Aula 1 Lógica Formal pdf

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LOGICA FORMAL

Referência – JUDITH L. GERSTING, Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação: um tratamento moderno de matemática discreta. Rio de Janeiro: LTC, 2012.

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“Você pode comer bolo ou você pode tomar sorvete.”

Lógica Formal:

é aquela que aplica o formalismo matemático, ou

seja, usa a notação matemática e sua manipulação simbólica.

Proposição:

é uma declaração, também chamada de sentença, que

pode ser verdadeira (V) ou falsa (F).

Exemplo:

7 é impar; 1 + 1 = 4;

(3)

Existem frases declarativas que não são proposições:

• Se a frase contiver um termo não especificado. Exemplo: “𝑥 é par.”

• Se a frase é auto referencial. Exemplo: “Esta sentença é falsa.”

“O dobro de 5 é 10?” – Essa frase é uma pergunta, não uma declaração. Portanto não é uma proposição.

“4 + 4” – indica uma operação aritmética, não é uma declaração. Portanto não é uma proposição.

“Vá estudar” – é uma afirmação imperativa, não uma declaração. Portanto não é uma proposição.

“Ela é inteligente” – é uma declaração, mas não fica definido a quem se aplica. Portanto não é uma proposição.

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Conectivo

Símbolo

Nome

e

conjunção

ou

disjunção

não

¬

negação

se...então

condição

se e somente se

bicondição

Na lógica formal, uma proposição mais complicada é formada por

várias proposições simples unidas por conectivos

: “e”, “não”, “ou”,

“se ... então”, “se e somente se”.

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A proposição 𝐴 ∧ 𝐵 (𝐴 e 𝐵) neste caso seria traduzida para o português como: “Você está usando sapatos e não pode cortar as unhas do pé.”

A proposição 𝐴 ∨ 𝐵 (𝐴 ou 𝐵) neste caso seria traduzida para o português como: “Você está usando sapatos ou não pode cortar as unhas do pé.”

A proposição ¬𝐴 (não 𝐴) seria traduzida como:

Você não esta usando sapatos.”

A proposição 𝐴 → 𝐵 (Se 𝐴, então 𝐵) neste caso seria traduzida para o português como: “Se você está usando sapatos entãonão pode cortar as unhas do pé.”

A proposição 𝐴 ⟷ 𝐵 (𝐴 se e somente se 𝐵) neste caso seria traduzida para o português como: “Você está usando sapatos se e somente se não pode cortar as unhas do pé.”

Exemplo: considere as seguintes proposições:

𝐴 = “você está usando sapatos.”

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Significado de cada conectivo lógico:

CONJUNÇÃO:

E (∧): Para que 𝐴 ∧ 𝐵 seja verdadeiro, 𝐴 deve ser verdadeiro e 𝐵 deve ser verdadeiro. Apresentamos abaixo a tabela verdade para esse conetivo.

𝑨

𝑩

𝑨 ∧ 𝑩

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

A expressão 𝐴 ∧ 𝐵 é chamada de conjunção de 𝐴 e 𝐵; e 𝐴 e 𝐵 são chamados os

fatores da expressão.

(7)

DISJUNÇÃO:

OU (∨): Para que 𝐴 ∨ 𝐵 seja verdadeiro, 𝐴 deve ser verdadeiro, ou 𝐵 deve ser verdadeiro, ou ambos devem ser verdadeiros. Apresentamos abaixo a tabela verdade para esse

conetivo.

𝑨

𝑩

𝑨 ∨ 𝑩

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

A expressão 𝐴 ∨ 𝐵 é chamada a disjunção de 𝐴 e 𝐵; e 𝐴 e 𝐵 são chamados de parcelas da expressão.

(8)

Observação: Note que se 𝐴 e 𝐵 forem verdadeiras, 𝐴 ∨ 𝐵 será verdadeira. Para um matemático, a frase “Você pode comer bolo ou você pode tomar sorvete” implica que a pessoa pode comer bolo e tomar sorvete juntos.

