Continuación del Problema 1 de la Opción A

Texto completo

(1)

PRUEBA A PROBLEMAS

PR-1.- Sea m un número real y sean r y π la recta y el plano dados respectivamente por

x z m.

z y x

m z

my x

r ≡ + = −

⎩ ⎨ ⎧

= + +

− = + −

≡ , 3 2 2

0 2

2 2

π

a) Estúdiese la posición relativa de r y π en función del valor de m.

b) Para el valor m=1, hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de corte de r y π y es perpendicular a la recta tx= y= z.

{ }

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{ }

(

Corroboralocalculadoenel apartadoanterior

)

soluciones Infinitas

m

con que ya m

para ado Deter

Compatible m

m

m m

m m

m m

m m

m

m m

m m

m m

m z

y m m x

r y m m

z

z y y m m y

m m x

m y

m x z

y x

m z

my x r

forma Otra

plano el en contenida

está recta La erm In

Comp m

Si

punto un en cor Se Determ Comp

incognitas de

N A

rang A

m

m m

A Si m

m m

m A

m z

x

z y x

m z

my x a

⇒ = ⇒ =

− ℜ ∈ ∀ ⇒

− = ⇒ = −

⇒ = + + − + ⋅ + − ⇒ = + − + − − + + ⋅ + −

− = + − − ⋅ + + + − ⋅ ⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ − − =

= + + − = ≡ ⇒ +

− − =

= + + + + − ⇒ +

+ − = ⇒ − = + − ⇒ ⎩

⎨ ⎧

= − − −

− = + − ≡

⇒ ⇒

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎛ −

≡ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎛ −

≡ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎛ −

≡ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎛ −

=

⇒ ⇒

= = ⇒

≠ ⇒ − ℜ ∈ ∀

= ⇒ = + − ⇒ = ⇒

+ − = + − − = −

= ⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− = +

= + +

− = + −

0 0 2

2 min

2 0 0

2

0 4

2 2 3

0 2

4 2 4 2 2 3

3 6

2 4 2

2 2 2

3

4 2

2 2

4 2

0 2

2 2

2 2

2 2 0

2

2 2

. det .

0 0 0

0 0 0

1 6 0

1 2 2

0 0 0

1 6 0

1 6 0

1 2 2

0 0 0

4 0 6

2 4 2

1 2 2

0 0 0

2 0 3

1 2 1

1 2 2

2

tan .

. º

3 0

2

2 0

2 0

2 2

6 3 8

2 0 3

1 2 1

1 2

2 2 3

0 2

2 2

)

λ λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

(2)

Continuación del Problema 1 de la Opción A

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

1,1,1

) (

1, , 1

)

0 1 1 0 0

0 1

, , 1 1

, 0 , 1 , ,

1 , 1 , 1

1 , 0 , 1 1 2

2 1 1 0 2 0 0

5 1 1 5 1 2

2

2 1 1

2 0 0

1 5 0

1 1 2

5 1 1

5 15 0

1 5 0

1 1 2

1 1 1

1 3 0

1 5 0

1 1 2

2 0 1

4 0 6

2 4 2

1 1 2

1 0 1

2 0 3

1 2 1

1 1 2 )

= + + ≡ ⇒ = + + + − ⇒ = + −

⇒ = ⋅ ⇒ ⊥

⇒ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

+ −

= − −

=

= =

− ⇒

= ⇒ = ⇒ = − − ⇒ = ⇒ = ⇒ − = − ⇒ − = ⇒ − =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − −

≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − − ≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − − ≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝

⎛ −

≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝

⎛ −

z y x z

y x z

y x

PG v PG v

z y x z

y x PG

v v

P x

x x

y y

y z

z

corte de Punto b

t

π

π π

π

(3)

PR-2.- Sea f la función dada por ( ) 2 3 2, . R x x x x

f = − + ∈

a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada. b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus extremos relativos. c) Esbócese la gráfica de f.

a)Para que sea derivable, la función, tiene que ser, primeramente, continuay después los limites a la derecha y a la izquierda de la derivada, en el punto de estudio de la continuidad, deben de ser iguales a ella.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

considera se no derivable ser no al x en relativo máximo un Habria o crecimient a pasa nto decrecimie De f x en relativo Mínimo o crecimient a pasa nto decrecimie De f x en relativo Mínimo x x x nto Decrecimie x x x o Crecimient x x x x x x x f o Crecimient b x en derivable es No x f x f f x f f x f x si x x si x x f x f Dom continua es función La x f x f f x f f x f x si x x x si x x x x x f x x x x x x x x x , 0 4 1 , 2 3 4 1 4 8 2 9 4 9 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 4 1 , 2 3 4 1 4 8 2 9 4 9 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 0 2 3 / 2 3 0 2 3 / 2 3 3 2 0 3 2 2 3 3 2 0 3 2 0 ' ) 0 3 ' lim 3 ' lim 0 ' 3 3 0 2 ' lim 0 ' 3 3 0 2 ' lim 0 3 2 0 3 2 ' 2 lim lim 0 2 2 0 3 0 lim 0 2 2 0 3 0 lim . 0 2 3 0 2 3 2 3 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ − = + − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ − = + − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⇒ − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

