Autonoma de Puebla
Facultad de Ciencias
Fisico Matematicas
Un estudio algebraico de
la teoria de conjuntos
Tesis
que para
Obtener el grado
de
Licenciado en Matematicas
presenta
Jose Luis Leon Medina
bajo la direccion de
Dr. Ivan Martinez Ruiz
En este breve espacio deseo agradecer a las personas que hicieron posible esto: A mi mamá María Elena por apoyarme siempre, desde el inicio de mis estudios y guiarme con su paciencia y dedicación. A mi no-viaLuceropor estar siempre a mi lado, brindarme tanto amor y sacar lo mejor de mi, así como a sus papásPaulay Ezequielpor apoyarme y ha-cerme sentir parte de la familia. AlDr. Alejandro Ramírezpor ayudarme a definir mi vocación hacia las matemáticas, apoyarme en varios mo-mentos de la carrera y por revisar esta tesis. AlDr. Fernando Macíaspor su amistad y permitirme participar en varios proyectos que contribuye-ron a mi formación personal y académica. AlM. en C. Manuel Ibarrapor sus enseñanzas y por cultivar disciplina en mis estudios. A mis sinoda-les,Dr. Agustin ContrerasyDr. David Villa, por aceptar tan amablemente y con mucha disposición revisar esta tesis, sus sugerencias ayudaron a mejorar la presentación final de esta tesis. A mi asesor,Dr. Iván Martínez Ruíz, por confiar en mí y apoyarme en la realización de esta tesis. Y a los profesores que dieron lo mejor de sí para contribuir a mi for-mación a lo largo de mis estudios y a mis amigos con los que compartí buenas vivencias e hicieron aún más agradable el tránsito por esta licen-ciatura.
A todos ustedes ¡Muchas gracias! José Luis
Tesis apoyada por el proyecto VIEP:Teoría de modelos y sus aplicaciones en lógicas no clásicas, topología y teoría de conjuntos.
1. Teoría básica de Categorías 5
1.1. Categorías y subcategorías . . . 5
1.2. Principio de dualidad . . . 10
1.3. Morfismos especiales . . . 10
1.4. Productos y coproductos . . . 12
1.5. Límites y Colímites . . . 17
1.6. Existencia de límites y colímites . . . 23
1.7. Funtores y transformaciones naturales . . . 25
1.8. Adjunciones . . . 34
1.9. Preservación de límites . . . 38
1.10.Topos Elementales . . . 41
2. Teorias Locales 43 2.1. Lenguajes Locales . . . 43
2.2. Teorías de conjuntos locales . . . 61
2.3. Categorías de teorías locales . . . 64
2.4. Interpretación de lenguajes locales . . . 71
2.5. El teorema de Completez . . . 78
2.6. Propiedades básicas de los topos . . . 81
3. BIST y topos con DSSI 93 3.1. BIST . . . 93
3.2. Separación restringida . . . 95
3.3. Axiomas sobre propiedades restringidas . . . 98
3.4. Pares ordenados, relaciones y funciones . . . 101
3.5. Axiomas de infinitud . . . 103
3.6. Axiomas sobre el tercero excluso . . . 105
3.7. Sistemas de inclusiones . . . 106
3.8. Interpretando BIST en un topos con DSSI . . . 116
Bibliografía 133
En el capítulo 1 se presentan las nociones básicas de categorías, se establece la notación que se usará a lo largo de la tesis y se enuncian las propiedades que definen a un topos. En el capítulo 2 se desarrollan los lenguajes de tipos dependientes que darán origen a teorías de conjun-tos (locales) y más aún a categorías de conjunconjun-tos locales que cumplen propiedades similares a la categoría de conjuntosSet,en específico estas categorías resultan ser topos llamados topos lingüísticos (por su origen a partir de un lenguaje de tipos), posteriormente se presenta el teorema de equivalencia que asegura que todo topos es un topos lingüístico y que demostar proposiciones por medios catégoricos en topos es equivalente a demostrarlas usando la “lógica interna” que possen. Es de notar que las teorías de conjuntos locales tienen ciertas desventajas comparadas con las teorías de conjuntos clásicas (ZFC y NBG); por tal razón se ini-ció el estudio de equivalencias entre teorías de conjuntos y topos que poseían cierta estructura adicional, en particular con el objetivo de eli-minar las restricciones de las operaciones relativas a la igualdad de tipos de los operandos. Recientemente en [3] se demostró que con sólo pedir un sistema de inclusiones dirigido y estructurado es posible obtener una teoría de conjuntos más natural y semejante a la teoría constructiva de Aczel [2], siendo ésta una teoría de conjuntos constructiva ampliamente aceptada. La teoría de conjuntos que desarrollaron fue nombrada “teo-ría intuicionista de conjuntos básica” (BIST por sus siglas en inglés) y esta teoría y su interpretación en topos con inclusiones son presentados en el capítulo 3.
1
Teoría básica de Categorías
A fin de establecer los conceptos básicos y las notaciones que se usa-rán a lo largo de la tesis se presenta en este capítulo un desarrollo rápido de los conceptos necesarios para llegar a la definición de un topos; ca-tegorías con limites finitos y objetos potencia. También se introduce la noción de familias conjuntamente epimorfas que serán de gran utilidad en el capítulo 3. Es importante señalar que en este capítulo y en el si-guiente se presentarán las propiedades necesarias para el Capítulo 3, siguiendose el desarrollo natural que hace Bell en su libroToposes and Local Set Theories[4]. Para una exposición más detallada de estos temas se recomiendan el libro de Herrlich y Strecker [6] y el libro clásico de Mac Lane [8].
1.1
Categorías y subcategorías
Unacategoríaes una quíntuplaC = (O,M,d om,cod,◦)donde
O es una clase, cuyos elementos se llamaránC-objetos.
M es una clase, cuyos elementos se llamaránC-morfismos.
d om y cod son funciones de M en O, a d om(f) se le llamará dominiode f y acod(f)se le llamarácodominiode f.
◦es una función que va de la clase
D={(g,f)|f,g∈ M yd om(g) =cod(f)}
a la claseM,llamadaley de composiciónde C.◦(g,f)se abre-viará por g◦f.Además diremos queg◦f está definida si y sólo si (g,f)∈D.
y se cumplen las siguientes condiciones:
i. Condición de coincidencia:Sig◦f está definida, entoncesd om(g◦ f) =d om(f)ycod(g◦f) =cod(g).
ii. Condición de asociatividad: Si g◦f y h◦g están definidas, en-toncesh◦(g◦f) = (h◦g)◦f.
iii. Condición de existencia de identidades: Para cada C-objeto A
existe unC-morfismoetal qued om(e) =cod(e) =Ay • Si g◦eestá definida, entonces g◦e= g y • Sie◦f está definida, entoncese◦f = f
iv. Condición de pequeñez de la clase de morfismos:Para todo par (A,B)deC-objetos, la clase
homC(A,B) ={f|f ∈ M,d om(f) =Aycod(f) =B}
es un conjunto.
