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Uso de Estrategias Constructivistas en la Enseñanza de la
Resolución de Problemas Algebraicos -Edición Única
Title
Uso de Estrategias Constructivistas en la Enseñanza de la
Resolución de Problemas Algebraicos -Edición Única
Authors
Delia Isabel Díaz Mérito Bou
Affiliation
Tecnológico de Monterrey, Universidad Virtual
Issue Date
2009-04-01
Discipline
Ciencias Sociales / Social Sciences
Item type
Tesis
Rights
Open Access
Downloaded
18-Jan-2017 17:17:04
Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación
Uso de Estrategias Constructivistas en la Enseñanza
de la Resolución de Problemas Algebraicos
Delia Isabel Díaz Mérito Bou
Asesor tutor:
Mtra. Elvira Guadalupe Rincón F.
Asesor titular:
Dra. Ángeles Domínguez Cuenca
Tesis
que para obtener el grado de:
Maestría en Educación
Presenta:
Uso de Estrategias Constructivistas en la Enseñanza
de la Resolución de Problemas Algebraicos
Tesis presentada
por
Delia Isabel Díaz Mérito Bou
ante la Universidad Virtual
del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
como requisito parcial para optar
por el título de
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
Uso de Estrategias Constructivistas en la Enseñanza
de la Resolución de Problemas Algebraicos
Resumen
El presente trabajo muestra las diferentes etapas de la investigación sobre el uso de estrategias
constructivistas en la enseñanza de resolución de problemas algebraicos en estudiantes de nivel medio
superior para revisar las diferencias entre la enseñanza de la resolución de problemas algebraicos con el
uso de metodología tradicional y con el uso de estrategias constructivistas de aprendizaje colaborativo y
la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo, ver de de qué forma el uso de
dichas estrategias constructivistas favorece el aprendizaje sobre la resolución de problemas y apoya a
las alumnas en la transferencia de los conocimientos a problemas de contexto y de que manera estas
estrategias constructivistas contribuyen a que el estudiante mejore el rendimiento académico al resolver
problemas similares a los desarrollados en el experimento y extender sus estrategias a problemas
nuevos? Para el estudio se tomaron dos grupos en una escuela de la ciudad de México, uno de control
en el que se impartió la clase con metodología tradicional, y otro experimental en el cual se trabajó bajo
un enfoque constructivista aplicando las estrategias de aprendizaje colaborativo y el estímulo a la
autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo. El tema que se abordó para la
investigación fue la resolución de problemas matemáticos que involucran ecuaciones de primer grado.
Se efectuaron entrevistas previas y posteriores al experimento, con el fin de identificar diferencias
cualitativas en la forma en que las alumnas resuelven los problemas matemáticos, y se aplicó un examen
al término del tema enseñado para valorar y comparar resultados. Al analizar los datos obtenidos, el
estudio encontró que las estudiantes que tomaron la clase con enfoque constructivista reflejaron un
mejor desempeño durante el experimento, mostraron una actitud más activa y en clases tuvieron menos
dudas que las estudiantes de la clase tradicional. Al estar motivadas, fueron responsables en todas las
índice de Contenidos
Introducción 1 Capítulo 1. NATURALEZA Y DIMENSIÓN DEL TEMA DE INVESTIGACIÓN
Introducción 3 1.1 Marco contextual 3
1.1.1 Reseña histórica del modelo educativo 4
1.1.2 Metodología de la clase 6 1.2 Antecedentes del problema 7
1.3 Planteamiento del problema 10 1.4 Objetivos de la investigación 11 1.5 Supuesto de la investigación y justificación 12
1.6 Limitaciones y delimitaciones 12
1.7 Definición de términos 13
Capítulo 2. REVISIÓN DE LA LITERATURA
Introducción 16 2.1 Antecedentes de la investigación 16
2.2 La didáctica de las matemáticas 22
2.3 Constructivismo 26 2.3.1 Constructivismo en matemáticas 29
2.3.2 Aprendizaje colaborativo 31 2.3.3 Metacognición, como autorregulación del aprendizaje 34
Capítulo 3. METODOLOGÍA
Introducción 39 3.1 Diseño de la investigación 39
3.2 Contexto Sociodemográfico 46
3.3 Participantes 47 3.4 Tema, categorías e indicadores de estudio 48
3.5 Instrumentos 48 3.5.1 Técnicas de recolección y captura de datos 49
Capítulo 4. ANÁLISIS DE DATOS
Introducción 53
4.1 Resultados 5 3
4.1.1 Entrevistas previas 53 4.1.2 Las clases y el examen 60 4.1.3 Las entrevistas posteriores 66
4.2 Análisis de resultados 70 4.2.1 Entrevistas 70 4.2.2 Las clases y el examen 73
Capítulo 5. CONCLUSIONES
Introducción 77 5.1 Hallazgos 77 5.2 Implicaciones de la investigación 82
Referencias 85
Apéndice A 9 0
Apéndice B 9 2
índice de tablas y figuras
Tabla 1. Fases del estudio 40
Tabla 2. Resultados de la resolución del primer problema 56
Tabla 3. Comentarios de las alumnas en el primer problema 57
Tabla 4. Resultados de la resolución del segundo problema 58
Tabla 5. Comentarios de las alumnas 59
Figura 1. Calificaciones del examen del grupo de control 63
Figura 2. Calificaciones del examen del grupo experimental 63
Figura 3. Puntos obtenidos por problema 64
Figura 4. Estrategia de autorregulación del aprendizaje 65
Tabla 6. Resultados de la resolución del problema del desinfectante 68
Introducción
La resolución de problemas en matemáticas siempre ha sido una de las áreas que se dificulta al
aprenderla. Los alumnos muchas veces no saben como comenzar cuando se les presenta un problema
en el que tienen que utilizar los conceptos adquiridos en la clase, por lo que es importante continuar en la
búsqueda de estrategias que permitan apoyar la enseñanza de la resolución de problemas.
El presente estudio de investigación busca analizar la relación entre eñ uso en la enseñanza de
estrategias constructivistas como el aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como
parte del proceso metacognitivo en el desempeño de la resolución de problemas matemáticos, así como
la transferencia de los conceptos matemáticos aprendidos en el aula a situaciones de la vida cotidiana.
La investigación tiene como objetivos encontrar diferencias en el aprendizaje de resolución de
problemas usando dos metodologías de enseñanza: la tradicional y con el uso de estrategias
constructivistas como el aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como parte del
proceso metacognitivo, ver de que forma el uso de dichas estrategias apoya a las alumnas en la
transferencia de los conocimientos a problemas de contexto con respecto a la enseñanza tradicional del
mismo tema; así como identificar si las estudiantes pueden resolver problemas similares a los
desarrollados en el experimento y extender sus estrategias a problemas nuevos.
Para encontrar la relación entre el uso de las estrategias y la resolución de problemas, se utilizó
un grupo de control y otro experimental al que se aplicaron las estrategias antes mencionadas para
verificar las diferencias en su desempeño, también se realizaron entrevistas a alumnas de ambos
grupos, antes y después del experimento para comparar la forma en que resuelven problemas
matemáticos.
Se presentan cinco capítulos en los que se detallan las fases de la investigación. En el primer
capítulo se presenta el planteamiento del problema, se analiza la situación actual sobre la enseñanza de
las matemáticas, el entorno en el que se va a desarrollar la investigación y se presenta la hipótesis a ser
En el segundo capítulo se presenta una revisión de la literatura, se presenta una síntesis de los
estudios realizados sobre el tema, seguido de una revisión de la literatura al respecto que da los
fundamentos teóricos a la investigación.
