CAPÍTULO 1 FUNCIONES EN "CÁLCULO"

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CAPÍTULO 1

FUNCIONES EN "CÁLCULO"

Recuerde que dados dos conjntos y una función de en , de nombre digamos , es unaE F E F 0

asignación que a cada elemento de le asigna un único elemento de . Cuando el elemento deE F E se designa por entonces el elemento asignado por se denota B 0 0 ÐBÑÞPara indicar tal función con toda la información suele escribirse 0 À E Ä Fß B È 0 ÐBÑÞAquí la llamaremos la notación formal de funciones.

Si a 0 ÐBÑ se le denota con una letra, digamos , entonces C B se llama la variable independiente de , se llama 0 C la variable dependiente de y0 0 ÐBÑ se llama la imagen de por B 0. Al conjunto

E se le llama el dominio de la función y a se le llama 0 F el codominio de .0

Se desprende entonces que para que una asignación sea una función se debe tener que.0

F1) Para cada elemento de , debe existir E 0 Ð+Ñ en FÞ

F2) Si y+ +" #están en y E + œ +" #en Eß entonces 0 Ð+ Ñ œ 0 Ð+ Ñ" # en FÞ

En Cálculo de una variable, como es nuestro caso, el dominio suele ser un intervalo contenido en los números reales o, como también se llama, en la recta real ‘.

Por ejemplo 5 À Ò #ß (Ó Ä‘ß x ÈÈ# B no es una función porque 5Ð #Ñ œÈ# # el cual no es un número real y 5Ð #Ñdebe estar ‘, según se indicó cuando se escribió

5 À Ò #ß (Ó Ä‘. Igual cosa para > À Ò$ß *Ó Ä Ò'ß "#Óß conC œ >ÐBÑ œ B#. Por ejemplo

4− Ò$ß *ÓÞ AB œ % se le asigna >Ð%Ñ œ % œ "'# pero 16 Ò'ß "#ÓÞ En cambio

2 À À Ò$ß *Ó Ä Ò'ß "!!Óß conC œ 2ÐBÑ œ B# es una función puesto que los cuadrados de los

números entre 3 y 9 están entre 9 y 81, todos los cuales están en [6,100]

Cuando el dominio está fijo y es conocido se suele dar la función en la forma

sea 0 ÐBÑ œ ÞÞÞÞÞÞÞcon B − Ò+ß ,Ó

como en 0 ÐBÑ œ $B "ß conB − Ò "ß #Ó. El codominio se omite porque siempre será

‘. Note que, por ejemplo para, 0 ÐBÑ œ $B "ßconB − Ò "ß #Ó 0 Ð #Ñ, no existe porque

#no pertenece al dominio Ò "ß #Ó, aun cuando $Ð#Ñ % sea un número real corriente. En cambio no hay problema con 0 Ð"Ñ œ $Ð"Ñ " œ %ßporque 1− Ò "ß #Ó. Respetar el dominio de una función no es una cuestion de elección personal. Es imperativo.

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C œ 0 ÐBÑsiempre se tratará del mayor dominio posible en . Por tanto se trata de descartar‘

únicamente los elementos de que de ninguna manera pueden tener imagen en por ‘ ‘ 0 Þ Por ejemplo para hallar el dominio de 2ÐBÑ œÈ# B # 1 deben decartarse los tales queB

B ! !# 1 porque los números negativos no tienen raíz par en . Esa sería la única retricción y

el dominio de la fórmula sería entonces B € !# 1 . Despejando de esta desigualdad se tieneB

B Ÿ " ß B € "Þ,o Usando intervalos el dominio es Ð ∞ß "Ó ∪ Ò"ß ∞ÑÞ Si hubiera sido

2ÐBÑ œÈ# B # B € !Þ#

1 entonces lo requerido es que 1 Pero esto obviamente lo cumplen todos los números reales y por eso el dominio sería ‘. Para el cason

5ÐBÑ œÈ# B B Ð ∞ß "Ó ∪ Ò"ß ∞Ñ

# # "

B $B #

1 se tiene que por un lado debe estar en

debido a la raíz, como antes, pero además en el quebrado el denominador debe ser distinto de .!

