Tema 17: integrales dobles en coordenadas
polares
Matem ´atica II
´Indice
1
Integrales dobles en coordenadas polares
Coordenadas polares y l´ımites de integraci ´on
Ejemplos de aplicaci ´on
Integrales dobles en coordenadas polares Coordenadas polares y l´ımites de integraci ´on
´Indice
1
Integrales dobles en coordenadas polares
Coordenadas polares y l´ımites de integraci ´on
Ejemplos de aplicaci ´on
Coordenadas polares
(r
, θ)
de un punto
(x
,
y
)
Un punto
P
con
coordenadas
cartesianas
(
x
,
y
)
tambi ´en
puede ser localizado por sus
coordenadas polares
(
r
, θ
)
.
Ambos juegos de coordenadas
se relacionan por las
transformaciones
x
=
r
cos
θ
r
2
=
x
2
+
y
2
y
=
r
sin
θ
tan
θ
=
y
x
x
y
P
(
x
,
y
)
x
y
θ
r
(
r
,
θ
)
Integrales dobles en coordenadas polares Coordenadas polares y l´ımites de integraci ´on
Coordenadas polares
(r
, θ)
de un punto
(x
,
y
)
Un punto
P
con
coordenadas
cartesianas
(
x
,
y
)
tambi ´en
puede ser localizado por sus
coordenadas polares
(
r
, θ
)
.
Ambos juegos de coordenadas
se relacionan por las
transformaciones
x
=
r
cos
θ
r
2
=
x
2
+
y
2
y
=
r
sin
θ
tan
θ
=
y
x
x
y
P
(
x
,
y
)
x
y
θ
r
(
r
,
θ
)
Coordenadas polares
(r
, θ)
de un punto
(x
,
y
)
Un punto
P
con
coordenadas
cartesianas
(
x
,
y
)
tambi ´en
puede ser localizado por sus
coordenadas polares
(
r
, θ
)
.
Ambos juegos de coordenadas
se relacionan por las
transformaciones
x
=
r
cos
θ
r
2
=
x
2
+
y
2
y
=
r
sin
θ
tan
θ
=
y
x
x
y
P
(
x
,
y
)
x
y
θ
r
(
r
,
θ
)
Integrales dobles en coordenadas polares Coordenadas polares y l´ımites de integraci ´on
Motivaci ´on: simplificar una integral dif´ıcil
Consideremos, por ejemplo, el
calcular el volumen
V
, sobre la
regi ´on del plano
xy
definida por
R
:
x
2
+
y
2
≤
1, y bajo la
paraboloide
z
=
1
−
x
2
−
y
2
.
Iterando dos integrales en
coordenadas cartesianas
quedar´ıa
x
y
1
1
r
=
1
R
V
=
Z Z
R
(1
−
x
2
−
y
2
)
dA
=
Z
1
−
1
Z
√
1
−
x
2−
√
1
−
x
2(1
−
x
2
−
y
2
)
dy dx
Motivaci ´on: simplificar una integral dif´ıcil
Consideremos, por ejemplo, el
calcular el volumen
V
, sobre la
regi ´on del plano
xy
definida por
R
:
x
2
+
y
2
≤
1, y bajo la
paraboloide
z
=
1
−
x
2
−
y
2
.
Iterando dos integrales en
coordenadas cartesianas
quedar´ıa
x
y
1
1
r
=
1
R
V
=
Z Z
R
(
1
−
x
2
−
y
2
)
dA
=
Z
1
−
1
Z
√
1
−
x
2−
√
1
−
x
2(
1
−
x
2
−
y
2
)
dy dx
Integrales dobles en coordenadas polares Coordenadas polares y l´ımites de integraci ´on
La misma integral doble, pero en coordenadas polares,
quedar ´a
V
=
Z Z
R
(
1
−
x
2
−
y
2
)
dA
=
Z Z
R
(
1
−
r
2
)
dA
Pero para iterar esta integral debemos conocer
la
expresi ´
on
del elemento de ´area
dA
en polares. . .
x
y
x
x
+
dx
dx
y
y
+
dy
dy
dA
x
y
dA
θ
d
θ
rd
θ
dr
r r
+
dr
El
cambio de coordenadas
transforma la regi ´on
R
en una
regi ´on
G.
x
y
1
1
r
=
1
R
θ
r
2
π
1
0
G
Se necesita un
factor
r para igualar los elementos de ´area
dA
=
dx dy
=
r dr d
θ
| {z }
dA
∗Integrales dobles en coordenadas polares Coordenadas polares y l´ımites de integraci ´on
El
cambio de coordenadas
transforma la regi ´on
R
en una
regi ´on
G.
