Expresión de un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa

3 POTENCIAS Y RAÍCES

P A R A E M P E Z A R Calcula el resultado de las siguientes operaciones.

a) 2,5104 _{b) 312 : 10}3

a) 2,5104 25 000 b) 312 : 103 312 000

Simplifica estas fracciones utilizando las propiedades de las potencias y expresa el resultado como po-tencia única.

a) 2

(

2

9 4

)2 4

6 3

5 4

b)

( 5

2

5

) 1

3

5

3

3 0

3

2

a) 2

(

2

9 4

)2 4

6

3 5 4

2

3 5 5

b)

( 5

2

5)

1 3 5

3 3

0

3 2

5

3

2

3 2 2

Calcula las siguientes raíces.

a)

49

c)

416

b)

3

125 d)

5243

a)

49

7 c)

416

2

b)

3

125 5 d)

5243

3

Escribe como el producto de un número natural y una potencia de base 10 el número de moléculas que contiene una gota de agua en su interior.

Una gota de agua contiene en su interior unos 2 400 000 000 000 000 millones de moléculas 2,41015_{millones de moléculas.}

Aproximadamente, el radio de una gota de agua mide 2 milímetros, y el de una molécula, 0,00000016. Calcula la razón entre los radios y escribe el número obtenido como el producto de una potencia de base 5 y una potencia de base 10.

Radio de una gota de agua: 2 mm Radio de una molécula: 1,610–7_mm

Razón:

1,6

2

10–7 1,2510

7

16057

Potencias de exponente entero. Notación científica

P A R A P R A C T I C A R Ejercicio resuelto

Expresa como una sola potencia.

a) 54₅–2 ₅4 (2) ₅2 _{d) 18}2_{: 3}2 _{(18 : 3)}2 ₆2

b) 73_{: 7}4 ₇3 (4) ₇3 4 ₇7 _{e) (7}4₎2 ₇4(2) ₇8

c) 63₇3_{= (67)–3 = 42}3

Realiza estas operaciones expresando el resultado como una única potencia.

a) 33₃2_{3 d)}

1

5

3

1 5

0

:

1 5

2

b)

2 3

2

2

3

3

e)

1 2

1

1

22

c) 35₃3_{: 3}2 _{f) (4}2₎2₄1 _{: 44}3

a) 33₃2_{3 3}3 2 1 ₃2 _d)

1

5

3

1

5

0

:

1

5

2

1

5

3 0 (2)

1

5

5

b)

2

3

2

2

3

3

2

3

23

2

3

1

e)

1

2

1

1

22

1

2

3

c) 35₃3_{: 3}2 ₃5 3 (2) ₃4 _{f) (4}2₎2₄1_{: 44}3 ₄4 1 1 3₄5

Indica el orden de magnitud de las siguientes medidas. a) Masa del electrón: 1,671027 _kg

b) Radio medio del Sol: 9,97108_m

c) Radio medio de la órbita terrestre: 1,491011 _m

a) Exponente 27: orden de magnitud 27

b) Exponente 8: orden de magnitud 8 c) Exponente 11: orden de magnitud 11

Expresa en notación científica estas cantidades. a) Longitud de un paramecio: 0,000025 metros b) Edad del universo: 15 000 millones de años c) Tamaño de un virus: 0,000000000235 metros

a) Longitud de un paramecio: 0,000025 2,5105_metros

b) Edad del universo: 15 000 millones de años 1,5104_{millones de años 1,510}10_años

c) Tamaño de un virus: 0,000000000235 metros 2,351010_metros

Escribe en notación científica los siguientes números.

a) 12 345 678 c) 354 125 000 000

b) Sesenta billones d) 0,00971023

a) 12 345 678 1,2345678107 _{c) 354 125 000 000 3,5412510}12

b) Sesenta billones 71013 _{d) 0,009710}23_9,71020

Escribe en notación científica los números:

a) 75,91015 _{b) 0,011410}23 _{c) 345,810}17

a) 7,591016 _{b) 1,1410}20 _{c) 3,45810}19

Realiza las siguientes operaciones en notación científica.

a) 3,21014 _7,1281012 _{c) (1,6510}6_)(0,8109₎

b) 3,6791025 _2,441028 _{d) (2,310}15_)(4,51011₎

a) 3,21014_7,1281012 _{(320 7,128)10}12_327,1281012_3,271281014

b) 3,6791025_2,441028 _{(3,679 0,00244)10}25_3,676561025

c) (1,65106₎

(0,8109₎

1,321015

d) (2,31015₎

(4,51011₎

10,351026

Calcula:

a) 3,621012 _2,41012 _{c) (4,3510}8_)(2,1107₎

b) 2,45108 _6,1207 _{d) (4,610}17_{) : (810}12₎

a) 3,621012

2,451012

(3,62 2,45)1012

1,171012

b) 2,45108

6,12107

(24,5 6,12)107

30,62107

3,062108

c) (4,35108_)(2,1107_{) 9,13510}15

d) (4,61017_{) : (810}12_{) 0,57510}5 _5,75104

P A R A A P L I C A R

Un cabello humano tiene un grosor de menos de 0,1 milímetros. ¿Cuánto ocuparían a lo ancho un mi-llón de cabellos colocados en fila, uno al lado del otro? Expresa el resultado primero en milímetros, usan-do la notación científica, y luego, en la unidad adecuada.

