Cálculo Avanzado

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Universidad de Santiago de Chile.

Facultad de Ciencia

Departamento de Matem´atica y C. C.

C´

alculo Avanzado

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Derechos de Autor

Autor: cUniversidad de Santiago de Chile Se autoriza la reproducci´on parcial o total de esta obra, con fines acad´emicos, por cualquier forma, medio o procedimiento, siempre y cuando se incluya la cita

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Agradecimientos

Este texto fue financiado en el marco de los proyectos concursables de innovación docente que promueve anualmente la Universidad de Santiago de Chile a través de la Vicerrector´ıa Académica por intermedio de la Dirección de Docencia.

El centro motor que motivó a los autores a emprender tan significativo desaf´ıo fue su compromiso con el proceso de enseñanza aprendizaje que se lleva semestre a semestre en la Universidad de Santiago, con los estudiantes de ingenier´ıa quienes tienen el imperativo de mejorar sus aprendizajes y elevar sus estándares de competencias con la finalidad de que puedan asumir con propiedad el desaf´ıo de sus asignaturas profesionales y de especialidad con un mayor empoderamiento en el contexto de: teor´ıa, práctica y aplicaciones a problemas en las áreas de sus distintas especialidades.

En general, cada cap´ıtulo comienza con una presentación de definiciones, principios y teoremas, junto con material ilustrativo. Los problemas resueltos sirven para ilustrar la teor´ıa y suministrar herramientas de análisis de los principios básicos tan importantes en el aprendizaje activo de los estudiantes. El gran número de problemas resueltos y aplicaciones sirven para encauzar el aprendizaje del material, as´ı como las autoevaluaciones propuestas al fin de cada unidad. Hemos escogido un enfoque y nivel de profundidad de acuerdo con lo que se espera del curso de Cálculo Avanzado, asignatura que se imparte durante el tercer semestre del Plan Común de la Carrera de Ingenier´ıa Civil de la Facultad de Ingenier´ıa de Universidad de Santiago de Chile.

El objetivo del primera parte de este texto es presentar los conceptos básicos y las aplicaciones de las series de Fourier, y las funciones integrales, como asimismo, ilustrar su utilización en la resolución de problemas de ecua-ciones en derivadas parciales y aplicaecua-ciones en el campo de la f´ısica e inge-nier´ıa.

En la segunda parte se abordan los temas de funciones vectoriales y c´ alcu-lo diferencial de funciones de dos o más variables y sus aplicaciones, incluyen-do aplicaciones e interpretaciones geométricas y f´ısicas que contribuyan a la comprensión de los estudiantes.

Unido a lo anterior, en la tercera parte se incluyen los temas de integración múltiple, integral de l´ınea , superficie y los teoremas de Green, Gauss y Stokes por sus múltiples aplicaciones en los campos de la f´ısica y ciencias de la ingeniera

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enriquecimiento del material que conforma este texto. Deseamos también agradecer la participación directa e indirecta de nuestros estudiantes con los cuales pusimos a prueba el material que se estaba generando incluyéndolos en la página web de la asignatura de Cálculo Avanzado.

Agradecemos también muy especialmente la colaboración del profesor Omar Ramos por la confección de diagramas, figuras e imágenes de fun-ciones bi y tridimensionales que ilustran conceptos y problemas. También se encargó de la versión Latex de los distintos archivos que conforman el manuscrito del texto.

No obstante lo anterior, la responsabilidad por los eventuales errores o inexactitudes que se puedan encontrar en el texto corresponde a los autores, quienes estar´an atentos para recibir cualquier comentario o sugerencia que permita mejorar su contenido en las siguientes direcciones:

[email protected], [email protected],[email protected]. Los Autores:

Miguel Mart´ınez Concha Carlos Silva Cornejo

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Prefacio

El material presentado en el texto contiene los temas tratados en el curso de Cálculo Avanzado, asignatura semestral para las carreras de Ingenier´ıa de la Universidad de Santiago de Chile, correspondiente al área de Ciencias Básicas, tiene por prerrequisitos las asignaturas de Cálculo I y Cálculo II de primer año. Proporciona los conceptos, habilidades y técnicas que permiten adquirir las competencias matemáticas alineadas con el perfil de competen-cias profesionales, necesarias para cursar con éxito las asignaturas de ciencias básicas de la ingenier´ıa e ingenier´ıa aplicada. Los temas tratados por el texto y en el orden de aparición son los siguientes: Series e Integrales de Fourier, que forma parte de este temario porque por razones de tiempo no se incluye en el Cap´ıtulo de Series de primer año, este tema resulta necesario en la formación básica de alumnos de ingenier´ıa sobre todo cuando necesiten re-solver ecuaciones diferenciales parciales usando el método de separación de variables o bien en aplicaciones en el campo de la ingenier´ıa. Este tema bien podr´ıa formar parte de un texto de ecuaciones diferenciales. El tema de fun-ciones vectoriales de una variable real trata la importancia de la derivada de este tipo de funciones, interpretación geométrica y anal´ıtica, y su aplicación a problemas de movimiento, comportamiento de curvas, especialmente en lo que tiene que ver con caracter´ısticas geométricas de ellas. Las funciones es-calares son tratadas en detalle, se analiza el concepto de l´ımite y continuidad considerando funciones de dos variables, generalizando en aquellos casos que lo amerita, se ve el tema de la diferenciación con todas sus potencialidades que garantizan la derivación tanto la derivación parcial, como la derivación direccional y derivación impl´ıcita, este tema termina con máximos y m´ıni-mos y problemas aplicados de optimización. Este último cap´ıtulo tratan los temas de integración, integrales dobles y triples en coordenadas cartesianas y generalizando con cambios de coordenadas, integral de l´ınea para funciones escalares y vectoriales, propiedades de los campos gradientes y el teorema de Green; integral de superficie para funciones escalares y vectoriales finalizan-do con el estudio de los teoremas de Gauss y Stokes. Los temas tratafinalizan-dos de acuerdo con los objetivos generales los podemos describir como sigue: Series e integrales de Fourier

i) Analizar los conceptos asociados a la definición de la Serie de Fourier, sus propiedades y procedimientos de cálculo, y aplicarlos a la resolución de problemas de ingenier´ıa.

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Funciones vectoriales

i) Analizar el concepto de diferenciación de funciones vectoriales, sus propiedades, procedimientos para realizar cálculos y aplicarlos a la resolución de problemas de Ciencia e Ingenier´ıa

ii) Utilizar los conceptos de vector tangente, normal , binormal, curvatura y torsión e identidades de Frenet sus propiedades y procedimientos de cálculos para emplearlos en la resolución de problemas.

Diferenciaci´on parcial

i) Definir los conceptos de l´ımite, continuidad y describir las caracter´ısticas gr´aficas de las funciones de varias variables en IR2 en IR.

ii) Analizar criterios para reconocer y evaluar la diferenciabilidad de una función escalar de varias variables, usar su propiedades, métodos de cálculos para su aplicación a la resolución de problemas de Ingenier´ıa. iii) Generalizar el concepto de diferenciación para funciones compuestas e impl´ıcitas de varias variables, sus propiedades, métodos de cálculos y su aplicación a la resolución de problemas de Ingenier´ıa

iv) Aplicar diferentes métodos para determinar máximo y m´ınimos de una función de varias variables y utilizarlos en la resolución de problemas de optimización

Integraci´on

i) Analizar el concepto de integral doble sus propiedades y procedimientos de c´alculo , y su aplicaci´on a problemas de f´ısica e ingenier´ıa

ii) Analizar el concepto de integral triple sus propiedades y procedimientos de c´alculo, y su aplicaci´on en problemas de f´ısica e ingenier´ıa.

iii) Analizar los conceptos de integral de trayectoria e integral de l´ınea, y utilizar sus propiedades en la resoluci´on de problemas matem´aticos, de f´ısica e ingenier´ıa

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´

_{Indice general}

1. Serie de Fourier 1

1.1. Introducci´on . . . 1

1.2. Propiedades Generales . . . 2

1.2.1. Lema Elemental . . . 2

1.3. La serie de Fourier de una funci´on . . . 4

1.3.1. Coeficientes de Fourier . . . 6

1.3.2. Atributos de la funci´on . . . 7

1.3.3. Convergencia de las series de Fourier . . . 9

1.3.4. La integral de funciones pares e impares . . . . 15

1.3.5. Teorema de las funciones pares y de las impares 16 1.4. Desarrollos llamados de medio rango . . . 17

1.4.1. Extensi´on impar: . . . 17

1.4.2. Extensi´on par . . . 19

1.5. Diferenciacion e Integraci´on de la series de Fourier . . . 21

1.5.1. Derivaci´on . . . 21

1.5.2. Integraci´on . . . 23

1.5.3. Identidad de Parseval . . . 25

1.6. Integral de Fourier . . . 27

1.6.1. Criterio de convergencia de la integral de Fourier . . . 29

1.6.2. Integrales de Fourier de cosenos y senos . . . 31

(9)