x
y
1
1
r
=
1
R
θ
r
2
π
1
0
G
Se necesita un
factor
r para igualar los elementos de ´area
dA
=
dx dy
=
r dr dθ
| {z }
dA
∗Ahora podemos iterar la integral doble, m ´as f ´acilmente, en
coordenadas polares
V
=
Z Z
R
(
1
−
x
2
−
y
2
)
dA
=
Z Z
G
(
1
−
r
2
)
r dA
∗
=
Z
2
π
0
Z
1
0
(
1
−
r
2
)
r dr d
θ
=
Z
2
π
0
r
2
2
−
r
4
4
1
0
d
θ
=
1
/
4
Z
2
π
0
dθ
Integrales dobles en coordenadas polares Ejemplos de aplicaci ´on
´Indice
1
Integrales dobles en coordenadas polares
Coordenadas polares y l´ımites de integraci ´on
Ejemplos de aplicaci ´on
Ejemplo 1
Evaluar
Z Z
R
e
x
2+
y
2dx dy
donde
R
es la regi ´on semicircular acotada por el eje
x
y la
curva
y
=
√
1
−
x
2
.
x
y
0
1
−
1
1
θ
= 0
θ
=
π
θ
=
π/
2y
=
√
1
−
x
2θ
0
≤
Integrales dobles en coordenadas polares Ejemplos de aplicaci ´on
R
=
n
(
x
,
y
)
|
y
≤
√
1
−
x
∧
y
≥
0
o
G
=
{
(
r
, θ)
|
0
≤
θ
≤
π
∧
0
≤
r
≤
1
}
1
Entonces la integral doble se iterar ´a como
Z Z
R
e
x
2+
y
2dx dy
=
Z
π
0
Z
1
0
e
r
2r dr d
θ
=
Z
π
0
h
1
/
2
e
r
2i
1
0
d
θ
=
Z
π
0
1
/
2
(
e
−
1
)
d
θ
=
1
/
2
(
e
−
1
)
Z
π
0
d
θ
Ejemplo 2
Evaluar la integral
Z
1
0
Z
√
1
−
x
20
(
x
2
+
y
2
)
dy dx
1
Integrando con respecto de la variable
y
nos quedar ´a
Z
1
0
x
2
p
1
−
x
2
+
(1
−
x
2
)
3/
23
!
dx
Integrales dobles en coordenadas polares Ejemplos de aplicaci ´on
Ejemplo 2
Evaluar la integral
Z
1
0
Z
√
1
−
x
20
(
x
2
+
y
2
)
dy dx
1
Integrando con respecto de la variable
y
nos quedar ´a
Z
1
0
x
2
p
1
−
x
2
+
(
1
−
x
2
)
3/
23
!
dx
2
Las cosas mejoran si
cambiamos a coordenadas
polares
Z
1
0
Z
√
1
−
x
20
(
x
2
+
y
2
)
dy dx
=
=
Z
π/
20
Z
1
0
r
2
r dr d
θ
=
Z
π/
20
r
4
4
1
0
dθ
=
Z
π/
20
1
/
4
dθ
=
π
/
8
≈
0,393
x
y
0
1
1
θ
= 0
θ
=
π/2
y
=
√
1
−
x
2θ
Tema 17: integrales dobles en coordenadas polares Integrales dobles en coordenadas polares
Ejemplos de aplicaci ´on
Ejemplo 3
Determinar los l´ımites para integrar una
f
(
r
, θ
)
sobre la regi ´on
R
que est ´a dentro de la cardioide
r
=
1
+
cos
θ
y fuera de la
circunferencia
r
=
1.
x
1
2
1
θ
=
π/2
θ
=
−
π/2
r
= 1 + cos
θ
r
= 1
r
θ
Ejemplo 3
Determinar los l´ımites para integrar una
f
(
r
, θ
)
sobre la regi ´on
R
que est ´a dentro de la cardioide
r
=
1
+
cos
θ
y fuera de la
circunferencia
r
=
1.
1
Bosquejar las curvas
frontera.
2
Un “rayo” desde el origen
corta primero a
r
=
1 y
despu ´es a
r
=
1
+
cos
θ
,
entonces
1
≤
r
≤
1
+
cos
θ
x
y
1
2
1
θ
=
π/2
θ
=
−
π/2
r
= 1 + cos
θ
r
= 1
r
θ
Integrales dobles en coordenadas polares Ejemplos de aplicaci ´on
Ejemplo 3
Determinar los l´ımites para integrar una
f
(
r
, θ
)
sobre la regi ´on
R
que est ´a dentro de la cardioide
r
=
1
+
cos
θ
y fuera de la
circunferencia
r
=
1.
1
Bosquejar las curvas
frontera.
2
Un “rayo” desde el origen
corta primero a
r
=
1 y
despu ´es a
r
=
1
+
cos
θ,
entonces
1
≤
r
≤
1
+
cos
θ
x
y
1
2
1
θ
=
π/2
θ
=
−
π/2
r
= 1 + cos
θ
r
= 1
r
θ
Ejemplo 3
Determinar los l´ımites para integrar una
f
(
r
, θ
)
sobre la regi ´on
R
que est ´a dentro de la cardioide
r
=
1
+
cos
θ
y fuera de la
circunferencia
r
=
1.
