PR-2.- Sea f la función dada por

(1)

PRUEBA A

PROBLEMAS

PR-1.- PR-1.- Se considera el sistema , donde a es un parámetro real.

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= − +

= + +

2 2

2

0 4

z y x

z y ax

az y x

a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Resolver el sistema para a=1

( )

(

2 , ,2

)

2

4 2 2

1 )

min det . 0

2 4

0 0 0

1 0 0

1 1 1

2 2 4

1 0 0

1 1 1

6 4 4

3 0 0

2 0 0

1 1 1

2 0 4

1 2 2

1 1 1

1

2 4 4

0 0 0

5 6 0

1 2 2

2 0 4

1 2 2

4 4 2

1 2 2

2 0 4

1 2 2

2 2 1

1 2 2

2 0 4

1 2 2

1 1 2

1 2

1 1 1

2 1

min .

3 0

1 , 2 1

2 1 4 2 4

3 1

1 4

3 1 4

9 1

0 9 8 1 0

1 2

0 1

2 2

2 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1

2 2

2

λ λ

− ⇒

− = ⇒ = + + ⇒ = ⇒ =

⇒ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ ≡ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ ≡ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − − − ≡

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− −

=

⇒ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − − ≡

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − −

− ≡

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − −

− ≡

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − −

− − =

⇒ =

= ⇒

≠ ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧− − ℜ ∈ ∀

⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− = − = − =

= + = ⇒

± =

> = + = Δ ⇒ = − − ⇒ = ⇒

− − = + + − + − − = − − =

Solución y

x y

x z

a Cuando b

ado er

In Comp Sistema a

Cuando

le Incompatib Sistema

a Cuando

ado Deter

Comp Sistema incognitas

de Número A

rang A

a

a a a

a a A

Si a

a a a

a a

(2)

PR-2.- Sea f la función dada por 2 2.

)

(x e x x

f = −

a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas de f.

b) Determinar el número de soluciones de la ecuación f(x)=2 en el intervalo

[ ]

0,1.

(

)

(

)

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

ℜ ∈ ⇒ >

⇒ < ⇒ − > − ⇒ > −

ℜ ∈ ⇒ >

⇒ −

⇒ > ⇒

− = −

=

−

− −

x e

x x

x

e x x

f o e

x e

x x

f

x x

x x x

x

0 1 1

0 1

0 2

1 2 0 ) ( ' 1

2 2

2 ) ( '

2

2 2

2

2 2

2

)

< ℜ ∈

⇒

−

x x

Crecimient

x x

1 / 2

1

∞ −∞

2 > 0 ( + ) ( + )

x < 1 ( + ) ( - )

0 2

2x−x >

e ( + ) ( + )

Solución ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0

Creciente ∀x∈ℜ/x<1 Decreciente ∀x∈ℜ/x>1 Máximo en x = 1 f(1)=e2.1−12 =e en (1 , e) de creciente pasa a decreciente Asíntotas verticales no hay ya que el Dom(f) = ∀x∈ℜ

Asíntotas horizontales

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

₍

₎

( )

₍

₎

( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

₍

₎

(

−

)

± − ⎪⎧ = + −

±

> ⋅ − = Δ ⇒ = + − ⇒ = − ⋅ − ⇒ =

⇒ =

−∞ → ⇒

= ∞ = ⋅

= ∞ = =

=

∞ → ⇒

= ∞ ⋅ ∞ −

− −

− =

⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯ = ∞ ∞ =

= − =

⋅ −∞ = ⋅ −∞ = −

= ⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯ = ∞ ∞ = =

= ⇒ −∞ → ⇒

= ∞ = = =

= =

= ⇒ ∞ → ⇒

= ∞ = = =

=

− −

+ ∞

→ −

−

∞ → −

−∞ →

− ∞

→

− ∞ → ∞

− −

∞ → −

∞ →

∞ − +

− −

− ∞ → −

−∞ →

∞ − −

− ∞ →

∞ → ∞

→

0 2 ln 4 4 0

2 ln 2 0

2 ln ln 2

2 ln ln

2 )