El capítulo de metodología (Capítulo III), muestra el diseño detallado de la investigación, el
contexto en el que se desarrolló la misma, así cómo las participantes y los instrumentos utilizados en la
investigación, su diseño, pruebas y forma de análisis.
El Capítulo IV detalla los resultados obtenidos, tanto de las entrevistas como la forma en que se
manejaron las clases y los resultados de los exámenes. Se finaliza con el análisis de dichos resultados.
Se concluye el trabajo, en el Capítulo V, revisando los objetivos de la investigación y la
confirmación de la hipótesis, se mencionan los hallazgos obtenidos y sus implicaciones, así como
CAPITULO 1
NATURALEZA Y DIMENSIÓN DEL TEMA DE INVESTIGACIÓN
Introducción
En el presente capítulo se hace un análisis del problema de investigación que llevó a plantear la
pregunta de investigación que rige este trabajo. En el marco contextual se especifican las características
del colegio en el que se desarrolló la investigación, haciendo una reseña histórica del modelo educativo
del colegio y la metodología didáctica de sus clases. Se desarrollan los antecedentes y el planteamiento
del problema revisando la situación actual de la enseñanza en la resolución de problemas matemáticos y
se plantea la posible pregunta que pueda generar un nuevo conocimiento o uno que profundice sobre el
tema, a partir del cual se definieron los objetivos y la hipótesis a ser comprobada sobre la relación entre
el uso del aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje en la enseñanza de resolución de
problemas. Finalmente se presentan la justificación de la investigación, sus limitantes y un glosario de
términos.
1.1 Marco Contextual.
La resolución de problemas matemáticos, mediante ecuaciones algebraicas de primer grado, se
estudia en los ciclos consecutivos de tercero de secundaria de la Secretaria de Educación Pública y
primer año de preparatoria de la Escuela Nacional Preparatoria, programa propuesto por la Universidad
Nacional Autónoma de México, por lo que el presente estudio se realizó en alumnas que al principio de la
investigación se encontraban en tercero de secundaria y pasaron a primer año de preparatoria.
El colegio en el que se realizó la investigación forma parte de una red de colegios de religiosas a
nivel mundial. Es un colegio para mujeres que tiene desde preescolar hasta el nivel medio superior. Es
una escuela particular dirigida hacia la clase social media, media alta y alta ubicada en el sur del Distrito
Federal. Es una escuela particular dirigida hacia la clase social media, media alta y alta. El modelo
educativo del colegio busca favorecer las siguientes áreas de trabajo: espiritual, intelectual, social
afectiva, artística, cultural y física. Los niveles de preescolar, primaria y secundaria están incorporadas a
la Secretaria de Educación Pública, mientras que la preparatoria a la Escuela Nacional Preparatoria de la
en el que los dos primeros las materias son iguales para todas las alumnas y en el tercer año, cada
alumna escoge un área de conocimiento dependiendo de sus gustos y habilidades.
Las participantes en la investigación fueron adolescentes entre 14 y 16 años, de clase media a
media alta. En la primera etapa de la investigación las alumnas cursaban tercero de secundaria, mientras
que en las dos siguientes ya estaban en primer año de preparatoria.
1.1.1 Reseña histórica del modelo educativo.
Ante los cambios e innovaciones que se han dado en la educación, el colegio donde se realizó la
investigación optó hace varios años por modificar su curriculum y actualmente cuenta con una
metodología propia de enseñanza basada en las teorías del constructivismo social de Vigotsky y una
metodología didáctica con base en los principios de mediación de Feuerstein, certificada por la
Universidad Panamericana. En ella se ve al educador como un mediador del aprendizaje y se promueve
por medio del aprendizaje colaborativo el desarrollo de la metacognición, la comprensión y el uso
habilidades del pensamiento, al mismo tiempo que se aprenden los contenidos académicos desde una
visión humanista y ética.
El curriculum actual esta integrado por:
• Los perfiles de egreso en función a las habilidades y competencias que se desea desarrollar
en las alumnas por área y por nivel.
• La metodología didáctica que incluye el diseño de la clase, planeaciones y estrategias
usando diferentes métodos didácticos para las clases. La transversalidad, la comprensión,
la mediación, transferencia y metacognición son los parámetros centrales para definir dicha
didáctica.
• La reestructuración de los contenidos, tomando como base los programas institucionales,
para conjugarlos con los perfiles de egreso a través del uso de mapas semánticos de
macroconceptos.
Las clases se imparten en tres etapas de acuerdo con los tres momentos del acto mental
propuestos por Feuerstein, presentados por Prieto (1989): entrada, elaboración y salida, promoviendo de
El desarrollo de la metodología de enseñanza propia del colegio inició en el año de 1998 con la
introducción de un programa de desarrollo de habilidades del pensamiento, en el que las alumnas tenían
una clase extra llamada Hábil. Al darse cuenta que se necesitaba más que una clase aparte y que era
necesario promover las habilidades como un proceso formativo y significativo, se decidió organizar
grupos de academias entre los profesores para analizar y discutir literatura sobre Vigotsky, Feuerstein,
Gardner y Guilford entre otros.
En 1999 se tomó la decisión de crear un proyecto educativo propio, construido de manera
colegiada, deliberativo, y haciendo énfasis en las necesidades de cada sección o nivel educativo. Se
crearon entonces de manera formal cinco academias de profesores: Ciencias Sociales, Ciencias
Naturales, Matemáticas, Comunicación y Desarrollo de Habilidades del Pensamiento, así como un
departamento formal de Psicopedagogía.
Para el ciclo escolar 2000 - 2001 se presentó un plan de trabajo que incorporó estrategias de
enseñanza vinculadas a los perfiles de egreso el cual tomó como base los ejes transversales de
Educación para la Formación Profesional, Educación para la salud y cuidado del medio, Educación para
los medios de comunicación, Educación para el reconocimiento de la identidad y Educación para la
Justicia y la Paz. Ese mismo año se retomó el concepto de mediación y se desarrolló la metodología de
enseñanza a implementarse en el aula, tomando como base los principios de Feuerstein sobre los
momentos del acto mental y los ejes transversales.
Para el año 2003, se contó con el apoyo de un despacho externo de educación y de una
Universidad particular para lograr la certificación de la capacitación de los profesores y el avance del
proyecto en los aspectos mencionados anteriormente. Se inició en ese año la capacitación para
maestros y para finales del curso escolar 2004 - 2005 más del 75% de los docentes se encontraban
certificados para impartir la metodología didáctica del colegio.
Actualmente se cuenta con un documento formal que contiene la metodología que se aplica en la
enseñanza, los perfiles de egreso de cada una de las áreas de formación y por niveles, definidos en
función a competencias y los mapas semánticos de macroconceptos en todas las áreas. Actualmente, se
Ciencias Sociales, Ciencias Naturales y Comunicación, que continúan trabajando sobre el desarrollo y
mejoras del proyecto.
En el presente ciclo escolar (2008-2009) se realiza una evaluación sobre el impacto del modelo
aplicado. Se revisan los formatos de las clases y los logros obtenidos. También se buscan estrategias
que mejoren el aprendizaje significativo de las alumnas en todas las áreas.
Esta investigación busca analizar el uso de estrategias constructivistas en la enseñanza de
resolución de problemas matemáticos para aportar una herramienta en la materia y que pueda ser usada
por maestros de matemáticas.
