Aplicaciones de las funciones exponenciales.
Interés Compuesto: Si un capital inicial 𝐶0 es sometido a una tasa de interés 𝑟, al cabo de 𝑛 periodos
el capital acumulado es
𝐶 = 𝐶0(1 + 𝑟)𝑛
Si la tasa de interés compuesto es anual pero se recalcula por periodos menores a un año entonces
𝐶 = 𝐶0(1 + 𝑟 𝑘)
𝑘
donde 𝑘 es la cantidad de periodos.
Ejemplos
1- Un capital de ₡12 000 se coloca en una cuenta que devenga un interés compuesto del 2% mensual,
¿a cuánto asciende el capital al cabo de un año?
Solución: Los intereses se calculan mensualmente, por lo tanto 𝑛 = 12 y 𝑟 = 0,02. Al cabo de un año el capital es
𝐶 = 𝐶0(1 + 𝑟)𝑛 𝐶12= 12000(1 + 0,02)12
𝐶12= 15218,9 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
2- Un capital de ₡155 000 se coloca en una cuenta que devenga un interés compuesto del 1.75%
mensual, ¿a cuánto asciende el capital al cabo de dos años?
Solución: Los intereses se calculan mensualmente, y en dos años hay 𝑛 = 24 meses. Al cabo de los dos años el capital es
𝐶 = 𝐶0(1 + 𝑟)𝑛 𝐶 = 155000(1 + 0,0175)24
3- Un capital de ₡100 000 se coloca a una tasa de interés compuesto anual del 18%. Calcular el capital
que se tendrá al final de un año si el interés se calcula:
a) Semestralmente.
b) Trimestralmente.
c) Diariamente.
Solución: El interés anual del 18% se recalcula en periodos menores al año, por lo tanto la fórmula a
utilizar es
𝐶 = 𝐶0(1 + 𝑟 𝑘)
𝑘
a) Semestralmente 𝑘 = 2, 𝑟 = 0,18
𝐶 = 100 000 (1 +0,18 2 )
2
𝐶 = 118 810
b) Trimestralmente 𝑘 = 4, 𝑟 = 0,18 (un año tiene 4 trimestres).
𝐶 = 100 000 (1 +0,18 4 )
4
𝐶 = 119 251
c) Diariamente 𝑘 = 365, 𝑟 = 0,18 (año natural de 365 días)
𝐶 = 100 000 (1 +0,18 365)
365
𝐶 = 119 716
4- Un estudiante coloca ₡50 000 a cierto interés compuesto. Si el interés se calcula trimestralmente,
al final del año el capital es de ₡54 121,70. Determine la tasa de interés anual.
Solución: Se tiene que 𝐶0= 50 000, 𝐶 = 54 121,7 y 𝑘 = 4.
𝐶 = 𝐶0(1 + 𝑟 𝑘)
𝑘
Se tiene
54 121,7 = 50 000 (1 +𝑟 4)
4
54 121,7
50 000 = (1 + 𝑟 4)
4
1,0824 = (1 +𝑟 4)
4
1,02 = 1 +𝑟 4 𝑟 = 0,08
La tasa de interés es del 8%.
5- Un inversionista desea colocar $40 000 en una entidad financiera. La financiera A le ofrece un
interés compuesto del 10% anual calculado mensualmente; la financiera B le ofrece un interés
compuesto del 12% anual calculador semestralmente. Suponiendo que ambas entidades representan
el mismo nivel de riesgo, ¿cuál le conviene más?
Solución:
Financiera A. 𝐶 = 𝐶0(1 + 𝑟 𝑘)
𝑘
= 40 000 (1 +0,1 12)
12
= 44 188, 5
Financiera B. 𝐶 = 𝐶0(1 + 𝑟 𝑘)
𝑘
= 40 000 (1 +0,122 )2= 44 944
R/ Conviene más invertir en la financiera B
Depreciación: La depreciación de un artículo depende de varios factores, el más común de ellos es
el tiempo transcurrido desde el momento de la compra.
Ejemplos
6- Una empresa adquiere una máquina en $5 000 y se deprecia continuamente desde la fecha de
𝑉(𝑡) = 5000𝑒−0,15𝑡
a) Calcular el valor de la máquina 5 años después de haber sido adquirida.
b) Determinar el porcentaje de depreciación de su valor cada año.
Solución:
a)
𝑉(5) = 5000𝑒−0,15∙5 = 2361,83
b) La depreciación del año 𝑡 al año 𝑡 + 1 viene dada por
𝑉(𝑡 + 1) − 𝑉(𝑡) = 5000𝑒−0,15(𝑡+1)− 5000𝑒−0,15𝑡
= 5000𝑒−0,15𝑡∙ 𝑒−0,15− 5000𝑒−0,15𝑡
= 5000𝑒−0,15𝑡(𝑒−0,15− 1)
= 5000𝑒−0,15𝑡 ∙ −0,14
= −14% ∙ 5000𝑒−0,15𝑡
= −14% ∙ 𝑉(𝑡)
R/ El porcentaje de depreciación es del 14%.