1.7.1. Onda cuadrada alta frecuencia . . . 38

1.7.2. Rectificador de onda completa. . . 39

1.7.3. Ecuaci´on de calor unidimensional . . . 40

1.7.4. Ecuaci´on de calor: barra aislada . . . 41

1.7.5. Ecuaci´on de Onda . . . 42

1.7.6. Deflexi´on de una viga . . . 44

1.8. Problemas Propuestos . . . 45

1.9. Ejercicios Resueltos . . . 50

1.9.1. Serie de Fourier . . . 50

1.9.2. Integral de Fourier . . . 63

1.10. Ejercicios propuestos . . . 70

1.10.1. Respuestas . . . 74

1.11. Auto evaluaciones . . . 77

2. Funciones Vectoriales de una variable real 92 2.1. Introducci´on . . . 92

2.2. Funciones Vectoriales . . . 93

2.3. L´ımite de una funci´on vectorial. . . 95

2.3.1. Teorema del l´ımite . . . 95

2.3.2. Operaciones con funciones vectoriales . . . 98

2.3.3. Teoremas del algebra de l´ımites . . . 98

2.3.4. Teorema: producto de funci´on escalar por vec-torial . . . 99

2.4. Continuidad . . . 99

2.5. La Derivada . . . 100

2.6. Regularidad de una curva . . . 102

2.6.1. Camino regular . . . 103

2.6.2. Propiedades de la Derivada . . . 103

2.7. Parametrizaci´on . . . 104

2.7.1. Ejemplos de reparametrizaciones . . . 106

(10)

2.8.1. La Longitud de Arco como Par´ametro . . . 109

2.8.2. Parametrizaci´on por Longitud de Arco . . . 111

2.9. Trayectorias y curvas . . . 113

2.10. Vectores Unitarios . . . 115

2.10.1. Vector Tangente unitario . . . 115

2.10.2. Vector Normal . . . 116

2.10.3. Vector Binormal . . . 116

2.11. Curvatura . . . 118

2.11.1. C´alculo de curvatura usando par´ametro t cualquiera en _R3 . . . 120

2.12. Planos por un punto de la curva . . . 123

2.12.1. Plano Osculador . . . 124

2.12.2. Plano Normal . . . 124

2.12.3. Plano Rectificante . . . 124

2.12.4. Recta Tangente . . . 125

2.12.5. Recta Normal . . . 125

2.12.6. Recta Binormal . . . 125

2.13. Torsi´on . . . 127

2.13.1. Cálculo de la torsión usando parámetro t cualquiera (en _R3₎ _{. . . .} ₁₂₈

2.14. Formulas de Frenet . . . 130

2.15. Aplicaciones de Funciones Vectoriales y Curvas . . . . 131

2.15.1. Problemas . . . 132

2.16. Ejercicios resueltos . . . 140

2.17. Ejercicios propuestos . . . 169

2.17.1. Respuestas . . . 173

(11)

3. Funciones de varias variables 189

3.1. Introducci´on . . . 189

3.2. Funciones Escalares de Variable Vectorial . . . 193

3.2.1. Conceptos Topol´ogicos . . . 193

3.2.2. Aspectos Geométrico de las Funciones Escalares 197 3.2.3. Gráfica de una Función . . . 197

3.2.4. Curvas y Superficies de Nivel . . . 198

3.2.5. L´ımite . . . 199

3.2.6. Continuidad . . . 205

3.2.7. Derivadas Parciales . . . 207

3.3. Diferenciabilidad en dos variables . . . 209

3.3.1. Derivada Direccional . . . 211

3.3.2. Plano tangente y recta normal . . . 215

3.3.3. Funci´on Compuesta. La Regla de la Cadena. . . 218

3.3.4. Funci´on Impl´ıcita . . . 222

3.3.5. Jacobiano . . . 226

3.3.6. M´aximos y M´ınimos . . . 228

3.3.7. Extremos Restringidos . . . 233

3.4. Problemas Resueltos . . . 245

3.4.1. Continuidad y diferenciabilidad . . . 245

3.4.2. Regla de la cadena . . . 248

3.4.3. Derivaci´on Impl´ıcita . . . 251

3.4.4. Plano Tangente a una Superficie . . . 256

3.4.5. Derivadas Direccionales . . . 258

3.4.6. Valores extremos . . . 260

3.4.7. Multimplicadores de Lagrange para extremos re-stringidos . . . 264

3.4.8. Aplicaci´on al c´alculo de errores . . . 275

3.5. Ejercicios Propuestos . . . 276

3.5.1. L´ımites . . . 276

(12)

3.5.3. Derivadas parciales . . . 278

3.5.4. Derivadas Direccionales . . . 280

3.5.5. Puntos cr´ıticos m´aximos y m´ınimos . . . 284

3.6. Aplicaciones Derivada Direccional . . . 286

3.7. Aplicaciones de M´aximos y M´ınimos . . . 289

3.7.1. Aplicaci´on al campo de la mec´anica . . . 289

3.7.2. Aplicaciones a la geometr´ıa . . . 292

3.7.3. Aplicaci´on al campo de la econom´ıa . . . 297

3.7.4. Problemas Propuestos de Aplicaciones . . . 302

3.8. Auto evaluaciones . . . 304

4. Integraci´on Multiple 315 4.1. Integrales dobles y triples . . . 315

4.1.1. Integrales Dobles . . . 315

4.1.2. Integrales sobre conjuntos acotados de _R2 _{. . .} ₃₂₀

4.1.3. Teorema de Fubini . . . 322

4.1.4. Areas y Volumenes . . . .´ 327

4.1.5. Cambio de variable . . . 329

4.2. Aplicaciones de la integral doble . . . 333

4.2.1. Masa de una regi´on plana de densidad variable. 333 4.2.2. Momentos y centroide de una regi´on plana . . . 334

4.3. Integrales triples . . . 337

4.3.1. Ideas preliminares . . . 337

4.3.2. Teorema de Fubini . . . 337

4.3.3. Teorema de la integral triple (Para dominios m´as generales) . . . 338

4.3.4. Cambio de variable para integrales triples . . . 342

4.3.5. Formula del cambio de variable . . . 345

4.3.6. Masa, Momentos, y Centroide de una Regi´on del Espacio . . . 348

(13)

4.4.1. C´alculo de integrales dobles en coordenadas rect´

angu-lares cartesianas . . . 350

4.4.2. Cambios de orden de Integraci´on . . . 361

4.4.3. Cambios de variables: Coordenadas polares . . . 363

4.4.4. Cambios de variables. Coordenadas curvil´ıneas . 367 4.4.5. C´alculo de integrales triples en coordenadas rect´ angu-lares cartesianas . . . 373

4.4.6. Coordenadas esf´ericas . . . 377

4.4.7. Coordenadas Cil´ındricas . . . 380

4.5. Ejercicios propuestos integrales dobles y triples . . . 389

4.5.1. Integrales dobles . . . 389

4.5.2. C´alculo de Integrales dobles usando transforma-ci´on de coordenadas . . . 392

4.5.3. Integrales triples . . . 394

4.5.4. Integrales triples iteradas . . . 394

4.5.5. Integrales triples en coordenadas rect´angulares cartesianas. . . 396

4.5.6. Calcular las integrales dadas usando las coorde-nadas adecuadas: . . . 397

4.5.7. Resolver las integrales usando coordenadas esf´ eri-cas: . . . 399

4.6. Aplicaciones integrales dobles y triples . . . 401

4.6.1. Volumenes de cuerpos en el espacio . . . 401

4.6.2. Area de figuras planas. . . .´ 404

4.6.3. Momentos y centros de masa para placas planas delgadas . . . 406

4.6.4. Centroide de figuras geom´etricas . . . 407

4.6.5. Momentos y Centros de masa de un s´olido . . . 412

4.6.6. Masa de un s´olido . . . 413

4.6.7. Determinaci´on del centroide dee un s´olido . . . 424

(14)

5. Integral de Linea 436

5.1. Campos vectoriales . . . 441

5.2. Cambio de parametrizaci´on . . . 446

5.2.1. Reparametrizaci´on . . . 447

5.3. Independencia de trayectoria . . . 449

5.4. Campos Conservativos . . . 451

5.4.1. Campo gradiente . . . 451

5.4.2. Teorema de Green . . . 456

5.5. Aplicaciones de la integral de trayectoria . . . 461

5.5.1. Area de una pared . . . .´ 465

5.6. Aplicaciones de la integral de l´ınea . . . 467

5.7.1. Campo conservativo . . . 481

5.8. Problemas propuestos . . . 492

5.8.1. Integral de trayectoria . . . 492

5.8.2. Integral de l´ınea . . . 493

5.8.3. Campos conservativos . . . 494

5.9. Autoevaluaciones . . . 496

6. Integrales de superficie 504 6.1. Superficie orientada . . . 507

6.1.1. Integral de flujo. . . 508

6.1.2. Superficies Parametrizadas. . . 510

6.1.3. Vector normal a S : . . . 510

6.1.4. Area de una superficie parametrizada . . . .´ 513

6.1.5. Integral de una funci´on escalar sobre una super-ficie. . . 516

6.1.6. Integral de Superficie de campos vectoriales . . 517

(15)

