Cuadernillo de Apoyo 3ºESO

(1)

Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas

1

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.

1º Operaciones combinadas con fracciones ... Pág.:3

2º Problemas con fracciones: ... Pág.:4

3º Fracción generatriz ... Pág.:5

4º Números reales, notación científica ... Pág.:5

5º Potencias ... Pág.:6 y 7

6º Radicales ... Pág.:7 ,8,9, y 10

7º Sucesiones y progresiones ... Pág.:11 y 12

8º Polinomios ... Pág.:13 y 14

Identidades notables ... Pág.:15

Factorización ... Pág.:16 y 17

Regla de Ruffini ... Pág.:18

9º Fracciones algebraicas ... Pág.:19 y 20

10º Ecuaciones de 1

er

grado ... Pág.:21

11º Problemas de ecuaciones de 1

er

grado ... Pág.:22

12º Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas .. Pág.:23

13º Problemas de sistemas de dos ecuaciones ... Pág.:24

14º Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas .. Pág.:25

15º Ecuaciones de segundo grado ... Pág.:26 y 27

16º Problemas de ecuaciones de segundo grado ... Pág.:28

17º Ecuaciones bicuadradas y de orden superior……Pág.:29

18º Funciones lineales ... Pág.:30

19º Funciones cuadráticas ... Pág.:31

20 º Estudio de una función a partir de su gráfica…...Pág.:31 y 32

21º Geometría. Figuras planas ... Pág.:33 y 34

22º Figuras en el espacio ... Pág.:35 y 36

(3)

3

1

1 º

º

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Realizar las siguientes operaciones respetando la jerarquía de operaciones y paréntesis:

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2

2 º

º

P

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F

R

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C

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O

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S

1º De un trozo de cuerda. El primer día cortan 1/3 , el segundo día 2/5 del resto y el tercer día quedan 12m. Calcular la longitud de la cuerda.

2º Dos amigos van de excursión. El primer día recorren 2/5 del trayecto, el segundo día 1/3 del trayecto y el tercer día el resto que son 24 Km. Calcular el trayecto de la excursión.

3º De una bolsa de caramelos. Luis se come 2/9 , Sonia 2/9 y Laura 3/9 .El resto de los niños se comieron 16 en total. Calcular el número de caramelos que se comieron Luis Sonia y Laura

4º El equipo de baloncesto de un colegio juega la final de un campeonato. Luis hizo 1/8 de los puntos Sonia 2/8 y Laura 3/8 . Los jugadores restantes hicieron 16 puntos. Calcular el número de puntos hechos por Luis Sonia y Laura

5º Una motorista recorre 90 kms en tres cuartos de hora y otro recorre 60 kms en media hora. ¿ Cuál es más rápido?

6º Una lata de limonada contiene 1/3 de litro. Carolina, para celebrar su cumpleaños, ha comprado 30 latas. ¿ Cuántos litros ha comprado?

7º Un viticultor vende 1/3 de su cosecha y luego 4/7 de lo restante. Si le quedan 120 hectolitros, ¿cuánto cosechó?

8º En la merienda Ana se ha comido la mitad de la tarta, María la cuarta parte, Elena la sexta parte y el plato se ha quedado vacío. ¿Es cierto? Justifica la respuesta.

9º El padre de Carlos gasta 2/5 de su sueldo en el alquiler de su casa y los 5/6 del resto en comida. Si después de pagar el alquiler y la comida le quedan 300 €, ¿cuántos euros gastó en comida? (Expresa el resto con una operación combinada)

10º En una planta de recogida de basuras, la tercera parte corresponde a envases, una cuarta parte son papeles y cartones y el resto son residuos orgánicos. Si en este momento hay almacenados 10000 kilogramos de residuos orgánicos, calcula cuántos kilogramos de basuras hay en la planta.

11º En un congreso participan una tercera parte de españoles y 3/5 de los asistentes son asiáticos. Si hay 50 asistentes de otras procedencias.¿Cuántos congresistas hay?

12º Un caminante realiza las 2/3 partes de un viaje en bicicleta, 1 / 4 en autobús y los 10 kms restantes andando ¿Cuántos kilómetros ha recorrido?

13º Una empresa ha comprado una parcela rectangular. El edificio de la empresa ocupa 2/5 del largo y ¼ del ancho y tiene 300 m2 de planta. ¿Cuántos metros tiene la parcela?

14º El aire es una mezcla de gases. En la capa más próxima a la superficie de la Tierra, se encuentran en las siguientes proporciones:

3 / 4 de nitrógeno, 1 / 5 de oxígeno, 3 / 10000 de anhídrido carbónico y el resto de gases nobles. Halla cuántos litros de cada uno de estos gases se encuentra en un m3.

15º La sangre humana se compone 9 / 20 de corpúsculos (glóbulos rojos, glóbulos blancos, plaquetas) y el resto de plasma. Sabiendo que de una persona constituye 1 / 14 de su masa cuánto pesan los corpúsculos sanguíneos de una persona de 77 kg?.

16º Una colonia de verano consta de dos pabellones. En el pabellón A hay 320 personas más que en el B. Sabiendo que en B se encuentran los 7 / 22 del total ¿cuántas personas hay en la colonia?

