Vectores en R3 – part1

(1)

1

Objetivos.

Se persigue que el estudiante:

• Represente geométricamente un vector de _R3 • Determine magnitud y dirección de un

vector.

• Sume vectores, multiplique por un escalar a un vector, obtenga el productor escalar y el producto vectorial entre vectores

• Obtenga el área de un paralelogramo sustentados por dos vectores.

• Obtenga el volumen del paralelepípedo sustentado por tres vectores.

1.1 Definición

1.2 Enfoque geométrico

1.3 Igualdad

1.4 Operaciones

1.5 Aplicaciones

(2)

Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienen definiciones y propiedades de los vectores en el espacio.

1.1 DEFINICIÓN

Un vector de

3

R

es una terna ordenada de

números reales. Denotada de la siguiente manera:

v

=

(

x

,

y

,

z

)

→

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO

Geométricamente a un vector de se lo representa en el Espacio como un segmento de recta dirigido.

3

R

Suponga que se tienen los puntos

P

₁

(

x

₁

,

y

₁

,

z

₁

)

y . Si

trazamos un segmento de recta dirigido desde hacia tenemos una

representación del vector

(

2 2 2

)

2

x

,

y

,

z

P

1

P

₂

(

2 1 2 1 1 2

)

2

1

P

x

,

y

,

z

P

v

=

−

⎯→ ⎯ →

x

y z

→

v

(1 1 1)

1 x,y,z

P=

(2 2 2)

2 x,y,z

P =

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.

y z

→

v

(x y z)

(3)

1.2.1 Magnitud o norma

Sea

v

=

(

x

,

y

,

z

. La

magnitud o norma

de

→

)

v

denotada como

→

v

, se define como:

2 2 2

z

y

x

v

=

+

→

Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.

Para

v

=

(

x

₂

−

x

₁

,

y

₂

−

y

₁

,

z

₂

−

z

₁

)

→

sería:

(

) (

2 1

)

2

2 1 2 2 1

2

x

y

z

x

v

=

−

+

−

+

−

→

1.2.2 Dirección

La

dirección

de

v

=

(

x

,

y

,

z

está definida por la

→

)

medida de los ángulo que forma la línea de acción

del segmento de recta con los ejes

x

, ,

y

z

α

β γ

x

y z

→

v

(4)

Observe que:

2 2 2

z y x

x

v x Cos

+ + = = _→

α

2 2 2

z y x

y

v y Cos

+ + = = _→

β

2 2 2

z y x

y

v y Cos

+ + = = _→

γ

Ejercicio.

Demostrar que cos2α +cos2 β+cos2γ =1

1.2.3 Sentido

El

sentido

de

→

v

lo define la flecha dibujada sobre

el segmento de recta.

1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE

R

3

Dos vectores

v

1

=

(

x

1

,

y

1

,

z

1

)

y

son

→

(

2 2 2

)

2

x

,

y

,

z

v

=

→

iguales si y sólo si

x

1

=

x

2

,

y

1

=

y

2

y

z

1

=

z

2

1.4 OPERACIONES 1.4.1 Suma

Sean

v

→1

y dos vectores de

→

2

v

R

3

tales que

(

₁ ₁ ₁

)

1

x

,

y

,

z

v

=

→

y

v

2

=

(

x

2

,

y

2

,

z

2

entonces la

→

)

suma de con , denotada como

v

→1

, se

→

2

v

→ →

+

₂

1

v

define como:

v

1

+

v

2

=

(

x

1

+

x

2

,

y

1

+

y

2

,

z

1

+

z

2

)

(5)

1.4.1.1 Propiedades

Sean , y vectores de

v

→1

→

2

v

→

3

v

3

R

, entonces:

1. la suma es conmutativa

→ → → →

+

=

+

₂ ₂ ₁

1

v

2. la suma es asociativa

→ →

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

+

₂ ₃ ₁ ₂ ₃

1

v

3.

