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Análisis no lineal dinámico tridimensional de edificios en concreto reforzado sometidos a los registros del sismo de Quetame (2008)

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(1)

ANÁLISIS NO LINEAL DINÁMICO TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS EN CONCRETO REFORZADO SOMETIDOS A LOS REGISTROS DEL SISMO DE QUETAME (2008).

RICARDO JARAMILLO RIVERA

CARLOS EDUARDO RIVEROS PEDRAZA

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ, COLOMBIA

MAYO DE 2011

______________________________________________

FIRMA

____________________

(2)

RICARDO JARAMILLO RIVERA

CARLOS EDUARDO RIVEROS PEDRAZA

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ, COLOMBIA

(3)

ANÁLISIS NO LINEAL DINÁMICO TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS EN CONCRETO REFORZADO SOMETIDOS A LOS REGISTROS DEL SISMO DE QUETAME (2008).

TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL

RICARDO JARAMILLO RIVERA

CARLOS EDUARDO RIVEROS PEDRAZA

DIRECTOR

DANIEL MAURICIO RUIZ VALENCIA

INGENIERO CIVIL M.Sc.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ, COLOMBIA

(4)

Ingeniera

Sandra Patricia Jarro Sanabria

Directora de Carrera

Ingeniería Civil

Pontificia Universidad Javeriana

Apreciada Ingeniera:

Por medio de la presente hacemos entrega del proyecto de grado titulado: “ANÁLISIS

NO LINEAL DINÁMICO TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS DE CONCRETO

REFORZADO SOMETIDOS A LOS REGISTROS DEL SISMO DE QUETAME

(2008)”.

Atentamente,

Ricardo Jaramillo Rivera

C.C.: 1 020 732 662

Carlos Eduardo Riveros Pedraza

(5)

REGLAMENTO DE LA PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

Art. 23 de la resolución No. 13 del 6 de Julio de 1964

“La Universidad no se hace responsable por los conceptos emitidos por sus alumnos en sus trabajos de tesis. Solo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral católica y porque las tesis no contengan ataques o polémicas puramente personales; antes bien, se ve en ellas el anhelo de buscar

(6)

AUTOR (O AUTORES)

Apellidos Jaramillo Rivera Nombres Ricardo . Apellidos Riveros Pedraza Nombres Carlos Eduardo

TÍTULO DEL TRABAJO

ANÁLISIS NO LINEAL DINÁMICO TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO SOMETIDOS A LOS REGISTROS DEL SISMO DE QUETAME (2008)

CIUDAD BOGOTÁ AÑO DE ELABORACIÓN 2011 .

NÚMERO DE PÁGINAS 309

TIPO DE ILUSTACIONES Esquemas de Word®, Modelos en SAP2000®, esquemas de AutoCAD®, gráficas en Excel®, esquemas de XTRACT® y mapas de Arcgis® .

MATERIAL ANEXO Esquemas de SAP2000®, archivos de Excel®, Esquemas de XTRACT®, mapas de ArcGis® .

FACULTAD Ingeniería PROGRAMA Ingeniería Civil

(7)

MENCIÓN (en caso de recibir alguna calificación especial)

DESCRIPTORES

(8)

Señores

BIBLIOTECA GENERAL Pontificia Universidad Javeriana Ciudad

Respetados Señores,

Autorizo a los interesados, consultar y reproducir (parcial o totalmente) el contenido del trabajo de grado titulado: “ANÁLISIS NO LINEAL DINÁMICO TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO SOMETIDOS A LOS REGISTROS DEL SISMO DE QUETAME (2008)”, presentado por los estudiantes Ricardo Jaramillo Rivera y Carlos Eduardo Riveros Pedraza como requisito para optar por el título de Ingeniero Civil, en el año 2011, siempre que mediante la correspondiente cita bibliográfica se les dé crédito al trabajo de grado y a sus autores.

Atentamente,

Ricardo Jaramillo Rivera C.C.: 1 020 732 662

(9)

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen cordialmente a:

Daniel Mauricio Ruiz Valencia, Ingeniero Civil y director del trabajo de grado por su colaboración y fuente de motivación durante todo el desarrollo del trabajo.

Santiago Sandoval Arenas, Ingeniero Civil quien con mucha diligencia colaboró con la capacitación del software ArcGis 9.3®, con el cual se graficaron los mapas de derivas, desplazamientos de cubierta y de aceleraciones absolutas.

(10)

DEDICATORIA

(11)

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN ... 41

1.1. Justificación ... 42

1.2. Objetivos ... 45

1.2.1. Objetivo General ... 45

1.2.2. Objetivos Específicos ... 45

1.3. Alcance ... 45

2. MARCO TEÓRICO ... 47

2.1. Aspectos básicos del análisis no lineal ... 47

2.1.1. Análisis no lineal geométrico ... 47

2.1.2. Análisis no lineal por el material ... 48

2.2. Materiales ... 49

2.2.1. Concreto inconfinado ... 50

2.2.2. Concreto Confinado ... 51

2.2.3. Acero de refuerzo ... 52

2.3. Diagramas momento curvatura ... 53

2.3.1. Determinación del diagrama Momento Curvatura ... 55

2.3.2. Determinación del diagrama momento curvatura para columnas ... 62

2.4. Nivel de Desempeño de las estructuras ... 68

2.4.1. Elementos Estructurales ... 68

2.4.2. Nivel global de desempeño ... 69

2.5. Respuesta histerética ... 71

2.6. Comportamiento Dinámico de las Estructuras ... 76

3. DISEÑO DE EDIFICACIONES ... 79

(12)

3.1.1. Avalúo de Cargas. ... 81

3.1.2. Metodología de Análisis. ... 86

4. SISMO DE QUETAME (2008) ... 103

4.1. aspectos generales ... 103

4.2. Características del sismo ... 103

4.3. SECUENCIA DE RÉPLICAS ... 104

4.4. MUNICIPIO DE QUETAME ... 106

5. SEÑALES SÍSMICAS ... 109

5.1. aspectos generales ... 109

5.1.1. Ubicación... 110

5.1.2. Obtención de Espectros ... 111

5.1.3. Obtención de los Periodos del suelo ... 111

5.2. ANÁLISIS DE LAS SEÑALES SÍSMICAS ... 112

6. MODELACIÓN NO LINEAL ... 121

6.1. Aspectos generales ... 121

6.2. Casos de análisis ... 121

6.3. Rótulas plásticas ... 123

6.4. Recursos Demandados... 130

7. RESULTADOS ... 133

7.1. Edificios 5 Pisos ... 133

7.1.1. Piedemonte B ... 133

7.1.2. Lacustre 500 ... 157

7.2. Edificios 12 Pisos ... 172

7.2.1. Piedemonte B ... 172

(13)

7.3. Edificios 20 Pisos ... 198

7.3.1. Piedemonte B ... 198

7.3.2. Lacustre 500 ... 211

8. ANÁLISIS DE RESULTADOS ... 224

8.1. Edificios de 5 pisos ... 225

8.1.1. Elementos Estructurales ... 226

8.1.2. Desempeño Global... 230

8.2. Edificios de 12 pisos ... 241

8.2.1. Elementos Estructurales ... 241

8.2.2. Desempeño Global... 244

8.3. Edificios de 20 pisos ... 262

8.3.1. Elementos Estructurales ... 263

8.3.2. Desempeño Global... 266

8.4. Análisis Combinados ... 291

9. CONCLUSIONES ... 301

10. RECOMENDACIONES ... 305

(14)

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2-1. Momentos de área. (Tomado de Romero y Becerra, 2006) ... 58

Tabla 2-2. Niveles de desempeño. (Adaptado de ATC 1996) ... 71

Tabla 2-3. Pasos para pasar de carga a deflexión en sistemas elásticos. (Tomado de García 1998) .... 73