17º En un campo se cultivan flores. La cuarta parte son rosas, la sexta parte, claveles y el resto tulipanes. La sexta parte de la parcela dedicada a rosas es para flores blancas. Si el campo tiene 720 m2 y en casa m2 se producen 200 flores ¿cuántas rosas blancas se recogieron?

18º En un congreso internacional 3 / 8 de los asistentes son europeos, y la tercera parte, americanos. Hay 49 asistentes que no son ni europeos ni americanos. ¿Cuántos congresistas hay? .

19º La diferencia entre los 4 /5 y los 2 /3 de un número es igual a 8 ¿Cuál es el número?

20º Si se unen dos cables eléctricos, se obtiene un cable de 440m. Si sabemos que uno mide los 4/7 del otro ¿cuál es la longitud de cada cable?

21º Se siembra un huerto con patatas, puerros y zanahorias. Las patatas ocupan una cuarta parte, los puerros, los dos quintos, y las zanahorias el resto. La parte dedicada a los puerros supera en 30 m2 a la de zanahorias. ¿cuál es la extensión del huerto?

22º Por la compra de un apartamento hemos dado como anticipo 24000€ y nos hemos comprometido a pagar 250 € al mes. Después de 24 meses, hemos pagado los 5 / 8 del precio total. Calcular el precio del apartamento.

(5)

5

3

3 º

º

F

R

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C

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Ó

N

G

E

N

E

R

A

T

I

Z

1º

Transforma en fracción los siguientes decimales exactos.

a) 0,35 b) 1,54 c) 31,2 d) 4,27 e) 12,125 f) 2,33 g) 123,1

h) 0,1234 i) 135,3 j) 3,2 k) 2,22 l) 4,123 m) 22,36 n) 23,023

2º

Escribe en forma de fracción :

a) 0, 4 b) 31,4 c) 25,1 d) 32, 25 e) 12,034 f) 23,123 g) 12,01

h) 1,21 i) 21,02 j) 12,23 k) 12,0001 l) 12,1232 m) 1,0123 n) 2,012

ñ) 0,1234 o) 1, 43 p) 1002,1 q) 67,2013 r) 12,121 s) 3, 4 t) 3, 14

u) 92,12 v) 25, 25 w) 87,034 x) 35,923 y) 12,01 z) 1,21 1) 34,43

2) 23,0023 3) 75,1001 4) 7,1023 5)2,034 6)2,9876 7) 123,1 8)123,27

3º

Escribe en forma de fracción los siguientes números periódicos mixtos:

a) 12,0 1 b) 12,12 3 c) 123,00 2 d) 12,123 1 e) 12,1223 3 f) 2,2 12 g) 34,01 1

h) 0,12 12 i) 12,1 234 j) 23,52 123 k) 12,123 987 l) 2,1 36 m) 0,123 1 n) 12,1 21

ñ) 98,81 12 o) 23,35 234 p) 127, 45 45 q) 23,23 231 r) 21,0 5 s) 32,23 42 t) 321,00 3

u) 14,125 2 v) 67,001 3 w) 3,9 21 x) 34,01 121 y) 0,35 12 z) 12,1 234 1) 43,5 974

2) 12,199 786 3) 23,1 58 4) 0,345 1 5) 56,1 81 6) 10,31 18 7) 87,89 254 8) 12 ,03 45

4

4 º

º

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C

A

1º Se aproxima el número 0,666666... mediante a) 0,666 b) 0,67

Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso 2º Se aproxima el número 10/3 mediante a) 3,333 b) 3,34

Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso 3º Redondear el número 0, 55555…. , con tres cifras. Calcular el error absoluto y relativo y decir si es por defecto o exceso

4º Aproximar el siguiente número 12,232323… con tres cifras decimales. Calcular su error absoluto y relativo ¿ Es por exceso o defecto?

5 Se aproxima el número 0,3535353535…….mediante a) 0,35 b) 0,353

Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso 6 º Se aproxima el número 1,88888888 mediante a) 1,888 b) 1,89

Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso 7º Redondear el número 0, 777777…. , con tres cifras. Calcular el error absoluto y relativo y decir si es por defecto o exceso

8º Aproximar el siguiente número 4.373737 … con tres cifras decimales. Calcular su error absoluto y relativo ¿ Es por exceso o defecto?

9º Hallar el error absoluto cometido al aproximar 2 / 3 por a) 0,66 b) 0,7 Decir si son aproximaciones por exceso o por defecto

10º Hallar tres números comprendidos entre 2,69999 y 2,7 11º Calcula 8л con un error menor que una centésima

(6)

5

5 º

º

P

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A

= a

n.m

4º)

n

m

n m

a a

1.-

₅ ₄ 3 2 . . a a a a

2.-

₅ ₄ 2 4 3 : . . a a a a a

3.-

(x

2

)

3

. x

-4

. x

5

4.-a a a a a a . . . 3 2 5 5

5.-4 3 2 4 . a a a

6.-

7. -

₂

3 3 2 : . a a a a a a

2

:

x

_10.-

2 4 3 2 4 1 2 4

) ( ) (x y x y y

x

11.-

₄ ₂ ₄ 5 3 2 b b a a b a

12. -

((a3b2)3)2a4b6

13. -

₄ ₂ ₃ 3 4 2 b b a a b a

14.-

(x3y 2)3(x2y 1)3(x4y3)2

15.-

3 2 3

)

2 (

2

1 .

