Cada paréntesis se completa con un término independiente para que resulte el desarrollo del cuadrado de un binomio, y se compensa la ecuación restando los mismos términos sumados:

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(2)

G. Ríos

Circunferencia

1. Definición

Dados un punto Ω=

(

α,β

)

y un número positivo ρ, se denomina circunferencia de centro Ω y radio ρ al lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto Ω es ρ. Se denota porCΩ ρ, . Esto es:

{

M IR M

}

, :

Ω ρ= ∈ 2 Ω = ρ

C

2. Deducción de la ecuación cartesiana de la circunferencia

Sea Ω = α β( , ) el centro y ρ el radio de la circunferencia CO,ρ. La condición que debe verificar un punto genérico M=(x y, ) para pertenecer a dicha circunferencia se expresa analíticamente por la relación

( M) (x ) (y )

d ,Ω = −α +2 − β 2 = ρ

Como la expresión subradical es una suma de cuadrados no puede ser negativa para ningún par

(

x,y

)

, y el segundo miembro es por definición positivo, entonces si se elevan los dos miembros de la ecuación al cuadrado se obtiene una ecuación equivalente:

(

xα

) (

2+ yβ

)

2=ρ2

La expresión anterior es la forma más cómoda de escribir la ecuación de la circunferencia. Sin embargo desarrollando y reduciendo se obtiene la forma general de la ecuación de la circunferencia

(

x22αx+α2

) (

+ y22βy+β2

)

=ρ2

0 2

2 2 2 2 2

2+y αx βy+α +β ρ =

x

Denominado D=−2α, E=−2β y F =α2+β2ρ2, se escribe en la forma general:

0

2

2+y +Dx+Ey+F =

x

Toda ecuación tiene una ecuación de la forma general obtenida en el renglón anterior, pero no toda ecuación de esa forma corresponde a una circunferencia, como se explica a continuación

3. Discusión de la ecuación x2+y2+Dx+Ey+F =0

Una ecuación de la forma x2+y2+Dx+Ey+F =0 representa una circunferencia si puede

volverse a escribir en la forma

(

xα

) (

2+ yβ

)

2=ρ2, donde

( )

α,β representa un punto fijo del plano y ρ un número positivo, el radio de la circunferencia.

En primer lugar se reordenan los términos de la ecuación x2+y2+Dx+Ey+F =0:

(

x2+Dx

) (

+ y2+Ey

)

+F =0

Cada paréntesis se completa con un término independiente para que resulte el desarrollo del cuadrado de un binomio, y se compensa la ecuación restando los mismos términos sumados:

0 4 4 4

4

2 2 2

2 2

2 + =

⎠ ⎞ ⎜

+ +

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

x +Dx+D y Ey E F D E

2

(3)

Con ello se consigue expresar la ecuación en la forma: 0 4 4 2 2 2 2 2 2 = − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ +x D y E F D E

De aquí se deduce el posible centro de la circunferencia: Ω=

( )

αβ =⎜⎛− − ⎟

2 2

E D,

, .

Transponiendo el término independiente queda

4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2

2 D E F

F E D E y D

x⎞ +⎜⎛ + ⎟⎞ = + − = + − ⎜

⎝ ⎛ +

El segundo miembro debe identificarse como ρ2, de donde procede la siguiente discusión

¡ Si D2+E2−4F >0,

2 4 0

4

4 2 2

2 2

2=D +EF ρ> ρ= D +EF ρ

En este caso la ecuación x2+y2+Dx+Ey+F =0 representa la circunferencia de centro:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − = Ω 2 2 E

D, y radio

2 4

2

2 E F

D + − =

ρ

¡ Si D2+E2−4F =0, 0 0

4 4

2 2

2= + − = ρ=

ρ D E F

En este caso la ecuación x2+y2+Dx+Ey+F =0 se reduce a la forma

0 2 2 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ +x D y E

Que solo se satisface por el punto ⎜⎛−2D,−2E⎞. La ecuación representa a dicho punto.

