–  Periódico mixto

1

1. ESQUEMA - RESUMEN Página

2

2. EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página

12

3. EJERCICIOS DE DESARROLLO Página

25

4. EJERCICIOS DE AMPLIACIÓN Página

26

5. EJERCICIOS DE REFUERZO Página

28

6. EJERCICIOS RESUELTOS Página

2

RESUMEN

NÚMEROS DECIMALES

1.1 HISTORIA

¿Cómo surgió nuestra manera de escribir los decimales?

Nuestra escritura decimal es consecuencia directa de la utilización de fracciones decimales (con denominador 10 o potencia de 10).Durante bastante tiempo se utilizaron fundamentalmente fracciones sexagesimales ( de denominador 60). Un defensor a ultranza de las fracciones decimales fue François Viète (1540-1603). En 1579, en unos de sus trabajos escribe 141421'35624 como 141421.35624. Unas páginas más adelante escribe 314159'26535 como 314159. y un poco más adelante escribe este mismo número como 314159.26535, con la parte entera en negrita. En algunas ocasiones usa un guión vertical para separar la parte entera de la fraccionaria, es decir 314159|26535.

Sin embargo, no fue Viète, sino el flamenco Simon Stevin, quien en 1585 acometió la tarea de explicarlas con todo detalle y de una manera muy elemental, el verdadero propagador de la utilización de fracciones decimales.

En 1616, en la traducción al inglés de una obra del escocés John Napier(1550-1617), las

fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un punto decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. Napier propuso un punto o una coma como signo de separación decimal: el punto decimal se consagró en países anglosajones, pero en muchos otros países europeos como por ejemplo España, se continúa utilizando la coma decimal.

1. ESQUEMA - RESUMEN Página

1.1. HISTORIA 2

1.2. EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS

NÚMEROS RACIONALES 3

1.3

CÁLCULO DE FRACCIONES

GENERATRICES

1.4. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS

DECIMALES 8

1.5.

OPERACIONES CON NÚMEROS

3

1.2 EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Decimales exactos y periódicos

Como recordarás la expresión decimal de una fracción se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador. Consideremos la fracción 34/8:

Es decir,

4'25 es la expresión decimal de 34/8 y de cualquier fracción equivalente a ella. A su vez, 34/8 o cualquier fracción equivalente se llama fracción generatriz de 4'25.

Diremos que 4'25 es un número decimal exacto porque tiene un número finito de cifras decimales.

No ocurre siempre así. Si calculamos el desarrollo decimal de la fracción 40/33, obtenemos:

Los restos se repiten y en consecuencia nunca termina la división; 40/33=1'21212121... Al grupo de decimales que se repiten lo llamaremos periodo y lo indicaremos mediante un arco que los abarca:

4

Del mismo modo, si calculamos el desarrollo decimal de 23/12 obtenemos:

En este caso el periodo no comienza después de la coma, diremos que 23/12 es periódico mixto y se escribirá como

En resumen, los decimales periódicos pueden ser:

- Decimales periódicos puros, si el período comienza inmediatamente después de la coma. - Decimales periódicos mixtos, si el período no comienza inmediatamente después de la coma.

Al dividir dos números los restos obtenidos siempre son menores que el divisor. Observa esta dos divisiones:

Hasta ahora has obtenido los restos: 1, 3, 2, 6, 4 y 5. En el siguiente paso el resto será 0 o alguno de ellos se repetirá forzosamente y en consecuencia volverán a aparecer las mismas cifras en el divisor.

No es necesario que aparezcan todos los restos posibles. En el momento que uno de ellos se repita, vuelven a aparecer las mismas cifras en el cociente y de nuevo los mismos restos.

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1.3 CÁLCULO DE FRACCIONES GENERATRICES

a) Decimales exactos

La fracción generatriz de un decimal exacto es una fracción que tiene

por numerador al número, escrito sin coma decimal, y por denominador un

uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene.

b) Decimales periódicos puros

Consideremos el decimal , al que llamaremos x. x = 4'313131....

