Tema 08 Ecuaciones y sistemas

(1)

ecuaciones y sistemas Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan – Xuvia 122

ECUACIONES Y SISTEMAS

CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón

Se denomina identidad a una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica para cualquier valor numérico que se le dé a las variables que las constituyen.

(x+y)2= x2+y2+2xy

Se denomina ecuación a una igualdad entre dos expresiones algebraicas, cada una de las cuales se llama miembro de la ecuación. La igualdad que define a la ecuación no se verifica para cualquier valor numérico que se le dé a las variables o incógnitas que la constituyen.

Los monomios que constituyen cada miembro de la ecuación, que están separados unos de otros por los signos, +, -, se llaman términos de la ecuación.

x+2y= 3z

x+2y primer miembro de la ecuación

x primer término del primer miembro de la ecuación

2y segundo término del primer miembro de la ecuación

3z segundo miembro de la ecuación

3z primer término del segundo miembro de la ecuación

Se llama solución de una ecuación a aquellos valores numéricos de las variables que satisfacen la igualdad que define dicha ecuación.

x+2y= 3z

x= 1, y= 1, z= 1 son una solución de la ecuación pues

1+2.1= 3.1 1+ 2 = 3 3 = 3

Dos ecuaciones se dicen equivalentes cuando sus soluciones coinciden.

Al sumar o restar a los dos miembros de una ecuación la misma expresión algebraica resulta otra ecuación equivalente a la primera.

Si se cambia de miembro un término de la ecuación, cambiándolo de signo, resulta una ecuación equivalente.

Multiplicando o dividiendo por el mismo número todos los términos de una ecuación resulta otra ecuación equivalente.

Se llama grado de una ecuación al mayor de los grados de los monomios que la constituyen.

(2)

ecuaciones y sistemas

Ecuación lineal

Se llama ecuación lineal de n-incógnitas o variables a una expresión algebraica del tipo:

a1x1+a2x2+...+anxn= b

aiℝ

xi incógnita o variable que está como potencia de exponente la unidad.

Una ecuación lineal de una incógnita tiene una expresión

ax+b= c

a,b,cℝ x= c-b

a

La gráfica de una ecuación lineal de una incógnita es una recta paralela al eje de ordenadas, eje Y, del plano coordenado, XY.

Para resolver una ecuación lineal de una incógnita

ax+b= c

el procedimiento genérico a seguir es:

Se deja en un miembro de la ecuación el término que contiene la incógnita

ax= c-b

De este miembro se despeja la incógnita, x, pasando el coeficiente, a, dividiendo al otro miembro, c-b, de la ecuación

x=

c

b

a



Una ecuación lineal de dos incógnitas tiene una expresión

ax+by= c

a,b,cℝ

La gráfica de una ecuación lineal de dos incógnitas es una recta que tiene cierta inclinación con respecto a los ejes, X, e, Y, que definen el plano coordenado, XY.

Una ecuación lineal de tres incógnitas tiene una expresión

ax+by+cz= d a,b,c,dℝ

(3)

ecuaciones y sistemas Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan – Xuvia 124 Para resolver una ecuación lineal que tenga varías incógnitas son necesarias tantas ecuaciones lineales independientes como incógnitas contengan. El conjunto de todas estas ecuaciones constituyen un sistema de ecuaciones lineales. Así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se escribe:

ax + by= c a’x + b’y= c’

a, a’, b, b’, c, c’ℝ

Resolver este sistema significa obtener el conjunto de valores de las incógnitas que lo constituyen, que satisfacen todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo.

Antes de intentar resolver un sistema de ecuaciones lineales hay que confirmar que éste tiene solución. Así para un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnita, dado que cada ecuación lineal del sistema, gráficamente viene representada por una línea recta, se pueden dar los siguientes casos, cada uno de ellos relacionado con las

fracciones que forman los coeficientes de ambas ecuaciones,

Solución única

'

a

b

a



b

El sistema de ecuaciones lineales tiene solución. Gráficamente

las líneas rectas que representan a cada una de las ecuaciones lineales se cortan en un punto, punto que tiene por coordenadas, (x,y), la solución del sistema.

Ninguna solución

'

a

b

c

a



b



c

El sistema de ecuaciones lineales no tiene solución. Gráficamente las líneas rectas que representan a cada una de las ecuaciones lineales son paralelas.

Infinitas soluciones

'

a

b

c

a



b



c

El sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones. Gráficamente las líneas rectas que representan a cada una de las ecuaciones lineales son la misma, es decir, son rectas coincidentes.

(4)

ecuaciones y sistemas Reducción

Sea un sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

ax+by= c a'x+b'y= c'

a,a’,b,b’,c,c’ℝ

Se pretende con este método eliminar una de las variables para lo cual ésta ha de estar multiplicada en ambas ecuaciones por coeficientes opuestos. Para conseguir tal objetivo

Se escoge la variable que se quiere eliminar o reducir, x o y.

Por ejemplo la, x.