Dada una categoríaC,la clase deC-objetos se denotará porOb(C), mientras queMor(C)denotará la clase deC-morfismos. Cuando no ha-ya lugar a dudas prescindiremos del uso de la letra que denota la catego-ría y se hablará de la clase de objetos y la clase de morfismos. También se usará hom(A,B) en vez dehomC(A,B). Aunque los C-morfismos no necesariamente serán funciones usaremos la notación
f :A→B o A→f B
cuando f ∈homC(A,B).
Una consecuencia inmediata de la definición es que el elemento uni-dad en (iii) es único y por tanto para cada C-objetoA, se le denotará por1A.
Ejemplos.
La categoríaSetde conjuntos, cuya clase de objetos es la claseV
La categoría Grp de grupos, cuya clase de objetos es la clase de todos los grupos y, para los grupos G,H, hom(G,H)es el conjunto de todos los homomorfismos de grupo de G a H.La composición es la composición usual de funciones.
La categoría Esp de espacios topológicos, cuya clase de objetos es la clase de todos los espacios topológicos y, para los espacios
X,Y, hom(X,Y)es el conjunto de todas las funciones continuas de
X a Y. Nuevamente, la composición es la composición usual de funciones.
De manera similar a las anteriores se tienen las siguientes catego-rías:
Finset Conjuntos finitos y funciones.
Ab Grupos abelianos y homomorfismos de grupos. (C)Rng Anillos (conmutativos) con unidad y
homomor-fismos de anillos.
Field Campos con06=1y homomorfismos de campos. Pos Conjuntos parcialmente ordenados y funciones
preservadoras de orden.
Lat Retículas y homomorfismos de retículas.
Bool Álgebras booleanas y homomorfismos boolea-nos.
Haus Espacios Hausdorff y funciones continuas.
Una clase preordenada es una clase P junto con una relación ≤ reflexiva y transitiva llamada preorden sobre P. Si además ≤ es antisimétrica se dirá que es un orden parcial sobre P. Cada clase preordenada (P,≤) da lugar a una categoría P cuyos objetos son los elementos de P y hom(p,q) tiene a lo más un elemento, y lo tiene si y sólo sip≤q.
Undiagramaen una categoríaC es un conjunto (posiblemente vacío) de objetos deC junto con un conjunto (posiblemente vacío) de morfis-mos entre estos objetos. Los objetos del diagrama se llamarán vértices. Unatrayectoríaen un diagramaDes una sucesión finita(f1, . . . ,fn)de
morfismos deDtal quecod(fi) =dom(fi+1)parai=1, . . . ,n−1.El nú-mero naturalnes lalongitudde la trayectoría. Finalmente, diremos que un diagrama Dconmuta o es conmutativo si para cualquier trayectoria de longitud mayor o igual a 2, los morfismos obtenidos mediante compo-sición sobre los morfismos de la trayectoría depende únicamente de los puntos finales de la trayectoría; formalmente, si para cada par de trayec-torías(f1, . . . ,fm),(g1, . . . ,gk)tal que m≥2ok≥2, dom(f1) =dom(g1) ycod(fm) =cod(gk),se tiene que fm◦fm−1◦ · · · ◦ f1= gk◦gk−1◦ · · · ◦g1.
Por ejemplo, consideremos los siguientes diagramas
B
A C
β α
γ
(a) Triángulo conmutativo
A C
B D
γ
α δ
β
(b) Cuadrado conmutativo
El diagrama (a) es conmutativo si β◦α = γ, a los diagramas con-mutativos de esa forma se les llamará triángulos concon-mutativos. Por otra parte el diagrama (b) es conmutativo siβ◦α=δ◦γy a los diagramas conmutativos de esta forma se les llamará cuadrados conmutativos.
En la situación del diagrama (a) diremos también que el morfismoγ sefactoriza a través deB.
A es unasubcategoríade la categoríaC siA cumple las siguientes condiciones
Ob(A)⊂Ob(C).
homA(X,Y) ⊂ homC(X,Y) para cada par de elementos X,Y ∈
La composición de cada par de morfismos enA es igual a su com-posición enC.
1A es el mismo morfismo, tanto enA como en C, para cadaA -objetoA.
Si ademáshomA(X,Y) =homC(X,Y)para cada par deA-objetos, se dirá queA es unasubcategoría completadeC.
Ejemplos.
Toda categoría es una subcategoría completa de sí misma. Finsetes una subcategoría completa deSet.
Booles una subcategoría deLatyLatdePos. Ninguna de ellas es completa.
SiC es una categoría y A∈Ob(C), se define lacategoría coma de
Asobre C, (A,C), como la categoría que tiene como objetos a los C -morfismos que tienen dominio A, y como morfismos de f : A→ B a
f0 : A → B0 aquellos C-morfismos g : B → B0 tales que el siguiente triángulo conmuta.
A
B B0
f f0 g
La composición en (A,C) se define de manera acorde a la composición enC.
SiC es una categoría yA∈Ob(C),se define lacategoría coma deC
sobreA,(C,A)a la categoría que tiene como objetos a losC-morfismos que tienen codominio A, y como morfismos de f :B →Aa f0: B0 →A
aquellos C-morfismos g : B → B0 tales que el siguiente triángulo con-muta.
B B0
A
f g
La composición en (C,A) se define de manera acorde a la composición enC.
Para toda categoría C = (O,M,d om,cod,◦), la categoría opuesta o dual de C es la categoría Cop = (
O,M,cod,d om,∗), donde ∗ está definido por f ∗g=g◦f.
1.2
Principio de dualidad
SeaEun enunciado sobre los objetos y morfismos de una categoríaC. El dual Eopde E, es el enunciado correspondiente sobreCopformulado como enunciado sobreC.Es decir,Eopes el enunciado obtenido de Eal invertir la dirección de todos los morfismos. Como Ese cumple enCop
si y sólo siEopse cumple enC,y(Cop)op=C se tiene lo siguiente: Principio de dualidad para categorías.SiEes un enunciado que es verdadero para todas las categorías, entoncesEopes también verdadero para todas las categorías.
También se tiene el concepto de dualidad para estructuras en cate-gorías. SiW es una construcción definida para todas las categorías, en-tonces el dual Wopo co-W de W es la construcción definida para toda categoríaC formulandoW enCope interpretando el resultado enC.
