Tema 24 Conjuntos

(1)

CONJUNTOS

CPR. JORGE JUAN _Xuvia-Narón

Los conjuntos son conceptos primitivos que representan una totalidad, una reunión de cosas.

Un conjunto está formado por una serie de elementos susceptibles de poseer ciertas propiedades y de tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos ciertas relaciones.

Las reglas básicas que permiten conocer a un conjunto son:

A todo conjunto se le da un nombre que siempre es una letra mayúscula.

Los elementos que lo forman se representan mediante letras minúsculas.

Se puede dibujar o representar a un conjunto, para ello se utiliza una línea cerrada, llamada diagrama de Venn.

Se puede describir con letras o palabras, para ello se emplean un par de llaves, "{", entre las cuales se escriben los elementos que pertenecen al conjunto separándolos, uno de otro con, ";".

Un conjunto se puede definir por:

Extensión cuando se indican todos los elementos que lo componen

A= {a; e; i; o; u} B = {do; re; mi; fa; sol; la; si} C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Comprensión cuando se indica una característica que defina a sus elementos

A= {x / x es una letra vocal}

B = {x / x es una nota musical}

C = {x / x es un número de una sola cifra}

Al referirse a cada elemento que compone el conjunto, se habla en singular. Conviene, entonces, utilizar una letra a manera de "nombre" para no tener que estar indicando a cada momento: "que el elemento del conjunto es..." Se utiliza una letra para que represente a cualquier elemento del conjunto, esa letra siempre es la, x. Al escribir, x / conjunto de palabras, se lee, x tal que x y con estas palabras se hace referencia a lo que es, x, lo que es cada elemento que compone al conjunto.

Entre un conjunto y sus elementos se establecen los símbolos:

 pertenece a

Un elemento pertenece a un conjunto

 no pertenece a

A= {a,e,i,o,u} M= {m} ℕ

(2)

La estructura de una frase viene dada por sus partículas lógicas, las cuales constituyen el vocabulario lógico y no pueden ser sustituidas sin alterar dicha estructura.

En el lenguaje lógico pueden sustituirse las partículas lógicas por signos, que no sólo lo abrevian sino que le dan mayor precisión. Éstos son:

  para todo

 a, a

 existe al menos un

si, M a / aM

 º existe un único

  implicación lógica

pq de p se deduce q Si p entonces q p implica q

  equivalencia lógica

pq  pq y qp de p se deduce q y de q se deduce p p si y sólo si q

p es condición necesaria y suficiente para q

:= igual por definición

: equivalente por definición

Puede ocurrir que dados dos conjuntos, uno de ellos tenga todos los elementos del otro conjunto y algunos más. Se dice entonces que el otro conjunto está incluido en el primero. Esta inclusión de un conjunto en otro se indica a través del símbolo, .

Cuando un conjunto, A, está incluido en otro conjunto, B, más grande se dice que es un subconjunto de B. Se verifica que todos los elementos del conjunto, A, están incluidos en el conjunto, B, y en simbología se escribe

A B  aA  aB

B= {1,2{1,3}4,5}

3B {1,3}B {1,3}B {{1,3}}B

Subconjunto Complementario

Sea

A, B,  subconjuntos del conjunto, X

Se llama conjunto complementario del subconjunto, A, respecto del conjunto, X, y se denota por, CXA, a otro subconjunto del conjunto, X, formado por los elementos del conjunto, X, que no pertenecen al subconjunto, A.

CXA= {xX / xA}X

(3)

X= CX

  = CXX

A= CX(CXX)

A= CXB  B= CXA

Subconjunto Propio

Sea

A subconjunto del conjunto, X

Se dice que el subconjunto, A, es un subconjunto propio del conjunto, X, o que está contenido estrictamente en el conjunto, X, si

AX y A X

Con los subconjuntos se pueden realizar las siguientes operaciones:

Unión de subconjuntos

Sea

A,B subconjuntos del conjunto, X

Se llama unión de los subconjuntos, A, y, B, del conjunto, X, y se representa por, AB, a otro subconjunto del conjunto, X, formado por los elementos que pertenecen al subconjunto, A, ó al subconjunto, B.

