Problemas Movimiento Armónico Simple

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(1)

Problemas Movimiento Armónico Simple

1. Una partícula describe un M.A.S de pulsación w=2π rad/s. En un instante dado se activa el cronómetro. En ese momento la elongación que tiene un sentido de recorrido hacia elongaciones positivas, es la mitad de la máxima elongación y la velocidad es de 10 cm/s. Calcula:

a) la fase inicial

b) la aceleración en el instante t=0,1 s

𝜔 = 2𝜋𝑟𝑎𝑑

𝑠 , , 10 𝑐𝑚

𝑠 = 0,1 𝑚

𝑠

𝑡 = 0 ==> 𝑥0 = 𝐴

2 , , 𝑣 = 10 𝑐𝑚

𝑠

𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) ==> 𝐴

2 = 𝐴 sin(𝜔 · 0 + 𝜑0)

1

2= sin 𝜑0 ==> 𝜑0 = 30º = 𝜋 6 𝑟𝑎𝑑

𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 𝐴𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0) ==> 𝑣(0) = 𝐴𝜔 cos 𝜑0

0,1 = 𝐴 · 2𝜋 cos𝜋

6 ==> 0,1 = 𝐴 · 2𝜋 √3

2 ==> 𝟎, 𝟏

√𝟑𝝅𝒎 = 𝑨

𝑥 = 0,1

(2)

𝑡 = 0,1𝑠 ==> 𝑥 = 0,1

√3 𝜋 sin (2𝜋 · 0,1 + 𝜋 6)

𝑥 = 0,01679 … ==> 𝑎 = −𝜔2𝑥

𝑎 = −4𝜋2· 0,01679 𝑚

𝑠2 ==> 𝑎 = −0,663

𝑚 𝑠2

2. Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43.2 N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:

a) Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. b) Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante. c) Valores de t en los que la partícula pasa por el origen

m=0,3 kg K=43,2 N/m

A=0,2 m t=0  x=0,1 m

X=0,1

X= A sen (ωt+𝜑0)

(3)

0,3 kg

𝐹𝑟 = −𝑘𝑥 = 𝑚𝑎 ==> −𝑘𝑥 = 𝑚(−𝜔2𝑥) ==> 𝑘 = 𝑚 𝜔2

43,2 = 0,3 · 𝑤2 ==> 43,2

0,3 = 𝑤

2 ==> 144 = 𝑤2 ; 𝑤 = 12

t=0

𝑥 = 0,2 · 𝑆𝑒𝑛 (12 · 0 +𝜑0)

0,1 = 0,2 · 𝑆𝑒𝑛 𝜑

0

1

2 = sin𝜑0 ==> 𝜑0 =

𝜋

6 𝑟𝑎𝑑

𝑥(𝑡) = 𝐴 · 𝑆𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜋 6)

𝒙(𝒕) = 𝟎, 𝟐 𝐬𝐢𝐧 (𝟏𝟐𝒕 +𝝅 𝟔)

𝑣(𝑡) = 0,2 · 12 cos (12𝑡 + 𝜋 6)

𝒗(𝒕) = 𝟐, 𝟒 𝐜𝐨𝐬 (𝟏𝟐𝒕 + 𝝅 𝟔)

𝑎(𝑡) = −2,4 · [sin (12𝑡 + 𝜋

(4)

𝒂(𝒕) = −𝟐𝟖, 𝟖 𝐬𝐢𝐧 (𝟏𝟐𝒕 + 𝝅 𝟔)

𝐸𝑐 = 1

2𝑚 · 𝑣

2 = 1

2 𝑘 (𝐴

2 − 𝑥2)

 𝑚𝑣2 = 𝑚 · 𝜔2(𝐴2 − 𝑥2) ==> 𝑣 = 𝜔√(𝐴2 − 𝑥2)

Demostración Energía total elástica ∗ 1

2 𝑘𝑥

2 +1

2𝑚𝑣

2

1

2 𝑘𝑥

2 + 1

2 𝑚 · [𝜔√𝐴

2 − 𝑥2]2 ==> 1 2 𝑘𝑥

2 +1

2 𝑚 𝜔

2 (𝐴2 − 𝑥2)

 𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏

𝟐 𝒌 𝑨 𝟐

c).- En el origen x=0 

𝟎 = 𝑨𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟐𝒕 + 𝝅

𝟔) ,,A ≠ 𝟎 ==> 𝒔𝒆𝒏 (𝟏𝟐𝒕 + 𝝅

𝟔) = 0 ==> 𝟏𝟐𝒕 + 𝝅

𝟔 = ±𝝅𝒏 ==> 𝒕 =

(5)

3. Un cuerpo de 2 g, está unido a un muelle horizontal de constante k=5 N/m. El muelle se alarga 10 cm y se suelta en el instante inicial t=0.Hallar:

a) La frecuencia, el período y la amplitud del movimiento. Escribir la ecuación MAS. b) ¿En que instante pasa el cuerpo por primera vez por la posición del equilibrio?

𝑚 = 2𝑔 , , 𝑘 = 5𝑁

𝑚 , , 𝐴 = 10 𝑐𝑚

∆x =10 cm

(6)

𝑘 = 𝑚 𝜔2 ==> 𝑘

𝑚 = 𝜔

2 ==> 𝜔 = √𝑘

𝑚 ==> 𝜔 = √ 5 2 · 10−3

𝜔 = √2500 ==> 𝜔 = 50 𝑟𝑎𝑑

𝑠 ==> 𝜔 = 2𝜋

𝑇 ==> 𝑇 = 2𝜋

𝜔

𝑇 = 𝜋

25 𝑠 ==> 𝑓 = 25

𝜋 ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧

A=10 cm  A=0,1 m La ecuación del MAS, será

𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) 𝑥 = 0,1 sin (50𝑡 + 𝜋

2)

Posición de equilibrio: x=0 

(50𝑡 +𝜋

2) = 𝜋 ==> 50𝑡 = 𝜋 − 𝜋

2 ==> 𝒕 = +

(7)

4. Un muelle elástico de constante k=0,4 N/m está unido a una masa de m=25g.En el instante inicial su posición es x=5cm y su velocidad v=-20√3cm/s. Calcular:

a) Período de la oscilación

b) Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración de este MAS.

c) El (los) instante (s) en el que el móvil pasa por el origen, x=0, y su velocidad.

𝑘 = 0,4 𝑁

𝑚 ==> 𝑚 = 25𝑔 = 𝑚 = 25 · 10

−3𝑘𝑔

𝑡 = 0 ==> 𝑥 = 5 · 10−2 𝑚 ,, 𝑣 = 20√3 𝑐𝑚/𝑠

(∗) {𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) , , 𝑥(0) = 𝑣(𝑡) = 𝐴𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0)

Ley de Hoocke

𝐹 = −𝑘𝑥 = 𝑚𝑎 ==> 𝐹 = −𝑘𝑥 = 𝑚(−𝜔2𝑥) ==> 𝑘 = 𝑚𝜔2

Por lo tanto: 0,4 = 25 · 10−3 · 𝜔2 ==> 0,4

25·10−3 = 𝜔

2 ==> 0,4·103 25 = 𝜔

2

==> 400 25 = 𝜔

2 ==> 𝜔 = 20

5 ==> 𝝎 = 𝟒

(8)

𝑣𝑜 = 20√3 𝑐𝑚

𝑠 ==> 𝑣𝑜 = 0,2√3 𝑚

𝑠

De (*)

{ 𝑥(0) = 𝐴 sin 𝜑0 ==> 5 · 𝜔

−2 = 𝐴 sin 𝜑 0

𝑣(0) = 𝐴𝜔 sin 𝜑0 ==> 0,2√3 = 𝐴𝜔 cos 𝜑0

5 · 10−2

20 · √3 · 10−2 =

𝐴 sin 𝜑0 𝐴𝜔 cos 𝜑0

==> 1

4√3 = 1

4 𝑡𝑔 𝜑0 ==> 𝑡𝑔𝜑0 = 1

√3 ==> 𝜑0 = 30º ==> 𝜑0 = 𝜋

6 𝑟𝑎𝑑

𝑥(𝑡) = 𝐴 sin (4𝑡 +𝜋 6)

𝑣(𝑡) = 𝐴𝜔 cos (4𝑡 + 𝜋 6)