1.3
Morfismos especiales
SeanC una categoría y f :A→BunC-morfismo. Diremos que
f es una sección en C (o C-sección) si y sólo si existe un C -morfismo g:B→Atal que g◦f =1A.
f es una retracción en C (o C-retracción) si existe un C -morfismo g:B→Atal que f ◦g=1B.
f es unmonomorfismo enC (oC-monomorfismo) si y sólo si
∀h,k∈Mor(C): f ◦h= f ◦k,implica queh=k.
f es unepimorfismo enC (oC-epimorfismo) si y sólo si∀h,k∈
Mor(C):h◦f =k◦f,implica queh=k.
f es un bimorfismo en C (o C-bimorfismo) si y sólo si es un
C-monomorfismo yC-epimorfismo.
C es una categoríabalanceadasi y sólo si todo bimorfismo es un isomorfismo.
Si f : A→ B es un isomorfismo, diremos que Ay B son C-objetos isomorfos. Es claro que la relación de objetos isomorfos es una relación de equivalencia sobre los objetos de una categoría. También es posible definir un orden parcial sobre la clase de monomorfismos de la categoría
C, con codominio común, de la siguiente forma:
Sean f :ADy g:BDdosC-monomorfismos, entonces
f ≤gsi y sólo si existe un morfismoh:A→Btal que f =g◦h. Lo anterior da lugar a una relación de equivalencia dada por
f ∼gsi y sólo si f ≤gy g≤ f
Así diremos que O es un subobjeto de Dsi y sólo siO es una clase de equivalencia de monomorfismos con codominio D.
Un objetoAesinicial(terminal) si para cada objetoX existe un único morfismoA→X (X →A).
Proposición 1.1. Todos los objetos iniciales de una categoría son iso-morfos.
Demostración. SeanAyA0objetos iniciales, entonces existen morfismos
f :A→A0y g:A0→A.Pero entonces g◦f :A→Aes el único morfismo dehom(A,A).Entonces g◦f =1Ay por un argumento similar f◦g=1A0.
Mostrando queAyA0son isomorfos.
Corolario 1.2. Todos los objetos terminales en una categoría son isomor-fos.
Por tanto convendremos en denotar por0a los objetos iniciales y por 1a los terminales.
1.4
Productos y coproductos
SeanA1 yA2 dos objetos de la categoríaC. UnproductodeA1 y A2 es un objetoP junto con morfismosπ1:P→A1 yπ2:P→A2, llamados proyecciones canónicas, tales que para cada objeto B y cada para de morfismos f1 :B→A1, f2 :B →A2 existe un único morfismo g:B →P tal que el diagrama conmuta.
B
A1 P A2
g f1 f2
π1 π2
Proposición 1.3. Los productos son únicos salvo isomofismos.
Demostración. SeanA1 yA2 dos C-objetos, definamos una nueva cate-goríaC |A1,A2 cuyos objetos son todos los pares deC-morfismos de la forma f1 : B →A1, f2 : B →A2, y como morfismos entre dosC |A1,A2 -objetos f1 : B → A1, f2 : B → A2 y g1 : C → A1, g2 : C → A2, los C -morfismosh:B→C tal que el siguiente diagrama conmuta.
B
A1 C A2
h f1 f2
g1 g2
sólo si el par de morfismos es un objeto terminal enC |A1,A2.Y como los objetos terminales son únicos salvo isomorfismos se sigue que también lo son los productos deA1yA2enC.
Como los productos son únicos salvo isomorfismos adoptaremos la convención de denotar por A1×A2 al producto de A1 yA2 y para cada par de morfismos f1 : B → A1, f2 : B → A2 denotaremos por 〈f1,f2〉 al único morfismo deBenA1×A2.También para cada objetoA,se denotará porδAal morfismo〈1A, 1A〉:A→A×Ay se llamarámorfismo diagonal.
Dualmente, un coproducto deA1 yA2 es un objetoQ junto con mor-fismos σ1 : A1 →Q y σ2 : A2 →Q, llamados inyecciones (canónicas), tales que para cada objeto B y cada par de morfismos f1 : A1 → B y
f2 : A2 → B existe un único morfismo h: Q → B tal que el siguiente diagrama conmuta.
A1 Q A2
B
σ1
f1
h
σ2
f2
De forma análoga a la propiedad relativa a productos, se comprueba la únicidad de los coproductos y se conviene en denotar porA1+A2 al coproducto deA1yA2. Y por[f1,f2]al único morfismo (h del diagrama) deQenA1+A2.
Finalmente, diremos queC tiene productos (coproductos) binarios, si
A×B(A+B) existe para cada par deC-objetosA,B.
La siguiente observación es fácil de ver, al mostrar queAes el producto tanto deA×1como de1×Ay también es el coproducto deA+0y0+A. Observación 1.4. SeanC una categoría yAunC-objeto, entonces
EnSetel producto de dos conjuntos es el producto cartesiano y el coproducto la unión ajena.
EnGrp el producto de dos grupos es su producto cartesiano y su coproducto es el producto libre.
EnEspel producto de dos espacios es el producto topológico y el coproducto es la suma topológica ajena.
En una clase preordenada, el producto de dos objetos es el ínfimo y el coproducto el supremo.
Dados dos morfismos f1 : A1 → B1 y f2 : A2 → B2, definiremos su producto f1× f2 como el morfismo〈f1◦π1,f2◦π2〉:A1×A2→B1×B2. Entonces f1×f2 es el único morfismo que hace conmutar el diagrama.
A1×A2
B1 B1×B2 B2
f1×f2
f1◦π1 f2◦π2
π0
1 π02
Por tanto, es posible demostrar que la operación producto (y por duali-dad coproducto) es conmutativa en toda categoría
Proposición 1.5. En toda categoría con productos binarios, A1×A2 ∼=
A2×A1.
Demostración. Por ser productos existen morfismos únicos h y h0 que hacen conmutar los diagramas
A1×A2
A1 A2×A1 A2
h
π1 π2
π0
2 π01
A2×A1
A1 A1×A2 A2
h0
π0
2 π01
Entonces juntando los diagramas en ambos ordenes, se obtienen los dia-gramas conmutativos
A1×A2
A1 A1×A2 A2
h0◦h
π1 π2
π1 π2
A2×A1
A1 A2×A1 A2
h◦h0
π0
2 π01
π0
2 π01
Pero reemplazando h0◦h por 1A1×A2 y h◦h0 por 1A2×A1 se preserva la conmutatividad del diagrama. Por unicidad se tiene entonces queh0◦h=
1A
1×A2yh◦h
0=1
A2×A1.Por tantohes isomorfismo yA1×A2∼=A2×A1.