0 1 1

lim 0 lim

lim

0 2 2

2 2 lim

2 2 lim 0 1

2 2 lim lim

0 0

1 lim

lim

0 0

1 lim

2 2

2

2 '

2 2

' 2

2 lim 2

2

2 lim 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

x x e

e b

x cuando existe

No e

x x

e x

e m

x cuando existe

No e

x

e x e

e x x

e m

oblícuas Asíntotas

y x

Cuando e

e e

e y

y x

Cuando e

e e

y

x x x

x

x x x

x x

x x x

x

x x x

Hopital L Apicando

x x x x

x

x Hopital L Apicando x

x

x x x

x x

x x x

x x

(3)

CUESTIONES

C-1.- .- Sean X una matriz 2×2, I la matriz identidad 2×2 y . Hallar X

sabiendo que

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

1 0

1 2

B I

B B

BX + = 2+

(

)

(

)

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝

⎛ ₊ ₋

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝

⎛ ₋

+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − + =

⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

⋅ = ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

= ⇒

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⇒ ⋅

=

⇒ ∃ ⇒ ≠ = =

⇒ − + = − + =

⇒ − + =

−

− −

−

1 0

2 1 2 3

1 0

2 1 1 2 1 1 1 0

0 1

1 0

2 1 2 1

1 0

1 2

2 0

1 1

2 1 2

0 1 1

1 1

0 2 1

0 2 1 0

1 2

1

1 1

2 1 2

I B B X

B adjB

B adjB B

B

B B

I B B B I B B X B I B BX

t t

t

C-2.- Determinar el punto simétrico de P(4,0,3) respecto del plano de ecuación x= y. Calcularemos la recta r que pasa por P y tiene como vector director el del plano dado (vector que es perpendicular al plano) y hallaremos el punto de intersección de esta con el plano que nos da el punto M, que es el punto medio entre P y su simétrico P’

(

)

(

)

'

(

0,4,3

)

3 3 3 . 2 2

3 3

4 2 . 2 2

0 2

0 4 2 . 2 2

4 2

3 , 2 , 2

3 2

2 4

3 0 4

0 , 1 , 1

' '

P z

z

y y

x x

M

z y x M z

y x r v

v

P P

P P r

⇒ ⎪

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= − = ⇒ + =

= = ⇒ + =

= − = ⇒ + = ⇒

⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= =

− = ⇒

− = ⇒ = − ⇒ − = + ⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= − =

+ = ≡ ⇒ −

=

= λ λ λ λ λ

λ π

C-3.- Determinar en qué puntos de la gráfica de la función , la recta tangente a la misma es paralela a la recta

1

3 2

3 − + +

=x x x

y

7

+ =x y

(

)

( )

(

)

⎩ ⎨ ⎧

− ⇒ − = + − = + + ⋅ − =

⇒ = + + ⋅ − =

⇒ ⎩

⎨ ⎧

= ⇒ = −

= ⇒

= − ⇒ = − ⇒ = + − ⇒ + − = ⇒ =

1 , 2 1 3 12 8 1 2 2 3 2 2

1 , 0 1 1 0 . 0 3 0 0

2 0

2 0 0

2 3 0 6 3 1 1 6 3 1 6 3 ' 1

2 3

2 2

2

f

x x

(4)

C-4.- Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación , el eje OX y

las rectas y

x y=ln

1 =

x x=2.

[

]

(

)

(

) (

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= = ⇒ =

= ⇒ =

− =

− − =

− −

= −

= =

∫

x dx v dv dx

x dx du u x

u dx

x dx x x x dx x A

ln

1 2 ln 2 1 2 2 ln 2 1

ln 1 2 ln 2 ln

ln 2

2

1 2

1

(5)

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- De una recta r se sabe que está contenida en el plano π de ecuación , que pertenece a r , y que el vector que une A y

0

= −y x

) 0 , 0 , 0 (

A B(1,0,−1) es perpendicular a r.

Determinar la recta r, y calcular la distancia entre r y el plano paralelo a que pasa por π B.