AB= {x / xA ó xB}X

Intersección de subconjuntos

Sea

A,B subconjuntos del conjunto, X

Se llama intersección de los subconjuntos A y B, del conjunto, X, y se representa por, AB, a otro subconjunto del conjunto, X, formado por los elementos que pertenecen al subconjunto, A, y al subconjunto, B.

AB= {x / xA y xB}X

Intuitivamente se deduce que todos los conjuntos no tienen la misma cantidad de elementos. Se define entonces una propiedad matemática llamada cardinal de un conjunto, la cual informa del tamaño o de la cantidad de elementos que contiene un conjunto.

El cardinal de un conjunto se puede representar de varias formas:

Utilizando el símbolo, #, antes del número que indica la cantidad de elementos que tiene el conjunto.

D = {x / x es un mes del año} Card D= #12

Encerrando el número que indica la cantidad de elementos entre barras, | |.

(4)

La cantidad de elementos que tiene un conjunto, sirve para definir a determinados conjuntos:

Conjunto vacío, 

Aquel conjunto que no tiene elemento alguno. Se representa por uno de estos dos símbolos:

 {}

El cardinal de este conjunto es cero.

Para cualquier elemento se verifica:

m

Conjunto infinito

Aquel conjunto en el que no se puede indicar la cantidad de elementos que lo componen. Son tantos los elementos que lo forman que no existe un cardinal que pueda determinar su tamaño, se usa entonces el símbolo, ∞, infinito para indicar el cardinal del conjunto.

Un tipo de conjunto infinito es el de los Conjuntos Numéricos, los cuales son:

Números Naturales, ℕ

Conjunto de números que permiten contar objetos. Son los primeros números que se aprenden de forma natural. Este conjunto por extensión es

ℕ= {0,1,2,3,.... ,}

Números Enteros, ℤ

Conjunto de números que permiten obtener el resultado de aquellas restas de números naturales que no se podían hacer. Este conjunto por extensión es

ℤ= {-, ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.... }

Se deduce que, ℕℤ, pues los números naturales son los números enteros positivos.

Números Racionales, ℚ

Cuando la división de números enteros no da como resultado otro número entero, entonces la división se deja indicada en forma de fracción, surgiendo de esta manera este nuevo conjunto de números.

Los números racionales, que se representan por el símbolo, ℚ, viene definido por comprensión como:

El conjunto definido por los números enteros, a, y, b, escritos en forma de fracción, a/b, y en el que además el número entero, b, que está en el denominador de la fracción no es el número cero.

ℚ= {

a

b

/ (a,b)ℤxℤ*} {

a

b

/ a,bℤ, b 0} ℤ*= ℤ-{0}

(5)

Se deduce que, ℤℚ, pues basta hacer, b= 1, para convertir los números racionales en números enteros.

Números Irracionales, I

Es el conjunto formado por los números que no pueden escribirse en forma de fracción, es decir, no pueden obtenerse por la división de dos números enteros y tienen un desarrollo decimal de infinitas cifras no periódicas.



Números Reales, ℝ

Es el conjunto de números formado por todos los conjuntos de números indicados hasta ahora.

ℝ= ℚI

Números Complejos, C

En determinadas ocasiones pueden aparecer en el desarrollo de la solución de una ecuación, raíces cuadradas ó de índice par con el radicando negativo, que en el conjunto de los números reales no tienen sentido ó solución. Para evitar este inconveniente se define el conjunto de los números complejos en los que estas raíces tengan sentido. Este conjunto viene definido por comprensión como

C={ a+bi / a,bℝ; i= 1}

Se deduce que, ℝC, pues basta hacer, b= 0, para convertir los números complejos en números reales.

Conjuntos disjuntos

Sea

A, B conjuntos

Se dice que los conjuntos, A, y, B, son disjuntos si no tienen elementos comunes. Se verifica

AB= 

Conjunto Partes de X, P(X)

Sea

X conjunto

Se llama conjunto de partes de X, y se representa por, P(X), a aquel conjunto que tiene como elementos los subconjuntos del conjunto, X.

(6)

X= {a,b,c}

P(X)= {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

Familia de Partes de X

Es un subconjunto, F, del conjunto Partes de X.