1.1.2 Metodología de la clase
Una clase del colegio debe ser diseñada por cada uno de los maestros, bajo los fundamentos
teóricos de Feuerstein presentados por Prieto (1989), que propone que el acto de la inteligencia se da en
tres pasos: entrada, elaboración y salida. Específicamente en el aula, en la etapa de entrada, se revisan
los objetivos de la clase, se motiva a las alumnas hacia el conocimiento a partir de un desajuste o
desequilibrio, haciendo preguntas detonadoras. En la etapa de elaboración se desarrolla el tema,
tomando en cuentas que el aprendizaje está centrado en el alumno, razón por la cual el profesor tiene el
papel de mediador y provoca la construcción de conocimientos y el aprendizaje significativo de los
alumnos. Esta segunda etapa se fundamenta en las teorías de Vigotsky acerca de la zona de desarrollo
próximo y andamiaje. Finalmente, en la etapa de salida se lleva a cabo un cierre de la clase, desde tres
puntos de vista:
1. Contenido: haciendo que las alumnas verbalicen sobre los conocimientos adquiridos y la
obtención de principios.
2. Operaciones y habilidades mentales: estimulando en las alumnas la metacognición, es decir, que
logren reflexionar sobre su proceso de aprendizaje para que aprendan a aprender y manejen
cada vez con mayor naturalidad el lenguaje del pensamiento.
3. Transferencia: haciendo que las alumnas encuentren utilidad y aplicación a los conocimientos
adquiridos, buscando su uso en otras actividades diferentes a las propuestas en clase, en
Para impartir la clase también se toman en cuenta, a la hora de la planeación, los ejes transversales
de la institución.
1.2 Antecedentes del problema
La aplicación de las matemáticas como una herramienta para resolver problemas de contexto es
de gran importancia en el contexto mundial actual. Esto, se aprecia en la relevancia que le da la OCDE
(Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos) en uno de sus últimos ejercicios de
evaluación, el Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes (PISA). Esta evaluación es un
proceso de colaboración entre treinta países miembros y cerca de otros treinta países no miembros
orientado hacia el diseño de políticas. Es un esfuerzo internacional sin precedentes, que reúne la
experiencia científica de los países participantes, guiado conjuntamente por los gobiernos de los
participantes para medir los logros de los estudiantes.
PISA evalúa cada tres años la medida en que los estudiantes terminan el período de escolaridad
obligatoria así como los conocimientos y aptitudes que son esenciales para su participación en la
sociedad. El ejercicio de PISA, realizado en el 2003, fue enfocado hacia el área de las matemáticas y
examinó por primera vez el desempeño estudiantil en la resolución de problemas.
En este mismo estudio también se analizaron factores que se asocian con el desempeño de los
estudiantes eficaces: motivación, lo que piensan acerca de ellos mismos, factores emocionales como la
ansiedad y estrategias de aprendizaje. Dentro de sus resultados se encuentra que los alumnos
motivados, que confían en su capacidad y que aplican con regularidad estrategias de aprendizaje
tienden a tener un mejor desempeño escolar. Además, se menciona en el reporte de PISA que los
estudiantes que aprenden con eficacia, particularmente los que han conseguido regular su propio
proceso de aprendizaje, al terminar sus estudios tienen mayor probabilidad de continuar formándose a lo
largo de su vida.
En los reporte de PISA, los resultados presentan de manera independiente el área de
matemáticas y la de resolución de problemas, a partir de ellos se puede observar que todos los países
en promedio, muestran un desempeño similar en la escala de ambas áreas. Entre los países
matemáticas y de solución de problemas son: Hong Kong - China, Finlandia, Corea y Holanda, y los de
peor desempeño son: México, Indonesia, Túnez y Brasil.
Debido a la importancia que está tomando la resolución de problemas a nivel mundial, se están
proponiendo reformas en la enseñanza de las matemáticas para lograr mejor desempeño en los
estudiantes. En Europa, la CIEAEM (Comisión Internacional para el estudio y la mejora de la enseñanza
de las matemáticas) propone el formato constructivista para el área en todos los países que se
encuentran representados. En Estados Unidos el Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas
(National Council of Teachers of Mathematics o NCTM por sus siglas en inglés) las promueve en sus
estándares en todos los niveles educativos. En China, Nueva Zelanda y otros países se comienza a ver
la influencia para promover el constructivismo en la enseñanza de las matemáticas, aunque en China la
instrucción matemática todavía sigue siendo en su mayoría lineal y con un enfoque tradicional.
En los exámenes internacionales, las culturas del este, como Japón o China han obtenido
mejores puntajes que en los países occidentales, por lo que se viven grandes debates de las ventajas y
desventajas de la instrucción constructivista. Al hacer comparaciones entre ambas metodologías, Zhao
(2005) menciona que aunque los rendimientos de los estudiantes de los países del este son mejores,
han perdido creatividad y que son muchos los factores para un mejor rendimiento, como mayor número
de clases o tutorías particulares. Al mismo tiempo, afirma que es importante aprender de los errores y
aciertos que se tienen en otros países o regiones sin perder las fortalezas de cada uno y teniendo
siempre en consideración cuales son los objetivos de la enseñanza en cada país.
También existen autores que no están totalmente de acuerdo con la introducción del
constructivismo en la enseñanza de las matemáticas. Matthews (2000) menciona que el constructivismo
es la mayor influencia que está teniendo la educación en la actualidad, pero no es la panacea, como la
quieren ver algunos autores. Afirma que el constructivismo ha logrado poner de manifiesto la importancia
en la comprensión y el compromiso de los estudiantes, pero al mismo tiempo, afirma que no son
conocimientos aportados por el constructivismo, y existían desde Sócrates. Concluye diciendo que en la
historia de la pedagogía de la educación, han existido infinidad de ideas que en su momento fueron las
correctas, por lo que es necesario revisar los compromisos y las relaciones del constructivismo con el
En el año 2001 se llevó a cabo una reunión en Estados Unidos de Learn NC (2001) organización
de la Universidad de North Carolina, para dar soporte a maestros y dirigida por Grayson Wheatley,
donde se analizó un enfoque constructivista para la enseñanza de las matemáticas basada en la
resolución de problemas y centrada en el estudiante. Este enfoque es promovido por el Consejo
Nacional de Maestros de Matemáticas, el NCTM, en Estados Unidos, ya que se ha demostrado que los
estudiantes realizan mejor las operaciones matemáticas si ellos desarrollan sus estrategias o
procedimientos.
Esta reforma ha traído controversias en Estados Unidos, como todas las reformas educativas.
Existen grupos de profesores que apoyan el cambio y ven la matemática como conceptos y, por otra
parte existen grupos, como el de los tradicionalistas, que lo consideran inadecuado, y dicen que para
poder entender los conceptos es necesario realizar primero los algoritmos básicos y ven a la matemática
sólo como habilidades. La reforma propuesta en Estados Unidos, requiere también cambios en la forma
de actuar de los docentes en el aula, dando mayor libertad a los alumnos y un mejor entendimiento de la
matemática.
Wheatley, Walbert, Kestner y Montagne Kestner (2001) afirman que en Estados Unidos
actualmente los alumnos de octavo grado son eficientes en los procedimientos pero no entienden los
conceptos al resolver los problemas, y que al salir al mundo real, no van a encontrar problemas
parecidos a los presentados en el salón de clases, por lo que es necesario promover la comprensión al
resolver los problemas para que puedan lograr la transferencia de lo aprendido.