𝑡 = 0 ==> 5 · 10−2 = 𝐴 sin𝜋

6 ==> 5 · 10

−2 = 𝐴 ·1

(9)

𝑡𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 ==> 4𝑡 + 𝜋

6 = ±𝑛𝜋 ==> 4𝑡 = ±𝑛𝜋 − 𝜋 6

𝑡 = ±𝑛𝜋 − 𝜋 6 4

5. Un cuerpo de 10 g de masa se desplaza con un MAS de 80 Hz de frecuencia y con de 1m de amplitud. Calcula:

a) La energía potencial cuando la elongación es igual a 70 cm.

b) El módulo de la velocidad cuando se encuentra en esa posición.

c) El módulo de la aceleración en esa posición.

𝑚 = 10𝑔 ==> 𝑚 = 10 · 10−3 𝑘𝑔 ==> 𝑚 = 10−2 𝑘𝑔 𝑓 = 80 𝐻𝑧 , , 𝐴 = 1 𝑚

¿ 𝐸𝑝(𝑥 = 0,7)? 𝑣(𝑥 = 0,7) , , 𝑎(𝑥 = 0,7)

Resolución

𝜔 = 2𝜋

𝑇 ==> 𝜔 = 2𝜋𝑓 ==> 𝜔 = 2𝜋 · 80

𝜔 = 160 𝜋 𝑟𝑎𝑑

𝑠 ==> 𝑘 = 𝑚 · 𝜔

(10)

𝐸𝑝 = 1 2 𝑘 𝑥

2 ==> 𝐸

𝑝(𝑥=0,7) =

1 2 · 10

−2 (160𝜋)2 · 0,72

==> 𝐸𝑝(𝑥=0,7) = 1263,3 𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠

a) 𝐸𝑝(𝐴) = 1

2 𝑘 · 𝐴

2 ==> 𝐸

𝑝(𝐴) = 1 2 · 10

−2(160𝜋)3 · 1

𝐸𝑝(𝐴) = 1804,72

b) 𝑣 = 𝜔√𝐴2 − 𝑥2 ==> 𝑣 = 160𝜋√12 − 0,72

𝑣 = 358,97𝑚 𝑠

6. Un punto material de 20 g de masa oscila con un MAS de amplitud 2 cm y frecuencia 10 oscilaciones/s coincidiendo el inicio de los tiempos con el punto donde la velocidad es nula. Calcular:

a) Velocidad y aceleración máximas

(11)

𝑚 = 20𝑔𝑟 ==> 𝑚 = 20 · 10−3 𝑘𝑔 𝐴 = 20 𝑐𝑚 ==> 𝐴 = 0,2 𝑚

𝑓 = 10 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑠 ==> 𝑇 = 1

𝑓 ==> 𝑇 = 1

10 𝑠 , , 𝑇 = 0,1𝑠 (𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜)

𝜔 = 2𝜋

𝑇 ==> 𝜔 = 2𝜋

0,1 ==> 𝜔 = 20𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0)

𝑡 = 0 , 𝑣 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑎 . 𝐸𝑛 𝑥 = 𝐴

𝐴 = 𝐴 sin(20 · 0 + 𝜑0) ==> 1 = sin 𝜑0 ==> 𝜑0 =

𝜋

2 𝑟𝑎𝑑

𝑥 = 0,2 sin (20𝜋𝑡 +𝜋

2)

a) Velocidad y aceleración máximas

𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 0,2 · 20𝜋 cos (20𝜋𝑡 + 𝜋 2)

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 4𝜋𝑚 𝑠

𝑎 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = −0,2 · (20𝜋)

2 · sin (20𝜋𝑡 +𝜋

2) ==> 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 80𝜋

2 𝑚

(12)

b) Velocidad y aceleración en el instante t=1/120s

𝑣 (𝑡) = 4𝜋 cos (20𝜋𝑡 +𝜋

2)

𝑣 ( 1

120) = 4𝜋 cos ( 20𝜋·1

120 + 𝜋

2) ==> 𝑣 ( 1

120) = 4𝜋 cos ( 𝜋 6 +

𝜋 2)

