1
I.P.A Fundamentos de la matemática Curso 2018 Prof: Adrián Milano
PRÁCTICO 2 CORRESPONDIENTE AL TEMA 5
Ejercicio 1
1) Indicar cuáles de los siguientes conjuntos son inductivos. a)
1
2
∪
ℕ
b)ℕ
∪ −
{ }
1
c)
X
⊂
ℕ
tal queX
es finito y1∈
ℕ
. d)A
= ∈
{
x
ℝ
/
x
=
2
p
∧ ∈
p
ℕ
}
2) Investigar si la unión de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo.Ejercicio 2
1) Sean
a
,d
yn
tres números naturales cualesquiera.Inducir una fórmula que dependa de
n
, para calcular la siguiente suma y demostrarla por inducción completaa
+ + + +
(
a
d
) (
a
2 ) (
d
+ +
a
3 ) ... (
d
+ + +
a
nd
)
2) Se consideran los números
2
,
5
,
8
,
11
,
14
,
17
,
20
,
23
,...
...
302
. Calcular su suma.3) Usar la parte 1) para hallar una fórmula que dependa de
n
, para calcular la suma de los primerosn
números naturales (empezando en1
) y otra para hallar la suma de los primerosn
números impares.Ejercicio 3
El objetivo de este ejercicio es obtener una fórmula que nos permita calcular la suma de los cuadrados de los primeros
1
+
n
números naturales.Dado que la suma de los
n
+
1
primeros números naturales, se puede obtener a partir de un polinomio de segundo grado,2
2
)
1
(
....
3
2
1
0
2n
n
n
n
n
=
+
=
+
+
+
+
+
+
, podemos sospechar que la suma2 2
2 2
2
1
2
3
...
..
0
+
+
+
+
+
n
, se puede obtener a partir de un polinomio de tercer grado o quizás de un polinomio de cuarto grado. Investiguémoslo.a) Hallar los reales
a
,
b
,
c
yd
para que la siguiente igualdad sea válida paran
=
0
,
n
=
1
,
n
=
2
yn
=
3
0
2+
1
2+
2
2+
3
2+
...
..
+
n
2=
an
3+
bn
2+
cn
+
d
b) Para los valores de
a
,
b
,
c
yd
hallados en a), demostrar, utilizando el principio de inducción completa, que la igualdad0
2+
1
2+
2
2+
3
2+
...
..
+
n
2=
an
3+
bn
2+
cn
+
d
es verdadera para cada número naturaln
. c) Verificar que6
)
1
2
)(
1
(
..
...
3
2
1
0
2+
2+
2+
2+
+
n
2=
n
n
+
n
+
es válido para todo número naturaln
. d) Una cuerda de820
metros se corta en cuerdas de1
,2
,3
,4
, ... metros y con cada una de ellas se construye un cuadrado. Calcular la suma de las áreas de dichos cuadrados.COMPLEMENTO 1
Mostraremos otra forma de obtener la igualdad:
6
)
1
2
)(
1
(
..
...
3
2
1
0
2+
2+
2+
2+
+
n
2=
n
n
+
n
+
1) Calcular
4
3
2
1
4
3
2
1
,
3
2
1
3
2
1
,
2
1
2
1
,
1
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2) Conjeturar una fórmula para calcular
n
n
+
+
+
+
+
+
+
+
..
...
3
2
1
...
3
2
1
2 2 2 23) Deducir fórmulas que dependan de
n
para calcular:2 2
2
2
4
6
...
...
(
2
)
2
+
+
+
+
n
y1
2+
3
2+
5
2+
...
...
+
(
2
n
−
1
)
2COMPLEMENTO 2
2 Ejercicio 4
Demostrar que para todo natural
n
≥
1
se cumple:a)
+
−
=
−
+
+
−
+
−
+ +2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
...
16
9
4
1
n1n
2 n 1n
n
b)
1
)
1
(
1
...
4
3
1
3
2
1
2
1
1
+
=
+
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
n
n
n
n
Ejercicio 5
Usando el método de inducción completa, demostrar que la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de
n
lados(
n
≥
3
)
es(
n
−
2
).
π
.Ejercicio 6
a) Dados
n
puntos no alineados tres a tres, inducir una fórmula que permita calcular el númeroS
n de segmentos que se pueden trazar tomando como extremos dichos puntos y demostrarla por inducción completab) Inducir una fórmula que permita calcular el número
D
nde diagonales de un polígono convexo den
lados(
n
≥
3
)
y demostrarla por inducción completa.Ejercicio 7
a) Verificar que:
2
1
1
2
1
=
−
4
1
1
4
1
2
1
−
=
+
8
1
1
8
1
4
1
2
1
+
+
=
−
b) A partir de a) inducir la ley general y demostrarla por inducción completa.