Los maestros deben revisar cual es el proceso por medio del cual los estudiantes obtienen los
conocimientos matemáticos además de propiciar ambientes con situaciones en donde se utilicen de
forma variada los conocimientos y las estrategias y no sólo algoritmos usados de forma rutinaria. De esta
forma se logra que los estudiantes relacionen sus conocimientos matemáticos con otras áreas del
conocimiento.
Wheatley, Walbert, Kestner y Montagne Kestner (2001), mencionan la importancia de que el
docente conozca el estado de conocimientos de sus alumnos así como el reconocer si tienen sentido
numérico, es decir, si entienden los conceptos de números y sus relaciones, si sólo han memorizado
1.3 Planteamiento del problema
La enseñanza de resolución de problemas matemáticos es uno de los temas de álgebra que
cuesta más trabajo entender a los alumnos. Muchas veces cuando se les plantea un problema, no saben
por donde comenzar, y cuando tratan de aplicar los conceptos matemáticos a problemas nuevos o de la
vida cotidiana, no logran transferirlos, no cuentan con una metodología de análisis de los problemas y no
saben a veces como comenzar dicho análisis.
Existen en el temario de primer año de preparatoria problemas específicos que se resuelven por
medio de una o dos ecuaciones de primer grado como es el caso de los problemas de números,
geométricos, de mezclas, de dinero, de móviles o problemas de interés o de trabajo. Los problemas de
mezclas, por ejemplo, se explican en contextos que no son afines a las alumnas y no alcanzan a ver su
utilidad, por lo cual, pierden interés en la clase y en su forma de resolución. Todos ellos tienen
aplicaciones prácticas que pueden ser del interés de las alumnas y con manejo de información sencilla.
En la actualidad muchas escuelas modifican sus curricula hacia una visión constructivista, en la
que se promueve la construcción del conocimiento y el aprendizaje está centrado en el estudiante sin
embargo, al revisar algunos libros de álgebra a nivel preparatoria en español como el Algebra de los
autores Oteyza, Lam, Hernández y Carrillo (2003) o Algebra de Leithold (1999), se puede encontrar que,
al plantear la resolución de problemas se sigue un método en el cual se plantea el problema en lenguaje
coloquial, a continuación se presenta la ecuación planteada para la resolución del problema y los pasos
necesarios para resolver la ecuación, de la que al final se obtiene la respuesta. No se presenta la forma
como se obtiene la ecuación, ni la forma de analizar el problema. El comentario de algunos alumnos
muchas veces es que lo pueden realizar en compañía del maestro, pero se les dificulta mucho cuando
pretenden hacerlo solos y sin la ayuda del maestro.
Por lo anterior, los cuestionamientos que se presentan son żQué diferencias existen entre la
enseñanza de la resolución de problemas algebraicos con el uso de metodología tradicional y con el uso
de estrategias constructivistas de aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como
parte del proceso metacognitivo? żDe qué forma el uso de dichas estrategias constructivistas favorece el
a que el estudiante mejore el rendimiento académico al resolver problemas similares a los desarrollados
en el experimento y extender sus estrategias a problemas nuevos?
Los textos sobre resolución de problemas hacen un análisis sobre los problemas y la forma en
que se resuelven, y varias son las propuestas existentes para la resolución de problemas, como la de
Polya (2001) que aunque data de 1965, sigue siendo un importante referente en el tema, y se detalla
más adelante. La presente investigación busca, tomando como base la propuesta de Polya (2001) de
cuatro pasos para resolver problemas, encontrar si el uso de estrategias constructivistas en el aula,
pueden complementar la primera fase de su propuesta, es decir żCómo se pueden incluir estrategias
constructivistas a la propuesta de Polya para la enseñanza de resolución de problemas en álgebra?
Como se comentó, el colegio en el que se desarrolló la investigación, desde hace más de 6 años
viene realizando cambios hacia una metodología constructivista de educación; una de las áreas de
oportunidad de la investigación es apoyar la metodología propuesta por la escuela, y buscar evidencia de
las mejoras que promueve el enfoque constructivista, específicamente en la enseñanza de las
matemáticas, no sólo para los padres de familia, sino también para los profesores que no están
convencidos de la metodología.
Para realizar la presente investigación se propuso tener dos grupos de alumnas de primer año
de preparatoria para enseñarles la resolución de problemas con dos metodologías distintas: la tradicional
y la constructivista.
En el primer grupo se enseñó la resolución de problemas de forma tradicional, con la ayuda de
un texto y sirvió como grupo de control. En el segundo grupo se utilizó el aprendizaje colaborativo y la
autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo para tratar que las alumnas
construyeran estrategias o lineamientos para la resolución de problemas. Ambos grupos presentaron
después un examen sobre el tema, para comparar los resultados obtenidos en cada uno de ellos.
1.4 Objetivos de la investigación
La presente investigación tiene como objetivo principal encontrar diferencias en el aprendizaje de
la resolución de problemas algebraicos con el uso de dos metodologías: la tradicional y la basada en el
uso de estrategias constructivistas de aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como
Como objetivos específicos se plantea:
• Encontrar de que manera el uso de las estrategias constructivistas de aprendizaje colaborativo y
la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo apoya a las alumnas en
la transferencia de los conocimientos a problemas de contexto con respecto a la enseñanza
tradicional del mismo tema.
• Identificar si las alumnas pueden resolver problemas similares a los desarrollados en el
experimento y extender sus estrategias a problemas nuevos.
1.5 Supuesto de investigación y justificación de la investigación
Mediante la investigación, se desea verificar si el uso de las estrategias constructivistas de
aprendizaje colaborativo y la autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo en la
enseñanza de la resolución de problemas matemáticos permite lograr un mejor desempeño de las
alumnas en la resolución de problemas matemáticos y la transferencia de los conceptos a problemas
tanto similares como nuevos, es decir, diferentes a los propuestos en el experimento.
De obtener la confirmación de la hipótesis propuesta, y tomando en cuenta las limitantes de la
investigación, se podrá concluir que el uso de dichas estrategias, pueden ser una herramienta de apoyo
en la enseñanza de las matemáticas, específicamente en la resolución de problemas, que podría
favorecer a los maestros en su enseñanza y auxiliar a los estudiantes a mejorar la comprensión del
tema.
1.6 Limitaciones y delimitaciones
El estudio se realizó dentro de la enseñanza del curso escolar, la conformación de los grupos no
fue elegida de forma aleatoria, es la Dirección Escolar la que determina la asignación de las alumnas en
cada uno de los grupos. La propuesta de la investigación fue tomar de forma aleatoria dos de los tres
salones existentes en los que se imparte el tema, para en uno de ellos usar la metodología tradicional en
el aprendizaje y en el otro, utilizar las estrategias constructivistas de aprendizaje colaborativo y la
autorregulación del aprendizaje como parte del proceso metacognitivo. Al no ser aleatoria la elección de
las participantes, es posible que otras variables no contempladas impidan tener resultados confiables en
En los exámenes existe la posibilidad que se tengan resultados en los que influya la capacidad
de las alumnas tanto o más que la metodología de enseñanza. Al ser los grupos de más de 25 alumnas
se revisó de forma estadística para comparar los resultados.
Las entrevistas de las alumnas pueden aportar información sobre la forma en la que resuelven
los problemas, pero en algunos de los casos, las alumnas pueden mostrar apatía debido a que no ven
utilidad en la resolución de problemas y no se esfuerzan en realizar los problemas propuestos.