Para excluir a possibilidades das duas proposições serem verdadeiras ao mesmo tempo, usamos o OU EXCLUSIVO (símbolo ⊕):

𝑨

𝑩

𝑨⨁𝑩

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

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NEGAÇÃO.

NÃO (¬): Se 𝐴 é verdadeiro, então ¬𝐴 é falso e vice- versa. Apresentamos abaixo a tabela verdade para esse conectivo.

𝑨

¬𝑨

V

F

F

V

A expressão ¬𝐴 representa a negação de 𝐴, e o conectivo usado é o conectivo de negação.

Achar a negativa de uma sentença composta pode exigir algum esforço. Se 𝐴 for a sentença

𝐴 = "Pedro é alto e magro",

então a sentença ¬𝐴 será "É falso que Pedro seja alto e magro", que pode ser reformulada como "Pedro não é alto ou não é magro".

(10)

CONDIÇÃO:

SE... ENTÃO (→): Apresentamos abaixo a tabela verdade para esse conetivo.

𝑨 𝑩 𝑨 → 𝑩

V V V

V F F

F V V

F F V

O conectivo lógico aqui é de condição e indica que a verdade de 𝐴 implica, ou leva, à verdade de 𝐵.

Existem outras maneiras de expressar 𝐴 → 𝐵 na linguagem quotidiana, tal como: “𝐵 é condição necessária para 𝐴”;

"𝐴 é condição suficiente para 𝐵"; "𝐴 somente se 𝐵";

"𝐵 é consequência de 𝐴".

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Por convenção, aceitamos 𝑨 → 𝑩 como verdadeira se 𝑨 for falsa, independentemente do valor-verdade de 𝑩. Dizemos que a sentença é verdadeira por vacuidade.

A tabela-verdade para a condição é menos óbvia do que para a conjunção e

disjunção.

Vamos supor que seu colega de república diga "Se eu me formar este ano, vou tirar férias na Flórida."

Se ele, de fato, se formar este ano e tirar suas férias na Flórida, a sentença será verdadeira.

Se 𝑨 e 𝑩 forem ambas verdadeiras, consideraremos a condição 𝑨 → 𝑩 verdadeira.

Se o seu colega se formar e não tirar as férias na Flórida, seu comentário consistiu em uma sentença falsa.

Quando 𝑨 é verdadeira e 𝑩 é falsa, consideramos 𝑨 → 𝑩 falsa.

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BICONDICIONAL:

SE E SOMENTE SE (⟷): Aqui, ambos 𝐴 e 𝐵 deve ser verdadeiro, ou ambos devem ser falsos. Apresentamos abaixo a tabela verdade para esse conetivo.

𝑨 𝑩 𝑨 ⟷ 𝑩

V V V

V F F

F V F

F F V

O conectivo lógico aqui é o de bicondição (equivalência) cujo símbolo é ⟷.

A proposição composta 𝑨 ⟷ 𝑩 é verdadeira quando 𝑨 e 𝑩 são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Falsa quando as proposições 𝑨 e 𝑩 possuem valor-verdade

distintos.

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O conectivo de bicondição indica que 𝐴 → 𝐵 e que 𝐵 → 𝐴. Ou seja, 𝐴 ⟷ 𝐵 é equivalente a 𝐴 → 𝐵 ∧ 𝐵 → 𝐴 .

𝑨 𝑩 𝑨 → 𝑩 𝑩 → 𝑨 𝑨 ⟷ 𝑩 𝑨 → 𝑩 ∧ 𝑩 → 𝑨

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

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ORDEM DE PRECEDÊNCIA

A ordem de aplicação dos conectivos lógicos é a seguinte:

1) ( ) Para conectivos dentro de vários parênteses, efetua-se primeiro as expressões dentro dos parênteses mais internos.

2) ¬

3) ∧, ∨

4)

5)

A expressão 𝐴 ∨ 𝐵 ⟶ 𝐶 é o mesmo que 𝐴 ∨ 𝐵 ⟶ 𝐶 e não 𝐴 ∨ 𝐵 ⟶ 𝐶 . Na dúvida, use parênteses.