De forma similar, el resultado se puede extender a una cantidad finita de factores y la construcción misma puede generalizarse a un conjunto arbitrario de objetos: Si{Ai :i∈I}es un conjunto de objetos de la
cate-goríaC,unproductodel conjunto es un objeto, usualmente denotado porQ
i∈IAi o
Q
Ai, junto con un conjunto de morfismosπi :
Q
Ai →Ai
para cadai∈I,llamadas proyecciones (canónicas) tales que, para cada objetoBy cada conjunto de morfismos fi :B→Ai para cadai∈I,existe un único morfismo h: B → QAi tal que, para cada i ∈ I el siguiente diagrama conmuta.
B QAi
Ai
h fi
πi
Generalizando el producto de morfismos al caso finito; dados f1 :B →
A1, . . . ,fn : B → An, denotaremos por 〈f1, . . . ,fn〉 al único morfismo h:
B→A1× · · · ×An tal que el diagrama conmuta,
B
A1× · · · ×An Ai
h fi
para cada i ∈ {1, . . . ,n}. Dualmente, el coproducto de una colección de objetos {Ai :i∈I}es un objeto, comúnmente denotado por`
i∈IAi
o `Ai, o simplemente por A1+· · ·+An en el caso finito, junto con
una colección de morfismos, llamados inyecciones (canónicas)σi:Ai →
`
Ai para cada i ∈ I, tal que, para cada objeto B y cada colección de morfismos fi : Ai → B para cada i ∈ I, existe un único morfismo h :
`
Ai→B,tal que para cadai∈I el siguiente diagrama conmuta.
Ai `Ai
B
σi
fi
h
Al morfismo h conmunmente se le denota por `fi o f1+· · ·+ fn en
el caso finito. Diremos entonces que una categoría C posee productos (coproductos) [finitos] si existe el producto (coproducto) de cualquier colección [finita] de objetos enC.
Familias conjuntamente epimorfas
Dada {fi :Xi →Y|i ∈I}una familia de morfismos en una categoría
C, diremos que esconjuntamente epimorfa(o unC-pozo) si y sólo si para cada par de morfismos g,h:Y →Z
g◦fi=h◦fi ∀i∈I implica g=h.
La siguiente proposición es una caracterización útil de las familias conjuntamente epimorfas y será utilizada en el Capítulo 3.
Proposición 1.6. {fi :Xi →Y|i∈I}es una familia conjuntamente
epi-morfa si y sólo si el morfismo inducido`
fi:`Xi →Y es un epimorfis-mo.
Demostración. Para la necesidad, supongamos que{fi : Xi → Y|i ∈ I}
morfismos tales que g◦`
fi=h◦
`
fi,se tiene que:
g◦afi◦σi=h◦afi◦σi ∀i∈I
dondeσi:Xi →`
Xi son las inyecciones canónicas que cumplen` fi◦
σi = fi.Así
g◦fi=h◦fi ∀i∈I
Como la familia es conjuntamente epimorfa se sigue que g = hy por tanto`
fi es un epimorfismo. Para la suficiencia, si`
fi es un epimorfismo y g,h:Y →Z son mor-fismos tales que
g◦fi=h◦fi ∀i∈I
se sigue
g◦afi◦σi=h◦
a
fi◦σi ∀i∈I
y por la unicidad del morfismo inducido `
(g◦fi):
`
Xi →Z se sigue
que
g◦afi=h◦afi
y por tanto g=hporque`
fi es epimorfismo. Así la familia{fi :Xi → Y|i∈I}es conjuntamente epimorfa.
1.5
Límites y Colímites
Sea D un diagrama con vértices{Di : i∈ I} en una categoría C. Un conosobreDes una familia de morfismos{fi:A→D:i∈I}de un
mis-mo dominioAa los objetos enDde tal forma que, para cada morfismo
d:Di→Dj enD, el diagrama
A
Di Dj
fj
fi
conmuta. El objetoAes llamadovérticedel cono.
Un morfismo de un cono sobreD,{fi:A→Di :i∈I},a un cono sobre
D,{gi :B→Di :i∈I},es unC-morfismoh:A→B tal que el diagrama conmuta para cada i∈I.
A B
Di
fi
h gi
Si tal morfismoh:A→Bexiste, diremos que el cono{fi :A→Di :i∈I}
se factoriza a través del cono{gi:B→Di:i∈I}.
Los conos sobre D forman entonces una categoría de la forma des-crita. Definimos unlímite para el diagrama Da un objeto terminal en tal categoría. Nuevamente, como los objetos terminales son únicos salvo isomorfismos, también los límites, así escribiremos lím Dpara el límite deD, cuando este exista. Entonces el límite satisface la siguiente propie-dad universal:Cada cono sobreDse factoriza de forma única a través de un límite paraD.
Dualmente, definimos un cono bajoDcomo un cono sobreD conside-rado como diagrama en Cop, y uncolímite paraDserá un límite para Dconsiderado como diagrama enCop.
Por simplicidad, a menudo identificaremos a los conos con su vértice. Ejemplos.
(i) Productos y Coproductos. Dada una familia {Ai : i ∈ I} de C -objetos, sea D el diagrama sin morfismos {Ai : i ∈ I}. Un cono
sobre Des un objeto C junto con morfismos fi :C →Ai. Además límDesQ
Ai y colímDes` Ai.
(ii) Igualadores y Coigualadores.SeaDel diagrama
A⇒f
g B
hacen conmutar los diagramas:
C
A B
h k
f
C
A B
h k
g
Entonces k = f ◦h= g◦h. Entonces los conos sobre D son, en esencia, morfismosh:C→Atales que
C→h A⇒f
g B
conmuta, es decir, f ◦h= g◦h. Lo cual interpretaremos diciendo que higuala a f y g.Un límite paraD es un morfismoe:C →A
tal que f ◦e = g◦e y para cada morfismo u : D → A tal que
f◦u=g◦u,existe un único morfismok:D→C que hace conmutar al diagrama.
D C
A
u k
e
A tal morfismo e : C → A lo llamaremos igualador de f y g y diremos que una categoría C tiene igualadores si el igualador de cada par deC-morfismos existe enC.
Dualmente, un colímite para el diagrama A⇒f
g B es llamado un
coigualadorde f y g y diremos que la categoría C tiene coigua-ladores si el coigualador de cada par deC-morfismos existe. (iii) Productos y coproductos fibrados. Unproducto fibradode un par
de morfismos f :A→C y g:B→C con codominio común, es un límite para el diagrama
B
A C
Un cono para este diagrama consiste de tres morfismosi,j,ktales que el diagrama
D B
A C
i j k g
f
conmuta. De donde se obtiene quek=g◦i= f◦j,así que un cono se puede ver como un par de morfismosi:D→B y j:D→Atales que el cuadrado es conmutativo.
