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Plutarco: siglo I d.C: “Hay una naturaleza espiritual en el ámbar que se emite a través de conductos ocultos frotando su superficie y hace la mismo que la magnetita”

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(1)

Campo eléctrico

Plutarco: siglo I d.C: “Hay una naturaleza

espiritual en el ámbar que se emite a

través de conductos ocultos frotando su

superficie y hace la mismo que la

magnetita”

(2)

Evolución histórica de los fenómenos eléctricos

Tales de Mileto (630 a.c-546 a.c): ámbar (en griego se dice elektron), atraía trozos de plumas tras frotarlo.

William Gilbert (1544-1603): distintos materiales que al frotarlos presentaban propiedades atractivas similares al ámbar, fenómenos eléctricos.

Stephen Gray: La electricidad se transfiere de unos cuerpos a otros si se conectaban con un elemento metálico, la carga se reparte por todo el material conductor. Conductores y aislantes.

Charles du Fay (1698-1739): dos tipos de interacciones atractiva y repulsiva, respecto a este punto Nollet (1700-1770) habló de dos fluidos eléctricos (vítreo y resinoso).

Benjamin Franklin (1706-1790): Un único fluido eléctrico que podía ser positivo o negativo; el cuerpo acumulase o perdiese fluido eléctrico al ser frotado o al ponerse en contacto con un cuerpo cargado.

(3)

Propiedades fundamentales de la carga

:

La carga eléctrica está

cuantizada

y su

unidad más elemental

es la carga

del

electrón

, cualquier carga es un múltiplo entero de la carga del electrón:

1,6.10

-19

C

Existen

dos estados

de electrización,

positivo y negativo

. Mismo signo se

repelen y distinto se atraen.

Principio de conservación de la carga

: “ Cuando un cuerpo cargado

se pone en contacto con otro descargado, la carga del primero se reparte; los

dos cuerpos presentarán el mismo tipo de electricidad y se repelerán”. Es

decir

no se crea ni destruye, simplemente pasa de un cuerpo a

otro con los electrones

.

La

carga eléctrica

es la propiedad de la materia que es la responsable de la

interacción electromagnética.

La

unidad de carga eléctrica

en el S.I es

el culombio

y se define

como la cantidad de carga que atraviesa una sección de conductor cuando

por él pasa una corriente de 1 amperio en 1 segundo.

(4)

Cargas en reposo. Ley de Coulomb

En 1785 Coulomb describe la interacción electroestática con el uso de una balanza de torsión.

“La fuerza con que se repelen o se atraen dos cargas es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (r) que las separa”.

𝐹 = 𝐾

𝑄. 𝑄

´

𝑟

2

𝑢

𝑟

• 𝑢𝑟, vector unitario en la dirección de la recta que une las cargas y su sentido depende del signo relativo de las cargas, coincide con F si es repulsiva y opuesto si es atractiva

• Si las cargas son de distinto signo F será negativa y por ello atractiva.

• K depende del medio, en el vacío su valor es 9.109 Nm2/C2 (no

es una cte universal), pero se suele expresar: 𝐾 = 4𝜋𝜀1

• ε: permitividad del medio o cte dieléctrica, en el vacío ε0=8,9.10-12 C2 /Nm2 . La permitividad relativa ε

r , es la relación

entre su permitividad y la del vacío (ε0). 𝜀 = 𝜀0. 𝜀r ; cuanto más alta es εr , menos intensa es la fuerza entre las cargas en ese medio (a mayor permitividad peor transmisión)

• F: varía conforme al inverso del cuadrado de la distancia, es central y, por tanto, conservativa y tiene un valor que depende del medio.

𝐹 =

1

4𝜋𝜀

0

.

