Números complejos 3

Texto completo

(1)

Facultad de Ciencias Exactas, Ingenier´ıa y Agrimensura

Departamento de Matem´atica - Escuela de Ciencias Exactas y Naturales ´

ALGEBRA y GEOMETR´IA ANAL´ITICA I Licenciatura en F´ısica - 2015

Equipo docente:Viviana del Barco, Luc´ıa Caraballo y Ana Muringo

UNIDAD 5: N´

umeros complejos

1. Definiciones y propiedades b´

asicas -

C

como extensi´

on de

R

.

Definici´on 1. Se llaman´umero complejoa todo par ordenadoz= (a, b)de n´umeros reales.

Dadoz ∈ C, z un n´umero complejo, si z = (a, b) los n´umerosa y b son respectivamente la parte real yparte impaginariadez y esto lo notamos:

a=Re(z), b=Im(z).

Dados dos n´umeros complejosz= (a, b) yw= (c, d) definimos la igualdad de zywcomo: z=w⇔

(

a=c b=d

Observemos que el par (a, b) es ordenado, en el sentido que el complejo (a, b) no es igual al complejo (b, a).

Definimos a continuaci´on operaciones entre los n´umeros complejos: la suma y el producto de la siguiente manera: Definici´on 2. Seanz= (a, b)y w= (c, d)dos n´umeros complejos (es decira, x∈C). Entonces definimos

Suma: z+w= (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

Producto: zw= (a, b)(c, d) = (ac−bd, ad+bc).

Es importante notar que la suma (producto) que se est´a definiendo es la de los pares ordenados (a, b) y (c, d). Cuando decimos que esto equivale al par ordenado (a+c, b+d), la suma aqu´ı es la usual entre los n´umeros realesa yc, yb yd.

Al conjunto de los n´umeros complejos junto con las operaciones definidas arriba lo indicamos con la letraC: C={(a, b) :a, bR}.

Teorema 3. Los n´umeros complejos satisfacen las siguientes propiedades: si z, u, w son n´umeros complejos cua-lesquiera, entonces se verifican:

1. Propiedad conmutativa:z+w=w+z,zw=wz.

2. Propiedad asociativa: z+ (u+w) = (z+u) +w,z(uw) = (zu)w.

3. Propiedad distributiva:z(u+w) =zu+zw.

4. Existencia de neutro: Existen (0,0)∈Cy (1,0)Ctales que (0,0) +z=z y (1,0)z=z.

5. Existencia de opuesto: Si z= (a, b), existe −z= (−a,−b)∈Ctal quez+ (z) = (0,0). 6. Exitencia de inverso: Si z= (a, b)6= 0, existe z−1=

a

a2+b2,

−b a2+b2

∈C tal quezz−1= (1,0).

Demostraci´on. ejercicio

El elemento (0,0) del Teorema 3 se llama neutrode la suma enCy para cadazC,zse llamaopuestodez. El elemento (1,0) se llamaidentidad del producto enCy para cadazC,z6= (0,0),z−1 se llamainversodez.

A partir del teorema anterior, podemos definir la resta y el cociente de n´umeros complejos.

(2)

Definici´on 4. Seanzywdos n´umeros complejos. Se define larestadewaz y se denotaz−wal n´umero complejo

z−w=z+ (−w). Siw6= (0,0), se define elcocientedez porw y se denota z

w al n´umero complejo z

w =z·w−

1.

Ejemplo 5. 1. (1,0)−(2,1) = (1,0) + [−(2,1)] = (1,0) + [(−2,−1)] = (1 + (−2),0 + (−1)) = (−1,−1). 2. (2,1)−(1,0) = (2,1) + [−(1,0)] = (2,1) + [(−1,0)] = (2 + (−1),1 + 0) = (1,1).Notar que este ejemplo muestra

que la resta de n´umeros complejos no es conmutativaya que (1,0)−(2,1)6= (2,1)−(1,0).

3. (2(1,,0)1) = (2,0)(1,1)−1= (2,0)(1 2,−

1 2) = (2

1 2−0−

1 2 ,2−

1 2 + 0

1

2) = (1,−1). Notar que (1,1) (2,0) = (

1 2,

1 2)6=

(2,0) (1,1), por lo tanto el cociente de n´umeros complejos no es una operaci´on conmutativa.