FP(X)

F= {,{a,b}, {b,c}}P(X)

Con las familias del conjunto de Partes de X, se realizan las siguientes operaciones:

Unión de Familia de Partes de X

Sea

F una familia del conjunto, P(X)

Se llama unión de una familia, F, de Partes de X, y se representa por, F, al subconjunto del conjunto, P(x), formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos que son elementos de la familia, F.

F= {,{a,b}, {b,c}} F= {a,b,c}

  

Recubrimiento

Sea

A subconjunto del conjunto, X

Un recubrimiento del subconjunto, A, del conjunto, X, es una familia, F, de Partes de X que verifica:

AF

Intersección de Familia de Partes de X

Sea:

Se llama intersección de una familia, F, de Partes de X, y se representa por, F, al subconjunto del conjunto, P(x), formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos que son elementos de la familia, F.

    F= 

Partición, P, del conjunto, X

Sea

X un conjunto

(7)

X= F

  Fi,FjF, FiFj= 

Sobre los conjuntos se definen las siguientes operaciones:

Producto cartesiano

Sea

A, B conjuntos

= {,,,…} conjunto de operadores

Se denomina producto cartesiano del conjunto, A, por el conjunto, B, y se denota, AxB, al conjunto de todos los pares ordenados, (a,b), definido de la forma:

AxB= (a,b) / aA, bB

A={1,2,3}

B={a,b,c,d,e,f}

AxB= {(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(1,e),(1,f),(2,a),….,(3,a),(3,b),…,(3,f)}

f (1,f) (2,f) (3,f) e (1,e) (2,e) (3,e) d (1,d) (2,d) (3,d) c (1,c) (2,c) (3,c) b (1,b) (2,b) (3,b) a (1,a) (2,a) (3,a)

1 2 3

se verifica:

(a,b)  (b,a)

Aplicación

Sea

A, B conjuntos

Se denomina aplicación entre el conjunto, A, y el conjunto, B, a una correspondencia que le asigna a todos los elementos del conjunto, A, algún elemento del conjunto, B.

f: A → B

1 a 2 b 3 c d

(8)

Inyectiva

A elementos distintos del conjunto, A, le corresponden elementos distintos del conjunto, B.

f: A → B

1 a 2 b 3 c d

Sobreyectiva

A todo elemento del conjunto imagen, B, le corresponde al menos un elemento del conjunto origen, A.

f: A → B

1 a 2 b 3 c d e f

Biyectiva

Es aquella aplicación que es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Se deduce que en este caso los conjuntos, A, y, B, han de tener el mismo número de elementos.

Card (A)= Card (B)

f: A → B

1 a 2 3 c

d

Ley de composición binaria interna

Sea

A conjunto

Se llama ley de composición binaria interna u operación en el conjunto, A, a toda aplicación

: AxA → A

(x,y)AxA → f(x,y)= xyA

La ley de composición binaria interna en el conjunto, A, puede tener las siguientes propiedades:

Conmutativa

x,yA → xy= yx

Asociativa

(9)

Teorema de asociabilidad

La propiedad asociativa aplicada a n-elementos del conjunto, A, da un resultado que no depende de las agrupaciones efectuadas entre ellos siempre que se conserve su ordenación inicial.

x,y,z,t,rA → (xy)[z(tr)]= [x(yz)](tr)

Teorema de asociabilidad y conmutabilidad

Si la ley de composición interna en el conjunto, A, tiene la propiedad conmutativa entonces aplicada la ley de composición interna a n-elementos el resultado obtenido no depende de las agrupaciones realizadas con ellos ni del orden en que se hayan efectuado.

Distributiva

Sea

: AxA → A

: AxA → A

(x,y)AxA → f(x,y)= xyA dos leyes de composición binaria internas definidas sobre el conjunto, A

Se dice que la ley de composición binaria interna, , tiene:

Propiedad distributiva a la izquierda sobre la ley de composición binaria interna, 

Si se verifica

x,y,zA → x(yz)= (xy)(xz)

Propiedad distributiva a la derecha sobre la ley de composición binaria interna, 

Si se verifica

x,y,zA → (xy)z= (xz)(yz)

La ley de composición binaria interna, , tiene la propiedad distributiva sobre la ley de composición binaria interna, , cuando tiene la propiedad distributiva a la izquierda y a la derecha, lo cual ocurre cuando la ley de composición binaria interna, , tiene la propiedad conmutativa.