Exemplo: construa a tabela verdade das seguintes expressões:

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Solução: 𝑎) ¬𝑃 ∨ 𝑄 ⟶ ¬𝑄

𝑷 𝑸 ¬𝑷 ¬𝑷⋁𝑸 ¬𝑸 ¬𝑷 ∨ 𝑸 ⟶ ¬𝑸

V V F V F F

V F F F V V

F V V V F F

F F V V V V

𝑏) 𝐴 ∧ ¬𝐵 ⟷ 𝐶 ∨ 𝐵

𝑨 𝑩 𝑪 ¬𝑩 𝑨 ∧ ¬𝑩 𝑪 ∨ 𝑩 𝑨 ∧ ¬𝑩 ⟷ 𝑪 ∨ 𝑩

V V V F F V F

V V F F F V F

V F V V V V V

V F F V V F F

F V V F F V F

F V F F F V F

F F V V F V F

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EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS:

Duas proposições são logicamente equivalentes se têm os mesmos valores V/F para todos os casos, ou seja, se elas têm as mesmas tabelas verdade.

Vimos que as fórmulas lógicas 𝐴 ⟷ 𝐵 e 𝐴 → 𝐵 ∧ 𝐵 → 𝐴 são equivalentes lógicos uma da outra.

Teorema 1 – “Se um quadrilátero tem um par de lados paralelos, então ele tem um par de ângulos suplementares”

Obs: dois ângulos são suplementares quando eles somam 180o.

Considere o seguinte teorema de geometria:

Temos aqui duas sentenças:

𝐴: "Um quadrilátero tem um par de lados paralelos."

𝐵: "𝑈𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑒𝑠. "

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Podemos afirmar um teorema diferente, representado por:

¬𝐵 → ¬𝐴.

O teorema 2 é logicamente equivalente ao teorema 1, pois ambos possuem a mesma tabela verdade.

𝑨 𝑩 ¬𝑨 ¬𝑩 𝑨 ⟶ 𝑩 ¬𝑩 → ¬𝑨

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Dessa forma, se o primeiro teorema é verdadeiro, então o segundo também é.

A proposição ¬𝐵 → ¬𝐴 é chamada de CONTRAPOSITIVA de 𝐴 → 𝐵.

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𝐵 → 𝐴

Considere agora a seguinte variação do teorema 1:

“Se um quadrilátero tem um par de ângulos suplementares, então ele tem um par de lados paralelos”.

Essa proposição é da forma

Será que ela é logicamente equivalente à proposição 𝐴 → 𝐵?

Montando as tabelas verdade:

𝑨 𝑩 𝑨 → 𝑩 𝑩 → 𝑨

V V V V

V F F V

F V V F

F F V V

Portanto 𝐵 → 𝐴 não é logicamente equivalente a 𝐴 → 𝐵.

Ou seja, o fato do teorema 1 ser verdadeiro não torna verdadeira a sentença “Se um quadrilátero tem um par de ângulos suplementares, então ele tem um par de lados paralelos”.

A proposição 𝑩 → 𝑨 é chamada de RECÍPROCA de 𝑨 → 𝑩

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Seja a proposição: “ Se uma empresa não participa de práticas ilegais de

contabilidade, então uma auditoria não encontrará evidências de irregularidade”.

Note que a CONTRAPOSITIVA dessa proposição é verdadeira: “Se uma auditoria

encontrar evidências de irregularidade, então a empresa participa de práticas ilegais de contabilidade”.

Mas a RECÍPROCA não é verdadeira: “Se uma auditoria não encontrar evidências de irregularidade, então a empresa não participa de práticas ilegais de contabilidade”. Isso não é necessariamente verdade!!!!

Em outras palavras, “𝑃 é mais forte que 𝑄” significa que 𝑃 ⟶ 𝑄 é sempre verdade, mas a recíproca 𝑄 ⟶ 𝑃 não é verdade, em geral.

