INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”
“
ANTENA FRACTAL PARA SISTEMAS
DE
COMUNICACIONES EN LA BANDA DE 2.4 GHz”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
P R E S E N T A:
VICTOR FELIPE ROMERO ROMERO
ASESOR: DR. JOSÉ ALFREDO TIRADO MÉNDEZ
Dedicatoria
A mis padres Norma Romero Alvarado y Arturo Romero Carmona, porque siempre me han brindado su apoyo y cariño de manera incondicional. También por sus valiosas enseñanzas que día a día me hacen una mejor persona.
A mis hermanos Johanna y Edgar, por su compañía y apoyo. Porque a pesar de nuestras diferencias siempre estaremos para apoyarnos y querernos.
Agradecimientos
Al CONACYT por su apoyo financiero para desarrollar prototipos de antenas a través del proyecto 127856.
A la SIP-IPN por su apoyo a través del proyecto SIP-IPN 20130564.
Al Laboratorio de Radiocomunicación del CINVESTAV por las facilidades brindadas para el desarrollo de antenas.
Al Dr. José Alfredo Tirado Méndez por compartir su conocimiento y guiarme en el desarrollo de este trabajo y principalmente por brindarme su amistad.
Índice general
Dedicatoria ... III Agradecimientos ... IV Lista de figuras ... VIII Lista de tablas ... XI Lista de abreviaturas ...XII Objetivo general ... XIII Justificación ... XIV
Introducción ... 1
CAPÍTULO 1. TEORÍA FRACTAL ... 3
1.1. Historia de la geometría fractal ... 3
1.2. Definición de fractal ... 5
1.2.1. Características de un fractal ... 5
1.2.2. Dimensión fractal ... 6
1.3. Conjuntos fractales clásicos ... 8
1.3.1. Conjunto de Cantor ... 9
1.3.2. Curva de Koch ... 10
1.3.3. Triángulo de Sierpinski ... 11
1.4. Aplicaciones de los fractales ... 11
1.5. Métodos para construcción de fractales ... 14
1.5.1. Sistema Lindenmayer ... 14
1.5.2. Sistema de funciones iteradas ... 15
Conclusiones ... 16
Referencias ... 18
2.1.1. Monopolo de Koch ... 21
2.1.2. Monopolo de Sierpinski ... 23
2.2. Dipolo Fractal ... 24
2.2.1. Dipolo de Koch ... 24
2.2.2. Dipolo de árbol ... 26
2.3. Antena fractal de alta directividad ... 27
2.4. Antena fractal con metamateriales ... 29
2.5. Antena fractal sobre sustrato piezoeléctrico ... 30
2.6. Antena fractal planar F-Invertida ... 31
2.7. Antena fractal de Ultra Banda Ancha ... 32
Conclusiones ... 34
Referencias ... 35
CAPÍTULO 3. ANTENA FRACTAL DE ALAMBRE Y ANTENA FRACTAL PLANARIZADA ... 38
3.1. Antena dipolo ... 38
3.1.1. Dipolo de media onda ... 39
3.2. Antena dipolo de Koch ... 42
3.3. Especificaciones de diseño ... 44
3.3.1. Especificaciones para la antena planar ... 45
3.3.2. Especificaciones para la antena de alambre ... 45
3.4. Diseño por computadora del dipolo fractal planar ... 46
3.4.1. Generación de la curva de Koch ... 46
3.4.2. Longitud de los brazos para el dipolo planar ... 49
3.4.3. Longitud de los brazos para el dipolo de alambre ... 53
3.5. Simulación del dipolo fractal planar con HFSS ... 54
3.5.1. Parámetro S11 del dipolo de Koch planar ... 54
3.5.2. Impedancia del dipolo de Koch planar ... 55
3.5.3. Ganancia del dipolo de Koch planar ... 55
3.6.1. Parámetro S11 del dipolo de Koch de alambre ... 56
3.6.2. Impedancia del dipolo de Koch de alambre ... 57
3.6.4. Ganancia del dipolo de Koch de alambre ... 58
3.7. Resumen de resultados de la simulación ... 58
Conclusiones ... 60
Referencias ... 61
CAPÍTULO 4. CONSTRUCCIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE LA ANTENA FRACTAL ... 62
4.1. Construcción del prototipo ... 62
4.2. Acoplador híbrido en anillo ... 65
4.2.1. Diseño del acoplador híbrido... 67
4.2.2. Simulación del acoplador híbrido ... 69
4.2.3. Construcción y caracterización del acoplador híbrido de 180° ... 72
4.3. Caracterización del dipolo fractal planar ... 75
4.3.1. Medición del parámetro S11 ... 75
4.3.2. Medición de la ganancia ... 78
4.3.3. Obtención del patrón de radiación ... 79
4.4. Resumen de resultados de las mediciones ... 82
Conclusiones ... 83
Referencias ... 84
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO ... 85
5.1. Conclusiones ... 85
5.2. Trabajo a futuro ... 86
Lista de figuras
Figura 1.1. a) Conjunto de Cantor, b) Curva de Koch y c) Triángulo de
Sierpinski………. 4
Figura 1.2. Fractales en la naturaleza………... 4
Figura 1.3. Conjunto de cantor………. 9
Figura 1.4. Construcción parcial de la curva de Koch………... 10
Figura 1.5. a) Triángulo de Sierpinski y b) carpeta de Sierpinski………….. 11
Figura 1.6. Aplicación de los fractales a) alveolos pulmonares, b) antena fractal………. 13
Figura 2.1. Simulación y medición del parámetro S11 de un monopolo planar y un monopolo de Koch………... 22
Figura 2.2. Antena monopolo basada en el triángulo de Sierpinski……….. 24
Figura 2.3. Comparación entre dipolos a) Koch, b) microcinta, c) alambre……… 25
Figura 2.4. Parámetro S11 y ROE………. 27
Figura 2.5. Patrón de radiación de la antena parche basada el copo de nieve de Koch ranurada……….. 28
Figura 2.6. Parámetro S11 de la antena fractal basada en la curva de Hilbert construida con técnicas de metamateriales……….. 29
Figura 2.7. Antena fractal construida sobre un sustrato piezoeléctrico… 30 Figura 2.8. (a) Antena F-invertida construida a partir de la carpeta de Sierpinski, (b) antena montada en un teléfono móvil………….. 29
Figura 3.1. Distribución de corriente sinusoidal ideal para un dipolo
con longitudes distintas……….. 40
Figura 3.2. Dipolo de media onda……….. 40
Figura 3.3. Patrón de radiación de un dipolo de media onda y corte
transversal del mismo………. 42
Figura 3.4. Antena dipolo de Koch de tercer orden……… 43
Figura 3.5. Curva de Koch de a) primer orden, b) segundo orden,
c) tercer orden……….. 49
Figura 3.6. Diseño del dipolo de Koch planar de tercer orden………. 52
Figura 3.7. Diseño del dipolo de Koch de alambre de segundo orden……. 53
Figura 3.8. Parámetro S11 perteneciente al dipolo de Koch planar………... 54
Figura 3.9. Magnitud de la impedancia del dipolo fractal planar…………... 55
Figura 3.10. Patrón de radiación referido a la ganancia del dipolo planar. 56
Figura 3.11. Parámetro S11 perteneciente al dipolo de Koch de alambre… 57
Figura 3.12. Magnitud de la impedancia del dipolo fractal de alambre……. 57
Figura 3.13. Patrón de radiación referida a la ganancia del dipolo de