6.2. Teoremas de Gauss y de Stokes . . . 519

6.2.1. Divergencia . . . 519

6.2.2. Teorema de la divergencia de Gauss. . . 520

6.2.3. Teorema de Stokes. . . 524

6.3.1. Integrales de superficie . . . 529

6.3.2. Integral de Flujo de un campo vectorial . . . 532

6.3.3. Teorema de la divergencia de Gauss . . . 537

6.3.4. Teorema de Stokes . . . 543

6.4. Ejercicios Propuestos . . . 550

6.4.1. Area de una superficie . . . .´ 550

6.4.2. Integrales de funciones escalares sobre superficie 553 6.4.3. Integral de Flujo . . . 555

6.4.4. Teorema de la divergencia de Gauss . . . 557

6.4.5. Teorema de Stokes . . . 561

6.5. Aplicaciones . . . 564

6.5.1. Aplicaciones Integral de Flujo . . . 564

6.5.2. Aplicaci´on del teorema de Gauss . . . 568

6.5.3. Aplicaci´on teorema de Stokes . . . 573

6.5.4. Aplicacion teorema de Green . . . 576

6.5.5. Aplicaciones al electromagnetismo . . . 580

(16)

Cap´ıtulo 1

Serie de Fourier

En el presente cap´ıtulo se estudiarán los conceptos básicos , métodos de cálculo de los coeficientes y condiciones de convergencia para repre-sentar funciones mediante series e integrales de Fourier .

1.1. Introducci´

on

Las funciones periódicas se presentan frecuentemente en una gran var-iedad de problemas de f´ısica e ingenier´ıa, tales como propagación de ondas en un medio, conducción del calor a lo largo de una varilla , resonancia nuclear magnética ,en consecuencia, abordar la solución de tales problemas, requiere del estudio de la serie de Fourier.

La serie de Fourier es la representación de una función en términos de una serie trigonométrica infinita cuyas bases son las funciones seno y coseno. Algunas de las ventajas de ésta representación sobre otras representaciones, tales como, las series de Taylor, son:

a) primero, se puede representar funciones peri´odicas en t´erminos de las bases seno y coseno que tienen diferentes frecuencias;

b) segundo, se puede representar funciones discontinuas en un punto o seccionalmente continuas en un n´umero finito de puntos;

(17)

1.2. Propiedades Generales

Para problemas con condiciones de frontera peri´odicas en el intervalo

−L≤x≤L, nos preguntamos si es posible expresar una funci´on como una combinaci´on lineal de funciones seno y coseno de frecuencias cada vez mayores, como la siguiente serie infinita (conocida como serie de Fourier de f(x)):

f(x) = a0+

∞

X

n=1

(ancos

nπx L

+bnsin

nπx L

) (1,1,1)

Obviando la igualdad, vale preguntarse ¿converge esta serie infinita?,¿qué condi-ciones debe cumplirf para que se dé la convergencia?,¿cuándo converge

a f(x)?

Estas preguntas no tienen una respuesta sencilla. Sin embargo, las series de Fourier normalmente funcionan bastante bien.

Supongamos quef admite desarrollo en serie de Fourier, ¿cómo se ob-tienen los coeficientesa0,anybnen términos def(x) ?. Para responder esta última pregunta necesitaremos del siguiente lema.

1.2.1. Lema Elemental

Lema 1.2.1. i) Si m y n son n´umeros enteros no negativos distintos, entonces:

Z L

−L

cosnπx L

cosmπx L

dx=

Z L

−L

sinnπx L

sinmπx L

dx= 0 (1.2.1) ii) Para cualquier par de enteros no negativos m y n,entonces:

Z L

−L

cosnπx L

sinmπx L

dx= 0 (1.2.2)

iii)Para cualquier entero positivo n, entonces:

Z L

−L

cos2nπx L

dx=

Z L

−L

sin2nπx L

(18)

Demostraci´on:

Se prueba integrando directamente: usando la identidad cosαcosβ = cos(α−β) + cos(α+β)

2 i)

Z L

−L

cosnπx L

cosmπx L

dx= 1 2

Z L

−L cos

(n−m)πx L dx+1 2 Z L −L cos

(n+m)πx L dx = 1 2 L

(n−m)πsin

(n−m)πx L L −L + 1 2 L

(n+m)π sin

(n+m)πx L L −L = 0

Adem´as,si m= 0 y n6= 0 es facilmente verificable que la integral es cero.

En forma similar se prueba que

Z L

−L

sinnπx L

sinmπx L

dx= 0

ii) Usando la identidad trigonom´etrica sinαcosβ= sin(α−β) + sin(α+β) 2 Z L −L cos nπx L sin mπx L

dx = 1 2 L Z −L sin

(n−m)πx L

dx+1 2 L Z −L sin

(n+m)πx L

dx

= −1

2 L

(n−m)πcos

(n−m)πx L |L −L −1 2 L

(n+m)π sin

(n+m)πx L

|L

−L

= 0

A estas f´ormulas integrales se les llama relaciones de ortogonalidad y diremos que en tal caso el conjunto de las funciones

n cos nπx L ,sin mπx L o

∀n = 0,1,2, ..., y ∀m= 1,2, ..., son ortogonales en [−L, L]

(19)

integrando directamente.En s´ıntesis, se puede puntualizar que: 1

L

Z L

−L

cosnπx L

cosmπx L

dx=

0, si m6=n 1, si m=n

=δm,n 1

L

Z L

−L

sinnπx L

sinmπx L

dx=

0, si m6=n 1, si m=n

=δm,n donde δm,n se define como el delta de Kroneker.

1 L

Z L

−L

cosnπx L

sinmπx L

dx= 0 ∀m, n

Z L

−L

cosnπx L

dx= 0 ∀m, n; y

Z L

−L

sinmπx L

dx= 0 ∀m, n

1.3. La serie de Fourier de una funci´

on

Se debe distinguir entref(x) y su serie de Fourier en el intervalo−L≤

x≤L:

Serie de Fourier de f(x)

a0+

∞

X

n=1

ancos

nπx

L

+bnsin

nπx

L

La serie trigonom´etrica puede incluso no converger y si converge, puede que no lo haga a f(x). Partiendo del supuesto que la serie converge podr´ıamos determinar los coeficientes de Fourier a0, an y bn, usando las relaciones de ortogonalidad.

Sea f(x) definida en el intervalo −L≤x≤L:

f(x) =a0+

∞

X

n=1

ancos

nπx

L

+bnsin

nπx

L

(1.3.4)

Integrando la identidad ( 1.3.4) se tiene:

Z L

−L

f(x)dx=

Z L

−L

a0dx+

∞ X n=1 an Z L L

cosnπx L

dx+bn

Z L

−L

sinnπx L

dx

(20)

Como todas las integrales de la derecha valen cero, excepto la primera, se deduce de aqu´ı el valor dea0,suponiendo que la

L

Z

−L

f(x)dx existe, as´ı.

a0 = 1 2L L Z −L f(x)dx

Para el c´alculo deanmultiplicamos la identidad ( 1.3.4) por cos

mπx

L

e integramos la serie t´ermino a t´ermino, queda

Z L

−L

f(x) cosmπx L

dx=a0

Z L

−L

cosmπx L dx+ ∞ X n=1 an Z L L

cosnπx L

cosmπx L

dx+bn

Z L

−L

sinnπx L

cosmπx L

dx

=

= 0 +

∞

X

n=1

an·Lδn,m+ 0 =Lam

Por lo tanto, al evaluar δn,m, queda un s´olo t´ermino:

Z L

−L

f(x) cos

mπx

L

dx=amL, as´ı el valor de am es

am = 1 L

Z L

−L

f(x) cosmπx L

dx, ∀ m ≥1

Cambiando el ´ındice libre m por n , en ambos lados de la ecuaci´on, queda

an= 1 L

Z L

−L

f(x) cosnπx L

dx, ∀ n ≥1

Ahora, multiplicando ( 1.3.4) por sin

mπx

L

e integrando de manera similar y por el lema se tiene

bn = 1 L

Z L

−L

f(x) sinnπx L

dx, ∀ n≥1

(21)

1.3.1. Coeficientes de Fourier

Definici´on

1.-i) Sea f una funci´on Riemann integrable en [−L, L], las constantes

a0 = 1 2L

L

Z

−L

f(x)dx

an= 1 L

Z L

−L

f(x) cosnπx L

dx para n = 1,2,3, ... bn= 1

L

Z L

−L

f(x) sin

nπx

L

dx para n = 1,2,3, ...