< < ∪ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < ℜ ∈ ∀ ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < ∪ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

(4)

Continuación del Problema 2 de la Opción A

c)

-1 1 3 5 7 9 11 13

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y

X

(5)

CUESTIONES

C-1.- Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz

4

B= 3A . Calcúlese el determinante de la matriz B

( )

4 3 4⋅ =3⋅ =3.3=9

= A A

B

C-2.- Calcúlese la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones

1 2 1

3 1

, 0

2 1

− − = − = − ≡ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− =

= + =

s x y z

z y x r

λ λ

Hallaremos un plano π paralelo a r y que contenga a s. Hallaremos la distancia entre un punto, cualquiera, de la recta r y el plano hallado que es la distancia entre las dos rectas

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

u d

d

z y x y

x z

y y

x z

y

z y x

z y x z

y x SG

v v

R rs

s r

7 14 6 14

14 12

4 9 1

13 1

2 3 1

13 0 . 2 0 . 3 1

0 13 2 3 0

6 2 4

2 3 0

3 2

2 2 3

0

1 1

1

1 0

2

2 3

2 , 3 , 2 , 3 , 0 , ,

1 , 1 , 1

1 , 0 , 2

2 2

2 + + = =

− = +

+ − + + = =

= − + + ≡ ⇒ = − + + − + − ⇒ = − ⋅ + + − ⋅ + −

⇒ = − −

− − −

≡ ⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− − =

− =

− −

=

− =

π

π π

C-3.- Calcúlese el valor de

/ 2

tg(2 ) lim

tg(6 ) x

x x

π →

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

3

1

1 3

1 cos

3 cos cos

3 3 cos

2 2 cos 3

2 6 cos

2 cos 3

6 cos lim

6 cos

6 2 cos

2

lim 0

0 3

2 6

2 2

6 2 lim

2 2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 '

2

= − ⋅

− = =

⋅ =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =

= =

= ⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯ = = =

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ =

→ →

π π π

π π

π

π π π

π π

π

π π

π x

x

x x tg

tg tg

tg tg

tg x tg

x tg

x x

(6)

C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas y=6xx2 e y=x2 −2x.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

[ ]

(

) (

)

2

2 2 3

3 4

0 2 4

0 3 4

0 2 4

0

2 2

4

0 2 4

0

2 4

2 2 2

0 2 4

0

2

4

2 2 4

2

2 2

0 2 2

0

2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

3 64 3

128 192 64 3 128 16

4 3 128

0 4 4 0 4 3 2 2

1 8 3

2 8

2 2

6

2 6

2 2

6

2 6

2 6

1 3 . 2 3

9 3 3 . 6 4

, 2 3 1

1 . 2 1

5 1 1 . 6 2

, 0 1

2 0 0

2 0

2

6 0 0

6 0 6

4 0 0

4 2 0 8 2 2 6

u A

x x

dx x x dx

x x x x A

dx x x dx x x dx

x x dx x x dx x x A

dx x x dx x x dx

x x dx x x A

x En x

En

x x x

x x

x

x x x

x x

x OX

con funciones las

de corte de Puntos

funciones ambas

de corte de Puntos x

x x

x x

x x x x x

= − = + − = ⋅ + − =

− ⋅ + − ⋅ − = ⋅

⋅ + ⋅

− = +

− = +

− − =

− − −

= −

− −

− −

=

− −

− +

− +

− =

⎩ ⎨ ⎧

− = −

= − ⇒

∈ = ⇒

⎩ ⎨ ⎧

− = −

= − ⇒

∈ =

⇒ ⎪

⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

⎩ ⎨ ⎧

= = ⇒ = − ⇒ = −

⎩ ⎨ ⎧

= = ⇒ = − ⇒ = − ⇒

⇒ ⎩

⎨ ⎧

= = ⇒ = − ⇒

= − ⇒ − = −

(7)

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales .

x y z

x ay z

x a y z

+ + =

+ + =

+ + + =

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

2 3 1

3 2

2 (2 ) 6 3

a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea incompatible? b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado?

c) Resuélvase el sistema para a=0.