Una ´ultima operaci´on que ser´a interesante estudiar es la depotenciaci´on.

Definici´on 6. Sea z ∈C un n´umero complejo. Para cada nN, se define el n´umero complejozn de la siguiente

manera (recursiva):

(

z1=z

zn=zn−1·z, nN, , n2

Si z 6= 0, se definez0 = 1 y para todo n Z,n < 0, se define zn = (z1)(n). El n´umero zn se llama potencia n-´esima de z.

La potencia de complejos as´ı definida tiene las siguientes propiedades (an´alogas a las de los n´umeros reales) Teorema 7. Seanz, w∈C,n, kZ. Entonces:

1. zkzn=zk+n 2. zkn

=zkn

3. (zw)n =znwn. 4. z

w

n

= z n

wn.

Ejemplo 8. (1,1)−2= (1,1)−12

= (12,12)2= (12,21)(12,12) = (0,−12).

SeaC0el subconjunto deCconstituidos por los complejos de la forma (a,0), esto es, los que tienen parte imaginaria

nula. Entonces las operaciones de suma y producto soncerradasenC0, es decir, la suma y el producto de dos elementos

deC0es nuevamente un elemento de C0. En efecto,

(a,0) + (c,0) = (a+c,0), (a,0)(c,0) = (ac,0). Adem´as, siz∈C0yz= (a,0), entonces

−(a,0) = (−a,0), y sia= 0 tambi´en resulta (a,6 0)−1= (a−1,0).

Esto implica, en particular, que la resta y la divisi´on tambi´en son cerradas en C0: restar (o dividir) dos n´umeros

complejos con parte imaginaria nula da como resultado un n´umero complejo con parte imaginaria nula (ejercicio: demostrar esta afirmaci´on). De igual manera, siz∈C0 yz6= 0, zn = (an,0) para todon∈Z.

Vemos entonces que los n´umeros complejos deC0se comportan de la misma manera que si fueran n´umeros reales.

Por este motivo, no haremos diferencia entre un n´umero real x y el complejo (x,0). De hecho, a cada n´umero complejo (x,0)∈C0 lo notaremos directamente comox. Via la identificaci´on:

x∈R←→(x,0)C.

De esta manera, diremos queCes una extensi´on deR, puesCcontienea R, pensando cada n´umeroxRcomo (x,0)∈C0. Con esta convenci´on: 0 = (0,0), 1 = (1,0),1 = (1,0), etc.

Observaci´on 9. Decimos que un n´umero complejozes imaginario puro siz= (0, b)conb6= 0, es decir siz6= (0,0)

(3)

2. La unidad imaginaria

i

- Forma bin´

omica de un n´

umero complejo.

Definici´on 10. Llamamosunidad imaginariaal n´umero complejo (0,1)y lo notamos con la letra i:i= (0,1).

Notar queies un n´umero complejo imaginario puro. Adem´as,ies soluci´on de la ecuaci´on cuadr´aticax2+ 1 = 0, que

no tiene soluci´on en el cuerpo de los n´umero reales. En efecto:

i2=i·i= (0,1)(0,1) = (0·0−1·1,0·1 + 1·0) = (−1,0) =−1 con las identificaciones anteriores.

Las potencias enteras de la unidad imaginaria tienen una particularidad que es quese repiten de 4 en 4: i0 = 1,

i1=i,i2 =1,i3=i, i4= 1,i5= 1,i6 =1,i7 =i,i8 = 1, etc... Es posible demostrar que esta particularidad

se repite con todas las potencias enteras dei.

Teorema 11. Para todo n∈Z,in=ir donde res el resto de dividir an por4.

Demostraci´on. Sea n∈ Ny sear el resto de dividir a n por 4, es decir n= 4p+r. Por las propiedades 1 y 2 del Teorema 7, resulta

in =i4p+r= (i4)p·ir= 1p·ir=ir.

Ejemplo 12. Para calcular la potenciai1329, dividimos1329por4:1329 = 332·4 + 1. Entonces i1329=i1=i. Por otro lado, i−257=i3=i ya que257 = (65)·4 + 3.