Buscamos pues los puntos donde es los decartamos. Como ! B $B # œ ÐB "ÑÐB #Ñ# entonces B $B # œ ! Í ÐB "ÑÐB #Ñ œ ! Í B œ "ß ß# o B œ #. Ahora,

B œ " ya había sido decartado. Resta descartar B œ #. Por tanto en dominio queda

Ð ∞ß #Ñ ∪ Ð #ß "Ó ∪ Ò"ß ∞ÑÞ

1Þ1 Ejercicio:

1 Dé el dominio de las siguientes fórmulas:

a C œ 0 ÐBÑ œ # B 'B )$B (# $

B "'% É b C œ AÐBÑ œ =/8ÐB "ÑB "'B&

c D œ 5Ð=Ñ œÉ# #

% = '= )

= "'

d 3 œ 2Ð Ñ œ) È% Ð)% 1%Ñ>+8#)

e 5 œ <Ð Ñ œ +, 3 3 È' + ,# # donde es un número real mayor que + ,Þ

2 Cada una de las funciones de i) escribalas de manera "formal".

3 Para cada una de las funciones de i) dé: la variable independiente, la variable dependiente, la imagen de por la función, el dominioB de la función

4 Para una función se llama el recorrido al conjunto de las imágenes de todos los elementos del dominio. Dé, usando intervalos, el recorrido de cada una de las funciones de i)

5 Suponga que los elementos dados a continuación están en el dominio de cada función de i). Para cada una de ellas encuentre la imagen de cada elemento.

a >-1 b Ð> Ñ-1 È# &

- È# &

Aritmética de Funciones

Supongamos que Tun conjunto de las funciones. Operaremos con las funciones de T de manera muy parecisa a lo que se hace con múmeros. Iniciemos con la igualdad.

1.2 Definición: para , 0 1 −T se toma 0 œ 1 si

i H970 œ H971

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iii 0 ÐBÑ œ 1ÐBÑ aB − H970 œ H971Þ

Asíß para 0 À EÒFß 1 À G ÒH, se tendrá que 0 œ 1 Í Ñ E œ Gi , iiÑ F œ H, iiiÑ

0 ÐBÑ œ 1ÐBÑ a B − E œ G, .

Por ejemplo 0 À Ò"ß #Ó Ä‘ß B È =/8ÐB %Ñ# y 5 À Ò"Þ"ß #Ó Ä‘ß B È =/8ÐB %Ñ# no son iguales aun cuando 0 ÐBÑ œ =/8ÐB %Ñ# y 5ÐBÑ œ =/8ÐB %Ñ# porque los dominios son distintos. Recuerde: igualdad de funciones NO significa igualdad de fórmulas. Todos los datos de las funciones deben coincidir. Pero si los dominios y codominios coinciden entonces para la igualdad sólo hace falta la igualdad de las fórmulas. Así se sigue entonces que, para dos funciones 0 ß 1 À Ò+ß ,ÓÒ‘ß 0 œ 1si y sólo si 0 ÐBÑ œ 1ÐBÑß aB − Ò+ß ,ÓÞ Note la escritura

0 ß 1 À Ò+ß ,ÓÒ‘ es una simplificación de "0 À Ò+ß ,ÓÒ‘ y 1 À Ò+ß ,ÓÒ‘".

La llamada igualdad, debe ser en efecto un tipo de igualdad:

1.3 Proposición: œentre funciones es una relacion de equivalencia (o un tipo de igualdad). Es decir

i 0 œ 0 ß a0

ii 0 œ 1 Ê 1 œ 0

iii 0 œ 1 1 œ 2y entonces 0 œ 2Þ

Demostración: ejercicio.

En lo que sigue es un conjunto, normalmente un intervalo, que suponemos fijo y el codominioE

será . Este último hecho hace que se tenga una estructura algebráica en . Es decir que haya‘ E

operaciones entre funciones parecidas a las de los números. Es la que estudiamos a continuación. Figemos pues dominio y codominio , es decir consideremos todas la funcionesE ‘

E Ä‘Þ

.