         

         

2,1,1

se denominan los coeficientes de Fourier de f en [−L, L]. ii) La serie:

f(x)∼a0+

∞

X

n=1

h

ancos

nπx

L

+bnsin

nπx

L

i

es la serie de Fourier de f en el intervalo [−L, L] , cuando los coefi-cientes est´an dados por (2,1,1).Para no hablar de convergencia todav´ıa, escribimos el signo”∼”que significa que a la derecha se tiene la serie de Fourier de f en−L≤x≤L.

Observese que, la serie de Fourier def, se puede interpretar como una generalización de una combinación lineal en una base ortogonal seno, coseno, que es aplicada a una función en lugar de un vector estándar en _Rn.

El siguiente ejemplo ilustra como dada una función periódica f(x), de per´ıodo 2π, se calculan los coeficientes de Fourier y expresa la serie trigonométrica de Fourier correspondiente.

(22)

Solución: La gráfica de la función es:

Los coeficientes de Fourier de f en [−π, π],son: a0 = _2π1

π

R

−π

xdx= 0

an = _π1 π

R

−π

xcos (nx)dx=_n12_πcos(nx) +

x

nπ sin(nx)

π

−π = 0 bn= 1_π

π

R

−π

xsin(nx)dx=_n12_π sin(nx)−

x

nπcos(nx)

π

−π

∴bn= _n2(−1)n+1 ∀n ≥1

Por tanto, la serie de Fourier de f en[−π, π] es:

∞

X

n=1 2 n(−1)

n+1_sin(nx)

1.3.2. Atributos de la funci´

on

Lo anteriormente expuesto es v´alido para cierto tipo de funciones, nos referimos a las funciones f(x) que son seccionalmente continuas.

Definici´on 2.- Sea f(x) definida en [a, b]. Entonces f es seccional-mente continua en [a, b] si:

a)f es continua en [a, b] ,excepto quiz´as en un n´umero finito de puntos. b) Ambos l´ımx→a+f(x) y l´ım_x_→_b−f(x) existen y son finitos.

(23)

Definici´on 3.- f(x) es seccionalmente suave en [a, b] si f y f0 son seccionalmente continuas en [a, b].

Ejemplo 2: Muestre quef(x) = x13 no es seccionalmente suave en

ning´un intervalo cerrado que contenga en su interior al cero.

Soluci´on: En efecto, se tiene que f0(x) = 1

3x −2

3 =⇒ l´ım

x→0f

0

(x) = l´ım x→0 1 3x

−2

3 = ∞,

no existe. Por tanto, la funci´on no es seccionalmente suave. Observaci´on:

Las funciones seno y coseno, que aparecen como bases en la serie de Fourier, tienen per´ıodos diferentes los que son iguales a 2L

n paran ≥1. Por otra parte, un múltiplo entero del per´ıodo de una función per´ıodica es también un per´ıodo , podemos afirmar entonces, que 2Les el per´ıodo común para las funciones seno y coseno del desarrollo de la serie. Por lo anterior, la serie de Fourier no sólo representa a f en el intervalo

(24)

Ejemplo 3: Encontrar el per´ıodo de la funci´on f(x) = 100 cos2x.

Soluci´on: Utilizando la identidad trigonom´etrica cos2_θ₌ 1

2(1+cos 2θ) se tiene

f(x) = 100 cos2x= 1001

2(1 + cos 2x) luego queda

f(x) = 50 + 50 cos 2x

como el per´ıodo de cos 2xes π y una funci´on constante tiene cualquier per´ıodo, entonces f(x) es de per´ıodo π.

1.3.3. Convergencia de las series de Fourier

A continuaci´on vamos a establecer las condiciones de suficiencia que debe cumplir una funci´on f(x) para que pueda ser representada por medio de una serie de Fourier.

Teorema 1.3.1. Si f(x) es seccionalmente suave en el intervalo

[−L, L], entonces la serie de Fourier de f(x) converge. i) A la ex-tensión per´ıodica de f(x), en los puntos que la extensión per´ıodica sea continua. ii) Al promedio de los l´ımites laterales 1₂(f(x+) +f(x−)) en los puntos donde la extensión per´ıodica tenga una discontinuidad de salto.

(25)

Ejemplo 4: Sea f(x) =

0 si −3≤x≤0

x si 0≤x≤3 .Construir la serie de Fourier y analizar la convergencia en todo _R

Solución: Representemos la gráfica de la función

Los coeficientes de la serie de Fourier de f(x),son:

a0 = 1 6

3

Z

−3

f(x)dx = 1 6

3

Z

0

xdx= 3 4

an = 1 3

3

Z

−3

f(x) cosnπx 3 dx = 1 3 Z 3 0

xcosnπx 3

dx= 1 3

9 cos nπx₃ n2_π2 +

3xsin nπx₃ nπ 3 0 = 3

n2_π2(cos(nπ)−1) = 3

n2_π2((−1) n₋₁₎

bn = 1 3

3

Z

−3

f(x) sin

nπx 3 dx = 1 3 Z 3 0

xsinnπx 3

dx= 1 3

9 sin nπx₃ n2_π2 +

3xcos nπx₃ nπ 3 0 = − 3

nπ cos(nπ) =− 3 nπ(−1)

n

Por consiguiente, la serie de Fourier la podemos escribir 3 4+ ∞ X n=1 3

n2_π2((−1)

n₋_{1) cos}nπx 3

− 3

nπ(−1)

n_sinnπx 3

(26)

Tenemos quef es continua en [−3,3] ,por lo tanto su extensi´on per´ıod-ica es seccionalmente continua en _R , con discontinuidad de salto en los puntos x= 3±6n, n∈_Z

Por lo tanto, de acuerdo al teorema la serie converge a fE(x) =

f(x) si x6= 3±6n 3

2 si x= 3±6n

n∈_Z

entonces fE(x) =

3 4+

3 π2

∞

X

n=1

1 n2((−1)

n₋_{1) cos}nπx 3

− π

n(−1)

n_sinnπx 3

los coeficientes ((−1)n₋_{1) son nulos, si} _n _{es n´}_{umero par e iguales a}

−2, si n es n´umero impar. Entonces

f(x) = 3 4−

6 π2

∞

X

n=1

1

(2n−1)2 cos

(2n−1)πx 3

+ π 6n(−1)

n

sinnπx 3

Al evaluar la convergencia en x0= 3, punto de discontinuidad de la funci´on, se obtiene

3 2 =

3 4 −

6 π2

∞

X

n=1

1

(2n−1)2(−1) 2n−1

=⇒

∞

X

n=1 1

(2n−1)2 = π2

8 Obs´ervese que a partir de la convergencia de la serie de Fourier en un punto se puede inferir la convergencia de la suma de t´erminos de la serie resultante.

Definici´on 4.- Una suma parcial de la serie de Fourier es una suma de la forma:

Sn =a0+ N

X

n=1 ancos

nπ

L x

+bnsin

nπ

L x

(27)

Ejemplo 5 Sea f(x) = x+π, x ∈ [−π, π]. Determine la serie de Fourier y obtener la gr´afica de sumas parcialesS1(x),S3(x), S10(x).

Solución : La gráfica de la función es

Los coeficientes de Fourier de f en [−π, π] a0 =

1 2π

π

Z

−π

(x+π)dx= 1 2π

x2 2 +πx

π

−π = 1

2π 2π 2

=π

∴a0 =π an =

1 π

π

Z

−π

(x+π) cos (nx)dx= 1 π

1

n2 cos(nx) + x

nsin(nx)

π

−π

∴an = 0 bn=

1 π

π

Z

−π

(x+π) sin(nx)dx= 1 π

1

n2sen(nx)− x

ncoss(nx)

π

−π

∴bn= _n2(−1)n+1

As´ı la serie de Fourier de f(x) es

π+ 2

∞

X

n=1

(−1)n+1

n sin(nx) = π+ 2

sinx− sin 2x

2 +

sin3x 3 −..