Al ser el grosor de 0,1 milímetros, este será equivalente al diámetro. Por tanto:

0,1106

1,0105_{milímetros ocuparán los cabellos a lo ancho.}

Rosa acaba de cumplir 16 años. ¿Cuántos segundos de vida suponen? Escribe ese número en notación científica.

Segundos que hay en un año: 365 días24 horas60 minutos60 segundos 31 536 000 segundos en un año.

Luego Rosa tiene 1631 536 000 504 576 000 segundos 5,04576108_{segundos de vida.}

El inventor del ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo por la primera casilla, dos por la se-gunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente. En total debía recibir 264 _{1 granos de trigo.}

a) Indica el orden de magnitud de esta cantidad.

b) Si cada kilogramo de granos de trigo tiene unos 6000 granos, calcula el peso de la cantidad anterior.

a) 264_{1 1,8410}19_{. Por lo que el orden de magnitud será 19.}

b) 26

6

4

0

00 1

1,8

6 4

1 1 0 0

3 19

0,30666... 1016_{kg 3,0666... 10}15_kg

El número de quinielas sencillas que se pueden rellenar es 315_{. Si cada apuesta costara 0,80 euros,}

¿cuán-to habría que gastar para rellenar ¿cuán-todas las columnas posibles?

315_{0,80 11 479 125,60 euros 11,47912560 millones de euros}

La masa de la Tierra es de, aproximadamente, 5,981024_{kilogramos, y la de un bote de refresco, de 330}

gramos. ¿Cuántos botes harían falta para igualar el peso de la Tierra?

El número de botes de refresco sería:5,9

0 8 ,3

3 1024

18,1212... 1024

Un adulto tiene entre 4,3 y 5,9 millones de hematíes por mililitro de sangre. Si en total tiene unos 5 li-tros de sangre, ¿cuántos hematíes tendrá?

4,3hematíes/ml de sangre5103_{ml sangre}

21,5103_{millones de hematíes}

5,9hematíes/ml de sangre5103_{ml sangre 29,510}3_{millones de hematíes}

Por lo que un adulto tendrá entre 21,5103_{y 29,510}3_{millones de hematíes.}

La calculadora permite expresar números en notación científica. Investiga cuáles son sus límites, es de-cir, el mayor y el menor número que se puede expresar en notación científica usando la calculadora.

Menor:9,9999999991099 _{Mayor: 9,99999999910}99

Radicales y potencias de exponente fraccionario

Ejercicio resuelto

Expresa como radicales las siguientes potencias.

a) 71

2 b) 25

3

5 c) 320,5

a) 71

2

7

b) 2535 (52)53 565

5

56 c) 320,5 3212 (25)12 252

2

5

P A R A P R A C T I C A R

Expresa como radicales estas potencias.

a) 162

3 b) 125

2

4 c) 81

3

5 d) 100

5 2

a)

3162

b)

125

c)

5813

d)

1005

Calcula las siguientes potencias en forma fraccionaria y luego pasándolas a forma radical. Comprueba que los resultados son iguales.

a) 48

2 b) 21

1 5 0

_{c) 17}6

3 d) 11

1 4 2

a) 48

2 44 256 c) 1763 172289

48

2 48 256 1736

317

6 289

b) 211

50 212441 d) 111421131331

211

50

521

10 441 11142

411

12 1331

Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario.

a)

52

b)

725

c)

228

d)

4

2 1

3

a) 21

5 b) 257 c) 2228 d)

2 1

3

1 4

Ejercicio resuelto

Ordena de menor a mayor:

73

,

375

,

475

. Primero se escriben en forma de potencia.

73

73

2

37

5753

47

5 743

Para comparar potencias de la misma base se reducen a común denominador los exponentes fraccionarios. 73

2 71128 753 71202 743 71162

Ordenar las raíces es ahora sencillo, solo hay que ordenar los exponentes:1

1 6 2

1

1 8 2

2

1 0 2

.

El orden pedido es el siguiente:

475

73

3

75

.

