Programa de Ingeniería Prof. Pedro Quintela Física I
Unidad II. Vectores
1. Introducción
Anteriormente, se definió que una magnitud física es un número o conjunto de números, resultado de una medición cuantitativa que asigna valores numéricos a algunas propiedades de un cuerpo o sistema físico. Asimismo, las magnitudes físicas pueden cuantificarse por comparación con un patrón o con partes de un patrón. Recordemos que constituyen ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la longitud, el tiempo, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración y la energía.
Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas de acuerdo a varios criterios:
‐ Según su actividad, se clasifican en magnitudes extensivas e intensivas.
‐ Según su forma matemática, las magnitudes se clasifican en escalares, vectoriales o tensoriales.
1.1. Magnitudes Extensivas e Intensivas
Una magnitud extensiva es una magnitud que depende de la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema. Las magnitudes extensivas son aditivas. Si consideramos un sistema físico formado por dos partes o subsistemas, el valor total de una magnitud extensiva resulta ser la suma de sus valores en cada una de las dos partes. Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o sistema, la energía de un sistema termodinámico, entre otros.
Una magnitud intensiva es aquélla cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema. Las magnitudes intensivas tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como subsistemas. Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un sistema termodinámico en equilibrio.
En general, el cociente entre dos magnitudes extensivas da como resultado una magnitud intensiva. Ejemplo: masa dividida por volumen representa densidad.
1.2. Magnitudes Escalares, Vectoriales y Tensoriales
Magnitudes escalares: Son aquellas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático más simple, por un número. Podemos decir que poseen un módulo, pero que carecen de dirección y sentido. Su valor puede ser independiente del observador (por ejemplos: la masa, la temperatura, la densidad, entre otros) o depender de la posición o estado de movimiento del observador (por ejemplo: la energía cinética).
Magnitudes vectoriales: Son las magnitudes que quedan caracterizadas por una cantidad (módulo), una dirección y un sentido. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa mediante un segmento orientado. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, la intensidad luminosa, entre otros.
Además, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no presentan invariancia de cada uno de los componentes del vector y, por tanto, para relacionar las medidas de diferentes observadores se necesitan relaciones de transformación vectorial. En mecánica clásica también el campo electrostático se considera un vector; sin embargo, de acuerdo con la teoría de la relatividad esta magnitud, al igual que el campo magnético, debe ser tratada como parte de una magnitud tensorial.
Magnitudes tensoriales (propiamente dichas): Son las que caracterizan propiedades o comportamientos físicos modelizables mediante un conjunto de números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación.
2. Vectores
En términos generales, un vector, es aquella magnitud que aparte de conocer su valor numérico y su unidad respectiva, es necesario conocer también la dirección y el sentido para que así dicha magnitud logre estar perfectamente determinada.
Elementos de un vector
‐ Punto de aplicación: está dado por el origen del vector.
‐ Intensidad, módulo o magnitud: es el valor del vector, y generalmente, está dado en escala. Por ejemplo, 5 unidades de longitud equivalen a 5 N (si se tratase de fuerza).
‐ Dirección: está dada por la línea de acción del vector o por todas las líneas rectas paralelas a él. ‐ Sentido: es la orientación del vector.
Figura 2.1. Elementos de un vector.
Veamos un ejemplo sencillo: Si una arquero desea disparar una flecha al blanco, ella debe conocer la fuerza (módulo) mínima que debe aplicar a la flecha para que ésta se incruste en el tablero; pero supongamos que a dicha persona después de conocer la distancia de ella al blanco, le tapan los ojos. ¿Sabrá a donde apuntar?, la respuesta es no, pues conocerá cuanto debe tirar de la cuerda pero no sabrá hacia donde. ¿Qué falta? le falta la ubicación del blanco (dirección y sentido). Queda demostrado entonces que la fuerza es una magnitud vectorial, pues aparte del valor y unidad respectiva, se necesita la dirección y sentido.
Figura 2.2. Arquero practicando tiro al blanco (ejemplo).
2.1. Notación
Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo. Ejemplos:
‐ , , , … representan, respectivamente, las
magnitudes vectoriales de módulos , , ,... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector, tales como
, , ,...