alambre………. 58
Figura 4.1. Diseño del dipolo fractal creado en Microwave Office…………. 63
Figura 4.2. Conector SMA para montaje en circuito impreso……… 64
Figura 4.3. Antena dipolo de Koch planar construida, a) vista frontal,
c) vista posterior………. 64
Figura 4.4. Tipos de líneas de transmisión, a) línea de balanceada,
b) línea no balanceada………. 65
Figura 4.6. Diseño del acoplador híbrido de microcinta……….. 69
Figura 4.7. Modelo del acoplador híbrido creado en HFSS………. 70
Figura 4.8. Parámetros S42 y S43 simulados del acoplador híbrido………… 71
Figura 4.9. Ángulo de fase de los parámetros S42 y S43 del acoplador
hibrido………... 71
Figura 4.10. Acoplador híbrido de 180° de microcinta construido,
a) vista frontal, b) vista posterior………. 72
Figura 4.11. Mediciones de los parámetros S42 y S43 del acoplador
híbrido de 180°………. 73
Figura 4.12. Medición de las fases de los parámetros S42 y S43………... 74
Figura 4.13. Parámetro S11 medido correspondiente al dipolo de Koch….. 77
Figura 4.14. Scanner de la marca EMSCAM utilizado en el proceso de
caracterización de antenas……… 80
Figura 4.15. Patrón de radiación tridimensional medido mediante un
scanner de campo cercano……… 81
Figura 4.16. Cortes transversales del patrón de radiación medido,
Lista de tablas
Tabla 3.1. Comparativa entre el número de iteraciones de la curva de
Koch y el número de transformaciones afines necesarias para
su construcción……….… 47
Tabla 3.2. Resultados de la simulación del dipolo planar………... 59
Tabla 3.3. Resultados de la simulación del dipolo de alambre……….... 59
Lista de abreviaturas
CAD Diseño asistido por computadora.
CPW Guía de onda coplanar.
dB Decibel.
dBi Decibel referido a una antena isotrópica.
FEM Método de elementos finitos.
FR4 Flamibility Rate.
GHz Gigahertz.
HFSS High Frequency Structure Simulator.
IEEE Institute Engineering Electric and Electronics.
IFS Sistema de funciones iteradas.
ISM Industrial, científica y médica.
ITU International Telecommunication Union
MATLAB Laboratorio de matrices.
MHz Megahertz.
PCB Tarjeta de circuito impreso.
PIFA Antena planar F invertida.
RF Radiofrecuencia.
ROE Relación de onda estacionaria.
SAR Tasa de absorción especifica.
SMA Conector Sub-Miniatura Versión A.
UWB Ultra Banda Ancha.
Objetivo general
Desarrollo de una antena dipolo fractal de tamaño pequeño y sin reducción de eficiencia basada en el método de Koch para aplicaciones en comunicaciones personales en la banda ISM de 2.4 GHz.
Con la finalidad de llegar al objetivo general, este se ha dividido en tres objetivos particulares, los cuales se mencionan a continuación:
1. Diseñar una antena dipolo fractal basada en la curva de Koch.
2. Optimizar el diseño de la antena dipolo fractal basada en la curva de
Koch.
3. Construir una antena dipolo basada en la curva de Koch.
Justificación
Introducción
El desarrollo actual de los sistemas de radiocomunicación en el área comercial y militar se ha encaminado al diseño de sistemas compactos, de bajo perfil, de banda ancha o multibanda. Por esta razón se han desarrollado técnicas de diseño que permitan obtener antenas que cubran en su totalidad o parcialmente estos requerimientos de diseño. Dentro de estas técnicas, podemos encontrar el uso de la geometría fractal en el desarrollo de antenas, el cual se ha visto beneficiado por el incremento de la capacidad de procesamiento de los sistemas computacionales los cuales facilitan el análisis de este tipo de estructuras. A partir del desarrollo formal del concepto de fractal por el matemático Benoit Mandelbrot se ha intentado modelar varios fenómenos de naturaleza mediante la aplicación de esta teoría relativamente moderna.
Por esta razón este trabajo de tesis propone el diseño de dos antenas con características diferentes pero implementando el uso de una estructura fractal en el diseño de las mismas. Con esta propuesta se espera obtener dos antenas de tamaño compacto, bajo perfil y de banda ancha; pero diseñadas para sistemas con necesidades diferentes: antena de alambre y una antena planar.
CAPÍTULO 1. TEORÍA FRACTAL
La geometría fractal es una teoría relativamente moderna de las matemáticas, la cual ha venido a revolucionar la forma de ver los objetos presentes en la naturaleza. Esta teoría permite describir objetos y fenómenos de la naturaleza con mayor exactitud [1].
Su aplicación en ciencias e ingeniería ha conseguido un avance importante en dichas áreas al momento de obtener modelos matemáticos que se adecuen a los fenómenos de estudio de estas áreas [2]. Debido al gran número de aplicaciones en diferentes disciplinas, esta teoría promete un gran desarrollo conforme se realizan investigaciones, en las diferentes disciplinas de la ciencia e ingeniería.
1.1. Historia de la geometría fractal
Los fractales surgieron por la necesidad que se produjo a comienzos del siglo XX, al estudiar los conjuntos de puntos que se distribuían sobre la recta real y que poseían medida de Lebesgue nula. Estos conjuntos poseían características geométricas, aritméticas o analíticas muy especiales, pasando a ser considerados
como monstruos matemáticos[3, 16].
el matemático Waclaw Sierpinski presentó una figura con el nombre de triángulo de Sierpinski, la cual se caracteriza por presentar autosimilitud. Se puede observar en la figura 1.1 los tres fractales más conocidos y denominados como monstruos
matemáticos[4].
Figura 1.1. Fractales clásicos a) Conjunto de Cantor, b) Curva de Koch y c) Triángulo de Sierpinski.
Tiempo después el matemático Felix Hausdorff en el año 1919 desarrolló una teoría que permitía estudiar a estos conjuntos, medirlos en un espacio de dimensión no nula, actualmente se conoce como métrica Hausdorff [3].
En 1982 Benoit Mandelbrot, tras años de investigación y apoyándose en toda esta teoría concibió el concepto de fractal, en el cual, le atribuía a ciertos conjuntos propiedades como autosimilitud, que los caracterizaba como fractales. Con esta teoría que se conoce como geometría fractal se pueden modelar muchos objetos y fenómenos de la naturaleza como: nubes, montañas, galaxias, costas, redes fluviales, rayos entre otros [1].