3
Los “rayos” deben “barrer”
desde
θ
=
−
π
/
2
hasta
θ
=
π
/
2
.
4
Entonces la integral
quedar´ıa
Z
π/
2−
π/
2Z
1
+
cos
θ
1
f
(
r
, θ
)
r dr d
θ
x
y
1
2
1
θ
=
π/2
θ
=
−
π/2
r
= 1 + cos
θ
r
= 1
r
θ
Integrales dobles en coordenadas polares Ejemplos de aplicaci ´on
Ejemplo 3
Determinar los l´ımites para integrar una
f
(
r
, θ
)
sobre la regi ´on
R
que est ´a dentro de la cardioide
r
=
1
+
cos
θ
y fuera de la
circunferencia
r
=
1.
3
Los “rayos” deben “barrer”
desde
θ
=
−
π
/
2
hasta
θ
=
π
/
2
.
4
Entonces la integral
quedar´ıa
Z
π/
2−
π/
2Z
1
+
cos
θ
1
f
(
r
, θ
)
r dr d
θ
x
y
1
2
1
θ
=
π/2
θ
=
−
π/2
r
= 1 + cos
θ
r
= 1
r
θ
´Indice
1
Integrales dobles en coordenadas polares
Coordenadas polares y l´ımites de integraci ´on
Ejemplos de aplicaci ´on
Sustituci ´on en integrales m ´ultiples Sustituci ´on en integrales dobles
Transformaci ´on de coordenadas
uv
en
xy
Supongamos que una regi ´on
G
del plano
uv
se transforma
en una regi ´on
R
del plano
xy
por medio de las ecuaciones
x
=
g
(
u,
v
)
y
=
h
(
u,
v
)
u
v
G
(
u
,
v
)
x
y
R
Cualquier funci ´on
f
(
x
,
y
)
, definida en
R, puede ser
considerada como una funci ´on compuesta
f g
(
u,
v
)
,
h
(
u,
v
)
definida en
G.
Si
g
,
h
y
f
tienen derivadas parciales continuas, entonces
Z Z
R
f
(
x
,
y
)
dx dy
=
Z Z
G
f g
(
u
,
v
)
,
h
(
u
,
v
)
|
J
(
u
,
v
)
|
du dv
donde aparece un factor, un valor absoluto, de una funci ´on
Sustituci ´on en integrales m ´ultiples Sustituci ´on en integrales dobles
Cualquier funci ´on
f
(
x
,
y
)
, definida en
R, puede ser
considerada como una funci ´on compuesta
f g
(
u,
v
)
,
h
(
u,
v
)
definida en
G.
Si
g,
h
y
f
tienen derivadas parciales continuas, entonces
Z Z
R
f
(
x,
y
)
dx dy
=
Z Z
G
f g
(
u,
v
)
,
h
(
u,
v
)
|
J
(
u,
v
)
|
du dv
donde aparece un factor, un valor absoluto, de una funci ´on
J
(
u,
v
)
llamada
jacobiano de la transformaci ´on de
Jacobiano de una transformaci ´on de coordenadas
Definici ´on 1 (jacobiano)
El
jacobiano
o
determinante jacobiano
de la transformaci ´on de
coordenadas
x
=
g
(
u,
v
)
,
y
=
h
(
u,
v
)
es
J
(
u,
v
) =
∂
x
∂
u
∂
x
∂
v
∂
y
∂
u
∂
y
∂
v
=
∂x
∂u
∂y
∂v
−
∂y
∂u
∂x
∂v
El jacobiano tambi ´en suele anotarse como
Sustituci ´on en integrales m ´ultiples Sustituci ´on en integrales dobles
Jacobiano de una transformaci ´on de coordenadas
Definici ´on 1 (jacobiano)
El
jacobiano
o
determinante jacobiano
de la transformaci ´on de
coordenadas
x
=
g
(
u,
v
)
,
y
=
h
(
u,
v
)
es
J
(
u,
v
) =
∂
x
∂
u
∂
x
∂
v
∂
y
∂
u
∂
y
∂
v
=
∂x
∂u
∂y
∂v
−
∂y
∂u
∂x
∂v
El jacobiano tambi ´en suele anotarse como
J
(
u,
v
) =
∂
(
x
,
y
)
Ejemplo 4
Determinar el jacobiano para la transformaci ´on de
coordenadas polares
x
=
r
cos
θ,
y
=
r
sin
θ.
1
El jacobiano ser ´a
J
(
r
, θ
) =
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
=
cos
θ
−
r
sin
θ
sin
θ
r
cos
θ
=
r
cos
2
θ
+
sin
2
θ
|
{z
}
=
1
=
r
2
Como
|
J
(
r
, θ
)
|
=
|
r
|
=
r
, para las integrales dobles se
cumplir ´a
Z Z
R
f
(
x
,
y
)
dx dy
=
Z Z
G
f r
cos
θ,
r
sin
θ
Sustituci ´on en integrales m ´ultiples Sustituci ´on en integrales dobles