‐ En los textos manuscritos se escribe: , , ,... para los vectores y , , ,... o , , ,... para los módulos.
Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la figura 2.3 en la forma ,
,... resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.
Figura 2.3. Notación de los vectores.
Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo , .
2.2. Representación Geométrica
Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en el espacio unidimensional, bidimensional o tridimensional.
Representación unidimensional:
Punto de aplicación: Módulo: A
Dirección: horizontal Sentido: positivo
Punto de aplicación: Módulo: B
Dirección: horizontal Sentido: negativo
Representación bidimensional:
Punto de aplicación: Módulo: A
Dirección:
Sentido:
Punto de aplicación: , Módulo: B
Dirección:
Sentido:
Punto de aplicación: , Módulo: C
Dirección y sentido: ˚
˚
Representación tridimensional:
Punto de aplicación:
Módulo: A
Dirección: , ,
Punto de aplicación: Módulo: B
Dirección: (ángulo zenital)
(ángulo azimutal)
,
,
2.3. Tipos de vectores
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:
Vectores fijos, ligados o de posición: son los vectores que están aplicados en un punto en particular.
Vectores libres: son los vectores que no están aplicados en ningún punto en particular.
Vectores deslizantes: son los vectores cuyos puntos de aplicación se deslizan a lo largo de una línea de acción.
Vectores nulos: son los vectores de módulo cero. Estos vectores sólo describen reposo relativo, por ejemplos,
0 0
0
aceleración 0 fuerza resultante 0 velocidad 0 momento con respecto al origen 0
movimiento
Vectores unitarios: son los vectores de módulo unidad y tiene por propósito indicar la dirección y sentido de un determinado vector. Este tipo de vector se le llama también versor y se calcula mediante la relación
Vectores concurrentes: son los vectores cuyas líneas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).
Vectores opuestos: son los vectores de igual magnitud, pero dirección contraria.
Vectores coloniales: son los vectores que comparten una misma línea de acción.
180˚
̂ ̂
̂
̂
̂
Vectores coplanarios: son los vectores cuyas líneas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).
3. Operaciones con Vectores
3.1. Adición de Vectores
Sumar dos o más vectores, es representarlos por uno sólo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética.
Figura 2.4. Adicción de vectores.
Propiedades de la adición
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro 0
Elemento simétrico 0
3.1.1.Método Gráfico
Método del paralelogramo
Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, completando un paralelogramo trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro. El resultado de la suma es la diagonal del paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores. Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes.
Método del triángulo
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, es decir, el origen de uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. Luego se une el origen del primer vector con el extremo del segundo. Válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes.
Método del polígono
Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector. El método es válido para vectores coplanares y concurrentes.
3.1.2.Método Analítico
Suma de vectores colineales
Cuando dos o más vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción, la resultante se determina mediante la suma aritmética de los módulos de los vectores, teniendo en cuenta que cada vector será positivo si su sentido es hacia la derecha o hacia arriba y será negativo si su sentido es hacia la izquierda o hacia abajo.
Suma de vectores concurrentes y coplanares
Cuando dos se encuentran en la misma dirección o línea de acción, el modulo de la resultante se halla mediante la ley del coseno.
Mientras la dirección de la resultante se halla la ley de los senos.
Caso particular: 90˚
arctg
sen sen sen
2 cos
3.1.3.Método de Componentes Rectangulares
Las componentes rectangulares de un vector son vectores perpendiculares entre sí, que sumados dan como resultado dicho vector, es decir, son las proyecciones ortogonales del vector sobre los ejes coordenados.
Versores rectangulares: Son los vectores unitarios de los semiejes que componen el sistema coordenado cartesiano rectangular.
Descomposición en el espacio 2D
arctg
Vector descrito por su módulo, su dirección y su sentido
̂ ̂
cos ̂ s n ̂
cos
sen
Vector descrito por sus componentes rectangulares
̂
̂
̂: versor rectangular del semieje positivo ̂: versor rectangular del semieje negativo ̂: versor rectangular del semieje positivo
̂: versor rectangular del semieje negativo : versor rectangular del semieje positivo
: versor rectangular del semieje negativo
Descomposición en el espacio 3D
Usando tres ángulos ( , , )
Usando dos ángulos ( , )
̂ ̂
, ,
cos
cos
cos
Vector descrito por su módulo, su dirección y su sentido
̂ ̂
cos ̂ cos ̂ cos
cos cos cos 1
cos
cos
cos
Vector descrito por sus componentes rectangulares
̂ ̂
Suma de vectores en función de sus componentes
Para hallar la resultante se debe seguir siguientes pasos:
‐ Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares. ‐ Se halla la resultante en cada eje según la suma de vectores colineales. ‐ El módulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitágoras.