1.2. Definición de fractal
El concepto fractal proviene de la palabra en latín fractus que significa
roto , fue inventada por Benoit Mandelbrot para reunir en un solo grupo una
amplia clase de objetos que jugaban un papel histórico en el desarrollo de las matemáticas puras. Una gran revolución de ideas separó las matemáticas clásicas del siglo XIX para formar las matemáticas modernas del siglo XX. La matemática clásica tuvo sus raíces en las estructuras geométricas regulares de Euclides y la dinámica de Newton [1].
La pronunciación correcta es frac'tal , en un sentido más amplio, son
objetos que poseen alguna propiedad de escala, es decir, objetos que tienen alguna propiedad de autosimilitud después de un cambio de escala. En un sentido más restrictivo, es un conjunto de objetos que tienen una dimensión fractal fraccionaria [4].
Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de
Hausdorff-Besicovitch estrictamente excede la dimensión topológica [ ]. Debido a que la
geometría fractal es una rama de las matemáticas relativamente nueva, el concepto de fractal no está completamente definido por lo cual no todos los matemáticos aceptan en su totalidad esta definición.
1.2.1. Características de un fractal
Autosimilitud. Es la característica más común y evidente en una estructura fractal. Se observa que una sección del fractal es una copia a escala del fractal completo, considerándose geométricamente similares. Esta similitud puede ser aproximada o estadística.
Estructura fina. La estructura fractal posee muchos detalles en escalas
pequeñas. A medida, que se amplía la imagen del fractal se hacen más evidentes estos detalles.
Recursivo. La estructura fractal se obtiene mediante un procedimiento
recursivo. El número de iteraciones mejora el detalle de la estructura.
La geometría de la estructura fractal no puede representarse en
términos de la geometría euclidiana.
Es difícil describir geométricamente a nivel local como global a la
estructura fractal.
A pesar de que la estructura es de alguna manera un buen conjunto de
gran tamaño, su tamaño no se puede cuantificar mediante las medidas habituales.
Aunque no todos los fractales presentan en su totalidad estas características, si pueden presentarse de manera parcial estas características [5].
1.2.2. Dimensión fractal
Los fractales básicos son dimensionalmente discordantes, esto puede servir para transformar el concepto de fractal de una forma intuitiva a una matemática. Se puede centrar en dos definiciones, cada una de las que asigna a cada conjunto del
espacio euclídeo n-dimensional, un número real que, por razones formales merece
ser llamado su dimensión. El más intuitivo de los dos es la dimensión topológica de
acuerdo a Brouwer, Lebesgue, Menger, y Urysohn; se denota por DT. La segunda
dimensión se formuló en 1919 por Felix Hausdorff y puesto en forma definitiva por Abraham Besicovitch, se conoce, como dimensión Hausdorff-Besitcovich y se
denota por D.
En el espacio de RE euclídeo, donde R denota el espacio geométrico y E la
dimensión del espacio. Ambas dimensiones DT y D son mayores a 0 y menores a E,
esta semejanza termina aquí. La dimensión topológica DT es siempre un número
entero, pero la dimensión Hausdorff-Besicovitch D no necesariamente será un
número entero. Ambas dimensiones no coinciden, sino que sólo satisfacen la desigualdad de Szpilrajn, la cual se presenta a continuación.
≥ (1.1)
Para todos los objetos euclídeos, D = DT. Sin embargo, casi todos los
conjuntos fractales, aunque no todos, cumplen la condición D > DT [1].
El hecho de que la dimensión Hausdorff-Besicovitch (D) no tiene por qué ser
un número entero, incluso varios de los valores indicados por esta dimensión Hausdorff-Besicovitch son fraccionarios, y de hecho esta dimensión se llama a
menudo dimensión fraccional. Aunque D puede ser un número entero (no superior
a E, pero estrictamente mayor que DT). Puede denominarse dimensión fractal D [1].
definiciones de dimensión que pueden considerarse como dimensiones fractales [2].
El concepto de dimensión usado por Benoit Mandelbrot es una simplificación de la dimensión Hausdorff-Besitcovich determinada por el matemático ruso Andrey Kolmogorov. La dimensión de un conjunto se define como:
= �
(1)
(1.2)
Donde N es el número de partes idénticas en que puede ser dividida la
figura, cada una de estas está relacionada de la forma r =1/N [7].
1.3. Conjuntos fractales clásicos
La aparición de las primeras formas fractales se remonta a finales del siglo XIX. Dichas formas podían construirse a partir de una figura inicial (iniciador), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura que correspondía al que hoy se conoce como conjunto fractal. Estos conjuntos no podían ser analizados con la geometría clásica, pero eran vistos como objetos artificiales, a estos objetos se les denomino "galería de monstruos". Dentro de este grupo de objetos, los más conocidos son:
Conjunto de Cantor.
Curva de Koch.
En los siguientes apartados se explicarán con más detalle estos tres conjuntos fractales [7].
1.3.1. Conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor se le atribuye al matemático Georg Cantor, que lo descubrió en 1883. Este conjunto posee gran importancia en la dinámica no lineal de la actualidad. Mientras se considera a la curva de Koch como un proceso en el cual se adiciona una estructura más fina con una longitud más fina a un segmento de línea inicial, entonces el conjunto de Cantor se construye con un proceso inverso en el cual se extraen segmentos pequeños de un conjunto de puntos, inicialmente una línea [2].
El conjunto de Cantor se genera a partir de un conjunto cerrado [0, 1], el
término cerrado indica que son considerados los puntos extremos. La primera
etapa de la construcción consiste en dividir el conjunto [0, 1] en tres partes, a continuación se remueve el conjunto central considerado como (1/3, 2/3). Note que el conjunto es abierto. Ahora, los conjuntos restantes se vuelven a dividir en tres partes y se elimina el conjunto central. Este proceso se sigue de manera indefinida [1]. El conjunto de Cantor se muestra en la figura 1.3.
De una manera general el número de veces que es dividido se conoce como
base y se denota como b. La relación entre cada N-ésima parte del conjunto y el
todo es r = 1 / b [2].
1.3.2. Curva de Koch
El matemático sueco Helge Von Koch quien, en 1904, introdujo lo que se conoce como curva de Koch. Para su construcción geométrica se comienza con un segmento de recta de longitud unitaria. Después se divide la línea en tres segmentos, se reemplaza el segmento central por dos líneas de longitud de 1/3 como se muestra en la figura 1.4. Por lo tanto, queda con cuatro lados, cada uno de longitud 1/3, de modo que la longitud total es 4/3. Para obtener una curva fractal, se repite este proceso para cada uno de los cuatro nuevos segmentos y así sucesivamente. En cada paso, la longitud se aumentó por 4/3 de modo que la longitud total se aproxima a infinito. Después de repetir este proceso varias veces, se puede ver que la curva se vuelve borrosa. De hecho, se tiene una curva continua que no es diferenciable. En cierto sentido, esta nueva curva está tratando de cubrir un área. Por lo tanto, tenemos la paradoja aparente de una curva continua que tiene algunas propiedades de un área. No es de extrañar que se pueda definir una dimensión de esta curva fractal que resulta en un valor entre 1 y 2 [2].