Se multiplica la primera ecuación lineal por el coeficiente que tiene la variable a eliminar en la segunda ecuación lineal y viceversa. Se multiplica la segunda ecuación lineal por el coeficiente que tiene la variable a reducir en la primera ecuación lineal. De esta manera se consigue que los coeficientes que multiplican a la variable a reducir tengan el mismo valor absoluto en ambas ecuaciones lineales.

a’.(ax+by= c)  aa'x+ba'y= ca' a .(a'x+b'y= c')  a'ax+b'ay= c'a

Si los coeficientes que la variable a reducir tiene en ambas ecuaciones lineales son de signos opuestos, se suman los términos semejantes de ambas ecuaciones lineales. En caso contrario se le cambia el signo a todos los términos de los dos miembros de una de las dos ecuaciones lineales que constituyen el sistema a resolver.

aa'x + ba'y = ca' -a'ax - b'ay = -c'a

(ba'-b'a)y= ca'-c'a

De esta suma resulta una ecuación lineal en la variable que no se ha reducido, cuya solución viene dada por

y=

. '

'.

. '

'.

c a

b a



Para calcular el valor de la variable reducida anteriormente, se sustituye el valor de la variable conocida en una de las dos ecuaciones que constituyen el sistema de ecuaciones lineales. Queda así una ecuación lineal en la otra variable, que resolviéndola permite conocer el valor de la segunda variable del sistema.

También puede seguirse un proceso análogo al anterior eliminando ahora la otra variable. Lo dicho anteriormente es válido simplemente teniendo en cuenta que ahora los coeficientes que se utilizan son los que multiplican a la variable que se quiere reducir en ambas ecuaciones lineales.

(5)

Si los coeficientes que la variable a reducir tiene en ambas ecuaciones lineales son de signos opuestos, se suman los términos semejantes de ambas ecuaciones lineales. En caso contrario se le cambia el signo a todos los términos de los dos miembros de una de las dos ecuaciones lineales que constituyen el sistema a resolver.

-ab'x - bb'y= -cb'

a'bx + b'by = c'b (a'b-ab')x = c'b-cb'

De esta suma resulta una ecuación lineal en la variable que no se ha reducido, cuya solución viene dada por

x=

'.

. '

'.

c b

b a



Las expresiones que dan las soluciones de las variables del sistema de ecuaciones lineales tienen el mismo denominador. De la forma del mismo se deduce:

Condición para que el sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas tenga solución única.

El valor del denominador de ambas soluciones ha de ser distinto cero

. ' '. 0 . ' '.

' '

a b

b a b a b a b a

a b

     

en este caso las soluciones de las incógnitas, x, e, y, del sistema de ecuaciones lineales toman valores bien determinados y únicos.

Las rectas que representan las ecuaciones lineales del sistema se cortan en un punto.

Condición para que el sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas no tenga solución.

El valor del denominador de ambas soluciones ha de ser nulo

. ' '. 0 . ' '.

' '

a b

b a b a b a b a

a b

     

las expresiones de las soluciones de las incógnitas, x, e, y, obtenidas para el sistema de ecuaciones lineales se pueden escribir

(ba'-b'a)y= ca'-c'a  0y= ca'-c'a (a'b-ab')x= c'b-cb'  0x= c'b-cb'

Si:

ca'-c'a 0, ó, bc'-b'c 0

El sistema de ecuaciones lineales no tiene solución. En este caso se escribe

. '

'.

0 . '

'.

'

a

c

c a

a

c













. '

'.

0 . '

'.

'

b

c

b c

b

c













(6)

condiciones que junto con la primera se resumen en

'

a

b

c

a



b



c

Gráficamente el sistema de ecuaciones lineales representa a dos rectas que son paralelas.

Condición para que el sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas tenga infinitas soluciones.

Gráficamente las líneas rectas que definen las ecuaciones del sistema son coincidentes, lo que obliga a que:

Son paralelas, cuya condición matemática es

. ' '. 0 . ' '.

' '

a b

b a b a b a b a

a b

     

Tienen infinitas soluciones, es decir se cortan infinitas veces, lo que obliga a que

. '

'.

0 . '

'.

'

a

c

c a

a

c













. '

'.

0 . '

'.

'

b

c

b c

b

c













las tres condiciones juntas permiten escribir

'

a

b

c

a



b



c

El método de reducción se puede generalizar para un sistema de n-ecuaciones lineales con n-incógnitas.

Igualación

Para resolver el sistema por el método de igualación:

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones lineales. Por ejemplo la,x.

De la primera ecuación del sistema se tiene

x=

c

b y

.

a



(7)

x=

'

'.

'

c

b y

a



Se igualan ambos resultados obtenidos.

x=

c

b y

.

a



=

'

'.

'

c

b y

a



= x

Generalmente resulta una ecuación con coeficientes racionales, por lo que se eliminan sus denominadores tomando el, m.c.m.(denominadores).

a’.(c-by)= a.(c’-b’y)

Se eliminan los paréntesis.

ca’-ba’y= ac’-ab’y

Se pasan todos los términos que contienen la incógnita al primer miembro de la ecuación y el resto de términos se pasan al segundo miembro de la ecuación.

ab’y-ba’y= ac’-ca’

Se suman en cada miembro de la ecuación los términos semejantes.

(ab’-ba’).y= ac’-ca’

Se obtiene el valor de la incógnita.

y=

. '

a c

c a

a b

b a



Para obtener el valor de la otra incógnita, en cualquiera de las expresiones iniciales que se han obtenido al despejarla, se sustituye el valor obtenido de la otra variable.

El método de igualación puede generalizarse y aplicarse a un sistema de n-ecuaciones con n-incógnitas.