(

)

(

)

(

)

) (

)

(

)

u d

d

y x d

D D

y x B por pasa que Plano

c y x r v

b a b

a b

a

a b

a v

v v v v

AB

b a v c

b y

a x

r

r A r

r r

r

2 2

2 1

1 1

1 0 0

0 1 1

0 0

1 0 1

, 1 , 1

0 0

0

0 1 1

, 0 , 1 1 , , 0 . 1

, 0 , 1

1 , ,

0 0 0

2

2 =

− = +

− − = =

⇒ = − − ≡ ⇒ − = ⇒ = + − ⇒ = + − ⇒

⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= = = ≡ ⇒ ≡

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

= − = − ⋅

⇒ = ⇒

⊥ ⇒ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

− =

= ≡ ⇒

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ =

+ = ≡

α α

π π

π

α λ

λ λ

(6)

PR-2 Sea la función

4 )

( ₂

+ =

x x x

f . Se pide hallar:

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica.

b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x=−2,x=2.

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

ℜ ∈ ∀ ⇒ > +

< ℜ ∈ ∀ ⇒ < ⇒ − > − ⇒ > −

− > ℜ ∈ ∀ ⇒ − > ⇒ > +

⇒ > +

− ⋅ + ⇒ > ⇒

⇒ +

− ⋅ + = + − = +

− + =

x x

x

x x

x

x x

x f o Crecimient x

x x

x x x

xx x

x f

0 4

2 / 2

2 0

2

2 / 2

0 2

0 4

2 2

0 ) ( ' 4

2 2

4 4

4 2 4 )

( '

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

−∞ -2 2 ∞

x < -2 ( - ) ( + ) ( + )

x < 2 ( + ) ( + ) ( - )

(

x2 +4

)

>0 ( + ) ( + ) ( + )

Resultado ( - ) f’(x) < 0 ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0

Creciente ∀x∈ℜ/−2<x<2 Decreciente ∀x∈ℜ/

(

x<−2

) (

∪ x>2

)

Mínimo relativo en

( )

4

1

4 2

2 )

2 (

2 ₂ =−

+ −

− = − ⇒ −

= f

x de decreciente pasa a

creciente

Máximo relativo en

4 1 4 2

2 ) 2 (

2 ₂ =

+ = ⇒

= f

x de creciente pasa a decreciente

Asíntota vertical

ℜ ∉ ∀ ⇒ − ± = ⇒ − = ⇒ =

+ x x x

x2 4 0 2 4 4 No existen asíntotas verticales

Asíntota horizontal

0

0 0 1

0 4 1

1 4

1 1 lim 4

lim 4

lim 4 lim

0 0

0 1

0 4 1

1 4

1 1 lim 4

lim 4

lim

2 2

2

2 2

= ⇒ −∞ →

⇒ = + = ∞ +

∞ − = + − =

+ − =

∞ ∞ − = + − =

+ =

= ⇒ ∞ → ⇒

= + = ∞ +

∞ = + =

+ =

∞ ∞ = + =

∞ → ∞

→ ∞

→ −∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→

y x

Cuando

x x

x x x

x x

x x x

x y

y x

Cuando x

x

x x x

x x

x x y

x x

(7)

Continuación del Problema 2 de la opción B

Asíntota oblicua o inclinada

(

)

(

)

oblicuas asíntotas

existen No

x x

x x x

x x m

x x

x x x

x x m

x x

x

x x

x

⇒ = ∞ = + =

+ −

− =

+ =

= ∞ = + =

+ =

∞ → ∞

→ −∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→

0 1 4 1 lim 4 lim

4 lim

0 1 4 1 lim 4 lim

4 lim

2 2

2

2 2

2

-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

[ ]

(

)

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

= +

= = −

= =

+

=

∫

8 2

4 0

2 2

4

2 ln 4 8 ln 4 ln 8 ln ln

2 1 2 4

2 )

2

2 8

4 8

4 2

0 2

t x

dt xdx dt

xdx t

x

u t

t dt dt t dx x

x A

(8)

CUESTIONES

C-1.- Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz

(

)

(

)

{

}

( )