Tabla 3-1. Características del Concreto. ... 82

Tabla 3-2. Características de la losa de entrepiso. ... 82

Tabla 3-3. Avalúo de Carga Muerta Pisos intermedios. ... 82

Tabla 3-4. Peso por metro lineal sobre vigas de pórticos cargueros. ... 83

Tabla 3-5. Avalúo de Carga Muerta para la Cubierta... 83

Tabla 3-6. Cargas por metro lineal para vigas de cubierta. ... 83

Tabla 3-7. Pesos totales de los Edificios diseñados... 84

Tabla 3-8. Avalúo de carga Viva para Pórticos Cargueros. ... 85

Tabla 3-9. Asignaciones de carga de viento. ... 86

Tabla 3-10. Dimensiones de elementos estructurales edificios 5 pisos. ... 89

Tabla 3-11. Dimensiones de elementos estructurales edificios 12 pisos. ... 90

Tabla 3-12. Dimensiones de elementos estructurales edificios 20 pisos. ... 90

Tabla 3-13. Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para edificio de 5 pisos en piedemonte-B. ... 91

Tabla 3-14. Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para edificio de 5 pisos en lacustre-500. ... 93

Tabla 3-15. Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para edificio de 12 pisos en piedemonte-B. ... 95

Tabla 3-16. Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para edificio de 12 pisos en lacustre-500. ... 97

Tabla 3-17. Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para edificio de 20 pisos en piedemonte-B. ... 98

Tabla 3-18. Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para edificio de 20 pisos en lacustre-500. ... 100

Tabla 3-19. Distancia estribos de las vigas para los diferentes edificios. ... 102

Tabla 5-1. Zonificación, profundidades de basamento y comparación de periodos por estación. ... 115

(15)

Tabla 6-2. Horas y capacidad demandas por el PC-1. ... 132

Tabla 6-3. Horas y capacidad demandadas por el PC-2. ... 132

Tabla 8-1. Cantidad, tipo y porcentaje de rótulas para edificios de Piedemonte-B de 5 pisos. ... 230

Tabla 8-2. Cantidad, tipo y porcentaje de rótulas para edificios de Lacustre-500 de 5 pisos. ... 230

Tabla 8-3. Cantidad, tipo y porcentaje de rótulas para edificio de Piedemonte-B de 12 pisos. ... 244

Tabla 8-4. Cantidad, tipo y porcentaje de rótulas para edificio de Lacustre-500 de 12 pisos. ... 244

Tabla 8-5. Cantidad, tipo y porcentaje de rótulas para edificios de Piedemonte-B de 20 pisos. ... 266

(16)

ÍNDICE DE GRÁFICAS

(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)

ÍNDICE DE FIGURAS

(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)

ÍNDICE DE MAPAS

(36)
(37)
(38)
(39)

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES

(40)
(41)

1.

INTRODUCCIÓN

En la actualidad, la gran mayoría del diseño estructural de edificios en concreto reforzado en Colombia es realizado mediante el análisis lineal. Este método, aunque sencillo, no toma en cuenta una gran cantidad de variables que influyen en el comportamiento de la estructura, y dadas ciertas condiciones, asume comportamientos que en la realidad no ocurren.

Por otro lado, el análisis no lineal dinámico de estructuras en concreto reforzado sí permite modelar el comportamiento real de una estructura ante un evento sísmico, por ejemplo, sin necesidad de asumir comportamientos que podrían no reflejar la realidad.

Sin embargo, el análisis no lineal dinámico requiere de mucho más tiempo y ocupa muchos más recursos, tanto ingenieriles como computacionales, por lo que, en la práctica, es virtualmente desechado al diseñar una estructura.

Paralelamente, Bogotá es una ciudad que se estableció en una sabana que otrora fue un lago. Este lago generó sedimentación, y posteriormente se secó, dejando grandes capas de suelo blando sobre la roca. Estas capas de suelo blando, que son donde actualmente se cimentan la mayoría de edificaciones en Bogotá, tienen comportamientos muy diferentes a los de la roca no sólo en resistencia y capacidad portante, sino también ante eventos sísmicos, desde el punto de vista dinámico y de respuesta sísmica. Y esto tiene una radical importancia en Bogotá, ya que Colombia se encuentra sobre la placa Sudamericana, y la placa Nazca, debajo del océano pacífico, está chocando y metiéndose por debajo (subducción) de la placa Sudamericana. Esto ha generado toda la cordillera de los Andes, en donde se encuentra localizada Bogotá.

Además de este choque de placas, existe un número de fallas tanto regionales como cercanas, las cuales se clasifican de acuerdo a la distancia entre éstas y la ciudad de Bogotá, entre las más importantes se encuentran las diversas fallas del sistema frontal de la cordillera oriental, y la falla la cajita.

(42)

Colombia por su tectónica de placas y los eventos sísmicos originados por el movimiento de las fallas circundantes.

Actualmente, el decreto 926 de 2010, en donde se establece Reglamento Colombiano de diseño y construcción Sismo Resistente NSR-10 reglamenta el diseño de estructuras en concreto reforzado en todo el país, y da las guías para construir edificaciones que sean capaces de soportar los sismos a los que están expuestas.

También, el decreto 523 de 2010, que reglamenta la zonificación de respuesta sísmica para el diseño sismo resistente de edificaciones de Bogotá discretiza varios tipos de composiciones de suelo en la sabana, y a partir de esta discretización, genera espectros de respuesta diferentes para cada tipo de suelo.

1.1. JUSTIFICACIÓN

La implementación de la microzonificación sísmica para la ciudad de Bogotá, reglamentada en el decreto 074 de 2001, ahondó en la capacidad analítica presente durante el proceso de diseño sismo resistente de las edificaciones. Al subdividir la ciudad de acuerdo al tipo de suelo presente en la capital, se logró incluir los efectos locales del suelo en el diseño de edificios de Bogotá. A partir de ahí, se han realizado investigaciones que procuran llevar el alcance de la microzonificación sísmica de Bogotá a mayores niveles de acercamiento con respecto al comportamiento dinámico real de los suelos subyacentes.

(43)

Posteriormente, se modeló el comportamiento dinámico no lineal de 5 pórticos planos de diferentes alturas. (Romero y Becerra, 2006)

Más recientemente, Pinzón (2009) utilizó 48 señales derivadas del sismo de Quetame del año 2008 para realizar un análisis no lineal dinámico en los mismos cinco pórticos planos utilizados por Romero y Becerra (2006).

El presente trabajo implica llevar el análisis no lineal dinámico al estudio de edificaciones tridimensionales, en contraste con los estudios de pórticos planos que se han realizado en los dos proyectos anteriormente mencionados, lo cual lo acerca al comportamiento real de las edificaciones. Esto plantea una ventaja que es la de poder analizar efectos como los de la torsión inducida por la diferencia de aceleraciones en dirección N-S y E-W de las señales sísmicas, por ejemplo. Otra de las ventajas es la de utilizar 78 señales sísmicas derivadas del sismo de Quetame del año 2008, que es un sismo real, que afectó a la ciudad de Bogotá. Sin embargo, es importante destacar que aunque es un sismo real en Bogotá, su magnitud es baja, por lo que la afectación a las edificaciones es menor, y no corresponde al verdadero riesgo sísmico al que están expuestas las edificaciones con un sismo de mayor magnitud.