 𝑣 ( 1

120) = 4𝜋 cos 4𝜋

6 ==> 𝑣 ( 1

120) = 4𝜋 cos 2𝜋

3

𝑣 ( 1

120) = −2𝜋 𝑚

𝑠

𝑎 (𝑡) = 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = −4𝜋 · 20𝜋

2 sin (20𝜋𝑡 +𝜋

2)

𝑎 ( 1

120) = −80𝜋

2 sin (20𝜋 · 1

120+ 𝜋 2)

𝑎 ( 1

120) = −80𝜋

2 sin2𝜋

3 ==> 𝒂 (

𝟏

𝟏𝟐𝟎) = −𝟒𝟎√𝟑 𝝅 𝟐 𝒎

𝒔𝟐

c.) Energía mecánica : 𝐸𝑚𝑒𝑐 = 1

(13)

𝐾 = 𝑚 · 𝜔2 ==> 𝐾 = 2 · 10−2· (20𝜋)2

𝐾 = 8𝜋2 𝑁

𝑚

𝐸𝑚𝑒𝑐 = 1 2 8𝜋

2 · 0,22 𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠

 𝑬𝒎𝒆𝒄 = 𝟎, 𝟏𝟔𝝅𝟐 𝒋

7. Un punto material de 500 g describe un MAS de 10 cm de amplitud realizando 2 oscilaciones completas cada segundo. Calcular:

a.)La elongación de dicho punto en el instante 0,5 s después de alcanzar la máxima separación.

b.)La velocidad y aceleración de 0,5 s después de alcanzar la máxima separación.

c.)Energía cinética que tendrá el móvil al pasar por la posición de equilibrio.

𝑚 = 500 𝑔 ==> 𝑚 = 0,5 𝑘𝑔

𝐴 = 10 𝑐𝑚 ==> 𝐴 = 0,1 𝑚

𝑓 = 2 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 ==> 𝑇 = 1 2 𝑠

𝜔 = 2𝜋

𝑇 ==> 𝜔 = 2𝜋

1 2

(14)

𝑡 = 0 ==> 𝑥 = 𝐴 ==> 𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0)

𝐴 = 𝐴 sin(𝜔 · 0 + 𝜑0) ==> 1 = sin 𝜑0 ==> 𝜑0 = 𝜋

2 𝑟𝑎𝑑

a) La elongación de dicho punto en el instante 0,5 s después de alcanzar la máxima separación.

𝑥 = 0,1 sin (4𝜋𝑡 + 𝜋

2) ==> 𝑥 ( 1

2) = 0,1 (sin 4𝜋 · 1 2+

𝜋 2)

𝒙 (𝟏

𝟐) = 𝟎, 𝟏 𝒎

b) La velocidad y aceleración de 0,5 s después de alcanzar la máxima separación.

𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 0,1 · 4𝜋 cos (4𝜋𝑡 + 𝜋 2)

𝑣(0,5) = 0,4𝜋 cos (4𝜋 · 0,5 +𝜋

2) ==> 𝑣(0,5) = 0 𝑚

𝑠 (𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜)

𝑎 (𝑡) = 𝑑𝑣

(15)

𝑎(0,5) = −1,6𝜋2sin (4𝜋 · 0,5 + 𝜋

2) ==> 𝒂(𝟎, 𝟓) = −𝟏, 𝟔 𝝅

𝟐 𝒎 𝒔

c).- Energía cinética que tendrá el móvil al pasar por la posición de equilibrio.

𝑉𝑚𝑎𝑥 ==> 𝐸𝑐 = 1 2 𝑚𝑣

2

𝐸𝑐 = 1

2· 0,5 · (0,4𝜋)

2 𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠

𝑬𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟒𝝅𝟐 𝒋

8. Un péndulo tiene una longitud de 1m y un cuerpo colgado en su extremo de 1 kg, es desviado de su posición de equilibrio quedando suelto a medio metro de altura. Calcula:

a.) Su velocidad en el punto más bajo aplicando el principio de conservación de la energía mecánica.

cos 𝜑 =

𝑙 2

𝑙 ==> cos 𝜑 = 1 2

==> 𝜑 = 60º = 𝜋

3 𝑟𝑎𝑑

⅟2m ϕ T 𝐹𝑦=𝑇 Fy

(16)