El tiempo dedicado a la enseñanza de los problemas fue muy corto, por lo cual es posible que no
se obtengan resultados que permitan comprobar la hipótesis.
Una limitante muy importante es que la investigación fue realizada por la misma persona que
impartió la clase en ambos salones, por lo cual es posible que el ser juez y parte del proceso no permita
un análisis completamente objetivo de los resultados, y las creencias y las convicciones de la maestra e
investigadora pueden llegar a influir sobre el análisis de los resultados.
1.7 Definición de términos.
Constructivismo: Paradigma que tiene como raíces filosóficas el Idealismo, racionalismo-dialéctico,
empirismo, positivismo lógico, fenomenología y hermenéutica y se sustenta en el subjetivismo, la
realidad se descubre, se construye. El conocimiento es una construcción humana, se negocia, se hace
por consenso.
Las metas de la educación son potenciar el desarrollo del alumno y promover su autonomía moral e
intelectual, contribuir a la génesis de hombres que sean capaces de hacer cosas nuevas y formar
mentes críticas, capaces de verificar y no aceptar todo lo que se les ofrezca.
Alcanzar el pensamiento racional. La meta de la enseñanza consiste en favorecer en el estudiante la
construcción significativa y representativa de la estructura del mundo, que pueda elaborar e interpretar la
información existente. Su concepción del aprendizaje consiste en la construcción de nuevos
conocimientos a partir de los conocimientos previos, del desarrollo y de la maduración. El aprendizaje
consiste en la creación de significados a partir de las propias experiencias del estudiante y de su nivel de
maduración. El aprendizaje es una actividad mental, la mente filtra lo que llega del mundo exterior para
producir su propia y única realidad. El constructivismo reconoce que las experiencias individuales y
los interpretan. En el aprendizaje entran en juego el estudiante, las condiciones ambientales (que
incluyen al docente) y la interacción entre estos componentes. Los conceptos cambian, evolucionan
continuamente con toda nueva utilización que se hace de ellos. La transferencia se basa en cuan
efectiva es la estructura del conocimiento del estudiante para facilitarle el pensamiento y el desempeño
en el sistema en el cual realmente se utilizan esas herramientas.
El rol del docente es acompañar al educando en la construcción de los conocimientos, promueve una
atmósfera de reciprocidad, respeto y confianza para el aprendiz. Es un facilitador, respeta las estrategias
de conocimiento del educando, los errores que se suceden en la aproximación a la construcción de
"conocimientos acordados" y sabe hacer uso de ellos para profundizar en el aprendizaje.
El rol del estudiante es ser creativo e inventivo, constructor activo de su propio conocimiento. No está
exento de equivocaciones y confusiones, esto es parte central de su aprendizaje.
La evaluación debe ser integral. Sirve de fundamento a la evaluación cualitativa, y está dirigida
igualmente al aprendizaje.
Aprendizaje colaborativo: conjunto de métodos de instrucción y entrenamiento así como estrategias para
propiciar el desarrollo de habilidades mixtas (aprendizaje y desarrollo personal y social) donde cada
miembro del grupo es responsable tanto de su aprendizaje como del de los restantes del grupo. Panitz
(1999) lo define no solo como una técnica a usarse en el aula, sino como una filosofía de vida; lo
propone para todas las situaciones donde se trabaja en grupos, y sugiere que es una manera de tratar a
la gente respetuosamente y destacando las capacidades y las contribuciones de los miembros
individuales del grupo, compartiendo la autoridad y la aceptación de la responsabilidad entre los
miembros del grupo, de las acciones de los grupos. Está basada en la creación del consenso con la
cooperación de los miembros del grupo, en contraste con un ambiente competitivo en la cual los
individuos intentan mejorara otros miembros del grupo.
Metacognición. Burón (1997) la define como el conocimiento y regulación de las cogniciones y los
procesos mentales, entendiendo por cognición a cualquier operación mental.
Problemas matemáticos: Ńapóles (2005) afirma que para que exista un problema debe existir una
El objetivo de la investigación es encontrar si el uso de estrategias constructivistas en la
enseñanza de resolución de problemas permite lograr mejores resultados llevando a cabo dos clases:
una con el uso de estrategias y otra sin su uso verificando los resultados en un examen posterior. A
CAPITULO 2
REVISIÓN DE LA LITERATURA
Introducción
En este capítulo se analizan los conceptos que fundamentan el estudio de investigación
propuesto. Se presenta primero una revisión de investigaciones relativas al tema propuesto y se detalla
como ha evolucionado la didáctica de las matemáticas en el tiempo para tener una visión completa de la
situación de la enseñanza. Posteriormente, se revisan las propuestas sobre resolución de problemas, se
presentan los fundamentos del constructivismo y como han afectado a la enseñanza de las matemáticas.
2.1 Antecedentes de la investigación
Fortunato y Hetch (1991) realizaron un estudio en alumnos de séptimo grado y se les pidió
contestar un cuestionario sobre habilidades de metacognición al momento de resolver problemas
matemáticos. El cuestionario consistía de cuatro secciones, tres corresponden a los momentos de la
resolución de un problema: antes de resolver el problema, durante la resolución, al finalizar el problema y
una sección sobre las estrategias de resolución del problema. El cuestionario permitía las respuestas de
si, no o tal vez. Participaron ciento sesenta y cinco estudiantes de veintitrés clases sobre la forma en que
resolvían problemas no rutinarios.
Las investigadoras encontraron que para verificar las habilidades metacognitivas es necesario
que los estudiantes trabajen con problemas no rutinarios, y si se les presentan problemas sencillos que
pueden resolver aplicando un algoritmo, no reflexionan sobre sus formas de resolución. Lo anterior lleva
a concluir que es necesario que los problemas a usar presenten a los estudiantes un reto y que se
puedan resolver por varias formas. Fortunato y Hetch (1991) comentan que las respuestas que se
reciben al usar este tipo de cuestionarios que hacen que los alumnos reflexionen permiten a los
maestros diseñar actividades para el aula.
Entre los posibles usos del cuestionario, las investigadoras comentan que puede resolverse de
manera individual y usarse para una discusión plenaria en el salón en donde se pida a los estudiantes
estrategias que utilizan y las puedan usar a la hora de resolver otros problemas. Asimismo puede usarse
para que los estudiantes identifiquen la forma en que analizan los problemas en la etapa de planeación.
A manera de conclusión las autoras comentan que el uso de este tipo de cuestionarios sobre
habilidades metacognitivas para la resolución de problemas matemáticos puede apoyar a los maestros a
identificar como los estudiantes reflexionan los problemas y definir estrategias o temas que deban
enfatizarse a la hora de la enseñanza, para poder mejorar el aprendizaje del tema.
Por otro lado, Alsup (2005) realizó una investigación en la que compara la instrucción tradicional
y la instrucción constructivista en matemáticas. Con su estudio, demuestra que la instrucción
constructivista ofrece muchas ventajas. En su estudio utilizó modelos de clases constructivistas en
salones de maestros de matemáticas de nivel elemental; examinó la eficacia de la instrucción
constructivista sobre la ansiedad hacia las matemáticas, las creencias sobre su eficiencia y sus
percepciones sobre autonomía. Los participantes de la investigación fueron estudiantes de matemáticas
conceptual I y II, cursos obligatorios a nivel licenciatura. Se tomaron, de ambas materias, grupos de
control y grupos experimentales.