Os matemáticos dizem que “a sentença 𝑃 é mais forte que a sentença 𝑄” se 𝑄 é verdadeira sempre que 𝑃 for verdadeira, mas não a recíproca.

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Problema 1:

“Se Alcides está atrasado, então Belmiro está atrasado, e, se Alcides e Belmiro estão atrasados, então a aula é chata”. Suponha que a aula não seja chata. O que se pode concluir a respeito de Alcides?

Traduzindo a frase em símbolos lógicos, usando as seguintes proposições:

Solução:

𝐴 = “Alcides está atrasado”.

𝐵 = “Belmiro está atrasado”.

𝐶 = “A aula é chata”.

Podemos escrever 𝑆 como: 𝑆 = 𝐴 → 𝐵 ∧ 𝐴 ∧ 𝐵 → 𝐶 . Assumimos que 𝑆 seja verdadeira.

Linha 𝑨 𝑩 𝑪 𝑨 → 𝑩 𝑨 ∧ 𝑩 𝑨 ∧ 𝑩 → 𝑪 𝑺

1 V V V V V V V

2 V V F V V F F

3 V F V F F V F

4 V F F F F V F

5 F V V V F V V

6 F V F V F V V

7 F F V V F V V

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Expressão em Portugues Conectivo Lógico Expressão Lógica

e; mas; também; além disso Conjunção 𝐴 ∧ 𝐵

ou Disjunção 𝐴 ∨ 𝐵

Se 𝐴 então 𝐵; 𝐴 implica em 𝐵;

𝐴, logo 𝐵; 𝐴 somente se 𝐵;

𝐵 segue de 𝐴;

𝐴 é uma condição suficiente para 𝐵;

𝐵 é uma condição necessária para 𝐴.

Condicional 𝐴 → 𝐵

𝐴 se e somente se 𝐵;

𝐴 é condição necessária e suficiente para 𝐵. Bi-condicional 𝐴 ⟷ 𝐵 Não A; É falso que A;

Não é verdade que A. Negação ¬𝐴

A tabela a seguir apresenta uma relação entre termos usados na língua portuguesa, conectivos lógicos e expressões lógicas.

Obs:

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TAUTOLOGIA: Chamamos de tautologia uma sentença lógica que seja sempre verdadeira.

TAUTOLOGIA E CONTRADIÇÃO

Exemplo:A proposição 𝐴 ∨ ¬𝐴 é uma tautologia:

𝑨 ¬𝑨 𝑨 ∨ ¬𝑨

V F V

F V V

Em conexão com a fórmula lógica acima, poderíamos afirmar: “Hoje vai chover ou hoje não vai chover”. Essa sentença é uma tautologia.

Exemplo: Considere a sentença 𝐴 ∧ 𝐵 ⟶ 𝐴. Podemos ver que essa sentença é uma tautologia escrevendo sua tabela verdade:

𝑨 𝑩 𝑨 ∧ 𝑩 𝑨 ∧ 𝑩 ⟶ 𝑨

V V V V

V F F V

F V F V

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Usaremos a notação 𝑃 ⟹ 𝑄 significando que a sentença 𝑃 ⟶ 𝑄 é verdadeira em todos os casos. Neste caso, diremos que “𝑷 implica em 𝑸”.

Analogamente, o símbolo ⟺ denota a tautologia contendo o conectivo ⟷. Neste caso, diremos que “𝑷 é equivalente a 𝑸” (𝑃 ⟺ 𝑄).

Por exemplo, construindo as tabelas verdade, vimos que a fórmula lógica 𝐴 ⟶ 𝐵 é equivalente a ¬𝐵 ⟶ ¬𝐴. Portanto a fórmula lógica 𝐴 ⟶ 𝐵 ⟷ ¬𝐵 ⟶ ¬𝐴 é uma tautologia, e

escrevemos 𝐴 ⟶ 𝐵 ⟺ ¬𝐵 ⟶ ¬𝐴 , o que indica a equivalência lógica entre as duas expressões.