∃

0 ∈

R

3

,

→

3

R

v

∈

∀

→

tal que

→

v

+

→

0 =

→

v

,

Donde

0 =

(

0 ,

0

es llamado Vector Neutro

→

)

4.

∀

v

∈

R

3

→

,

3

tal que

R

v

⎟

∈

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

∃

→ → →

_⎟

=

→

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

+

v

0 v

Donde

_⎟

es llamado

V

ector Inverso Aditivo de

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

→

v

→

v

Geométricamente:

x

y z

(1 1 1)

1 x,y,z

v =

→

(2 2 2)

2 x,y ,z

v =

→

→ → + 2

1

v v

Los vectores y sustentan un paralelogramo, el vector de la

diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es el

Vector Diferencia.

→

1

v

→

2

v

1.4.2 Multiplicación por escalar

Sea

α

∈

R

y

v

=

(

x

,

y

,

z

un vector de

→

)

3

R

entonces:

α

v

=

(

α

x

,

α

y

,

α

z

)

(6)

1. ∀

∈

∀

→ →

∈

_⎢⎣

⎡

⎜

_⎝

⎛ +

→1 →2

⎟

⎞

_⎠

=

→1

+

→2

_⎥⎦

⎤

3

2 1

,

v

R

v

R

α

2. ∀

α

,

β

∈

R

,

∀

→

v

∈

R

3

⎡

_⎢⎣

(

α

+

β

)

v

→

=

α

→

v

+

β

v

→

_⎥⎦

⎤

3. ∀

α

β

∈

R

∀

v

→

∈

R

3

_⎢⎣

⎡

α

⎛

_⎝

⎜

β

v

→

_⎠

⎟

⎞

=

( )

αβ

v

→

⎤

_⎥⎦

,

Cualquier vector de

,

puede ser expresado en

combinación lineal de los vectores , y

3

R

v =

(

x,y,z →

)

(

1,0,0

)

= →

i =

(

0,1,0

)

→

j =

(

0,0,1

)

→ k

(

→

) (

→ →

) (

→

) (

)

→

+

=

+

=

k

z

j

y

i

x

v

z

y

x

z

y

x

v

,

1 ,

0 ,

0

0 ,

1 ,

0

0 ,

1

1.4. 3. Producto Escalar. Producto Punto o Producto Interno

Sean

v

1

=

(

x

1

,

y

1

,

z

1

)

y

vectores

→

(

2 2 2 2

x

,

y

,

z

v

=

→

)

de

3

R

. El Producto escalar de con denotado

→

1

v

→

2

v

como

v

→₁

• v

→₂

se define como:

v

1

• v

2

=

x

1

x

2

+

y

1

y

2

+

z

1

z

2

→ →

Ejemplo

Si ₁ =

(

3,1,−2

)

y entonces →

v ₂ =

(

−1,4,0

→

v

)

₁• ₂ =

( )( ) ( )( ) ( )( )

3 −1 + 1 4 + −2 0 =−3+4+0=1

→ →

v v

Sean y

v

→1

vectores de

→

2

v

R

3

. Entonces:

(7)

2.

→ → →

_⎟

=

→

•

→

+

→

•

→

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

•

₂ ₃ ₁ ₂ ₁ ₂

1

v

3. ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ •

αβ

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛β

• ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛α

→ → → →

2 1 2

1

v

Si

v

=

(

x

,

y

,

z

entonces:

→

)

v

• v

=

(

x

,

y

,

z

) (

• x

,

y

,

z

)

=

x

2

+

y

2

+

z

2.

→ →

Por lo tanto

2

→ → →

=

• v

v

o también

→ → →

• =

v

1.4. 4. Producto Vectorial. Producto Cruz

Sean

v

1

=

(

x

1

,

y

1

,

z

1

)

y

vectores

→

(

2 2 2 2

x

,

y

,

z

v

=

→

)

de

3

R

. El Producto Vectorial de con

→

1

v

→

2

v

denotado como

v

→₁

×

v

→₂

se define como:

(

)

(

₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₂ ₁ ₁ ₂ ₁ ₂

)

2

1

v

y

z

y

,

x

z

x

z

,

x

y

x

v

×

=

−

→ →

Una manera práctica para obtener el resultado de la operación Producto Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera fila:

2 2 2

1 1 1 2 1

z

y

x

z

y

x

k

j

i

v

×

=

→ →

Ejemplo.