1kg P=mg

En el punto más alto:

𝐸𝑝0= 𝑚𝑔ℎ ==> 𝐸𝑝0 = 1 · 9,8 · 0,5 ==> 𝐸𝑝0 = 4,9 𝑗 𝐸𝑐0 = 0 ,, 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4,9 𝑗

En el punto más bajo:

ℎ = 0 ,, 𝐸𝑝 ==> 𝐸𝑐 = 1 2 𝑚𝑣

2 ==> 1

2 · 1𝑣

2 = 1𝑔ℎ

 𝑣2 = 2𝑔ℎ ==> 𝑣 = √2𝑔ℎ ==> 𝑣 = √2 · 9,8 ·1

2

 𝒗 = √𝟗, 𝟖 𝒎𝒔 como consecuencia del principio de la conservación de la energía mecánica: en la máxima altura energía potencial. Y en la mínima energía cinética.

b.) su velocidad valorando la aplicación de las ecuaciones del MAS

(17)

𝐴 = 𝜑 · 𝑙 ==> 𝐴 = 𝜋

3 · 1 ==> 𝐴 = 𝜋 3 𝑚 𝐹𝑗 = 𝑇 (𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒)

𝐹𝑥 = 𝑃 sin 𝜑 ==> 𝐹𝑥 = 𝑚𝑔 sin 𝜑 = 𝑚𝑎 ==> 𝑚𝑔 sin 𝜑 = 𝑚(−𝜔2𝑥)

Para ángulos ϕ, pequeños el sin 𝜑 ≅ 𝜑 ==> −𝑚𝑔𝜑 = −𝑚𝜔2𝑥

==> 𝑔 𝑙 = 𝜔

2 ==> 𝜔 = √𝑔

𝑙

𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) ==> 𝑥 = 𝜋

3 sin (√ 𝑔

𝑙 𝑡 + 𝜋 3)

b) 𝑥 = 𝜋

3 sin (√ 𝑔

𝑙 𝑡 + 𝜋 2)

𝜔 = √𝑔 𝑙 =

2𝜋

𝑇 ==> 𝑇 = 2𝜋√ 𝑙 𝑔

𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡 ==> 𝑣 = 𝜋 3 √

𝑔

𝑙 cos (√ 𝑔

(18)

En el punto más bajo, tenemos el máximo valor de v, lo que alcanzamos cuando el coseno valga 1.

Siendo entonces 𝑣 = 𝜋

3 √ 𝑔

𝑙 ==> 𝑣 = 𝜋 3 √

𝑔

𝑙 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑙 = 1

Que es lo que teníamos casi por energías.

Nos daba allí 𝑣 = √𝑔 𝑚𝑠 y como MAS ,, 𝑣 = 3,14

3 √ 𝑔

𝑙

==> 𝑣 = 1,05√𝑔 𝑙

𝑚

𝑠 ==>

𝜋√𝑔

3√𝑙 = √𝑔 ==> 𝜋

3 = √𝑙 ==> 𝒍 =

𝝅𝟐 𝟗 𝒎

9. En el sistema de la figura, un cuerpo de 2 kg se mueve m/s sobre un plano horizontal.

a.) Determinar la velocidad del cuerpo al comprimirse 1 cm en el resorte, de constante k=10000 N.m-1 (sin fricción).

𝐾 = 10.000 𝑁. 𝑚2

V=3m/s

2 Kg

(19)

1 cm

𝐸𝑐0 = 1

2 𝑚𝑣0

2 ==> 𝐸 𝑐0 =

1

2 · 2 · 3

2 ==> 𝐸

𝑐0 = 9 𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠

La energía cinética inicial se transforma en energía potencial elástica total al comprimir el resorte:

𝑏) 𝐸𝑐0 = 𝐸𝑝𝑜𝑡.𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1

2 𝐾 · 𝐴

2 ==> 9 = 1

2· 10.000 · 𝐴

2

==> 18

10.000 = 𝐴

2 ==> 𝐴 = 3√2

100 𝑚

a.) a.) Determinar la velocidad del cuerpo al comprimirse1 cm en el resorte, de constante k=10000 N.m-1 (sin fricción).

