Números complejos 3

(1)

Facultad de Ciencias Exactas, Ingenier´ıa y Agrimensura

Departamento de Matem´atica - Escuela de Ciencias Exactas y Naturales ´

ALGEBRA y GEOMETR´IA ANAL´ITICA I Licenciatura en F´ısica - 2015

Equipo docente:Viviana del Barco, Luc´ıa Caraballo y Ana Muringo

UNIDAD 5: N´

umeros complejos

1. Definiciones y propiedades b´

asicas -

C

_{como extensi´}

_{on de}

R

_.

Definición 1. Se llamanúmero complejoa todo par ordenadoz= (a, b)de números reales.

Dadoz ∈ C_, _z _{un n´}_{umero complejo, si} _z _{= (a, b) los n´}_umeros_a _y _b _{son respectivamente la} _{parte real} _y_parte impaginariadez y esto lo notamos:

a=Re(z), b=Im(z).

Dados dos n´umeros complejosz= (a, b) yw= (c, d) definimos la igualdad de zywcomo: z=w⇔

(

a=c b=d

Observemos que el par (a, b) es ordenado, en el sentido que el complejo (a, b) no es igual al complejo (b, a).

Definimos a continuación operaciones entre los números complejos: la suma y el producto de la siguiente manera: Definición 2. Seanz= (a, b)y w= (c, d)dos números complejos (es decira, x∈C_{). Entonces definimos}

Suma: z+w= (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

Producto: zw= (a, b)(c, d) = (ac−bd, ad+bc).

Es importante notar que la suma (producto) que se est´a definiendo es la de los pares ordenados (a, b) y (c, d). Cuando decimos que esto equivale al par ordenado (a+c, b+d), la suma aqu´ı es la usual entre los n´umeros realesa yc, yb yd.

Al conjunto de los n´umeros complejos junto con las operaciones definidas arriba lo indicamos con la letraC_: C₌_{_{(a, b) :}_{a, b}_∈R_}_.

Teorema 3. Los n´umeros complejos satisfacen las siguientes propiedades: si z, u, w son n´umeros complejos cua-lesquiera, entonces se verifican:

1. Propiedad conmutativa:z+w=w+z,zw=wz.

2. Propiedad asociativa: z+ (u+w) = (z+u) +w,z(uw) = (zu)w.

3. Propiedad distributiva:z(u+w) =zu+zw.

4. Existencia de neutro: Existen (0,0)∈C_y _(1,₀₎_∈C_{tales que} (0,0) +z=z y (1,0)z=z.

5. Existencia de opuesto: Si z= (a, b), existe −z= (−a,−b)∈C_{tal que}_z_{+ (}₋_{z) = (0,}₀₎_. 6. Exitencia de inverso: Si z= (a, b)6= 0, existe z−1₌

_a

a2₊_b2,

−b a2₊_b2

∈C _{tal que}_zz−1_{= (1,}₀₎_.

Demostraci´on. ejercicio

El elemento (0,0) del Teorema 3 se llama neutrode la suma enC_{y para cada}_z_∈C_,₋_z_{se llama}_opuesto_de_z. El elemento (1,0) se llamaidentidad del producto enC_{y para cada}_z_∈C_,_z₆_{= (0,}_0),_z−1 _{se llama}_inverso_de_z.

A partir del teorema anterior, podemos definir la resta y el cociente de n´umeros complejos.

(2)

Definición 4. Seanzywdos números complejos. Se define larestadewaz y se denotaz−wal número complejo

z−w=z+ (−w). Siw6= (0,0), se define elcocientedez porw y se denota z

w al n´umero complejo z

w =z·w−

1_.

Ejemplo 5. 1. (1,0)−(2,1) = (1,0) + [−(2,1)] = (1,0) + [(−2,−1)] = (1 + (−2),0 + (−1)) = (−1,−1). 2. (2,1)−(1,0) = (2,1) + [−(1,0)] = (2,1) + [(−1,0)] = (2 + (−1),1 + 0) = (1,1).Notar que este ejemplo muestra

que la resta de n´umeros complejos no es conmutativaya que (1,0)−(2,1)6= (2,1)−(1,0).

3. (2₍₁,_,0)₁₎ = (2,0)(1,1)−1_{= (2,}₀₎₍1 2,−

1 2) = (2

1 2−0−

1 2 ,2−

1 2 + 0

1

2) = (1,−1). Notar que (1,1) (2,0) = (

1 2,

1 2)6=

(2,0) (1,1), por lo tanto el cociente de n´umeros complejos no es una operaci´on conmutativa.