Si multiplicamos los dos miembros por 100 ( un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) obtenemos:

100x = 431'3131....

Restando miembro a miembro las dos igualdades:

1. Utilizando el método anterior comprueba que:

, es decir

6

c) Decimales periódicos mixtos

Consideremos el decimal al que llamaremos x: x = 1'063636363...

Si multiplicamos los dos miembros por 10 (un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales haya antes del periodo) obtenemos el decimal periódico puro:

10x = 10'63636363...

Multiplicamos los dos miembros de la igualdad obtenida por 100 ( un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el periodo) y obtenemos:

1000x = 1063'636363...

Restando las dos últimas igualdades:

Por lo tanto x = , es decir,

2. Utilizando el método anterior comprueba que:

a.

b.

7

Hemos comprobado también que todo decimal exacto o periódico se puede escribir como una fracción, en consecuencia:

El conjunto de los números racionales es igual que el conjunto de los números decimales exactos o periódicos.

¿Existen decimales no exactos, ni periódicos?

Si un número decimal no es exacto, necesariamente ha de tener infinitas cifras decimales. Si además es no periódico, éstas no pueden guardar ninguna secuencia repetitiva. Por ejemplo:

5'1234567891011121314... 2'01001000100001...

Existen otros números que son bastante familiares y que tampoco se pueden expresar como fracción. Esto ocurre con el número B, las raíces no exactas y otros números "famosos".

B = 3'141592654...

= 1'414213562... = 2'236067977... El número áureo

=1'61803998....

La proporción cordobesa

=1'306562964....

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1.4 REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Si dividimos una unidad arbitraria en diez partes iguales, obtenemos la escala decimal. En ella se podrán representar de forma precisa decimales exactos con una única cifra decimal.

La flecha A señala el número 3'3, la B 3,8, la C 4,7 y la D 6,4.

A su vez, cada décima puede ser dividida en diez partes iguales En esta actividad la escala superior divide la unidad en décimas y la inferior en centésimas:

podremos representar decimales exactos con dos cifras decimales.

La flecha A indica 0'26. la B 0,13, C 0,43, D 0,37 y E 0,08

Observa que 0'20 es igual que 0'2 y 0'30 que 0'3. Observa también que 0'26 está entre 0'2 y 0'3, pero más próximo a 0'3.

3. También podemos dividir la unidad en mitades , tercios, cuartos, quintos, etc ... los números que se corresponden con A 3/4, B 1/2, C 1/6 y D 1/3.

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1.5 OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

SUMA DE NÚMEROS DECIMALES

Para sumar dos o más números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas; después se suman como si fuesen números naturales y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.

Ejemplo:

Calcula las siguientes sumas de números decimales.

2,42 + 3,7 + 4,128

2 , 4 2 3 , 7 + 4 , 1 2 8 1 0 , 2 4 8

RESTA DE NÚMEROS DECIMALES

Para restar números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas. Si los números no tienen el mismo número de cifras decimales, se completan con ceros las cifras que faltan. Después, se restan como si fuesen números naturales y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.

Ejemplo:

Calcula las siguientes restas de números decimales.

9 , 1 0 - 3 , 8 2 5 , 2 8

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS

Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad.

Ejemplos:

Calcula.

3,2 x 10 = 32 3,2 x 100 = 320 3,2 x 1.000 = 3.200

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MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES

Para multiplicar dos números decimales se efectúa la operación como si fuesen

números naturales y en el producto se separan tantas cifras decimales como cifras decimales tengan entre los dos factores.

Ejemplos:

Calcula las siguientes multiplicaciones de números decimales.

4,31 x 2,6

4, 3 1 2 cifras decimales x 2 , 6 1 cifra decimal 2 5 8 6

8 6 2

1 1 , 2 0 6 3 cifras decimales

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad.

Ejemplos:

Calcula.