Para visualizar la convergencia de est´a serie gr´afiquemos algunas de sus sumas parciales

Sn(x) =π+ 2 n

X

k=1 (−1)n

(28)

Obtengamos S1 : S1(x) =π+ 2

1

X

k=1 (−1)n

(29)

Obtengamos S3

S3(x) =π+ 2 3

X

k=1 (−1)n

k sin(kx)

Finalmente Obtengamos S10 S10=π+ 2

10

X

k=1

(−1)n

k sin(kx)

(30)

1.3.4. La integral de funciones pares e impares

Lema 1.3.1. (de funciones pares e impares) Sea f una funci´on in-tegrable en [−L, L]. a) Si f una funci´on par en [−L, L], entonces

L

R

−L

f(x)dx = 2 L

R

0

f(x)dx. b) Si f es funci´on impar en [−L, L], entonces

L

R

−L

f(x)dx= 0. Demostraci´on

a) f funci´on par, entonces f(−x) = f(x) ∀x∈_R. Considerando que f

es par y el cambio de variable t=−x se tiene 0

Z

−L

f(x)dx= 0

Z

−L

f(−x)dx= L Z 0 f(t)dt = L Z 0 f(x)dx entonces L Z −L

f(x)dx= 0 Z −L f(x)dx+ L Z 0

f(x)dx= 2 L

Z

0

f(x)dx

b) f funci´on impar, entonces f(−x) = −f(x) ∀x ∈_R. Usando este hecho y el cambio de variable t =−x se tiene

0 Z −L f(x)dx= 0 Z −L

−f(−x)dx =

0

Z

L

f(t)dt= L − Z 0 f(x)dx entonces L Z −L f(x)dx= 0 Z −L

f(x)dx+ L

Z

0

f(x)dx = L

Z

0

f(x)dx−

L

Z

0

f(x)dx = 0

lo que demuestra el lema.

(31)

1.3.5. Teorema de las funciones pares y de las

im-pares

Teorema 1.3.2. Sea f una funci´on integrable en [−L, L], a) Si f es par, la serie de Fourier de f en [−L, L] es

a0+

∞

X

n=1 ancos

nπx

L

con coeficientes a0 = 1 L

L

Z

0

f(x)dx y an= 2 L

L

Z

0

f(x) cos

nπx

L

dx, se denomina serie de cosenos. b) Si f es impar, la serie de Fourier de

f en [−L, L] es

∞

X

n=1 bnsin

nπx

L

con coeficiente bn = 2 L

Z L

0

f(x) sinnπx L

dx, se denomina serie de senos.

Demostraci´on: Se deja al lector, debe aplicar el Lema 1.3.1 en el c´alculo de los coeficientes de Fourier.

Ejemplo 6: Calcule la serie de Fourier de f(x) = 1− |x| en −2 ≤

x≤2.

Solución: A partir de la gráfica de la función podemos inferir que la función es par.

Es decir f(−x) = 1− |−x| = 1− |x| = f(x) ∀x ∈ _R, luego se tiene que f es par.

(32)

a0 = 1 2

2

Z

0

(1−x)dx= 1 2

x− x

2 2

2

0 = 0

an = 2 2

Z 2

0

(1−x) cosnπx 2

dx=

Z 2

0

cosnπx 2

dx− Z 2

0

xcosnπx 2

dx

= 0− "

4 cos nπx₂ n2_π2 +

2xsin nπx₂ nπ

#2

0 por consiguiente

an =

0 si n es par 8

(2n−1)2_π2 si n es impar

As´ı la serie de Fourier de f(x) = 1− |x| es: 8

π2

∞

X

n=1 1

(2n−1)2 cos

(2n−1)πx 2

En muchos problemas se tiene la posibilidad de trabajar con series de senos o series de cosenos. Por ejemplo , al resolver ecuaciones diferen-ciales pardiferen-ciales de segundo orden aplicando el m´etodo de separaci´on de variables.

1.4. Desarrollos llamados de medio rango

Sea una función f seccionalmente continua que está definida sólo en el semi-intervalo [0, L], queremos obtener el desarrollo def en serie de Fourier ∀x∈ [0, L] . Una forma de hacer lo anterior es extender f al intervalo [−L, L] y por supuesto , puede ser hecho de muchas maneras, sin embargo, dos extensiones son las más convenientes e importantes. Construir una extensión impar lo que origina una serie de senos o construir un extensión par lo que determina una serie de cosenos. Estas se denominan desarrollos de medio rango.

1.4.1. Extensi´

on impar:

(33)

denotada fi(x) definida por:

fi(x) =

f(x), 0≤x≤L

−f(−x), −L≤x≤0

como se muestra en la figura adjunta.

Sif(x) es seccionalmente suave en 0≤x≤L,entoncesfi(x) es tambi´en seccionamente suave y se puede aplicar el teorema de convergencia de series de Fourier.

La serie de Fourier de fi(x) es

fi(x) =

∞

X

n=1 bnsin

nπx

L

, −L≤x≤L

Como estamos interesados solamente en lo que ocurre entre 0≤x≤L. En esa regi´on f(x) es id´entica a fi(x) y la serie de Fourier es

f(x) =

∞

X

n=1 bnsin

nπx

L

, 0≤x≤L

con coeficiente bn = 2 L

Z L

0

f(x) sin

nπx

L

(34)

Solución. Consideremos la extensión impar de f(x) en 0 ≤ x ≤ L, la gráfica de f muestra que la serie de fourier de senos converge af(x) en 0≤x≤L. Sin embargo, enx=L hay una discontinuidad de salto, luego la serie converge a cero aunque f(L)6= 0.

bn = 2 L

Z L

0

f(x) sinnπx L

dx= 2 L

Z L

0

xsinnπx L

dx= 2L nπ(−1)

n+1

Por lo tanto, la serie resultante es: x= 2L

π

∞

X

n=1

(−1)n+1 n sin

nπx

L

, 0≤x≤L

1.4.2. Extensi´

on par

Supongamos ahora que conocemos f(x) solamente para 0 ≤ x ≤ L , entonces la extendemos como funci´on par, obteniendo otra funci´on denotada fp(x) definida por:

fp(x) =

f(x), 0≤x≤L f(−x), −L≤x≤0 como muestra la figura adjunta:

Sif(x) es seccionalmente continua en 0≤x≤L,entonces su extensión par fp(x) lo será también por lo que se puede aplicar el teorema de convergencia de series de Fourier.

En el intervalo 0 ≤ x ≤ L, la función f(x) es idéntica a su extensión par. La serie que se obtiene se denomina serie de Fourier de cosenos de f(x).

a0+

∞

X

n=1 ancos

nπx

L

(35)

a0 = 1 L

Z L

0

f(x)dx y an = 2 L

Z L

0

f(x) cosnπx L

dx

Ejemplo 8: Construir la serie de Fourier de Cosenos def(x) =x en 0≤x≤L.

Solución: Por las caracter´ısticas de la extensión en lo que concierne a la continuidad de la función tenemos:

x = a0+

∞

X

n=1 ancos

nπx

L

, 0≤x≤L

a0 = 1 L

Z L

0

f(x)dx= 1 L

Z L

0

xdx= 1 L

x2 2

L

0 = L

2 an =

2 L

Z L

0

f(x) cosnπx L

dx= 2 L

Z L

0

f(x) cosnπx L

dx

an =

0 sin par.

− 4L

(36)

Finalmente, la serie de Fourier coseno de f(x) = x en 0≤x≤Les: L

2 − 4L

π2

∞

X

n=1 1

(2n−1)2 cos

(2n−1)πx L

1.5. Diferenciacion e Integraci´

on de la

se-ries de Fourier

1.5.1. Derivaci´

on

Las series infinitas, aún las convergentes no siempre se pueden derivar término a término. Un caso ilustrativo, es el de la función f(x) = x definida para −π≤x≤π, cuya serie de Fourier es

∞

X

n=1

2(−1)n+1

n sin(nx) que converge para −π < x < π, es decir

x=

∞

X

n=1

2(−1)n+1

n sin(nx), x∈]−π, π[ Si diferenciamos, esta serie t´ermino a t´ermino tenemos:

∞

X

n=1

2(−1)n+1cos(nx)

la cual es una serie que no converge en ]−π, π[ , ya que si an = 2(−1)n+1_{cos(nx) para cada} _x_∈_]₋_{π, π[,} _l´ım

n→∞an no existe, como no

ocurre quean −→0 ,concluimos que

∞

P

n=1

2(−1)n+1_{cos(nx) no converge} para cada x∈]−π, π[.

Por otro lado,f0(x) = 1 ∀x∈]−π, π[. Esto muestra en este caso que la derivada término a término de la serie, no converge a la derivada de la función que representa.

(37)

Teorema 1.5.1. Sea f una funci´on continua en [−L, L]con f(−L) = f(L), si f0 es seccionalmente suave en [−L, L] donde f00(x) existe se tiene.

f0(x) =

∞

X

n=1 nπ

L

h

−ansin

nπx

L

+bncos

nπx

L

i

Demostraci´

on.-Se deja al lector, se sugiere escribir la serie de Fourier de f0(x), con-siderando que esta serie converge af0(x) siempre quef00(x) exista. Use integraci´on por partes para relacionar los coeficientes de f0(x) con los correspondientes de f(x).