Ordena los siguientes radicales de menor a mayor.

a)

8213

,

10217

,

16223

b)

28

,

3100

,

435

a) Forma de potencia:

8213

21

83;

102

17 21107;

162

23 22136

Se reducen a común denominador los exponentes fraccionarios: 21

83 218300; 21170218306; 22163 211165

Orden de los exponentes:1

8 1

0 5

1₈3₀ 0 1₈3₀6

Orden de los radicales:

16223

8

213

10

217

b) Forma de potencia:

28

(47)1

2 2721;

3100

(25)23;

4

35354

Se reducen a común denominador los exponentes fraccionarios:

271

2 2111227162(21276)112; (25)23 (25)188(2858)118; 354 31125 (315)112

Orden de las bases: 212

76 ₂8

58 ₃15

Orden de los radicales:

435

3

100

28

Escribe como potencia y calcula las siguientes raíces.

a)

212

c)

31012

b)

36

d)

3

10 1

12

a)

212

21

22 26 64 c)

3

1012 10132 104 10000

b)

36

36

2 3327 d)

3 ₁₀

1

12

10₃12

104

10 1

000 0,0001

Ejercicio resuelto

En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.

a) E m c2_{, despeja c.}

b) V 4

3r

3_{, despeja r.}

a) Em c2→

m E

c2→_c=

_mE

b) V 4

3r

3→_r3

4 3

V

→r=

3₄

3

V

En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.

a) V V0t

1 2at

2_{, despeja a.}

b) (a x)2 _b2 _c2_{, despeja x.}

a) V= V0t

1

2at

2_;VV 0t

1

2at

2 →_a (VV t 0 2

t)2

b) (a x)2 _b2_c2_{; (ax)}2_c2_b2 →_{a x}

c2 _b

2

→xa

c2 _b

2

P A R A A P L I C A R

La razón de los lados de dos depósitos cúbicos de agua es 3/4, y los volúmenes son 1728 y 4096 me-tros cúbicos, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo, calcula la razón de sus volúmenes y compárala con la de sus lados.

Sean xe ylos lados de los depósitos. Los cubos son semejantes.

El volumen se calcula como x3_{e y}3_.

x

31728

12

y

34096

16

Razón entre los volúmenes:1

4 7 0 2 9 8 3

2₆7₄ 3₄33

La razón de los volúmenes será el cubo de la razón de los lados.

Halla una fórmula que permita calcular el volumen de un cubo a partir de su superficie total.

Sea xel lado del cubo. Como está formado por 6 caras cuadradas, su superficie será:S 6x2_{; por lo que despejando}

x

6

S

.

El volumen del cubo se calcula como Vx3_{. Sustituyendo V}

₆S

3

₆S

32

El diámetro de un balón, expresado en centímetros, es un número natural. Si tiene un volumen de en-tre 13 y 17 decímetros cúbicos, ¿cuál es su diámetro?

Volumen del balón:V 4

3 r

3

13 4

3 r

3_{17; ⇒}

3

13

4

3

r

3

17

4

3

; 1,45865...r1,59509...

Por tanto, el diámetro se encontrará comprendido entre:

d 2r; 2,91730...d3,19019... Al ser un número natural, el diámetro es de 3 decímetros.

Un alumno ha calculado los cuadrados de varios números de seis cifras. Ha obtenido los siguientes re-sultados.

a) 5 751 425 457 d) 6 195 264 100

b) 816 302 041 e) 999 998 000 001

c) 15 241 383 936 f) 1 000 468 054 756

Sin usar la calculadora, ¿podrías indicar los números en los que es seguro que el alumno se equivocó?

Al multiplicar un numero de 6 cifras por sí mismo, el resultado debe tener 11 ó 12 cifras, por lo que seguro que están mal los resultados a, b, d y f.

Radicales equivalentes. Simplificación

P A R A P R A C T I C A R

Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes.

a)

5

d)

3216

b)

32

e)

5a4

c)

574

f)

ybx

a)

5

452

12

53

8

54

d)

4216

28

12 248

8 216

b)

82

622

9

23

2

24

e)

5a4

25 a20

10 a8

15 a12

c)

574

10 78

15 712

20 716

f)

ybx

3y

b3x

5y

b5x

2y

b2x

Investiga si son equivalentes los radicales

6

y

6216

.

6

216

6

23₃3

6—3

6— 6— 1

2—

6

. Por tanto, ambos números son equivalentes.

Escribe tres potencias equivalentes a cada una de las siguientes.

a) 3—1

2— c) 7— 3

2— e) 7— 1

5— g) 27—

1 3—

b) 7—1

2— d) 2— 7

9— f) 9— 3

2— h) 11—

1 5—

a) 3—1

2— 3— 4 8— 3—

2 4— 3—

3

6— e) 7—

1 5— 7—2

4 0 — 7— 1 2 0 — 7— 1 3 5 —

b) 7—1

2— 7— 4 8— 7—

2 4— 7—

3

6— f) 9—

3 2— 9—

1 8 2

—

9—6

4— 9— 9 6—

c) 7—3

2— 7—182—74—6— 7—96— g) 27—13— 27—142— 27—26— 27—39—

d) 2—7

9— 2— 1 1 4 8

—

2—2

2 1 7

—

2—2

3 8 6

—

h) 11—1

5— 11—2 4 0 — 11— 1 2 0 — 11— 1 3 5 —

De los siguientes pares de potencias, ¿cuáles son equivalentes?

a) 21—1

5—, 21—1 2 0

—

c) 7—2

4—, 7— 1 3 5 0

—

b) 13—5

8—, 13— 6

7— d) 19—

2

3—, 190,666...