Sustitución

Para resolver el sistema por el método de sustitución se siguen los pasos:

Se despeja una de las incógnitas en una de la ecuaciones lineales. Por ejemplo la, x, en la primera ecuación del sistema de ecuaciones lineales.

x=

c

b y

.

a



(1)

(8)

Se sustituye este resultado en la otra ecuación lineal que constituye el sistema de ecuaciones lineales.

a’.

c

b y

.

a



+ b’y= c’

Generalmente resulta una ecuación con coeficientes racionales, por lo que se eliminan sus denominadores tomando el, m.c.m.(denominadores).

a’.(c-by) + a.b’y= a.c’

Se eliminan los paréntesis.

a’c-a’by + ab’y= ac’

Se pasan todos los términos que contienen la incógnita al primer miembro de la ecuación y el resto de términos se pasan al segundo miembro de la ecuación.

ab’y – a’by= ac’-a’c

Se suman en cada miembro los términos semejantes.

(ab’-a’b).y= ac’-a’c

Se obtiene el valor de la incógnita despejándola en el primer miembro de la ecuación anterior.

y=

. '

a c

c a

a b

b a



Para obtener el valor de la otra incógnita, en la expresión inicial, (1), que se ha obtenido al despejarla, se sustituye el valor obtenido para la otra variable en el paso anterior.

El método de sustitución puede generalizarse y aplicarse a un sistema de n-ecuaciones con n-incógnitas.

Gauss

El método de Gauss, de triangulación, ó, de cascada, es una generalización del método de reducción que se utiliza para eliminar una incógnita en los sistemas de ecuaciones. La ventaja del mismo está en que se puede generalizar fácilmente a sistemas con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas.

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación resultante tenga una incógnita menos que en la ecuación precedente, para ello se utilizan los criterios de equivalencia de sistemas:

Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

Si se multiplica o divide ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

(9)

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n

m m m mn n m

a x

b

a x

b

a x

b

a x

b























11 1 12 2 13 3 1 1

22 2 23 3 2 2

32 2 33 3 3 3

2 2 3 3

...

n n

m m mn n m

a x

b

c x

r

c x

r

c x

r

























Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Si en un sistema una ecuación es combinación lineal de otras, puede suprimirse y el sistema resultante es equivalente al dado.

La resolución del sistema es ahora inmediata, basta calcular la última incógnita en la última ecuación del mismo, llevar este valor de la incógnita a la penúltima ecuación de la que se obtiene el valor de la penúltima incógnita, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación de la que se obtiene el valor de la primera incógnita.

Matricialmente el método de Gauss transforma la matriz ampliada con los términos independientes, A*, en una matriz triangular, de modo que cada fila de la misma tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, llamado escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ..., y la primera todas las incógnitas.

Para ello se siguen los pasos:

Se parte de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, compatible determinado.

Se intenta poner como primera ecuación una que tenga como coeficiente de la, x, 1, ó, -1, en caso de que no fuera posible se haría con la variable, y, ó, z, cambiando el orden de las incógnitas

.

Se aplica sucesivamente el método de reducción, se elimina en todas las ecuaciones, excepto en la primera una misma incógnita, por ejemplo, x1, obteniéndose un sistema

(10)

11 1 12 2 13 3 1 1

22 2 23 3 2 2

33 3 3 3

3 3

...

n n

m mn n m

a x

b

c x

r

x

d x

s

d x

d

x

s

























 



Se aplica el método de reducción a la, 1ª, y, 2ª, ecuación para eliminar la incógnita, x, de la, 2ª, ecuación. Después pasa a ser la segunda ecuación del sistema la ecuación obtenida en este paso.

E '2 = E2 − 3 E1

Se hace lo mismo con las ecuaciones, 1ª, y, 3ª, del sistema para eliminar la variable, x, de la, 3ª, ecuación. Después pasa a ser la tercera ecuación del sistema la ecuación obtenida en este paso.

E '3 = E3 − 5 E1

El sistema equivalente resultante es

Se aplica nuevamente el método de reducción de forma sucesiva, se elimina ahora en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras otra incógnita, por ejemplo, x2,

obteniéndose otro sistema equivalente.

Se toman las ecuaciones 2 ª y 3 ª , del sistema equivalente resultante anterior para aplicando el método de reducción eliminar la incógnita, y.

E ' '3 = E '3 − 2 E '2

(11)

11 1 12 2 13 3 1 1

22 2 23 3 2 2

33 3 3 3

...

n n

mn n m

a x

b

c x

r

x

d

t

d

x

e

s

x



















Se obtiene el sistema equivalente escalonado.

Para resolver este sistema equivalente final, se despeja en primer lugar, la única incógnita que queda de la última ecuación. Se sustituye su valor en la penúltima ecuación y se calcula el valor de la otra incógnita que hay en esta penúltima ecuación del sistema. Se sigue este proceso llevando los valores obtenidos de las incógnitas a la ecuación inmediatamente superior del sistema equivalente, hasta llegar a la primera ecuación.

Encontrar las soluciones.

z = 1

− y + 4 · 1 = −2 y = 6

x + 6 −1 = 1 x = − 4

Una vez convertido el sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss en un sistema escalonado se ha de tener en cuenta que:

Si alguna ecuación de las transformadas del sistema inicial es de la forma, 0= d, d 0, el sistema es incompatible y no tiene solución.

En caso contrario el sistema es compatible y se distinguen los casos:

Si el número de ecuaciones del sistema no triviales es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Si el número de ecuaciones del sistema no triviales es menor que al número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Cramer

La compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales fue explicada por Rouché Fröbenius en el teorema que lleva su nombre

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de, m, ecuaciones lineales con, n, incógnitas tal como

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n n n n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

    

  

(12)

tenga solución ó sea compatible es que el rango de la matriz de coeficientes, A, del sistema y el rango de la matriz ampliada, A*, de dicho sistema sean iguales.

r= rango (A)= rango (A*)= r’

11 1 1 n m mn

a

A

a











_

_



















11 1 1

1

*

n

m mn m

a

b

A

a

b











_

_



















El valor de este rango indica el número de ecuaciones linealmente independientes que contiene el sistema de ecuaciones lineales.