1.4. Definición (operaciones de funciones) Suponemos. : 0 À EÒ‘ß 1 À EÒ‘ß se toma:

i 0 1 À EÒ‘ con Ð0 1ÑÐBÑ œ 0 ÐBÑ 1ÐBÑ

ii 0 1 À EÒ‘ con Ð0 1ÑÐBÑ œ 0 ÐBÑ1ÐBÑ

iii Si 5 −‘ entonces 50 À EÒ‘ está dada por Ð50 ÑÐBÑ œ 50 ÐBÑ 50. se llama la multiplicacción (por escalar) del escalar con 5 el vector 0

Ahora veamos cómo la estructura similar a la de números:

1.5. Proposición: Para funciones EÒ‘ se tiene: i es una operación. Es decir que

a Propiedad clausurativa de : si 0 ß 1 À EÒ‘ entonces 0 1 À EÒ‘. b Propiedad uniforme: Sean 0 ß 1ß 2ß > À EÒ‘Þ Si 0 œ 1 y 2 œ > Ê

0 2 œ 1 >.

ii Propiedad Asociativa:0 ß 1ß 2 À EÒ‘entonces Ð0 1Ñ 2 œ 0 Ð1 2Ñ

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iv Propiedad Modulativa: Existe una función / À EÒ‘ tal que a0 À E Ò‘ se tiene

que 0 / œ 0 y / 0 œ 0 Þ (Note: sólo hay una función / À EÒ‘ que cumple

esto Se denota Þ ! À EÒ‘)Þ

v Propiedad Invertiva: a 0 EÒ‘ existe que 1 À EÒ‘ tal que 0 1 œ ! y

1 0 œ ! (tal es único para y se denota 1 0 0).

Demostración: hacemos las partes de propiedad asociativa y modultaviva, Las demás quedan como ejercicio.

Para asociativa Ð Ñii como 0 ß 1ß 2 À EÒ‘ß entonces DomÐ0 1Ñ 2 es por definición el mismo de 0 1 y de , es decir tiene dominio y de paso sea dicho, codominio . Por la2 E ‘

misma razon Ð0 1Ñ 2tiene dominio y codominio . Falta mostrar que E ‘

ÐÐ0 1Ñ 2ÑÐBÑ œ Ð0 Ð1 2ÑÐBÑÑ:

Lado Izquierdo: ÐÐ0 1Ñ 2ÑÐBÑ œ Ð0 1ÑÐBÑ 2ÐBÑ œ Ð0 ÐBÑ 1ÐBÑÑ 2ÐBÑ

œ 0 ÐBÑ 1ÐBÑ 2ÐBÑ.

Lado Derecho: Ð0 Ð1 2ÑÐBÑÑ œ 0 ÐBÑ Ð1 2ÑÐBÑ œ 0 ÐBÑ Ð1ÐBÑ 2ÐBÑÑ

.

œ 0 ÐBÑ 1ÐBÑ 2ÐBÑ

Como los dos lados son iguales se tiene que Ð0 1Ñ 2 œ 0 Ð1 2Ñ

En cuanto a la parte se debe dar la función llamada iv ! À EÒ‘. La tomamos!ÐBÑ œ !ß a B − E. Se debe verificar que, en efecto 0 ! œ 0 ! 0 œ 0y :

Ahora 0 ! 0 À E, Ò‘ y ˆ0 ! ÐBÑ œ 0 ÐBÑ !ÐBÑ œ 0 ÐBÑ ! œ 0 ÐBÑÞ‰ Así ˆ0 !‰

ÐBÑ œ 0 ÐBÑ. Entonces 0 ! œ 0 Þ Como 0 ! œ ! 0 la parte se cumple tambien. iv

1.6. Proposición: (Propiedades distributiva del producto sobre la suma de funciones) Para

0 ß 1ß 2 À EÒ‘, 0 Ð1 2Ñ œ 0 1 0 2 y Ð1 2Ñ0 œ 10 20.