Una última operación que será interesante estudiar es la depotenciación.

Definici´on 6. Sea z ∈C _{un n´}_{umero complejo. Para cada} _n_∈N_{, se define el n´}_{umero complejo}_zn _{de la siguiente}

manera (recursiva):

(

z1₌_z

zn₌_zn−1_·_{z, n}_∈_N_{, , n}_≥₂

Si z 6= 0, se definez0 _{= 1} _{y para todo} _n_∈ _Z_,_{n <} ₀_{, se define} _zn _{= (z}₋1₎(₋n)_{. El n´}_umero _zn _{se llama} _potencia n-´esima de z.

La potencia de complejos as´ı definida tiene las siguientes propiedades (an´alogas a las de los n´umeros reales) Teorema 7. Seanz, w∈C_,_{n, k}_∈Z_{. Entonces:}

1. zk_zn₌_zk+n 2. zkn

=zkn

3. (zw)n ₌_zn_wn_. 4. z

w

n

= z n

wn.

Ejemplo 8. (1,1)−2_{= (1,}₁₎−12

= (1₂,1₂)2= (1₂,₂1)(1₂,1₂) = (0,−12).

SeaC0el subconjunto deCconstituidos por los complejos de la forma (a,0), esto es, los que tienen parte imaginaria

nula. Entonces las operaciones de suma y producto soncerradasenC0, es decir, la suma y el producto de dos elementos

deC0es nuevamente un elemento de C0. En efecto,

(a,0) + (c,0) = (a+c,0), (a,0)(c,0) = (ac,0). Adem´as, siz∈C0yz= (a,0), entonces

−(a,0) = (−a,0), y sia= 0 tambi´en resulta (a,6 0)−1_{= (a}−1_,_0).

Esto implica, en particular, que la resta y la división también son cerradas en C0: restar (o dividir) dos números

complejos con parte imaginaria nula da como resultado un n´umero complejo con parte imaginaria nula (ejercicio: demostrar esta afirmaci´on). De igual manera, siz∈C0 yz6= 0, zn = (an,0) para todon∈Z.

Vemos entonces que los n´umeros complejos deC0se comportan de la misma manera que si fueran n´umeros reales.

Por este motivo, no haremos diferencia entre un número real x y el complejo (x,0). De hecho, a cada número complejo (x,0)∈C0 lo notaremos directamente comox. Via la identificación:

x∈R_←→_(x,₀₎_∈C_.

De esta manera, diremos queC_{es una extensi´}_{on de}R_{, pues}C_contiene_a R_{, pensando cada n´}_umero_x_∈R_como (x,0)∈C₀_{. Con esta convenci´}_{on: 0 = (0,}_{0), 1 = (1,}_0),₋_{1 = (}₋_1,_{0), etc.}

Observaci´on 9. Decimos que un n´umero complejozes imaginario puro siz= (0, b)conb6= 0, es decir siz6= (0,0)

(3)

2. La unidad imaginaria

i

_{- Forma bin´}

_{omica de un n´}

_{umero complejo.}

Definici´on 10. Llamamosunidad imaginariaal n´umero complejo (0,1)y lo notamos con la letra i:i= (0,1).

Notar queies un número complejo imaginario puro. Además,ies solución de la ecuación cuadráticax2_{+ 1 = 0, que}

no tiene soluci´on en el cuerpo de los n´umero reales. En efecto:

i2=i·i= (0,1)(0,1) = (0·0−1·1,0·1 + 1·0) = (−1,0) =−1 con las identificaciones anteriores.

Las potencias enteras de la unidad imaginaria tienen una particularidad que es quese repiten de 4 en 4: i0 _{= 1,}

i1₌_i,_i2 ₌₋_1,_i3₌_i, _i4_{= 1,}_i5_{= 1,}_i6 ₌₋_1,_i7 ₌₋_i,_i8 _{= 1, etc... Es posible demostrar que esta particularidad}

se repite con todas las potencias enteras dei.

Teorema 11. Para todo n∈Z_,_in₌_ir _donde _r_{es el resto de dividir a}_n _por₄_.

Demostraci´on. Sea n∈ N_{y sea}_r _{el resto de dividir a} _n _{por 4, es decir} _n_{= 4p}₊_{r. Por las propiedades 1 y 2 del} Teorema 7, resulta

in =i4p+r= (i4)p·ir= 1p·ir=ir.

