XXXII
LA VEL
OCIDAD DE LA LUZ EN UK CAMPO GRAVIT ACIONAL
RÉSUMÉ
LA VEL
OCIDAD DE LA LUZ EN UN CAMPO GRAVIT ACIONAL
E s b ien con ocid o que, segú n la teoría de la gr a vit ación de Ein slein , la
velocid a d de la luz es fu n ción del ca m p o gr a vit acio- n a l ; per o el p r ob lem a qu e n os p r op on em os ahor a es el aver igu ar de si en un m ism o p u n t o de u n cam p o gr a vit acion al dado, pu ed en dos r ayos lu m in osos, pr oceden t es de un a m ism a fuen te, tener velocid ad es dist in t as si han r ecor r id o ca m in os óp t icam en te d i ferent es, es d ecir , con d istin t o ín d ice de r efr acción .
Tr at ar em os el p r oblem a r efirién don os al cam p o gr a vit a cion a l de u n a p ar t ícu la aislada, y su p on d r em os al r a yo lu m in oso m ovién d ose en d ir ección r ad ial. Nu est r o p r oblem a, en con cr et o, con sist ir á, pues, en ca lcu la r la d ifer en cia de velocid ad de dos r ayos lu m in oso s qu e par t ien d o de Á (Hg. i ) llegan a B, h abien d o atr avesado m ed ios óp t icam en t e d is t in t os. Su p on d r em os que u n o de los r a yos lu m i n osos se p r op a ga en el vacío y el otr o en u n m ed io
cu yo ín d ice de r efr acción es n , y deber em os, pues,
ca lcu la r las geod ésicas de am b os. Co m o h em os su p u esto que la p r op a ga ción de las on d as lu m in o sas es r adial, la fór m u la de Sch wa r zs cliild , que
exp r esa el elem en to d s2, se r edu ce en coor d en ad as p olar es p or ser O y o
sien do k la constante de gr avit ación n ewlon ian a, m la masa de la partí
cula y c la velocidad de la luz en ausen cia del cam po gr avitacion al.
Si en las ecuacion es con ocidas de la geodésica,
hacem os X 1 = r y X i = t, tom an do k = 3 resulta :
de la cual se obtiene :
siendo B una constante de in tegr ación . Llevan do este valor a la ( i ) r e sulta :
El valor de la constante B se calcular á de acuer do a las con d icion es in i
ciales, pues, si para un valor /’0 de r es la velocidad igu al a Y0 se tendrá :
de donde podrá sacarse el valor de B. En esta ú ltim a ecuación es
d r
Der ivan do la (5) respecto del tiem po y llam an do a la velocidad = Y^
resulta para la aceler ación :
A
donde — - correspon de a la aceleración dada por la ley de Newt on .
Esta fór m u la según la cual, com o se ve, la aceleración depen de de la velocidad, y cu ya deducción es tan in m ediat a, nos in dujo a plan tear n os
ú pr oblem a m otivo de la presente nota.
Se ve por la (7) que según sea :
habrá r ep u lsión o at r acción r espectivam en te. La (5) es la ecu ación d é la s geod ésicas de Ia sup er ficie esp a cio-t iem p o de d os d im en sion es de cu ya r epr esen tación , en u n esp acio eu clid ea n o de tres, n os h em os ocu p a d o en un t rabajo an t er ior ('), y con el a u xilio de d ich a r ep r esen tación se co m prende in m ed iat am en t e que la aceler ación debe d epen der de la velocid ad .
Tr at em os ah or a el p r ob lem a p r op u est o. Sea en A : X0 = X {>' = /■„), y en
B : X = X, (/• = lla m em os C0a la velocid ad de la lu z en A y C1la velo
cid ad de la on d a lu m in osa en B par a el r a yo qu e se p r op a ga en el vacío
y, según (5) y (6), se ten drá :
Lla m a n d o a h or a c' a la velocid a d de la lu z al pen etrar en el m ed io cu yo
ín d ice de r efr a cción es n , ten d r em os :
( 1) E . Lo e d e l Pa l u m b o, Fo r m a d e la s u p er ficie esp a cio t iem p o d e d os d im en sio n es, d e un cam p o
g r a v it a cio n a l p r ov en ien t e de un a m a sa p u n t if o r m e. E s t a s Co n t r ib u cio n e s f 4, p á g i n a 8 í , 19 2 6 ; P h y s i-k a lisch e Z e it s c h r if t i 2 7, p á g in a 6 4 5, 19 2 6 .
Esta diferencia de velocidad de dos r ayos lam in osos pr oven ien tes de una m ism a fuente y en un m ism o pun to del cam p o, resulta tan pequeña que se hace in observable exp er im en t alm en t e; pero, en cualqu ier for m a, creem os interesante hacer destacar este r esultado de la teoría. Obser var e m os todavía, el hecho cur ioso, que si am bos r ayos se d ir igen alejándose del cam po gr avit acion al y recorrien do cierto trayecto en m edios ópt ica mente distintos, podr ían tener diferente velocidad aún en el infinito, es decir, en ausencia de todo cam po de gravit ación .
Debem os agregar aún, que las fór m ulas precedentes se han deducido supon ien do que las geodésicas de un r ayo lu m in oso que se pr opaga den tro de u n m edio cualquier a, son las m ism as que las de un a partícula que se m oviera librem en t e con la velocidad que tiene la luz en ese m edio.
E nr i qu e Lo e de l P al u m b o .
( En t r egad o a la Com isión de pu blicacion es el a8 de ju n io de nja8 ; im p r es o en oct u b r e de 1928.)