Investigó la ansiedad, porque puede tener efectos nocivos en el aprendizaje de las matemáticas,
y porque como comenta Hembree 1990 (citado por Alsup, 2005), los maestros de nivel elemental
presentan mayores grados de ansiedad que los de otros niveles. Se escogió la eficiencia personal
porque tiene una relación directa con la apertura hacia nuevas metodologías y reformas prácticas (De
Mesquita & Drake, 1994), citado por el autor, y según la teoría de Bandura (1997) citado por Alsup
(2005), el aprendizaje social aplicado a las clases de matemáticas, tiene buenos resultados cuando las
expectativas del maestro son buenas tanto en la metodología como en su capacidad de enseñar
matemáticas. Se eligió la autonomía porque los profesores de nivel elemental son a menudo,
dependientes de sus maestros pasivos, confían en la memorización, los algoritmos y procedimientos en
vez de su propio pensamiento independiente como comenta Ball (1990) citado por Alsup (2005).
Para el análisis de la ansiedad, el estudio utilizó una escala tipo likert en la cual entre mayor es el
resultado obtenido, mayor es el nivel de ansiedad. Para ello, se analizaron la ansiedad hacia las pruebas
de matemáticas, ansiedad hacia ejecutar operaciones numéricas y ansiedad sobre tomar un curso de las
con anterioridad, que mide la confianza en la capacidad de enseñar matemáticas y la creencia que la
enseñanza eficaz influencia sobre el aprendizaje de los estudiantes. Para medir la autonomía se usó una
escala simple.
El estudio examinó la hipótesis referente a que los profesores de nivel elemental que tomaron un
curso de las matemáticas diseñado para acentuar aprendizaje activo y modelo constructivista mostrarían
un aumento en la percepción sobre su capacidad de enseñar matemáticas a los niños, una sensación
creciente de autonomía, y una disminución de su ansiedad hacia las matemáticas, en comparación con
los profesores que habían tomado un formato más tradicional de instrucción.
Para las clases tradicionales se explicó un primer ejemplo completo, contestando todas las
dudas que surgieron en los alumnos y se siguió con el trabajo en equipo utilizando problemas afines al
explicado en el pizarrón, para lo que se dio un método de solución. En el grupo experimental se les
presentó el primer problema sin explicación previa y se permitió a los alumnos encontrar varias formas
de solución; se centró en todo momento el aprendizaje en el alumno, se promovió la comunicación, el
razonamiento y el desarrollo de la comprensión conceptual profunda de las matemáticas. En todos los
grupos, se enfatizó la resolución de problemas y la comparación conceptual, así como el análisis de los
procedimientos. Para reflexionar sobre los procedimientos, se hizo escribir un ensayo a los participantes
sobre las formas que solucionaban los problemas.
Al los participantes se les midió, antes y después de las clases, los niveles de ansiedad, eficacia
y autonomía. Como resultados se obtuvo que en general el nivel de ansiedad de todos los participantes
bajó de manera colectiva. La percepción sobre la eficacia también aumentó de manera significativa en
ambos grupos, sin mostrarse diferencias significativas entre los grupos de control y experimental. Los
participantes experimentaron un aumento impresionante en su sentido de la autonomía, en mayor escala
los del grupo experimental.
Así mismo el investigador menciona que aunque solo en autonomía los resultados fueron
mejores en el grupo experimental, no se puede concluir que esto hubiera sido debido a la metodología
puesto que existen otras variables que intervienen como el contenido, el instructor, y el ambiente del
Suk (2005) realizó una investigación para determinar la eficacia de la instrucción constructivista
en matemáticas a nivel primaria, en el área de desempeño académico, auto - concepto, estrategias de
aprendizaje, y preferencia sobre la metodología constructivista sobre la tradicional.
Participaron setenta y seis estudiantes de sexto grado en Korea divididos en dos grupos, uno de
control con un enfoque tradicional y otro experimental con enfoque constructivista. El objetivo del estudio
fue validar las reformas constructivistas propuestas en las escuelas por el estado.
El tema que se impartió en ambos grupos fue de geometría que incluía áreas de círculos y se
trabajó durante cuarenta horas en nueve semanas. Las clases constructivistas consideraban el
aprendizaje centrado en el estudiante y estaban divididas en cinco fases: apertura, exploración,
propuestas, explicación y solución y tomar acción sobre lo propuesto. Las clases tradicionales eran
centradas en el maestro el cual daba la clase en tres fases: introducción, desarrollo y revisión de
conceptos.
En su estudio, Suk (2005) utilizó instrumentos para medir las variables definidas y se concluyó
que la enseñanza constructivista es más eficaz en términos de logro académico de estudiantes; la
enseñanza constructivista no es eficaz en términos de mejora del auto - concepto; la estrategia de
aprendizaje de los estudiantes cambia en términos generales, pero tiene efecto sobre la motivación para
aprender las tareas académicas y los estudiantes tienen cierta preferencia por un ambiente de
enseñanza constructivista.
Pugalee (2001) realizó un experimento para revisar la relación entre las matemáticas y la
metacognición. El estudió validó si la escritura de los estudiantes sobre sus procesos matemáticos al
solucionar problemas mostró evidencia de comportamientos metacognitivos. Se incluyeron veinte
estudiantes de noveno grado de la clase de álgebra que dieron descripciones escritas de sus procesos o
estrategias de resolución de problemas mientras trabajaban en problemas matemáticos.
Las descripciones escritas de los estudiantes demostraron el uso de varios comportamientos
metacognitivos durante la planeación, la organización, la ejecución y fases de la verificación de
solucionar de problema matemático.
Los resultados de este estudio subrayan la importancia de incluir la escritura de los procesos
adicional sobre escribir en matemáticas. El estudio menciona sobre la importancia de la escritura como
proceso constructivo del conocimiento, y cita a Vygotsky que sostuvo que el escribir involucra la acción
de análisis conciente del que lo realiza, y que las palabras escritas requieren condensar máximo el
discurso interno de modo que sea comprensible.
Se escogieron para el estudio seis problemas de diferente grado de dificultad, y con varias
formas de resolución. Para obtener la información se pidió a los participantes, que ya tenían experiencia
previa en escribir en matemáticas, tomar nota de todo lo que les viniera a la mente al resolver los
problemas propuestos, el maestro les hizo comentarios todas las clases sobre sus escritos y se pidió a
les participantes leer dichos comentarios. Como resultados, el investigador obtuvo a través de un análisis
cualitativo y revisando las frecuencias de los procesos, los comportamientos metacognitivos en las
cuatro fases de la solución de problemas.
En la fase de planeación se incluyeron comportamientos como evaluar y entender el problema y
los comportamientos metacognitivos asociados fueron: leer una o varias veces, representación del
problema, análisis de la información y de las condiciones y verificación de la dificultad del problema. Los
comportamientos metacognitivos que se verificaron en la etapa de organización se enfocaron al plan de
acción y fueron: identificación de metas; desarrollo de un plan general de resolución, representaciones o
diagramas realizados y organización de la información. En la etapa de ejecución se incluyeron el logro y
revisión de metas locales y globales, así como la realización de cálculos. La fase de la verificación
consistió en evaluar las decisiones y los resultados; incluyeron cualquier comprobación del trabajo.