D B
A C
i j g
f
Entonces un producto fibrado del par f :A→C y g:B→C es un par de morfismosi:D→B, j:D→Atales que
• f ◦j=g◦iy
• Sih:E→Ayk:E→Bson tales que f ◦h= g◦k, entonces existe un único morfismou:E→Dtal queh= j◦uyk=i◦u.
E
D B
A C
h u
k
j i
Dualmente, uncoproductoes el colímite del diagrama.
B
A C
g f
Proposición 1.7. Todo igualador es monomorfismo y, dualmente, todo coigualador es epimorfismo.
Demostración. Sea
C →h A⇒f
g B
un diagrama igualador y supongamos que j:D→C, k:D→C satisfa-cenh◦j=h◦k,entonces f◦(h◦j) =g◦(h◦k)y entonces existe un único morfismou:D→C tal queh◦j=h◦u, pero tambiénh◦k=h◦uy por tantou= j=k.
Proposición 1.8. En el siguiente producto fibrado, si f es un monomor-fismo, también lo esi.
D B
A C
j i
g f
Demostración. Supongamos que f es monomorfismo, seanp,q:D0→D
tales quei◦p=i◦q.Entonces g◦i◦p= g◦i◦q,de forma que
f ◦j◦p=g◦i◦p=g◦i◦q= f ◦j◦q
y como f es monomorfismo se obtiene j◦p = j◦q. Ahora, como el cuadrado es un producto fibrado, existe un único morfismoh: D0→ D
Proposición 1.9. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo en una categoríaC.
A B C
(I) (I I)
D E F
c
a
d
b
e
f g
1. Si los cuadrados(I)y(I I)son productos fibrados, también lo es el cuadrado exterior.
2. Si el cuadrado exterior y (I I) son productos fibrados, también lo es(I).
Demostración. Para 1. Sean (I) y (I I) productos fibrados. Si K es un objeto y x :K→Dy y:K→C son morfismos tales que g◦f ◦x =e◦y, por ser (II) producto fibrado, existe un único morfismoztal queb◦z= y
y d◦z= f ◦x. También, como (I) es producto fibrado, existe un único morfismo w : K → Atal que a◦w = z y c◦w = x, así se tiene que
b◦a◦w = b◦z = y. Luego, si w0 : K → A es otro morfismo tal que
b◦a◦w0 = y y c◦w0 = x, se tiene que b◦(a◦w0) = b◦(a◦w) y
d◦(a◦w0) = f ◦c◦w0= f ◦x= f ◦c◦w=d◦(a◦w).Como(I I) es un producto fibrado,a◦w0=a◦w.Por otra partec◦w0=x =c◦w.Entonces
w=w0porque(I)es producto fibrado.
Bajo las hipotesis de 2. sean a0:A0→B y c0:A0→ Dtal qued◦a0= f ◦c0. Entonces b◦a0 y c0 cumplen e◦(b◦a0) = (g◦f)◦c0. Dado que el cuadrado exterior es producto fibrado, existe un morfismoq:A0→A
tal que b◦a0= (b◦a)◦qyc0=c◦q,pero entonces b◦(a◦q) =b◦a0y
d◦(a◦q) = f ◦c0y como(I I)es un producto fibrado y existe un único morfismoA0→B que cumple esa propiedad se sigue quea0=a◦q.Para comprobar la unicidad, basta ver que si r :A0→Aes otro morfismo tal quea0=r◦ayc0=r◦c,entoncesb◦a◦r=b◦a◦qyc0=c◦rimplica que
1.6
Existencia de límites y colímites
Se dirá que una categoríaC es (finitamente) completa o cocompleta si el límite o colímite de cualquier diagrama (finito) enC existe enC.El siguiente criterio es de gran utilidad para probar la existencia de límites en toda categoría.
Teorema 1.10. C es (finitamente) completa si y sólo siC tiene productos (finitos) e igualadores. Dualmente,C es (finitamente) cocompleta si y sólo
C tiene coproductos (finitos) y coigualadores.
Demostración. Como los productos e igualadores son límites la necesi-dad es inmediata.
Entonces supongamos queC tiene productos (finitos) e igualadores. SeaDun diagrama (finito) enC con vértices{Di :i∈I}.SeaD=QDiy para cadai∈Iseaπi :D→Dila proyección canónica. Para cada
morfis-mod:Di→Dj deDescribamosi=i(d)y j= j(d).Sea D0=
Q
d∈DDj(d),
y para cadad ∈Dseaσj(d):D0→Dj(d)la proyección canónica para D0.
Sea f el único morfismo que hace conmutar al siguiente triángulo para cadad∈D.
D D0
Dj(d)
πj(d)
f
σj(d)
Mientras que g es el único morfismo que hace conmutar el siguiente diagrama para cada d∈D.
D D0
Dj(d)
d◦πi(d)
g
σj(d)
Entonces sea h : A→ D el igualador de D ⇒f
g D
0. Afirmamos que F =
Veamos que es un cono sobreD. Para cadad enDse tiene que
d◦πi(d)◦h=σj(d)◦g◦h=σj(d)◦f ◦h=πj(d)◦h
donde la penúltima igualdad se da porquehes igualador de f y g. En-tonces, si {ki : A0 → Di : i ∈ I} es otro cono sobre D, sea k el único morfismo que hace conmutar el diagrama para cadai∈I.
A0 D
Di k ki
πi
Entonces se tiene la siguiente situación
A Y
i∈I
Di Y
d∈D
Dj(d)
A0 Di(d) Dj(d)
πi(d)◦h
h
πd(i)
πj(d)
f g
σj(d)
l k
ki
kj(d)
d
Para ver que en efecto f ◦k = g◦k se comprueba queσj(d)◦ f ◦k =
σj(d)◦g◦kpara cadad∈D. Se tiene entonces que
σj(d)◦f ◦k = πj(d)◦k
= kj(d)
= d◦ki(d)
= d◦πi(d)◦k
Comohes el igualador de f y g,existe un únicol:A0→Aque factoriza al morfismok.Y entonces se tiene que el triángulo
A0 A
Di ki
l
πi◦h
es conmutativo, para cada i ∈ I. Y por tanto el morfismo l es único. Entonces como cada cono sobreDse factoriza a través deF el último es un límite paraD.Por tantoC es (finitamente) completa.