(

)

(

)

{ }

( )

( )

(

)

( )

( )

2

0 3 12 9 3 6

2 3 /

0 0 3

3 2 2

2 1 1

1 1 1

3

3 6 2

2 3 1

1 3 1

/

2 0

1 1 2 2 1

1 1 /

0 2 4 4 2 2

2 6 2 2

8 3

3 2

2

2 1

1 2 1

/

1 2

2 2

2 0

2 0

2 4

2 2

2 2 1

2 0

2 0 2

2 2

2 2 1

2 0

2 0

2 1

2 1

0 12 2

3 6 2

3 12 6

6 2

2

3 1

3 2 1 )

3 1

2 1

= ⇒

ℜ ∈ ∀ ⇒ ≠ − = − = =

= ⋅ = ⋅

= =

=

= ⇒

ℜ ∈ ∀ ⇒ ≠ = − = =

⇒ = − − + = + ⋅ − − − + + + = +

= =

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒

=

= ⇒

− ℜ ∈ ∀ ⇒

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

= ⇒ = − ⇒ = ⇒ − = − + = + =

= ⇒ = − ⇒ = ⇒ − = − + = + =

= ⇒ = − ⇒ = ⇒ − = =

⇒ = − + ⋅ − − + ⋅ + + = +

=

A rang a

B A

B C C B A

A rang a

B A

a a

a a

a a

a a B

C C B A

A rang a

A rang a

a a

A a

a a

A

a a

A a a

a a

a A

a a

A a

a A

a a

a a

a a A

(8)

Continuación del Problema 1 de la Opción B

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

{ }

( )

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⇒ − =

⇒ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ + ⇒ − = ⇒ = − ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− ≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − ≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

⇒ <

= =

⇒ − ℜ ∈ ∀

⇒ = ≠

= ⇒

=

= ⇒

ℜ ∈ ∀ ⇒ ≠ = − = =

= − − + ⋅ − + + ⋅ + = +

= =

λ

λ ,

2 1 , 3 2 3

2

1 3 2 1 2 2

1 1

2

0 1 1

0 0 0

0 2 0

3 2 1

1 1 1

0 2 0

0 2 0

3 2 1

3 2 1

6 2 2

3 0 1

3 2 1 )

min

min det º

2 / 2

)

2 / 1

2

2 / 0

3 3 6 2 3

1 3 /

0 9 24 2

3 6 2

6 18

3 6 2

2 3

1 3 2

/ )

3 2

Solución z

x

z x

y y

c

ado Deter

Compatible sea

sistema el

que para a de valor ningún hay

No

ado er

In Compatible Sistema

incognitas de

N B

A rang A

rang a

b

le Incompatib Sistema

B A rang A

rang a

Cuando

B A rang a

B A

a a

a a a

a B C C B A

ón Continuaci a

(9)

PR-2.- a) Dada la función f : 1,

[ ]

eR definida por f x

x x

( ) = +1 ln , determínese de entre todas las rectas tangentes a la gráfica de f la que tiene máxima pendiente. Escríbase la ecuación de dicha recta.

b) Calcúlese una función primitiva de ( )f x que pase por el punto P(e, 2)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

[ ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

) ( )

(

) ( )

( )

( ) (

) ( )

(

) ( )

(

)

( ) (

1

) ( )

ln 1

1

1 2 1

. 1 2 ln

1 2 ln

1

ln

ln 1 ln

1 ln

ln ln

ln 1 )

4 1 2

1 2 2 2

ln 2 1 2 ,

1 2 0 8 1 2

3 2 2 2 ''

3 2 3 2

3 6 2

3 ''

2 0

2 0 '

2 2

2 2 1

2 '

1 1

1 1 '

)

2 4

4 6

2 6

3 2 3 6

2 3

3 4

4 2 2 4

2 2

2 2

+ − +

= ⇒

= ⇒

+ − + = ⇒ + − + = ⇒ + − +

= ⇒ + − +

=

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= = ⇒ =

= ⇒ =

− +

= − +

= ⋅ − +

= +

= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ +

= − = ⇒

+ = ⇒

∈ =

⇒ < − = − ⋅ =

− ⋅ = − =

+ − − = − −

− =

= ⇒ = − ⇒ =

⇒ − = − = + − = − − = ⇒ − = ⇒ − = + − =

x x x x

F K

K e e K

e e K

e e e K

x x x x

F

x dx v dv dx

x dx du u x

x x x dx

x x x

dx x x x x dx

x x

dx dx x x

b

m f

e x

en pendiente Máxima

Máximo m

x x x

x x x

x x x x

x x x m

x x

m

x x x

x x x

x x x x

x x x m x

x m x

(10)

C-1.- Dadas las matrices y , hállese la matriz B

sabiendo que

1 1 1

P 1 0 1

0 1 1

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= −

⎝ ⎠

1 0 0

A 0 1 0

0 0 2

⎛ ⎞

⎜ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎟ ⎟ 1

P BP− =A

(

)

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⋅ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − ⋅