𝑞

1

. 𝑞

2

𝑟

2

𝑢

𝑟

(5)
(6)

Principio de superposición

Si en una región del espacio

existe más de un cuerpo

cargado, al colocar en dicha

región una nueva carga

prueba, la intensidad de la F

electroestática a la que esta

carga se verá sometida será

igual a la suma de las

intensidad de las fuerzas

que ejercerían de forma

independiente sobre ella

cada una de las cargas

existentes.

𝐹

𝑇

= 𝐹

𝑖

= 𝐹

1

+ 𝐹

2

+ 𝐹

3 𝑖

→ 𝐹

𝑇

= 𝐾

𝑞

0

. 𝑞

1

𝑟

12

𝑢

1

+ 𝐾

𝑞

0

. 𝑞

2

𝑟

22

𝑢

2

+ 𝐾

(7)

Ejercicio de aplicación.

En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado tenemos un cuerpo de 5 µC. Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de -2µC que se encuentra en el baricentro del triángulo. ¿Y si el cuerpo que está en el baricentro fuese de +1 C?

B A

C

𝐹 𝐴+𝐵 𝐹 𝐴

𝐹 𝐶

𝐹 𝐵

𝐹

𝑇

= 𝐹

𝑖

= 𝐹

𝐴

𝑖

+ 𝐹

𝐵

+ 𝐹

𝐶

𝐹

𝑇

= 𝐾

𝑞

0

𝑞

𝐴

𝑟

𝐴2

𝑢

𝐴

+ 𝐾

𝑞

0

𝑞

𝐵

𝑟

𝐵2

𝑢

𝐵

+ 𝐾

𝑞

0

𝑞

𝐶

𝑟

𝐶2

𝑢

𝐶

Al ser todas las cargas iguales y estar en los

vértices de un triángulo equilátero, el módulo de la

fuerza es idéntico para las tres cargas.

Son fuerzas de atracción en los tres casos respecto

la carga del baricentro.

Como el vector

𝐹

𝐶

es igual y opuesto a

𝐹

𝐴+𝐵

la

fuerza total será cero.

(8)

Estudio de cargas eléctricas suspendidas (cargas idénticas)

Observa que, sobre cada una de las esferas, actúan

tres fuerzas:

• El peso.

• La tensión de la cuerda.

• La fuerza de repulsión entre las esferas cargadas. El sistema evoluciona hasta que se alcanza el equilibrio, las fuerzas son iguales en cada uno de los ejes.

Por la simetría del sistema, sólo es necesario estudiar una de las cargas:

𝐸𝑗𝑒 𝑋: 𝐹 − 𝑇 sin 𝜃 = 0 → 𝐹 = 𝑇 sin 𝜃 𝐸𝑗𝑒 𝑌: 𝑇 cos 𝜃 − 𝑚𝑔 = 0 → 𝑚𝑔 = 𝑇 cos 𝜃

𝐹

𝑚𝑔 = tan 𝜃 → 𝐹 = 𝑚𝑔 tan 𝜃

Como F es la fuerza de Coulomb y teniendo en cuenta relaciones trigonométricas: r

𝐹 = 𝐾𝑄1𝑄2

𝑟2 = 𝐾

𝑄2 𝑟2

r= 2𝑑 sin 𝜃

𝑚𝑔 tan 𝜃 = 𝐾 𝑄2

𝑟2 → 𝑚𝑔 tan 𝜃 = 𝐾

(9)
(10)

Carga unida a un muelle

Sea un sistema formado por dos cargas Q y q. La carga Q está fija (será nuestro origen) y la carga q está unida al extremo de un muelle de constante k.

• Cuando no hay cargas la posición del extremo del muelle sin deformar respecto del origen O es x0.

• Cuando las cargas son del mismo signo, se repelen y la carga q se aleja de la carga fija Q. x>x0 (figura representada)

• Cuando las cargas son del distinto signo, se atraen y la carga q se acerca a la carga fija Q. x<x0.

