Problemas Movimiento Armónico Simple
1. Una partícula describe un M.A.S de pulsación w=2π rad/s. En un instante dado se activa el cronómetro. En ese momento la elongación que tiene un sentido de recorrido hacia elongaciones positivas, es la mitad de la máxima elongación y la velocidad es de 10 cm/s. Calcula:
a) la fase inicial
b) la aceleración en el instante t=0,1 s
𝜔 = 2𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑠 , , 10 𝑐𝑚
𝑠 = 0,1 𝑚
𝑠
𝑡 = 0 ==> 𝑥0 = 𝐴
2 , , 𝑣 = 10 𝑐𝑚
𝑠
𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) ==> 𝐴
2 = 𝐴 sin(𝜔 · 0 + 𝜑0)
1
2= sin 𝜑0 ==> 𝜑0 = 30º = 𝜋 6 𝑟𝑎𝑑
𝑣 = 𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 𝐴𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0) ==> 𝑣(0) = 𝐴𝜔 cos 𝜑0
0,1 = 𝐴 · 2𝜋 cos𝜋
6 ==> 0,1 = 𝐴 · 2𝜋 √3
2 ==> 𝟎, 𝟏
√𝟑𝝅𝒎 = 𝑨
𝑥 = 0,1
𝑡 = 0,1𝑠 ==> 𝑥 = 0,1
√3 𝜋 sin (2𝜋 · 0,1 + 𝜋 6)
𝑥 = 0,01679 … ==> 𝑎 = −𝜔2𝑥
𝑎 = −4𝜋2· 0,01679 𝑚
𝑠2 ==> 𝑎 = −0,663
𝑚 𝑠2
2. Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle elástico de constante k=43.2 N/m y describe un movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que el instante t=0 se encuentra a 10 cm del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:
a) Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. b) Las energías potencial, cinética y total en el instante inicial y en cualquier instante. c) Valores de t en los que la partícula pasa por el origen
m=0,3 kg K=43,2 N/m
A=0,2 m t=0 x=0,1 m
X=0,1
X= A sen (ωt+𝜑0)
0,3 kg
𝐹𝑟 = −𝑘𝑥 = 𝑚𝑎 ==> −𝑘𝑥 = 𝑚(−𝜔2𝑥) ==> 𝑘 = 𝑚 𝜔2
43,2 = 0,3 · 𝑤2 ==> 43,2
0,3 = 𝑤
2 ==> 144 = 𝑤2 ; 𝑤 = 12
t=0
𝑥 = 0,2 · 𝑆𝑒𝑛 (12 · 0 +𝜑0)
0,1 = 0,2 · 𝑆𝑒𝑛 𝜑0
1
2 = sin𝜑0 ==> 𝜑0 =
𝜋
6 𝑟𝑎𝑑
𝑥(𝑡) = 𝐴 · 𝑆𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜋 6)
𝒙(𝒕) = 𝟎, 𝟐 𝐬𝐢𝐧 (𝟏𝟐𝒕 +𝝅 𝟔)
𝑣(𝑡) = 0,2 · 12 cos (12𝑡 + 𝜋 6)
𝒗(𝒕) = 𝟐, 𝟒 𝐜𝐨𝐬 (𝟏𝟐𝒕 + 𝝅 𝟔)
𝑎(𝑡) = −2,4 · [sin (12𝑡 + 𝜋
𝒂(𝒕) = −𝟐𝟖, 𝟖 𝐬𝐢𝐧 (𝟏𝟐𝒕 + 𝝅 𝟔)
𝐸𝑐 = 1
2𝑚 · 𝑣
2 = 1
2 𝑘 (𝐴
2 − 𝑥2)
𝑚𝑣2 = 𝑚 · 𝜔2(𝐴2 − 𝑥2) ==> 𝑣 = 𝜔√(𝐴2 − 𝑥2)
Demostración Energía total elástica ∗ 1
2 𝑘𝑥
2 +1
2𝑚𝑣
2
1
2 𝑘𝑥
2 + 1
2 𝑚 · [𝜔√𝐴
2 − 𝑥2]2 ==> 1 2 𝑘𝑥
2 +1
2 𝑚 𝜔
2 (𝐴2 − 𝑥2)
𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏
𝟐 𝒌 𝑨 𝟐
c).- En el origen x=0
𝟎 = 𝑨𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟐𝒕 + 𝝅
𝟔) ,,A ≠ 𝟎 ==> 𝒔𝒆𝒏 (𝟏𝟐𝒕 + 𝝅
𝟔) = 0 ==> 𝟏𝟐𝒕 + 𝝅
𝟔 = ±𝝅𝒏 ==> 𝒕 =
3. Un cuerpo de 2 g, está unido a un muelle horizontal de constante k=5 N/m. El muelle se alarga 10 cm y se suelta en el instante inicial t=0.Hallar:
a) La frecuencia, el período y la amplitud del movimiento. Escribir la ecuación MAS. b) ¿En que instante pasa el cuerpo por primera vez por la posición del equilibrio?