Ejemplo 9. Dada la funci´on f(x) =x2 _en₋_π _≤ _x _≤_π _{, verifique} si la derivada de esta serie existe.

Solución Claramente se satisface las hipótesis de la proposición an-terior. La serie de Fourier de la función f(x) en [−π, π] es:

(Ver Problema 2 en problemas resueltos) f(x) = π

2 3 + 4

∞

X

n=1 (−1)n

n2 cos(nx)

Como f0(x) = 2x es continua, y existe f00(x) = 2 en todo el intervalo, entonces para −π < x < π

f0(x) = 2x= 4

∞

X

n=1

(−1)n+1

n sin(nx)

(38)

1.5.2. Integraci´

on

La precaución que se tiene para la derivación término a término de la serie de Fourier no se requiere para el caso de la integración .

Teorema 1.5.2. Sea f una funci´on seccionalmente suave en [−L, L]

con serie de Fourier

f(x) = a0+

∞

X

n=1

h

ancos

nπx

L

+bnsin

nπx

L

i

Entonces para cada x∈[−L, L].

Z x

−L

f(t)dt=a0(x+L)+ L π

∞

X

n=1 1 n

h

ansin

nπx

L

−bn

cosnπx L

−(−1)ni

Demostraci´on;

Sea F(x) = x

Z

−L

f(t)dt−a0x ∀x∈ [−L, L] , as´ı definida F es continua en [−L, L], adem´as

F(−L) =

−L

Z

−L

f(t)dt−a0(−L) =a0L y F(L) = L

Z

−L

f(t)dt−a0L= 2a0L−a0L=a0L

Por lo cual F(−L) =F(L),asimismo F0(x) = f(x)−a0 ∀x∈ [−L, L] donde f es continua. Entonces podemos asegurar que F0 es seccional-mente continua en [−L, L] y por el teorema de convergencia tenemos que

F(x) =A0+

∞

X

n=1

h

Ancos

nπx

L

+Bnsin

nπx

L

i

(1.5.5)

(39)

An = 1 L

Z L

−L

F(t) cos

nπt L

dt integrando por partes

= 1

LF(t) L nπ sin nπt L L L − L nπ Z L −L

F0(t) sin

nπt L

dt

= 0− L

nπ

Z L

−L

(f(t)−a0) sin

nπt L

dt

= − L

nπ

Z L

−L

f(t) sin

nπt L

dt+ L nπa0

Z L −L sin nπt L dt

An = − L

nπbn

dondebnes el coeficiente correspondiente de la serie de Fourier de f en [−L, L].

De manera analoga se tiene que:

Bn = 1 L

Z L

−L

F(t) sin

nπt L

dt= L nπan

dondeanes tambi´en el correspondiente coeficiente de la serie de Fourier de f en [−L, L].

Por lo tanto, reemplazando en 1.5.5

F(x) =A0 + L π ∞ X n=1 1 n h

−bncos

nπx

L

+ansin

nπx

L

i

, x∈[−L, L]

para A0 tenemos:

F(L) =a0L=A0+

∞

X

n=1

Ancos(nπ) =⇒ A0 =a0L−

∞

X

n=1

Ancos(nπ)

finalmente

A0 =a0L+ L π ∞ X n=1 1

(40)

ahora sustituyendo A0 se tiene

F(x) =a0L+L π 1 n ∞ X n=1

bncos(nπ)+L π ∞ X n=1 1 n h

−bncos

nπx

L

+ansin

nπx

L

i

y reemplazando en la igualdad inicial obtenemos lo que afirma el teo-rema.

Z x

−L

f(t)dt=a0(x+L)+ L π ∞ X n=1 1 n h

ansin

nπx

L

−bn

cosnπx L

−(−1)ni

1.5.3. Identidad de Parseval

Sea f una funci´on seccionalmente continua en [−L, L] y tal que f0 es tambi´en seccionalmente continua en [−L, L].

Si

f(x) =a0+

∞

X

n=1

h

ancos

nπx

L

−bnsin

nπx

L

i

es la serie de Fourier de f, entonces 1

L L

Z

−L

[f(x)]2dx= 2 (a0)2+

∞

X

n=1

(an)2+ (bn)2

que se conoce como identidad de Parseval

Prueba: La serie de Fourier de f converge a f(x) para cada x del intervalo [−L, L].

f(x) =a0+

∞

X

n=1

h

ancos

nπx

L

−bnsin

nπx

L

i

Multiplicando por f(x) se tiene

f(x)2 =a0f(x) +

∞

X

n=1

h

anf(x) cos

nπx

L

−bnf(x) sin

nπx

L

(41)

podemos integrar t´ermino a t´ermino.

Z L

−L

[f(x)]2dx=a0

Z L

−L

f(x)dx+

∞

X

n=1

an

Z L

−L

f(x) cos

nπx

L

−bn

Z L

−L

f(x) sin

nπx

L

de aqu´ı recordando lo que son los coeficientes de una serie de Fourier se tiene.

L

Z

−L

[f(x)]2dx= 2 (a0)2L+L

∞

X

n=1

[an·an+bn·bn] =⇒

1 L

L

Z

−L

[f(x)]2dx= 2 (a0)2+

∞

X

n=1

(an)2+ (bn)2

Obsérvese que la identidad de Parseval, permite inferir la suma de una serie infinita, dada una funciónf que tiene una representación de Fourier para cada x del intervalo [−L, L].

Ejemplo 10. Sea f(x) =

x −π < x < π

0 x=−π, π , per´ıodica de per´ıodo 2π. Pruebe que

∞

P

n=1 1 n2 =

π2 6 .

Figura 1.1: gr´afica funci´on per´ıodo 2π

(42)

bn= 1 π

π

Z

−π

xsin (nπ)dx= 2 π

π

Z

0

xsin (nπ)dx=−

2xcos(nx) nπ

π

0 =⇒ bn =

₂

n n = 1,3,5, ...

−2

n n = 2,4,6, ... Por tanto

f(x)∼2

∞

X

n=1

(−1)n+1 sin(nx) n = 2

sinx

1 −

sin 2x

2 +

sin 3x 3 ...

Aplicando la identidad de Parseval

1 π

π

Z

−π

x2dx= 4

1 12 +

1 22 +

1 32 +

1 42 +...

=⇒

∞

X

n=1 1 n2 =

1 4π

π

Z

−π

x2dx= 1 4π

x3 3

π

−π = π

2 6

∞

X

n=1 1 n2 =

π2 6

1.6. Integral de Fourier

Las series de Fourier nos proporcionan una herramienta poderosa para representar funciones per´ıodicas. Luego, es conveniente generalizar este m´etodo para incluir funciones no per´ıodicas.

A continuación en esta sección vamos a representar una función f no per´ıodica por medio de la integral de Fourier

(43)

todo punto y tal que

∞

R

−∞

|f(x)|dx converge, entonces la integral de Fourier de f se define como:

∞

Z

0

[A(w) coswx+B(w) sinwx]dw

donde:

A(w) = 1 π

Z ∞

−∞

f(t) coswtdt B(w) = 1

π

Z ∞

−∞

f(t) sinwtdt

A(w) yB(w) se llaman los coeficientes de la integral de Fourier def(x).

Ejemplo 11. Encontrar la representaci´on por medio de la integral de Fourier de la funci´on:

f(x) =

1 , |x|<1 0 , |x|>1

Solución: Primeramente, determinemos la gráfica de la función

Ahora, calculemos los coeficientes de la Integral de Fourier A(w) =

∞

1 π

Z

−∞

f(u) coswudu= 1

Z

−1

coswudu=

sinwu w

|1₋₁ = 21 π

sinw w

B(w) =

∞

1 π

Z

−∞

f(u) sinwudu= 1

Z

−1

(44)

Por lo tanto, la integral de Fourier de f(x) es: 1

π

∞

Z

0 2

wsinwcoswxdw

1.6.1. Criterio de convergencia de la integral de

Fourier

Si f(x) es seccionalmente continua en [−L, L] ∀ L > 0 y tal que

∞

R

−∞

|f(t)|dt existe, entonces la integral de Fourier converge a 1₂[f(x+) + f(x−)] (Promedio de los l´ımites izquierdo y derecho def(x)),∀xdonde f0(x+_{) y} _f0_(x−_{) existen.}

Ejemplo 12. Estudie la convergencia de la Integral de Fourier del ejemplo 11

Soluci´on Sea f(x) definida en ejemplo 11, debido a que f(x) es sec-cionalmente suave, la integral de Fourier de f(x) converge a 1₂[f(x+_{) +} f(x−)] ∀ x. De acuerdo con el criterio de convergencia se tiene:

2 π

∞

Z

0 sinw

w coswxdw=







1 si −1< x <1 1

2 si x=±1 0 si |x|>1

En particular, una situaci´on interesante se da cuandox= 0.