1.7
Funtores y transformaciones naturales
Definición 1.11. SeanC yD categorías. Un funtorcovariante deC a
D es un triple o tercia(C,F,D) donde F es una función de la clase de morfismos deC a la clase de morfismos deDque satisface las siguientes condiciones:
F preserva identidades; es decir, siees unaC-identidad, entonces
F(e)es unaD-identidad.
F preserva composiciones; Sid om(g) =cod(f),entonces:
d om(F(g)) =cod(F(g))yF(g◦f) =F(g)◦F(f).
Como notación en vez de escribir(C,F,D), escribiremos F : C → D para referirnos al funtor F deC aD.
Definición 1.12. (C,F,D) es unfuntor contravariante de C aD si y sólo si(Cop,F,D)es un funtor.
Dado que en toda categoría existe una correspondencia biyectiva en-tre los objetos de la categoría y los morfismos identidad, y los funtores preservan identidades, cada funtor F:C → Dinduce una única función (que denotaremos también por F) de la clase deC-objetos a la clase de
D-objetos de tal forma que para cadaC-objetoA:
Y como consecuencia inmediata de este hecho se tiene que para cada par deC-objetosAyB se tiene que
F[homC(A,B)]⊂homD(F(A),F(B)]
De esta forma cada funtor F :C → D puede ser recuperado desde su “función de objetos” F: Ob(C)→Ob(D)y las restricciones
F
hom(F(A),F(B))
hom(A,B)
Por tanto, a menudo describiremos a los funtores declarando su función sobre objetos y sus restricciones respectivas.
Ejemplos.
Elfuntor identidad1C :C → C y elfuntor encajede cualquier sub-categoríaA deC aC son funtores covariantes de toda categoría. Elfuntor potenciaP:Set→Set.DondePasigna a cada objetoX su potenciaP(X)y a cada función f :X →Y la funciónP(f):P(X)→ P(Y)y envía a cada subconjuntoA⊂X su imagen f[A]⊂Y.Es un funtor covariante.
Los funtores hom. Para cada categoría C y cada C-objeto A, se tiene el funtor HA : C → Set definido en objetos por HA(X) =
homC(A,X)y en morfismos f :X →Y comoHA(f): homC(A,X)→
homC(A,Y)dado por HA(f)(g) = f ◦g.Es un funtor covariante.
Un funtor covariante entre dos conjuntos (pre)ordenados es una función preservadora de orden.
Elfuntor contravariante potenciaPˆ:Set→Set.Donde a cada con-junto X le asigna su conjunto potencia P(X)y a cada función f :
morfismos f :X→Y porHA(f): homC(Y,A)→homC(X,A)donde
HA(f)(g) =g◦f.
Diremos que un funtorF :C → D es:
Pleno si para cada par deC-objetos Ay B, F es sobreyectiva en homC(A,B), es decir,F transformahomC(A,B) sobreyectivamente enhomD(F(A),F(B)).
FielsiF es inyectiva enhomC(A,B)para cada parA,B∈ O(C). Densosi para cadaD-objetoBexiste unC-objetoAtal que F(A)∼= B.
Un encaje si es fiel e inyectivo en objetos, es decir, F(A) = F(B)
implica queA=B.
Definición 1.13. SeanF:A → B yG:A → B funtores.
(1) Unatransformación naturaldeF a Ges un triple(F,η,G)donde
η : Ob(A)→Mor(B) es una función que satisface las siguientes condiciones:
• Para todoA-objetoA,η(A)(usualmente denotado porηA) es
unB-morfismoηA:F(A)→G(A).
• Para todoA-morfismo f :A→A0,el diagrama
F(A) G(A) A
F(A0) G(A0) A0
F(f)
ηA
G(f) f
ηA0
conmuta.
(2) Una transformación natural (F,η,G) es un isomorfismo natural si para cadaA-objetoA,ηAes unB-isomorfismo.
(3) FyGsonnaturalmente isomorfos(denotado porF ∼=G) si y sólo si existe un isomorfismo natural deF a G.
na-tural. Análogamente a la notación de funtor, usaremos intercambiable-mente la notaciónη:F →G para indicar queηes una transformación natural de F aG.
SiF :C →Setes un funtor covariante, diremos que F es representa-ble si existe unC-objetoAtal que F ∼=HA. Dualmente diremos que un funtorF :C →Setcontravariante es representable si existe unC-objeto
Atal que G ∼= HA. El objeto Aque satisface esta condición es el objeto representativoparaF.
Nótese que si F,Gy H son funtores deA aB yα:F→G,β:G→H
son transformaciones naturales, entonces la ecuación (β◦α)A=βA◦αA
define una nueva transformación naturalβ◦α:F→H.
SiF,G:C →Setson funtores, escribiremosNat(F,G)por la colección de transformaciones naturales de F aG.
Teorema 1.14 (Lema de Yoneda). Sean A una categoría, F un funtor
F :A →Sety consideremos un objetoA∈ A. Existe una correspondencía biyectiva
θF,A: Nat(HA,F)→FA
entre la clase de transformaciones naturales de HA a F y los elementos del conjunto FA; en particular la clase de transformaciones naturales es un conjunto. Las biyeccionesθF,Aconstituyen una transformación natural en la variableA.Cuando A es una categoría pequeña las biyeccionesθF,A
también constituyen una transformación natural en la variable F.
Demostración. Dada una transformación naturalα: HA→ F, definimos
θF,A(α) =αA(1A).Para demostrar queθF,Aes biyectiva encontraremos su
inversaτ:FA→Nat(HA,F).
Para cada a ∈ FA, definimos la transformación natural τ(a) : HA → F
donde para cadaA-objetoBy f ∈homA(A,B)se tiene la funciónτ(a)B: homA(A,B)→F Bdefinida porτ(a)B(f) =F(f)(a).
que el siguiente diagrama conmuta:
homA(A,B) F B B
homA(A,C) F C C
homA(A,g)
τ(a)B
F(g) g
τ(a)C
Si g:B→C es una función y f ∈homA(A,B),se tiene que
F(g)◦τ(a)B
(f) =F(g) F(f)(a)
= F(g)◦F(f)
(a) =F(g◦f)(a)
y τ(a)C◦homA(A,g)
(f) =τ(a)C g◦f
=F(g◦f)(a)
Por tanto, el diagrama es conmutativo yτ(a)es transformación natural. Comprobemos entonces queθF,Ayτson inversos uno del otro.
Para cadaa∈FA:
θF,A◦τ
(a) =θF,A(τ(a)) =τ(a)A(1A) =F(1A)(a) =1FA(a) =a
y para cadaα:HA→F transformación natural se tiene que
τ◦θF,A
(α) =τ
θF,A(α)
=τ(α(1A)): homA(A, )→F
es una transformación natural, donde para cada A-objeto B y f ∈
homA(A,B)se tiene
τ(α(1A))B(f) =F(f)(αA(1A)) =αB(homA(A,f)(1A)) =αB(f◦1A) =αB(f)
donde la segunda igualdad se cumple porqueαes transformación natu-ral. Por tanto θF,Aconstituye una correspondencia biyectiva
demostran-do la primera parte del teorema.