1.7. Ejercicio:

1 Complete las demostraciones de las propiedades para las funciones E Ò‘Þ # Dé las propiedades del producto para funciones EÒ‘ y demuéstrelas. Asegúrese

que le queda claro que no hay propiedad invertiva y por qué.

$ Demuestre que 0 ! œ !

% Dé un ejemplo de funciones 0 ß 1 À EÒ‘ tales que 0 1 œ ! pero 0 Á ! y gÁ !Þ

& En términos de 0 ß 1ß 2ß 4 À EÒ‘, calcule de existir la o las funciones tal queß ß ?

2? Ð0 2Ñ? 24 œ !Þ#

6 Demuestre la propiedad distributiva de ‚ sobre entre funciones E Ò‘Þ

1.8. Proposición: (Propiedades de la multiplicación por escalar). En el conjunto de la funciones EÒ‘ se tiene que:

i Ð5 5 Ñ0 œ 5 0 5 0" # " #

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iii Ð5 5 Ñ0 œ 5 5 0 œ 5 Ð5 0 Ñ" # " # # "

iv 0 œ 0

Demostración: veamos que Ð5 5 Ñ0 œ 5 Ð5 0 ÑÞ" # " # Los demás quedan como ejercicio . Para iniciar los dominios y los codominios de los dos lados coinciden por definición de multiplicación por escalar. Ahora:

ÐÐ5 5 Ñ0 ÑÐBÑ œ Ð5 5 0 ÐBÑ œ 5 5 0 B" # " #) " # y

Ð5 Ð5 0 ÑÑÐBÑ œ 5" # "Š5 0 B# ‹œ 5"Š5 0 B# ‹œ 5 5 0 B" # œ 5 5 0 B" # .

Otra operación no definida en toda parte se da en el ejercicio en 1.9, 12

1.9 Ejercicio.

1 En 1.1,i) determine cuales funciones son sumables. Las que sean sumables súmelas. 2 Lo mismo que la parte precedente para multiplicación

3 Determine si ? œÈ# $ + ,% es un escalar, donde es un real positivo o cero y es, +

un real.

4 De ser un escalar cuales de las funciones de 1.1, i) son multiplicables por ese escalar??

Cual sería la función resultante en cada caso? Escríbalas de manera formal. 5

Se denota "0 À E Ä‘a 0"ÐBÑ œ 0ÐBÑ" . Muestre que para que exista "0 0 ÐBÑ Á ! para todo B − EÞ Cuando existe se llama "0 el inverso multiplicativo de . 0 Tambien se denota

0"Þ

6 Muestre que, no importa cual número es + −‘ß + Á !ßse tiene una función E Ä‘ß

B È +. (Por abuso a esta función se le denota también y se considera que representa+

al número real en las funciones Así se considera que es una parte de la estructura+ Þ ‘

de las funciones E Ä‘)Þ

7 Muestre que si existe entonces "0 0 ‚ "0 œ "

8 Para las funciones de 1.1,i) cuales tienen inversa multiplicativa?

9 Suponga que $0 &0 1 œ !ß 0 ß 1 À E Ä# ÞDespeje . Dela de manera formal.0

10 Dé un ejemplo para mostrar que en las funciones E Ä‘ß 0 ß 1 pueden ser distintas de 0 y aun así 0 ‚ 1 ser !Þ

11 Puede despejar en 0 0 0 1 "#1 œ !# # en la funciones [1,2] Ä‘? Cuantas soluciones hay? Dé mínimo 3 soluciones.

12 Si 0 À E Ä F y 1 À H Ä Gß con F § H (caso en el cual se dice que 1 es

componible con 0), entonces se define "la composición de con ", 0 1 1 ‰ 0 À E Ä G

por 1 ‰ 0 ÐBÑ œ 1Ð0 ÐBÑÑ. Muestre que 1 ‰ 0 es una función.

13 Si 0 À E Ä F y 1 À H Ä Gß 2 À I Ä J con F § H C G § I. Muestre la

asociatividad de ‰, es decir que 2 ‰ Ð1 ‰ 0 Ñ œ Ð2 ‰ 1Ñ ‰ 0. 14 Cuales funciones de 1.1,i) son componibles?

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