La posición de equilibrio de la carga q es aquella en la que la fuerza de atracción o repulsión entre las cargas (Fe ) compensa con la fuerza que ejerce el muelle (Fm )

F

e

=

F

m

1

4𝜋𝜀

0

𝑄𝑞

(11)

El campo electroestático

Faraday introduce por 1ª vez el concepto de campo y de líneas de campo:

Interacciones entre cargas y propagación de la perturbación.

Las fuerzas actúan sobre puntos contiguos y nunca a distancia.

La interacción entre cuerpos no podía ser instantánea (efecto dominó).

Su definición no es la que se utiliza actualmente.

(12)

Intensidad del campo eléctrico

Para definir el campo debemos utilizar magnitudes que

sólo dependan de la carga

que lo origina y de la posición. Para ello introducimos la magnitud intensidad de

campo eléctrico (𝐸).

Se define intensidad de campo eléctrico (𝐸), en un punto como la fuerza que el

cuerpo de carga Q ejerce por cada unidad de carga testigo positiva (Q

) situada

en ese punto:

𝐸 =

𝐹

𝑄′

,

N/C 𝐸 =

𝐹 𝑄′ =

𝐾. 𝑄. 𝑄′ 𝑟2 𝑢𝑟

𝑄′ → 𝐸 = 𝐾

𝑄 𝑟2𝑢𝑟

De la expresión que obtenemos se deduce:

El valor

𝐸,

disminuye con la distancia y

al estar el vector unitario

𝑢

𝑟

, podemos

afirmar que:

𝐸

es un vector de dirección radial.

Si la carga puntual Q es +, el sentido

de

𝐸

es hacia fuera (

𝐸 𝑦 𝑢

𝑟

, misma

dirección y sentido), si es – se dirige

(sentido) hacia la carga (

𝐸 𝑦 𝑢

𝑟

,

misma dirección pero sentidos

opuestos).

Nota: la carga testigo Q’ debe ser

infinitesimalmente pequeña para evitar perturbaciones en el campo a

medir.

𝐸 = lim

𝑄′→0

(13)

El sentido de 𝐸 coincidirá con el sentido de movimiento que adquiriría una carga testigo positiva colocada en reposo en un punto del campo (ver diapositiva anterior). También se deduce de la relación entre fuerza y campo: 𝐹 = 𝑄′. 𝐸 ∶

• Si Q’ >0, la F que actuaría sobre ella tiene el sentido del campo y por tanto la carga

Q’ se aleja de Q.

• Si Q’<0 la fuerza y la intensidad de campo tienen sentidos opuestos y la carga Q’ se

acerca a Q.

Este hecho nos permite separar partículas + y – por simple aplicación de un

campo:

(14)

Campo creado por una distribución de cargas puntuales

Si existe una distribución de cargas puntuales, el principio de superposición, establece que la

𝐸Total será la suma vectorial del campo creado individualmente por cada una de las cargas puntuales.

𝐸𝑇 = 𝐾 𝑄1

𝑟12 𝑢𝑟1 + 𝐾

𝑄2

𝑟22 𝑢𝑟2 + 𝐾

𝑄3 𝑟32 𝑢𝑟3

𝐸𝑇 = 𝐸𝑖 = 𝐾. 𝑄𝑖 𝑟𝑖2 𝑖

𝑖

𝑢𝑟𝑖

.

(15)

Sea un punto de la bisectriz del eje del dipolo. Según el principio de superposición, el campo eléctrico en ese punto es la suma vectorial de los dos campos creados por cada carga individual:

Como ambas cargas son de igual magnitud se cumple:

• Las componentes y se anulan.