24,2 : 10 = 2,42 24,2 : 100 = 0,242 24,2 : 1.000 = 0,0242

DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UNO NATURAL

Para dividir un número decimal por un número natural se hace la división como si fuesen números naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal.

Ejemplos:

7,36 : 2

7 , 3 6

2

1 3 3 , 6 8 1 6

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DIVISIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR UNO DECIMAL

Para dividir un número natural por un número decimal se suprime la coma del divisor y a la derecha del dividendo se ponen tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Después se hace la división como si fuesen números naturales.

Ejemplo:

Calcula las siguientes divisiones.

1.176 :1,2

1 1 7 , 6 0 / 1 2 0 9 6 9 8 0

0 0 0

DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES

Para dividir dos números decimales se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor; si es necesario, se añaden ceros.

Ejemplo:

Calcula las siguientes divisiones. 21.66: 3,8

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2.1 NÚMERO DECIMAL

Ej.1 Lee los siguientes números decimales:

a) 3,4503 b) 0,0322 c) 1,0101

c) 1.32 d) 1.045 e) 127,00016

Ej.2 Escribe los siguientes números decimales:

a) Cinco unidades, dos décimas, una milésima = b) Tres diezmilésimas =

c) Veintisiete unidades, tres centésimas, cuatro milésimas = d) Ciento seis unidades, quince milésimas.

2. EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página

2.1 NÚMERO DECIMAL 12

2.2 RELACIÓN ENTRE FRACCIONES Y

NÚMEROS DECIMALES 15

2.3 ORDENAR NÚMEROS DECIMALES 16

2.4 SUMAS Y RESTAS 18

2.5 MULTIPLICACIONES 20

13

Ej.3 Completa el siguiente cuadro.

PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

NÚMERO CENTENAS DECENAS UNIDADES DÉCIMAS CENTÉSIMAS MILÉSIMAS

734,12 52,016 3,2 0,005 296,087

6 3 0 1 1

4 2 9 5

5 7 9 7

3 9 0 3 2

6 8 4

4 0 0 6

Ej.4 Descompón los siguientes números

centenas decenas unidades décimas centésimas milésimas

2,07 2 0 7 2 unidades y 7

centésimas 45,1

4 decenas, 5 unidades y 1

décima 3,608

204,1 8,002 691,2

Ej.5 Indica el orden de la cifra 7 en cada número.

Número Orden Número Orden

a) 37,98 d) 740,51

b) 43,07 e) 52,347

c) 91,75 f) 712,6

Ej.6 Escribe números en los que la cifra 8 sea del orden que se indica.

Orden Número Orden Número

a) unidades d) décimas

b) milésimas e) decenas

14

Ej.7 Completa la siguiente tabla

DÉCIMAS

a) 0,7 Siete décimas

b) 2,6

c) 0,5

d) Cuatro décimas

e) Tres unidades y dos décimas

f) Quince décimas

CENTÉSIMAS

a) 0,75

b) 0,80

c) 1,14

d) Quince centésimas

e) Una unidad y cuarenta y ocho centésimas

f) Siete centésimas

MILÉSIMAS

a) 0,035

b) 0,007

c) 1,247

d) Ocho milésimas

e) Quince milésimas

f) Dos unidades y doscientos veinticinco milésimas Ej.8 . Une con flechas

Dos unidades con cuatro décimas 7,12

Siete unidades con doce centésimas 13,025

Trece unidades con ciento veinticinco milésimas 2,4

Treinta y seis unidades con cinco centésimas 72,098

Setenta y dos unidades con noventa y ocho milésimas 36,05

Ej.9 Escribe las siguientes cantidades.