Elemento neutro

Se dice que el elemento, e, del conjunto, A, es:

Elemento neutro por la izquierda de la ley de composición binaria interna, 

Si se verifica

(10)

Elemento neutro por la derecha de la ley de composición binaria interna, 

Si se verifica

xA, eA → xe= x

Si el elemento, e, es al mismo tiempo elemento neutro por la izquierda y por la derecha para la ley de composición binaria interna, , entonces se dice que es el elemento neutro de esta ley.

xA, eA → ex= xe= x

Al operar cualquier elemento, x, del conjunto, A, con el elemento neutro, e, el resultado es el elemento original, x.

Conjunto Operación Elemento neutro

números reales suma y resta 0

números reales multiplicación y división 1

funcionesde un conjunto a sí mismo composición de funciones función identidad

matricesmxn suma de matrices matriz de ceros

matricesnxn producto de matrices matriz identidad

vectores suma de vectores vector nulo

cadenas de caracteres concatenación de cadenas cadena vacía

Teorema de unicidad

Si la ley de composición binaria interna, , sobre el conjunto, A, tiene elemento neutro, e, éste es único.

Supongamos que el elemento neutro para la ley de composición binaria interna, , no fuese único, entonces existen dos elementos distintos del conjunto, A, que serían elementos neutros

e,e’A

por ser, e, elemento neutro de la ley de composición binaria interna, 

ee’= e’

por ser, e’, elemento neutro de la ley de composición binaria interna, 

ee’= e

de donde se deduce que

e= e’

Elemento regular

Se dice que el elemento, r, del conjunto, A, es:

Elemento regular por la izquierda de la ley de composición binaria interna, 

(11)

x,yA / rx= ry → x= y

Elemento regular por la derecha de la ley de composición binaria interna, 

Si se verifica

x,yA / xr= yr → x= y

Si el elemento, r, es al mismo tiempo elemento regular por la izquierda y por la derecha para la ley de composición binaria interna, , entonces se dice que es el elemento regular de esta ley.

Si todos los elementos del conjunto, A, son regulares respecto a la ley de composición binaria interna definida sobre dicho conjunto, entonces la lay de simplificación es válida para esta ley de composición binaria interna.

Elementos simétricos

Se dice que un elemento, a, del conjunto, A, tiene:

elemento simétrico por la izquierda respecto de la ley de composición binaria interna, , si:

aA, a’A, a’a= e

elemento simétrico por la derecha respecto de la ley de composición binaria interna, , si:

aA, a’A, aa’= e

Se dice que el elemento, a, del conjunto, A, tiene elemento simétrico, a’, respecto de la ley de composición binaria interna, , si tiene elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

aA, a’A, a’a= aa’= e

Si la ley de composición interna es la suma ó adición, +, el elemento simétrico se denomina opuesto, y se denota, -a.

En el conjunto de números enteros, ℤ, la suma, +, es una ley de composición binaria interna

+: ℤ x ℤ → ℤ

a,bℤ, (a,b) → c= a+bℤ

el elemento neutro para esta ley de composición binaria interna se le denomina cero y se le denota por, 0.

aℤ, 0 ℤ, a+0= 0+a= a

el elemento simétrico para esta ley de composición binaria interna se le denomina opuesto y se le denota por, -a.

aℤ,  -a ℤ, a+(-a)= (-a)+a= 0

(12)

En el conjunto de números enteros, ℚ, la multiplicación, ., es una ley de composición binaria interna

. : ℚ x ℚ → ℚ

a,b ℚ, (a,b) → c= a.bℚ

el elemento neutro para esta ley de composición binaria interna se le denomina unidad y se le denota por, 1.

aℚ, 1 ℚ, a.1= 1.a= a

el elemento simétrico para esta ley de composición binaria interna se le denomina inverso y se le denota por, a-1.

aℚ, a-1_ℚ,_a.a-1_{= a}-1_{.a= 1}

Teorema de unicidad

Si la ley de composición binaria interna, , sobre el conjunto, A, tiene la propiedad asociativa, entonces si un elemento, a, del conjunto, A, tiene simétrico, a’, éste es único.