1024

16.-

2 4

3

)

2 (

4

1 .

128 17.-

81 . ((3)

2

)

-1

.27

18.-

32a464(a3) 4

19.-

81a5 27(a2) 4

20. -

23.-2 2

2

3 .

3

2

3 4

2

3 .

3

2 24.-

₄ ₂ ₃ ₃ 2 3 4 2 a b b a b a b a

25.-3 2 4 2 3 2 2

1 )

)

((

b

a

b

a

26.-2 3 2 4 2 3 4 3 1 ) ) (( y x x y

x

27.-

x3y 2(x 3y2)2(x 1y2)3

28.-

₄ ₂ ₂ 3 2 2 2

)

(

)

(

b

a

b

a

29.-

x 2y 3((x2y 2)3)2(x 1y2) 2

-2

31. -

a3b 3(a 3b3)2(a4b2)2

32.-2 4

5

3 .

3

5

2 3

x

)

(

)

(

)

(

44.-

₃

4 4 4 3 3 1 2 64 2 a a a a ( )

45.-3 2 4 3 2 2 3 4 2 3 1 2 3

)

((

)

(

b

a

b

a

b

a

ab

b

a

46.-

₅ 3 2 3 4 2

3

1

3

27

3

1

81 )

)

((

)

(

47.-

2 4 -2 -4 --3 4 2 z) y (16x z) y x 8 (

48.-

a . a a . a a 1 a . a 3 3 4 3 4

49.-

₂

2 2 3 4 2 1 4 2 3 4 2 1 ) ( ) ( ) ( y x y x y x y x

50.-

₃

4 2 3 2 3 4 3 2 3 2

1 )

)

((

)

(

)

(

a

b

a

b

a

b

a

51.-

₃

5 2 4 4 3 4

1 )

2 (

)

(

64

32 a

a

(7)

7

53.-5 2 2 2 4 2

2

1 .

2

1 .

2

1 .

64

54.-2 3 4 2 3 3 2 3

)

((

)

(

b

a

ab

b

a

55.

₂ 3 4 2 2 3 3 2 1 2 2 4 3 2 y x ) y x ( ) y x ( ) y x ( y x

56.

-6 3 3 3 5 2 3 1 ) ) 3 (( ) 81 ( 3 3 1 27

57.-

₆ ₅ ₃ ₂ ₄

4 1 3 5 2 3 2 3 ) ( ) ( ) ( b a b a b a b a b a

58.-

₅ ₆ ₂ ₄ ₃ 2 2 4 6 4 4 3 2

)

(

)

(

)

(

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

59-

.

3 3 4 4 2 2 2 4 3 3

x

2 )

)

x

(((

)

x

(

128 x

2 60 .

-5 3 2 3 4 2 3 1 ) ) 3 (( ) 27 ( 3 3 1 81

61.-6 3 3 2 3 3 3 5 2

2

1 )

)

2 ((

)

2 ((

2

1 )

16 (

2

1

32

62.-2 2 3 2 2 4 3 2 3 1 2 3 3 1 ) ( ) ( ) ( y x y x y x y x y x

63.-

₂ 2 2 3 4 2 1 4 2 3 4 2 1 xy y x y x y x y x ) ( ) ( ) (

64.-

₆

3 3 3 5 2

5

1 )

)

5 ((

)

625 (

5

25

1

125

65.-3 2 2 2 2 3

3

1 .

3

1 .

3

1 .

66.-

₂

3 4 2 3 3

x

16 )

x

(

128 x

4

67.-3 4 2 2 2 2 1 3 3 2 3 3 2

b

a

)

b

a

((

)

b

a

(

)

b

a

(

b

a

6

6 º

º

R

A

D

I

C

A

L

E

S

Propiedades de los radicales

1º)

a n n

b

.

a

b

a

_.

2º)

a n n

b

.

a

b

a

_:

_3º)

n m n m

a

4º)

n m n.m

a

5º)El producto (división) de dos radicales de distinto índice es otro radical de índice el m.c.m de los índices y en su interior los la multiplicación (división) de los radicandos elevados al resultado de dividir el m.c.m entre su índice

Ejemplos : 3

a

_.

b

6

a

2

b

3 4 4

3

2

3

2

6º) Para extraer de un radical se divide el

exponente del radicando entre el índice de la raíz , el cociente son los que salen y el resto los que se quedan:

Ejemplo: 3 x11 x33 x2

7º) Para introducir un factor en un radical

multiplicamos el exponente por el índice del radical Ejemplo: 3

6 3 2

y

x

y

x

8º) Para sumar radicales deben ser iguales :

Ejemplo: 2 2 5 2 7 2

1º)

_{5. -}

3 2 4 2 3

e

d

c

ab

6.-

5

_x

2

_y

3

_7.-

_x

z

y

x

19.-

3

2

.