¡ Si D2+E2−4F <0, 0

4 4

2 2

2= + − <

ρ D E F , lo cual es absurdo. La ecuación no se satisface por ningún punto real, por lo que representa al conjunto vacío.

4. Ejemplos.

Determine el lugar geométrico representado por cada una de las siguientes ecuaciones:

¡ x2+y2−3x+6y−13=0. D=−3, E =6, F =−13.

( ) ( )

(

)

0 97 52 36 9 13 4 6 3 4 2 2

2 2 > = + + = − − + − = − +E F D

La ecuación representa la circunferencia de centro Ω =⎛⎜⎜⎜⎝3,− ⎟3⎞⎟

2 y radio ρ = 97 2 .

¡ x2+y2+6x−8y+25=0. D=6, E =−8, F =25.

( )

8 4

( )

25 36 64 100 0 6

4 2 2 2

2+E F = + = + =

D

(4)

G. Ríos

x y x y x y x y x y x y x y x y

+ + = + + 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

2 2

3 3 3 3

1 1 0 1 1 2 2 C A B ¡ x2+y2−x+y+11=0. D=−1, E =1, F =11.

( ) ( )

1 1 4

( )

11 1 1 44 42 0 4 2 2

2

2+E F = + = + = <

D

La ecuación representa al conjunto vacío. 5. Ecuación general de segundo grado en dos variables

La ecuación más general, de segundo grado, en dos variables se puede plantear en la forma

A x2+2B x y C y+ 2+D x+E y F+ =0

Se puede demostrar que dicha ecuación representa una circunferencia si y solo si se verifican las siguientes condiciones

A C= ≠0, B=0, D2+E2−4A F>0

6. Ejercicio

Explique por que las siguientes ecuaciones no representan circunferencias:

(a) x2+2y23x+6y18=0

(b) x2y2=4

(c) x2+y23xy=0

(d)

7. Ejercicio

Determine que relación deben satisfacer los números reales m, n y p para que la ecuación siguiente represente una circunferencia.

(

)

0

1 1 0 0 1 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ y x n m n m p y x

¿Qué relación existe entre m, n y p con las coordenadas del centro y el radio?

8. Ejemplo

Se denomina circunferencia circunscrita a un triángulo a la circunferencia que contiene a los tres vértices del triángulo. Dados A( )3 4, , B(3 2,− ) y C(−2 3, ) determine la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

Solución

La circunferencia pedida tiene una ecuación de la forma x2+y2+Dx+Ey+F =0. Ésta se satisface para cada uno de los puntos dados, esto permite formar un sistema de ecuaciones:

D E F D E F

D E F D E F

D E F D E F

⎧ + + + + = ⎧ + + = − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + + + = + = − ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + − + + = ⎪− + + = − ⎪ ⎪ ⎩ ⎩

9 16 3 4 0 3 4 25 9 4 3 2 0 3 2 13 4 9 2 3 0 2 3 13

Cuya solución es D= −2, E= −2, F= −11

La ecuación de la circunferencia resulta:, o en forma equivalente

x2+y2−2x2y11 0=

La ecuación de la circunferencia que pasa

por tres puntos no alineados (x y1, 1) ,

(x y2, 2), (x y3, 3) se puede dar el la forma de

(5)

A

B M

9. Ecuación de la circunferencia dada por un diámetro

Dados dos puntos distintos A a a( 1, 2) y B b b( 1, 2), la circunferencia de diámetro [AB], está dada por la ecuación

MA M, −B =0 (1.1)

donde M x y( , ) representa un punto genérico sobre la circunferencia.