𝑚 = 2𝑔 , , 𝑘 = 5𝑁
𝑚 , , 𝐴 = 10 𝑐𝑚
∆x =10 cm
𝑘 = 𝑚 𝜔2 ==> 𝑘
𝑚 = 𝜔
2 ==> 𝜔 = √𝑘
𝑚 ==> 𝜔 = √ 5 2 · 10−3
𝜔 = √2500 ==> 𝜔 = 50 𝑟𝑎𝑑
𝑠 ==> 𝜔 = 2𝜋
𝑇 ==> 𝑇 = 2𝜋
𝜔
𝑇 = 𝜋
25 𝑠 ==> 𝑓 = 25
𝜋 ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧
A=10 cm A=0,1 m La ecuación del MAS, será
𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) 𝑥 = 0,1 sin (50𝑡 + 𝜋
2)
Posición de equilibrio: x=0
(50𝑡 +𝜋
2) = 𝜋 ==> 50𝑡 = 𝜋 − 𝜋
2 ==> 𝒕 = +
4. Un muelle elástico de constante k=0,4 N/m está unido a una masa de m=25g.En el instante inicial su posición es x=5cm y su velocidad v=-20√3cm/s. Calcular:
a) Período de la oscilación
b) Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración de este MAS.
c) El (los) instante (s) en el que el móvil pasa por el origen, x=0, y su velocidad.
𝑘 = 0,4 𝑁
𝑚 ==> 𝑚 = 25𝑔 = 𝑚 = 25 · 10
−3𝑘𝑔
𝑡 = 0 ==> 𝑥 = 5 · 10−2 𝑚 ,, 𝑣 = 20√3 𝑐𝑚/𝑠
(∗) {𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) , , 𝑥(0) = 𝑣(𝑡) = 𝐴𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0)
Ley de Hoocke
𝐹 = −𝑘𝑥 = 𝑚𝑎 ==> 𝐹 = −𝑘𝑥 = 𝑚(−𝜔2𝑥) ==> 𝑘 = 𝑚𝜔2
Por lo tanto: 0,4 = 25 · 10−3 · 𝜔2 ==> 0,4
25·10−3 = 𝜔
2 ==> 0,4·103 25 = 𝜔
2
==> 400 25 = 𝜔
2 ==> 𝜔 = 20
5 ==> 𝝎 = 𝟒
𝑣𝑜 = 20√3 𝑐𝑚
𝑠 ==> 𝑣𝑜 = 0,2√3 𝑚
𝑠
De (*)
{ 𝑥(0) = 𝐴 sin 𝜑0 ==> 5 · 𝜔
−2 = 𝐴 sin 𝜑 0
𝑣(0) = 𝐴𝜔 sin 𝜑0 ==> 0,2√3 = 𝐴𝜔 cos 𝜑0
5 · 10−2
20 · √3 · 10−2 =
𝐴 sin 𝜑0 𝐴𝜔 cos 𝜑0
==> 1
4√3 = 1
4 𝑡𝑔 𝜑0 ==> 𝑡𝑔𝜑0 = 1
√3 ==> 𝜑0 = 30º ==> 𝜑0 = 𝜋
6 𝑟𝑎𝑑
𝑥(𝑡) = 𝐴 sin (4𝑡 +𝜋 6)
𝑣(𝑡) = 𝐴𝜔 cos (4𝑡 + 𝜋 6)
𝑡 = 0 ==> 5 · 10−2 = 𝐴 sin𝜋
6 ==> 5 · 10
−2 = 𝐴 ·1
𝑡𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 ==> 4𝑡 + 𝜋
6 = ±𝑛𝜋 ==> 4𝑡 = ±𝑛𝜋 − 𝜋 6
𝑡 = ±𝑛𝜋 − 𝜋 6 4
5. Un cuerpo de 10 g de masa se desplaza con un MAS de 80 Hz de frecuencia y con de 1m de amplitud. Calcula:
a) La energía potencial cuando la elongación es igual a 70 cm.
