PG v
z y x z
y x PG
v v
P x
x x
y y
y z
z
corte de Punto b
t
π
π π
π
PR-2.- Sea f la función dada por ( ) 2 3 2, . R x x x x
f = − + ∈
a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada. b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus extremos relativos. c) Esbócese la gráfica de f.
a)Para que sea derivable, la función, tiene que ser, primeramente, continuay después los limites a la derecha y a la izquierda de la derivada, en el punto de estudio de la continuidad, deben de ser iguales a ella.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
considera se no derivable ser no al x en relativo máximo un Habria o crecimient a pasa nto decrecimie De f x en relativo Mínimo o crecimient a pasa nto decrecimie De f x en relativo Mínimo x x x nto Decrecimie x x x o Crecimient x x x x x x x f o Crecimient b x en derivable es No x f x f f x f f x f x si x x si x x f x f Dom continua es función La x f x f f x f f x f x si x x x si x x x x x f x x x x x x x x x , 0 4 1 , 2 3 4 1 4 8 2 9 4 9 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 4 1 , 2 3 4 1 4 8 2 9 4 9 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 0 2 3 / 2 3 0 2 3 / 2 3 3 2 0 3 2 2 3 3 2 0 3 2 0 ' ) 0 3 ' lim 3 ' lim 0 ' 3 3 0 2 ' lim 0 ' 3 3 0 2 ' lim 0 3 2 0 3 2 ' 2 lim lim 0 2 2 0 3 0 lim 0 2 2 0 3 0 lim . 0 2 3 0 2 3 2 3 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⇒ − = + − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ⇒ − = + − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⇒ − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝⎛ < < ∪ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ <− ℜ ∈ ∀ ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < ∪ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝
Continuación del Problema 2 de la Opción A
c)
-1 1 3 5 7 9 11 13
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Y
X
CUESTIONES
C-1.- Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz
4
B= 3A . Calcúlese el determinante de la matriz B
( )
4 3 4⋅ =3⋅ =3.3=9= A A
B
C-2.- Calcúlese la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones
1 2 1
3 1
, 0
2 1
− − = − = − ≡ ⎪
⎩ ⎪ ⎨ ⎧
− =
= + =
≡ s x y z
z y x r
λ λ
Hallaremos un plano π paralelo a r y que contenga a s. Hallaremos la distancia entre un punto, cualquiera, de la recta r y el plano hallado que es la distancia entre las dos rectas
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
u d
d
z y x y
x z
y y
x z
y
z y x
z y x z
y x SG
v v
R rs
s r
7 14 6 14
14 12
4 9 1
13 1
2 3 1
13 0 . 2 0 . 3 1
0 13 2 3 0
6 2 4
2 3 0
3 2
2 2 3
0
1 1
1
1 0
2
2 3
2 , 3 , 2 , 3 , 0 , ,
1 , 1 , 1
1 , 0 , 2
2 2
2 + + = =
− = +
+ − + + = =
= − + + ≡ ⇒ = − + + − + − ⇒ = − ⋅ + + − ⋅ + −
⇒ = − −
− − −
≡ ⇒ ⎪
⎩ ⎪ ⎨ ⎧
− − =
− =
− −
=
− =
π
π π
C-3.- Calcúlese el valor de
/ 2
tg(2 ) lim
tg(6 ) x
x x
π →
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
31
1 3
1 cos
3 cos cos
3 3 cos
2 2 cos 3
2 6 cos
2 cos 3
6 cos lim
6 cos
6 2 cos
2
lim 0
0 3
2 6
2 2
6 2 lim
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 '
2
= − ⋅
− = =
⋅ =
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =
= =
= ⎯ ⎯ ⎯ ⎯
⎯ →
⎯ = = =
= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =
→ →
→
π π π
π π
π
π π π
π π
π
π π
π x
x
x x tg