Ejemplo 12. Para calcular la potenciai1329_{, dividimos}₁₃₂₉_por₄_:_{1329 = 332}_·_{4 + 1}_{. Entonces} _i1329₌_i1₌_i_{. Por} otro lado, i−257₌_i3₌₋_i _{ya que}₋_{257 = (}₋₆₅₎_·_{4 + 3}_.

Usando la identificaciónx∈R_↔_(x,₀₎_∈_C₀ _e_i_{= (0,}_{1), podemos escribir los n´}_{umeros complejos de una manera} más práctica que la de par ordenado.

Teorema 13. Todo n´umero complejozpuede expresarse en la formaz=a+bicona, b∈R_{. Esta forma de escribirlo}

se llama forma bin´omica dez.

Demostración. Seaz∈C_{un n´}_{umero complejo. Entonces}_z_{es un par ordenado}_z_{= (a, b) para ciertos}_{a, b}_∈R_{. Seg´}_un la identificaciónC0 ↔Rantes hecha:a= (a,0), b= (b,0); y según la definición de la unidad imaginaria,i= (0,1).

De esta manera

a+b·i= (a,0) + (b,0)(0,1) = (a,0) + (0, b) = (a, b) =z.

Observaci´on 14. Dado z∈C_{, su forma bin´}_{omica es}_z₌_a₊_bi_{si y s´}_{olo si}_{Re(z) =}_a_e_{Im(z) =}_b_.

La ventaja de esta notaci´on es que facilita los c´alculos algebraicos. En efecto, aplicando las propiedades distributivas, asociativas y teniendo en cuenta que i2 ₌₋_{1, podemos resolver de manera sencilla un producto, sin recurrir a la}

f´ormula dada para el producto de n´umeros complejos como pares ordenados:

(a, b)(c, d) = (a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2= (ac−bd) + (ad+bc)i= (ac−bd, ad+bc), como hab´ıamos definido inicialmente.

Definici´on 15. Sea z ∈C _{un n´}_{umero complejo de forma bin´}_omica _z₌_a₊_bi_{. Se denomina}_n´_{umero conjugado} de z y se notaz al n´umero complejo z=a−bi.

(4)

Teorema 16. Seanz, w∈C_{, entonces} 1. z+w=z+w

2. z·w=z·w

3. z=zsi y s´olo si z∈R 4. z·z=Re(z)2₊_Im(z)2_.

Demostraci´on. Ejercicio.

La propiedad 4 del teorema anterior es de gran importancia a la hora de calcular el rec´ıproco de un n´umero complejo o el cociente de dos n´umeros complejos.

Ejemplo 17. Seanz= 2 +iy w= 1−i, calcular _wz. Vamos a utilizar 4 para calcular el inverso de w:

w−1₌ 1

w = w ww =

1 +i

Re(w)2₊_Im(w)2 =

1 +i 2 .

Luego, _wz =zw−1_{= (2 +}_i)(1 2+

i

2) = 1 2+

3 2i

Ejemplo 18. Siz= 1 + 2i,w=−2−i, entonces w=−2 +iy resulta

z w =

z w

w w =

(1 + 2i)(−2 +i) (−2)2_{+ (}₋₁₎2 =

−4−3i

5 =−

4 5 −

3 5i.

Para calcular el cociente de un n´umero complejoz por un n´umero complejow, multiplicamos y dividimos por el conjugado dew. Gracias al teorema anterior obtenemos:

Corolario 19. Seanz=a+biy w=c+di conw6= 0. Entonces

w−1₌ w

Re(w)2₊_Im(w)2 y

z w =

zw

Re(w)2₊_Im(w)2.

3. Representaci´

on geom´

etrica de los n´

umeros complejos - Forma polar y trigonom´

etrica de un

n´

umero complejo.

Dado que todo número complejo es un par ordenado (a, b) de números reales, existe una correspondencia biun´ıvoca entre los números complejos y los puntos del plano, que recibe entonces el nombre de plano complejo. Dado z = (a, b), az asociamos el puntoP cuyas coordenadas cartesianas son (a, b) y el vector OP→ , donde O = (0,0) es el origen de coordenadas. Cuando trabajamos con números complejos en general denominamos comoeje realal eje de las abscisas, dado que aqu´ı yacen los puntos que representan a números reales, y poreje imaginarioal eje de las ordenadas, dado que aqu´ı están los puntos que representan a números imaginarios puros, es decir, números complejos con parte real nula.