Para demostrar queθF,Aes también una transformación natural sobre
la variable A consideremos el funtor N : A → Set definido en obje-tos por N(A) = Nat(HA,F) y para f : A → B A-morfismo por N(f) : Nat(HA,F)Nat(homA(B, ),F) dado por N(f)(α) =α◦homA(f, ). En-tonces siηA=θF,Averemos queηes transformación natural.
Siα:HA→F es una transformación natural, se tiene que
F(f)◦ηA
(α) = F(f) ηA(α)
=F(f)θF,A(α)
=F(f) αA(1A)
= αB homA(A,f)(1A)
Por otra parte,
ηB◦N(f)
(α) = ηB N(f)(α)
=ηB(α◦homA(f, ))
= θF,A(α◦homA(f, )) = (α◦homA(f, ))B(1B)
= αB◦homA(f,B)
(1B) =αB(1B◦f) =αB(f)
de donde se tiene que
F(f)◦ηA
(α) = ηB◦N(f)
(α).
Esto permite concluir queη:N →F es transformación natural y por lo tanto lo esθF,Aen la variableA.
Más aún, siA es una categoría pequeña, existe la categoríaFun(A, Set) cuyos objetos son los funtores de A a Set y cuyos morfismos son las transformaciones naturales entre ellos. Tomemos unA-objetoAy consi-deremos el funtorM : Fun(A, Set)→Setdefinido porM(F) =Nat(HA,F)
en objetos y si γ: F → G es un morfismo en Fun(A, Set) definido por
M(γ): Nat(HA,F)→Nat(HA,G)con M(γ)(α) =γ◦αen morfismos.
También consideremos el funtor “evaluación en A”evA: Fun(A, Set)→
Setdefinido en objetos porevA(F) =FAy en morfismosevA(γ) =γA. Entonces se tiene que para cadaα:HA→F
evA◦θF,A
(α) =γA(θF,A(α)) =γA(αA(1A)) = γA◦αA
(1A)
por otra parte
θG,A◦M(γ)
(α) =θG,A M(γ)(α)
=θG,A(γ◦α) = (γ◦α)A(1A) = (γA◦αA)(1A)
lo cual indica que el siguiente diagrama conmuta
Nat(HA,F) FA F
Nat(HA,G) GA G
M(γ)
θF,A
evA(γ) γ
θG,A
A partir del Lema de Yoneda se tiene que dados dos objetos Ay B, Nat(HA,HB)=∼homC(B,A)y por dualidad que
Nat(HA,HB)∼=homCop(B,A)∼=homC(A,B).
Dadas dos categoríasC yD,dondeC es pequeña, seaDC la catego-ría de funtores, cuyos objetos son todos los funtores F :C → D y sus morfismos son las transfomaciones naturales.
Entonces, dada una categoría pequeña C, la categoría de funtores
SetCop tiene como objetos a todos los funtores contravariantes deC en
Set(llamados pregavillas sobreC). Definimos la funciónY :C →SetCop
porY(A) =HApara cadaC-objetoAyY(f)C(g) = f ◦gdonde f :A→B
y g:C →AsonC-morfismo. Entonces Y es un funtor y es inyectivo en objetos. Más aún por el Lema de YonedaY es pleno y fiel, así se tiene el siguiente teorema
Teorema 1.15(Teorema del encaje de Yoneda). Para todo categoría pe-queñaC,el funtorY es un encaje pleno deC enSetCop.
Más aún, el siguiente Teorema será de gran importancia pues nos per-mite garantizar que todo funtor en SetCop puede ser “aproximado por funtores representables”.
Teorema 1.16. SeaC una categoría pequeña. Entonces para cada objeto
F de SetCop existe un diagrama D en SetCop cuyos vértices son funtores representables tales que F = colímD. Es decir, cada objeto F de SetCop es el colímite de funtores representables.
Demostración. SeaC una categoría pequeña. Dado un objetoFenSetCop, podemos asumir sin pérdida de generalidad que los conjuntos {FA:A∈
Ob(C)} son ajenos. Para cada x ∈ FAescribamos Hx por HA. Sea D el
diagrama enSetCop cuyo conjunto de vértices es
{Hx :x ∈FA,A∈Ob(C)}.
Recordemos que para cada x ∈ FAse define en la prueba del Lema de Yoneda una transformación naturalτ(x):HA→F dada por
Tomaremos como morfismos del diagramaDa todos los morfismos η:
Hx →Hy enSetCop que hacen conmutar el diagrama
Hx Hy
F
x∗
η
y∗
(1.1)
para cada x∈FA,y∈F B.
De esto se deduce inmediatamente queK={x∗:Hx →F :x ∈FA,A∈
Ob(C)}es un cono bajoD. Probaremos que K=colím D. Supongamos que
K0={ξx :Hx →G:x ∈FA,A∈Ob(C)} es cualquier otro cono bajoD. Esto implica que el diagrama
Hx Hy
G
ηx η
ηy
(1.2)
siempre que el diagrama 1.1 conmute. Tenemos que mostrar que exis-te una única transformación natural α : F → Gque haga conmutar el siguiente diagrama para cada x ∈FAyA∈Ob(C).
Hx F
G
x∗
ξx
α (1.3)
Para lograr esto primero necesitaremos ver que para cada f :B→Ay
x ∈FA,haciendo y = (F f)x ∈F B,
Para establecer 1.4, notemos que, como el diagrama
Hy Hx
F
y∗
Y f x∗ conmuta, también lo hace el diagrama
Hy Hx
G
ξy
Y f
ξx
de modo que en particular se tiene el siguiente diagrama conmutativo
HB(B) =Hy(B) Hx(B) =HA(B)
GB
(ξy)B
(Y f)B
(ξx)B
donde obtenemos
(ξy)B(1B) = (ξx)B((Y f)B(1B)) = (ξx)B(f)
como queriamos.
Entonces definamos para cadaC-objetoA,αA:FA→GApor
αA(x) = (ξx)A(1A)parax ∈FA.
Luego,α={αA:A∈Ob(C)}es una transformación natural F→G.Para
verificar esto, sea f :B→A, x ∈FAy hagamos y= (F f)x.Entonces (G F)(αA(x)) = (G F)((ξx)A(1A))
= (ξx)B(HA(f)(1A)) porqueξes natural
= (ξx)B(f)
= (ξy)B(1B) por 1.4
= αB(y)
De modo que el diagrama
FA GA
F B GB
F f
αA
G f
αB
conmuta para cada C-objeto A, y por tanto α es una transformación natural. También 1.3 conmuta, pues dados f :B→Ayx ∈FA,tomando
y = (F f)x.