Si este rango es igual al número de incógnitas del sistema de ecuaciones lineales entonces la solución del sistema es única.

Los sistemas homogéneos son siempre compatibles, ya que al menos tienen la solución trivial

x1= x2= x3=…=xn= 0

Si el número de incógnitas del sistema es mayor que este rango entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones se eligen, r, ecuaciones del sistema linealmente independientes y se pasan al segundo miembro de cada una de ellas las últimas, n-r, incógnitas. De esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones lineales de, r, ecuaciones, con, r, incógnitas.

Las, n-r, incógnitas que se pasan al segundo miembro de las ecuaciones se suelen designar con las letras, t1, t2, t3,…,tn-r, por lo que se dice que las soluciones del sistema dependen del valor real que tomen estos parámetros.

Si las soluciones dependen de un único parámetro, se dice que el sistema es uniparamétrico.

Si las soluciones dependen de dos parámetros, se dice que el sistema es biparamétrico.

( ) ( ) . . .

( ) ( )

( ) ( ) . . .

( ) ( ) . .

rango A rango B n S C DETERMINADO Solución única rango A rango B SISTEMA COMPATIBLE

rango A rango B n S C INDETERMINADO Infinitas soluciones

rango A rango B S INCOMPATIBLE No tiene so

n lución A s o e                                  

Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema de Cramer sí y sólo si se cumplen las condiciones:

El sistema tiene, n, ecuaciones, con, n, incógnitas.

La matriz de coeficientes del sistema tiene rango, n.

Rango (A)= n  A 0

Un sistema de Cramer es un sistema compatible ya que

Rango (A)= Rango (C1,C2,C3,…,Cn)= n= Rango (C1,C2,C3,…,Cn,B)= Rango (A*)

(13)

ecuaciones y sistemas Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan – Xuvia 134 det(C1,C2,C3,…,Cn) determinante de la matriz de coeficientes del sistema

det(B,C2,C3,…,Cn) determinante asociado a la incógnita, x1

det(C1,B,C3,…,Cn) determinante asociado a la incógnita, x2

det(C1,C2,B,…,Cn) determinante asociado a la incógnita, x3

……….

det(C1,C2,C3,…,B) determinante asociado a la incógnita, xn

las soluciones del sistema de Cramer se obtienen dividiendo el determinante asociado a cada incógnita por el determinante de la matriz de coeficientes, según las expresiones

x1= 2 3

1 2 3

det( ,

,

,...,

)

det(

,

,...,

)

n

B C C

C

C C C

C

x2= 1 3

1 2 3

det(

, ,

,...,

)

det(

,

,...,

)

n

C B C

C

C C C

C

x3= 1 2

1 2 3

det(

,

, ,...,

)

det(

,

,...,

)

n

C C B

C

C C C

C

………..

xn= 1 2 3

1 2 3

det(

,

,..., )

det(

,

,...,

_n

)

C C C

B

C C C

C

La demostración de estas expresiones se basa en las propiedades de los determinantes.

Puesto que el sistema es compatible, existe un conjunto solución que viene dado por

s1,s2,s3,…,sn

las cuales verifican el sistema de ecuaciones lineales

C1.s1 + C2.s2 + C3.s3 +…+ Cn.sn= B

La expresión

det(B,C2,C3,…,Cn)

se puede desarrollar en la forma

det(B,C2,C3,…,Cn)= det(C1.s1 + C2.s2 + C3.s3 +…+ Cn.sn, C2,C3,…,Cn)=

s1.(C1C2,C3,…,Cn)+s2.det(C2,C2,C3,…,Cn)+s3.det(C1,C2,C3,C3,…,Cn)+..

+sn.det.(Cn,C2,C3,…,Cn)= s1.(C1C2,C3,…,Cn)

todos los determinantes a excepción del primero son nulos por tener dos columnas iguales. Por lo tanto se tiene

s1=x1=

2 3 1 2 3

det( ,

,

,...,

)

det(

,

,...,

)

n

B C C

C

(14)

Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado tiene por expresión general

ax2+bx+c= 0 a,b,cℝ

La expresión de una ecuación de segundo grado se puede escribir pasando el término independiente, c, al segundo miembro en la forma

ax2+bx= -c

esta igualdad se mantiene aunque se multipliquen ambos miembros por el término, 4a

4a.(ax2+bx)= 4a.c

eliminando el paréntesis del primer miembro se escribe

4a2x2+4axb= -4ac

sumando, b2, en los dos miembros de esta expresión la igualdad se mantiene 4a2x2+4axb+ b2= -4ac+ b2

El primer miembro de la ecuación se puede escribir como el desarrollo del cuadrado de la suma del binomio

4a2x2+4axb+ b2= (2ax+b)2

Reordenando al mismo tiempo el segundo miembro de la ecuación se escribe

(2ax+b)2= b2-4ac

Haciendo la raíz cuadrada en los dos miembros de la ecuación, se consigue que el primer miembro quede escrito de forma

despejando de esta expresión la variable, x

2

4 2

b b ac

x

a

  



se obtiene la expresión que da las soluciones de una ecuación de segundo grado.