a) 21—1

5—y 21—1 2 0

—

. Son equivalentes, ya que los exponentes también lo son:1

5 1

2 0

.

b) 13—5

8—y 13—67—. No son equivalentes, ya que 5

8

6 7.

c) 7—2

4— y 7— 1 3 5 0

—

. Son equivalentes, ya que los exponentes también lo son:2

4

1 3 5 0

1₂.

d) 19—2

3—y 190,666...Son equivalentes, ya que los exponentes también lo son:1

3 0,6

Expresa los siguientes radicales como potencias y, si es posible, simplifícalas.

a)

364

c)

449

b)

27

d)

64096

a)

364

64—1

3— 2— 6

3— 22 4 c)

4

49

49—1

4— 7— 2 4— 7—

1 2—

b)

27

27—1

2— 3—32— d)

64096

4096—16— 2—162— 4

Ejercicio resuelto

Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales:

33

,

64

,

2

.

Para obtener radicales equivalentes a los dados, se elige como índice común 6, esto es, el mínimo común múltiplo de los índices.

3

3

3.2

31 2

6

32

6

9

6

4

2

2.321 3

6

23

6

8

De este modo tenemos que:

6

4

6

8

6

9

⇒

6

4

2

33

Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.

a)

3

,

52

,

105

b)

2

,

45

,

512

c) 3,

2

,

35

,

63

a)

3

3—1

2— 3—1 5 0

—

243—

1 1 0

—

,

52

2—1

5— 2—1 2 0

—

4—

1 1 0

—

,

105

5—

1 1 0

—

Por tanto:

52

105

3

b)

2

2—1

2— 2— 1 2 0 0

—

1024—

2 1 0

—

,

45

5—1

4— 5—2 5 0

—

3125—

2 1 0

—

,

512

12—1

5— 12—2 4 0

—

20736—

2 1 0

—

Por tanto:

2

45

512

c) 3 3—6

6— 729— 1

6—,

2

2— 1 2— 2—

3 6— 8—

1

6—,

35

5— 1 3— 5—

2 6— 25—

1

6—,

63

3— 1 6—

Por tanto:

63

2

35

3

Explica cómo las siguientes expresiones, tan aparentemente distintas, son equivalentes.

Las tres expresiones tienen la misma base y exponentes equivalentes: 2—1

2—.

20,5 ₂—1

2—;

2

2— 1 2—; 8—

1 6— (23)—

1 6— 2—

3 6— 2—

1 2—

Los lados de tres cuadrados miden, respectivamente, 5—1

4—, 5— 1 6— y 5—

2

3— metros. Ordénalos de menor a mayor

según sus correspondientes áreas.

Calculamos las áreas:

A15

—1

4— 5—14— 5—24— 5—12— 5—36— 125—16—

A25

—1

6—5—16— 5—26— 5—13— 5—26— 25—16—

Ordenando las áreas de menor a mayor:

A35

—2

3—5—23— 5—43— 5—86— 390625—16— ⇒ A

2A1A3

Ejercicio resuelto

Calcula la raíz de

225

.

Para hallar la raíz se factoriza el radicando.

225

32₅2

(35)2

152

(152₎—1

2— 15— 2 2— 15

Calcula la raíz de

334300

0

.

3

343000

5

323₅3₇3

70

Calcula las siguientes operaciones.

a) c)

5

3

2 5

7

e)

433

4

317

b)

316

:

32

d)

52

524

f)

3

1 4 :

3

2000

a)

2

5 10

2 c)

5

3

2 5

7

5₃2₅7

3₃3 3 e)

433

4

317

4

320

35

b)

316

:

32

3

1 2

6

3

8

2 d)

52

524

5

25

2 f)

3

1

4 :

3

2000

3 ₂2₃

1

3₂4

₁1₂

Calcula las siguientes operaciones.

a) (

427

)3 _{b) (}

3 . 23

)7 _{c) (}

3

22

)2

a) (

427

)3₍₂—7

4—)32—241—25

42

b) (

3

23)73—72—2—221— 33210

6

c) (

3

22)2 2—43— 2

32

Aplica las propiedades de las potencias para deducir la forma de hallar la raíz de un radical.

n

_ba

Calcula las siguientes raíces de radicales.

a)

3218

b)

3

45

c)

3

327

2

a)

3218

2—1

3 8

—

—1

2— 23 b)

3

45

5— 1 4—

—

1 3— 5—

1

2— c)

3

327

2

27—1

3—

— 1 3—

2

3—6

9— 3— 2 3—

Operaciones con radicales

P A R A P R A C T I C A R

Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.

a)

28₃5

57

b)

3a5_b1

2_c7

a)

28₃5

57

24₃2₅3

3

5 b)

3a5_b12

c7

a3_b4_c2

a2_c

Simplifica extrayendo del radical el máximo de factores posibles.

a)

180

c)

372

e)

348

b)

4162

d)

324 000

f)

