Números reales 4ESO

Texto completo

(1)

C

C

l

l

a

a

s

s

i

i

f

f

i

i

c

c

a

a

c

c

i

i

ó

ó

n

n

d

d

e

e

N

N

ú

ú

m

m

e

e

r

r

o

o

s

s

R

R

e

e

a

a

l

l

e

e

s

s

Reales R

Racionales Q

Enteros Z

Naturales N

Negativos

Fraccionarios

Decimales Exactos

Decimales Periódicos Puros

Decimales Periódicos Mixtos

Irracionales Ι

R

Raacciioonnaalleess((

))

Son todos los números que puede expresarse como el cociente de dos nº enteros, siendo el denominador distinto de cero

Q = a

b a ∈ Z;b ∈ Z ;b≠0 → Q=

5 4,

-1 2,

-2 2, …

E

Enntteerrooss((ℤℤ))

Son los números sin parte decimal (positivos y negativos)

ℤ = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

N

Naattuurraalleess((ℕℕ))

Son los números enteros positivos. Existen los

cardinales (1, 2, 3,…) y los ordinales (1º, 2º, 3º,…)

ℕ= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

F

FrraacccciioonnaarriioossooDDeecciimmaalleess

E

Exxaaccttoo

2,25

P

PeerriióóddiiccooPPuurroo

2,25252525…  2,25

P

PeerriióóddiiccooMMiixxttoo

2,25813131313…  2,25813

I

Irrrraacciioonnaalleess ((

?

?

))

?

?

Son números decimales con un nº ilimitado de cifras decimales no periódicas, es decir, no se pueden expresar como fracción

2 = 1,414213562…

3= 1,732050808…

π = 3.141592654…

ϕ = 1+ 5

2 = 1.618033989…

e =2,718281828459045…

P

P

a

a

s

s

a

a

r

r

d

d

e

e

D

D

e

e

c

c

i

i

m

m

a

a

l

l

a

a

F

F

r

r

a

a

c

c

c

c

i

i

ó

ó

n

n

E

Exxaaccttoo PPeerriióóddiiccooPPuurroo PPeerriióóddiiccooMMiixxttoo

M

MééttooddooII MMééttooddooIIII MMééttooddooII MMééttooddooIIII MMééttooddooII MMééttooddooIIII

2.

38

N = 2.

38

2.

38

N = 2.

38

2.

3

8

N = 2.

3

8

238

1

00

=

119

50

1

00

N = 238

238-2

99

=

236

99

1

00

N = 238.38

238-2

3

9

0

=

215

90

=

43

18

10

N = 23.8

10 ·10N = 238.8

N =

238

100

=

119

50

100N = 238.38

-

N

=

2.38

100N

= 238.8

-

10N =

23.8

99N = 236

90N = 215

N =

236

99

N =

215

90

=

(2)

C

C

o

o

n

n

c

c

e

e

p

p

t

t

o

o

d

d

e

e

N

N

ú

ú

m

m

e

e

r

r

o

o

s

s

R

R

e

e

a

a

l

l

e

e

s

s

Es el conjunto de los números Racionales e Irracionales (son todos los nº!!!!!!)

Nos permiten hacer todas las operaciones, menos

nº < 0

PAR

y la división por cero

R

ReepprreesseennttaacciióónnddeeNNúúmmeerroossRReeaalleessssoobbrreellaaRReeccttaaRReeaall

E

EnntteerroossooDDeecciimmaalleess E

Exxaaccttooss DDeecciimmaalleessPPeerriióóddiiccooss

I

Irrrraacciioonnaalleess C

Cuuaaddrrááttiiccooss IIrrrraacciioonnaalleess::AApprrooxxiimmaacciióónn

1.83 = 11

6 =

11 6

1 5 = 1 + 5

6 5 = 22+12 2=1.414213562…

O

OppeerraacciioonneessddeeNNúúmmeerroossRReeaalleess

S

Suummaa::PPrrooppiieeddaaddeess

1. Interna: el resultado de sumar dos nº reales es otro número real: a + b

2. Asociativa: el modo de agrupar los sumandos no varía el resultado: (a + b) + c = a + (b + c)

3. Conmutativa: el orden de los sumandos no varía el resultado : a + b = b + a

4. El elemento neutro de la suma es el 0 porque todo nº sumado con él da el mismo nº: a + 0 = a

5. Elemento opuesto: dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

P

Prroodduuccttoo::PPrrooppiieeddaaddeess

1. Interna: el resultado de multiplicar dos números reales es otro número real: a · b

2. Asociativa: el modo de agrupar los factores no varía el resultado: (a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa: el orden de los factores no varía el producto: a · b = b · a