2 0

0 0

1 0 0

3 1 2

1 0 0

3 1 2

5 0 0

3 0 0

3 1 2

2 1 2

3 2 4

3 1 2

3

2

0 0 0

4 5 0

2 1 2

6 4 2

2 1 2

3 2 1

2 1 2

2

3 3

, 2

2 3

2 25 1 0

25 24 1 0

6 0

6 6

2 4 1

2 6 4 1

6 8

2 1 2

3 2 1

1 2

2 1 2

3 2 1

1 2

2 2

= ⇒

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− ≡

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − =

=

= ⇒

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝

⎛ −

≡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − −

− ≡

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

−

− =

= ⇒

− − ℜ ∈ ∀

⇒ ⎩

⎨ ⎧

− =

= ⇒ ±

= ⇒ > = + = Δ ⇒ = − − ⇒ = + + − ⇒ =

⇒ + + − = + − + − − = + − + + + − − = −

− + =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

+ =

A rang A

m Si

A rang A

m Si

A rang m

m m m

m A

Si

m m m

m m m m m

m m m

m A

m

m A

.

C-2.- Sea A el punto medio del segmento de extremos P(3,2,1) y Q(−1,0,1) )

. Calcular el volumen del tetraedro de vértices A, , y B(2,1,3) C(1,2,3) D(3,4,1 .

( )

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

3

3 5 10 6 1 6 4 6 1 0 3 2

2 1 0

2 0 1 6 1

0 , 3 , 2 1 , 1 , 1 1 , 4 , 3

2 , 1 , 0 1 , 1 , 1 3 , 2 , 1

2 , 0 , 1 1 , 1 , 1 3 , 1 , 2 6

1 1

, 1 , 1 1

2 1 1

1 2

0 2

1 2

1 3

u V

AD AC AB AD

AC AB V

A z

y x

A A A

= − ⋅ = − − ⋅ = ⋅

=

⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= −

=

= −

=

= −

= ⇒

× ⋅ ⋅ = ⇒ ⇒

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= + =

(9)

C-3.- Discutir si la ecuación x+sen x=2 tiene alguna solución real.

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

> − = − = − + = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

< − = − = − +

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

+ =

0 2

2 1

2 2 1 2 2 2 2

2

0 2 2 0 2 0 0

0

2 , 0 int

2

π π

π

sen f

ervalo el

en x sen x x f función la

de nulos valores haber

puede si

Estudiemos

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

2 ,

0 π

Teorema de conservación del signo

Si f(x) es continua en x0 y f

( )

x0 ≠0, entonces existe un entorno x0,

(

x0 −δ ,x0 +δ

)

≠0, en el que la función tiene el mismo signo que f

( )

x₀

(

)

, es decir

( )

[

f x

]

=sign

[

f

( )

x0

]

,∀x∈ x0 −δ , +δ

sign x0

Corolario: Si una funciónes continua en un punto , y toma valores negativos

ypositivos

0 x

( )

0 =−2

f

2 2 2

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛π π

f en todo entorno de x0entonces f

( )

x0 =0

Consecuencia de todo ello

Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo

[

sign f

( )

a ≠sign f

( )

b

]

, entonces existe, al menos, un punto c∈

(

a,b

)

tal que f (c) = 0

Como

( )

_⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣

⎡ ₌ −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≠

− =

2 2 2

2

0 sign f π π

f

sign , entonces existe, al menos, un punto ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ ∈

2 ,

0 π

c tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)

C-4.- Calcular, si existe, el valor de ₂

2

0

) (

lim

x e ex x

x

−

→

−

.

(

)(

)

(

) (

2

)

2

( )

1 1 4

2 lim 1

2 2 lim 0

0 0

lim 2

2 lim 0

0 0

) (

lim

0 0 2

2 0 2

2

0 '

0 0

2 2

0 0

' 2

2 0 0 2

2

0

= + = + = +

= +

= ⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯ = = − =

= − =

+ −

= ⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯ = = −

= −

− →

−

→

−

→ −

−

→ −

→

e e e

e e

e

x e e x

e e e e e

e x

e e

x x x

x x

x Hopital L Aplicando

x x

x x x x x

x Hopital L Aplicando x

x