a) Un euro con veinte

céntimos e) Un euro con doce céntimos

b) Dos euros con 2 céntimos f) Un euro con seis céntimos

c) Cincuenta céntimos g) Tres euros con cuatro

céntimos

d) Un euro con 5 céntimos h) Un euro con sesenta

15

2.2 RELACIÓN ENTRE FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

Ej.1 Escribe en forma de número decimal cada una de las siguientes fracciones decimales:

a) 13/100 b) 237/10 c) 14.121/100 d) 2/10.000

Ej.2 Pon en forma de fracción decimal los siguientes números decimales:

a) 1,47 b) 0,00003 c) 15,13 d) 31,047

Ej.3 Anota las fracciones decimales correspondientes a estos

números decimales, realiza su simplificación hasta dejarlas irreducibles:

a) 1,4 b) 0,002 c) 2,6 d) 0,3425

Ej.4 Clasifica los siguientes decimales en: exactos (E), periódico puro(PP), periódico mixto(PM), infinito no periódico (INP)

a) 1,5 E d) 56,444…. g) 4,56 j) 3,1415….

b) 8,5555…. e) 0,32 h) 5,2666…. k) 7,8383….

c) 7,83111... f) 45,0111…. i) 8,23 l) 1,123…..

Ej.5 Completa el siguiente cuadro:

E = Exacto ; PP = Periódico puro ; PM = Periódico mixto ; INP = Infinito no periódico

Número Tipo Parte

entera

Parte

decimal Periodo

Forma reducida

2,444…. PP 4 444…. 4 2,4)

3,28 28,4666… 5,1234……

16

2.3 ORDENAR NÚMEROS DECIMALES

Ej.1 Coloca la palabra mayor, menor o igual según corresponda.

a) 2,38 mayor 2,27 f) 8,1 8,01

b) 2,4 2,49 g) 5,2 5,16

c) 4,03 3,95 h) 3,43 4,1

d) 7,1 7,10 i) 9,02 9,020

e) 5,2 5,200 j) 7,01 7,012

Ej.2 Coloca el signo < , > ó = según corresponda.

Ej.3 Ordena los siguientes recuadros de menor a mayor.

11,1 11,2 7,21 7,12 1,1 1,001 21,21 21,012

11,01 11,05 7,33 7,044 1,01 1,02 21,12 21,021

1º) 1º) 1º) 1º)

2º) 2º) 2º) 2º)

3º) 3º) 3º) 3º)

4º) 4º) 4º) 4º)

Ej.4 Indica si las siguientes desigualdades son verdaderas o falsas

3’006 < 3’600 Verdadero 3’009 > 3’1006

31’01 > 13’10 1’019 > 0’02

0’9 < 0’09 0’09 < 0’091

3’099 < 4’0009 3’01 < 3’009

3’006 > 3’600 3’009 > 3’1006

31’01 > 13’10 1’019 < 0’02

0’19 < 0’09 0’009 < 0’091

4’099 < 4’0009 3’01 < 3’009

3’606 > 3’600 3’09 > 3’1006

31’01 > 31’10 1’19 < 1’02

17 a)

0’2 0’7 0’3 0’1 0’9

b)

5’2 5’7 5’1 5’6 5’9

c)

30’1 30’4 30’6 30’8 30’2

d)

9’8 9’2 9’7 9’4 9’9

e)

0’1 0’6 0’3 0’7 0’8

f)

0’99 0’92 0’97 0’94 0’91

g)

2’6 2’7 2’1 2’9 2’3

h)

0’02 0’07 0’09 0’04 i)

3’01 3,03 3’08 3’06 j)

8’02 8’04 8’06 8’08 k)

3’001 3’004 3’007 3’009 l)

6’004 6’008 6’001 6’006 m)

18

Ej.6 Completa los recuadros con los números decimales que indica cada flecha.

a) b)

c)

d) e)

f)

2.4 SUMAS Y RESTAS

Ej.1 Expresa en forma de números decimales los siguientes números

descompuestos:

a) 4 · 1000 + 2 + 4 · 0,1 + 5 · 0,01 = b) 7 + 6 · 0,001 =

19

Ej.2 Realiza las siguientes sumas.

a) 0, 0 7 b) 2 4, 6 c) 4, 0 7 1 d) 6, 2 5

4, 2 1 3, 3 5 3 2, 9 6 3 2, 7

+ 1 8, 2 4 5 + 6, 9 + 0, 5 8 4 + 5 6, 8 9

, , , ,

Ej.3 Coloca en columna y suma.