Demostración

La ecuación desarrollada toma la forma siguiente:

( )( ) ( )( )

( ) ( )

M A M B

x a x b y a y b

x a x b y a y b

x y a b x a b y a b a b ,

,

− − =

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

⎟ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ − ⎜ −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − + − − =

+ − + − + + + =

1 1

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

0 0

0 0

Que puede escribirse x2+y2+D x+E y F+ =0, con D= −(a +b )

1 1 , E= −(a2+b2) y

F=a b1 1+a b2 2. La condición para que la ecuación represente una circunferencia es

D E F

Δ = 2+ 2−4 >0,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b

Δ = + + + − +

= + + + + + − −

= + − + + −

= − + −

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

2 2

1 1 2 2

4

2 2 4 4

2 2

Se observa Δ es una suma de cuadrados, por lo tanto Δ ≥0, pero además Δ ≠0, pues de lo contrario A=B. Esto significa que la ecuación (1.1) representa una circunferencia ∀A B, .

En centro de esta circunferencia es Ω = α β( , ) tal que α =a1+a2

2 y

b +b

β = 1 2

2 , el punto

medio de [AB].

El radio es ρ = Δ = (ab) +(ab ) = dist(A B, )

2 2

1 1 2 2

2 2 2 .

10. Nota

(6)

G. Ríos

Círculo

11. Definición

Dado un punto fijo Ω α β( , ) se denomina círculo de centro Ω y radio ρ al conjunto

{

MIR2: ΩM ≤ ρ

}

Es decir, el conjunto formado por los puntos M cuya distancia al punto fijo Ω es igual o menor que el radio ρ.

ρ

12. Teorema

Sea C la circunferencia de ecuación x2+y2+D x+E y F+ =0. El círculo correspondiente a la circunferencia C se describe por la inecuación

x2+y2+D x+E y F+ ≤0

13. Teorema

El conjunto de puntos exteriores a la circunferencia C : x2+y2+D x+E y F+ =0, se describe

por la inecuación

(7)

Potencia de un punto respecto a una circunferencia

14. Definición analítica

Dada una circunferencia C de centro Ω y radio r, se denomina potencia del punto P x y( 0, 0)

con respecto a la circunferencia C al número real dado por la expresión:

(P ) r dist2 ,Ω − 2 15. Teorema. Expresión analítica de la potencia

Si la circunferencia está dada por su ecuación reducida C :x2+y2+D x+E y F+ =0, la

potencia de un punto P x y( 0, 0) con respecto a la circunferencia C se expresa por la fórmula

(P ) x y D x E y F

pot , = 2+ 2+ + +

0 0 0 0

C

es decir, la potencia es igual al valor numérico del primer miembro de la ecuación reducida de la circunferencia, al sustituir las variables x e y por las coordenadas correspondientes del punto P.

Demostración

(P ) (x ) (y )

x y x y

dist ,Ω = −α + − β

= + − α − β + α + β

2 2

2

0 0

2 2 2 2

0 0 2 0 2 0

Como − α =2 D ∧ − β =2 E puede escribirse

(P ) x y D x E y

dist2 ,Ω = 2+ 2+ + + α + β2 2

0 0 0 0

Entonces

(P ) r x y D x E y r

dist2 ,Ω − 2= 2+ 2+ + + α + β −2 2 2

0 0 0 0

Ahora, teniendo presente que F= α + β −2 2 r2, se puede plantear

(P ) r x y D x E y F

dist2 ,Ω − 2= 2+ 2+ + +

0 0 0 0

Resultado probada la tesis: pot

(

P,CΩ,r

)

=x02+y02+D x0+E y0+F .

16. Definición y teorema de existencia

El lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias no concéntricas es una recta perpendicular a la dirección determinada por los centros de las circunferencias. Esta recta se llama eje radical de esas circunferencias.

Demostración

Sean CA,ρ:x2+y2+D x+E y F+ =0 y CB r, :x2+y2+D x′ +E y F′ + ′=0 dos circunferencias, siendo sus centros A y B dos puntos distintos.