Sea 1 =

(

1,2,−1

)

y entonces →

v 2 =

(

2,−1,0

→

v

)

k j i k j i v

v 2 5

0 1 2

1 2 1

2

1 =− − −

− − =

×→

(8)

1.4.4.1 Propiedades.

Sean

, y

vectores de

→

1

v

→

2

v

→

3

v

3

R

1. El vector

⎜

_⎝

⎛ ×

v

→1

v

→2

⎟

_⎠

⎞

es tanto perpendicular a

→

1

v

como a

→

2

v

2. El sentido del vector

⎜

_⎝

⎛ ×

v

→1

v

→2

⎟

_⎠

⎞

se lo puede

obtener empleando la mano derecha.

Mientras los dedos se dirigen desde

v

→1

hacia , el pulgar indica la dirección de

v

→2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ×

→ →

2 1

v

.

→

1

v

→

2

v

→ →

× 2 1 v

v

• •

3. ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ×

−

=

×

→ → →

→

1 2 2

1

v

4. v

→₁

×

v

→₁

=

0

→

5. Si

v

→1

//

v

→2

entonces

→ → →

=

×

₂

0

1

v

6. ⎜

_⎝

⎛

α

1

v

→1

⎟

⎞

_⎠

×

_⎝

⎜

⎛

α

2→

v

2

_⎠

⎟

⎞

=

α

1

α

2

⎜

_⎝

⎛ ×

v

→1

v

→2

⎟

_⎠

⎞

7. ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ×

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ×

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

×

→ → → → → →

→

3 1 2

1 3

2

1

v

8.

1 2 2

2 2 2 1 2 2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ •

−

=

×

→ → → → →

→

v

(9)

[

]

θ θ θ θ 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 cos 1 cos cos sen v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → = × − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ • − = × Finalmente: θ sen v v v v → → → → = × 2 1 2 1

1.5 APLICACIONES

1.5.1 CALCULO DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO SUSTENTADO POR DOS VECTORES.

Sean y dos vectores, no paralelos. Observe la figura:

→ 1

v

→ 2

v

→ 1 v → 2 v θ h → 2 v → 1 v

Tomando como base a , tenemos:

→ 2

v

h v altura base Area → = • = 2

Observe que = _→

1

v h

senθ entonces Area v v senθ

→ →

= 2 1

Y por la propiedad del producto cruz:

→ →

(10)

Ejemplo 1

Hallar el área del triángulo sustentado por los vectores ₁=

(

1,2,−1

)

y

→

v

(

2, 1,0

)

2 = −

→

v

SOLUCIÓN:

El área del triángulo sustentado por dos vectores y es la mitad del área del paralelogramo sustentado por los vectores, es decir:

→

1

v

→

2

v

2

2 1

→ →

× =

v v

Triángulo Area

Como i j k

k j i v

v 2 5

0 1 2

1 2 1

2

1 =− − −

− − =

×→

→

entonces

( ) ( ) ( )

2 30 2

5 2

1 2

2 2 2 2

1

= − + − + − = × =

→ →

v v

Triángulo Area

Ejemplo 2

Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los puntos

(

1,−2,0

)

,

(

1,1,1

)

y

(

−2,0,1

)

SOLUCIÖN:

Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo.

→ 1

v

→ 2

v

(1, 2,0)

1 −

P

( )1,1,1

2

P

( 2,0,1)

3 −

P

En este caso, ₁= ₁ ₂ =

(

1−1,1−(−2),1−0

)

= 0,3,1

→ →

P P

v

(

)

(

)

v2 = 2 3 =

(

−2−1,0−(−2),1−0

)

= −3,2,1

→ →

P P

Entonces,

i j k

k j i v

v 3 9

1 2 3

1 3 0

2

1 = − −

− = ×→

→

( ) ( ) ( )

2 91 2

9 3 1 2

2 2 2 2

1

= + − + = × =

→ →

v v

(11)

1.5.2 CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO SUSTENTADO POR TRES VECTORES

Sean , y tres vectores. Observe la figura.