4 33

d

c

20.-

3 2

b

a

21.-

3 2

c a

b

22.-

3 32 2 1

23.-

6 5 3 2 z b y xa

24.-

4 3 2 c a y x

25.-

3 5 3

x c y b a

26.-

f

e

d

c

b

a

4 3

4 3 3

3 2

27.-

4 3

z

y

3 2 c a b 1

28.-

5 3 3 c a y 1

29.-

3 5 3

5 2 x c b a

30.-

f

e

d

c

b

a

5 3 2

3 2

31.-

3 3

y x 3 2 t a z 1

32.-3 2 y x

2º)

Factorizar, escribir en forma de potencia con exponente fraccionario y simplificar.

1.-

2

8

2.-

27 3

81

3. -

4

125 5

4.-

3

16 8 3

4

5. -

1024

2

6.-

25

3

125

7.-

4

25

.125

8.-

16

3

32 8

9.-

3 49 4 343 7

10.-

3 4

5 125 625

11.-

3 4

128

64

12.-

41024 3 256 128

13.-

128

32

14.-

16

8 3

32

15.-

9

3

81

16.-

7

343

4

49

17.-

8

3

64

18.-

125

5

19.-

32 3

2 8

20.-

27 3

3

21.-

343

7

3

49

22.-

8

3

64

23.-

25

1255

24.-

3

8 8 3

4

25. -

1024

2 8

.

26.-

4 3 5

16 256

128

27.-

125

3

625

125

28.-

3 7 4 49 343

30.-

243 3

81

3º)

Extraer fuera del radical

1.-

8

2.-

16a

3-.

8.-

125 a

4

9.-

3

81 a

5

b

10

10.-

3 8 12

b

a

128 11.-

3

₈₁

_x

8

_y

9

_z

12

12.-

16 x

3

y

7

z

13

t

15

13.-

3

a

7

b

10

c

13

14.-

4

₁₀₂₄

_x

9

_y

23

_z

12

15.-

4 4 8

b

a

81 16.-

x

16 b

a

27

5 4 5

17.-

z y x 32 b a 81 9 5 4 4 8

18.-

z y x 27 b a 128 15 9 5 7 12

19.-

125 a

6

b

19

20.-

32 x

9

y

17

z

15

t

21

21.-

3

81 a

12

b

10

c

14

d

16

22.-

3 17 12 23

c

b

a

243 23.-

y x 16 b a 729 13 5 23 8

24.-

3

17 16 11

b

.

a

x

.

1024

25.-

z y x 27 b a 64 15 12 7 87 13

26.-

3

12 13 12

b

.

a

x

.

64 27.-

a

625 y

x

32

6 4 5

28.-

z2 y x 32 b a 125 9 15 9 14 9

29.-

y x 8 b a 9 9 15 17 13

30.-

25 a

16

b

8

c

3

d

7

x

128 a

27

4 8

32.-y x 16 b a 81 17 5 25 9

4º)

Introducir dentro del radical y simplificar

1.-

2 a b

23

a

2

b

2.-

3

3 2 3 2 y z x 2 y x 2 5

3.-

3

2 2 4 3 2

z

81 y

x

25 z

x

5 y

3 4.-

a

2

b

3

c

4 abc

5. -

3

2 2 2 3 4 y z x 2 y x 2 3

6.-

3 2 2 2 3

a

81 a

x

625 z

x

5 a

2 7.-

a

4

b

3

c

4

d

3 abcd

8.-2 4 4 4 3

y

x

9.-

a

2

b

-3

a

3

b

3

10.-

a

4

b

3

3 4

b

a

(9)

9 5º)

Escribir como un único radical

1.-

3

_x

_2.

_-

_x

_3.-

_x

_4.-

3

x

5.-

4 a3 b 3 c2

6.-

x

2

y

3

z

2

7.-

3

2

8.-

3 2

b

a

9.-

4 3

z

y

10.-

4

₈

₂

_11.-

4 3 2

x x

x

12.-

3 2

b

a

b

a

6º)

Realizar las siguientes multiplicaciones y extraer fuera del radical. (Factoriza los números)

1.- 2 3 5

2.- 4 2 8

3.-3 x2 x

4.-3 815 27 5.-4

_a

3 3

_a

2 6.-6

_x

5

_y

4 3

_x

2

_y

2 7.-5

₁₂₅

_a

4

10

₆₂₅

_a

9 8.- 2 3 4 4 8

9.- 2 3 3 6 5

10.-3 2 3 6 4

11.-4 5 3 25 6 125

12.-

2 a

3

4 a

2 4

8 a

3 13.-3

3 16.-3

8 x

3

x

2

4

128 x

3 17.-3

x

4

y

3

x

y

2

6

x

3

y

5

18.- 5 3 25 5 125 10625

19.- x 3 x2 5 x3 10x4

20.- 12 18 6 24 48

21.-3

_a

2

_b

_a

2

_b

3

3

23.- 6 2 2

y

x

y

x

24.-

a

2

b

3 3

a

2

b

25.- 4 _xy3 _x2_y3 3

₁₀₂₄

_x

2

_y

3

_.

₈

_xy

27.- 3 x4y2 x3y

128 .