tg tg
tg tg
tg x tg
x tg
x x
C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas y=6x−x2 e y=x2 −2x.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[ ]
[ ]
(
) (
)
2
2 2 3
3 4
0 2 4
0 3 4
0 2 4
0
2 2
4
0 2 4
0
2 4
2 2 2
0 2 4
0
2
4
2 2 4
2
2 2
0 2 2
0
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2
3 64 3
128 192 64 3 128 16
4 3 128
0 4 4 0 4 3 2 2
1 8 3
2 8
2 2
6
2 6
2 2
6
2 6
2 6
1 3 . 2 3
9 3 3 . 6 4
, 2 3 1
1 . 2 1
5 1 1 . 6 2
, 0 1
2 0 0
2 0
2
6 0 0
6 0 6
4 0 0
4 2 0 8 2 2 6
u A
x x
dx x x dx
x x x x A
dx x x dx x x dx
x x dx x x dx x x A
dx x x dx x x dx
x x dx x x A
x En x
En
x x x
x x
x
x x x
x x
x OX
con funciones las
de corte de Puntos
funciones ambas
de corte de Puntos x
x x
x x
x x x x x
= − = + − = ⋅ + − =
− ⋅ + − ⋅ − = ⋅
⋅ + ⋅
− = +
− = +
− − =
− − −
= −
− −
− −
=
− −
− +
− +
− =
⎩ ⎨ ⎧
− = −
= − ⇒
∈ = ⇒
⎩ ⎨ ⎧
− = −
= − ⇒
∈ =
⇒ ⎪
⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧
⎩ ⎨ ⎧
= = ⇒ = − ⇒ = −
⎩ ⎨ ⎧
= = ⇒ = − ⇒ = − ⇒
⇒ ⎩
⎨ ⎧
= = ⇒ = − ⇒
= − ⇒ − = −
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales .
x y z
x ay z
x a y z
+ + =
+ + =
+ + + =
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
2 3 1
3 2
2 (2 ) 6 3
a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea incompatible? b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado?
c) Resuélvase el sistema para a=0.
(
)
(
)
{ }
( )
( )
(
)
( )
( )
20 3 12 9 3 6
2 3 /
0 0 3
3 2 2
2 1 1
1 1 1
3
3 6 2
2 3 1
1 3 1
/
2 0
1 1 2 2 1
1 1 /
0 2 4 4 2 2
2 6 2 2
8 3
3 2
2
2 1
1 2 1
/
1 2
2 2
2 0
2 0
2 4
2 2
2 2 1
2 0
2 0 2
2 2
2 2 1
2 0
2 0
2 1
2 1
0 12 2
3 6 2
3 12 6
6 2
2
3 1
3 2 1 )
3 1
2 1
= ⇒
ℜ ∈ ∀ ⇒ ≠ − = − = =
= ⋅ = ⋅
= =
=
= ⇒
ℜ ∈ ∀ ⇒ ≠ = − = =
⇒ = − − + = + ⋅ − − − + + + = +
= =
⎩ ⎨ ⎧
= ⇒
=
= ⇒
− ℜ ∈ ∀ ⇒
⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪ ⎪
⎨ ⎧
= ⇒ = − ⇒ = ⇒ − = − + = + =
= ⇒ = − ⇒ = ⇒ − = − + = + =
= ⇒ = − ⇒ = ⇒ − = =
⇒ = − + ⋅ − − + ⋅ + + = +
=
A rang a
B A
B C C B A
A rang a
B A
a a
a a
a a
a a B
C C B A
A rang a
A rang a
a a
A a
a a
A
a a
A a a
a a
a A
a a
A a
a A
a a
a a
a a A
Continuación del Problema 1 de la Opción B
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
{ }
( )
(
)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ − −
⇒ − =
⇒ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ + ⇒ − = ⇒ = − ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎜ ⎝ ⎛
− ≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎜ ⎝ ⎛
− − ≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⇒ <
= =
⇒ − ℜ ∈ ∀
⇒ = ≠
= ⇒
=
= ⇒
ℜ ∈ ∀ ⇒ ≠ = − = =
= − − + ⋅ − + + ⋅ + = +
= =
λ
λ ,
2 1 , 3 2 3
2
1 3 2 1 2 2
1 1
2
0 1 1
0 0 0
0 2 0
3 2 1
1 1 1
0 2 0
0 2 0
3 2 1
3 2 1
6 2 2
3 0 1
3 2 1 )
min
min det º
2 / 2
)
2 / 1
2
2 / 0
3 3 6 2 3
1 3 /
0 9 24 2
3 6 2
6 18
3 6 2
2 3
1 3 2
/ )
3 2
Solución z
x
z x
y y
c
ado Deter
Compatible sea
sistema el
que para a de valor ningún hay
No
ado er
In Compatible Sistema
incognitas de
N B
A rang A
rang a
b
le Incompatib Sistema
B A rang A
rang a
Cuando
B A rang a
B A
a a
a a a
a B C C B A
ón Continuaci a
PR-2.- a) Dada la función f : 1,
[ ]
e →R definida por f xx x
( ) = +1 ln , determínese de entre todas las rectas tangentes a la gráfica de f la que tiene máxima pendiente. Escríbase la ecuación de dicha recta.
