APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 2 ÁLGEBRA VECTORIAL

APUNTES DE FÍSICA I ÁLGEBRA VECTORIAL Profesor: José Fernando Pinto Parra APUNTES DE FÍSICA I

Profesor: José Fernando Pinto Parra

UNIDAD 2

ÁLGEBRA VECTORIAL

Vectores y escalares.

Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc.

Sin embargo hay magnitudes físicas que presentan una cualidad direccional y que para ser descritas de forma completa es necesario especificar algo más que una simple cantidad. El ejemplo más sencillo es un desplazamiento.

Por ejemplo tomemos el caso de un carrito. Si sólo nos informan que el carrito se va a desplazar 200 m a partir de su posición actual, nos damos cuenta de que la información suministrada es incompleta para determinar la posición final del carrito, ya que puede quedar en cualquier punto de una circunferencia de 200 m de radio centrada en su posición actual, (fig. 1 a). Si nos dicen que dicho desplazamiento se va a realizar a lo largo de la dirección vertical la información sobre el desplazamiento del carrito sigue siendo incompleta, ya que ésta podría terminal en cualquiera de las dos posiciones mostradas en la figura 1 b. Sólo cuando aparte de la magnitud y la dirección del desplazamiento nos informan además de su sentido, en nuestro caso verticalmente hacia arriba y no hacia abajo, (fig. 1 c), podremos saber con total certitud dónde acabará finalmente el carrito.

APUNTES DE FÍSICA I ÁLGEBRA VECTORIAL Profesor: José Fernando Pinto Parra Las magnitudes vectoriales se representan mediante flechas y tienen las siguientes características:

 Origen o punto de aplicación: indicado por el inicio de la flecha.

 Módulo: indicado por la longitud de la flecha.

 Dirección: indicado por el ángulo que forma con el eje X.

 Sentido: indicado por el extremo de la flecha

.

Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. La recta que contiene al vector determina la dirección del mismo y la orientación sobre la recta, definida por el origen y el extremo del vector, determina su sentido.

Se denomina módulo de un vector a la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es siempre un número positivo. Será representado mediante la letra sin negrita o como vector entre barras:

𝑀ó𝑑 𝒗 = 𝑣 = 𝑣

Dos vectores son iguales o equipolentes cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección y sentido.

Para ubicar un objeto cualquiera ya sea que esté en reposo o en movimiento rectilíneo, por lo general utilizamos como referencia un punto fijo sobre la recta. Para ubicar un cuerpo en reposo en un plano o describiendo una trayectoria plana, nos basta con dar su distancia a dos rectas fijas del plano (perpendiculares entre sí para mayor facilidad en los cálculos) que tomamos como referencia. De

la misma forma, todo punto

del espacio queda

determinado unívocamente

mediante su distancia a tres rectas fijas respectivamente perpendiculares entre sí.

A este sistema de referencia lo

denominamos sistema de

coordenadas cartesianas

APUNTES DE FÍSICA I ÁLGEBRA VECTORIAL Profesor: José Fernando Pinto Parra En la figura anterior, 𝑃1 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 𝑦 𝑃2 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 son respectivamente el origen y

el extremo del vector a.

Se denominan componentes de un vector a respecto del sistema (O; x, y, z) a las proyecciones de a sobre los ejes, o sea a los números:

𝑎₁ = 𝑥₂− 𝑥₁ ; 𝑎₂ = 𝑦₂− 𝑦₁ ; 𝑎₃ = 𝑧₂− 𝑧₁

En general, pondremos a 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃ para indicar que 𝑎₁, 𝑎₂ 𝑦 𝑎₃ son las componentes del vector a. Estas componentes pueden ser números positivos o negativos, pero siempre deben ser calculadas como diferencia entre las coordenadas del extremo y las del origen del vector. Así, por ejemplo, dos vectores opuestos (de igual módulo y dirección pero de sentidos opuestos) tienen sus componentes iguales en valor absoluto pero de signos contrarios.

Como consecuencia de la definición anterior y de la definición general de igualdad de vectores se deduce que dos vectores iguales tienen las mismas componentes en cualquier sistema de coordenadas. Es más, los vectores y los resultados de las operaciones entre ellos tienen un significado intrínseco, independiente de cualquier sistema de coordenadas que por conveniencia se haya introducido en el espacio. Esta es la propiedad esencial del cálculo vectorial y lo que lo transforma en una herramienta tan potente.