Usando la identificaci´onx∈R(x,0)C0 ei= (0,1), podemos escribir los n´umeros complejos de una manera m´as pr´actica que la de par ordenado.

Teorema 13. Todo n´umero complejozpuede expresarse en la formaz=a+bicona, b∈R. Esta forma de escribirlo

se llama forma bin´omica dez.

Demostraci´on. Seaz∈Cun n´umero complejo. Entonceszes un par ordenadoz= (a, b) para ciertosa, bR. Seg´un la identificaci´onC0 ↔Rantes hecha:a= (a,0), b= (b,0); y seg´un la definici´on de la unidad imaginaria,i= (0,1).

De esta manera

a+b·i= (a,0) + (b,0)(0,1) = (a,0) + (0, b) = (a, b) =z.

Observaci´on 14. Dado z∈C, su forma bin´omica esz=a+bisi y s´olo siRe(z) =aeIm(z) =b.

La ventaja de esta notaci´on es que facilita los c´alculos algebraicos. En efecto, aplicando las propiedades distributivas, asociativas y teniendo en cuenta que i2 =1, podemos resolver de manera sencilla un producto, sin recurrir a la

f´ormula dada para el producto de n´umeros complejos como pares ordenados:

(a, b)(c, d) = (a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2= (ac−bd) + (ad+bc)i= (ac−bd, ad+bc), como hab´ıamos definido inicialmente.

Definici´on 15. Sea z ∈C un n´umero complejo de forma bin´omica z=a+bi. Se denominaumero conjugado de z y se notaz al n´umero complejo z=a−bi.

(4)

Teorema 16. Seanz, w∈C, entonces 1. z+w=z+w

2. z·w=z·w

3. z=zsi y s´olo si z∈R 4. z·z=Re(z)2+Im(z)2.

Demostraci´on. Ejercicio.

La propiedad 4 del teorema anterior es de gran importancia a la hora de calcular el rec´ıproco de un n´umero complejo o el cociente de dos n´umeros complejos.

Ejemplo 17. Seanz= 2 +iy w= 1−i, calcular wz. Vamos a utilizar 4 para calcular el inverso de w:

w−1= 1

w = w ww =

1 +i

Re(w)2+Im(w)2 =

1 +i 2 .

Luego, wz =zw−1= (2 +i)(1 2+

i

2) = 1 2+

3 2i

Ejemplo 18. Siz= 1 + 2i,w=−2−i, entonces w=−2 +iy resulta

z w =

z w

w w =

(1 + 2i)(−2 +i) (−2)2+ (1)2 =

−4−3i

5 =−

4 5 −

3 5i.

Para calcular el cociente de un n´umero complejoz por un n´umero complejow, multiplicamos y dividimos por el conjugado dew. Gracias al teorema anterior obtenemos:

Corolario 19. Seanz=a+biy w=c+di conw6= 0. Entonces

w−1= w

Re(w)2+Im(w)2 y

z w =

zw

Re(w)2+Im(w)2.

Demostraci´on. Ejercicio.

3. Representaci´

on geom´

etrica de los n´

umeros complejos - Forma polar y trigonom´

etrica de un

umero complejo.

Dado que todo n´umero complejo es un par ordenado (a, b) de n´umeros reales, existe una correspondencia biun´ıvoca entre los n´umeros complejos y los puntos del plano, que recibe entonces el nombre de plano complejo. Dado z = (a, b), az asociamos el puntoP cuyas coordenadas cartesianas son (a, b) y el vector OP→ , donde O = (0,0) es el origen de coordenadas. Cuando trabajamos con n´umeros complejos en general denominamos comoeje realal eje de las abscisas, dado que aqu´ı yacen los puntos que representan a n´umeros reales, y poreje imaginarioal eje de las ordenadas, dado que aqu´ı est´an los puntos que representan a n´umeros imaginarios puros, es decir, n´umeros complejos con parte real nula.

Ejemplo 20. En la gr´afica siguiente se muestran los puntos del plano correspondientes a los complejosz1= 2 + 3i,

(5)

Definici´on 21. Dado un complejo z se denomina m´odulo de z, y se denota |z| a la longitud del segmento OP, donde P es el punto del plano asociado az.