Ejemplo 20. En la gr´afica siguiente se muestran los puntos del plano correspondientes a los complejosz1= 2 + 3i,

(5)

Definici´on 21. Dado un complejo z se denomina m´odulo de z, y se denota |z| a la longitud del segmento OP, donde P es el punto del plano asociado az.

Observar que siz=a+bi, entonces|z|=|OP−→ |=√a2₊_b2_._Luego_|_z_|₌p

Re(z)2₊_Im(z)2_{que por la propiedad}

vista anteriormente resulta|z|=√zz.

Definición 22. Seaz=a+biun número complejo tal que z6= 0. Se define elargumentodezcomo el ángulo que forma el vectorOP→= (a, b)con el eje positivo de las abscisas. El número complejo z= 0 no tiene argumento.

Notar que un n´umero complejo tiene infinitos argumentos, dependiendo de cuantas((vueltas))demos alrededor del

origen para medir el ´angulo. En cualquier caso, siφyθson dos argumentos del mismo complejozdebe valer θ=φ+ 2kπ, para alg´unk∈Z_.

Notar que siθes un argumento dez=a+bi, cona6= 0 entonces tgθ=_ab. Siz es imaginario puro (a= 0), entonces su argumento esπ/2 o 3

2π, dependiendo si su parte imaginaria es positiva o negativa, respectivamente.

Por ejemplo, siz= 1 +i, entoncesπ/4 y 9

4πson dos argumentos paraz.

Ejercicio 23. Calcular los argumentos de los n´umeros complejos graficados arriba.

Definici´on 24. Para cadaz∈C_,_z_{= 0}₆ _{, se llama}argumento principal dezy lo denotamos porarg(z)al un ´unico argumento φdez que verifica0≤φ <2π.

Tomemos por ejemploz= 2 + 2i. Entoncesφ=π₄,θ=₄9πyγ=17₄πson argumentos dez, peroφes el argumento principal.

Observemos la siguiente figura:

Para cualquier argumentoθdez(en particular paraφ=arg(z)), entonces por el teorema de pitágoras y las relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo obtenemos

(1) |z|2₌_a2₊_b2₌_Re(z)2₊_Im(z)2₌_z_·_z,

(2) tg(θ) = b

a.

(3)

(

a=ρcosθ

b=ρsenθ , dondeρ=|z| y por lo tanto

(4) z=ρ(cosθ+isenθ).

(6)

Observación 25. Dado un número complejo z en forma binómica z=a+bi, las ecuaciones 1, 2, 3 y 4 permiten hallar la forma trigonométrica de z.

Notar que siz=r(u+vi) dondeu2₊_v2_{= 1}_entonces _r(u₊_vi)_{es la forma trigonom´etrica de} _z _{y su argumento} esθ tal quecosθ=uysinθ=v.

Ejemplo 26. Seanz= 27 + 9√3iy w=−3 + 3i. Para calcular la forma trigonom´etrica dez buscamos su m´odulo y argumento (ya que z6= 0):|z|=q272_{+ (9}√₃₎2_{= 18}√₃_{y su argumento} _θ _{es tal que}_tg_θ₌9√3

27 =

√

3

3 ⇒θ=π/6 oθ= 7π/6. Como z tiene partes real e imaginaria positiva, podemos decir quez está en el primer cuadrante y por lo tanto el ángulo que forma con el ejexesπ/6. Más aúnarg(z) =π/6y todo otro argumento de zdifiere en 2πde

π/6. Escribimos la forma trigonom´etrica de z:

z= 18√3 (cosπ/6 +isinπ/6) = 18√3

√

3 2 +

1 2i

!

.

Para calcular la forma trigonom´etrica dew, s´olo observaremos quewpuede escribirse comow= 3√2(−√22+

√

2 2 i), y se verifica(−√2

2 ) 2_{+ (}√2

2 )

2_{= 1}_{, luego la forma trigonom´etrica de}_w _es

w= 3√2(− √

2 2 +

√

2 2 i),

y su argumento principal esφ= 3 4π.

Es claro que si tenemos un número complejo escrito de forma trigonométricaz=ρ(cosθ+isinθ), entonces su forma binómica se obtiene tan solo distribuyendo la expresión de arriba y resultado:z=a+bidondea=Re(z) =ρcosθ, b=Im(z) =ρsinθ.