Supongamos que el elemento, a, del conjunto, A, tuviese dos elementos simétricos, a’, y, a”.

por ser el elemento, a’, del conjunto, A, el simétrico del elemento, a, del conjunto, A

aa’= a’a= e

componiendo el elemento, a”, por la izquierda en la expresión anterior

a”(aa’)= a”e= a”

aplicando la propiedad asociativa en el primer miembro de la expresión anterior

(a”a)a’= a”

por ser, a”, y, a, elementos simétricos, a”a= e, por lo que se escribe

ea’= a”

a’= a”

Teorema

Si la ley de composición binaria interna, , sobre el conjunto, A, tiene la propiedad asociativa, y los elementos, a, y, b, del conjunto, A, tienen como elementos simétricos a los elementos del conjunto, A, a’, y, b’, respectivamente entonces el simétrico del elemento, ab, es, b’a’.

Si los elementos del conjunto, A, ab, y, b’a’, son simétricos se ha de verificar

[ab][b’a’]=e

aplicando la propiedad asociativa el primer miembro de la expresión anterior

(13)

Ley de composición binaria externa

Sea

A conjunto

Se llama ley de composición binaria externa en el conjunto, A, a toda aplicación

f: xA → A

(,x)xA → f(,x)= .f(x)A

La ley de composición binaria externa en el conjunto, A, puede tener las siguientes propiedades:

Distributiva de la operación binaria externa, f, sobre el conjunto, A, respecto de la operación binaria interna, , sobre el conjunto, A

, x,yA → f[,(xy)]= f(,x)f(,y)

.f(xy)= .f(x)  .f(y)

Distributiva de la operación binaria interna, , sobre el conjunto, A, respecto de la operación binaria externa, f, sobre el conjunto, A

,, xA → f[(+),x]= (+).f(x)= .f(x) + .f(x)

Asociatividad mixta respecto al producto de operadores

,, xA → f[(.),x]= (.).f(x)= .[.f(x)]

Asociatividad mixta respecto a la composición de elementos del conjunto, A, en el que está definida la ley de composición binaria interna, 

, x,yA → f[(,(xy)]=[[,f(x)]y]= [x[,f(x)]

Neutralidad del neutro del conjunto de operadores respecto a la ley de composición binaria, f, definida sobre el conjunto, A

xA, e elemento neutro de este conjunto → f[(e,x]= e.f(x)= f(x)

Dependiendo del número de leyes de composición interna definidas sobre un conjunto, A, así como de la ley de composición externa definida en ese conjunto, A, sobre un conjunto de operadores, así como de las propiedades que éstas leyes de composición tengan, se dice que éstas le dan al conjunto, A, las siguientes estructuras:

Semigrupo

Si la ley de composición binaria interna tiene la propiedad asociativa. Si además tiene elemento neutro, el conjunto, A, se dice que es un monoide.

Grupo

Si la ley de composición binaria interna tiene las propiedades:

Asociativa

Elemento neutro

(14)

Si además tiene la propiedad conmutativa el conjunto, A, se dice que es un grupo abeliano.

Subgrupo

Si el conjunto, H, es un subconjunto del grupo, A, HA, y además el conjunto, H, con la misma ley de composición binaria interna que la definida sobre el conjunto, A, tiene estructura de grupo, entonces si dice que el conjunto, H, es un subgrupo del grupo, A.

El subgrupo, H, del grupo, A, contiene:

El elemento neutro del grupo, G.

Los elementos inversos de todos sus elementos.

La composición por la ley de composición binaria interna definida sobre el subgrupo, H, de cada dos de sus elementos.

Teorema

La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto, H, del grupo, A, sea un subgrupo del grupo, A, es que se verifique

x,yH → x o y-1H

Si el conjunto, H, es un subgrupo del grupo, A, tomados dos elementos del mismo, se deduce:

x,yH → y-1H → x o y-1H

Se llama subgrupo propio de un grupo, A, a un subgrupo, H, que es un subconjunto propio del conjunto, A, es decir, H≠ A.