Ejercicio 8 (*)
Demostrar que todo número natural mayor a
7
se puede escribir como suma de treses y cincos. Es decir, se pide demostrar que cualquiera sea el número naturalN
>
7
, existen números naturalesm
yn
tales queN
=
3
m
+
5
n
Ejercicio 9
Definición: Si
a
yb
son dos números enteros conb
≠
0
decimos queb
divide aa
, quea
es múltiplo deb
o quea
es divisible entreb
si, y solo si, existe un número enteron
tal quea
=
b
⋅
n
(Cuandob
divide aa
anotamos:
b
a
)1) Sabiendo que
a
,b
yc
son números enteros, demostrar utilizando la definición anterior que: a) Sia
b
yb
c
, entoncesa
c
.b) Si
a
b
ya
c
, entoncesa
(
bx
+
cy
)
cualesquiera sean los números enterosx
ey
. 2) Demostrar por el principio de inducción completa las siguientes propiedades:a)
54
(
55
n−
1
)
b)3
(
7
n−
4
n)
3) Si
x
ey
números reales cualesquiera, usando el método de inducción completa, demostrar que cualquiera sean
∈
ℕ
,x
n−
y
n es divisible entrex
−
y
.4) Demostrar que cualquiera sea el número natural
n
,5
n
3+
7
n
es múltiplo de6
. 5) Sin
un natural impar, demostrar quen
2−
1
es múltiplo de8
. 6) Demostrar que para todon
∈
N
se cumple:a)
6
2n−
1
es divisible entre35
b)2
n+
(
−
1
)
n+1 es divisible entre3
3 Ejercicio 10
Verificar que para cada una de las siguientes proposiciones se puede demostrar uno de los dos pasos del principio de inducción completa pero no el otro.
1)
n
3+
2
n
=
3
n
2 2)2
n es múltiplo de5
3)8
)
1
2
(
...
...
4
3
2
1
2+
=
+
+
+
+
+
n
n
Ejercicio 11 a) Calcular
= =
+
−
+
6 11
1
2
1
kk
k
k
b) Si
a
0,
a
1,
a
2,
...,
a
n sonn
+
1
números reales conocidos (n
∈
N
,
n
≠
0
), calcular
==
−
−n k
k k k
a
a
1 1
)
(
c) Hallar el valor de la siguiente suma en función de n :
= =
+
−
+
n kk 1
k
k
1
1
2
1
Ejercicio 12
Utilizando las fórmulas obtenidas en ejercicios anteriores y las propiedades de linealidad del símbolo
, obtener fórmulas que dependan únicamente den
para las siguientes sumas:1)
=
+
n kk
1)
9
2
(
2)
=
−
n kk
k
1 2)
3
2
(
3)
[
]
=
−
+
n kk
k
1)
3
)(
2
(
Ejercicio 13Investigar si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas para todo
n
∈
N
,
n
≥
p
,
p
∈
N
. Demostrar por inducción completa las igualdades verdaderas.a) 2 2 0
)
1
2
(
)
1
2
(
+
=
+
=n
k
n kb)
(
3
1
)
3
(
3
1
)
24
3 2
−
+
=
+
=
k
k
n
n
n
k
c)
2
1
2
2 (
1)
1
2
1
n k n k n
k
n
k
n
= = ++
=
+
+
∏
Ejercicio 141) Sea
x
∈
R
,x
≠
1
yS
=
1
+
x
+
x
2+
x
3+
...
+
x
nEfectuar
xS
yxS
−
S
. Deducir queS
=
1
+
x
+
x
2+
x
3+
...