⎜ ⎜ ⎜

⎛ −

⋅ =

⇒ ∃ ⇒ =

= ⇒ =

− −

0 1 1

3 1

2 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1

1 1

2 1

3 1 3

1

1 1

P

P P

BI PAP

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ ⋅ =

= ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − ⋅ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛− − =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − ⋅ ⎟

⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − = =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞ − ⇒

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − =

⇒ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − = ⇒ ⋅

= +

+ = − − =

= ⇒ ⇒

=

− −

− −

1 1

0 1

1 0

0 3 3

3 0 3

3 3 0

3 1

1 1 1

2 1 1

1 2 1

3 1

2 1 0

2 0 1

2 1 1

1 1 1

2 1 1

1 2 1

1 1 0

1 0 1

1 1 1

1 2 1

1 1 1

2 1 1

1 2 1

1 1 1

1 0 1

0 1 1 1

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 1 1

1

1

1 1

1 1

B

PAP B

adjP

P adjP

P P

PAP B

PAP IBPP

PA BP PP

t

t t

C-2.- Hállese la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(2,2,-1), B(4,0,2) y es perpendicular al plano π ≡x y-5 +2 -6 = 0z

(

)

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

) (

2

)

8

(

1

)

0 11 8 28 0

11

0 2 4

2 15 1 2 1 10 2 3

2 4

0

2 5 1

3 2 2

1 2 2

1 , 2 , 2 1

, 2 , 2 , ,

3 , 2 , 2 1 , 2 , 2 2 , 0 , 4

2 , 5 , 1

= − − − ≡ ⇒ = + ⋅ − − − − ⋅

⇒ = − ⋅ − − ⋅ + + ⋅ + + ⋅ − − ⋅ + − ⋅ −

= −

+ −

− ≡ ⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ − − = − −

=

− = − −

=

− =

z y x z

y x

y x

z z

y x

z y

x z

y x z

y x AG

AB

v

β

β

π

(11)

C-3.- Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y=3x-x2 , y=2x-2

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

[ ]

0

1 0

1 2 2

0 2

1

2 0

1

2

1 2

1

2 1

0 1

0

2 0

1

2 0

1

2

1 2

1

2 1

0 1

0

2 0

1

2 0

1

2

2 2

2 2

2

2 2

1 2 2

2 3

2 2

2 2 3

2 2 3

3 2

2

2 2 3

2 2 3

3 2

2

1 2 2 3 2

4 9 2 3 2 3 3 2 , 1 2 3

1 2 2 1 2

4 5 2 1 2 1 3 1 , 0 2 1

3 2 2 1 2

4 10 2

1 2

1 3 0 , 1 2 1

1 0

1 0

1 2 0 2 2

3 0 0

3 0 3

1 2

3 1

2 2

3 1

2 9 1 0

9 8 1 0

2 2

2 3

− −

− −

− −

− −

⋅ − ⋅

⋅ − = −

− −

+ −

− =

− −

− + −

− −

+ −

+ −

− =

− −

− + −

+ −

+ −

− −

=

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

= − ⋅

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⇒ ∈

= ⇒

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

− = − ⋅

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⇒ ∈

= ⇒

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

− = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ ⇒ −

∈ − =

⇒ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

= ⇒ = − ⇒ = − ⋅ ⇒ =

− ⎩

⎨ ⎧

= = ⇒ = − ⇒ = − ⇒

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− = − =

= + = ⇒ ± = ⇒ > = + = Δ ⇒ = − − ⇒ − = −

x x

dx x

dx x x dx

x A

dx x

dx x x dx x

dx x x dx x x dx

x A

dx x

dx x x dx

x dx

x x dx

x x dx

x A

x En

x En x

En

x x

x x

x x x

x x

x OX

con funciones las

de corte de Puntos

x x x

x x x

x x

funciones ambas

de corte de Puntos

(12)

12

C-4.- Determínese el valor del parámetro a para que se verifique:

2

lim ( 1 ) 2

x→+∞ x +ax+ −x =

(

)

(

) (

)

4 2

2

2 1 0 0 1

0

1 1 1

1

1 1 1

1

lim 1

1

lim 1

1 lim

1 1 lim

1

1 1

lim 1

lim

2 2

2 2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

2

= ⇒ =

⇒ = + + +

+ =

= + ∞ + ∞ +

∞ + =

+ + +

+ =

+ + +

+ ⋅ =

∞ ∞ = + + +

+ =

= + + +

− + + =

+ + +

− + + ⋅

− + + =

∞ − ∞ = − + +

+∞ → +∞

→ +∞

+∞ → +∞

→ +∞

a a

a a

a a

x x a

x a

x x x x

x a x x

x x x a x

ax x

ax

x ax x

x ax x x

ax x

x ax

x x ax

x x

ax x

x x

x

x x

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...