2 π

∞

Z

0 sinw

w cos 0dw = 1 =⇒

∞

Z

0 sinw

w dw = π 2

(45)

tabuladas.

En particular sabemos que:

l´ım w→0

sinw w = 1 y que

∞

Z

0 sinw

w dw= π 2

En el caso de la integral de Fourier, la gráfica de la funciónf se obtiene mediante aproximaciones sucesivas sustituyendo el l´ımite superior de la integral ∞ por los números x.De aqu´ı que la integral

z

Z

0 sinw

w coswxdw

es una aproximaci´on de la integral encontrada anteriormente, y por lo tanto de f(x).

Supongamos que s´olo consideramos las frecuencias w < w0.En este caso, nos da como aproximaci´on def(x)

f(x)≈ 2

π w0 Z

0

(46)

Ahora bien,

coswxsinw= sin (wx+w)−sin(wx−w) 2

y, por consiguiente, podemos escribir la ´ultima integral en la forma

f(x)≈ 1

π w0 Z

0

sinw(x+ 1) w dw−

1 π

w0 Z

0

sinw(x−1) w dw

Consideremos el cambio de variable u=w(x±1) =⇒ du=wdx para la primera y la segunda de estas integrales. Entonces tenemos

f(x)≈ 1

π

w0(x+1) Z

0

sinu u du−

1 π

w0(x−1) Z

0

sinu u du

f(x)≈ 1

πSi [w0(x+ 1)]− 1

πSi [w0(x−1)]

En t´erminos f´ısicos, estas curvas describen la salida de un filtro ideal de pasa baja, que elimina todas las frecuencias superiores w0 cuando la se˜nal de entrada es un impulso aislado rectangular.

1.6.2. Integrales de Fourier de cosenos y senos

Seaf(x) una función definida en [0,∞),podemos extender esta función a una función par o impar en (−∞,∞) y calcular la integral de Fourier de esta última, que resulta ser de coseno y seno respectivamente, lo cual es completamente análoga a los desarrollos en cosenos y senos de una función definida en un intervalo [0, L] para el caso de las series de Fourier.

Definici´on: Sea f definida en [0,∞) y sea

∞

R

0

|f(u)|du convergente, la integral de Fourier en cosenos de f es

∞

Z

0

A(w) cos(wx)dw

(47)

A(w) = 2 π

∞

Z

0

f(u) cos(wu)du

A su vez, la integral de Fourier en senos de f es

∞

Z

0

B(w) sin(wx)dw

donde el coeficiente es:

B(w) = 2 π

∞

Z

0

f(u) sin(wu)du

En cuanto a la convergencia de la integral de Fourier, en este caso, si f es seccionalmente suave en todo el intervalo [0,∞], entonces esta integral converge a 1₂[f(x+) +f(x−)] en (0,∞).

Ejemplo 13: Encontrar la integral de Fourier def(x) =

x2 si 0≤x≤10 0 si x >10 , si:

a) se considera una extension par de f(x)

b) se considera una extension impar de f(x); y luego

c) en ambos casos, determinar las convergencias de estas integrales .

Solución: Consideremos la gráfica de la función

(48)

A(w) = 2 π

∞

Z

0

f(u) cos(wu)du= 2 π

10

Z

0

u2cos(wu)du

= 2 π





u2

w sin(wu)| 10 0 −

2 w

10

Z

0

usin(wu)du





= 2 π

u2

w sin(wu)− 2 w

1

w2 sin(wu)− u

wcos(wu)

10

0 = 1

π

200 w −

4 w3

sin 10w+ 40

πw2 cos 10w Por tanto, la integral de Fourier de cosenos es:

1 π

∞

Z

0

200 w −

4 w3

sin 10w+ 40

w2 cos 10w

coswxdw

Al aplicar el criterio de convergencia obtenemos:

1 π

∞

Z

0

200 w −

4 w3

sin 10w+ 40

w2 cos 10w

coswxdw

=



  

  

(49)

b) Para obtener la integral de Fourier de senos, extendemos f como una funci´on impar fI definida en toda la recta real.

B(w) = 1 π

∞

Z

−∞

f(t) sinwtdt= 2 π

10

Z

0

u2sinwudu

= 2 π   −u 2

w coswu

10 0 + 2 w 10 Z 0

ucoswudu

  = 2 π −u 2

w coswu+ 2 w

1

w2coswu+ u

wsinwu

10 0 = 2 π −10 2

w cos 10w+ 2

w3 cos 10w+ 20

w2 sin 10w− 2 w3

entonces la integral de Fourier de senos es:

1 π ∞ Z 0 −200 w + 4 w3

cos 10w+ 40

w2 sin 10w− 4 w3

sinwxdw

Finalmente, al aplicar el criterio de convergencia obtenemos:

1 π ∞ Z 0 −200 w + 4 w3

cos 10w+ 40

w2 sin 10w− 4 w3 sinwxdw =       

x2 _si ₀_{< x <} ₁₀ 0 si x >10 0 si x= 0 50 si x= 10

Ejemplo 14: Encontrar la integral de Fourier de f(x) = e−ax si x >0 y a es una constante tal quea >0,considerando una extensi´on a) par de f.

b) impar de f.

c) en ambos casos, determinar las convergencias de estas integrales. Soluci´on

(50)

Extensi´on impar

a) Puesto que f es par , es decir f(x) = f(−x) ∀x∈_R se tiene

f(x) =

∞

Z

0

A(w) cos(wx)dw

A(w) = 2 π

∞

Z

0

e−aucos(wu)du

Integrando por partes se tiene

∞

Z

0

e−aucos(wu)du=− a

a2₊_w2_Rl´ım_→∞

h

e−au−w

asenwu+ coswu

iR

0

= a

(51)

Por consiguiente,

A(w) = 2 π

a a2₊_w2 Sustituyendo esta expresi´on se obtiene:

2a π

∞

Z

0

cos(wx) a2₊_w2dw para x >0, a >0.

Finalmente, como la funci´on es continua ∀x > 0, la integral converge a f(x), entonces

f(x) =e−ax = 2a π

∞

Z

0

cos(wx) a2₊_w2dw

=⇒

∞

Z

0

cos(wx) a2₊_w2dw=

πe−ax 2a

b) Puesto que f es impar , es decirf(x) =−f(−x) ∀x∈_R se tiene

f(x) =

∞

Z

0

B(w) sin(wx)dw

B(w) = 2 π

∞

Z

0

e−ausin(wu)du

Integrando por partes se tiene

∞

Z

0

e−ausin(wu)du= 1

a2₊_w2_Rl´ım_→∞

e−au(asenwu−wcoswu)R₀

= w

(52)

Por consiguiente,

B(w) = 2 π

w a2₊_w2 Sustituyendo esta expresi´on se obtiene:

f(x) =e−ax = 2 π

∞

Z

0

wsin(wx) a2 ₊_w2 dw para x >0, a >0.

(53)

1.7. Aplicaciones de Series de Fourier

Para dar una visión del uso de las series e integrales de Fourier, se for-mularán, analizarán y resolverán problemas de sistemas f´ısicos sujetos a perturbaciones periódicas y no periódicas.

1.7.1. Onda cuadrada alta frecuencia

Una aplicación simple de la Serie de Fourier la podemos encontrar en el análisis de circuitos electrónicos que son diseñados para manejar pulsos variables agudos, tales como, una onda cuadrada o un ”diente de sierra”. Supongamos que una onda cuadrada está definida por la función:

f(x) =

0, −π < x <0 h, 0< x < π

Encuentre la serie de Fourier que representa esta se˜nal. Soluci´on

Los coeficientes de Fourier son: a0 =

1 2π

Z π

0

hdt= h 2 an =

1 π

Z π

0

hcosntdt= 0, n ≥1 bn =

1 π

Z π

0

hsinntdt= h

nπ(1−cosnπ) bn =

2h

nπ, n impar =⇒ bn = 2h (2n−1)π 0 ; n par

As´ı la serie resultante es: f(x) =

∞

X

n=1

2h

(2n−1)π sin (2n−1)x= h 2+

sinx

1 +

sin 3x

3 +

sin 5x 5 +...

(54)

Es importante decir que el primer término representa el promedio de f(x) sobre el intervalo [−π, π] y que todos los términos en base coseno se anulan. Además f(x)− h

2 es una función impar, luego ,tenemos una serie de fourier sólo con base seno. Por otra parte, los coficientes bn decrecen inversamente proporcional con n.Fisicamente esto signifi-ca que la onda cuadrada debe contener muchos componentes de alta frecuencia. Si el aparato electrónico no deja pasar estos componentes, la onda cuadrada resultante emerge más o menos redondeada.