32 4 2 2

2 x

y

3

7º)

Realizar las siguientes divisiones y extraer fuera del radical. (Factoriza los números)

1.-

5

10 2.-

2

5

3

3.-

6 4

27

3 4.-

3

₈₁

27 5.-

8

128

5

6.-

125

625

3

7.-

8 1024

6

8.-

3

₈₁

3 9.-

x

3 2

10.-

3 3 2 b b a

11.-

6 4 5

4 2 y x y x

12.-

abc

c

b

a

5 2 3 4

13.-

4 2 2

6 2 2

y x

14.-

6 3 4

3 2 4 3

y

x

xy

y

x

xy

15.-

10 2 2

3 2 3

5 4

y

x

xy

y

x

xy

16.-6 2 a b b b a b a a

3 2 4

3

17.-

3 a a a

18.-

3 a b b a

19.-

y

x

y

x

3 2 4

2 2

x

y

20.-

10 2 2

3 2 3

5 4

y

x

xy

y

x

xy

21.-

2 3 2

-3 2 4

4 2 2

3

)

(a

a

b

a

b

a

22.-

3 2 2

4 2 3

3 4 b a b a b a ab

23.-

x x x x

24.-

a b a b b a 2

25.-

a b b b a

26.-

3 3 x x x x

27.-

3 2 a b b b a

28.-x ) x ( x y x 2 2

29.-4

3 2 4

2 3

y

x

y

x

2

x

y

30.

-15 5 2

3 2 3

3 2 4

(10)

8º)

Simplifica las siguientes expresiones:

1.-

2

+

7

+7

3

7

-3

3

7

+8

3

11.

12.-

2

8 5 18 200 3 98

13. -

3· 8 2· 18 32 5· 50

14.-

108 2· 48 27 3 147

15. - 3

48

-4

27

+5

75

+6

3

16.-

32

+4

50

-3

98

-7

128

17.-

4

180 3 45

RACIONALIZAR

Consiste en eliminar raíces del denominador. Existen varios procedimientos

1

er

Tipo:

Denominador con raíz

cuadrada

b a

Se multiplica numerador y denominador por la raíz :

b b a b

b a b a

2

2º Tipo :

Denominador con raíz

de índice superior

n m

b

a

Se multiplica y divide por una raíz con el mismo índice y el

radicando elevado a la diferencia entre el índice y el exponte

del radicando

b b a b

b a b

b b a b

a n n m

n n

n n m

n m n m

n n m

n m

n n m

n m

3

er

Tipo:

Denominador con

raíces sumadas o

restadas

c b

a

Se multiplica y divide por las raíces conjugadas y se aplica la

identidad notable (a+b)(a-b) =a

2

-b

2

c b

) c b ( a c b

) c b ( a ) c b )( c b (

) c b ( a c

b a

2 2

9º)

Racionaliza las siguientes expresiones:

1.-5 3

2.-6 2

3.-

3 2

4.-2 2 2

5.-3 2 5

6.-10

5

1

7.-5

8 4

8.-5₂₇

2

9.-3

3 5

10.-3

2 4

11.-3

6 3

12.-3

(11)

11

13.-3

8 4

14.-3 5

2

15.-5

6 5

2

24.-3

7

2 25.-3

3

2

26.-4

125 5

27.-

2 3

4

28.-

2

5

6

2 29.-5

5

2

30.-3

49 7

31.-

3 8

2

32.-6 5

2

33.-4

125 3

34.-3

2

3 35.-3

4

5 36.-

5

2 37.-

3

5

3 38.-

7 5 2

2

39.-

4

₂

5

3 40.-

3

8 5

4

7

7 º

º

S

U

C

E

S

I

O

N

E

S

Y

P

R

O

G

R

E

S

I

O

N

E

S

Progresiones aritméticas:

Progresiones geométricas

a

n

= a

1

+(n-1)d Término general

a

a ) 1 r

( n ₁

Suma de los n primeros términos

1. Escribe los términos generales de cada una de las siguientes sucesiones:

a) 0,1,2,3,4,…..

b) 17, 21,25,29,33,…

c) 5 , 5/2, 5/3, 5/4 , 1 , 5/6,… d) 5,10,15,20,25,..

e) 1,4,9,16,25,… f) 0,3,8,15,24,.. g) 2,6,12,20,30,…

h) 0,2,6,12,20,3.--- i) 2,4,8,16,…. j) 3,9,27,81,…

k)1/2 ,1/4, 1/8, 1/16,… l) 1,10,100,1000,…

m) 1, 1/10, 1/100 , 1/1000,.. n) 1/2, 2/3, 3 /4 , 4/5, 5/6,…

ñ) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81,… o) 3/1, 6 /2, 9/ 3 , 12 /4,… p) 3/1 ,6 /4, 9/ 9 , 12 / 16,… q) 1, 2/10, 3/100 , 4/1000… r) 1/2,10 /4, 100/8, 1000/16,… s) 1/2 , 3/4, 9/8, 27/16,… t) 3, 9/10, 27/100 , 81/1000,..