𝑨 𝑩 𝑨 ⟶ 𝑩 ¬𝑩 ¬𝑨 ¬𝑩 ⟶ ¬𝑨 𝑨 ⟶ 𝑩 ⟷ ¬𝑩 ⟶ ¬𝑨

V V V F F V V

V F F V F F V

F V V F V V V

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a) ¬ 𝐴 ∨ 𝐵 ⟺ ¬𝐴 ∧ ¬𝐵.

b) ¬ 𝐴 ∧ 𝐵 ⟺ ¬𝐴 ∨ ¬𝐵.

LEIS DE DE MORGAN

As sentenças seguintes, chamadas de Leis de De Morgan (em homenagem a Augusto De Morgan), são tautologias (prove construindo a tabela-verdade, ver lista de exercícios 1):

Essas leis auxiliam na negação de uma proposição composta.

Exemplo aplicando as leis de De Morgan: Considere a proposição:

𝑃 = "Julia gosta de manteiga mas não gosta de nata". Essa proposição é composta de duas proposições simples:

𝐴 = “Julia gosta de manteiga”; 𝐵 = “Julia não gosta de nata”.

Essas proposições estão ligadas pelo termo “mas”, que é equivalente ao conectivo “e”.

Se usarmos as leis de De Morgan, a negativa para a proposição 𝑃 seria:

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Existem sentenças em lógica formal que nunca são verdadeiras, ou seja, são compostas apenas por valores-verdade F. Uma sentença desse tipo é chamada de contradição.

CONTRADIÇÃO

Exemplo:𝐴 ∧ ¬𝐴 é uma contradição, pois uma proposição e sua negativa nunca podem ser verdadeiras.

𝑨 ¬𝑨 𝑨 ∧ ¬𝑨

V F F

F V F

A frase: “Hoje é terça-feira e hoje não é terça-feira” é falsa para qualquer dia da semana e, portanto é uma contradição.

Uma sentença que não é uma tautologia nem uma contradição é chamada de contingência.

Exercício:

Determinar se a expressão composta

𝐴 ∨ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∧ 𝐵

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A tabela verdade da expressão lógica 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 ∧ 𝐵 é:

Solução:

𝑨 𝑩 𝑨 ∨ 𝑩 𝑨 ∧ 𝑩 ¬ 𝑨 ∧ 𝑩 𝑨 ∨ 𝑩 ∨ ¬ 𝑨 ∧ 𝑩

V V V V F V

V F F F V V

F V V F V V

F F F F V V

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Algumas Equivalências Tautológicas:

𝐴 ∨ 𝐵 ⟺ 𝐵 ∨ 𝐴 𝐴 ∧ 𝐵 ⟺ 𝐵 ∧ 𝐴 comutatividade

𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 𝐶 ⟺ 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 𝐶 𝐴 ∧ 𝐵 ∧ 𝐶 ⟺ 𝐴 ∧ 𝐵 ∧ 𝐶 associatividade

𝐴 ∨ 𝐵 ∧ 𝐶 ⟺ 𝐴 ∨ 𝐵 ∧ 𝐴 ∨ 𝐶 𝐴 ∧ 𝐵 ∨ 𝐶 ⟺ 𝐴 ∧ 𝐵 ∨ 𝐴 ∧ 𝐶 distributividade

𝐴 ∨ 0 ⟺ 𝐴 𝐴 ∧ 1 ⟺ 𝐴 elementos neutros

𝐴 ∨ ¬𝐴 ⟺ 1 𝐴 ∧ ¬𝐴 ⟺ 0 complementares

Mais Algumas Equivalências Tautológicas:

Equivalência Nome

𝐴 ⟺ ¬¬𝐴 Dupla negação

𝐴 ⟶ 𝐵 ⟺ ¬𝐴 ∨ 𝐵 Implicação

¬ 𝐴 ∨ 𝐵 ⟺ ¬𝐴 ∧ ¬𝐵 ¬ 𝐴 ∧ 𝐵 ⟺ ¬𝐴 ∨ ¬𝐵

Figure

tabela verdade.

tabela verdade.

p.17

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