Para la elaboración de la microzonificación sísmica de Bogotá de 2010 se utilizaron 16 señales sísmicas derivadas de 10 sismos. Se escogieron diferentes tipos de sismos que abarcaran los sismos cercanos, regionales y lejanos. Los sismos cercanos tuvieron magnitudes entre 5.4 y 5.8 en la escala de Richter. Los sismos regionales variaron entre 6.8 y 7.1 y para el lejano se utilizaron 5 señales derivadas del sismo de México, que tuvo una magnitud de 8.1 en la escala de Richter. (FOPAE, 2010) Como se explicará posteriormente, el sismo de Quetame del año 2008 tuvo una magnitud de 5.7 en la escala de Richter. Al corresponder para Bogotá a un sismo regional, es un sismo considerablemente menor en magnitud que los sismos de diseño empleados para la elaboración de la microzonificación sísmica de Bogotá.

Por lo tanto, no es interés de este trabajo el de encontrar un sismo que sea potencialmente destructivo para Bogotá, ni el de someter a estructuras diseñadas con el Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente NSR-10 a un sismo de alta magnitud.

(44)

que sean construidas y con su altura, y por el otro lado los niveles de daño obtenidos por cada tipo de estructura en diferentes partes de Bogotá.

Para este caso se utilizarán edificaciones que serán diseñadas en su totalidad de acuerdo con la NSR-10 y la microzonificación. Esto tiene tres ventajas. La primera es que se tiene la certeza de que la estructura está diseñada de acuerdo con los parámetros exigidos por la norma, a diferencia de los pórticos planos usados en Romero y Becerra (2006) y Pinzón (2009), que utilizaban planos estructurales y memorias de cálculo de edificios ya construidos. Al mismo tiempo, al usar la planta tipo utilizada en García (1996), se pueden generalizar los resultados a la mayoría de edificaciones de Bogotá, ya que esta planta tipo estaba concebida como un diseño ideal para la NSR-98, diseño que puede ser considerado como ideal incluso para la norma sismo resistente NSR-10, ya que no tiene irregularidades en planta y en altura, ni errores constructivos como columna corta o piso débil. También, esta planta tipo tiene la ventaja de no ser excéntrica (es decir, no tiene torsión inducida por su forma), por lo que al analizar la torsión, se puede obtener la torsión inducida por el sismo únicamente. Por último, en los trabajos anteriores se utilizaron tanto la NSR-98 como el estudio de Microzonificación Sísmica para Bogotá (1997), que actualmente no están vigentes debido a su reciente actualización en 2010.

En otras palabras, este será el primer trabajo investigativo que estudie el análisis no lineal dinámico de estructuras a la luz de la NSR-10 y la nueva microzonificación sísmica de Bogotá.

(45)

Gráfica 1-1. Curvas de Amenaza sísmica para Bogotá. (Tomado de FOPAE, 2010).

1.2. OBJETIVOS

1.2.1. Objetivo General

Evaluar el comportamiento no lineal dinámico tridimensional de tres edificaciones en concreto reforzado ubicadas en Bogotá, y sometidos a las señales sísmicas del sismo de Quetame 2008.

1.2.2. Objetivos Específicos

 Evaluar el comportamiento sísmico de tres edificaciones en concreto reforzado diseñadas con la microzonificación sísmica y NSR-10.

 Analizar la incidencia de la respuesta sísmica del suelo en los niveles de daño alcanzados por las edificaciones bajo estudio.

1.3. ALCANCE

Como se ha explicado en numerales anteriores, este trabajo ahonda en lo estudiado en trabajos investigativos pasados, y para el caso de Romero y Becerra (2006) y Pinzón (2009), lleva los estudios realizados por estos a nuevos niveles.

(46)

 El estudio realizado sólo es aplicable a Edificaciones construidas en Concreto Reforzado de acuerdo con la NSR-10 y la Microzonificación Sísmica para Bogotá (2010).

 El análisis de las edificaciones se realizó mediante modelos computacionales, por lo cual constituye un análisis teórico y no hay verificación experimental del mismo.

 Se realizó el análisis para 6 edificaciones usando en todas la planta típica utilizada por García (1996), y se modelaron siguiendo los parámetros no lineales establecidos en el ATC-40. Estos son usados para establecer el nivel de daño de las estructuras ante los sismos.

(47)

2.

MARCO TEÓRICO

(Adaptado de Romero y Becerra (2006))

2.1. ASPECTOS BÁSICOS DEL ANÁLISIS NO LINEAL

El análisis lineal asume que la relación entre cargas y desplazamientos resultantes es lineal, es decir, se cumple el principio de superposición: si se duplica la magnitud de la carga se obtiene el doble de respuesta del modelo (desplazamientos y fuerzas internas resultantes). Todas las estructuras reales se comportan de forma no lineal a partir de un cierto nivel de carga. En muchos casos, un análisis lineal puede ser adecuado, pero en otros muchos la solución lineal producirá resultados equivocados, en cuyo caso se deberá realizar un análisis no lineal.

Figura 2-1. Respuesta análisis lineal y no lineal. (Tomado de http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.html)

2.1.1. Análisis no lineal geométrico

(48)

Figura 2-2. Análisis no lineal por la geometría de la estructura. (Tomado de

http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.html)

2.1.2. Análisis no lineal por el material

Otra importante causa de no linealidad se debe a la relación no líneal exsistente entre esfuerzo y deformación. Esta situación ocurre cuando el material no sigue la Ley de Hooke, es decir, los esfuerzos no son directamente lineales a las deformaciones. Algunos materiales se comportan linealmente sólo si las deformaciones son muy pequeñas, otros materiales, en cambio, siguen comportamientos completamente diferentes. Existen diferentes factores causantes de comportamiento no lineal del material, por ejemplo, la dependencia de la curva esfuerzo deformación del material, de la historia de cargas (como en los problemas con plasticidad), la duración de la carga (análisis de fluencia – creep) o la temperatura (problemas termoplásticos). Un ejemplo de comportamiento no lineal por el material es el caso de plastificación de la unión viga columna durante un sismo.

Figura 2-3. Comportamiento de unión viga-columna ante cargas dinámicas. (Tomado de

(49)

2.2. MATERIALES

Para hacer la modelación de las edificaciones, los materiales que se tuvieron en cuenta fueron los que conformaban los elementos estructurales, a saber: Acero y concreto. (Para el segundo, en caso confinado e inconfinado). Debido a que los elementos estructurales están hechos con concreto reforzado, que según la norma sismo resistente, hay que colocar siempre refuerzo transversal, aunque sea con la cuantía mínima. Esto asegura que los elementos tengan una zona de concreto confinado, lo que hace que la resistencia de estos sea mayor.

El concreto sin confinamiento, cargado uniaxialmente en compresión, tiene una relación de poisson del orden de 0.15 a 0.2, en los estados iniciales de carga, cuando se introducen niveles de deformación axial altos. Las deformaciones transversales se vuelven muy grandes debido a una microfisuración progresiva interna, lo cual conlleva a un aumento del volumen del concreto cuando los esfuerzos se acercan a los valores de la resistencia no confinada del concreto. La falla ocurre por rotura longitudinal del concreto. Cuando hay refuerzo transversal, se sabe que a niveles bajos de deformación longitudinal, el refuerzo transversal está sometido a esfuerzos muy bajos y por lo tanto está en un estado no confinado. Por esta razón, la curva esfuerzo deformación presentada por Kent y Park es la misma para concreto confinado y no confinado, para deformaciones unitarias inferiores a 0.002. Se supone que a esos valores de deformación unitaria, y por lo tanto de esfuerzos, el refuerzo transversal no está confinando el núcleo central del elemento estructural, en cuanto el volumen del concreto no se ha expandido lo suficiente por efectos del módulo de Poisson del material. En la medida que las deformaciones transversales se hacen mayores, el refuerzo transversal induce confinamiento en el concreto del núcleo. Por lo tanto, el refuerzo transversal aplica una presión de confinamiento pasiva, la cual mejora sustancialmente la relación esfuerzo deformación del concreto para valores altos de deformación.” (Ruiz, 2000)

(50)

2.2.1. Concreto inconfinado

Para el concreto inconfinado se tiene la siguiente curva representativa.