𝐸𝑐𝑥 + 𝐸𝑝𝑥 = 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝐸𝑐𝑥 +1

2 𝑘 · 𝑥

2 = 1

2 𝑘 · 𝐴

2 ==> 𝐸 𝑐𝑥 =

1

2 𝑘 · 𝐴

2 1

2 𝑘 · 𝑥

(20)

==> 𝐸𝑐𝑥 = 1

2 𝑘 (𝐴

2 − 𝑥2) ==> 𝐸 𝑐𝑥 =

1

2 10000 (

9 · 2 10000−

1 10000)

𝐸𝑐𝑥 = 5000

10000 (18 − 1) ==> 𝐸𝑐𝑥 = 1

2 · 17 𝑗

𝐸𝑐𝑥 = 17

2 =

1

2 · 2 · 𝑣

2 ==> 𝑣 = √17

2 𝑚

𝑠 ==> 𝑣 = 1

2√34 𝑚

𝑠

c.)¿A qué distancia se igualan las energías cinética y potencial del resorte?

𝐸𝑐 + 𝐸𝑝𝑒 = 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ,, 𝐸𝑐 = 𝐸𝑝𝑒

2𝐸𝑐 = 9 ==> 𝐸𝑐 = 𝐸𝑝𝑒 = 4,5 𝑗

𝐸𝑝𝑒 = 4,5 = 1

2 10000 · 𝑥

2 ==> 9

10000 = 𝑥

2 ==> 𝑥 = 3

100 𝑚

(21)

10. Un objeto de 1,4 kg de masa se une a un muelle de constante elástica 15 N/m. Calcula la velocidad máxima del objeto cuando el sistema vibra con una amplitud de 2,0 cm. ¿Cuál es el valor de las energías cinética y potencial elástica cuando el objeto se encuentra a 1 cm de la posición central de vibración?

K=15N/m

a) 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1

2 𝐾 · 𝐴

2 ==> 𝐸

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1

2· 15 · 0,02 2

𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0,0030𝑗

𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 =𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ==> 𝐸𝑐 = 0,0030 − 1

2· 15 · 0,01 2

𝐸𝑐 = 3 · 10−3− 7,5 · 10−4 = 30 · 10−4− 7,5 · 10−4 ==> 22,5 · 10−4𝑗

𝐸𝑐 = 22,5 · 10−4 = 1

2· 1,4 · 𝑣

2 ==> 45 · 10 −4

1,4 = 𝑣

2

𝑣 = √32,14 · 10−4 ==> 𝒗 = 𝟓, 𝟔𝟕

𝟏𝟎𝟎 𝒎

𝒔

(22)

b) 𝐸𝑝𝑒 = 1

2 · 𝑘 · 𝑥

2 ==> 1

2· 15 · (10

−2)2 = 7,5 · 10−4 𝑗

𝐸𝑐 = 0,0030 − 7,5 · 10−4 ==> 𝐸𝑐 = 0,00225 𝑗

11. Un péndulo está calibrado para realizar una oscilación completa 1 s en un lugar en el que la aceleración de la gravedad es g=9,8 m/s2. ¿Cuánto retrasará o adelantará al cabo de un día cuando se traslade a un lugar en el que la aceleración de la gravedad es g=9,7 m/s2?

1 seg en una oscilación completa

𝑇 = 1 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜

𝑇 = 2𝜋√𝑙

𝑔 ==> 1 = 2𝜋√ 𝑙

9,8 ==> 𝑇

= 2𝜋√ 𝑙

(23)

𝑇′ 1 =

2𝜋√9,7𝑙

2𝜋√9,8𝑙

==> 𝑇′ = √9,8 9,7

Error: 𝑇′ = 2𝜋√ 𝑙

9,7

√9,8

9,7 = 2𝜋√ 𝑙

9,7 ==> √9,8

2𝜋 = √𝑙 ==> 𝑙 = 9,8 4𝜋2 𝑚

Error: 𝑇′ − 1 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

E total  (√9,89,7 − 1) · 24ℎ ·3600𝑠

ℎ ==> 𝑒 = (√ 9,8

9,7 − 1) · 86400

Figure

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