+
x
n1
1
1−
−
=
+x
x
n2) Dado
x
∈
R
yx
≠
1
, demostrar por inducción completa que:1
1
1 0−
−
=
+ = =
x
x
x
n n k k k3) Calcular las siguientes sumas: a) 32768 1 ... 4 1 2 1
1+ + + + b)
= =−
⋅
120 0)
5
3
2
(
k k k k4) Obtener una fórmula que no dependa del símbolo de sumatoria para calcular la siguiente suma:
+ = = −+
1 1 1)
2
1
(
n k k k Ejercicio 15 Dada la igualdad2
5
)
3
5
(
2 2 1b
an
n
k
n k+
+
=
+
+ =a) Hallar los números reales
a
yb
sabiendo que la igualdad es verdadera paran
=
1
yn
=
2
y para los valores dea
yb
hallados demostrar la igualdad por inducción completa.b) Calcular
=
+
300 5)
3
5
(
kk
y resolver la siguiente ecuación2
183
21
)
3
5
(
3 1+
=
+
+ =x
k
x kc) Resolver
4 Ejercicio 16
Dada la igualdad
=
−
−
=
−
n
p k
n
n
k
3
)
2
24
2
(
2a) Hallar
p
∈
N
sabiendo que la igualdad es válida paran
=
p
b) Para el
p
hallado en la parte anterior, demostrar la igualdad por inducción completa para todon
∈
N
,n
≥
p
c) Resolver la ecuación
=
−
=
n p k
k
3
)
459
2
(
para elp
hallado en la parte a).d) Encontrar una fórmula que dependa de
n
, que permita calcular
=
−
n k
k
7
)
6
9
(
Ejercicio 17
En cada uno de los siguientes casos se pide demostrar usando el método de inducción completa. 1)
3
n>
n
2 para todon
∈
N
,n
≥
p
,
p
∈
N
2) Si x es un número real positivo, demostrar la desigualdad de Bernoulli que afirma lo siguiente:
(
1
+
x
)
n>
nx
+
1
,
∀
n
∈
N
3) Sia
∈
R
ya
>
1
, entoncesa
n>
1
(Enunciar la propiedad en el caso
0
<
a
<
1
y demostrarla) 4)2
n>
log
2n
∀
n
∈
N
,
n
≥
p
. Recordar que si a yb
son reales positivos yb
≠
1
, entonces
a
c
b
ca
b
=
↔
=
log
Ejercicio 18
Demostrar usando el método de inducción completa las siguientes desigualdades: a)
4
)
1
(
21
2
≥
+
=
n
n
k
n
k
b)
1
1
2
n
k
n
k
=
<
Ejercicio 19
Consideremos la siguiente proposición “Todos los caballos son del mismo color”.
Vamos a demostrar que todos los caballos son del mismo color, por inducción sobre el número de caballos que podemos elegir. El caso inicial,
n
=
1
es trivial, ya que si se elige un caballo, es evidente, que es del mismo color que sí mismo, por lo que aquí no hay nada más que probar.Supongamos ahora que tenemos
n
caballos y todos son del mismo color (hipótesis inductiva). Demostraremos que siseleccionamos
n
+
1
caballos, también son todos del mismo color (Tesis inductiva).Para demostrar la tesis inductiva, supongamos que tomamos esos
n
+
1
caballos y los colocamos en una fila. Si descartamos el último caballo de esta fila, tendremosn
caballos, por lo que la hipótesis de inducción nos dice que esoscaballos
n
son todos del mismo color. Si ahora volvemos a nuestrosn
+
1
caballos y nos olvidamos del primero de lafila, de nuevo tenemos otros
n
caballos, los cuales podemos volver a concluir que son todos del mismo color, en virtud de la hipótesis inductiva. Por lo tanto, si losn
primeros caballos son del mismo color y losn
últimos también, entonces todos los caballosn
+
1
son del mismo color.5 Ejercicio 20 (FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL)
Dado el número natural
n
≥
2
, llamamos factorial den
, al producto de todos los números naturales mayores que cero y menores o igualesn
. El factorial del naturaln
se denota por:n
!
a) Usar la definición anterior para calcular
2
!
,
3
!
,
4
!
y5
!
b) Para cada número natural
n
≥
2
se cumple:n
!
=
n
⋅
(
n
−
1
)!
. Sustituir en esta última igualdadn
por2
y luego por1
y concluir como debería definirse0
!
y1
!
para que esta última igualdad sea válida para todo número natural. c) Calcular!
9
!
12
y!
145
!
147
d) Sea
n
un número natural cualquiera. Expresar los siguientes números sin factoriales: 1)!
!
)
2
(
n
n
+
2)!
)
2
(
!
)
2
2
(
n
n
+
3)!
)
4
3
(
!
)
2
3
(
+
+
n
n
e) Demostrar que:
1
⋅
1
!
+
2
⋅
2
!
+
3
⋅
3
!
+
...
+
n
⋅
n
!
=
(
n
+
1
)
!
−
1
∀
n
∈
N
,
n
≥
1
f) Demostrar que:
∀
n
∈
N
,
n
≥
4
se cumple:2
n<
n
!
g) Demostrar que
1 1
2
1
1
1
(
1)!
k n k n k
n
k
n
− − = =
+
=
−
−
∏
para todon
∈
N
,n
>
1
.Ejercicio 21 (*) (NÚMEROS COMBINATORIOS Y BINOMIO DE NEWTON) Los números combinatorios se representan con el símbolo n
k
C
o
k
n
y están definidos de la siguiente forma: s
Si
n
y
k
son números naturales yn
≥
k
definimos:!
!.