→

1

v

→

2

v

→

3

v

Tomando como base el paralelogramo sustentado por y , la altura

del paralelepípedo será la proyección escalar sobre ,

entonces:

→

1

v

→

2

v

h

→

3

v

→ →

×

₂ 1

v

→

1

v

→

2

v

→

3

v

→ →

× 2 1 v

v

h

•

altura

base

Area

Volumen

=

×

Donde Areabase= v→₁×v→₂

→ →

→ → → →

×

× • ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ × = =

= → →

2 1

3 2 1 3

2 1

Pr

v v

v v v v oy h

altura

v v

Por tanto.

→ →

→ → → → →

×

• ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ×

×

=

2 1

3 2 1 2 1

v

Volumen

Finalmente, simplificando resulta:

→ → →

• ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ×

=

v

1

v

2

v

3

Volumen

Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO

ESCALAR de los vectores , y , y su interpretación es el volumen del

paralelepípedo sustentado por los vectores , y . Observe además que no importa el orden de operación de los vectores, ¿por qué?.

→

1

v →

2

v →

3

v

→

1

v →

2

v →

3

(12)

Ejemplo

Hallar el volumen del paralelepípedo sustentado por los vectores ₁=

(

1,−2,1

)

,

→

v

(

2,0, 1

)

2 = −

→

v y ₃ =

(

1,2,3

)

.

→

v

SOLUCIÖN.

Por lo definido anteriormente,

3

3 2

1 2 14 4 20

3 2 1 1 0 2 1 2 1 u v v v

Volumen − = + + =

− = • ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ × = → → → Ejercicios propuestos

1.Sean los vectores V₁=3iˆ−2ˆj+4kˆ y . →

k j i

V₂=3ˆ+3ˆ−2ˆ

→

a) Determinar la proyección vectorial de V→₁ sobre el vector . →

2

V b) Calcular la componente de V→₁ perpendicular a .

→

2

V

Resp. a)

(

₂₂10

)

22 15 22 15

1 , ,

Pr 2 − − = ⎯→ ⎯ → →V oy V b)

2.Sean los vectores y . Calcule los valores de y

para los cuales

k j i A

A= _xˆ−5ˆ+2ˆ

→

k B j i

B=−3ˆ+2ˆ− _zˆ

→ x A z B → → ×B

A es paralelo a: a) al eje b) x al eje y Resp. a) 2 15 = x A 5 4 = z

B b)

2 15 = x A 5 4 = z B 3.Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6)

Resp.

2 174

=

Area

4.Dados tres vectores V₁=(5,2,6) , V₂=(−1,8,3) , V₃ =(2,−7,4) forman un tetraedro con

vértice en el origen. Determinar su altura desde el origen. Resp.

746 77

=

h 5.Un tetraedro tiene por base el triángulo de vértices (3.-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vértice

opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura. Resp.

5459 938

=

h 6.Sean u y v vectores no nulos, diferentes tales que: w₁=u+v, w₂=u−v,

(u v). Hallar w = +

2 1

3 w1•(w2×w3) Resp. 0

7.Sea un vector diferente de cero, entonces, demostrar que si es un vector cualquiera, el

vector → V → U → → → → → → _• − = V V V U U W

2 es ortogonal a .

→

V

8.Demuestre que si es ortogonal a y a , entonces es ortogonal a para escalares cualquiera y .

→ U → V → W → U → →

+dW V c c d

9.Demostrar que el área del triángulo, cuyos vértices son los extremos de los vectores →A,

→

B y , es → C _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − × ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −→ → → → A C A B 2 1

10. Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas →A+→B, y y es el doble del volumen del tetraedro de aristas

→ → +C B → → +A C → A, →

B y .

→

C