Un punto P x y( 0, 0) tiene igual potencia respecto a las dos circunferencias si y solo si

x2+y2+D x +E y + =F x2+y2+D x′ +E y′ +F

(8)

G. Ríos Simplificando los términos iguales de los dos miembros y transponiendo se obtiene

(

)

(

)

D x E y F D x E y F

D D x E E y F F

′ ′ ′

+ + = + +

′ ′ ′

− + − = −

0 0 0 0

0 0

El conjunto formado por todos los puntos que verifican la condición indicada está determinado por la ecuación

(

D D x− ′

)

+

(

E E y− ′

)

=F′−F

Como AB (los centros de las circunferencias) no coinciden necesariamente se verifica al menos una de las relaciones

D D− ′≠0 o E E− ′≠0

Por lo tanto dicha ecuación corresponde a una recta. Un vector ortogonal a la misma es

D D v

E E

⎛ − ′⎞

= ⎜

⎜ − ′

⎝ ⎠

Recordando que D= −2xAD′= −2xB y E= −2yAE′= −2yB, se puede escribir

A B A B

A B A B

x x x x

v BA

y y y y

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

=⎜ = ⎜ =

− −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

2 2

2 2

De modo que la recta hallada es perpendicular a la dirección dada por el vector BA como quería probarse.

17. Nota.

El eje radical se determine gráficamente del siguiente modo, según el caso que se tenga: circunferencias secantes, tangentes o disjuntas

eje radical

eje radical

(9)

Problemas de intersección

18. Intersección de recta y circunferencia

Sean C :x2+y2+D x+E y F+ =0 y r y m x n: = + . La intersección C r se estudia con el

sistema

x y D x E y F y m x n

⎧⎪ + + + + =

⎪⎨

⎪ = +

⎪⎩

2 2 0

El cual se resuelve por sustitución

( ) ( )

x m x n D x E m x n F y m x n

⎧⎪ + + + + + + =

⎪⎪⎨

⎪ = +

⎪⎪⎩

2

2 0

(

m x

)

( mn D E m x)

(

n E n F

)

y m x n

⎧⎪ + + + + + + + =

⎪⎪⎨

⎪ = +

⎪⎪⎩

2 2 2

1 2 0

Como 1+m2>0 ∀ ∈m R la primera ecuación del sistema es cuadrática ∀ ∈m R, según su

discriminante Δ se tienen tres casos posibles:

Si Δ >0 la ecuación admite dos raíces reales diferentes, por lo que intersección está constituida por dos puntos. Se dice que la recta y la circunferencias son secantes.

Si Δ =0 la ecuación admite una raíz real doble. La intersección está constituida por un único punto. Se dice que la recta es tangente a la circunferencia.

Si Δ <0 la ecuación no admite raíces reales, por lo que la intersección es vacía. Se dice que la recta es exterior a la circunferencia.

Si la recta es paralela a OY se planteará el sistema x y D x E y F

x k

⎧⎪ + + + + =

⎪⎨ ⎪ = ⎪⎩

2 2 0

y se trabajará en forma análoga al caso general.

19. Intersección de dos circunferencias

Sean C :x2+y2+D x+E y F+ =0 y C:x2+y2+D x +E y F + =0. La intersección

CC se estudia con el sistema

x y D x E y F x y D x E y F

⎧⎪ + + + + =

⎪⎪⎨

+ + + + =

⎪⎪⎩

2 2

2 2

0 0

Este sistema es equivalente al que se obtiene de sustituir la segunda ecuación por la diferencia entre la segunda y la primera

(

)

(

)

(

)

x y D x E y F D D x E E y F F

⎧⎪ + + + + =

⎪⎪⎨

⎪ ′− + ′− + ′− =

⎪⎪⎩

2 2 0

0

Este sistema corresponde a la intersección de una circunferencia y una recta ya estudiado antes. La recta que interviene en el segundo sistema se denomina Eje radical de las circunferencias C y C ′. Otra vez se tienen tres casos: si la intersección está constituida por dos puntos se dice que las circunferencias son secantes; si está constituida por un único punto las circunferencias son tangentes; y si la intersección es vacía se dice que las circunferencias son disjuntas.