αB(xB∗(f)) =αB(y) = (ξy)B(1B) = (ξx)B(f)
por 1.4.
Resta verificar que α es la única transformación que hace conmutar 1.3, pero dadosA∈Ob(C),x ∈FA,αA(x)está determinada únicamente por
αA(x) =αA(xA∗(1A)) = (ξx)A(1A).
1.8
Adjunciones
SeanF :C → D yG :D → C dos funtores tales que para cada par de objetosAdeC yB deD,existe una biyección
φA,B: homC(A,GB)∼=homD(FA,B), (1.5) La cualφA,BesnaturalenA,en el sentido de que para cadaC-morfismo
f :A→A0el siguiente diagrama conmuta.
homC(A0,GB) homD(FA0,B)
homC(A,GB) homD(FA,B)
_◦f
φA0,B
_◦F f
Es decir, para cadah∈homC(A0,GB):
φA,B(h◦f) =φA0,B(h)◦F f. (1.6)
Además,φA,Bes natural enB,en el sentido de que, para todoD-morfismo
g:B0→B,el siguiente diagrama conmuta.
homC(A,GB0) homD(FA,B0)
homC(A,GB) homD(FA,B)
G g◦_
φA,B0
g◦_
φA,B
Es decir:
φA,B(G g◦h) =g◦φA,B0(h). (1.7)
Entonces se dira que(F,G,φ) es unaadjunciónentreC y D. A F se le llamaráadjunto izquierdodeGy aGadjunto derechodeF.A menudo una adjunción se denotará por
FaG
indicando que F es el adjunto izquierdo deG.
Dada una adjunción (F,G,ϕ)entre C y Dy AunC-objeto, haciendo
B= FAen la ecuación 1.5 se tiene que existe un ηA:A→G FAtal que
φA,FA(ηA) =1FA.Entonces, dado unD-objetoBy un morfismok:FA→B
consideremos
ˆk=Gk◦ηA:A→GB
HaciendoB0=FAen la ecuación 1.7 se tiene
φA,B(ˆk) =φA,B(Gk◦ηA) =k◦φA,FA(ηA) =k◦1FA=k.
Así la función entrehomD(FA,B)yhomC(A,GB)definida pork7→ˆkes la inversa de la biyecciónφA,B.Por lo cúal, para cadah:A→GBexiste un
único k:FA→Btal que el diagrama
A G FA
GB
ηA
conmuta. Y, más aún, los morfismos ηA son los componentes de una
transformación natural
η: 1C →G F
Ya que para cada f :A→A0,el siguiente diagrama conmuta.
A G FA
A0 G FA0
ηA
f G F f
ηA0
Para comprobarlo, tomemos B = FA0en la ecuación 1.6 y verifiquemos que
φA,FA0(ηA0◦f) =φA0,FA0(ηA0)◦F f =1FA0◦F f =F f.
y por otra parte, tomandoB=FA0yB0=FAen la ecuación 1.7 se tiene
φA,FA0(G F f ◦ηA) =F f ◦φA,FA(ηA) =F f ◦1FA=F f.
De estas dos ecuaciones se tieneφA,FA0(ηA0◦f) =φA,FA0(G F f◦ηA)y dado
que φA,FA0 es una biyección, ηA0◦f = G F f ◦ηA como se deseaba. A la
transformación naturalη: 1C →G F se le conoce como launidadde la adjunción(F,G,ϕ).
Similarmente, consideramos para cadaD-objetoB al morfismo
εB=φGB,B(1GB):F GB→B.
Entonces, haciendo A0 = GB en la ecuación 1.6, para cada h:A→ GB
definamos˜hcomoεB◦F h, así se tiene
˜h=ε
B◦F h=φGB,B(1GB)◦F h=φA,B(1GB◦h) =φA,B(h).
Luego, la función dehomC(A,GB)enhomD(FA,B)dada porh7→˜htiene como inversa aφA,B.Así, para cadak:FA→Bexiste un único morfismo
h:A→GBque hace conmutar al diagrama.
FA
F GB B
F h h
Y, nuevamente, los εB forman las componentes de una transformación
natural
η:F G→1D.
Para verificar que es una transformación natural, consideremos el dia-grama
F GB B
F GB0 B0
εB
F G g g
εB0
donde para cada g:B→B0se tiene
εB0◦F G g=φGB,B0(G g) =φGB,B0(G g◦1GB) = g◦φGB,B(1GB) =g◦εB.
A la transformación natural ε se le conoce como la counidad de la adjunción (F,G,φ). Tambien, para k en homD(FA,B) el morfismoˆk de homC(A,GB)se denomina eltranspuesto (izquierdo)de ka través de la adjunción F aG. Dualmente para cada hen homC(A,GB) el morfis-mo˜hde homD(FA,B) es el transpuesto (derecho) de ha través de la adjunción FaG.
Las siguientes son algunas propiedades esenciales de las transpuestas de una adjunción.
Proposición 1.17. Para f :A→A0enC, g:B→B0enD,v:C →A.
f
ηA=1FA εB
V =1GB 1FA
V
=ηA 1gGB=εB eh
V
=h ek
V =k
εFA◦FηA=1FA GεB◦ηGB=1GB
å
(ηA◦f) =F f (g◦εB)
V =G g â
(h◦v) =˜h◦F v (k◦F v)
1.9
Preservación de límites
SeaEun diagrama con vértices{Ei:i∈I}en una categoríaC.Dados
un cono
K={fi:Ei→A:i∈I}
bajoDy un funtor F:C → D,sea
F K={F fi:F Ei→FA:i∈I}
y sea FE el diagrama en D con vértices {F Ei : i ∈ I} y morfismos F d
donded es un morfismo deE. Como el diagrama
Ei Ej
A
fi
d fj
conmuta, también el diagrama correspondiente
F Ei F Ej
FA
F fi
F d
F fj
Así que F K es un cono bajoFE.
Diremos queF preserva el colímite de Esi para todo colímiteK para E en C, F K es un colímite para FE en D. Y diremos que F preserva colímites (finitos) si F preserva el límite da cada diagrama (finito) en
C.Dualmente, se fórmula la noción de preservación de límites.
Un funtor que preserva colímites (límites) finitos es llamado exac-to derecho (izquierdo). Un funexac-tor que es tanexac-to exacexac-to izquierdo como exacto derecho se dirá que es exacto.