En función del valor del discriminante de la expresión anterior se razona el número de soluciones que tiene la ecuación de segundo grado

b2-4ac > 0

La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales distintas que vienen dadas por las expresiones:

2

1

4 2

b b ac

x

a

  



2

4 2

b b ac

x

a

  



2

(15)

ecuaciones y sistemas Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan – Xuvia 136 b2-4ac= 0

La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales iguales. Es decir tiene una única solución, que viene dada por la expresión

2

4

0

2

2 b

b

ac

b

x

a

 



 





de donde se obtienen las soluciones reales iguales 1

0

2

2 b

b

x

a

 





2 1

0

2

2 b

b

x

a

 





b2-4ac< 0

La ecuación de segundo grado no tiene solución real alguna pues se obtiene en su desarrollo una raíz cuadrada negativa. Las soluciones están en el campo de los números imaginarios o complejos.

2

4

2

2 b

b

ac

b

x

a

 



  



Las soluciones de una ecuación de segundo grado

2

1

4 2

b b ac

x a     2 2 4 2

b b ac

x

a

  



tienen las siguientes propiedades:

Suma de las soluciones

Si se suman ambas soluciones se tiene

Producto de las soluciones

Si se multiplican ambas soluciones se tiene

2 2 2 2

1 2

4 4 4 ( 4 ) 2

2 2 2 2

b b ac b b ac b b ac b b ac b b S x x

a a a a a

              

      





2

2 2

1 2 2 2

(

)

4

4 .

.

2

4

4 b

b

ac

b

ac

b

ac

c

P

x x

a



 



 



(16)

En general una ecuación de segundo grado

ax2 + bx + c= 0

se puede escribir de forma que su coeficiente principal sea la unidad, para ello se dividen todos sus términos por el coeficiente principal de la misma, a. Así

2

0 ax

bx

c

a



a



a



a

simplificando las fracciones resultantes se escribe

2

0 b

c

x

a





Si se tienen en cuenta las propiedades de la suma y del producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado, se escribe

1 2

b

S

x

a

 





1

.

2

c

P

x x

a



la expresión anterior de la ecuación de segundo grado se escribe

x2-Sx+P= 0

Una ecuación de segundo grado se dice incompleta o bien porque le falta el término de primer grado, o bien porque le falta el término independiente, o bien porque le faltan ambos. Dependiendo de que término falte se tiene:

Ecuación de segundo grado incompleta a la que le falta el término de primer grado

Tiene una expresión de la forma

ax2+c= 0

la solución se obtiene o bien mediante la expresión general que da las soluciones de una ecuación de segundo grado en la que se hace, b= 0, ó bien de forma simplificada despejando el término de segundo grado de la ecuación

ax2= -c

despejando la incógnita, x,

2

c

x

a

 

se obtienen los valores de la incógnita, x, tomando la raíz cuadrada en el segundo miembro de la ecuación anterior

1,2

c

x

a

(17)

ecuaciones y sistemas Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan – Xuvia 138 Ecuación de segundo grado incompleta a la que le falta el término independiente

Tiene una expresión de la forma

ax2+bx= 0

la solución se obtiene o bien mediante la expresión general que da las soluciones de una ecuación de segundo grado en la que se hace, c= 0, ó bien de forma simplificada sacando factor común, x, en el primer miembro de su expresión

x.(ax+b)= 0

dado que si dos factores se multiplican y dan como resultado, 0, se deduce que alguno de ellos ha de ser nulo, de esta forma

x= 0

ax+b= 0, ecuación lineal cuya solución es

x

b

a

 

que constituyen las soluciones de esta ecuación de segundo grado incompleta

Ecuación con coeficientes racionales

Si una ecuación tiene coeficientes racionales, es decir, si tiene coeficientes fraccionarios, para resolverla se han de eliminar estas fracciones, para ello se han de seguir en general los siguientes pasos:

1

5

3

1

4

10

8 x



x



x





 

Eliminar los denominadores numéricos de las fracciones que puedan existir.

Se reducen todas las fracciones a común denominador, el, m.c.m., de los denominadores de las fracciones existentes en la ecuación a resolver.

1 – x-5 – x-3 = - x+3 m.c.m.(1,4,10,8)= 23.5.1= 40

1 4 10 8 40:1= 40 40:4= 10 40:10= 4 40:5= 8

.1

.(

5)

.

4

10 (

3)

.(

3)

40

0 x



4 x



5 x





 

Una vez escritas todas las fracciones con denominador común, se suman, obteniéndose una única fracción en cada miembro de la ecuación.

40.1 10.(

5)

4.(

3)

5.(

3)

40

40 x

x







Igualar los numeradores de las fracciones que han quedado en ambos miembros de la ecuación, pues al tener igual denominador ambas fracciones en ambos miembros, si éstos han de ser iguales, han de tener igual sus numeradores.

(18)

Realizar las multiplicaciones que aparecen en ambos miembros de la ecuación eliminando los paréntesis que hubiese.

40 – 10x + 50 – 4x + 12= -5x – 15

Pasar al primer miembro de la ecuación todos los términos que contengan la variable ó incógnita del problema, generalmente se le llama, x, y al segundo miembro de la ecuación todos los términos que no contengan a dicha variable.

-10x – 4x + 5x= -15 – 40 – 50 – 12

Sumar en ambos miembros los términos semejantes.

-9x= -107

Si la suma en el primer miembro, miembro que contiene a la variable, x, es negativa, entonces se cambia el signo del resultado obtenido en ambos miembros en el apartado anterior.