1.3.3. Triángulo de Sierpinski
[image:25.612.106.526.300.515.2]En 1916, el matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo otro fractal clásico, el triángulo de Sierpinski. La construcción puede realizarse de la siguiente manera. Considere un triángulo equilátero, se divide el triángulo en cuatro triángulos equiláteros. Se elimina el triángulo central, esto proporciona el objeto generador, el proceso se sigue para los triángulos restantes de manera indefinida. El fractal resultante se puede observar en la figura 1.5. Además del triángulo de Sierpinski también se tiene otros fractales como lo son la carpeta de Sierpinski [7].
Figura 1.5. a) Triángulo de Sierpinski y b) carpeta de Sierpinski.
1.4. Aplicaciones de los fractales
innumerables aplicaciones en ciencias tan diversas como: física, química, economía, biología, geografía, informática, entre otras [4].
La geometría fractal está permitiendo describir matemáticamente y en forma más o menos sencilla, objetos y fenómenos que se habían considerado muy complejos como la geometría de algunos helechos y de superficies materiales, o simplemente caóticos como el movimiento Browniano, auxiliando además a escalar geometrías y propiedades tanto desde niveles atómicos o de dimensiones espaciales, hasta las escalas macroscópicas en que nuestros sentidos son capaces de captar [8]. A continuación, se mencionan algunas aplicaciones en distintas áreas de la ciencia.
En geografía: Se utilizan los fractales para calcular distancias con mayor precisión. En la elaboración de mapas en tres dimensiones los fractales permiten entregar una imagen 99.9% real en comparación con la forma de nuestro planeta y su geomorfología, también permite describir el comportamiento de crecidas de un
río. Este efecto es conocido como efecto Josué [ ].
En medicina: Se utilizan los fractales para predecir la enfermedad de la Osteoporosis, el proceso implica un estudio fractal de la textura de los huesos para predecir como evolucionaría la enfermedad [4]. El cerebro, los conductos sanguíneos y los alveolos pulmonares poseen una estructura fractal, con lo cual, el uso de esta geometría en su estudio es de gran ayuda [9].
En economía: El uso de la geometría fractal permite realizar un análisis del mercado bursátil más realista. Además permite explicar de manera más consistente las observaciones empíricas [10].
compacto, mayor ancho de banda, etc. Esta área de investigación se conoce como
Ingeniería de Antenas Fractales (Fractal Antenna Engineering), y aunque su
desarrollo no es tan amplio, se espera un mayor crecimiento en los próximos años [11].
En ingeniería en computación: En aplicaciones que permiten la compresión de imágenes las cuales se dividen en dos métodos: con pérdida de datos y sin pérdida de datos. El uso de algoritmos basados en transformaciones fractales (con pérdida), ha conseguido mejorar la compresión y descompresión de imágenes mediante la aplicación de este tipo de algoritmos [6, 12].
En telecomunicaciones: El análisis de tráfico en redes de telecomunicaciones es una parte importante en el diseño, ya que esto permite optimizar el uso de las mismas. Los métodos de análisis se realizan generalmente, basados en un comportamiento de acuerdo a la distribución de Poisson. Actualmente debido al crecimiento exponencial que tiene Internet, se ha visto un comportamiento en el tráfico con naturaleza fractal, por lo cual el uso de geometría fractal permite obtener mejores resultados en análisis de tráfico [13].
En la figura 1.6 se puede observar en la parte izquierda los alveolos pulmonares, mientras en la parte derecha el patrón de radiación obtenido en una antena fractal basada en el triángulo de Sierpinski.
Actualmente el uso de la teoría fractal en diferentes áreas de la ciencia e ingeniería ha aumentado, sin embargo al ser una teoría relativamente nueva su desarrollo teórico y práctico no es tan amplio. Aunque al ser utilizado por un gran número de disciplinas su desarrollo promete ser bastante grande.
1.5. Métodos para construcción de fractales
El desarrollo de computadoras con mayores capacidades de procesamiento, ha sido un factor importante en el desarrollo de la teoría fractal. Este adelanto tecnológico ha conseguido la creación de algoritmos que permiten la construcción de objetos fractales de manera práctica, aprovechando la característica de recursividad de los mismos. Dentro de estos algoritmos o técnicas más comunes podemos encontrar los siguientes [6, 14].
Sistemas Lindenmayer.
Sistemas de funciones iteradas (Iterated Function Systems).
1.5.1. Sistema Lindenmayer
de símbolos seguido de una interpretación geométrica, empleando de manera recursiva reglas de transformación dependiendo del nivel de iteración.
Los sistemas L, constan de un conjunto de reglas para generar cadenas de símbolos y otras denominadas reglas de producción. Las reglas de producción forman nuevas cadenas de símbolos como resultado de su aplicación a cada uno de los símbolos de una cadena preexistente [15].
1.5.2. Sistema de funciones iteradas
El sistema de funciones iteradas (Iterated Function Systems, IFS), fue
desarrollado por el matemático británico Michael Barnsley. Esta técnica es de las más usadas para la generación de fractales. Consiste en una serie de transformaciones afines. Esta transformación afín se aplica al conjunto inicial y se
representa como la matriz w. Una transformación afín consiste de una rotación, una
translación y un escalamiento que modifica a cada uno de los puntos que componen la figura o la curva fractal. La ecuación 1.3 muestra dicha transformación [3, 6].
′′ = = + 1.3
Donde x, y son los puntos del objeto inicial, w es la transformación afín y x’, y’
son los puntos obtenidos al aplicar la transformación. Los parámetros a, b, c y d se
encargan de realizar la rotación de cada punto, mientras que sus magnitudes
corresponden al factor de escalamiento. Los parámetros e y f realizan la translación
Una única transformación no genera un objeto fractal, pero una serie de transformaciones si lo hace. Considere el siguiente conjunto de transformaciones
afines w1, w2, w3,…, wn, las cuales se aplican al objeto A, este resultado puede
expresarse de la manera siguiente:
�=
�
=1
(1.4)
Donde W es el resultado de la unión de todas las transformaciones aplicadas,
y es conocido como el operador de Hutchinson [3, 6]. Un sistema IFS genera una
imagen que converge a la imagen fractal. Esta imagen se denomina atractor [3].
Conclusiones
La teoría fractal es capaz de describir de una manera más adecuada objetos irregulares presentes en la naturaleza como montañas, nubes, caudales de ríos, galaxias, así como fenómenos físicos, dentro los que se encuentran la trayectoria de rayos, el movimiento Browniano, sistemas dinámicos caóticos, etc. Las características presentes en los fractales los hacen más adecuadas para modelar a la naturaleza.
Del mismo modo, las aplicaciones en las diversas áreas de la ciencia e ingeniería son debidas al gran parecido entre ellos y la naturaleza.
Además con el avance de la computación se pueden crear fractales con relativa facilidad, mediante el uso de sistemas de funciones iteradas (IFS) o sistemas L.
Referencias
[1] Mandelbrot, Benoit B. The Fractal Geometry Of Nature. W. H. Freeman And
Company. Estados Unidos, 1982.
[2] Moom, Francis C. Chaotic And Fractal Dynamics: An Introduction For Applied
Scientists And Engineers. Wiley-VCH. Alemania, 1992. Pág. 1 – 9, 325 – 334.