b) El módulo de la velocidad cuando se encuentra en esa posición.
c) El módulo de la aceleración en esa posición.
𝑚 = 10𝑔 ==> 𝑚 = 10 · 10−3 𝑘𝑔 ==> 𝑚 = 10−2 𝑘𝑔 𝑓 = 80 𝐻𝑧 , , 𝐴 = 1 𝑚
¿ 𝐸𝑝(𝑥 = 0,7)? 𝑣(𝑥 = 0,7) , , 𝑎(𝑥 = 0,7)
Resolución
𝜔 = 2𝜋
𝑇 ==> 𝜔 = 2𝜋𝑓 ==> 𝜔 = 2𝜋 · 80
𝜔 = 160 𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑠 ==> 𝑘 = 𝑚 · 𝜔
𝐸𝑝 = 1 2 𝑘 𝑥
2 ==> 𝐸
𝑝(𝑥=0,7) =
1 2 · 10
−2 (160𝜋)2 · 0,72
==> 𝐸𝑝(𝑥=0,7) = 1263,3 𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠
a) 𝐸𝑝(𝐴) = 1
2 𝑘 · 𝐴
2 ==> 𝐸
𝑝(𝐴) = 1 2 · 10
−2(160𝜋)3 · 1
𝐸𝑝(𝐴) = 1804,72
b) 𝑣 = 𝜔√𝐴2 − 𝑥2 ==> 𝑣 = 160𝜋√12 − 0,72
𝑣 = 358,97𝑚 𝑠
6. Un punto material de 20 g de masa oscila con un MAS de amplitud 2 cm y frecuencia 10 oscilaciones/s coincidiendo el inicio de los tiempos con el punto donde la velocidad es nula. Calcular:
a) Velocidad y aceleración máximas
𝑚 = 20𝑔𝑟 ==> 𝑚 = 20 · 10−3 𝑘𝑔 𝐴 = 20 𝑐𝑚 ==> 𝐴 = 0,2 𝑚
𝑓 = 10 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑠 ==> 𝑇 = 1
𝑓 ==> 𝑇 = 1
10 𝑠 , , 𝑇 = 0,1𝑠 (𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜)
𝜔 = 2𝜋
𝑇 ==> 𝜔 = 2𝜋
0,1 ==> 𝜔 = 20𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0)
𝑡 = 0 , 𝑣 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑎 . 𝐸𝑛 𝑥 = 𝐴
𝐴 = 𝐴 sin(20 · 0 + 𝜑0) ==> 1 = sin 𝜑0 ==> 𝜑0 =
𝜋
2 𝑟𝑎𝑑
𝑥 = 0,2 sin (20𝜋𝑡 +𝜋
2)
a) Velocidad y aceleración máximas
𝑣 = 𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 0,2 · 20𝜋 cos (20𝜋𝑡 + 𝜋 2)
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 4𝜋𝑚 𝑠
𝑎 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡 = −0,2 · (20𝜋)
2 · sin (20𝜋𝑡 +𝜋
2) ==> 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 80𝜋
2 𝑚
b) Velocidad y aceleración en el instante t=1/120s
𝑣 (𝑡) = 4𝜋 cos (20𝜋𝑡 +𝜋
2)
𝑣 ( 1
120) = 4𝜋 cos ( 20𝜋·1
120 + 𝜋
2) ==> 𝑣 ( 1
120) = 4𝜋 cos ( 𝜋 6 +
𝜋 2)
𝑣 ( 1
120) = 4𝜋 cos 4𝜋
6 ==> 𝑣 ( 1
120) = 4𝜋 cos 2𝜋
3
𝑣 ( 1
120) = −2𝜋 𝑚
𝑠
𝑎 (𝑡) = 𝑑𝑣
𝑑𝑡 = −4𝜋 · 20𝜋
2 sin (20𝜋𝑡 +𝜋
2)
𝑎 ( 1
120) = −80𝜋
2 sin (20𝜋 · 1