35000

a)

180

22₃2₅

23

5

c)

372

332₂3

2

332

e)

348

3323

2

33

b)

4162

434₂

3

42

d)

324 000

353₂6₃

522

3

3

f)

35000

353₂3

10

3.45 3.44 3.43

a—

n 1

—

b—

n 1

—

3.42 3.41

2

10

5

2

10

——

5

Introduce los factores enteros en los radicales.

a) 2

5

b) 11

7

c) 10

32

d) 5

42

a) 2

5

522

20

c) 10

32

32103

3

2000

b) 11

7

7112

847

d) 5

42

4254

1250

Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica.

a) 23₃5

27

c) 23

5

34

35

1 3 1 1 0 2

b) 35₇

4

372

d)a

c b 2 3

b a 3_c 3 3

a) 23₃5

27

26₅5

27

213₅5

c) 23

5

34

3 5

1 3 1 1 0 2

3

29₃

5 1 3 2 3 5 1 1 0

1₂

3

210₃2

58

b) 35

7

4372

4

320

74

372

321

76

d) a

c b 2 3

b a 3_c 3 3

c a 2 4 b b 6 3 a c 3 3

a b 5 3 c

Realiza las operaciones indicadas.

a)

3a2

4

a3

6

a5

b)

42

3

3

7

63 7

7

25

a)

3a2

4

a3

6

a5

a—2

3—a—34—a—56— a1—312—

12a

31 b)

4 2

3

3

7

6 3 7

7

25

122

1 7 9 2 37

Expresa en forma de radical el resultado de las siguientes operaciones.

a)

42

75

:

105

c)

316

3

318

350

b)

316

5

5

12 d)

20

6

45

80

a)

42

75

:

105

2

2 3 3 7 5 5 7 2₃

3

5

15

15—1

2—

b)

316

5

512

2—4

3—5— 1 2—2—

2 5—3—

1 5— 2—

2 1 1 5

—

5—1

2—3— 1 5— 2—

7 5—5—

1 2—3—

1 5—

c)

316

3

3

18

350

2—4

3— 3— 5 3—2—

1 3— 5—

2 3—2—

1 3—

d)

20

6

45

80

25—1

2— 2335— 1 2— 5—

1

2—22 25— 1

2—(1 6 2) 25— 1 2— 3

Ejercicio resuelto

Racionalizar una fracción es hallar otra equivalente sin raíces en el denominador. Racionaliza 2 5

3

2

y

5 7 72

.

En el primer caso se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número, la raíz cuadrada que aparece en el de-nominador. 2 5

3

2

2 5

3

2

2

2

5 2

6

22

2 5

2 6

5 6

En el segundo, para eliminar la raíz de índice 5 necesitamos conseguir un exponente múltiplo de 5.

5 7 72

5 7 7 2

5

7 5 3

73

7

5

7 5 5

73

7 7

5 73

5 73

3.50 3.49

2—3

4—3—76—2—56— 3—7

4—7— 1 6— 2—3

4—3—76—2—56— 3—7

4—7— 1 6— 3.48

Racionaliza las siguientes fracciones.

a)

3

2

b)

3

1

12

c) 5

2

6

d)

7

12

25

a)

3 2

3

2 2

c)

5

2 6

2 3

0 6

b)

3

1 12

3

3

3

2 3

2

2

3

2

32₂

3

6 18

_d)

7

12 25

7

12 22

P A R A A P L I C A R

Problema resuelto

El profesor asegura que el número

(2

3

) (2

73

) es entero. ¿Es posible?

Observamos que en el radicando se tiene una suma por una diferencia, por lo que al multiplicar se obtiene lo siguiente.

(2

3

) (2

3)

22₍

3

)2

4

3

1

1 En efecto, el resultado es un número entero.

Los lados de un corral rectangular miden

2

y

32

metros. ¿Puede ser su área un número natural?

Área del corral rectangular:A

2 32

26

23_{8 metros}

Por tanto, su área sí que es un número natural.

Comprueba si el número

3(4

2

2

) (4

2

2

) es un número entero.

Observamos que en el radicando se tiene una suma por una diferencia, por lo que al multiplicar se obtiene lo siguiente.

3

(4 2

2

) (4

2

2

)

3(16

4

2)

38

2 Por tanto, el resultado es un número entero.

Víctor trata de obtener con su calculadora un número comprendido entre 1 y 2 partiendo de un número inicial y usando repetidamente la tecla . Por ejemplo, si comienza con el 20, tiene que pulsar tres veces dicha tecla.

20→ → 4,472...→ → 2,114...→ → 1,454...

a) ¿Cuántas veces tendrá que hacerlo si empieza en el número 300? b) ¿Y si empieza en el 1000?

c) Indica la operación realizada usando una sola raíz.

a) 300 →

2

→ 17,32051...→

2

→ 4,161791...→

2

→ 2,040046...→

2

→ 1,428302...

Tendrá que hacerlo cuatro veces.

b) 1000 →

2

→ 31,62277...→

2

→ 5,623413...→

2

→ 2,371373...→

2

→ 1,539927...