[3] Hardy, H., Beir, Richard A. Fractals In Reservoir Engineering. Word Scientific
Publishing. Estados Unidos, 1994.
[4] María Oviedo, Lina Mónica, Kanashiro, Ana María. Fractales Un Universo
Poco Frecuentado. Universidad Nacional del Litoral. Santa Fe, 2005.
[5] Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundation and
Applications. Wiley & Sons. New York, 1990.
[6] Barnsley, Michael F. Fractal Everywhere. Morgan Kaufmann. San Diego,
1993.
[7] Perera, Jorge G., Spinadel, Vera. Geometría Fractal. Nueva Librería.
Argentina, 1993.
[8] González, Virgilio A., Fractales: fundamentos y aplicaciones , Facultad de
ingeniería mecánica y eléctrica UANL. Nuevo León, 2010.
[9] S. Havlin, S.V. Bulyrev, A.L. Goldberger, R.N. Mantegna, S.M. Ossadnik, C.
Peng, M. Simmons, H.E. Stanley. Fractals In Biology And Medicine ,
Pergamom Press. Gran Bretaña, 1995.
[10] Gasparri, María Teresa, Moreno, Alejandro, Geometría Fractal y Mercados
Financieros , CMA. Universidad de Buenos Aires.
[11] Werner, Douglas H., Ganguly, Suman. An Overview of Fractal Antenna
Engineering Research , IEEE Antennas and Propagation Magazine. IEEE
Antennas and Propagation Society. Vol. 45, 2003.
[12] Curtis, Sharon, Martin, Clare. Functional Fractal Image Compression ,
[13] Liu, Jian. Fractal Network Traffic Analisys with Applications. Georgia Institute
of Technology. School of Electrical and Computer Engineering. Estados Unidos, 2006.
[14] Olivares Monroy, Cesar. Curvas Fractales. Alfaomega. México, 2002.
[15] Lahoz-Beltrá, Rafael. Bioinformática: Simulación, vida artificial e inteligencia
artificial. Diaz de Santos. España, 2004.
[16] Ayala Carcedo, Francisco, Olcina Cantos, Jorge. Riesgos naturales. Ariel
CAPÍTULO 2. ESTADO DEL ARTE DE ANTENAS
FRACTALES
El desarrollo actual de los sistemas de radiocomunicación en los sectores militar y comercial ha dado pie al diseño de antenas de bajo perfil, tamaño compacto, banda ancha y/o comportamiento multibanda. En el caso de antenas fractales el mayor ancho de banda y comportamiento multibanda se debe a la propiedad de autosimilitud presente en la estructura fractal [1, 2].
Existen diversas técnicas de diseño que permiten la obtención de las características antes mencionadas, pero con sus limitaciones. Por otra parte, la aplicación de la geometría fractal en el diseño de antenas también permite el alcance de estos objetivos. Esta combinación de la teoría electromagnética y teoría fractal ha traído como resultado la electrodinámica fractal, la cual investiga la radiación, propagación y dispersión electromagnética en objetos fractales.
2.1. Monopolo fractal
Ciertos monopolos basados en curvas fractales pueden ser diseñados para tener una longitud física arbitrariamente grande en un espacio reducido, debido a que, en cada iteración aumenta la longitud de la antena. Esto puede limitar el
espacio en el momento de adaptarlos a un volumen determinado. El monopolo
fractal se obtiene reemplazando la estructura convencional del monopolo por la
estructura fractal [3].
2.1.1. Monopolo de Koch
Uno de los primeros fractales utilizados para el diseño de antenas es la curva de Koch, por lo que es común encontrar diferentes tipos de antenas fractales con esta geometría [1]. Una antena con esta geometría es el monopolo de Koch, el cual es un ejemplo eficaz de como los fractales pueden mejorar algunas de las características comunes de las formas euclidianas. Su longitud aumenta en un
factor (4/3)n, donde n es el orden de iteración de la curva. Esta curva no es
diferenciable, lo que significa que su forma es muy angulosa y desigual. Por lo tanto, aparece como un buen candidato para convertirse en un radiador eficiente. Investigaciones recientes han revelado que antenas tipo monopolo y los derivados de este fractal presentan una función directa entre el aumento del volumen efectivo de la antena y la frecuencia de resonancia. Como resultado de esta característica se han reportado antenas de banda ancha, tamaño compacto y/o múltiples frecuencias de resonancia [3].
En la figura 2.1 se muestra la gráfica del parámetro S11 de un monopolo
en ambas antenas. Se puede observar que el monopolo de Koch presenta tres frecuencias de resonancia en comparación con una única frecuencia de resonancia presente en el monopolo planar clásico [4].
Figura 2.1 Simulación y medición del parámetro S11 de un monopolo planar y un monopolo de Koch.
2.1.2. Monopolo de Sierpinski
El triángulo y la carpeta de Sierpinski son parte de las formas clásicas dentro de la geometría fractal, por tal motivo su uso dentro del diseño de antenas no podía faltar. La primer antena fractal tipo monopolo basada en el triángulo de Sierpinski, poseía características multibanda y fue construída por Carles Puente [1].
Las antenas construidas con la topología del triángulo de Sierpinski se caracterizan por tener un comportamiento multibanda debido a su forma autosimilar, donde una antena monopolo ha demostrado ser un candidato excelente para aplicaciones multibanda. La geometría de la antena construida a partir del triángulo de Sierpinski está totalmente determinada por cuatro parámetros, a conocer, la altura del triángulo, el ángulo de elevación, el número de iteraciones y el factor de escala. El monopolo de Sierpinski presenta un comportamiento log-periódico, de igual manera el patrón de radiación es invariante ante el cambio de la frecuencia de resonancia, de acuerdo al número de iteraciones es el número de frecuencias a la que es resonante. Sin embargo, la
restricción para la impresión tradicional del monopolo en un PCB (Printed Circuit
Board) es su gran tamaño físico, impuesto por el hecho de que el espacio entre sus
Figura 2.2. Antena monopolo basada en el triángulo de Sierpinski.
La figura 2.2 muestra un monopolo basado en el triángulo de Sierpinski en el cual se ha modificado el factor de escala para reducir su tamaño [6].
2.2. Dipolo Fractal
El dipolo clásico es un radiador compuesto por dos conductores lineales
rectos alimentados simétricamente. En los dipolos fractales se emplea una curva
fractal para cada brazo. Se han reportado ampliamente las curvas de Koch y los árboles fractales 2D como brazos del dipolo, en implementaciones de alambre e impresas. Otras figuras fractales como los árboles tridimensionales y las curvas de Peano y de Hilbert, también han sido empleadas en la configuración del dipolo [7].
2.2.1. Dipolo de Koch
de una antena dipolo a través del uso de la curva de Koch, se realiza un reemplazo de los brazos de un dipolo clásico por la estructura fractal. El uso de la curva de Koch para la construcción de dipolos ha permitido realizar reducciones en tamaño de hasta un 60%, en comparación con un dipolo construido de forma tradicional.
Figura 2.3. Comparación entre dipolos a) Koch, b) microcinta, c) alambre.