Figura 2-4. Curva esfuerzo deformación para concreto inconfinado. (Tomado de XTRACT)

Donde:

εcc= Deformación unitaria en máxima resistencia 0.002

εcu=Deformación última del concreto

εsp=Deformación de descascaramiento

f’c= Resistencia a la compresión del concreto a los 28 días de curado

fcu=Esfuerzo para la deformación εcu

fcp=Resistencia del concreto después del descascaramiento

Las ecuaciones que describen el comportamiento del modelo esfuerzo deformación con el cual se obtiene la curva son las siguientes: (Pristley et. ál, 1988).

Cuando la deformación es lenta, y hasta que llega a f’c:

2-1

(51)

2-3 Donde:

f’cc es la resistencia a la compresión del concreto confinado.

εc es la deformación longitudinal a la compresión del concreto.

Ec es el módulo de elasticidad tangente del concreto.

Eses es el módulo de elasticidad secante.

Cuando la deformación unitaria es menor a la deformación de descascaramiento se utiliza la siguiente ecuación:

2-4.

Esta resistencia para el concreto inconfinado se utiliza para la zona de la sección de los elementos de concreto reforzado que queda afuera del acero transversal.

2.2.2. Concreto Confinado

La curva representativa para el concreto confinado es la siguiente:

(52)

Donde:

εcc= Deformación unitaria en máxima resistencia 0.002

εcu=Deformación última del concreto

f’c= Resistencia a la compresión del concreto a los 28 días de curado

fcc=Resistencia máxima del concreto confinado (aproximadamente 25% más que en concreto

inconfinado)

Las ecuaciones que describen el comportamiento del modelo esfuerzo deformación con el cual se obtiene la curva son las siguientes: (Pristley et. al, 1988)

2-5

2-6

Este aumento en la resistencia se debe a la presencia del acero transversal. El aumento es válido para deformaciones menores a 0.002 (deformación para la máxima resistencia).

2.2.3. Acero de refuerzo

La curva representativa para el acero basada en el modelo bilineal de endurecimiento por deformación parabólica es la siguiente:

(53)

Donde:

fy es el esfuerzo de fluencia

εy es la deformación unitaria de fluencia

εsh es la deformación unitaria de la fase de endurecimiento

fu es el esfuerzo último o de rotura

εu es la deformación última del material

El comportamiento del modelo se representa por la siguiente ecuación:

2-7.

2.3. DIAGRAMAS MOMENTO CURVATURA

El radio de curvatura de una sección se mide con respecto al eje neutro de la sección. El radio de curvatura, R, la profundidad del eje neutro kd, la deformación del concreto en la fibra extrema a compresión y la deformación del acero a tensión varían a lo largo del miembro.

Teniendo en cuenta la teoría de Maner, si se considera un pequeño elemento de longitud dx, componente de un elemento estructural sometido a flexión, se puede elaborar un gráfico a partir del cual se establecen las siguientes relaciones:

2-8

2-9

(54)

Como 1/R es la curva del elemento (rotación por unidad de longitud), entonces se tiene que:

2-10

La curvatura φ puede variar a lo largo de la longitud del miembro de las fluctuaciones del eje neutro y de las deformaciones. Con incrementos en el momento, las fracturas en el concreto reducen la rigidez de la sección, reducción que es mayor para las secciones que no posean demasiado refuerzo de acero longitudinal. Las secciones que están subreforzadas, presentan un diagrama M-φ prácticamente lineal hasta el punto de fluencia del acero. “Cuando el acero fluye, se presenta un gran incremento en la curvatura para aproximadamente el mismo momento flector. El momento va creciendo lentamente y luego baja hasta la falla, que se define cuando el concreto llega a la deformación unitaria de εc” (García, 1998).

Una curva típica para una sección con poco acero (con cuantía inferior a la balanceada) se presenta en la siguiente figura:

Figura 2-8. Diagrama momento-curvatura, para una sección sub-reforzada. (Tomado de Análisis no lineal simplificado de estructuras, Universidad de los Andes, Bogotá 2000)

(55)

2.3.1. Determinación del diagrama Momento Curvatura

Cuando un miembro de concreto es reforzado moderadamente, la relación momento curvatura se puede tomar virtualmente elastoplástica. La distribución teórica debe estar compuesta por dos segmentos con una marcada tendencia lineal y dos curvas.

Figura 2-9. Diagrama teórico momento curvatura. (Tomado de Análisis no lineal simplificado de estructuras, Universidad de los Andes, Bogotá 2000)

En un inicio, se tiene una recta que cambia abruptamente su pendiente cuando se presenta una microfisura, la cual logra atravesar la sección a tensión del concreto. Luego, se presenta otra recta que llega a un momento tal que se presenta una rótula plástica, ya que la sección presenta altas curvaturas φ para pequeños incrementos de momento M. Cuando se ingresa al rango inelástico de la estructura, la curva de esfuerzo contra deformación se comporta de manera diferente dependiendo del confinamiento del concreto. Cuando el concreto no está confinado su comportamiento es como el de un cilindro estándar, en el cual f’c es la resistencia máxima a la compresión. La curvatura inicial es una parábola que se convierte en una recta con pendiente negativa al llegar a f’c. La magnitud de la pendiente negativa de esta recta es inversamente proporcional al confinamiento, esto quiere decir que un concreto altamente confinado tendrá una pendiente negativa de menor magnitud.

(56)

acero, de tal forma que se conserva el equilibrio en toda la sección. “Por esta razón la aparición de la primera grieta hace que las deformaciones aumenten en el miembro. Asimismo, cuando un concreto es de alta resistencia, es fácil que se presenten descascaramientos debidos a la fragilidad del material.” (Reyes, 1989) El diagrama de momento curvatura puede definirse mediante tres puntos básicos:

 Punto A: Primer agrietamiento del concreto.

 Punto B: Fluencia del acero a tensión.

 Punto C: Punto de resistencia última del concreto.

Toda la teoría que se desarrollará a continuación será aplicada para unidades de fuerza en kg y unidades de desplazamiento en cm. Para otro tipo de sistema de unidades debe cambiarse algunas constantes.

Especificaciones de los materiales estructurales:

 Acero de Refuerzo:

As: Área de acero de refuerzo a tensión.

A’s: Área de acero de refuerzo a compresión.

Es: Módulo de elasticidad del acero.

fy: Esfuerzo de fluencia del acero.

 Concreto:

f’c: Resistencia máxima a la compresión de un cilindro de concreto a los 28 días.

Ec: Módulo de elasticidad del concreto.

2.3.1.1. PUNTO A: PUNTO DE PRIMER AGRIETAMIENTO

Cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en el concreto: fr: Esfuerzo en el concreto para el primer agrietamiento.

(57)

Deformación unitaria en el primer agrietamiento:

2-12

n: Relación modular.

2-13

Cálculo de deformaciones unitarias en el acero:

εs: Deformación unitaria en el acero a tensión para la carga aplicada

2-14.

εy: Deformación unitaria de fluencia en el acero.

Cálculo de la inercia de la sección transformada:

Figura 2-10. Sección transversal de una viga de concreto reforzado.

Yb: Localización de la fibra extrema a compresión medida a partir del centroide de la sección.

Yt: Localización de la fibra extrema a tensión medida a partir del centroide de la sección.

(58)

Tabla 2-1. Momentos de área. (Tomado de Romero y Becerra, 2006)

2.3.1.2. PUNTO B: PUNTO DE FLUENCIA EN EL ACERO

Ocurre cuando el esfuerzo del acero que se encuentra a tensión llega a un valor de fy. Como se puede observar en la Figura 2-11.

Sea kd la distancia desde el eje neutro hasta la fibra extrema a compresión. Luego k es una fracción de la altura efectiva d.