120+ 𝜋 2)
𝑎 ( 1
120) = −80𝜋
2 sin2𝜋
3 ==> 𝒂 (
𝟏
𝟏𝟐𝟎) = −𝟒𝟎√𝟑 𝝅 𝟐 𝒎
𝒔𝟐
c.) Energía mecánica : 𝐸𝑚𝑒𝑐 = 1
𝐾 = 𝑚 · 𝜔2 ==> 𝐾 = 2 · 10−2· (20𝜋)2
𝐾 = 8𝜋2 𝑁
𝑚
𝐸𝑚𝑒𝑐 = 1 2 8𝜋2 · 0,22 𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠
𝑬𝒎𝒆𝒄 = 𝟎, 𝟏𝟔𝝅𝟐 𝒋
7. Un punto material de 500 g describe un MAS de 10 cm de amplitud realizando 2 oscilaciones completas cada segundo. Calcular:
a.)La elongación de dicho punto en el instante 0,5 s después de alcanzar la máxima separación.
b.)La velocidad y aceleración de 0,5 s después de alcanzar la máxima separación.
c.)Energía cinética que tendrá el móvil al pasar por la posición de equilibrio.
𝑚 = 500 𝑔 ==> 𝑚 = 0,5 𝑘𝑔
𝐴 = 10 𝑐𝑚 ==> 𝐴 = 0,1 𝑚
𝑓 = 2 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 ==> 𝑇 = 1 2 𝑠
𝜔 = 2𝜋
𝑇 ==> 𝜔 = 2𝜋
1 2
𝑡 = 0 ==> 𝑥 = 𝐴 ==> 𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0)
𝐴 = 𝐴 sin(𝜔 · 0 + 𝜑0) ==> 1 = sin 𝜑0 ==> 𝜑0 = 𝜋
2 𝑟𝑎𝑑
a) La elongación de dicho punto en el instante 0,5 s después de alcanzar la máxima separación.
𝑥 = 0,1 sin (4𝜋𝑡 + 𝜋
2) ==> 𝑥 ( 1
2) = 0,1 (sin 4𝜋 · 1 2+
𝜋 2)
𝒙 (𝟏
𝟐) = 𝟎, 𝟏 𝒎
b) La velocidad y aceleración de 0,5 s después de alcanzar la máxima separación.
𝑣 = 𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 0,1 · 4𝜋 cos (4𝜋𝑡 + 𝜋 2)
𝑣(0,5) = 0,4𝜋 cos (4𝜋 · 0,5 +𝜋
2) ==> 𝑣(0,5) = 0 𝑚
𝑠 (𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜)
𝑎 (𝑡) = 𝑑𝑣
𝑎(0,5) = −1,6𝜋2sin (4𝜋 · 0,5 + 𝜋
2) ==> 𝒂(𝟎, 𝟓) = −𝟏, 𝟔 𝝅
𝟐 𝒎 𝒔
c).- Energía cinética que tendrá el móvil al pasar por la posición de equilibrio.
𝑉𝑚𝑎𝑥 ==> 𝐸𝑐 = 1 2 𝑚𝑣
2
𝐸𝑐 = 1
2· 0,5 · (0,4𝜋)
2 𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠
𝑬𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟒𝝅𝟐 𝒋
8. Un péndulo tiene una longitud de 1m y un cuerpo colgado en su extremo de 1 kg, es desviado de su posición de equilibrio quedando suelto a medio metro de altura. Calcula:
a.) Su velocidad en el punto más bajo aplicando el principio de conservación de la energía mecánica.