b) Calcúlese una función primitiva de ( )f x que pase por el punto P(e, 2)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
) ( )
(
) ( )
( )
( ) (
) ( )
(
) ( )
(
)
( ) (
1) ( )
ln 11
1 2 1
. 1 2 ln
1 2 ln
1
ln
ln 1 ln
1 ln
ln ln
ln 1 )
4 1 2
1 2 2 2
ln 2 1 2 ,
1 2 0 8 1 2
3 2 2 2 ''
3 2 3 2
3 6 2
3 ''
2 0
2 0 '
2 2
2 2 1
2 '
1 1
1 1 '
)
2 4
4 6
2 6
3 2 3 6
2 3
3 4
4 2 2 4
2 2
2 2
+ − +
= ⇒
= ⇒
+ − + = ⇒ + − + = ⇒ + − +
= ⇒ + − +
=
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= = ⇒ =
= ⇒ =
− +
= − +
= ⋅ − +
= +
= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣
⎡ +
= − = ⇒
+ = ⇒
∈ =
⇒ < − = − ⋅ =
− ⋅ = − =
+ − − = − −
− =
= ⇒ = − ⇒ =
⇒ − = − = + − = − − = ⇒ − = ⇒ − = + − =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
x x x x
F K
K e e K
e e K
e e e K
x x x x
F
x dx v dv dx
x dx du u x
x x x dx
x x x
dx x x x x dx
x x
dx dx x x
b
m f
e x
en pendiente Máxima
Máximo m
x x x
x x x
x x x x
x x x m
x x
m
x x x
x x x
x x x x
x x x m x
x m x
C-1.- Dadas las matrices y , hállese la matriz B
sabiendo que
1 1 1
P 1 0 1
0 1 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
1 0 0
A 0 1 0
0 0 2
−
⎛ ⎞
⎜ =⎜ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟ ⎟ 1
P BP− =A
(
)
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⋅ ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
− − ⋅
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛ −
⋅ =
⇒ ∃ ⇒ =
= ⇒ =
−
− −
0 1 1
3 1
2 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1
1 1
2 1
3 1 3
1
1 1
P
P P
BI PAP
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛ ⋅ =
= ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
− − ⋅ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛− − =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
− − ⋅ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
− − = =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞ − ⇒
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
− − =
⇒ ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
− − = ⇒ ⋅
= +
+ = − − =
= ⇒ ⇒
=
−
−
− −
− −
1 1
0 1
1 0
0 3 3
3 0 3
3 3 0
3 1
1 1 1
2 1 1
1 2 1
3 1
2 1 0
2 0 1
2 1 1
1 1 1
2 1 1
1 2 1
1 1 0
1 0 1
1 1 1
1 2 1
1 1 1
2 1 1
1 2 1
1 1 1
1 0 1
0 1 1 1
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 1 1
1
1
1 1
1 1
B
PAP B
adjP
P adjP
P P
PAP B
PAP IBPP
PA BP PP
t
t t