La figura 2.3 muestra la comparación entre tres diferentes antenas dipolo.
Utilizando el método fractal se puede observar la disminución del tamaño en relación a las otras dos antenas. Las tres antenas se diseñaron para trabajar a una frecuencia de 900 MHz, donde el dipolo de Koch presenta una tercera iteración en su construcción. La longitud del dipolo de microcinta posee una longitud de 10 cm, mientras el dipolo de Koch tiene una longitud de 6 cm, esto demuestra una reducción del 40 % de la longitud en comparación con el dipolo de microcinta construido de manera convencional [8].
2.2.2. Dipolo de árbol
Investigaciones acerca del uso del fractal de árbol en el diseño de dipolos, han proporcionado resultados similares a los del dipolo de Koch, demostrando como disminuye la frecuencia de resonancia a medida que aumenta el número de iteraciones, e igualmente como ésta se aproxima a un límite en el cual agregar una iteración al fractal no contribuye significativamente a reducir la frecuencia de resonancia. En cuanto al patrón de radiación los resultados también son muy similares a los del dipolo de Koch [8]. Una variación interesante es el árbol 3D activado por interruptores RF (Radiofrecuencia) en el cual se puede tener un comportamiento de banda ancha relativamente grande activando o desactivando ciertas porciones del fractal. Un switch RF es un dispositivo mecánico utilizado en sistemas de radiofrecuencia, el cual es el encargado de conmutar entre diversos dispositivos como antenas, acopladores, dispositivos de medición, etc; con la finalidad de tener una mínima pérdida de inserción y un aumento de los canales de transmisión. Esto hace posible un comportamiento multibanda reconfigurable. También se observó una reducción del 57% de la frecuencia central para obtener una frecuencia más baja, el ancho de banda puede ser sintonizado hasta un 70% [10].
La figura 2.4 muestra la gráfica del parámetro S11 así como la ROE (Relación
de Onda Estacionaria) de la antena dipolo reconfigurable basada en el fractal de árbol. Donde se puede modificar el número de ramificaciones de la antena
Figura 2.4. Parámetro S11 y ROE.
2.3. Antena fractal de alta directividad
introducción de una ranura con forma idéntica a la del parche, esta ranura tiene un tamaño menor dado por un determinado factor de escala.
La introducción de la ranura modifica la distribución de corriente en los límites de la estructura fractal y en consecuencia la directividad del radiador.
Figura 2.5. Patrón de radiación de la antena de parche basada el copo de nieve de Koch con una ranura.
2.4. Antena fractal con metamateriales
Investigaciones recientes sobre diseño de antenas de microcinta con metamateriales han sido de gran interés con el objeto de mejorar el rendimiento de las antenas. El uso de metamateriales se ha limitado al diseño de antenas eléctricamente pequeñas y el uso en diseño de antenas fractales con metamateriales ha sido poco desarrollado [12].
En principio, un metamaterial es un elemento fabricado de manera artificial a partir de sustancias naturales. Estos nuevos materiales poseen propiedades que no se encuentran en la naturaleza. Los metamateriales presentan valores de
permeabilidad (µ) y permitividad (ϵ) negativos. Las propiedades que presentan
[image:43.612.109.492.437.649.2]dependen más de su estructura que de su composición [13]. Por ejemplo, el uso de estructuras fabricadas con metamateriales en el plano de tierra de la antena permite el aumento del número de frecuencias de resonancia de la antena, así como una mayor directividad.
La figura 2.6 muestra la gráfica del parámetro de dispersión S11 de la antena
fractal diseñada a partir de la curva de Hilbert, la cual fue construida con técnicas de metamateriales. En ella se puede observar múltiples frecuencias de resonancia.
2.5. Antena fractal sobre sustrato piezoeléctrico
La construcción de antenas con sustratos que poseen un elevado valor de la permitividad permite la reducción del tamaño de la antena. Los dispositivos SAW
por sus siglas en inglés Surface Acoustic Wave, utilizan un material piezoeléctrico.
El material piezoeléctrico transforma la energía de una onda electromagnética variante en el tiempo a energía mecánica o viceversa. Debido a la naturaleza cristalina del material piezoeléctrico presenta de manera anisotrópica una alta permitividad.
Para el diseño de este tipo de antenas, se coloca el plano de tierra entre el material piezoeléctrico y el material FR4. La ampliación del tamaño del plano de tierra aumenta la frecuencia de resonancia de la antena.
La figura 2.7 muestra el orden en el cual se coloca el material piezoeléctrico. Si el plano de tierra se coloca bajo el PCB y el material piezoeléctrico arriba de éste, se consigue que la permitividad sea igual a la del PCB, lo que hace ineficiente el uso del material piezoeléctrico [14].
2.6. Antena fractal planar F-Invertida
La antena PIFA (Planar Inverted-F Antenna) es una antena de microcinta de
bajo perfil y tamaño compacto, por esta razón se utiliza en equipos portátiles. Posee una gran sensibilidad a las ondas de radio con polarización vertical y horizontal, lo cual la hace una opción perfecta para aplicaciones en comunicaciones móviles. También es capaz de reducir la absorción de energía electromagnética en la cabeza del usuario producida por el teléfono. Debido a que la emisión electromagnética por la parte trasera de la antena es menor, por lo cual posee un
valor SAR (Specific Absorption Rate) bajo. Sin embargo, las antenas PIFA no tienen
un comportamiento multibanda y su ancho de banda es estrecho. Por esta razón, el diseño de antenas PIFA a partir de una estructura fractal es capaz de brindar a este tipo de antenas características multibanda [9].
Figura 2.8. (a) Antena F-invertida construida a partir de la carpeta de Sierpinski, (b) antena montada en un
teléfono móvil.
2.7. Antena fractal de Ultra Banda Ancha
Las antenas de ultra banda ancha (Ultra Wideband) se han convertido en un
tema de investigación bastante importante. Esto se debe a su gran capacidad de transmisión y/o recepción de ondas electromagnéticas de menor duración. Por otra parte, también evitan la dispersión de la frecuencia. La gran mayoría de antenas monopolo de ultra banda ancha no son planas. El uso de formas fractales en el
diseño de antenas UWB (Ultra Wide Band) permite la creación de antenas planas. El
artículo titulado On the Design of CPW- Fed Ultra Wideband Triangular Wheel Shape Fractal Antenna propone una antena de ultra banda ancha basada en un
fractal en forma de rueda triangular [8].
Para la construcción de este fractal se toma un parche en forma de círculo de
radio r, ésta representa al iniciador. Al iniciador se le resta la porción de superficie
formada por la superposición de cuatro triángulos equiláteros a 0°, 90°, 180° y 270°.
Posteriormente, al círculo de radio menor a r formado por el interior de la
estructura anterior se vuelve a extraer cuatro triángulos equiláteros de acuerdo a su tamaño, este proceso se repite de manera infinita, en este caso se efectúa hasta tener cuatro iteraciones. Las cuatro iteraciones deben estar conectadas, el parche se encuentra sobre una capa de FR4 y es alimentada a través de una guía de onda
Figura 2.9. Antena fractal de Ultra Banda Ancha.