4. El elemento neutro de la multiplicación es el 1 porque todo nº multiplicado por él da el mismo nº: a ·1 = a

5. Elemento inverso: un nº es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad (1) : a · 1a

= 1

6. Distributiva: el producto de un nº por una suma es igual a la suma de los productos de dicho nº por cada uno de los sumandos: a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor común: es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor: a · b + a · c = a · (b + c)

R

Q

Z

N

I

0 1 2 3 4

3.4

1 2

0 22 2 12 5

1.3 1.4 1.5 1.6

0 1 2 3

(3)

D

Diiffeerreenncciiaa

a − b = a + (−b)

D Diivviissiióónn

Es el producto del dividendo por el inverso del divisor

10 ÷5= 10· 1 5 =

10 5 =2

I

I

n

n

t

t

e

e

r

r

v

v

a

a

l

l

o

o

Conjunto de nº reales comprendidos entre otros dos nº: a y b (extremos del intervalo)

Nombre Símbolo Significado Representación

I

InntteerrvvaallooAAbbiieerrttoo

(a, b)

x/a < x < b

I

InntteerrvvaallooCCeerrrraaddoo

[a, b]

x/a ≤ x ≤ b

I

InntteerrvvaallooSSeemmiiaabbiieerrttoo p

poorrllaaIIzzqquuiieerrddaa

(a, b]

x/a < x ≤ b

I

InntteerrvvaallooSSeemmiiaabbiieerrttoo p

poorrllaaDDeerreecchhaa

[a, b]

x/a ≤ x < b

S

S

e

e

m

m

i

i

r

r

r

r

e

e

c

c

t

t

a

a

Está determinada por un nº. En una semirrecta se encuentran todos los nº mayores (o menores) que él

Recta Real

ℝ = -∞,+∞

Nombre Símbolo Significado Representación

x

x<<aa

-∞, a

{x

R / -

< x < a}

x

xaa

-∞

,

a

{x

R / -

< x

a}

x

x>>aa

a, +∞

{x

R / a < x < +

}

x

xaa

a

,

+∞

{x

R / a

x < +

}

V

V

a

a

l

l

o

o

r

r

A

A

b

b

s

s

o

o

l

l

u

u

t

t

o

o

d

d

e

e

u

u

n

n

N

N

º

º

R

R

e

e

a

a

l

l

a =

-a si a<0

+a si a>0

3 = 3 -3 = 3

x = 3 x= -3

x=3

x > 3 x < ó-3 x > 3

 (-, -3)  (3, +)

x < 3 -3 < x < 3  x  (-3, 3)

x - 3 < 7 -7 < x - 3 < 7  -7 + 3 < x < 7 + 3  -4 < x < 10

a b

a b

a b

a b

a

a

a

(4)

P

Prrooppiieeddaaddeess

a = -a

a · b = a · b

a + b



a + b

D

Diissttaanncciiaa

d (a, b) = |b − a|

E

E

n

n

t

t

o

o

r

r

n

n

o

o

s

s

:

:

E

E

r

r

(

(

a

a

)

)

E

E

(

(

a

a

,

,

r

r

)

)

Un entorno de centro a y radio r, es el intervalo abierto

(a - r, a + r)

Er(a) = (a - r, a + r)

|x - a|< r

a - r < x < a + r

E

Ennttoorrnnoossllaatteerraalleess

P

Poorrllaaiizzqquuiieerrddaa

Er(a-) = (a - r, a]

P

Poorrllaaddeerreecchhaa

Er(a+) = [a, a + r)

E

Ennttoorrnnoorreedduucciiddoo

Se usa para saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto

E r*(a) = {x (a - r, a + r), x ≠ a}

P

P

o

o

t

t

e

e

n

n

c

c

i

i

a

a

s

s

a

0

= 1

a

1

= a

a

m

× a

n

= a

m+n

a

m

÷ a

n

= a

m-n

a

m n

= a

m×n

a × b

n

= a

n

× b

n

a ÷ b

n

= a

n

÷ b

n

a

-m

=

1

a

m

a

b

-m

=

b

a

m

=

b

m

a

m

a

+ r

- r

a

a - r

a

a + r

a

+ r

(5)