En este caso tendrá que pulsar la tecla cuatro veces.

c) La operación realizada será:

x

(x)—1

2—

— 1 2—

—

1 2—

—

1 2— (x)—1

1 6

—

16

x

.

Adivina un número a sabiendo que: • Su raíz cúbica es mayor que 4.

• La raíz cúbica de su cuadrado es menor que 17. El número es un entero múltiplo de 10.

3

a

4; a 43

64; (

3a2

) 17; a

173

70,0928...

64 a70,0928... Por tanto, el número es el 70.

3.56

√ √

√

√

3.55 3.54 3.53 3.52

12

722

7₂5 7₂

2

2

6

5

6 6

3

2

2 2

3.51

—1

2—

—

1 2—

—1

Matemáticas aplicadas

P A R A A P L I C A R

Calcula el tamaño de un archivo que contenga las siguientes imágenes.

a) De 640 480 píxeles guardada en blanco y negro.

b) De 240 320 píxeles guardada en formato gif, es decir, con una profundidad de 8 bits por píxel.

a) Para una imagen en blanco y negro se utilizan 4 bits por píxel; como la imagen tiene 640480 307 200 píxeles, el archivo

ocupará 4307 200 1 228 800 bits 150 KB.

b) Para una imagen en color indexado se utilizan 8 bits por píxel; como la imagen tiene 240320 76 800 píxeles, el archivo

ocupará 876 800 614 400 bits 75 KB.

Un fichero contiene una imagen de 80 320 píxeles. Observa el tamaño del fichero y señala, en cada

caso, el modo en el que se ha guardado.

a) 12,5 KB b) 25 KB c) 75 KB

Para la imagen se utilizan 80320 25 600 píxeles.

Si ocupa 12,5 KB 12,510248 102 400 bits. Se calcula el número de bits por píxel para determinar el modo en que se

ha guardado:

2 1 5 0

6 2

0 4 0 0

( 0

pí ( x

b e

it le

s)

s) 4 bits por píxel, por lo que se ha guardado en escala de grises.

Si ocupa 25 KB 2510248 204 800 bits. Se calcula el número de bits por píxel para determinar el modo en que se ha

guardado:

2 2

5 0

6 4

0 8

0 0

( 0

pí ( x

b e

it le

s)

s) 8 bits por píxel, por lo que se ha guardado en color indexado.

Si ocupa 75 KB 7510248 614 400 bits. Se calcula el número de bits por píxel para determinar el modo en que se ha

guardado:

2 1 5

6 6 1 0 1 0

40 (p

0 íx

( e b l i e

ts s )

) 24 bits por píxel, por lo que se ha guardado en color verdadero.

Actividades finales

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Escribe en notación científica estas cantidades.

a) 0,00000000771 b) 992 600 000 000 c) 0,000000041 d) 4 840 000 000

¿Cuál tiene el mayor orden de magnitud? ¿Y cuál el menor?

a) 0,00000000771 7,11010 _{c) 0,000000041 4,110}8

b) 992 600 000 000 9,9261011 _{d) 4 840 000 000 4,8410}9

b es el que tiene mayor orden de magnitud, y a, el menor.

Escribe correctamente en notación científica:

a) 887105 _{b) 5785,46}

108 _{c) 0,0052}

1012 _{d) 0,004}

1024

a) 887105_8,87107 _{c) 0,005210}12_5,2109

b) 5785,46108_5,78546105 _{d) 0,00410}24 ₄₁₀27

Expresa en metros las siguientes medidas usando la notación científica. a) 3 millones de kilómetros

b) Una millonésima de milímetro c) 261012 _hectómetros

a) 3 millones de kilómetros: 3 000 000 metros 3109_metros

b) Una millonésima de milímetro: 1109_metros

c) 261012_{hectómetros 2610}10_{metros 2,610}11_metros

3.61 3.60 3.59 3.58

614 400 (bits)

8

b b y

it t s e

1024

kil b

o y

b t y e te

1 228 800 (bits)

8

b b y

it t s e

1024

kil b

o y

b t y e te

El factorial de un número se define: n! n(n 1)…321. Por ejemplo:

6! 654321 720

Con la ayuda de la calculadora, investiga el orden de magnitud de los siguientes números factoriales.

a) 15! b) 25! c) 40!

a) 15! 1,307671012 _{b) 25!}

1,551121025 _{c) 40!}

8,159151047

Realiza las siguientes operaciones expresando el resultado en notación científica.

a) 2,851010 3,16108 _4,28109 _{c) (10,2510}5_{) : (20,510}7₎

b) 3,01105_8,24104_71,5107 _{d) (7,3510}6_)(1,49103 _40,2104_{) : (9,9510}3₎

a) 2,851010

3,16108

4,28109

(285 3,16 42,8)108

245,36108

2,45361010

b) 3,01105_8,24104_71,5107_1773,372106 _1,773372109

c) (10,25105_{) : (20,510}7_{) 0,510}12₅₁₀11

d) (7,35106_)(1,49103_40,2104_{) : (9,9510}3_{) (7,3510}6_)(0,149104_40,2104_{) : (9,9510}3₎

(7,35106_)(40,349104_{) : (9,9510}3_{) 29,8055410}7_2,980554108

En una muestra hay 5,23106_{bacterias, cada una de las cuales pesa 2,510}10 _{gramos. ¿Cuál es el peso}

total?