Utlizando la forma trigonom´etrica, es f´acil probar el siguiente resultado: Teorema 27. Seanz, w∈C_{. Entonces:}

1. |z·w|=|z| · |w|;

2. Si z yw son no nulos, arg(z) +arg(w) es un argumento dez·w.

Demostración. Ejercicio (recordar las fórmulas para el coseno y el seno del ángulo suma) Observando (4), vemos que para definir un número complejozno nulo sólo necesitamos conocer su módulo ρy su argumentoθ. Resumimos esa información escribiendo

(5) z=ρθ

Esta ´ultima forma de expresar al n´umero complejoz se denominaforma polar dez. Siz=ρφ yw=δθ entonces

(6) z=wsi y s´olo si

(

ρ=δ

φ=θ+ 2kπpara alg´unk∈Z

Ejercicio 28. Probar que si z 6= 0 y θ es un argumento dez, entonces θ+π es un argumento de −z y −θ es un argumento dez. Escribir las formas trigonom´etricas de−z yz en funci´on de la dez.

Ejemplo 29. Siz y wson los n´umeros complejos del Ejemplo 26, sus formas polares son:

z= 18√3π/6, w= 3

√

23 4π. Notar que tambi´enz= 18√313π/6 yw= 3

√

2₋5 4π.

Como ya remarcamos antes, sizestá dado en su forma binómica, obtenemos la forma polar calculando su módulo y su argumento por las fórmulas (1) y (2). Si z está dado en forma polar, podemos obtener la forma binómica a partir de la forma trigonométrica (4).

(7)

Teorema 30. Seanz=ρφ y w=δθ dos complejos dados en forma polar. Entonces:

1. z·w= (ρδ)φ+θ 2. z

w =

ρ

δ

(φ₋θ)

3. zn₌_ρn nφ.

Corolario 31. Si z6= 0 y z=ρθ en forma polar, entoncesz−1₌_ρ−1 −θ.

Ejemplo 32. Nuevamente usamos los n´umeros complejos z y wdel Ejemplo 29 y calculamos:

z·w=18√3π/6

·3√23 4π

= (18·3·√3·√2)π

6+ 3 4π= 54

√

611 12π.

Ya hemos visto que la unidad imaginariai es la raiz cuadrada de −1 ya que i2 ₌ ₋_{1 y por lo tanto} _i ₌√₋_1.

En realidad, la unidad imaginaria permite calcular la raiz cuadrada de cualquier n´umero real negativo posee raiz cuadrada ya que si x∈ R−_{, entonces (}√₋_xi)2 _{= (}₋_x)i2 _{= (}₋_x)(₋_{1) =} _{x. Veremos a continuaci´on que es posible}

calcular la ra´ızn-ésima de cualquier número complejo (en particular de los reales negativos), para cualquiernnatural. Comenzamos con la definición.

Definición 33. Dado un número complejo wy un número naturaln∈N_{, decimos que} _z _{es una} ra´ız n-ésima de

wsizn₌_w_.

Como es usual, las ra´ıces 2-ésimas de un número se llamanra´ıces cuadradas; las ra´ıces 3-ésimas de un número se llamanra´ıces cúbicas; las ra´ıces 4-ésimas de un número se llamanra´ıces cuartas; las ra´ıces 5-ésimas de un número se llamanra´ıces quintas, etc...

La fórmula (3) del Teorema 30 nos permitirá calcular de manera fácil ra´ıcesn-ésimas de los números complejos. Comencemos analizando un ejemplo. Supongamos que tenemosw= 16π/4 y queremos calcular las ra´ıces cuartas

dew. Siz=ρφ es una de esas ra´ıces, debe serz4₌_ρ4

4φ=w. De la igualdad de complejos dados en forma polar (6), obtenemos

ρ4= 16⇒ ρ= 2 y

4φ= π

4 + 2kπ⇒ φ= π

4 + 2kπ

4 , k∈Z

Si bien en la ´ultima expresi´on k var´ıa en todo Z_{, s´}_{olo para} _k _{= 0,}_1,_2,_{3 obtenemos complejos distintos. De hecho} tomando parak= 4, obtenemos el argumento π

6 + 2π que es el mismo argumento que

π

6, obtenido tomandok= 0.

Luego las cuatro ra´ıces cuartas dewson z1= 2π

16, z2= 2169π, z3= 21716π, z4= 22516π

(8)

Se ve en la figura que las ra´ıces cuartas son los v´ertices de un cuadrado inscripto en la circunferencia de radio 2. Siguiendo exactamente el mismo razonamiento es posible probar el siguiente teorema, denominadoF´ormula de Moivre:

Teorema 34. Sea w = ρφ un n´umero complejo no nulo en forma polar. El n´umero complejo z = δθ es una ra´ız

n-´esima dewsi y s´olamente si se verifica

(7) δ= √n_{ρ, θ}₌ φ

n+ 2kπ

n , para alg´un ktal quek= 0,1,· · · , n−1.