Se llama subgrupo trivial del grupo, A, al subgrupo formado únicamente por el elemento identidad, {e}.

Semianillo

Sea

A conjunto sobre el que están definidas dos leyes de composición binaria internas

:AxA → A

:AxA → A

(x,y)AxA → f(x,y)= xyA

Si tiene las propiedades respecto a:

La ley de composición binaria interna, 

Asociativa

Conmutativa

(15)

La ley de composición binaria interna, 

Asociativa

Distributiva la ley de composición binaria interna, , repecto de la ley de composición binaria interna, 

Es un semianillo. Si la ley de composición binaria interna, , tiene además las propiedades:

Conmutativa

El semianillo se dice conmutativo.

Elemento neutro

El semianillo se dice unitario.

Anillo

Sea

:AxA → A

:AxA → A

Asociativa

Conmutativa

Elemento neutro

Elemento simétrico

Es un grupo abeliano

Asociativa

Distributiva la ley de composición binaria interna, , respecto de la ley de composición binaria interna, 

El conjunto, A, tiene estructura de anillo. Si la ley de composición binaria interna, , tiene además las propiedades:

Conmutativa

(16)

Elemento neutro

El anillo se dice unitario.

Se deducen las siguientes consecuencias para el conjunto, A, por tener estructura de anillo:

Por ser un grupo abeliano para la ley de composición binaria interna, 

Teorema de asociatividad y conmutabilidad

Unicidad del elemento neutro

Unicidad del elemento opuesto

Regularidad de los elementos del conjunto, A

Posibilidad de la sustracción

La composición con la ley de composición binaria interna, , de cualquier

elemento con el elemento neutro de la ley de composición binaria interna, , es el propio elemento neutro de esta ley, 

a(b0)= ab igualdad evidente por ser, b0= b

aplicando en el primer miembro de la expresión anterior la propiedad distributiva de la ley de composición binaria interna, , respecto a la ley de composición binaria interna, , se tiene

a(b0)= ab  a0

igualando los dos resultados obtenidos

ab  a0= ab

se deduce entonces que, a0, es elemento neutro de la ley de composición binaria interna, . Por la unicidad de este elemento neutro se tiene

a0= 0

a(-b)= -(ab)

a(-bb)= a0= 0

aplicando en el primer miembro de la expresión anterior la propiedad distributiva de la ley de composición binaria interna, , respecto a la ley de composición binaria interna, , se tiene

a(-bb)= a(-b)  ab

igualando los dos resultados obtenidos

a(-b)  ab= 0

se deduce que el elemento, a(-b), es el opuesto del elemento, ab, para la ley de composición binaria interna, .

(17)

(-a)(-b)= ab

(-a)(-b)= -[ a(-b)]= -[-(ab)]= ab

Subanillo

Si el conjunto, S, es un subconjunto del anillo, A, HA, y además el conjunto, S, con las mismas leyes de composición binaria interna que las definidas sobre el conjunto, A, tiene estructura de anillo, entonces si dice que el conjunto, S, es un subanillo del anillo, A.

Todo subanillo, S, del anillo, A, es un subgrupo del grupo, (A,).

Teorema

La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto, S, de un anillo, A, en el que están definidas las leyes de composición binaria internas, , y, , sea un subanillo del mismo es que se verifique

x,yS → xy-1S xy-1S

Cuerpo

Sea

:AxA → A

:AxA → A

Asociativa

Conmutativa

Elemento neutro

Es un grupo abeliano

Asociativa

Conmutativa

Elemento neutro

(18)

Un cuerpo es un anillo cuyos elementos no nulos forman un grupo con la ley de composición binaria interna, .

Subcuerpo

Si el conjunto, S, es un subconjunto del cuerpo, A, HA, y además el conjunto, S, con las mismas leyes de composición binaria interna que las definidas sobre el conjunto, A, tiene estructura de cuerpo, entonces si dice que el conjunto, S, es un subcuerpo del cuerpo, A.

Teorema

La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto, S, de un cuerpo, A, en el que están definidas las leyes de composición binaria internas, , y, , sea un subcuerpo del mismo es que se verifique

x,yS → xy-1S xy-1S