En la figura 2.9 se observa el diseño de la antena de ultra banda ancha
alimentado por una guía de onda coplanar (CPW) con lo cual se elimina el plano de
Conclusiones
La implementación de la geometría fractal en el diseño de antenas ha permitido la construcción de antenas con características de bajo perfil, mayor ancho de banda y respuesta multibanda. Características que hoy en día son de suma importancia debido a la evolución de los sistemas de radiocomunicaciones.
La combinación entre diversas técnicas de diseño y las propiedades que brindan las formas fractales, permiten potencializar estas características o dotar de nuevas a las antenas. También, la modificación de las geometrías clásicas ha traído como resultados mejoras en el rendimiento, disminución de tamaño, etc. Estas modificaciones permiten la implementación de las antenas en sistemas que así lo requieran.
Referencias
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[14] Tang, Tzu-Chun., Tsai, Cheng-Han. Fractal GPS Antenna Design on
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[16] Raj Kumar, P. Malathi. On the Design of CPW-Fed Ultra Wideband
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CAPÍTULO 3. ANTENA FRACTAL DE ALAMBRE
Y ANTENA FRACTAL PLANARIZADA
En este capítulo se presenta una breve explicación de las características de la antena dipolo, con la finalidad de sustentar el diseño de la antena fractal planar y la antena fractal de alambre, ambas basadas en la curva de Koch. Se describe el proceso para el diseño de las antenas, comenzando por el cálculo de la longitud de cada dipolo. De igual manera se presentan los resultados de los diseños obtenidos a través del software de simulación electromagnética HFSS y finalmente se muestra la comparación entre los dipolos fractales diseñados y los dipolos convencionales operando con las mismas características de diseño.
3.1. Antena dipolo
Las antenas monopolos, dipolos y antenas de bucle, así como los arreglos asociados a las mismas son utilizadas comúnmente en sistemas de radiocomunicación y en la medición de energía electromagnética [2].
3.1.1. Dipolo de media onda
El dipolo elemental posee teóricamente, una longitud igual a la longitud de onda de la señal a radiar. Para el caso del dipolo de media longitud de onda, la longitud eléctrica se determina a través de la expresión siguiente.
=
2 (3.1)
Donde l representa la longitud del dipolo, c es la velocidad de la luz en el
vacío y fr es la frecuencia de resonancia de la antena. Este dipolo de media onda
también es conocido como antena de Hertz, en honor a Heinrich Hertz, como su
nombre lo indica la longitud de la antena es igual a λ/2. Este dipolo es bastante
Figura 3.1. Distribución de corriente sinusoidal ideal para un dipolo con longitudes distintas.
Como la longitud del dipolo de media onda equivale a λ/2, la longitud de
cada brazo del dipolo es igual a / , por lo tanto, podemos expresar la longitud de
cada brazo del dipolo en términos de la frecuencia de resonancia mediante la siguiente expresión.
=
4 (3.2)
Donde h es la longitud de un solo brazo del dipolo. En la figura 3.2 se
[image:54.612.242.389.87.295.2]muestra un dipolo de media onda especificando la longitud eléctrica de cada brazo [1].
Se ha visto que la distribución de corriente en este tipo de antenas es aproximadamente una sinusoide, con un valor nulo de corriente en la parte central del radiador, por lo tanto, se puede expresar esta distribución mediante la ecuación siguiente.
= − (3.3)
Donde I es la corriente en función de z y representa la distribución de
corriente a través de la antena, z representa la posición a lo largo del eje z, Im es la
amplitud máxima de la distribución de corriente, k representa el número de onda y
equivale a 2π/λ; h representa la longitud del brazo del dipolo.
A partir de la expresión de la distribución de corriente se obtiene el vector de campo. Para la expresión del campo eléctrico radiado por el dipolo de media onda, se tiene la expresión siguiente [3].
� = 60 − cos(
�
2cos�)
� (3.4)
Donde Eθ es la componente en θ del vector de campo eléctrico, r es la
distancia a la que se requiere obtener el valor del campo eléctrico, θ es el ángulo
Figura 3.3. Patrón de radiación de un dipolo de media onda y corte transversal del mismo.
3.2. Antena dipolo de Koch
En los dipolos fractales se sustituye el conductor lineal mediante una estructura basada en una curva fractal para obtener cada brazo del dipolo. En el caso del dipolo de Koch consiste en construir sucesivamente cada rama del dipolo según el proceso descrito en el apartado 1.2.3 del Capítulo 1 para la creación de la curva. Al replegar así la antena se consigue no sólo obtener la misma longitud
eléctrica en un espacio menor, sino que su forma rugosa genera capacitancia e
inductancia adicional, evitando la necesidad de elementos externos para su sintonización o para aumentar su ancho de banda. La frecuencia de resonancia es menor a medida que el número de iteraciones del fractal crece [5].
Figura 3.4. Antena dipolo de Koch de tercer orden.
En la figura 3.4 se puede observar el dipolo de Koch de tercer orden de iteración, el cual es alimentado en la parte central. La diferencia de esta antena con respecto al dipolo normal se encuentra en la variación de la frecuencia de resonancia al aumentar el número de iteraciones de la curva. Como referencia se
utiliza la Iteración cero, un dipolo ordinario de altura 2h, manteniendo este
parámetro constante, se van añadiendo iteraciones considerando que con cada
iteración se aumenta la longitud efectiva de la antena en un factor (4/3)n [6].
Mediante la expresión siguiente se obtiene la longitud real del brazo de un dipolo de Koch.
= 4
3 (3.5)
Donde es la longitud efectiva del brazo del dipolo fractal de Koch, es la longitud del brazo de un dipolo convencional y el número de iteraciones de la curva. Por lo tanto, la frecuencia de resonancia resulta afectada. Combinando la expresión (3.2) y la expresión (3.5) se obtiene la ecuación para la frecuencia de resonancia de un dipolo de Koch de media onda y se expresa a través de la ecuación siguiente.
=
Al haber puntas y discontinuidades en la geometría, estas permitirán la radiación antes de llegar al extremo del brazo y el resultado será un camino efectivo para la corriente, que no está ligado directamente a la longitud total del alambre [6, 7].
3.3. Especificaciones de diseño
Este trabajo de tesis propone el diseño y construcción de una antena dipolo fractal. La propuesta incluye un dipolo fractal y un dipolo de alambre ambos basados en la curva de Koch, requeridos en diferentes aplicaciones de acuerdo a las características físicas como son: tamaño compacto, bajo perfil, material, tipo de montaje, etc. El dipolo se ha elegido por sus características de radiación omnidireccional y relativa facilidad de construcción, la frecuencia de operación de 2.4 GHz se ha elegido por pertenecer al grupo de frecuencias para uso industrial,
científico y médico (Industrial, Scientific and Medical; ISM) de acuerdo a la
recomendación ITU-R SM.1056-1 de la Unión Internacional de Telecomunicaciones (International Telecommunication Union) [10].
3.3.1. Especificaciones para la antena planar
La antena planar a diseñar cumplirá con las siguientes características.