Peso total de las bacterias: 5,23106_2,51010_0,51012 _13,075104 _1,3075103_gramos

En el año 2003, la distancia entre la Tierra y Marte era de 56 millones de kilómetros (la distancia más cercana de los últimos 60 000 años). Calcula cuánto tiempo hubiera habría tardado en llegar a Marte

una nave espacial que hubiese llevado una velocidad de 1,4104_{metros por segundo.}

El tiempo se calcularía como:

t v

e e s lo

p c a

i c d

i a o d

₁5_,6₄1₁0₀94 4010

5_segundos

4106_segundos

1,111103_horas

Escribe tres raíces equivalentes a cada uno de los siguientes números.

a)

734

b) 5 c) 8—2

3—

a)

734

14

38

21

312

28

316

b) 5

25

3125

454

c) 8—2

3—

68

4

128

8

2

4

Ordena de menor a mayor estos radicales:

a)

527

, 3,

632

b)

2

,

45

,

512

a)

632

527

3 b)

2

45

512

Indica cuántas raíces tienen los siguientes números y calcúlalas cuando sea posible.

a)

0,49

b)

3216

c)

4 d)

3

125

a)

0,49

0,7. Tiene dos raíces.

b)

3216

6. Tiene una raíz.

c)

4. No tiene raíces, ya que no existe la raíz cuadrada de un número negativo.

d)

3

125 3. Tiene una raíz.

Calcula el valor de las siguientes potencias.

a) 25—3

2— b) 343—

2

3— c) 160,25 d) 270,3333...

a) 25—3

2— 5— 2

2 3

—

53 _{125 c) 16}0,25₁₆—1

4— 2— 4 4— 2

b) 343—2

3— 7— 3

3 2

—

72_{49 d) 27}0,3333...₃—3

3— 3

Efectúa las siguientes operaciones.

a)

8

27

e)

1

2

4

8

:

34

b)

3512

:

3200

f)

12

:

332

62

c)

34

5

392 g)

3

8

d)

42187

:

108

h)

3

64

2

a)

8

27

23₃3

6

6

14,69694...

b)

3512

:

3200

=

3₂

2 3₅ 8 2

3 2 5 5 2

2

3

2 5

2 2

1,367981...

c)

34

5392

2—2

3—2— 3 5—7—

2 5— 2—

1 1 9 5

— 7—2

5— 5,240152...

d)

42187

:

108

e)

1

2

4

8

:

34

2—3

4— 2—112—1

f)

12

:

332

62

22₃

:

325

6 2

2— 6 3 —

3

3

2

g)

3

8

(23₎—1

2—

1 3

—1

2—

2—1

4—

42

h) (64)2

₍₂6₎—1

2—

1 3

2

22₄

Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.

a)

5

x z 12 1 y 00 54

b) 2

3 3 4

6 320 5 6 210

c)

3

45 1 6 8 4 2 3

a)

5

x z 12 1 y 00 54 x2 z y 2 1 0 00 5

x2_y4

b) 2

3 3 4

6 320 5 6

210

2 3 3 4 3 3 5 2

6

32₂4

3 2 4 5

632₂4

c)

3

45 1 6 8 4 2 3 2 3 3₆

3 2 2 6 3 3 24

3 6

Realiza las operaciones indicadas.

a)

825₃6

6

29₃5

b) c)

3

423

a)

825₃6

8

29₃5

2—

1 254—

3—

1 284—

2—

3 264—

3—

2 204—

2—

5 214—

3—

3 284—

12

2423₃14

b) a—1

7 2 —

12 a7

c)

3

423

2—3

4—

1 2

1 3 2 1 8

8 2

a—1 9 2

—

a—1 6 2

—

a—1 8 2 — a— 3 4— a— 1 2— a— 2 3—

4 a3

a

3 a2

4 a3

a

3 a2

3.72 3.71

23—1

2—2— 1 6—

2—5

3— 1

12 211

1

2—1

2—2— 2 3—

1

2 433

2—2

4—3— 3 4— 2—2

Realiza las operaciones indicadas.

a)

75

12

3

3

b) 5

2 4

8

10

18

c)

325

9

3

5 8

4

a)

75

12

3

3

5

3

4

3

3

3

4

3

b) 5

2

4

8

10

18

5

2

8

2

30

2

17

2

c)

325

9

3

5 8

4

2

322

36

321

Cualquier número natural se puede expresar como suma de un máximo de cuatro cuadrados perfectos. Esto nos permite re-presentar la raíz cuadrada de cualquier número usando el teo-rema de Pitágoras.