Demostración. Supongamos z = δθ es una ra´ız n-ésima de w. Por definición se tiene zn = w y por otro lado, el Teorema 30 implica quezn₌_δn

nθ. Luego

zn=δnnθ=ρφ=w

y esto sucede siempre y cuandoρ=δn _{y al mismo tiempo los ´}_angulos_nθ_y_φ_{difieren en un m´}_{ultiplo de 2π, es decir,}

zn₌_w _⇔

(

δn₌_ρ

nθ−φ= 2lπ,para alg´unl∈Z ⇔

(

δ= √n_ρ

θ= φ_n+2_nlπ,para alg´unl∈Z_. Resta probar que el valorlpuede tomarse entre 0 yn−1.

Primero notemos que sil es mayor o igual quen, podemos tomar la divisiónl=n·c+k, siendo kel resto de la división y por lo tantokestá entre 0 yn−1. Además

φ n+ 2lπ n = φ n+

2(n·c+k)π

n =

φ n+

2kπ n + 2cπ y por lo tantoδφ

n+

2lπ

n es el mismo n´umero complejo queδ φ n+

2kπ

n , siendoknatural entre 0 yn−1. De manera an´aloga

se prueba que sil <0 entoncesδφ n+

2lπ n =δ

φ n+

2kπ

n . Luego, en la ecuaci´on de arriba podemos escribir

zn=w ⇔ (

δ= √nρ

θ= φ_n+2kπ

n ,para alg´unkn´umero natural entre 0 yn−1.

De la ecuación (7) las ra´ıcesn-ésimas dew son los números complejos que se obtienen de darle diferentes valores alkentre 0 yn−1:

z0= √nρφ

n, z1= n √_ρ

φ n+

2π

n, z2= n √_ρ

φ n+

4π

n, . . . zk= n √_ρ

φ n+

2kπ

n , . . . zn−1= n √_ρ

φ n+

2(n−1)π

n .

Es important´ısimo notar que estosnn´umeros complejosz0, z1, . . . , zn₋1son todos diferentes. En efecto supongamos

que dos de ellos son iguales, pongamoszs =zt con s yt dos n´umeros naturales entre 0 y n−1. Entonceszs =zt implica que sus argumentos difieren en un m´ultiplo de 2π, es decir, existe l∈Z_{tal que}

φ n+ 2sπ n = φ n+ 2tπ

n + 2lπ⇒s=t+l·n

pero comosytson n´umeros naturales menores quen, la igualdads=t+lns´olo se da sil= 0 y por lo tantos=t. Hemos probado entonces el siguiente resultado:

Corolario 35. Todo número complejo w6= 0tiene exactamente nra´ıces n-ésimas que están dadas por la Fórmula de Moivre (7).

Gráficamente, los nnúmeros complejos z0, z1, . . . , zn−1 que son ra´ız n-ésima dew=ρφ tienen todos igual

m´odu-lo √n_ρ _{y dos consecutivos de ellos difieren en un ´}_{angulo de 2π/n. Por lo tanto,} _z

0, z1, . . . , zn₋1 yacen sobre una

(9)

Ejemplo 36. Vamos a calcular las ra´ıces quintas de w = √2435π/4. Sabemos que ser´an 5 n´umeros complejos

diferentes z0, . . . , z4 con m´odulo 5

p√

243 =p√5

243 =√3 y ´angulo dado por (7) para los valores dek= 0, . . . ,4:

z0 =

√

3π/4

z1 =

√

3π/4+2π/5=

√

313π/20

z2 =

√

3π/4+4π/5=

√

321π/20

z3 =

√

3π/4+6π/5=

√

329π/20

z4 =

√

3π/4+8π/5=

√

337π/20 Graficamos las ra´ıces quintas dew:

Para finalizar esta unidad, remarcamos lo siguiente: toda ecuación cuadrática con coeficientes e incógnita compleja, tiene solución. En efecto, puede verse (con la misma demostración que para el caso real) que las ra´ıces de la ecuación azz₊_bz₊_c_{= 0, con}_{a, b, c}_∈_C_{, son}

z1,2= −

b+√b2₋_4ac

2a