C-2.- Hállese la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(2,2,-1), B(4,0,2) y es perpendicular al plano π ≡x y-5 +2 -6 = 0z
(
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2) (
2)
8(
1)
0 11 8 28 011
0 2 4
2 15 1 2 1 10 2 3
2 4
0
2 5 1
3 2 2
1 2 2
1 , 2 , 2 1
, 2 , 2 , ,
3 , 2 , 2 1 , 2 , 2 2 , 0 , 4
2 , 5 , 1
= − − − ≡ ⇒ = + ⋅ − − − − ⋅
⇒ = − ⋅ − − ⋅ + + ⋅ + + ⋅ − − ⋅ + − ⋅ −
= −
−
+ −
− ≡ ⇒ ⎪
⎩ ⎪ ⎨ ⎧
+ − − = − −
=
− = − −
=
− =
z y x z
y x
y x
z z
y x
z y
x z
y x z
y x AG
AB
v
β
β
π
C-3.- Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y=3x-x2 , y=2x-2
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[ ]
[ ]
01 0
1 2 2
0 2
1
2 0
1
2
1 2
1
2 1
0 1
0
2 0
1
2 0
1
2
1 2
1
2 1
0 1
0
2 0
1
2 0
1
2
2 2
2 2
2
2 2
1 2 2
2 3
2 2
2 2 3
2 2 3
3 2
2
2 2 3
2 2 3
3 2
2
1 2 2 3 2
4 9 2 3 2 3 3 2 , 1 2 3
1 2 2 1 2
4 5 2 1 2 1 3 1 , 0 2 1
3 2 2 1 2
4 10 2
1 2
1 3 0 , 1 2 1
1 0
1 0
1 2 0 2 2
3 0 0
3 0 3
1 2
3 1
2 2
3 1
2 9 1 0
9 8 1 0
2 2
2 3
− −
− −
− −
− −
⋅ − ⋅
⋅ − = −
− −
+ −
− =
− −
− + −
− −
+ −
+ −
− =
− −
− + −
+ −
+ −
− −
=
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
= − ⋅
= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⇒ ∈
= ⇒
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
− = − ⋅
= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⇒ ∈
= ⇒
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
− = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅
− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ ⇒ −
∈ − =
⇒ ⎪⎩
⎪ ⎨ ⎧
= ⇒ = − ⇒ = − ⋅ ⇒ =
− ⎩
⎨ ⎧
= = ⇒ = − ⇒ = − ⇒
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
− = − =
= + = ⇒ ± = ⇒ > = + = Δ ⇒ = − − ⇒ − = −
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
x x
dx x
dx x x dx
x A
dx x
dx x x dx x
dx x x dx x x dx
x A
dx x
dx x x dx
x dx
x x dx
x x dx
x A
x En
x En x
En
x x
x x
x x x
x x
x OX
con funciones las
de corte de Puntos
x x x
x x x
x x
funciones ambas
de corte de Puntos
12
C-4.- Determínese el valor del parámetro a para que se verifique:
2
lim ( 1 ) 2
x→+∞ x +ax+ −x =
(
)
(
) (
)
4 2
2
2 1 0 0 1
0
1 1 1
1
1 1 1
1
lim 1
1
lim 1
1 lim
1 1 lim
1
1 1
lim 1
lim
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
= ⇒ =
⇒ = + + +
+ =
= + ∞ + ∞ +
∞ + =
+ + +
+ =
+ + +
+ ⋅ =
∞ ∞ = + + +
+ =
= + + +
− + + =
+ + +
− + + ⋅
− + + =
∞ − ∞ = − + +
+∞ → +∞
→ +∞
→
+∞ → +∞
→ +∞
→
a a
a a
a a
x x a
x a
x x x x
x a x x
x x x a x
ax x
ax
x ax x
x ax x x
ax x
x ax
x x ax
x x
ax x
x x
x
x x