Dado que el vector es la diagonal del paralelepípedo de figura anterior, cuyas aristas son

𝑎1, 𝑎2 𝑦 𝑎3, el módulo del vector a es:

𝑎 = 𝑎

₁2

_{+ 𝑎}

22

+ 𝑎

32

Suma de vectores.

Método geométrico

Para sumar escalares, como el tiempo, se usa la aritmética simple. Pero si dos vectores se encuentran en la misma recta también podemos usar aritmética, pero no así si los vectores no se encuentran en la misma recta. Por ejemplo, si nos desplazamos 4 km hacia el este

𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑉1 y luego 3 km hacia el norte 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑉2 , el desplazamiento neto o resultante

APUNTES DE FÍSICA I ÁLGEBRA VECTORIAL Profesor: José Fernando Pinto Parra Vectorialmente, el desplazamiento resultante 𝑉_𝑅, es la suma de los vectores 𝑉₁ y 𝑉₂, o sea, escribimos:

𝑉

_𝑅

= 𝑉

₁

+ 𝑉

₂

Esta es una ecuación vectorial.

La regla general para sumar vectores en forma gráfica es la siguiente:

1. Use una misma escala para las magnitudes. 2. Trace uno de los vectores, digamos 𝑉1.

3. Trace el segundo vector, 𝑉2, colocando su cola en la punta del primer vector,

asegurándose que su dirección sea la correcta.

4. La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

Este método se llama suma de vectores de cola a punta. Notemos que:

𝑉

₁

+ 𝑉

₂

= 𝑉

₂

+ 𝑉

₁

Esto significa que el orden no es importante, es decir, que se cumple la Propiedad Conmutativa.

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𝑉

_𝑅

= 𝑉

₁

+ 𝑉

₂

+ 𝑉

₃

Es el vector resultante destacado con línea gruesa.

Método analítico.

Para ilustrar la suma analítica de vectores, estudiemos la siguiente figura:

De ella se desprende que la suma geométrica es:

Para realizar la Suma por el método analítico, se debe realiza la suma de las componentes de cada vector de forma que el vector resultante viene dado por:

𝐹1 = 𝐹1𝑥, 𝐹1𝑦 ; 𝐹2 = 𝐹2𝑥, 𝐹2𝑦

→

𝑅 = 𝐹

1𝑥

+ 𝐹

2𝑥

, 𝐹

1𝑦

+ 𝐹

2𝑦

Para determinar el módulo del vector resultante

𝑅

se pueden aplicar los siguientes métodos:

Teorema del Coseno: Como se puede observar en la figura anterior, entre los vectores

𝐹1 𝑦 𝐹2, existe un ángulo ∝ que debe tomarse en cuenta, por tanto, para obtener el módulo

de R se aplica la siguiente ecuación:

𝑅 = 𝐹

₁ 2

_{+ 𝐹}

APUNTES DE FÍSICA I ÁLGEBRA VECTORIAL Profesor: José Fernando Pinto Parra Teorema del Seno: Otra forma de obtener el módulo del vector resultante es la aplicación de éste teorema, en el caso planteado en la figura anterior el procedimiento es el siguiente:

sin 𝛽

𝐹

₁

=

sin 𝛼

𝑅

Otro elemento fundamental lo representa el hecho de que un vector se puede descomponer en dos vectores, según direcciones convenientes, pero, debemos señalar que el método gráfico de descomposición de un vector es el opuesto al método del paralelogramo, en el siguiente figura, podemos observar que Fs y Fr son las

componentes del vector F en las direcciones s, r respectivamente.

Si la descomposición se realiza en dos direcciones perpendiculares, se obtiene la siguiente figura:

De la figura anterior y aplicando la definición de sin ∝ y cos ∝ en uno de los triángulos formados podemos calcular (analíticamente) las componentes ortogonales del vector dado con las ecuaciones siguientes:

𝐹

_𝑥

= 𝐹 cos 𝛼 𝑦 𝐹

_𝑦

= 𝐹 sin 𝛼

El ángulo que especifica la dirección de F viene dado por la ecuación:

APUNTES DE FÍSICA I ÁLGEBRA VECTORIAL Profesor: José Fernando Pinto Parra Producto escalar y producto vectorial.

Antes de desarrollar los aspectos relacionados con estos productos, es importante señalar, que los vectores pueden ser multiplicados por una magnitud escalar, de tal forma que, se denomina producto del vector

a

por él escalar

λ

, al vector

λ

a

que tiene:

1. El módulo igual al producto del módulo de

a

por el valor absoluto de

λ

. 2. La misma dirección que

a

.