7- La compañía DORADITA adquirió un equipo en $8 500; este se deprecia continuamente desde la
fecha de adquisición de modo que su valor después de t años es 𝑉(𝑡) = 8500𝑒−0,12𝑡. a) Calcular el valor del equipo después de 4 años.
b) Determinar el porcentaje de depreciación de su valor cada año.
c) Si la vida útil del equipo es de 6 años, ¿cuál es su valor de desecho?
Solución:
b) La depreciación del año 𝑡 al año 𝑡 + 1 viene dada por
𝑉(𝑡 + 1) − 𝑉(𝑡) = 8500𝑒−0,12(𝑡+1)− 8500𝑒−0,12𝑡
= 8500𝑒−0,12𝑡∙ 𝑒−0,15− 8500𝑒−0,12𝑡
= 8500𝑒−0,12𝑡(𝑒−0,12− 1)
= 8500𝑒−0,12𝑡 ∙ −0,11
= −11% ∙ 8500𝑒−0,12𝑡
= −11% ∙ 𝑉(𝑡)
R/ El porcentaje de depreciación es del 14%.
c) 𝑉(6) = 8500𝑒−0,12∙6= 4 137,39
Crecimiento de una población
Ejemplo.
8- La población de un cierto país está dada por la fórmula 𝑃(𝑡) = 2𝑒0,03𝑡. Donde P se da en millones de habitantes y t es el número de años transcurridos desde el año 2000.
a) Determinar la población que hubo en el 2009.
b) Suponiendo que la fórmula se mantiene válida hasta el año 2050, ¿cuál es la proyección de
la población para ese año?
c) ¿En qué porcentaje crece la población del país anualmente?
Solución:
a) 𝑃(9) = 2𝑒0,03∙9= 2,62
b) 𝑃(50) = 2𝑒0,03∙50= 8,96
c) Como el porcentaje de crecimiento es constante tenemos que
Función Logística: La función definida por
𝑓(𝑡) = 𝑀 1 + 𝑘 ∙ 𝑐𝑡
donde 𝑀 y 𝑘 son constantes positivas y además 0 < 𝑐 < 1, recibe el nombre de función logística.
Ejemplo
9- La curva de oferta de un cierto producto es de tipo logístico y está dada por
𝑥 = 1000
1 + 999(0,76)𝑝
donde 𝑥 es el número de unidades que se ofrecen al precio unitario 𝑝 (en dólares). a) Determine la oferta máxima esperada.
b) ¿Cuál es la oferta cuando el precio es $20?
c) ¿A qué precio la oferta será de 600 unidades?
Solución:
a) Observe que la gráfica de 𝑓(𝑝) = 1 + 999(0,76)𝑝 es
Por lo tanto cuando el precio aumenta, el denominador de 1000
1+999(0,76)𝑝 tiende a 1, y el valor de 𝑥 a 1000.
R/ El valor máximo es 1000.
b)
𝑥(20) =
10001+999(0,76)20
= 195
600 = 1000 1 + 999(0,76)𝑝 600(1 + 999(0,76)𝑝) = 1000
1 + 999(0,76)𝑝=1000 600
999(0,76)𝑝=1000 600 − 1
999(0,76)𝑝=2 3
0,76𝑝= 2 2997
𝑙𝑜𝑔0,760,76𝑝= 𝑙𝑜𝑔0,76( 2 2997) 𝑝 = 26,64
Progresión Geométrica: Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se
obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Por ejemplo.
3, 6, 12, 24, 48, …
La razón está dada por
𝑟 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1
Si conocemos el primer término, entonces
𝑎𝑛 = 𝑎1∙ 𝑟𝑛−1
Si conocemos el k ésimo término entonces
Ejemplos
10- El primer término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón r.
Solución:
𝑎𝑛 = 𝑎1∙ 𝑟𝑛−1 𝑎8= 3 ∙ 𝑟8−1
384 = 3 ∙ 𝑟7 𝑟 = 2
11- Calcular el término general y los 3 primeros términos de una progresión aritmética que se sabe
que 𝑎1 = 5 y 𝑟 = 4. Solución:
𝑎𝑛= 5 ∙ 4𝑛−1= 5 ∙ 4𝑛∙ 4−1= 5 4∙ 4
𝑛
12- La suma de los primos términos de una sucesión está dada por 𝑆𝑛= 𝑎1 𝑟𝑛−1
𝑟−1. Determine la suma
de los primeros 20 términos de la sucesión 5, 20, 80, 320, …
Solución: Se tiene que 𝑎1 = 5 y 𝑟 = 4
𝑆𝑛= 𝑎1 𝑟𝑛− 1
𝑟 − 1
𝑆20= 5
420− 1 4 − 1