1.7.2. Rectificador de onda completa.

Consideremos ahora la salida de un rectificador de onda completa, que produce corriente continua pulsante como muestra la figura. El rectifi-cador se puede modelar como un dispositivo que se alimenta con una onda senoidal ,que deja pasar los los pulsos positivos, e invierte los pulsos negativos. Esto produce:

f(x) =

sinωx, 0< ωx < π

−sinωx, −π < ωx < 0 Encuentre la serie de Fourier que respresenta esta se˜nal Soluci´on

Puesto que f(x) es una funci´on par, es decir f(x) = f(−x), la serie de fourier ser´a cosenoidal

a0 = 1 2π

Z 0

−π

−sinωtd(ωt) +

Z π

0

sinωtd(ωt)

= 2 2π

Z π

0

sinωtd(ωt) = 2 π an = 2

π

Z π

0

sinωtcosnωtd(ωt), n≥1 an =

−2

π 2

n2₋₁, n par =⇒ an =−_π1_4n24₋₁

(55)

Por lo tanto, la serie resultante es:

f(x) = 2 π −

4 π

∞

X

n=1 1

(4n2 ₋₁₎cos (2nωx)

La frecuencia de oscilacion m´as baja es 2ω.Las componentes de alta frecuencia decaen inversamente con n2_, _{lo que muestra que el} rectifi-cador de onda completa hace un buen trabajo para producir un modelo aproximado de la corriente continua.

1.7.3. Ecuaci´

on de calor unidimensional

El flujo unidimensional de calor en un cuerpo material homogéneo está modelado por la ecuación c2∂2_u(x,t)

∂x2 =

∂u(x,t)

∂t donde u(x, t) es la temperatura del cuerpo y c2 = 2 la constante de difusi´on del calor. Si se considera que 0 < x < 3 y t > 0, y que las temperaturas en la fronteras son u(0, t) = u(3, t) = 0, lim

x→0u(x, t) < ∞ , entonces la soluci´on general de este problema esta dado por:

u(x, t) =

∞

X

n=1

Cne−2n

2_π2_t

sinnπx

3 , 0< x <3y t >0

Encontrar la temperatura de la barra , si la temperatura inicial es u(x,0) = 25oC ,0< x <3 .

Soluci´on:

Evaluemos la soluci´on general para t = 0, lo que produce:

u(x,0) = 25 =

∞

X

n=1 Cnsin

nπx

3 , 0< x <3

Se obtiene una serie de Fourier seno. As´ı, para determinar la constante Cnse debe construir una extensi´on imparf(x) =

25 0< x <3

(56)

Podemos encontrar entonces: Cn =

2 L

Z L

0

f(x) sinnπx L dx=

2 3

Z 3 0

25 sinnπx 3 dx Cn =

50 3

− 3

nπ cos nπx

3

0

= 50 (1−cosnπ) nπ

De modo, que la temperatura en la barra queda

u(x, t) =

∞

X

n=1

50 (1−cosnπ) nπ e

−2n2_π2_t

sinnπx

3 , 0< x <3y t >0 Este problema ilustra la importancia de la serie de Fourier para re-solver problemas de aplicaci´on modelados por ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden.

1.7.4. Ecuaci´

on de calor: barra aislada

El flujo unidimensional de calor en un cuerpo material homogéneo está modelado por la ecuación c2∂2_∂xu(x,t)2 =

∂u(x,t)

∂t donde u(x, t) es la temperatura del cuerpo y c2_{la constante de difusi´}_{on del calor.} En el caso de una barra aislada, que se prolonga hacia el infinito en ambos sentidos, la soluci´on general est´a dada por

u(x, t) =

Z ∞

0

(A(w) cos(wx)+B(w) sin(wx) )e−c2w2tdw.Si se aplica la condicion inicial u(x,0) =f(x), −∞< x < ∞,donde f(x) es la tem-peratura inicial, se obtiene que u(x,0) =f(x) = R₀∞(A(w) cos(wx) + B(w) sin(wx) ) dwes una integral de Fourier con coeficientesA(w) =

1 π

Z ∞

−∞

f(v) cos(wv) dv y B(w) = 1 π

Z ∞

−∞

f(v) sin(wv) dv

Determine la integral de Fourier, si la funci´on temperatura inicial es f(x) =e−x2_/2

;−∞< x <∞, y la solución general de está ecuación.

Soluci´on:

Como f es una funci´on par se tiene Ip =

Z ∞

0

(57)

A(w) = 2 π

Z ∞

0

e−v2/2 cos(wv)dv =⇒ A0(w) = −2

π

Z ∞

0

ve−v2/2sin(wv)dv Integrando por partes se tiene

A0(w) = −2

π

−e−v2/2sin(wv) +w

Z ∞

0

e−v2/2sin(wv) dv

∞

0 Evaluando la integral y resolviendo EDO(1)

A0(w) =−2

π

h

0 +w(π 2A(w)

i∞

0

=⇒ A0(w) = −wA(w) A(w) =Ce−w2/2, C constante

Luego la integral de Fourier es:

e−x2/2 =C

Z π

0

e−w2/2 cos(wx) dw Por tanto, la soluci´on general queda:

u(x, t) =C

Z ∞

0

(e−w2/2 cos(wx)) e−c2w2t dw

Este problema ilustra la importancia de la Integral de Fourier para resolver problemas de aplicaci´on modelados por ecuaciones de difusion del calor.

1.7.5. Ecuaci´

on de Onda

Una onda unidimensional que se desplaza en una cuerda elástica ho-mogénea, está modelado por la ecuación c2∂2_u(x,t)

∂x2 =

∂2_u(x,t)

∂t2 donde

u(x, t) es el desplazamiento de la cuerda desde el eje x en el tiempo t y c2_{la constante la rapidez de la onda en el medio.}

Si los extremos de la cuerda están fijos en x = 0, x = L , t > 0, es decir que las condiciones de frontera sonu(0, t) = u(L, t) = 0 , entonces la solución general de este problema está dado por:

u(x, t) =

∞

X

n=1

(Ancos nπct

L +Bnsin nπct

L ) sin nπx

(58)

Considere que la forma inicial de la cuerda est´a dado por f(x) , es decir u(x,0) = f(x), y que la velocidad inicial de la cuerda es cero, es decir ∂u(x, t)

∂t = 0.Encontrar el desplazamiento u(x, t) de la cuerda en un tiempo posterior.

Soluci´on.

Determinemos las constantes An y Bn de la soluci´on general aplicando las condiciones iniciales.

Para satisfacer la condici´on ∂u(x, t)

∂t = 0 , ser´a necesario derivar la soluci´on general, entonces

ut(x, t) =

∞

X

n=1 nπc

L (−Ansin nπct

L +Bncos nπct

L ) sin nπx

L

ut(x, t) =

∞

X

n=1 nπc

L Bnsin nπx

L ⇐⇒ Bn= 0 ∀n De manera que la soluci´on general se reduce a

u(x, t) =

∞

X

n=1

Ancosnπct L sin

nπx

L ,0< x < L y t >0

Ahora, apliquemos la condici´on u(x,0) = f(x), para determinar la constante An. Esto da como resultado

u(x,0) =f(x) =

∞

X

n=1

An sen nπx

L ,0< x < L y t >0

que corresponde a una serie de Fourier senoidal. As´ı, es necesario con-siderar una extension impar de la funci´on dadafi(x) =

f(x) si 0< x < L

−f(−x) si −L < x <0 , de este modo el coeficiente queda

An= 2 L

Z L

0

f(x) sinnπx L dx El resultado final es

u(x, t) =

∞

X

n=1

2 L

Z L

0

f(x) sinnπx L dx

cosnπt L sin

nπx

(59)

1.7.6. Deflexi´

on de una viga

Una viga de longitud L , esta soportada desde sus extremos como mues-tra la figura adjunta . Sobre la viga actúa una carga uniformemente dis-tribuida q por unidad de longitud y su deflexión está dada por y(x). Si se escoge la dirección del eje y apuntando hacia abajo, como indica la figura, se sabe que la función y(x) satisface la ecuación:

d4y dx4 =

1 EIq(x)

donde q(x) es la carga por unidad de longitud en el punto x, I es el momento de inercia y E el m´odulo de elasticidad de la viga. Si en nuestro caso estas tres cantidades son constantes encuente la deflexi´on y(x) de la viga.

Soluci´on.

Puesto que la funci´ony(x) debe se nula en los extremosx= 0 y x=L, la podemos representar mediante una serie de Fourier de senos.

y(x) =

∞

X

n=1 bnsin

nπx

L , x∈[0, L]

Si suponemos que y(x) es una funci´on continua , con derivadas contin-uas hasta el cuarto orden en [0, L], entonces

y(4)(x) =

∞

X

n=1

nπx

L

4

bnsinnπx

L , x∈[0, L]

A su vez la carga distrribuida por unidad de longitudq(x) = q,tambi´en puede ser desarrollada en serie de Fourier de senos

q =

∞

X

n=1 qnsin

nπx