N

NoottaacciióónnCCiieennttííffiiccaa

2,75·1012 = 2.750.000.000.000 2,75·10-12 = 0,000000000275

S

SuummaayyRReessttaa

5,83·109+6,932·1012-7,5·1010=5,83·109+6932·109-75·109=6862,83·109=6,86283·1012

M

Muullttiipplliiccaacciióónn,,DDiivviissiióónnyyPPootteenncciiaa

5,8·109×6,9·1012= 5,8×6,9 ·109+12=40,02·1021=4,002·1022

5,8·109÷6,9·1012= 5,8÷6,9 ·109-12=0,84·10-3=8,4·10-4

5,8·109 2= 5,8 2· 109 2=33,64·1018=3,364·1019

R

R

a

a

í

í

c

c

e

e

s

s

Radicando

ÍNDICE

n

a

a ≥ 0 → ∃

+

a

n

-

n

a

a < 0 → ∃ raíz de índice impar

F

FoorrmmaaEExxppoonneenncciiaall

a

mn

= a

n m

P

Prrooppiieeddaaddeess

a

p

n×p

= a

n

a

n

× b

n

=

n

a × b

a

n

b

n

=

a

b

n m

n

a

=

m×n

a

: Raíz

a

n p

= a

n p

S

SuummaaooDDiiffeerreenncciiaa

8 + 18 + 4 2500 = 23 + 2 × 32 + 4 25 × 54 = 2 2 + 3 2 + 5 2 = 10 2

M

MuullttiipplliiccaacciióónnyyDDiivviissiióónn

M

MiissmmooÍÍnnddiiccee

3· 4 = 3·4= 12

R

Reedduucccciióónnaaíínnddiicceeccoommúúnn

22

3

÷ 4 33 → m.c.m 3, 4 =12 12 22 123 ÷ 12 33 124=12 22 4÷ 12 33 3 =12 28 ÷ 12 39 = 2

8

(6)

R

RaacciioonnaalliizzaacciióónnddeeDDeennoommiinnaaddoorreess

a b

a b ·

b b →

1 25 =

1 25 ×

25 25 =

25 5

a bc

m

a bc

m ·

a bm-c

m →

1 25

3 =

1 52

3 =

1 52

3 · 𝟓3-2

3

𝟓3-2

3 =

5

3

5

a

b+ c

a b+ c·

b- c b- c →

1 5 - 3=

1 5 - 3·

5+ 3 5+ 3 =

5+ 3

25 - 3 =

5+ 3

22

N

N

ú

ú

m

m

e

e

r

r

o

o

s

s

A

A

p

p

r

r

o

o

x

x

i

i

m

m

a

a

d

d

o

o

s

s

C

CiiffrraassSSiiggnniiffiiccaattiivvaass

Son los dígitos de un número que consideramos no nulos. Son las que se saben con exactitud

N

Noorrmmaa EEjjeemmpplloo

Todos los dígitos  0 1.457  4 cifras significativas 1

Los 0 situados entre 2 cifras significativas (nº  0) 1.407

4 cifras significativas

Los 0 a la izquierda de la primera cifra significativa (nº  0) 0.057  2 cifras significativas

Para nº > 1, los 0 a la derecha de la coma 3.00  3 cifras significativas

¡OJO!

Para nº sin coma decimal, los ceros posteriores a la última cifra  0, pueden o no considerarse significativos????

Se evita con la notación científica

3· 102 1 cifra significativa

3’0· 102 2 cifras significativas

R

Reeddoonnddeeoo

Redondeo con 3 cifras significativas o a las unidades:

123,421 ≅ 123,000 123,521 ≅ 124,000 123,721 ≅ 124,000

C

CoonnttrroollddeellEErrrroorrCCoommeettiiddoo

Error Absoluto = Valor Rea l- Valor Aproximado

Error Relativo =

Error Absoluto

Valor Real

(7)

L

L

o

o

g

g

a

a

r

r

i

i

t

t

m

m

o

o

s

s

log

a

x

=

y →

a

y

=

x

a>0

a≠0

log

2

4

=

2

2

2

=

4

P

Prrooppiieeddaaddeess

log

-a

x

log

a

-x

log

a

0

log

a

1

= 0

log

a

a

= 1

log

a

a

n

= n

log

a

x · y =

log

a

x

+

log

a

y

log

a

x

y

=

log

a

x

-

log

a

y

log

a

x

n

= n

log

a

x

log

a

n

x

=

1

n

log

a

x

C

Caammbbiiooddeebbaassee

log

a

x =

log

b

x

log

b

a

L

Looggaarriittmmoossddeecciimmaalleess

Base 10

log

10

x

=

log x

L

Looggaarriittmmoossnneeppeerriiaannooss

Base nº e

Ln

e

x

=

Ln x

Ln 1 = 0

Ln e = 1

Ln e

n

= n

Ln x

n

= n · Ln x

Ln x · y = Ln x + Ln y

Ln x

Ln y

= Ln x - Ln y

Ln

n

x

=

1

n

Ln x

log

a

x

= y

logaritmo

base

Figure

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Referencias

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