cos 𝜑 =
𝑙 2
𝑙 ==> cos 𝜑 = 1 2
==> 𝜑 = 60º = 𝜋
3 𝑟𝑎𝑑
⅟2m ϕ T 𝐹𝑦=𝑇 Fy
1kg P=mg
En el punto más alto:
𝐸𝑝0= 𝑚𝑔ℎ ==> 𝐸𝑝0 = 1 · 9,8 · 0,5 ==> 𝐸𝑝0 = 4,9 𝑗 𝐸𝑐0 = 0 ,, 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4,9 𝑗
En el punto más bajo:
ℎ = 0 ,, 𝐸𝑝 ==> 𝐸𝑐 = 1 2 𝑚𝑣
2 ==> 1
2 · 1𝑣
2 = 1𝑔ℎ
𝑣2 = 2𝑔ℎ ==> 𝑣 = √2𝑔ℎ ==> 𝑣 = √2 · 9,8 ·1
2
𝒗 = √𝟗, 𝟖 𝒎𝒔 como consecuencia del principio de la conservación de la energía mecánica: en la máxima altura energía potencial. Y en la mínima energía cinética.
b.) su velocidad valorando la aplicación de las ecuaciones del MAS
𝐴 = 𝜑 · 𝑙 ==> 𝐴 = 𝜋
3 · 1 ==> 𝐴 = 𝜋 3 𝑚 𝐹𝑗 = 𝑇 (𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒)
𝐹𝑥 = 𝑃 sin 𝜑 ==> 𝐹𝑥 = 𝑚𝑔 sin 𝜑 = 𝑚𝑎 ==> 𝑚𝑔 sin 𝜑 = 𝑚(−𝜔2𝑥)
Para ángulos ϕ, pequeños el sin 𝜑 ≅ 𝜑 ==> −𝑚𝑔𝜑 = −𝑚𝜔2𝑥
==> 𝑔 𝑙 = 𝜔
2 ==> 𝜔 = √𝑔
𝑙
𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) ==> 𝑥 = 𝜋
3 sin (√ 𝑔
𝑙 𝑡 + 𝜋 3)
b) 𝑥 = 𝜋
3 sin (√ 𝑔
𝑙 𝑡 + 𝜋 2)
𝜔 = √𝑔 𝑙 =
2𝜋
𝑇 ==> 𝑇 = 2𝜋√ 𝑙 𝑔
𝑣 = 𝑑𝑥
𝑑𝑡 ==> 𝑣 = 𝜋 3 √
𝑔
𝑙 cos (√ 𝑔
En el punto más bajo, tenemos el máximo valor de v, lo que alcanzamos cuando el coseno valga 1.
Siendo entonces 𝑣 = 𝜋
3 √ 𝑔
𝑙 ==> 𝑣 = 𝜋 3 √
𝑔
𝑙 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑙 = 1
Que es lo que teníamos casi por energías.
Nos daba allí 𝑣 = √𝑔 𝑚𝑠 y como MAS ,, 𝑣 = 3,14
3 √ 𝑔
𝑙
==> 𝑣 = 1,05√𝑔 𝑙
𝑚
𝑠 ==>
𝜋√𝑔
3√𝑙 = √𝑔 ==> 𝜋
3 = √𝑙 ==> 𝒍 =
𝝅𝟐 𝟗 𝒎
9. En el sistema de la figura, un cuerpo de 2 kg se mueve m/s sobre un plano horizontal.
a.) Determinar la velocidad del cuerpo al comprimirse 1 cm en el resorte, de constante k=10000 N.m-1 (sin fricción).
𝐾 = 10.000 𝑁. 𝑚2
V=3m/s
2 Kg
1 cm
𝐸𝑐0 = 1
2 𝑚𝑣0
2 ==> 𝐸 𝑐0 =
1
2 · 2 · 3
2 ==> 𝐸
𝑐0 = 9 𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠
La energía cinética inicial se transforma en energía potencial elástica total al comprimir el resorte:
𝑏) 𝐸𝑐0 = 𝐸𝑝𝑜𝑡.𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1
2 𝐾 · 𝐴
2 ==> 9 = 1
2· 10.000 · 𝐴
2
==> 18
10.000 = 𝐴
2 ==> 𝐴 = 3√2
100 𝑚
a.) a.) Determinar la velocidad del cuerpo al comprimirse1 cm en el resorte, de constante k=10000 N.m-1 (sin fricción).