2. Calcula los cinco primeros términos cada una de las siguientes sucesiones:

1. an= 5n+2

2. an=6n-2 3. an= n2 4. an= n2+2 5. an= n2-2n+2 6. an= n2+n+1 7. an=2n 8. an= 2n-1

9. an= 3n-1

10.

1 n

n a_n

11.-1

n

3 n

a

n

12.

1 n 3

n 2 a_n

13.

2 n

2 n 4 an 14.

1 n

n a

2

n

15.

1 n

n a ₂

2

n

16.-

1 n

n a

3

n

17.-

2 n

2 n a_n

3. Calcula el término tercero, cuarto , quinto y décimo de cada una de las siguientes sucesiones:

1. a_n n 1

2.

n 2 a_n

3.

3 n 2

n a

2

n 4. n n

10 n a

5. a n=3. 2n -1

6. a n=2n+3

7. a n=

n ) 1 ( n

(12)

8. a n= ₂ n

n ) 1 (

1 (

n 3

13.-n n 5 ) 1 ( n

14.- a n=2n+1

4. Escribe los términos generales de cada una de las siguientes sucesiones

a) 1-,2,3,-4,…..

b) -1,2,3,-4,…. c) 2,-4,6,-8,10,.. d) -2,4,-6,8,-10,… e) 2,-4,8,-16,….

f) 5,-10,15,-20,25 g) 1,-6, 12,-18, 24,… h) -1/3 ,1/9, -1/27, 1/81,… i) 5, -10/10, 15/100 , -20/1000 j) -1/3, 1/9, -1/27, 1/81,…

k) -1/2, 2/3,- 3 /4 , 4/5, -5/6,… l) 3,-9, 27, -81

m) -5, 25,-125, 625 n) 4,- 16, 64, -256,.. o) -1, 5, -10, 15,…

5. Escribir los términos que faltan en las siguientes progresiones aritméticas:

a) 1,3, ? , 7, ? ,…

b) 1 ,4, ? , 11, ? ,.. c) ? , ? , 10, 20,.. d) ?, 4 , ? , 0, ? , -4 ,..

e) 3, 6, ? ,12, ? ,.. f) 4 ,2, ? , -2, ? ,… g) 25, ? , 15 , ? , ? ,… h) 2, ? , ? , 14, 18,…

i) -5, ? , -1 , ?, 3 , ? j) 3, 7, ? , 15, ? , 23,… k) ?, -4, -6, ?, -10,.. l) 1, ? , 11, ?, 21,…

6. Escribe el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

a)1,3,5,7,9,….

b)5,9,13,17,… c)9,7,5,3,… d)4,8,12,16,.. e)5,8,11,14,… f) -7,-4,-1,2,…

g)2,814,20,… h)6,3,0,-3,… i) a1=2 d=3 j) a1=1 d=-2 k)a1=5 d=4 l) a1=-2 d=2

m) a1=2/3 d=1 n)a1=2 a2=3 o)a1=5 a2=3 p)a1=1 a2=4 q)a4=2 a5=4 r) a6=5 a7=3

s)a4=8 d=3 t) a5=8 d=2 u)a1=8 a2=5 v)a3=5 d=-2 w) a5=8 d=2 x) a5=8 d=2

7.-

Calcular :

a) S10 Si a1=2 y d=3 b) S8 Si a1=-3 y d=2 c) S30 Si a1=2 y a2=4 d) S100 Si a1=1 y d=5 e) a12 Si a1=4 y a2=7

f) S20 Si a1=16 y a10=43 g) S10 Si a10=58 y d=6 h) an Si a1=7 y S12=150

i) a1 y an Si d=6 y n=13 y S13=572 j) S50 Si a7=32 y a2=40

k) n Si a1=7 an=53 Sn=300 l) d Si a1=1 y S10=100 m) a7 y a n Si S7= 119 y a1=2 n) S7 Si a1=5 y a9=29 o) a1 y d Si a3=24 y a10= 66

8.-

Escribir los términos que faltan en las siguientes progresiones geométricas:

a)1,3, ? , 27, ? ,…

b)1,2, ? , 8, ? ,.. c) ? , ? , 10, 100,.. d) ?, 4 , ? , 1, ? , 1 / 4,..

e)3,6, ? ,24, ? ,.. f)4,2, ? , 1/2, ? ,… g)125, ? , 5 , ? , ? ,… h)100, ? , ? , 10-1, 10-2,…

i)32, ? , 8 , ?, 4 , ? j)3, ?, 27, ?, ?,… k) 32, ? , 8, 4, ?,.. l)8, 4, ?, 1, ?,…

9.-

Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas:

a)1,3,9,27,..

b)1,2,4,8,16,… c)5,25,125,625,.. d)8,4,2,1,..