a) 12,307 + 7,29 b) 6,4 + 5,23 c) 3 + 4,32 + 0,46

Ej.4 Realiza las siguientes restas.

a) 4 2, 7 b) 7 2, 4 1 6 c) 3 6, 2 0 5 d) 3 5, 7 -

1 9, 0 8 4 - 3 8, 6 4 - 1 7, 8 8 - 8, 2 6 5

, , , ,

a) 4 2, 7 b) 7 2, 4 1 6 c) 3 6, 2 0 5 d) 3 5, 7

- 1 9, 0 8 4 - 3 8, 6 4 - 1 7, 8 8 - 8, 2 6 5

, , , ,

Ej.5 Coloca en columna y resta.

a) 4,37 – 2,08 b) 9,28 – 6,405 c) 3,25 – 0,8

20

2.5 MULTIPLICACIONES

Ej.1 Realiza las siguientes multiplicaciones.

a) 8, 1 6 b) 0, 4 3 c) 1, 0 3 d) 5, 6

x 3 x 8 x 7 x 4

2 4, 4 8

Ej.2 Coloca en columna y multiplica.

a) 8,15 · 9 b) 34,8 · 3 c) 1,25 · 8 d) 16,61 · 5

e) 6,147 · 2 f) 10,04 · 7 g) 76,4 ·9 h) 27,53 · 5

21

Ej.3 Realiza las siguientes multiplicaciones.

a) 5, 2 4 b) 3, 1 6 c) 6 0, 7 2 d) 7, 6 3

x 3, 6 x 4, 7 x 7, 5 x 4, 8

3 1 4 4 1 5 7 2 1 8 8 6 4

e) 9 1, 4 2 f) 1 6, 8 g) 3, 7 5 h) 5, 2 8

x 2, 6 x 1, 7 x 2, 5 x 8, 3

Ej.4 Coloca en columna y multiplica.

a) 1,75 · 3,6 b) 3,45 · 4,2 c) 0,84 · 5,3 d) 3,8 · 4,6

e) 16,8 · 1,7 f) 5,27 · 3,7 g) 1,84 · 7,5 h) 3,65 · 2,5

22

Ej.5 Coloca la coma en estos productos donde corresponda .

a) 23,789 x 13 = 309257 e) 45,37 x 17,6 = 798512

b) 154,327 x 12,36 = 190748172 f) 2,111 x 0,004 = 8444

2.6 DIVISIÓN

Ej.1 Realiza las siguientes divisiones.

a) 9 7 2 b) 3 6 5 c) 1 2 8

- 8 4 8, 5

1 7 - 1 6

1 0 - 1 0 0

d) 2 3 5 e) 8 3 2 f) 1 3 4

Ej.2 Obtén el cociente exacto de las siguientes divisiones

a) 13 : 2 b) 14 : 4 c) 38 : 5 d) 51 : 4

23

e) 7 : 5 f) 13 : 4 g) 25 : 4 h) 91 : 5

Ej.3 Completa las siguientes divisiones.

a) , 8 b) , 4

3, 2 5 2, 7 5

0 0

Ej.4 Realiza las siguientes divisiones.

a) 5 0, 9 4 6 b) 1 8, 6 3 c) 8, 7 5 7

- 4 8 8, 4 9

2 9 - 2 4

5 4 - 5 4 0

24

Ej.5 Realiza las siguientes divisiones.

a) 13,5 : 5 b) 63,44 : 8 c) 45,71 : 7 d) 16,92 : 3

e) 187,4 : 3 f) 501,7 : 9 g) 55,9 : 9 h) 37,4 : 9

Ej.6 Realiza las siguientes divisiones.

a) 45,48 : 12 b) 58,5 : 18 c) 308,52 : 36 d) 56,7 : 12

e) 203,97 : 29 f) 260,01 : 13 g) 1,32 : 16 h) 25,2 : 24

25

3 PROBLEMAS GENERALES

Ej.1 Con una alfombra de un pasillo de 15,75 metros de largo se hacen siete alfombras más pequeñas iguales. ¿Qué longitud tiene cada alfombra?