Observar que siz=a+bi, entonces|z|=|OP−→ |=√a2+b2.Luego|z|=p

Re(z)2+Im(z)2que por la propiedad

vista anteriormente resulta|z|=√zz.

Definici´on 22. Seaz=a+biun n´umero complejo tal que z6= 0. Se define elargumentodezcomo el ´angulo que forma el vectorOP→= (a, b)con el eje positivo de las abscisas. El n´umero complejo z= 0 no tiene argumento.

Notar que un n´umero complejo tiene infinitos argumentos, dependiendo de cuantas((vueltas))demos alrededor del

origen para medir el ´angulo. En cualquier caso, siφyθson dos argumentos del mismo complejozdebe valer θ=φ+ 2kπ, para alg´unk∈Z.

Notar que siθes un argumento dez=a+bi, cona6= 0 entonces tgθ=ab. Siz es imaginario puro (a= 0), entonces su argumento esπ/2 o 3

2π, dependiendo si su parte imaginaria es positiva o negativa, respectivamente.

Por ejemplo, siz= 1 +i, entoncesπ/4 y 9

4πson dos argumentos paraz.

Ejercicio 23. Calcular los argumentos de los n´umeros complejos graficados arriba.

Definici´on 24. Para cadaz∈C,z= 06 , se llamaargumento principal dezy lo denotamos porarg(z)al un ´unico argumento φdez que verifica0≤φ <2π.

Tomemos por ejemploz= 2 + 2i. Entoncesφ=π4,θ=49πyγ=174πson argumentos dez, peroφes el argumento principal.

Observemos la siguiente figura:

Para cualquier argumentoθdez(en particular paraφ=arg(z)), entonces por el teorema de pit´agoras y las relaciones trigonom´etricas en un tri´angulo rect´angulo obtenemos

(1) |z|2=a2+b2=Re(z)2+Im(z)2=z·z,

(2) tg(θ) = b

a.

(3)

(

a=ρcosθ

b=ρsenθ , dondeρ=|z| y por lo tanto

(4) z=ρ(cosθ+isenθ).

(6)

Observaci´on 25. Dado un n´umero complejo z en forma bin´omica z=a+bi, las ecuaciones 1, 2, 3 y 4 permiten hallar la forma trigonom´etrica de z.

Notar que siz=r(u+vi) dondeu2+v2= 1entonces r(u+vi)es la forma trigonom´etrica de z y su argumento esθ tal quecosθ=uysinθ=v.

Ejemplo 26. Seanz= 27 + 9√3iy w=−3 + 3i. Para calcular la forma trigonom´etrica dez buscamos su m´odulo y argumento (ya que z6= 0):|z|=q272+ (93)2= 183y su argumento θ es tal quetgθ=9√3

27 =

3

3 ⇒θ=π/6 oθ= 7π/6. Como z tiene partes real e imaginaria positiva, podemos decir quez est´a en el primer cuadrante y por lo tanto el ´angulo que forma con el ejexesπ/6. M´as a´unarg(z) =π/6y todo otro argumento de zdifiere en 2πde

π/6. Escribimos la forma trigonom´etrica de z:

z= 18√3 (cosπ/6 +isinπ/6) = 18√3

3 2 +

1 2i

!

.

Para calcular la forma trigonom´etrica dew, s´olo observaremos quewpuede escribirse comow= 3√2(−√22+

2 2 i), y se verifica(−√2

2 ) 2+ (√2

2 )

2= 1, luego la forma trigonom´etrica dew es

w= 3√2(− √

2 2 +

2 2 i),

y su argumento principal esφ= 3 4π.

Es claro que si tenemos un n´umero complejo escrito de forma trigonom´etricaz=ρ(cosθ+isinθ), entonces su forma bin´omica se obtiene tan solo distribuyendo la expresi´on de arriba y resultado:z=a+bidondea=Re(z) =ρcosθ, b=Im(z) =ρsinθ.