e)2,1,1/2,1/4,.. f)27,9,3,1,…. g)125,25,5,1,…. h) 25,5,1, 1/5,…

i) 1, 1/2, 1/4, 1/8,… j) 9 , 3, 1, 1/ 3,… k)625, 125,25,5,1,,, l) a1=16 r= 1/2

m) a1=2 r=3 n)a1=3 a2=6 o)a1=54 r=- 1/3 p)a1=5 a7=320

10.-

Calcular :

a)¿ r , a1, S8 ? Si a8=243 y a4=3 b)¿ a6 y S6 ? Si a1=2 y r=3 c)¿ a1 Si r=3 ? Si S4=80 d)¿ a8 y S8 ? Si a1=2 y r=2 e)¿ r y S10 ? Si a1=5 y a7= 320

f)¿ an y S10? Si a1=7 y a4=875 g)¿a1 y r ? Si a4=5832 a9=24 h)¿ S10 ? Si a1=1 a4=125 i) ¿ d y an ? Si a10=1024 a1=2 j) ¿ an y S10? Si a1=3 y a4= 96

(13)

13

8

8 º

º

P

O

L

I

N

O

M

I

O

S

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Definiciones:

Ejemplos

Valor numérico de una expresión algebraica: Es el número que se obtiene al sustituir las letras por los números dados.

Ejemplo: x3 – 6x + 5 en x=1 (1)3-6(1)+6 =1

Suma y diferencia de polinomios. Es el polinomio que se obtiene al reducir ( sumar o restar ) los términos semejantes ( de igual grado)

Ejemplo:

(4x3 – 12x + 10) – (3x4 + 6x3 – 12x2 – 14) = -3x4 – 2x3 + 12x2 – 12x + 24 Multiplicación de un polinomio por un número: Se

multiplican todos los términos del polinomio por dicho número

Ejemplo:

2(2x3 – 6x + 5)= 4x3 – 12x + 10 Producto de un polinomio por un monomio: Es igual a otro

polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio:

Ejemplo:

2x2(2x3 – 6x + 5)= 4x3 – 12x3 + 10x2

Producto de polinomios: Es otro polinomios cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y sumando luego los términos semejantes. Si tienen muchos términos se colocan los monomios del mismo grado uno debajo de otro luego se

multiplican y se suman

Ejemplos (2x2 – 6x)(3x – 5) =

=6x3 – 10x2 – 18x2 + 30x = = 6x3 – 28x2 + 30x

(-7x3+3x2+2) ( 2x2+3x-1) -7x3+3x2 + 2

2x2 +3x -1 -7x3 -3x2 - 2 -21x4 +9x3 +6x -14x5 +6x4 +4x2

-14x5 -15x4 +2x3 +x2 +6x -2

La división de polinomios es similar a la división de números. El dividendo y el divisor deben de estar ordenados en orden decreciente. Vamos dividiendo los monomios de mayor grado del dividendo y los dividendos parciales entre el divisor. Multiplicamos el monomio resultado de esta división por el divisor y el resultado se lo restamos al dividendo parcial La división acaba cuando el grado del dividendo parcial es menor que el grado del divisor.

Ejemplo : Calcular Q(x) : P(x), siendo: Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7 y P(x) = x2 – 5x x4 + 2x3 – 6x2 – 7 x2 – 5x

-x4 + 5x3 x2 + 7x + 29

7x3 – 6x2 Dividendo = Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7

-7x3 + 35x2 Divisor = P(x) = x2 – 5x

29x2 Cociente = x2 + 7x + 29

- 29x2 + 145x Resto = 145x - 7

145x - 7

1.-

Calcular el valor numérico de los siguientes polinomios en los puntos dados:

a) x

3

– 6x + 5 en x=1

+ 2x-3xy en x=2 e y=-1

g) ax

2

+3xa -3 en x=-1 y a=2

(14)

2.-

Realizar las siguientes multiplicaciones aplicando la propiedad distributiva y simplifica:

a)

(2x-3)(4x-2)

b)

(6x-5)(x

2

+2)

c)

(x

2

+2)(x+3)

d)

(3x+4)(x

3

-3)

e)

-2x+1)

i)

(2x-3y)(2y+3x)

j)

(2xy

2

-5x+2y)(2x+3y)

k)

-3)(2x+5y)

3. - Dados los polinomios A(x)= x

5

– 25 x

3

+ 10x; B(x)= x

2

– x – 2 ;C(x)= x

3

+ 3x

2

– 4x – 4

D(x)= 3 x

4

– x

3

+ x

2

+ 2 .Calcula:

a)

A(x)+B(x)+C(x)+D(x)

b)

A(x) - B(x) -C(x)+D(x)

c)

A(x)+B(x) - C(x) - D(x)

d)

-A(x)+B(x)+C(x) - D(x)

e)

A(x) - 2B(x) -C(x)+3D(x)

f)

3A(x) - B(x) +2C(x)-D(x)

4.-

Realiza las siguientes operaciones con los siguientes polinomios:

P(x) = 2x

3

– 6x + 5; Q(x) = x

4

+ 2x

3

– 6x

2

– 7; R(x) = x

2

– 3x-2

a)

P(x) + Q(x) + R(x)

b)

P(x)+Q(x) –R(x)

c)

2Q(x) – 5R(x) + 3P(x)

d)

Q(x) . R(x)

e)

3R(x)[Q(x) – 3R(x)]

f)

P(x)[5R(x) – 2Q(x)]

5.-

Si P(x) = x

3

+ 6x

2

- 4x – 5 y Q(x) = x

2

+ 6x + 9, calcula:

a) P(x) + Q(x); b) P(x) · Q(x); c) P(x) –Q(x) d) P(x) : Q(x) e) Q(x)