‐ La dirección y el sentido se hallan aplicando las identidades trigonométricas conocidas.
Representación 2D Vectores operantes:
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
Vector resultante:
̂ ̂
̂ ̂
Módulo:
Dirección y sentido:
arctg /
Vector unitario:
̂ ̂
Representación 3D: Usando tres ángulos ( , , )
Vectores operantes:
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
,
arccos
arccos
sen
Vector descrito por su módulo, su dirección y su sentido
̂ ̂
̂ ̂
cos sen
sen sen
cos
̂ ̂ Vector resultante:
̂ ̂
̂ ̂
Módulo:
Dirección y sentido:
arccos
arccos
arccos
Vector unitario:
̂ ̂
Representación 3D: Usando dos ángulos ( , )
Vectores operantes:
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
Vector resultante:
̂ ̂
̂ ̂
Módulo:
Dirección y sentido:
arccos
arccos
sen
Vector unitario:
̂ ̂
3.2. Producto de un Vector por un Escalar
Cuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma dirección y de módulo igual a tantas veces el escalar por el módulo del vector dado.
Figura 2.5. Vectores proporcionales entre sí.
3.3. Productos de Vectores
Existen dos formas de multiplicar dos vectores, uno es el producto escalar y el otro es el producto vectorial, puesto que el primero se tiene como resultado un escalar, mientras el segundo un vector respectivamente.
3.3.1.Producto Escalar
En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar.
Sean A y B dos vectores diferentes de cero en el espacio bidimensional o en el espacio tridimensional, y suponer que estos vectores se colocan de modo que sus puntos iniciales coincidan. El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.
donde 0
Proyección de un vector sobre otro
Puesto que cos representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es:
De modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
| | cos
cos
2
Ángulos entre dos vectores
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores A y
B.
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.
Esto sucede porque el valor del coseno de 90˚ es cero.
Vectores paralelos o en una misma dirección
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados.
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.
Expresión analítica del producto escalar
Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios ̂ , ̂ , tenemos:
̂ ̂
̂ ̂
El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:
̂ ̂ 1
̂ ̂ 1
1 Versores paralelos
̂ ̂ 0
̂ 0
̂ 0
Versores ortogonales
cos
|cos | 1
0
3.3.2.Producto vectorial
El producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).
Sean dos vectores A y B en el espacio vectorial . El producto vectorial entre A y B da como resultado un nuevo vector, C. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:
El módulo de C está dado por
donde es el ángulo determinado por los vectores A y B.
La dirección del vector C, que es ortogonal a A y ortogonal a B, está dada por la regla de la mano derecha: se coloca un costado de la mano derecha en el primer vector, se cierra el puño en dirección al segundo vector, el vector resultante apuntará en la misma dirección que el dedo pulgar (entra o sale del plano).
Figura 2.6. Producto vectorial.
El producto vectorial entre A y B se denota mediante , por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra , es frecuente denotar el producto vectorial mediante A B.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:
sen
sen
Propiedades del producto escalar
Conmutativa
Asociativa
Donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores A y B y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y es, como antes, el ángulo entre los vectores. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
Expresión analítica del producto escalar
Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios ̂ , ̂ , tenemos:
̂ ̂
̂ ̂
El producto vectorial se opera como un determinante de orden 3 de la siguiente forma:
̂ ̂
El producto cruz de cualquiera de los vectores unitarios ̂, ̂ ó consigo mismo tiene como resultado el vector nulo. Asimismo, los productos cruz entre los vectores unitarios,
Propiedades del producto vectorial
Anticonmutatividad
Distributiva
Condición de paralelismo 0 si y sólo si 0 0
Repulsión
Identidad de Jacobi 0