Condición para que una recta y una circunferencia sean

(10)

G. Ríos 20. Ecuación desdoblada de la recta tangente a una circunferencia

Sean C una circunferencia, Ω el centro de C , PC y t la recta tangente a C en P.

C t

Ω P

X

Para deducir la ecuación de la recta t se parte de la condición Ω ⊥P PX que se verifica para todo punto X de la recta t. Entonces la recta t se determina por la ecuación

P PX,

Ω =0

Las coordenadas de los puntos mencionados son Ω = α β( , ), P x y( 0, 0), X=(x y, ), por lo tanto la ecuación se escribe del modo siguiente

x x x

y , y y

⎛ −α⎞ ⎛ − ⎞

⎟ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ − β ⎜ −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0

0 0

0

Operando

( )( ) ( )( )

(

)

x x x y y y

x x x x x y y y y y

x x x y y y x y x y

x x x y y y x y x y

−α − + − β − =

−α − + α + − β − + β =

−α + − β − − + α + β =

−α + − β − + −α − β =

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

La ecuación de la circunferencia es de la forma x2+y2+D x+E y F+ =0, donde D= − α2 y

E= − β2 . Como P x y( 0, 0) pertenece a la circunferencia resulta que se cumple la igualdad

x2+y2+D x +E y + =Fx2+y2− αx − βy + =F

0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0

De donde surge x2+y2−αx − βy = αx + βyF

0 0 0 0 0 0

Combinando la ecuación de la recta tangente con las últimas relaciones mencionadas queda

( )

( ) ( )

( ) ( )

x x y y x y x y F

x x y y x x y y F

D E

x x y y x x y y F

x x y y

x x y y D E F

+ −α − β − α + β − =

+ −α + − β + + =

+ + + + + + =

+ +

+ + + + =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0

2 2

0

(11)

La última expresión se denomina ecuación desdoblada de la recta tangente a una circunferencia y existe una regla práctica muy simple para obtenerla cuando se conoce la ecuación reducida de la circunferencia:

La ecuación de la recta tangente en el punto P x y( 0, 0) a una circunferencia C de ecuación reducida

x2+y2+D x+E y F+ =0

se obtiene haciendo las siguientes sustituciones

x x x

y y y

x x x y y y + + 2 0 2 0 0 0 2 2 6 6 6 6 Resultando

x x y y x x y y D+ + + 0 +E + 0 + =F

0 0 2 2 0

Nota.

Sea f x y( , )=x2+y2+D x+E y F+ .

Las derivadas de f x y( , ) con respecto a las variable x e y vienen dadas por

( ) ( )

x f x y

f x y x D

x , , ∂ ′ = = + ∂ 2 ( ) ( )

y f x y

f x y y E

y , , ∂

′ = = +

∂ 2

La recta tangente a la curva de ecuación f x y( , )=0 en el punto (x y0, 0) se determina por la ecuación,

( )( ) ( )( )

x y

f x y0, 0 x x0 +f x y0, 0 y y0 =0

Ecuación que corresponde al producto escalar

( )

( )

x

y

f x y x x f x y y y

, , , ⎛ ′ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ = ⎜ ′ ⎟⎟ ⎜⎜ − ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0 0

0 0 0

0

La explicación se da en el ámbito de la geometría diferencial, especialidad en la que se demuestra que si una curva está dada por una ecuación cartesiana f x y( , )=0, la dirección normal a la curva en un punto (x y0, 0) de la misma está dada por el vector nG,

( )

( )

f x y x n f x y y , , ⎛∂ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ = ⎟ ⎜ ⎜ ∂ ⎝ ⎠ 0 0 0 0 G

(12)

G. Ríos

Problemas resueltos a modo de ejemplo

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