La antena planar se basa en la curva de Koch de tercer orden de iteración.
El sustrato es un Rogers RT/Duroid 5880 de una sola cara, con un valor de
permitividad relativa (ϵr) igual a 2.2, tangente de pérdidas equivalente a
0.009 y un espesor de sustrato de 1.27 mm.
Frecuencia de operación igual a 2.4 GHz.
3.3.2. Especificaciones para la antena de alambre
La antena de alambre se basará en la curva de Koch con un orden de iteración de dos. En esta antena se consideró un orden menor de iteración en la construcción de la curva, esto se debe al tamaño de los segmentos que estarían presentes en una curva de orden tres, lo cual implica una mayor dificultad en la realización de los dobleces en el alambre si se pretendiera fabricar. La antena de alambre diseñada cumplirá con las siguientes características.
Un alambre con diámetro de 1.5 mm.
3.4. Diseño por computadora del dipolo fractal planar
Para el diseño y simulación de ambas antenas se utiliza el programa de
simulación electromagnética HFSS (High Frequency Structure Simulator)
perteneciente a la empresa Ansoft Corporation. Este software es bastante útil en el diseño de circuitos pasivos de RF, antenas, líneas de transmisión, guías de onda,
entre otros. La solución de estas estructuras se efectúa mediante el Método de
Elementos Finitos , el uso de este software permite obtener el diseño de manera
relativamente más simple. También es posible realizar modificaciones al diseño; dentro de los resultados que ofrece el software, tenemos los siguientes: patrón de
radiación, parámetros S (Scattering), parámetros Z, parámetros Y, impedancia de
entrada, ganancia, directividad, etc.
3.4.1. Generación de la curva de Koch
La curva de Koch de tercer orden necesaria para el diseño de la antena planar, se construye mediante un sistema de funciones iteradas, este método ha
sido explicado en el Capítulo . El sistema IFS implementado para construir la
Tabla 3.1. Comparativa entre el número de iteraciones de la curva de Koch y el número de transformaciones afines necesarias para su construcción.
Iteración de la curva Número de transformaciones afines
0 1
1 4
2 16
3 64
4 256
5 1024
La curva de orden uno se considera el generador del fractal, debido a que la figura total está formada por varias copias del generador a diversas escalas. Las transformaciones que se utilizan para obtener el generador se expresan a continuación. �1 ´ ′ = 1 0 0 1 3.7 �2 ´ ′ = � − � � � + 1
0 (3.7 )
�3 ´
′ = � � − � � + 1 2
� (3.7 )
�4 ´ ′ = 1 0 0 1 + −1
Donde (x, y) representan la posición de la figura inicial, (x´, y´) son los puntos
resultantes de la transformación y están contenidos en W que a su vez representa
la transformación afín; θes el ángulo de inclinación de los segmentos centrales y s
representa el factor de escala de la figura inicial. El factor de escala s está en función
del ángulo de inclinación de los segmentos centrales, la ecuación siguiente muestra esta dependencia [7, 8].
= 2 1 + � (3.8)
Figura 3.5. Curva de Koch de a) primer orden, b) segundo orden y c) tercer orden.
3.4.2. Longitud de los brazos para el dipolo planar
� = (3.9)
Donde λ es la longitud de onda, c representa la velocidad de la luz en el vacío
y es igual a 3x108 m/s y fr es la frecuencia de resonancia (Hz) de la antena. De
acuerdo a la expresión (3.9), la longitud de onda de la frecuencia de la antena es igual a 12.5 cm. Considerando el resultado anterior y la elección de un dipolo de media onda se calcula la longitud del dipolo y la longitud de cada brazo de éste con la ecuación (3.2) y (3.1) respectivamente. Por lo tanto, la longitud del dipolo es igual a 6.25 cm y para cada brazo se tiene una longitud de 3.125 cm. Las longitudes anteriores son válidas para un dipolo convencional, para el dipolo fractal planar debemos considerar los efectos del sustrato y el aumento de la longitud debido al orden de iteración del fractal que reducirán las dimensiones del dipolo.
Para obtener la longitud de los brazos del dipolo de Koch se considera la ecuación siguiente.
= 1− −
1 ln
(3.10)
Donde fk es la frecuencia de resonancia del dipolo fractal, fr es la frecuencia
de resonancia del dipolo convencional, D representa la dimensión fraccional de la
curva y n es el orden de iteración de la curva. La ecuación (3.10) es una
Se debe tener en cuenta que la constante dieléctrica suministrada por el fabricante no es un valor efectivo, por tal motivo, se debe calcular el valor de la constante dieléctrica efectiva mediante la ecuación siguiente.
� =� + 1
2 +
� −1
2 1 + 12
�
−0.5
+ 0.04 1−� 2
(3.11)
Donde � es la permitividad relativa efectiva, � es la permitividad relativa
proporcionada por el fabricante, H es el espesor del sustrato y W el ancho de la
pista [2, 9]. En el caso del ancho de la pista se propuso un ancho de 0.04 mm,
porque un valor mayor de W implicaría unir segmentos del fractal. Utilizando la
expresión anterior y los valores del sustrato se calcula la permitividad efectiva, el valor que se obtiene es igual a 1.70722.
El uso de la ecuación (3.11) sirve para dar sólo una aproximación de la permitividad efectiva requerida, ya que ésta es útil siempre cuando el sustrato posea un plano de tierra. Sin embargo, el resultado presenta un punto de inicio para la obtención de la dimensión requerida, tomando en cuenta que la resonancia de la antena se puede modificar mediante una parametrización utilizando el software de simulación HFSS.
De acuerdo al resultado de la frecuencia de resonancia del dipolo de Koch es necesario reducir el tamaño del radiador considerando el efecto del sustrato en la frecuencia de resonancia y el aumento de la longitud de cada brazo a causa de la curva fractal, mediante la ecuación mostrada a continuación se calcula el valor de la longitud de la antena incluyendo los efectos del sustrato y el aumento de la longitud del fractal
�= c 2 ϵeff
Donde L es la longitud del dipolo, c la velocidad de la luz en el vacío, fk es la
frecuencia de resonancia del dipolo fractal y ϵeff es la constante dieléctrica efectiva
del sustrato [1, 7]. El primer paso para obtener la longitud del dipolo de Koch es
calcular la frecuencia de resonancia fr de un dipolo convencional a partir de la
frecuencia de 2.4 GHz como frecuencia de operación para el dipolo fractal fk, por lo
tanto, se utiliza la ecuación (3.10) con lo cual se obtiene una frecuencia fr igual a
2.84331 GHz. Utilizando la ecuación (3.12) se calcula la longitud del dipolo, y se obtiene una longitud total igual a 2.01799 cm.
Los cálculos anteriores sirven como valor inicial de referencia, ya que esta longitud no satisface la frecuencia de resonancia en la simulación y se tuvo que parametrizar el valor de la longitud. Con el ajuste realizado, la longitud para cada brazo del dipolo es igual a 1.8218 cm, por lo tanto, la longitud total del dipolo es de 3.643 cm.
Figura 3.6. Diseño del dipolo de Koch planar de tercer orden.