Utlizando la forma trigonom´etrica, es f´acil probar el siguiente resultado: Teorema 27. Seanz, w∈C. Entonces:

1. |z·w|=|z| · |w|;

2. Si z yw son no nulos, arg(z) +arg(w) es un argumento dez·w.

Demostraci´on. Ejercicio (recordar las f´ormulas para el coseno y el seno del ´angulo suma) Observando (4), vemos que para definir un n´umero complejozno nulo s´olo necesitamos conocer su m´odulo ρy su argumentoθ. Resumimos esa informaci´on escribiendo

(5) z=ρθ

Esta ´ultima forma de expresar al n´umero complejoz se denominaforma polar dez. Siz=ρφ yw=δθ entonces

(6) z=wsi y s´olo si

(

ρ=δ

φ=θ+ 2kπpara alg´unk∈Z

Ejercicio 28. Probar que si z 6= 0 y θ es un argumento dez, entonces θ+π es un argumento de −z y −θ es un argumento dez. Escribir las formas trigonom´etricas de−z yz en funci´on de la dez.

Ejemplo 29. Siz y wson los n´umeros complejos del Ejemplo 26, sus formas polares son:

z= 18√3π/6, w= 3

23 4π. Notar que tambi´enz= 18√313π/6 yw= 3

25 4π.

Como ya remarcamos antes, sizest´a dado en su forma bin´omica, obtenemos la forma polar calculando su m´odulo y su argumento por las f´ormulas (1) y (2). Si z est´a dado en forma polar, podemos obtener la forma bin´omica a partir de la forma trigonom´etrica (4).

(7)

Teorema 30. Seanz=ρφ y w=δθ dos complejos dados en forma polar. Entonces:

1. z·w= (ρδ)φ+θ 2. z

w =

ρ

δ

θ)

3. zn=ρn nφ.

Demostraci´on. Ejercicio.

Corolario 31. Si z6= 0 y z=ρθ en forma polar, entoncesz−1=ρ−1 −θ.

Ejemplo 32. Nuevamente usamos los n´umeros complejos z y wdel Ejemplo 29 y calculamos:

z·w=18√3π/6

·3√23 4π

= (18·3·√3·√2)π

6+ 3 4π= 54

611 12π.

Ya hemos visto que la unidad imaginariai es la raiz cuadrada de −1 ya que i2 = 1 y por lo tanto i =1.

En realidad, la unidad imaginaria permite calcular la raiz cuadrada de cualquier n´umero real negativo posee raiz cuadrada ya que si x∈ R−, entonces (xi)2 = (x)i2 = (x)(1) = x. Veremos a continuaci´on que es posible

calcular la ra´ızn-´esima de cualquier n´umero complejo (en particular de los reales negativos), para cualquiernnatural. Comenzamos con la definici´on.

Definici´on 33. Dado un n´umero complejo wy un n´umero naturaln∈N, decimos que z es una ra´ız n-´esima de

wsizn=w.

Como es usual, las ra´ıces 2-´esimas de un n´umero se llamanra´ıces cuadradas; las ra´ıces 3-´esimas de un n´umero se llamanra´ıces c´ubicas; las ra´ıces 4-´esimas de un n´umero se llamanra´ıces cuartas; las ra´ıces 5-´esimas de un n´umero se llamanra´ıces quintas, etc...

La f´ormula (3) del Teorema 30 nos permitir´a calcular de manera f´acil ra´ıcesn-´esimas de los n´umeros complejos. Comencemos analizando un ejemplo. Supongamos que tenemosw= 16π/4 y queremos calcular las ra´ıces cuartas

dew. Siz=ρφ es una de esas ra´ıces, debe serz4=ρ4

4φ=w. De la igualdad de complejos dados en forma polar (6), obtenemos

ρ4= 16⇒ ρ= 2 y

4φ= π

4 + 2kπ⇒ φ= π

4 + 2kπ

4 , k∈Z

Si bien en la ´ultima expresi´on k var´ıa en todo Z, s´olo para k = 0,1,2,3 obtenemos complejos distintos. De hecho tomando parak= 4, obtenemos el argumento π

6 + 2π que es el mismo argumento que

π

6, obtenido tomandok= 0.

Luego las cuatro ra´ıces cuartas dewson z1= 2π

16, z2= 2169π, z3= 21716π, z4= 22516π

(8)

Se ve en la figura que las ra´ıces cuartas son los v´ertices de un cuadrado inscripto en la circunferencia de radio 2. Siguiendo exactamente el mismo razonamiento es posible probar el siguiente teorema, denominadoF´ormula de Moivre:

Teorema 34. Sea w = ρφ un n´umero complejo no nulo en forma polar. El n´umero complejo z = δθ es una ra´ız

n-´esima dewsi y s´olamente si se verifica

(7) δ= √nρ, θ= φ

n+ 2kπ

n , para alg´un ktal quek= 0,1,· · · , n−1.