Descompón en suma de cuadrados perfectos los siguientes nú-meros e indica cómo se representarían sus raíces cuadradas.

a) 41 b) 27 c) 31

a) 52 ₄2_{25 16 41}

Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 4 cm.

El cuadrado de la hipotenusa medirá:h2 ₅2₄2_{25 16 41.}

Valor de la hipotenusa

41

b) 52

12

12

25 2 27

Al no poderse escribir como suma de dos números naturales, para su representación lo descomponemos de dos en dos:

27 2 25 (

2

)2 ₅2

Así, para representar

27

se tiene que dibujar primero

2

:

Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 cm y 1 cm

La hipotenusa medirá:h2

12

12

2

Valor de la hipotenusa

2

Se dibuja de nuevo un triángulo rectángulo cuyos catetos miden

2

cm

y 5 cm, cuya hipotenusa medirá:h2

22

52₂₇ ⇒ _h

27

c) 52

22

12

12

25 4 1 1 31

Representación: no se puede escribir 31 como suma de cuadrados de dos números naturales, pero sí se puede descomponer como

31 6 25 (

6

)2 ₅2_.

Así, para representar

31

se tiene que dibujar primero

6

y posteriormente sumarle 25 unidades.

Representación de

6

:h2 ₂2₍

2

)2 _{6; así, para representar}

6

se tiene que dibujar primero

2

:

Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 1 cm.

El cuadrado de la hipotenusa medirá:h2 ₁2₁2_2.

Valor de la hipotenusa

2

Después se representará

6

como hipotenusa del triángulo con

catetos 2 y

2

. Finalmente se dibujará

31

como hipotenusa del

triángulo con catetos 5 y

6

.

¿Cuántas cifras puede tener la raíz cuadrada de un número de seis cifras? ¿Y la raíz cúbica?

La raíz cuadrada de un número de seis cifras es un número de tres cifras enteras. La raíz cúbica tendrá dos cifras enteras.

3.75 3.74 3.73

0 1 2

–1

3 = 12 + 12 + 12

3 2

√ √3

–1 5

41

4 3 2

0 1 6 7

4

–1 5

27

4 3 2

0 1 6

5

2

–1 5

31

4 3 2

0 1 6

2

2 6

P A R A R E F O R Z A R

Escribe los siguientes números empleando notación científica.

a) 0,000000000235 b) 5 480 000 000 000

a) 0,000000000235 2,351010

b) 5 480 000 000 000 5,481012

Sin hacer las operaciones, indica el orden de magnitud del resultado.

a) (3,51015_)(1,2107_{) d) (2,6710}43_{) : (1,410}33₎

b) (2,241015₎₍₃₁₀20_{) e) (5,7810}21_{) : (2,2210}25₎

c) (21023_)(1,551030_{) f) (9,9310}7_{) : (3,1210}7₎

a) Exponente 22: orden de magnitud 22 d) Exponente 43 33 10: orden de magnitud 10

b) Exponente 15 (20) 25: orden de magnitud 25 e) Exponente 21 (25) 4: orden de magnitud 4

c) Exponente 23 (20) 7: orden de magnitud 7 f) Exponente 7 (7) 14: orden de magnitud 14

Despeja x en cada ecuación.

a) a x2 _{c) 4}2 _x3

b) 125 x3 _{d) x}3 ₂4

a) a x2_{; x}

a

c) 42 _x3_{; x}

3

16

b) 125 x3_{; x}

3

125

5 d) x3

24_{; x}

3 ₂

1

4

Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y en forma de raíz y calcula:

a) 320,2 _{b) 1000}0,666... _{c) 625}—

1 2 0 5 0

—

a) 320,2₃₂—1

5—

532

2

b) 10000,666... ₁₀₀₀—2

3—

31000

2 100

c) 625—

1 2 0 5 0

—

625—

1 2 0 5 0

—

625—1

4—

4625

5

Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.

12

27

15

29

18

213

Se calcula el mínimo común múltiplo de los exponentes: m.c.m. (12, 15, 18) 180.

12

27

2—

1 7 2

—

2—1

1 0 8 5 0

—

;

1529

2—

1 9 5

—

2—1

1 0 8 8 0

—

;

18213

2—1

1 3 8

—

2—1

1 3 8 0 0

—

Ahora podemos ordenar de menor a mayor:

1227

15

29

18

213

.

Introduce el factor en el radical.

a) 7

2

b) 3

33

a) 7

2

72₂

98

b) 3

33

33₃

81

Extrae factores de los radicales.

a)

6125

b)

3648

a)

6125

72₅3

35

5

b)

3648

323₃4

6

33

Calcula las siguientes operaciones.

a) 3

2

7

2 4

2

b)1

2

20

75

4

45

a) 3

2

7

2

4

2

(3 7 4)

2

0

b) 1

2

20

75

4

45

1

2

52

2

52₂

4

532

2₂

5

5

2

12

5

13

5

5

2

3.83