9x= 107

Despejar la variable, x, pasando dividiendo al segundo miembro de la ecuación el coeficiente que multiplica a la variable, x.

x=

107

9

Ecuación polinómica

Se llama ecuación polinómica a aquella que tiene la incógnita como variable de un polinomio de grado mayor que dos en el primer miembro de la ecuación y por único término, el valor, 0, en el segundo miembro de la ecuación.

1x3+2x2-1x-2= 0

Para su solución:

Se factoriza el polinomio buscando los divisores de su término independiente que hacen nulo el resto de la división por el método de Ruffini

1 2 -1 -2 x3+2x2-x-2= (x-1).(x+1).(x+2)= 0 x- 1 1 3 2

1 3 2 0 Divisores del 2: {1,2} x- -1 -1 -2

1 2 0 x- -2 -2

0

Cada uno de los factores que dan lugar al polinomio se igualan a cero, dado que se tiene una ecuación de factores igualada a cero. Para que la igualdad se cumpla cada uno de los factores ha de ser nulo.

Factor Solución

x-1= 0 x= 1

x+1= 0 x= -1

x+2= 0 x= -2

(19)

ecuaciones y sistemas Departamento Matemáticas - CPR Jorge Juan – Xuvia 140 Un caso particular de ecuaciones polinómicas lo constituyen la ecuaciones bicuadradas, la cual es una ecuación polinómica de grado par, de una sola incógnita que tiene además:

En su expresión únicamente hay tres términos:

En el primer término, el principal, aparece la incógnita definiendo el grado de la ecuación, que ha de ser par.

En el segundo término aparece la incógnita con un grado igual a la mitad del grado de la ecuación.

El tercer término es el término independiente.

La ecuación bicuadrada al ser una ecuación polinómica puede intentar resolverse factorizando el polinomio que la conforma e igualando a cero cada uno de los factores resultantes.

Su expresión general es de la forma

axn + bxn/2 + c= 0 n, par

Para obtener sus soluciones se hace el cambio de variable

2 n

z



x

z2= xn

la ecuación bicuadrada se transforma en una ecuación de segundo grado en la variable, z

az2+bz+c= 0

Al resolver esta ecuación se obtiene en general dos soluciones:

z1

z2

se deshace el cambio de variable anterior y se escribe

2 1 n

x



z

, 2 1 n

x

 

z

2 2 n

x



z

, 2 2 n

(20)

Ecuación radical

Se llama ecuación radical a aquella que tiene la incógnita en una raíz o radical.

2

25

1 x



x



Para obtener sus soluciones:

Se deja en un miembro de la ecuación una raíz sola, pasando el resto de términos de la ecuación al otro miembro de la misma.

2

1

25 x

 



x

Se elevan los dos miembros de la ecuación a índice de la raíz que ha quedado sola.





2



2



2

1

25 x







x

Se desarrollan ambas potencias en los dos miembros de la ecuación.

x2 - 2x + 1= 25 - x2

Tras este paso ha desaparecido una raíz en la ecuación. Si la ecuación tenía al principio únicamente una raíz en su expresión, tras este paso ha desaparecido y resulta en su lugar un tipo de ecuación de los ya estudiados, lineal, cuadrático,…, que se resuelve como indica su teoría correspondiente.

2x2 - 2x - 24= 0

Simplificando la ecuación dividiendo todos sus términos por 2

x2-x-12= 0

resolviéndo esta ecuación

En caso de que la ecuación inicial tuviese en su expresión más de una raíz, tras el paso anterior habrá desaparecido una de ellas, pero todavía quedaría alguna raíz. En este momento se inicia el problema aplicando a la ecuación resultante que se tiene los mismos pasos que a la ecuación radical inicial. Así se iría reduciendo el número de raíces hasta que finalmente no quedase ninguna y resultase una ecuación de las vistas.

1 7

4

2

1 1 48

1 7

2

2 1 7

6

2

3

2

2 x















(21)

Ecuación logarítmica

Se llama ecuación logarítmica a aquella que tiene la incógnita en un logaritmo.

lg x= lg 2 + 2.lg (x-3)

Para su solución:

Se aplican las propiedades de los logaritmos hasta conseguir una igualdad entre dos logaritmos. Es decir, la ecuación quede reducida en ambos miembros a la forma:

lg (expresión1)= lg (expresión2)

lg x= lg 2 + lg (x-3)2

lg x= lg 2.(x-3)2

Se deduce entonces que dado que los logaritmos de ambas expresiones son iguales, entonces ambas expresiones también lo deben de ser.

expresión1= expresión2

x= 2.(x-3)2

Se resuelve la ecuación que resulta al igualar ambas expresiones, la cual ha de ser una de las ya conocidas.

x= 2.(x-3)2

x= 2.(x2-6x+9)

x= 2x2-12x+18

2x2–13x+18= 0

13 5

18

9

13 169 144

13 5

2

2 13 5

8

2

4

2

2 x

















Resolver la ecuación logarítmica, lg x= lg 2 + 2.lg (x - 3)

lg x= lg 2.(x - 3)2

x= 2.(x - 3)2= 2.(x2 + 9 - 6x)= 2x2 + 18 – 12x

2x2 – 13x + 18= 0

13 169 144

13 5

9

4

2

(22)