3. El mismo sentido que

a

si

λ

es positivo y sentido opuesto si

λ

es negativo. Las componentes del vector

λ a

son, por lo tanto.

En muchas situaciones de interés físico las magnitudes físicas estudiadas depende de dos magnitudes vectoriales, por ejemplo el trabajo que realiza para desplazar un objeto depende del desplazamiento y de la fuerza aplicada, ambas magnitudes vectoriales, sin embargo la magnitud resultante puede ser una magnitud escalar y en otras una magnitud vectorial. Esto se explica con los conceptos de producto escalar y producto vectorial.

Producto escalar:

Partiendo de la figura señalaremos, que se denomina producto escalar o interno de dos vectores

A

y

B

al escalar obtenido como producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman entre ellos, es decir:

𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑨 𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝐴𝐵 cos 𝜃

Como se puede ver, el resultado de la operación es un escalar que puede ser positivo, negativo o nulo dependiendo del ángulo θ entre los vectores:

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Como consecuencia de la definición se obtiene que: 1. El producto escalar es conmutativo: 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑩 ∙ 𝑨

2. Mediante las componentes de los vectores 𝑨, 𝑩, el producto escalar entre ellos se expresa como:

𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴

₁

𝐵

₁

+ 𝐴

₂

𝐵

₂

+ 𝐴

₃

𝐵

₃

Producto vectorial:

Partiendo de la figura anterior señalaremos, que se denomina producto vectorial o externo de dos vectores

A

y

B

al vector

C

obtenido como producto de los módulos de los vectores por el seno del ángulo que forman entre ellos, es decir:

𝑨 × 𝑩 = 𝑪 = 𝐴𝐵 sin 𝜃

Características:

1. El módulo igual al producto de los módulos de

A

y

B

por el seno del ángulo que forman entre ellos:

C = 𝐴𝐵 sin 𝜃

2. La dirección es perpendicular al plano determinado por las direcciones de los vectores

A

y

B

, tal como se índica en la figura.

3. El sentido es indicado por la regla de la mano derecha (o regla del sacacorchos), tal como se indica en la figura, cuando se orientan los dedos de la mano derecha de forma que vayan en el sentido de rotación del primer vector al segundo, el pulgar indica el sentido del producto vectorial.

Tal como ha sido definido se puede ver que el producto vectorial es nulo si los dos vectores tienen la misma dirección (θ = 0º ó θ = 180º). Por otro lado el producto vectorial no verifica la propiedad conmutativa, es decir, cambiar el orden de los factores implica un cambio de signo en el resultado, de forma que 𝑨 × 𝑩 = −𝑩 × 𝑨, tal como se observa en la siguiente figura:

Es importante por lo tanto no intercambiar el orden de los

factores en expresiones que

APUNTES DE FÍSICA I ÁLGEBRA VECTORIAL Profesor: José Fernando Pinto Parra Como puede verse en la proxima figura, el área del paralelogramo formado por dos vectores es igual al módulo del producto vectorial de dichos vectores.

𝑨 × 𝑩 = 𝐴𝐵 sin 𝜃 = 𝐴ℎ =

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜

Componentes del producto vectorial

Sean dos vectores expresados en forma canónica, mediante los vertores unitarios i, j, k del triedro fundamental:

𝑨 = 𝐴

1

𝑖 + 𝐴

2

𝑗 + 𝐴

3

𝑘 𝑦 𝑩 = 𝐵

1

𝑖 + 𝐵

2

𝑗 + 𝐵

3

𝑘

Aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial entre ellos, se obtiene:

𝑨 × 𝑩 = 𝐴

₁

𝑖 + 𝐴

₂

𝑗 + 𝐴

₃

𝑘 × 𝐵

₁

𝑖 + 𝐵

₂

𝑗 + 𝐵

₃

𝑘

= 𝐴

₂

𝐵

₃

− 𝐴

₃

𝐵

₂

𝑖 + 𝐴

₃

𝐵

₁

− 𝐴

₁

𝐵

₃

𝑗 + 𝐴

₁

𝐵

₂

− 𝐴

₂

𝐵

₁

𝑘

Este producto también se puede expresar como un determinante de tercer orden:

𝑨 × 𝑩 =

𝑖

𝑗

𝑘