2-16

Figura 2-11. Deformaciones unitarias en el punto de fluencia del acero. (Tomado de Diseño a Flexión basado en curvas esfuerzo deformación. Romo, 2007)

(59)

2-17. Se compara εc con ε0=0.002. Si εc<ε0, entonces se debe usar las siguientes expresiones:

2-18.

2-19

Si εc>ε0, entonces se debe usar las siguientes expresiones, para α y para γ:

2-20

2-21

Realizando la sumatoria de fuerzas, a partir del diagrama de cuerpo libre de la siguiente figura

Figura 2-12. Equilibrio de fuerzas en el punto de fluencia del acero. (Tomado de Análisis no lineal simplificado de estructuras, Universidad de los Andes, Bogotá 2000)

(60)

2-22.

De compatibilidad de deformaciones se tiene:

2-23

Y reemplazando:

2-24

Pero α es una función de εc y por lo tanto utilizando tanteos se busca un valor de εc que cumpla la

ecuación anterior. Con el valor de εc se busca γ y el momento se obtiene con:

2-25

La curvatura se calcula con:

2-26

2.3.1.3. PUNTO C: PUNTO ÚLTIMO

Figura 2-13. Fuerzas y deformaciones unitarias en el punto de la resistencia última de la sección. (Tomado de Análisis no lineal simplificado de estructuras, Universidad de los Andes, Bogotá 2000)

(61)

2-27.

De compatibilidad de deformaciones:

2-28. Y reemplazando:

2-29.

Si ε0=0.002<εc<ε20c=0.8/z+0.002, entonces se debe usar las siguientes expresiones para α y para γ.

2-30

2-31

Si ε0=εc>ε20c=0.8/z+0.002, entonces debe usarse las siguientes expresiones para α y para γ.

2-32

2-33 Pero εcues conocido, por lo tanto α y γ también. Esto permite despejar el valor de εs que cumple la

ecuación:

2-34

Finalmente el momento se obtiene con la siguiente expresión:

(62)

La curvatura se calcula con:

2-36

Asimismo, pueden ser calculados los diagramas de momento curvatura para columnas y vigas doblemente reforzadas.

2.3.2. Determinación del diagrama momento curvatura para columnas

Toda la teoría que se desarrollará a continuación, funciona para unidades de fuerza, en kg, y unidades de desplazamiento en centímetros. Para otro tipo de sistema de unidades deben cambiarse algunas de las constantes.

Figura 2-14. Dimensiones de la sección transversal de una columna de concreto reforzado. (Tomado de Análisis no lineal simplificado de estructuras. Universidad de los Andes. Bogotá, 2000)

Especificaciones de los materiales estructurales:

 Acero de Refuerzo:

As: Área de acero de refuerzo a tensión.

A’s: Área de acero de refuerzo a compresión.

Es: Módulo de elasticidad del acero.

fy: Esfuerzo de fluencia del acero.

 Concreto:

f’c: Resistencia máxima a la compresión de un cilindro de concreto a los 28 días.

(63)

2.3.2.1. PUNTO A: PRIMER AGRIETAMIENTO

Cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en el concreto: Cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en el concreto: fr: Esfuerzo en el concreto para el primer agrietamiento.

2-37.

Deformación unitaria en el primer agrietamiento:

2-38

n: Relación modular.

2-39

Cálculo de deformaciones unitarias en el acero:

εs: Deformación unitaria en el acero a tensión para la carga aplicada

2-40

εy: Deformación unitaria de fluencia en el acero.

2-41

ε’s: Deformación unitaria en el acero a compresión para la carga aplicada

2.3.2.2. PUNTO B: PUNTO DE FLUENCIA DEL ACERO A TENSIÓN

Sea kd la distancia desde el eje neutro hasta la fibra extrema a compresión. Luego k es una fracción de

la altura efectiva d.

2-42

(64)

Se debe proceder a verificar la deformación unitaria en el concreto sabiendo que el acero se encuentra en su esfuerzo de fluencia. Por relaciones de triángulos se llega a la siguiente expresión:

2-43

Se compara εc con ε0=0.002. Si εc<ε0, entonces se debe usar las siguientes expresiones:

2-44

2-45

Si ε0=0.002<εc<ε20c=0.8/z+0.002, se deben usar las siguientes expresiones para α y para γ.

2-46

2-47

Parámetro z:

2-48

2-49.

(65)

Figura 2-15. Geometría de un estribo de acero.

ρs: Relación del volumen del refuerzo transversal al volumen de concreto en el núcleo confinado,

medido fuera de los estribos.

b’’: Ancho del estribo medido fuera-fuera. Sh: Espaciamiento de estribos.

Se debe cumplir equilibrio entre las fuerzas actuantes y las fuerzas resistentes. Por lo tanto se tiene:

2-51

Donde se tiene el acero a tensión trabajando en fluencia, el concreto trabajando a compresión y el acero a compresión trabajando a un esfuerzo fs. Se debe posteriormente realizar una verificación del

acero a compresión.

Figura 2-16. Sumatoria de fuerzas en el punto de fluencia del acero.

(66)

2-52.

Entonces el acero a compresión no fluye. Si

2-53

Entonces el acero a compresión fluye y se tiene que ε’s es igual a εy.

Posteriormente se calcula el esfuerzo al que está sometido el acero a compresión: Si el acero a compresión no fluye, entonces:

2-54

Si el acero a compresión fluye, entonces:

2-55

Ahora se procederá a calcular el momento de fluencia como sigue:

Sea My el momento de fluencia, el cual debe ser calculado con respecto al centroide de la sección de la

columna, que es el punto alrededor del cual se están evaluando los momentos en el análisis estructural:

2-56

Finalmente, se debe calcular la curvatura de la sección en fluencia del acero a tensión, como se muestra en la siguiente expresión:

2-57

2.3.2.3. PUNTO C: PUNTO ÚLTIMO

En este punto εc=εcu, y no se tiene en cuenta el endurecimiento por deformación del acero de

refuerzo.

(67)

2-58

2-59

Si ε0=εc>ε20c=0.8/z+0.002

Entonces debe usarse las siguientes expresiones para α yγ

2-60

2-61

Figura 2-17. Sumatoria de fuerzas en el punto de resistencia última de la sección.

2-62

Se supone que f’s es igual fy, luego se debe verificar lo siguiente:

2-63

Si kd>d’ igual al recubrimiento, entonces el acero a compresión fluye. Por lo tanto fs=fy.

Si por el contrario kd<d’, se debe recalcular fs.

(68)

Calcular kd con la siguiente expresión:

2-64

Luego se calcula ε’s con:

2-65

Luego se calcula f’s=Es*ε’s.

Este valor calculado debe ser semejante al valor supuesto. De lo contrario, se debe reiniciar el proceso, suponiendo el f’s hallado mediante esta última ecuación. Por último se calcula el momento

último de la sección mediante la siguiente ecuación:

2-66

Y la curvatura última de la sección con la siguiente ecuación:

2-67

2.4. NIVEL DE DESEMPEÑO DE LAS ESTRUCTURAS

El documento (ATC, 1996) Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings clasifica por separado el nivel de desempeño de la estructura y el nivel de desempeño de los elementos no estructurales para que al combinarlos conduzcan a estimar el nivel de desempeño de la edificación.

2.4.1. Elementos Estructurales

SP-1: Ocupación Inmediata (IO): El sistema resiste cargas verticales y horizontales, permanece prácticamente inalterado, el peligro a la vida es despreciable. Se pueden presentar daños estructurales menores, pero el edificio sigue funcionando en su totalidad.

(69)

SP-3 Seguridad a la vida: (LS): Se presenta un daño significativo en la estructura; sin embargo, la mayoría de los elementos se mantiene aunque no se puede garantizar la protección a la vida. Costos elevados asociados a las reparaciones estructurales.