Resolver la ecuación logarítmica:

lg x + lg 3= lg 15

lg x.3= lg 15

3x= 15 x= 5

lg x – 2.lg (x - 1)= lg 4 – lg 8





2

l

g

4

8

1 g

x

l

x









2

1

8

2

4

1 x

x





2x= (x - 1)2= x2 + 1 - 2x

x2 - 4x + 1= 0

4 16 4

4 3' 46

3' 73

0 ' 27

2

2 x













2

lg 2

lg(11

)

2 lg(5

)

x









lg 2 + lg (11 – x2)= 2.lg (5 - x)

lg 2.(11 - x2)= lg (5 - x)2

2.(11 - x2)= (5 - x)2

22 - 2x2= 25 + x2 - 10x

3x2 - 10x + 3= 0

10 100 36

10 8

9

1

2

2 x













lg (x2 - 1) – lg (x + 1)= lg 5



2



1

5

1 lg

x

lg

x







2

1

5

1 x

x







(

1).(

1)

5 (

1)

x









(23)

Resolver el sistema

x + y= 9

lg x + lg y= lg 20

x + y= 9 x + y= 9 x + y= 9 x= 9 - y

lg x + lg y= lg 20 lg x.y= lg 20 x.y= 20

sustituyendo este resultado en la segunda ecuación del sistema

(9 - y).y= 20 9y - y2= 20

y2 - 9y + 20= 0

9 81 80

9 1

5 9 5

4

4 9 4

5

2

2 x

y

x



  











  

ax.ay= a5 lga (x

2

- y2)= lga 5

ax+y= a5 x + y= 5 x + y= 5 x + y= 5 x + y= 5

lga(x

2

- y2)= lga5 x

2

- y2= 5 (x+y).(x-y)= 5 5.(x - y)= 5 x - y= 1

2x = 6 x= 3

3 + y= 5 y= 2

2.lg x2 – lg y2= 4 2.lg x + lg y2= 2

4.lg x – 2.lg y= 4 4X – 2Y= 4 2.lg x + 2.lg y= 2 2X + 2Y= 2

6X = 6 X= 1 lg x= 1 x= 10

2 + 2Y= 2 Y= 0 lg y= 0 y= 1

lg x – lg y= 2 lg x + 2.lg y= 5

X – Y= 2 2X - 2Y= 4

X + 2Y= 5 X + 2Y= 5

3X = 9 X= 3 lg x= 3 x= 1000

(24)

Ecuación exponencial

Se llama ecuación exponencial a aquella que tiene la incógnita en el exponente de una potencia.

2x+2x+1+2x+2+2x+3= 480

Para su solución:

Se desarrollan las propiedades de las potencias según este orden:

.

n x n x

a





a a

x x n

n

a





 

. n

n x x

a



a

2x+2x.21+2x.22+2x.23= 480

Se hace el cambio de variable

ax= X

2x= X

X+X.21+X.22+X.23= 480

resultando como consecuencia de ello una ecuación de primer grado o de segundo grado en la variable, X. Se resuelve dicha ecuación obteniéndose los valores de la variable, X, que la verifican. Finalmente se deshace el cambio anterior para obtener el valor de la variable, x.

X+X.2+X.4+X.8= 480

Sacando factor común, X, en la expresión anterior

X.(1+2+4+8)= 480

X.15= 480

X= 480= 32 15

Se deshace el cambio de variable anterior

X= 2x

2x= 32= 25

(25)

Resolver la ecuación exponencial

23x= 0’53x+2

23x= 0’53x+2=

3 2

1

2

x

 

 

 

= (2-1)3x+2= 2-1.(3x+2)= 2-3x-2

igualando los exponentes de la expresión inicial y final se obtiene

3x= -3x - 2

pasando la variable al primer miembro de esta ecuación

3x + 3x= -2

6x= -2

2

1

6

3 x









2x.3x= 12.18

6x= 22x.3x= 12.18= 216= 63

x= 3

42x+3= 22x+5

24x+6= 22.(2x+3)= (22)2x+3= 42x+3= 22x+5

4x + 6= 2x + 5

pasando la variable al primer miembro de esta ecuación

4x - 2x= 5 - 6

2x= -1

1

2 x





2 ₅ ₆

5

x  x



1

2 ₅ ₆ ₀

5

x  x

 

1

5

x2-5x+6= 0

3

5 25 24

5 1

2

(26)

4x.5x-1= 1600

5

4

0

5

2 .

x x

x



= 4x.5x-1= 1600

igualando las expresiones inicial y final

20 1600

5

x



20x=1600.5= 8000

20x= 203 x= 3

2

2 1

1

2

x







23x+1= 2(x+2)+(2x-1)= 2X+2.22X-1= 1= 20

3x + 1= 0

1

3 x





2

4

1

3

9

x





2

4

2

1

3

9

3

x

 



4 - x2= -2

dejando la variable en el primer miembro de esta ecuación

-x2= -2 - 4

x2= 6

x



6

x

103x+6= 1

103x+6= 1= 100

3x + 6= 0

3x= -6

6

2

3

(27)

53-x= 125

53-x= 125= 53

3 - x= 3

-x= 3 - 3 x= 0

2

1

2

64

x

 



2

6

1

6

2

64

2

x

  



-1 - x2= -6

-x2= -5

x2= 5

x



5

1 1

1

8

4

x





2-2x-2= 2-2.(x+1)= (2-2)x+1=

1 1 ₁

2 1

3

1

8

2

4

x x _x_ 





 



 





 





 

-2x - 2= 3

-2x= 3 + 2= 5

2x= -5

5

2 x





2 ₂ ₁

2

x x



1

2 ₂ ₁ ₀

2

x x

 