𝐸𝑐𝑥 + 𝐸𝑝𝑥 = 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝐸𝑐𝑥 +1
2 𝑘 · 𝑥
2 = 1
2 𝑘 · 𝐴
2 ==> 𝐸 𝑐𝑥 =
1
2 𝑘 · 𝐴
2 −1
2 𝑘 · 𝑥
==> 𝐸𝑐𝑥 = 1
2 𝑘 (𝐴
2 − 𝑥2) ==> 𝐸 𝑐𝑥 =
1
2 10000 (
9 · 2 10000−
1 10000)
𝐸𝑐𝑥 = 5000
10000 (18 − 1) ==> 𝐸𝑐𝑥 = 1
2 · 17 𝑗
𝐸𝑐𝑥 = 17
2 =
1
2 · 2 · 𝑣
2 ==> 𝑣 = √17
2 𝑚
𝑠 ==> 𝑣 = 1
2√34 𝑚
𝑠
c.)¿A qué distancia se igualan las energías cinética y potencial del resorte?
𝐸𝑐 + 𝐸𝑝𝑒 = 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ,, 𝐸𝑐 = 𝐸𝑝𝑒
2𝐸𝑐 = 9 ==> 𝐸𝑐 = 𝐸𝑝𝑒 = 4,5 𝑗
𝐸𝑝𝑒 = 4,5 = 1
2 10000 · 𝑥
2 ==> 9
10000 = 𝑥
2 ==> 𝑥 = 3
100 𝑚
10. Un objeto de 1,4 kg de masa se une a un muelle de constante elástica 15 N/m. Calcula la velocidad máxima del objeto cuando el sistema vibra con una amplitud de 2,0 cm. ¿Cuál es el valor de las energías cinética y potencial elástica cuando el objeto se encuentra a 1 cm de la posición central de vibración?
K=15N/m
a) 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1
2 𝐾 · 𝐴
2 ==> 𝐸
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1
2· 15 · 0,02 2
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0,0030𝑗
𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 =𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ==> 𝐸𝑐 = 0,0030 − 1
2· 15 · 0,01 2
𝐸𝑐 = 3 · 10−3− 7,5 · 10−4 = 30 · 10−4− 7,5 · 10−4 ==> 22,5 · 10−4𝑗
𝐸𝑐 = 22,5 · 10−4 = 1
2· 1,4 · 𝑣
2 ==> 45 · 10 −4
1,4 = 𝑣
2
𝑣 = √32,14 · 10−4 ==> 𝒗 = 𝟓, 𝟔𝟕
𝟏𝟎𝟎 𝒎
𝒔
b) 𝐸𝑝𝑒 = 1
2 · 𝑘 · 𝑥
2 ==> 1
2· 15 · (10
−2)2 = 7,5 · 10−4 𝑗
𝐸𝑐 = 0,0030 − 7,5 · 10−4 ==> 𝐸𝑐 = 0,00225 𝑗
11. Un péndulo está calibrado para realizar una oscilación completa 1 s en un lugar en el que la aceleración de la gravedad es g=9,8 m/s2. ¿Cuánto retrasará o adelantará al cabo de un día cuando se traslade a un lugar en el que la aceleración de la gravedad es g=9,7 m/s2?
1 seg en una oscilación completa
𝑇 = 1 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
𝑇 = 2𝜋√𝑙
𝑔 ==> 1 = 2𝜋√ 𝑙
9,8 ==> 𝑇
′ = 2𝜋√ 𝑙
𝑇′ 1 =
2𝜋√9,7𝑙
2𝜋√9,8𝑙
==> 𝑇′ = √9,8 9,7
Error: 𝑇′ = 2𝜋√ 𝑙
9,7
√9,8
9,7 = 2𝜋√ 𝑙
9,7 ==> √9,8
2𝜋 = √𝑙 ==> 𝑙 = 9,8 4𝜋2 𝑚
Error: 𝑇′ − 1 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
E total (√9,89,7 − 1) · 24ℎ ·3600𝑠
ℎ ==> 𝑒 = (√ 9,8
9,7 − 1) · 86400