Pugalee (2001) concluye que el escribir tiene implicaciones importantes en la enseñanza el
aprendizaje de las matemáticas. Un marco metacognitivo fue evidente en los estudiantes que escriben
sobre sus procesos en las cuatro etapas de la resolución de problemas: planeación, organización,
ejecución y verificación. Comenta que con el fin de reforzar estos resultados es necesario mayor
investigación, para profundizar sobre la escritura y el desarrollo metacognitivo en matemáticas. Un punto
interesante es que adicionalmente se obtiene información que puede servir a los maestros, tanto para la
enseñanza como para la evaluación de los alumnos en la forma que aprenden y piensan en
Mevarech y Kramarski (2003) realizaron un estudió en Israel que examina dos formas de
estructurar la interacción de un grupo, uno se basa en los ejemplos previamente elaborados y el otro en
el entrenamiento metacognitivo. Los dos métodos fueron realizados en ambientes colaborativos y ambos
dirigían a los estudiantes a enfocarse en las partes esenciales de los problemas y en las estrategias de
solución.
El objetivo del estudio era investigar los efectos del entrenamiento metacognitivo contra ejemplos
elaborados en el razonamiento matemático y la comunicación matemática de los estudiantes y comparar
los efectos a largo plazo de los dos métodos en el desempeño matemático.
El estudio fue conducido en dos años académicos. Los participantes durante el primer año del
estudio fueron 122 estudiantes israelíes del octavo grado que estudiaron álgebra en cinco salones
heterogéneos. Un año más tarde, cuando estos participantes eran de noveno grado, los reexaminaron
usando la misma prueba.
Tres medidas fueron utilizadas de determinar el logro matemático de los estudiantes: una prueba
anterior al experimento, un examen inmediato al experimento, y un examen posterior, estando en noveno
grado. Se analizaron los siguientes criterios: explicaciones verbales, representaciones algebraicas y
solución algebraica, comportamientos cooperativos, cognoscitivos, y metacognitivos.
En el experimento, todos los estudiantes trabajaron en ambiente colaborativo, con el mismo libro
de texto y el mismo número de clases. Resolvieron exactamente los mismos problemas y el uso los
mismos problemas como introducción y revisión. El tema que se trató fue el de velocidad uniforme
durante cuatro semanas un grupo usando ejemplos previamente elaborados y con ejercicios en un
cuadernillo y otro en un ambiente metacognitivo.
El grupo que trabajó por medio de ejemplos elaborados, los problemas son explicados por medio
de un ejemplo, especificando todos los pasos para la resolución; seguido de la resolución de cuatro
problemas similares por parte para consolidar los procedimientos aprendidos.
En el ambiente metacognitivo, a los estudiantes no se les dio un ejemplo previamente elaborado,
fueron dirigidos para activar preguntas metacognitivas que incluyeron preguntas de comprensión,
preguntas de conexión, preguntas estratégicas y preguntas de reflexión. Los estudiantes formularon y
problema fue seguido por una serie de cuatro problemas que requirieron una solución con preguntas
metacognitivas.
Los estudiantes que fueron expuestos al entrenamiento metacognitivo superaron a los
estudiantes que fueron expuestos a los ejemplos elaborados en los exámenes inmediatos y posteriores.
Las diferencias entre las dos condiciones fueron observadas en la capacidad de los estudiantes de
explicar su razonamiento matemático durante el discurso y en la escritura. Los estudiantes más bajos
mejoraron más cuando trabajaron en el ambiente metacognitivo.
Mevarech y Kramarski (2003) concluyen a partir de su análisis que tanto la tarea como la forma
en que interactúan los estudiantes son variables importantes en la implementación de los ambientes
colaborativos que afectan en el resultado obtenido. Mencionan que para promover un alto nivel cognitivo,
es importante usar tareas no rutinarias o tareas polémicas que implican situaciones complejas.
Encontraron que los estudiantes académicamente más bajos fueron los que obtuvieron mayores
beneficios en el ambiente metacognitivo.
2.2 La didáctica de las matemáticas
La enseñanza de las matemáticas ha sufrido una gran evolución en las últimas décadas. García
(s.f.) comenta que ha existido, y existe en la actualidad, una lucha entre la postura idealista que se
inclina por potenciar la comprensión mediante una visión amplia de la matemática, y la postura práctica
que pide el reestablecimiento de las técnicas básicas en interés de la eficiencia y economía en el
aprendizaje de las matemáticas. En dichas décadas, las tendencias del currículo sobre la materia han
estado definidas por las siguientes corrientes:
• La enseñanza clásica o tradicional de la matemática, anterior en tiempo y que consideraba cada una de
las áreas de forma independiente y se enfoca sobre cada uno de los capítulos de las matemáticas que
constituían los elementos-base de la teoría misma, es decir sobre los números, sobre el punto, sobre la
recta, etc. abordados de manera discontinua. En este plan, se impone un proceso mecánico para la
resolución de los problemas, así como el aprendizaje por memorización. Los conocimientos no están
relacionados entre sí y las aplicaciones de los procesos algorítmicos toman mayor relevancia que sus
Kline (1999) menciona que el plan tradicional tiene algunos defectos como pueden ser la
confianza en la memorización, el tratamiento dispar entre el álgebra y la geometría, la falta de motivación
o atractivo para los estudiantes, así como el uso de libros oscuros y repetitivos.
• La matemática moderna: inicia en los años cincuenta y pretendía transmitir a los alumnos el carácter
lógico-deductivo de la matemática y al mismo tiempo, unificar los contenidos por medio de la teoría de
conjuntos, las estructuras algebraicas y los conceptos de relación y función. El plan de la matemática
moderna toma al razonamiento lógico como el camino para la construcción de los conocimientos, el rigor,
la precisión de la terminología y la simbología así como el énfasis de la matemática por la matemática
misma.
Castelnuovo (1990) explica como en la década de los sesenta se crearon organizaciones de
matemáticos en Europa como la OECE (Organización Europea de Cooperación Económica) para
promover la reforma de la matemática moderna en muchos países y promover programas afines,
haciendo hincapié en algunos temas como la teoría de conjuntos, funciones y transformaciones. La
forma de enseñar es por medio de la enseñanza verbal, uso de definiciones, el paso de lo concreto a lo
abstracto usando de múltiples materiales que favorezcan esta transición. Esta metodología, menciona
Castelnuovo (1990), exige del docente una seria preparación y una larga visión de la ciencia junto con un
profundo conocimiento de la psicología infantil. En Europa se tienen dos posturas de esta metodología,
por un lado la de los países bajos, donde por medio de otras representaciones se encuentran conceptos
y propiedades de la aritmética o de la geometría y se busca obtener por medio del uso de ejemplos la
abstracción de conceptos y por otro, la italiana que busca encontrar ejemplos de los conceptos
abstractos. Kline (1999) menciona que el término matemáticas moderna, se estableció porque se creía
que las matemáticas en el plan tradicional eran anticuadas.
• La resolución de problemas, que inicia hace algunas décadas y puede ser visto desde tres enfoques:
enseñar para resolver problemas, enseñar sobre la resolución de problemas y enseñar vía resolver
problemas, que se usa hasta la actualidad. El Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM)
propuso desde la década de los ochenta la resolución de problemas como eslogan educativo de la
Profundizando sobre el término, existen múltiples definiciones de problemas matemáticos.
Ńapóles (2005) afirma que para que exista un problema es necesario que exista una persona para
resolver (resolutor), un estado inicial, un estado final o meta a alcanzar, así como algún tipo de
impedimento para el paso de un estado a otro. Al hablar sobre los principales resultados de investigación
Vilanova y otros (2001) mencionan cuatro áreas de indagación sobre resolución de problemas en las que
se han hecho importantes progresos: la determinación de la dificultad en los problemas; la distinción
entre buenos y malos resolutores; la instrucción y el estudio de la metacognición.