1

2

x2 - 2x + 1= 0

2 0

1

2 4 4

2 0

₂

2 0

2

1

2 x













(28)

2x-1 + 4x-3= 5

3

2

4

5

2

4

x x





 

2

5

2

64

x x





sacando denominadores, haciendo m.c.m.(2,64)

32.2x + (2x)2= 320

llamando X= 2x

32.X + X2= 320 X2 + 32.X – 320= 0 32 1024 1280 32 48 8

40

2 2

X X

X 

    

  

  deshaciendo el cambio anterior

X= 8= 23= 2x x= 3

X= -40= 2x x= lg2 –40 No tiene solución

5x-2 + 5x + 5x+2= 651

5x + 5x + 52.5x= 651 52

sacando, 5x, factor común

2

1 5 .

1 25

651

5

x





 











651 5 .

651

5

x



1

651.5

5

651

x



(29)

3x + 3x+2= 90

3x + 3x.32= 90

3x + 3x.9= 90

3x.(1 + 9)= 90

3x.10= 90

3x=

90

10

= 9= 3

2

x= 2

2x-1 + 2x + 2x+1= 7

1 1

2

2 2 .2

7

2

x

x x





1

2 . 1 2 7

2

x 

  

 

 

7

2 . 7

2

x



1 7.2

2 2 2

7

x

  

x= 1

9x - 2.3x+2 + 81= 0

(32)x – 2.32.3x + 81= 0

(3x)2 – 18.3x + 81= 0

llamando, X= 3x, se escribe la ecuación de segundo grado

X2 – 18.X + 81= 0

9

18 324 324 18 0

9

2 2

X      

deshaciendo el cambio anterior e igualando los exponentes de los dos miembros

(30)

3x-1 + 3x + 3x+1= 117

1 1

3

3 3 .3

117

3

x

x x





1 3 .

1 3

117

3

x





 











13 3 .

117

3

x



3

117.3

3

27

3

13

x



x= 3

2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3= 480

2x + 2x.21 + 2x.22 + 2x.23= 480

2x.(1 + 2 + 4+ 8)= 480

2x.15= 480

5

480

2

32

2

15

x



x= 5

2x+2= 256

2x+2= 256= 28

Igualando los exponentes de la expresión inicial y final se obtiene

(31)

4x - 3.2x+1 + 8= 0

(22)x – 3.21.2x + 8= 0

(2x)2 – 6.2x + 8= 0

X2 – 6.X + 8= 0

4

6 36 32 6 2

2

2 2

X      

deshaciendo el cambio anterior e igualando los exponentes de los dos miembros

2x= 4= 22 x= 2

2x= 2= 21 x= 1

2x-1 + 2x-2 + 2x-3 + 2x-4= 960

1 2 3 4

2

960

2

x x x x





1

1 2 .

960

3

4

8

16

x

















15 2 .

960

16

x



10

960.16

2 1024

2

15

x



x= 10

5x= 125

5x= 125= 53

Igualando los exponentes de la expresión inicial y final se obtiene

(32)

32x+2 - 28.3x + 3= 0

32x.32 - 28.3x + 3= 0

9.(3x)2 – 28.3x + 3= 0

9.X2 – 28.X + 3= 0

3

28 784 108

28

26

1

18

9 X













deshaciendo el cambio anterior e igualando en cada expresión los exponentes de los dos miembros

3x= 3= 31 x= 1

2

1

3

9

3

x 



x= -2

72x+3 - 8.7x+1 + 1= 0

72x.73 – 8.71.7x + 1= 0

72x.343– 56.7x+1= 0

343(7x)2 – 56.7x + 1= 0

Llamando, X= 7x, se escribe la ecuación de segundo grado

343.X2 – 56.X +1= 0

1

2 2

1

7

56 3136 1372

56

42 ₇

1

686

7

49

7 X













Deshaciendo el cambio anterior e igualando en cada expresión los exponentes de los dos miembros

7x= 7-1 x= -1

7x= 7-2 x= -2

2x+1= 16

2x+1= 16= 24

(33)

52x - 30.5x + 125= 0

(5x)2 – 30.5x + 125= 0

X2 – 30.X +125= 0

5x= 25= 52 x= 2

5x= 5= 51 x= 1

52x - 6.5x + 5= 0

(5x)2 – 6.5x + 5= 0

X2 – 6.X + 5= 0

5

6

36

20

6

4

1

2

2 X













5x= 5= 51 x= 1

5x= 1= 50 x= 0

4x - 5.2x + 4= 0

(22)x - 5.2x + 4= 0

(2x)2 – 5.2x + 4= 0

X2 – 5.X + 4= 0

4

5 25 16

5

3

1

2

2 X













2x= 4= 22 x= 2

2x= 1= 20 x= 0

25

30 900 500

30

20

5

2

(34)

2.5x= 250

3

250

5

125

5

2

x



x= 3

9x - 2.3x - 3= 0

(32)x - 2.3x - 3= 0

(3x)2 – 2.3x - 3= 0

X2 – 2.X - 3= 0

3

2 4 12

2

4

1

2

2 X















3x= 3= 51 x= 1

3x= -1 x= lg3 -1 No existe

3.2x= 24

3

24

2

8

2

3

x



x= 3

3 7 x 2

a





a

3 7

7

2 3

x

a



a





7

3 x



= 2

eliminando los denominadores de esta ecuación

7 – x= 6