SP-4 Rango de Seguridad Limitada: (LS-SS): Corresponde a un estado de daño que varía entre las condiciones de seguridad y estabilidad estructural, con alto peligro para los ocupantes.

SP-5: Estabilidad Estructural: (SS): Corresponde a un estado de daño en el cual el sistema estructural está en el límite de experimentar un colapso parcial o total. Han sucedido daños sustanciales con una significativa degradación de la rigidez del sistema que resiste las cargas laterales. Aun cuando el sistema que soporta las cargas verticales mantiene la capacidad suficiente para evitar el colapso, existe un elevado peligro para los ocupantes y transeúntes, así como un peligro elevado en caso de réplicas. Estas edificaciones requieren reparaciones estructurales significativas.

SP-6: Colapso: (C): No corresponde a un nivel de desempeño de la estructura, sino a una condición en la cual sólo se incluye una evaluación de los componentes no estructurales.

Figura 2-18. Curva de desempeño típico. (Tomado de ATC, 1996)

2.4.2. Nivel global de desempeño

(70)

La designación NR corresponde a niveles de desempeño no recomendables en el sentido en que no deben ser considerados en la evaluación.

Operacional 1-A: Se relaciona con la funcionalidad. Los daños en componentes permanecen funcionando. Cualquier reparación requerida no perturbará ninguna función. Se mantiene la seguridad de los ocupantes. Se mantienen las funciones de los servicios de la edificación, incluso cuando los externos a la misma no estén disponibles.

Ocupación inmediata 1-B: Los espacios de la edificación, los sistemas y los equipamientos permanecen utilizables. Se mantienen en funcionamiento los servicios primarios. Posiblemente, algunos servicios secundarios presenten pequeñas interrupciones de fácil e inmediata reparación. Se mantiene la seguridad de los ocupantes.

Seguridad a la vida 3-C: Corresponde a un estado de daños que representa una baja probabilidad de atentar contra la vida. Constituye el nivel de desempeño de la edificación que se espera alcanzar con la aplicación de los actuales códigos sísmicos. Es decir que corresponde a un desempeño equivalente al que se obtendría con la aplicación sistemática de los actuales códigos de diseño sísmico. Se caracteriza por presentar daños limitados en los componentes estructurales y el eventual fallo o volcamiento de los componentes no estructurales, con posibilidad incluso de falla en algún elemento peligroso o en alguno de los componentes primarios y secundarios, siempre que no atente contra la vida de los usuarios.

(71)

Tabla 2-2. Niveles de desempeño. (Adaptado de ATC 1996)

SP-1 Ocupación Inmediata

SP-2 Rango Daño Controlado

SP-3 Seguridad a la Vida

SP-4 Rango Seguridad Limitada SP-5 Estabilidad Estructural SP-6 Colapso

1-A Operacional 2-A NR NR NR NR

2-B Ocupación

Inmediata 2-B 3-B NR NR NR

1-C 2-C 3-C Seguridad a la Vida 47-C 5-C NR

NR 2-D 3-D 4-D 5-D 6-D

NR NR 3-E 4-E 5-E Estabilidad

Estructural

No Aplicable

2.5. RESPUESTA HISTERÉTICA

Este tipo de amortiguamiento es muy importante cuando se está hablando de análisis estructurales sometidos a fuerzas sísmicas ya que la característica fundamental es que se tiene en cuenta que el comportamiento de un determinado evento depende de la historia de una acción previa que hace que las características del sistema cambien en cada momento, de donde se desarrolla el concepto de no linealidad. Este concepto implica necesariamente que los materiales después de haber soportado cierto grado de exigencia nunca vuelven a su estado original.

(72)

Figura 2-19. Estructura sometida a cargas dinámicas. (Tomado de Espectros de Respuesta y de Diseño. Ingeniería sismo-resistente. Universidad Nacional de Cuyo, 2002)

Figura 2-20. Curva Esfuerzo deformación para un material inelástico. (Tomado de Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. Editorial Universidad de los Andes, 1998)

(73)

Tabla 2-3. Pasos para pasar de carga a deflexión en sistemas elásticos. (Tomado de García 1998)

De lo anterior se puede anotar que las expresiones tienen una aplicabilidad muy limitada cuando se está trabajando con concreto reforzado. Esto es debido a que como se ha expuesto en el numeral anterior el concreto sólo se comporta elásticamente hasta un valor muy pequeño de deformaciones. Además, el comportamiento elástico del acero de refuerzo, aunque abarca deformaciones mayores que las del concreto, desaparece cuando se sobrepasa el esfuerzo de fluencia. Considerando que el concreto reforzado es la combinación de estos dos materiales, su comportamiento deja de ser elástico desde que se presenta la primera grieta. Por esta razón, las expresiones mostradas en la Figura 2-3 no pueden ser usadas para el concreto reforzado en todo su rango de trabajo. A pesar de esto, es posible hallar las deflexiones en un elemento de concreto reforzado integrando su diagrama de momento-curvatura a lo largo de su longitud.

Figura 2-21. Curva típica momento curvatura. (Tomado de Marín, 2004)

(74)

de la sección total sin fisurar. A partir de ahí, el eje neutro se eleva debido a la grieta y el comportamiento sigue siendo similar al inicial hasta que fluye el acero de refuerzo en el punto 2. Desde este punto cambia el comportamiento debido a la fluencia del acero, en la cual aumenta la curvatura sin que aumente el momento. Esta etapa termina cuando se presenta el inicio del endurecimiento por deformación del acero en el punto 3, en la cual la curva aumenta su resistencia hasta que el acero llegue a su resistencia máxima. En este momento se da la resistencia máxima del concreto. De ahí, la resistencia del elemento empieza a descender hasta que se presenta la falla por tensión del acero. Este comportamiento se presenta para vigas con cuantías menores a la balanceada, y además se garantiza que no va a haber falla por cortante ni falla de adherencia entre el concreto y el acero (García, 1998).

Ahora, si se analiza el comportamiento de una viga en voladizo a la cual se le aplica una carga en el extremo libre como en la Figura 2-22 se pueden apreciar las distribuciones de las curvaturas en los casos de que la carga sea la de fluencia y que sea la carga última. En el caso de la carga de Fluencia, se observa una distribución uniforme de las columnas, pero al pasar a la carga que provoca el momento último de la sección, hay una concentración de curvaturas grande en una zona adyacente a la base del voladizo. En esta zona se presenta el mayor momento de toda la viga, y además, las más grandes rotaciones. Esta zona se llama articulación plástica. La longitud en la que se presenta esta concentración de curvaturas se llama longitud de plastificación. (García, 1998). Según Ruiz (2000) “La longitud de plastificación se define como la zona donde el momento aplicado sobre la sección iguala o excede el momento de fluencia del acero, es decir, la zona del elemento estructural donde la curvatura es mayor a la curvatura de fluencia, pero inferior a la curvatura última. Esta zona de plastificación no posee una distribución uniforme, sino que por el contrario es variable. En gran medida la distribución de la curvatura depende de la

(75)

Figura 2-22. Distribución de la curvatura de una viga en voladizo. (Tomado de Ruiz, 2000)

Existen diferentes modelos de ciclos de histéresis, cada uno con diferentes hipótesis con el objeto de representar adecuadamente el comportamiento de los materiales o de las estructuras teniendo en cuenta sus diversas características de deformación. Algunos de esos modelos son, como se muestra en la Figura 2-23, el modelo elasto-plástico, el cual maneja niveles de elasticidad hasta que llega al punto en que se deforma sin aumentar la carga, luego se descarga y se devuelve manteniendo un comportamiento elástico hasta que se carga de nuevo y vuelve a llegar al punto de plasticidad. Este es uno de los métodos más convencionales. También existen otros métodos, los cuales se basan en algunos análisis experimentales como ensayos sobre mesas vibratorias y curvas de fuerza deformación de diferentes materiales como son el modelo de Ramberg-Osgood, y el de rigidez degradante.