Borasi (1985) define cuatro elementos estructurales en los problemas a los que se debe prestar
atención que son la formulación del problema, el contexto, las soluciones y los métodos de resolverlos
así como la persona a la que se plantea el problema, es decir, la capacidad del resolutor. Borasi (1985)
clasifica los problemas como ejercicios de contexto, problema de palabras, de conjetura, acertijos,
problemas de la vida real, situación problemática o situación.
Blanco (1993) tomando como base otros autores, clasifica los problemas matemáticos según las
actividades necesarias para realizarlos en ejercicios de reconocimiento, ejercicios algorítmicos o de
repetición, problemas de traducción simple o compleja, problemas de procesos, problemas sobre
situaciones reales, problemas de investigación matemática, problemas de acertijos o historias
matemáticas.
García (s. f.) al definir un problema, afirma que debe tener tres elementos: la aceptación y
compromiso por parte del grupo o individuo, el bloqueo o la falta de fruto con intentos o técnicas
habituales y la exploración de nuevos métodos para atacar el problema. Polya (2001) por su parte, los
definió como buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente
concebido pero no alcanzable de forma inmediata.
Para Schoenfeld (citado en Resnick, 1989) un problema matemático es una tarea en la que el
estudiante esta interesado, comprometido y para el cual desea obtener una solución y no tiene o conoce
el proceso para llegar a dicha solución. Esta definición tiene como consecuencia que el estudiante debe
tener un compromiso de resolución; de igual forma, toma en consideración que las tareas no son
Diferentes autores han propuesto fases, pasos, o etapas para poder resolver problemas
matemáticos. Sobre el proceso de resolución de un problema la postura de Polya (2001) presentada
desde 1945 y aún vigente y cuenta con cuatro fases bien definidas:
• Comprender el problema. Aunque parece obvio, a veces no se puede resolver el
problema porque no se entiende todo o alguna parte de la él. Es necesario verificar que
se comprenden todas las palabras, se sabe que están preguntando, revisar si se tiene la
suficiente información o se puede usar un esquema o un gcáfico pava entendev vnejov e\
problema.
• Concebir un plan para llegar a la solución. Muchas son las formas de resolver
problemas; la habilidad para escoger la mejor estrategia, se obtiene resolviendo
problemas. Entre las posibles estrategias están tanteo, por eliminación, buscando
patrones, o usando gráficas, por métodos algebraicos, o usando una fórmula, entre
otros.
• Ejecutar el plan. Normalmente, más fácil que la planeación, se debe tener paciencia y
cuidado, trabajar sobre lo planeado, pero estar abierto al uso de otra estrategia si la
elegida no funciona.
• Mirar atrás, examinar la solución obtenida, si es congruente, revisar los pasos realizados
así como los cálculos, ver i es posible una comprobación o la obtención del resultado por
otro método o estrategia.
Schoenfeld (1985) propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis del
comportamiento en la resolución de problemas:
• Recursos cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del
estudiante que resuelve.
• Heurísticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas. Las operaciones
mentales típicamente útiles en la resolución de problemas. Sobre las heurísticas
Schoenfeld (1985), las define como reglas o modos de comportamiento en el proceso
• Control: es aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles del
resolutor. Las decisiones que permiten realizar el proceso y tienen consecuencias
globales en la resolución. Son equivalentes a las decisiones de gestión en el campo
de los negocios. El término metacognición se ha usado en la literatura psicológica
para este tipo de decisiones.
• Sistema de creencias: La perspectiva de cada persona con respecto a la naturaleza
de la matemática y como trabajar en ella. Existen actitudes que imposibilitan la toma
de buenas decisiones durante la fase de resolución como son la inflexibilidad para
considerar alternativas, la rigidez en la ejecución de procedimientos, o la incapacidad
de anticipar las consecuencias de una acción.
Para solucionar problemas en matemáticas Wilson, Fernández y Hadaway (1993) proponen una
buena base de conocimientos específicos en matemáticas, algoritmos y heurísticas que son tipos de
información a disposición de los estudiantes en la toma de decisiones durante la resolución de
problemas. También propone la construcción de algunos mecanismos de decisión para seleccionar de
entre las heurísticas disponibles o el desarrollo de otras nuevas según la situación. Una parte muy
importante es reflexionar sobre lo realizado, mirar atrás para aprender de los aciertos y de los errores y
cuestionarse sobre otras opciones de resolución.
Las nuevas propuestas curriculares toman a la resolución de problemas como la base de la
enseñanza de las matemáticas buscando cambiar la actitud de los estudiantes hacia las matemáticas y
su aprendizaje, Con los nuevos curricula se busca que en la clase de matemáticas mediante el uso de la
resolución de problemas, se promuevan habilidades cognitivas como abstraer, aplicar, convencer,
clasificar, inferir, organizar, representar, idear, generalizar, comparar, explicar, diseñar y desarrollar
modelos, validar, conjeturar, analizar, contar, medir, sintetizar y ordenar.
2.3 Constructivismo
Una de las nuevas corrientes en la enseñanza que surgió después del conductismo es el
constructivismo. Dicha corriente como menciona Woolflook (1999) destaca la convicción que el
conocimiento. En la actualidad existen varios tipos de constructivismo, Díaz Barriga (2002) propone el
cognitivo o procesamiento de la información y aprendizaje estratégico, caracterizado por la teoría de la
atribución y la motivación por aprender, y el énfasis en el desarrollo de habilidades del pensamiento; el
psicogenético el cual propone que la competencia cognitiva está en función al nivel de desarrollo
intelectual y la adquisición del conocimiento es un proceso de adaptación; y el socio cultural que
determina la naturaleza social del conocimiento, el énfasis en el aprendizaje guiado y cooperativo y así
como el andamiaje y el ajuste de la ayuda pedagógica en contexto.
Para el constructivismo aprender es aprender a aprender. Es hacerse autónomo e
independiente, necesitar cada vez menos del apoyo de los adultos o pares con mayor experiencia. El
constructivismo equipara al aprendizaje con la creación de significados a partir de experiencias. Los
constructivistas consideran que la mente filtra lo que llega del mundo para producir su propia y única
realidad. No niegan la existencia del mundo real, sostienen que lo que se conoce de él nace de la propia
interpretación de las experiencias personales. Afirman que los humanos crean significados, no los
adquieren. Woolflook (1999) afirma que en el constructivismo el alumno es autónomo y autorregulado.
Constructor activo con los otros y consigo mismo, aprende a aprender. Procesador activo de la
información, interpreta y cuestiona. Tiene una participación social activa.
La posición constructivista, definen Ertmery Newby (1993), es que la transferencia de los
conocimientos se facilita colocando a la persona o estudiantes en tareas auténticas, ubicadas o situadas
en contextos significativos porque el aprendizaje siempre toma lugar en un contexto y que el contexto
forma un vínculo con el conocimiento inmerso en él.
Los orígenes del constructivismo se encuentran con los primeros trabajos realizados por Jean
Piaget sobre la lógica y el pensamiento verbal de los nińos y que se realizaron a partir de sus inquietudes
sobre el conocimiento. Piaget proponía que existía una continuidad entre la vida y el pensamiento. Los
piagetianos, comenta Hernández (2002), otorgan un papel activo al sujeto en el proceso del
conocimiento y proponen que la información del medio es importante pero no suficiente para que el
sujeto conozca. Consideran que la información obtenida por los sentidos está fuertemente condicionada
por los marcos conceptuales que orientan todo el proceso de adquisición de los conocimientos, que son