Demostraci´on. Supongamos z = δθ es una ra´ız n-´esima de w. Por definici´on se tiene zn = w y por otro lado, el Teorema 30 implica quezn=δn

nθ. Luego

zn=δnnθ=ρφ=w

y esto sucede siempre y cuandoρ=δn y al mismo tiempo los ´angulosyφdifieren en un m´ultiplo de 2π, es decir,

zn=w

(

δn=ρ

nθ−φ= 2lπ,para alg´unl∈Z ⇔

(

δ= √nρ

θ= φn+2nlπ,para alg´unl∈Z. Resta probar que el valorlpuede tomarse entre 0 yn−1.

Primero notemos que sil es mayor o igual quen, podemos tomar la divisi´onl=n·c+k, siendo kel resto de la divisi´on y por lo tantokest´a entre 0 yn−1. Adem´as

φ n+ 2lπ n = φ n+

2(n·c+k)π

n =

φ n+

2kπ n + 2cπ y por lo tantoδφ

n+

2lπ

n es el mismo n´umero complejo queδ φ n+

2kπ

n , siendoknatural entre 0 yn−1. De manera an´aloga

se prueba que sil <0 entoncesδφ n+

2lπ n =δ

φ n+

2kπ

n . Luego, en la ecuaci´on de arriba podemos escribir

zn=w ⇔ (

δ= √nρ

θ= φn+2kπ

n ,para alg´unkn´umero natural entre 0 yn−1.

De la ecuaci´on (7) las ra´ıcesn-´esimas dew son los n´umeros complejos que se obtienen de darle diferentes valores alkentre 0 yn−1:

z0= √nρφ

n, z1= n √ρ

φ n+

n, z2= n √ρ

φ n+

n, . . . zk= n √ρ

φ n+

2kπ

n , . . . zn−1= n √ρ

φ n+

2(n−1)π

n .

Es important´ısimo notar que estosnn´umeros complejosz0, z1, . . . , zn1son todos diferentes. En efecto supongamos

que dos de ellos son iguales, pongamoszs =zt con s yt dos n´umeros naturales entre 0 y n−1. Entonceszs =zt implica que sus argumentos difieren en un m´ultiplo de 2π, es decir, existe l∈Ztal que

φ n+ 2sπ n = φ n+ 2tπ

n + 2lπ⇒s=t+l·n

pero comosytson n´umeros naturales menores quen, la igualdads=t+lns´olo se da sil= 0 y por lo tantos=t. Hemos probado entonces el siguiente resultado:

Corolario 35. Todo n´umero complejo w6= 0tiene exactamente nra´ıces n-´esimas que est´an dadas por la F´ormula de Moivre (7).

Gr´aficamente, los nn´umeros complejos z0, z1, . . . , zn−1 que son ra´ız n-´esima dew=ρφ tienen todos igual

m´odu-lo √nρ y dos consecutivos de ellos difieren en un ´angulo de 2π/n. Por lo tanto, z

0, z1, . . . , zn1 yacen sobre una

(9)

Ejemplo 36. Vamos a calcular las ra´ıces quintas de w = √2435π/4. Sabemos que ser´an 5 n´umeros complejos

diferentes z0, . . . , z4 con m´odulo 5

p√

243 =p√5

243 =√3 y ´angulo dado por (7) para los valores dek= 0, . . . ,4:

z0 =

3π/4

z1 =

3π/4+2π/5=

313π/20

z2 =

3π/4+4π/5=

321π/20

z3 =

3π/4+6π/5=

329π/20

z4 =

3π/4+8π/5=

337π/20 Graficamos las ra´ıces quintas dew:

Para finalizar esta unidad, remarcamos lo siguiente: toda ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes e inc´ognita compleja, tiene soluci´on. En efecto, puede verse (con la misma demostraci´on que para el caso real) que las ra´ıces de la ecuaci´on azz+bz+c= 0, cona, b, cC, son

z1,2= −

b+√b24ac

2a

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...