(76)

2.6. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE LAS ESTRUCTURAS

La dinámica dentro del contexto de la mecánica, es el estudio de los cuerpos o conjunto de partículas en movimiento. Cuando un cuerpo se desplaza e una posición de equilibrio estable, el cuerpo tiende a volver a esa posición al verse afectado por la acción de fuerzas que tienden a restablecer la situación de equilibrio. Si el cuerpo se considera como una unidad y se desprecian las deformaciones relativas entre sus diferentes partes, se aplican los principios de dinámica de cuerpos rígidos. Cuando es apropiado tener en cuenta los desplazamientos relativos entre las diferentes partes del cuerpo, se aplica el principio de la dinámica de cuerpos flexibles. (García 1998).

La esencia de los análisis dinámicos se fundamenta en la segunda ley de Newton “La fuerza que actúa sobre un cuerpo y causa su movimiento es igual a la tasa de cambio del momentum del cuerpo”. Debido a que el momentum es igual a la masa del cuerpo por la velocidad, y asumiendo que la masa permanece constante, se desarrolla la expresión que rige el comportamiento.

2-68

En donde:

Q=Momentum del cuerpo

M=masa del cuerpo

V=velocidad del cuerpo

X=desplazamiento del cuerpo, o localización del mismo.

F=resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo

A=aceleración del cuerpo

Lo que lleva al concepto más importante de la dinámica que es la sumatoria de las fuerzas actuantes es igual a la masa por la aceleración. Este concepto lleva a todo el desarrollo de la dinámica estructural, complementándose con la primera y tercera ley de Newton para lograrlo.

(77)

2-69

Donde los vectores de fuerza variables en el tiempo t son: F(t)I:Vector de acciones de inercia y las masas concentradas.

F(t)D: Vector de fuerzas por amortiguamiento, supuesto como de tipo viscoso.

F(t)S: Vector de fuerzas por deformación de la estructura.

F(t): Vector de cargas aplicadas externamente.

La ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. es válida tanto para sistemas lineales como no lineales si el equilibrio dinámico se plantea con respecto a la geometría deformada de la estructura. En caso de un análisis lineal la ecuación se puede describir en términos de los desplazamientos nodales o de piso de la siguiente forma:

2-70.

Donde [M] es la matriz de masas, [C] es la matriz de amortiguamiento viscoso (definido para considerar la energía de disipación en la estructura real) y [K] es la matriz de rigidez para el sistema estructural. Los vectores dependientes del tiempo u(t)a, ů(t)a y ü(t)a son los desplazamientos,

velocidades y aceleraciones absolutas nodales o de piso respectivamente.

En el caso de una acción sísmica, las cargas externas f(t) se consideran iguales a 0. Los movimientos sísmicos básicos son las tres componentes de desplazamiento de la base u(t)ig que son conocidos en los

puntos que se encuentran a nivel de la cimentación. Es usual plantear la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. en términos relativos a los desplazamientos de la base. Es decir, los desplazamientos relativos u(t), velocidades relativas ů(t) y aceleraciones relativas ü(t).

En consecuencia, los desplazamientos, velocidades y aceleraciones absolutas pueden eliminarse de la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. mediante las siguientes ecuaciones:

2-71

(78)

2-73

Donde 1i es un vector con 1 en las posiciones correspondientes a los grados de libertad en la dirección

i, y 0 en las otras posiciones. Sustituyendo las ecuaciones anteriores, en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. las ecuaciones de movimiento son más estrictas como sigue:

2-74

Donde Mi=M1i

La forma simplificada de la ecuación anterior es posible dado que los desplazamientos y las velocidades de cuerpo rígido asociados con los movimientos de la base, no causan fuerzas restauradoras elásticas o de disipación adicionales.

(79)

3.

DISEÑO DE EDIFICACIONES

Debido a la reciente implementación del decreto 926 de 2010 que establece el Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente NSR-10, y aún más al decreto 523 de 2010, zonificación de respuesta sísmica para el diseño sismo resistente de edificaciones de Bogotá, cuyo decreto fue emitido el 16 de Diciembre de 2010, y la necesidad de edificaciones que hayan sido diseñadas con estas normativas, como parte del presente trabajo, se realizó el diseño de 6 edificaciones utilizando estos nuevos reglamentos de construcción sismo resistente para Bogotá. Aprovechando que no se utilizaron edificios ya construidos, se realizó el diseño de edificios regulares, que no incurren en ninguna irregularidad de forma, como las expuestas en la NSR-10. Esto permitió aislar potenciales problemas de torsión, problemas de columna corta o de piso débil inducidos por la forma, dejando el comportamiento sísmico de la estructura a merced de la señal sísmica.

Para esto, se hizo uso de la planta típica usada por García (1996), mostrada en la Figura 3-1.

Figura 3-1. Planta Típica adaptada de García (1996).

(80)

Figura 3-2. Pórticos de 5, 12 y 20 pisos.

Adicional a esto, se utilizaron dos espectros de diseño característicos de la nueva microzonificación sísmica de Bogotá, a saber, Piedemonte-B y Lacustre-500.

Gráfica 3-1. Espectros de diseño Microzonificación Sísmica de Bogotá.

Con respecto a estos espectros de diseño, se tomaron los dos casos más críticos para suelo rocoso y para suelo blando. Estos dos casos, en cuanto a la aceleración máxima y el ancho de su plataforma

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0 1 2 3 4 5 6 7

S

a

(g)

Periodo (s)

Espectro de Diseño

CERROS PIEDEMONTE A PIEDEMONTE B

PIEDEMONTE C LACUSTRE-50 LACUSTRE-100

LACUSTRE-200 LACUSTRE-300 LACUSTRE-500

LACUSTRE ALUVIAL-200 LACUSTRE ALUVIAL-300 ALUVIAL-50

(81)

fueron el espectro de diseño de Piedemonte B, que tiene una plataforma de 0 a 0.56 segundos, y tiene en su plataforma una aceleración espectral de 0.731 g, la mayor dentro de toda la microzonificación. Al mismo tiempo, el espectro que tiene una plataforma con la aceleración espectral más baja y al mismo tiempo una de las plataformas más extensas fue el suelo Lacustre-500. Este espectro tiene una plataforma que va de 0 a 1.82 segundos, y su aceleración máxima es de 0.356 g, la aceleración máxima más baja de toda la microzonificación sísmica de Bogotá.

Desde periodos cercanos a 1 segundo, tanto los espectros de Piedemonte B, como los de Piedemonte A, Piedemonte C, Depósito de Ladera y Aluvial – 50 empiezan a demandar menor aceleración espectral que el espectro de lacustre – 500. Desde ese punto, el espectro de Cerros demanda menor aceleración que los 5 espectros mencionados, pero no corresponde a un comportamiento que sigan varios espectros, y es más bien un espectro en cierta medida aislado. Es por esta razón que aunque podría ser un espectro más crítico (al demandarle muy poca aceleración espectral a edificios de periodos altos) no es un espectro que tenga un comportamiento común dentro de la microzonificación.

3.1. METODOLOGÍA DE DISEÑO.

Para realizar el diseño de las edificaciones se siguió los lineamientos del Código de Construcción Sismo Resistente NSR-10, y los espectros antes mencionados de la microzonificación sísmica de Bogotá.

De acuerdo con esto, los edificios se diseñaron con sistemas aporticados en una dirección. En orden a esto, los pórticos cargueros de los edificios son aquellos con las luces mayores, para que las viguetas de la losa (que no se diseñó debido a que no contribuye sísmicamente a la edificación) tengan las luces menores.