Ej.2 El túnel ferroviario más largo del mundo mide 33,42 millas. ¿Cuál es su longitud en Kilómetros si una milla equivale a 1,609

kilómetros?

Ej.3 Un grifo puede llenar un depósito de 55 litros en cuatro horas. ¿Cuántos litros vierte cada hora, si el goteo es uniforme? Interpreta el resultado?

26

Ej.5 Una bicicleta cuesta 136 Euros. Si el Euro está a 166,386 pesetas ¿Cuántas pesetas vale la bici?

Ej.6 Si voy a Bélgica y compro un pan que me cuesta 0,86 Euros, 3

cajas de leche a 0,75 Euros la unidad. ¿Cuántas pesetas pagaré?

Ej.7 Concha ha salido de viaje con su familia. Al salir se ha fijado en que el cuentakilómetros del coche marcaba 76.428,3 kilómetros. Al llegar ha visto que marcaba 77.003,6 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros han recorrido?

Ej.8 En el periódico dice que las temperaturas que hubo ayer en mi localidad fueron:

• Máxima: 23,5 grados. • Mínima: 16,4 grados.

27

4 PROBLEMAS GENERALES

Ej.1 Representa en la recta numérica los siguientes números decimales:

2,21; 3,44; -4,5; 6,22

Ej.2 Ordena de mayor a menor los siguientes números decimales utilizando

los signos.

a) 325,003; b) 253,007; c) 253; d) 0,723; e) 352,22; f) 253,47

Ej.3 Escribe todos los números decimales que están comprendidos entre 21,6

y 21,7 y que tienen dos cifras decimales.

Ej.4 Realiza estas operaciones:

28

Ej.5 Completa las frases:

a) Dividir entre 2, es lo mismo que multiplicar por...

b) Multiplicar por 2 es lo mismo que dividir entre...

c) Dividir entre 10 es lo mismo que multiplicar por... d) Multiplicar por 10 es lo mismo que dividir por...

Ej.6 Cuando Nuria camina por el campo da unos pasos de 0,8 metros de

longitud. Ayer, dio un paseo con sus padres y recorrió 7.600 metros. ¿Cuántos pasos dio Nuria?

Ej.7 Completa las siguientes igualdades.

a) 189 milésimas = _____ unidades d) 3 unidades = milésimas

b) 23 centésimas = unidades e) 18 milésimas = unidades

c) 256 centésimas = milésimas f) 84 décimas = unidades

Ej.7 Continúa las series

a) 2,5 2,6 2,7

b) 5,2 5,4 5,6

5 PROBLEMAS GENERALES

29

a) 2,6; b)0,7; c)3,4; d)0,5; e)5,3.

Ej.2 Ordena de menor a mayor los siguientes números decimales:

a) 32,27; b)322,7; c)22,37; d)32,027; d)27,032; e)3,227

Ej.3 Coloca la coma donde corresponda en estos productos:

a) 23,789 · 13 = 309257

b) 154,327 · 12,36 = 190748172 c) 45,37 · 17,6 = 798512

d) 2,111 · 0,004 = 8444

Ej.4 Realiza las siguientes operaciones:

a) 4,5 + 3,4 · 6,78 =

b) 2,34 · 4,5 + 5,6 · 7,81 = c) 34,5 : 1,5 – 1,75 : 0,25 =

Ej.5 Realiza las siguientes divisiones:

a) 20,32 : 3 = b) 347 : 2,25 = c) 3421,12 : 2,19 = d) 9241,3 : 5,48 =

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Ej.7 Elena ha utilizado para forrar sus libros 1,35 metros de un rollo de celo que tenía 6,5 metros. ¿Cuánto celo queda en el rollo?