2

6.-

Si P(x) = x

3

+ 3x

2

- 4x – 5 y Q(x) = x

2

+ 6x + 2, calcula:

a)

P(x) + Q(x);

b)

P(x) · Q(x);

c)

P(x) –Q(x)

d)

3 P(x) – 2 Q(x)

e)

P(x) / Q(x)

f)

P(x) . 2 Q(x)

g)

(2P(x)- Q(x)) . Q(x)

h)

(P(x) + Q(x)) / Q(x)

i)

P(x)

2

7.-

Si P(x) =x

4

2x

3

- 4x

2

+ 5 y Q(x) = x

2

+ 2x - 5, calcula:

a) P(x) - Q(x); b) P(x) · Q(x) c) P(x) / Q (x) d) P(x)

2

8.-

Realiza las siguientes operaciones con los siguientes polinomios:

– 3x+2

a)

P(x) +2 Q(x)

b)

P(x) / R (x)

c)

Q (x) / R (x)

d)

P(x) / R (x)

e)

P(x) . Q(x)

f)

R(x)

2

g)

2Q(x) – 5R(x) + 3P(x)

h)

3R(x)[Q(x) – 3R(x)]

i)

P(x)[5R(x) – 2Q(x)]

j)

(Q(x) + P(x)): R(x)

k)

(Q(x) . R(x)): P(x)

l)

Q(x) / (R(x)+P(x))

9.-

Si P(x) = x

3

2

– 3x-2)

b)

(15)

Colegio Internacional Pinosierra Departamento de Matemáticas

15

IDENTIDADES NOTABLES

Fórmula

Ejemplo

4

– 8x

3

11.-

Utilizar las fórmulas de las identidades notables para realizar.

)

11. (

2y

3 x2

)(

2y

3 x2

)

15. (

x 3y

3 y2

2

25.

3 y

2

26. (2x +

2 y

29. (

y)2

2

9 4 y x

9. 5x

4

-9

2

y 25 16 x

14.

2

9 y

y

38. x

3

– 12x

2

b) 2x

3

-6x

2

2

(16)

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS - MCM

Definiciones:

Factorizar un polinomio: Descomponer un polinomio como producto de factores primos.

Factor primo: En el caso de los polinomios, son polinomios que no tienen más raíces reales, por lo tanto

aquellos que no se pueden descomponer en factores más simples.

Mínimo común múltiplo: Una vez descompuestos en factores primos los polinomios, se eligen los factores

que sean comunes a todos los polinomios elevados al mayor exponente y se multiplican por todos los factores que no sean comunes.

Ejemplos

1) Factorizar un polinomio

a) Si no tiene término independiente se saca x o xn factor común Ejemplo: 2x5 – 6x3 + 4x2 ; Sacamos 2x2 factor común a los tres sumandos 2x2(x3 – 3x + 2)

El polinomio (x3 – 3x + 2) se factoriza como se explica a continuación b) Si tiene término independiente se buscan sus raíces utilizando el método de Ruffini

Se factoriza del siguiente modo P(x) = (x – raíz1)(x – raíz2)....

Ejemplo: x3 – 3x + 2 1 0 -3 2 Debemos buscar un número, divisor

Raíz = 1 1 1 -2 del término independiente, tal que el

1 1 -2 0 resto de la división sea 0.

1 1 2

1 2 0

-2 -2

1 0

Por lo tanto el polinomio se factoriza del siguiente modo (x –1)2(x + 2) La factorización final de 2x5 – 6x3 + 4x2 será:

2x5 – 6x3 + 4x2 = 2x2(x3 – 3x + 2) = 2x2(x – 1)2(x + 2) 2) Calcular el MCM

a) Se factorizan todos los polinomios siguiendo el procedimiento anterior.

Ejemplo: Halla el MCM de los siguientes polinomios: x5 – 4x3; 2x5 – 6x3 + 4x2; x2 + 4x +4. x5 – 4x3 = x3(x – 2)(x + 2)

2x5 – 6x3 + 4x2 = 2x2(x – 1)2(x + 2) x2 + 4x +4 = (x + 2)2

b) Se toman todos los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados a la mayor potencia y los factores que no sean comunes y se multiplican

MCM = 2x3(x + 2)2(x – 1)2(x + 1)(x – 2)

REGLA DE RUFFINI

Definición:Es un método para dividir un polinomio entre x

a

Ejemplo : Dividir 4x3-7x2+5x-6 por x -2

4 -7 5 -6 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 8 2 14

4 1 7 8 = Resto Cociente : 4x2+x+7 Cociente

Teorema del resto: El valor numérico de un polinomio para x=a es igual al resto de la división

Ejemplo : Calcular el valor numérico de P(x)= x3-3x2+5x-8 para x=2

1 -3 5 -8 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 2 -2 6

1 -1 3 -2 = Resto P(2)= -2

Ejemplo : Calcular el valor de k P(x)= x3-3x2+kx-2 para que P(x) tenga el valor 8 en x=2 1 -3 k -2 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 2 -2 2k-4 Despejamos K en la ecuación