3.1.1. Avalúo de Cargas.

(82)

3.1.1.1. CARGA MUERTA.

Al ser los 6 edificios a diseñar idénticos en longitud de luces, alturas de entrepiso, y área de entrepiso, los avalúos de cargas muertas y vivas son idénticos para todos.

Todo el avalúo de carga muerta se realizó de acuerdo con el título B de la NSR-10, utilizando para Bogotá un módulo de 3900*f’c½.

Tabla 3-1. Características del Concreto.

Características del Material

γ concreto 24 kN/m³

f'c 28 MPa

E concreto 20636.8602 MPa

Tabla 3-2. Características de la losa de entrepiso.

Longitud 7.5 m

Altura entrepiso calculado 0.405 m

Altura entrepiso 0.42 m

Losa superior 0.05 m

Losa inferior 0.03 m

Altura vigueta 0.34 m

Ancho vigueta 0.15 m

Tabla 3-3. Avalúo de Carga Muerta Pisos intermedios.

Carga Muerta (kN/m²) Pisos 2-penúltimo

Losa superior 1.2 kN/m²

Losa inferior 0.72 kN/m²

Vigueta 1.224 kN/m²

Casetón 0.2 kN/m²

Muros divisorios 2.931 kN/m²

Afinado 1.5 kN/m²

TOTAL 7.775 kN/m²

(83)

Tabla 3-4. Peso por metro lineal sobre vigas de pórticos cargueros.

Pórticos Cargueros Pisos 2-penúltimo Vigas Esquineras 29.159 kN/m

Vigas Centrales 58.319 kN/m

Debido a que el último piso sólo corresponde a la cubierta, el avalúo de cargas para este piso se realiza por aparte.

Tabla 3-5. Avalúo de Carga Muerta para la Cubierta.

Carga Muerta (kN/m²) Cubierta

Losa superior 1.2 kN/m²

Losa inferior 0.5 kN/m²

Vigueta 1.224 kN/m²

Capa Bituminosa 0.22 kN/m²

Casetón 0.2 kN/m²

TOTAL 3.344 kN/m²

Y de igual forma se hallan los pesos por metro lineal que se asignan a las vigas de cubierta.

Tabla 3-6. Cargas por metro lineal para vigas de cubierta.

Pórticos Cargueros Cubierta

Vigas Esquineras 12.54 kN/m

Vigas Centrales 25.08 kN/m

Figura 3-3. Asignaciones de Carga Muerta para Pórtico Esquinero en 5 pisos.(Tomado de SAP2000®)

(84)

En la Tabla 3-4 se muestran las asignaciones de carga muerta para el pórtico central del edificio de 5 pisos, con las asignaciones obtenidas en las Tabla 3-4. Peso por metro lineal sobre vigas de pórticos cargueros. y Tabla 3-6. Cargas por metro lineal para vigas de cubierta.

Para los edificios de 12 y 20 pisos las asignaciones son iguales. Todos los pisos excepto la cubierta tienen la misma asignación de carga para cada tipo de pórtico, sea central o esquinero. Del mismo modo, todas las cubiertas tienen la misma asignación de Carga Muerta.

Figura 3-4. Asignaciones de Carga Muerta para Pórtico Central en 5 Pisos.(Tomado de SAP2000®)

De acuerdo con estas asignaciones de carga muerta y las dimensiones finales de vigas y columnas (posterior al diseño), los pesos totales de las edificaciones diseñadas se muestran en la Tabla 3-7. Pesos totales de los Edificios diseñados.

Tabla 3-7. Pesos totales de los Edificios diseñados.

Edificio Zona Peso (kN)

(85)

3.1.1.2. CARGA VIVA

Utilizando como referencia el título B de la NSR-10, se realizó el avalúo de cargas vivas para los edificios en estudio. Al igual que en las cargas muertas, al ser todos los edificios iguales en planta, los pesos debidos a carga muerta son iguales para los 6 edificios.

Tabla 3-8. Avalúo de carga Viva para Pórticos Cargueros.

Carga Viva (kN/m²)

Uso: Residencial 1.8 kN/m²

Pórticos Cargueros

Vigas Esquineras 6.75 kN/m

Vigas Centrales 13.5 kN/m

Figura 3-5. Asignaciones de carga viva para pórtico esquinero en edificio de 5 pisos. (Tomado de SAP2000®)

(86)

3.1.1.3. VIENTO.

De acuerdo con lo estipulado por el Capítulo B.6 de la NSR-10, se le debe asignar una carga de viento mínima de 0.4 kN/m² de fachada. Con esta asignación, se cargaron las vigas únicamente y sus asignaciones están dadas por el área aferente vertical a las vigas.

Tabla 3-9. Asignaciones de carga de viento.

Carga Viento (kN/m²)

En fachada 0.4 kN/m²

Pórticos Cargueros

Vigas intermedias 1.2 kN/m

Viga Cubierta 0.6 kN/m

3.1.2. Metodología de Análisis.

El Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente, decreto 926 de 2010, ofrece varias posibilidades en cuanto a la metodología de análisis a utilizar al realizar el análisis estructural de una edificación. Existe la posibilidad de realizarlo por el método de la fuerza horizontal equivalente, en donde a partir de la rigidez de cada piso, se asignan cargas horizontales en el centro de masa del piso, de acuerdo con la ordenada de aceleración absoluta espectral de la zona en la que vaya a ser construida la edificación.

Sin embargo, esta metodología supone periodos de edificaciones basándose únicamente en su altura, y no en su rigidez y su masa, que son las verdaderas variables que gobiernan el periodo fundamental de una estructura.

Es por eso que el análisis estructural de los edificios diseñados se realizó mediante el método de análisis dinámico elástico espectral. Los requerimientos más importantes de esta metodología incluyen el garantizar una participación máxima de mínimo 90%, por lo que se debe juzgar cuántos modos utilizar para el análisis, y que la fuerza aplicada sea al menos el 80% del de la fuerza horizontal equivalente.

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muertas (incluidas las cargas debidas al peso propio de los elementos) fueron la fuente de masa para la asignación de masas, utilizando la función de “Mass Source”.

Finalmente, para conocer el comportamiento sísmico de la estructura aprovechando sus formas modales de movimiento, se utilizan los espectros de diseño de Piedemonte-B y Lacustre-500 de la microzonificación Sísmica de Bogotá. Ingresando estos como funciones de “Response Spectrum” y agregando casos de análisis de espectro de respuesta, utilizando el método de combinación estadística de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, conocida como SRSS por ser el acrónimo de su nombre en inglés: Square Root of the sum of the squares. (Rosenblueth, 1951).

3.1.2.1. DIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES.

Tal y como está establecido en el Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente, decreto 926 de 2010, se definieron las combinaciones de carga de acuerdo con el método de resistencia. Este método define 7 combinaciones de carga, que combinan las cargas muertas, la carga viva, cargas de viento, carga de sismo, cargas de presión lateral del suelo, cargas de empozamiento de agua y granizo.

De acuerdo con estas 7 combinaciones de carga, se realizó el análisis, revisando la solicitación de derivas para cada una de las combinaciones de carga, variando la configuración y dimensiones de las vigas y las columnas hasta conseguir cumplir con una distorsión de entrepiso máxima del 1%.

Figure

Figura 5-3.Mapa de periodos del suelo en segundos a partir de las señales del sismo de Quetame (2008)
Figura 6-1. Ejemplo de definición de función de historia de aceleraciones. (Tomado de SAP2000®)
Figura 6-2. Caso de análisis estático no lineal de cargas gravitacionales. (Tomado de SAP2000®)
Figura 6-4. Ejemplo de definición de amortiguamiento para los casos no lineales dinámicos cronológicos
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Referencias

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