)
(
!
k
k
n
n
C
kn−
=
1) Usando la definición de número combinatorio, demostrar que los números combinatorios cumplen las siguientes propiedades:
a)
C
kn=
C
nn−k (Propiedad complementaria)b)
C
kn+
C
kn−1=
C
kn+1 (Propiedad de Stiefel) (Michael Stiefel matemático alemán 1487- 1567)2) Demostrar por el método de inducción completa que la siguiente igualdad es válida para cualquier par de números reales
a
yb
y para todo número naturaln
.
= −=
+
n k k k n nb
a
C
b
a
kn0
)
(
(Binomio de Newton)3) Usar todo lo anterior para demostrar que: kn n
n k
C
2
0=
=Ejercicio 22 (El principio de inducción completa no se puede generalizar para los números reales) Se considera la proposición:
∀
x
∈
R
se cumple:sen
(
x
π
)
=
0
a) Demostrar que la proposición es verdadera para
x
=
1
y que sisen
(
x
π
)
=
0
,∀
x
∈
N
entoncessen
[
(
x
+
1
)
π
]
=
0
6
ALGUNAS RESPUESTAS AL REPARTIDO DEL TEMA 5 PARTE 2)
Ejercicio 2: 1)
2
)
2
)(
1
(
)
(
.
...
)
3
(
)
2
(
)
(
a
d
a
d
a
d
a
nd
n
a
nd
a
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
3)
1 3 5 7 ... 2
+ + + + +
n
− =
1
n
2Ejercicio 3 a)
1
,
1
,
1
,
0
3
2
6
a
=
b
=
c
=
d
=
d)1383, 75
metros cuadradose)
0
3+
1
3+
2
3+
3
3+
...
...
....
+
n
32
(
1)
2
n n
+
=
Ejercicio 6
a) Si el número de vértices del polígono es
n
, entonces el númeroS
n de segmentos que se pueden trazar tomando como extremos dichos vértices es(
1)
2
n n
−
(Demostrarlo por inducción completa)
b) El número
S
n es la suma de los lados del polígono y el númeroD
n de diagonales entonces
(
1)
(
3)
2
2
n
n n
n n
D
=
−
− =
n
−
,∀ ∈
n
ℕ
,
n
≥
3
Llamemos
P n
( )
a la proposición(
3)
2
n
n n
D
=
−
,∀ ∈
n
ℕ
,
n
≥
3
Demostraremos que
P n
( )
es verdadera por inducción completa. Base inductiva:Si
n
=
3
, el polígono es un triángulo y no tiene diagonales, es decirD
3=
0
Por otra parte como
3(3 3)
0
2
− =
, queda demostrado queP
(3)
es verdadera.Hipótesis inductiva:
Supongamos que
P n
( )
es verdadera para cierto naturaln
≥
3
. Tesis inductiva:Demostraremos que
(
1) :
1(
1)(
2)
2
n
n
n
P n
+
D
+=
+
−
,∀ ∈
n
ℕ
,
n
≥
3
es verdadera.Demostración:
A partir de un polígono convexo de
n
lados podemos obtener otro polígono convexo den
+
1
lados agregando un vértice. El nuevo vértice incrementa un solo lado más al polígono y el número de diagonales se incrementa en(
n
− +
2) 1
.Por lo tanto, el número de diagonales del polígono convexo de
n
+
1
lados es: 1(
3)
(
1)
(
1)(
2)
2
2
n
n n
n
n
D
+=
−
− − =
n
+
−
Ejercicio 8
Llamemos
P N
( )
a la proposición: Cualquiera sea el número naturalN
>
7
, existen números naturalesm
yn
tales queN
=
3
m
+
5
n
Base inductiva:
P
(8)
es verdadera ya que8
= ⋅ + ⋅
3 1 5 1
Hipótesis inductiva: Supongamos que
P N
( )
es verdadera para un cierto naturalN
>
7
. Tesis inductiva: Demostraremos queP N
(
+
1)
es verdadera.Por hipótesis inductiva, cualquiera sea el número natural
N
>
7
, existen números naturalesm
yn
tales que3
5
N
=
m
+
n
.7 a)
n
=
0
∃ ∈
m
ℕ
,
m
≥
3 /
N
=
3
m
Por lo tanto,
N
+ =
1 3
m
+ =
1 3
m
+ − =
10 9
3(
m
− + ⋅
3) 2 5
Luego, existen números naturales
m
1= −
m
3
yn
1=
2
tales queN
=
3
m
1+
5
n
1b) Si
n
≥
1
N
=
3
m
+
5
n
N
+ =
1 3
m
+
5
n
+ =
1 3
m
+
5
n
+ − =
6 5
3(
m
+ +
2) 5(
n
−
1)
Luego, existen números naturales
m
1= +
m
2
yn
1= −
n
1
tales queN
=
3
m
1+
5
n
1A partir de a) y b) queda demostrada la tesis inductiva.
9 Ejercicio 21