• Las componentes x son iguales: 𝐸+,𝑥 = 𝐾.𝑟𝑞2cos 𝜃 ; 𝐸−,𝑥 = 𝐾.𝑟𝑞2cos 𝜃 De la gráfica se deduce:

cos 𝜃 = 𝑑 2 𝑟

Si sustituimos: 𝐸𝑇,𝑝 = 𝐾. 𝑞

𝑟2 𝑑 2 𝑟 + 𝐾. 𝑞 𝑟2 𝑑 2 𝑟 = 𝐾 𝑞. 𝑑 𝑟3

Como: 𝑟2 = 𝑦2 + 𝑑

2

2 𝐸𝑇,𝑃 = 𝐾.

𝑞. 𝑑

𝑦2 + 𝑑2 2 3

2

Si consideramos que el punto P está muy alejado del eje que separa el dipolo, y>>d/2

𝐸𝑇,𝑃 = 𝐾𝑞. 𝑑 𝑦3

• El campo depende de inversamente del cubo de la distancia de la carga al punto.

• Al producto q.d se le denomina momento dipolar (𝜇 ); 𝜇 = 𝑞. 𝑑 ; es un vector en la dirección de la línea que une las cargas y el sentido va de la carga – a la +. La unidad es el debye; 1 D = 3,34 x 10-30 Culombio x m

• En moléculas covalentes existen enlaces polares, su momento dipolar da una idea de la separación de las cargas y con ello del carácter iónico. Hacia el más EN

(16)

Campo en un punto de la línea que une las cargas del dipolo

Sea un punto P a una distancia r de la carga + del dipolo (distancia entre cargas, d):

• El campo creado por Q+ será: 𝐸

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝐾𝑟𝑄2𝑢𝑝

• El campo creado por Q- será: 𝐸

𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡 = 𝐾 𝑟+𝑑𝑄 2𝑢𝑝

• El vector 𝑢𝑝 es un vector unitario en el sentido del momento dipolar eléctrico (𝝁 𝒐 𝒑).

• Aplicando el principio de superposición:

𝐸 = 𝐸𝑃 + 𝐸𝑛 = 𝐾 𝑄

𝑟2𝑢𝑝 − 𝐾

𝑄

𝑟 + 𝑑 2 𝑢𝑝 = 𝐾𝑄

𝑟2 + 𝑑2 + 2𝑟𝑑 − 𝑟2 𝑟2 𝑟 + 𝑑 2 𝑢𝑝

= KQd 𝑑 + 2𝑟

𝑟2 𝑟 + 𝑑 2 𝑢𝑝

Suponiendo que d <<r, se obtiene:

𝐸 = KQd

2𝑟

𝑟

4

𝑢

𝑝

=

(17)

Acción de un campo eléctrico sobre un dipolo

Supongamos un campo eléctrico uniforme en el que situamos un dipolo eléctrico.

La acción del campo genera la

aparición de sendas fuerzas (

𝐹 =

𝑄. 𝐸

), de la misma dirección que E

pero sentidos opuestos, el del campo

para la carga positiva y contrario al

campo en la negativa.

Se ha generado un par de fuerzas

cuyo momento (

𝑀

) hace girar al

dipolo, de manera que su momento

dipolar (

𝑝 𝑜

𝜇

) tenga la misma

dirección y sentido que el campo

aplicado.

(18)

Energía asociada al campo eléctrico

Trabajo debido a las fuerzas electroestáticas: Cuando una carga q se mueve en el seno de un E, creado por Q, se realiza W, ya que el desplazamiento es debido a la F electroestática

Como F varía con la distancia, usamos el cálculo integral:

𝑊𝐴→𝐵 = 𝐹 . 𝑑𝑟 = 𝐾𝑄. 𝑞 𝑟2 . 𝑢𝑟 𝐵

𝐴 𝐵

𝐴 . 𝑑𝑟 =

𝐾. 𝑄. 𝑞 𝑟2 . 𝑑𝑟 𝐵

𝐴

𝑊𝐴→𝐵 = 𝐾𝑄𝑞 1

𝑟2𝑑𝑟 == −

𝐾𝑄. 𝑞 𝑟𝐵 + 𝐾𝑄. 𝑞 𝑟𝐴 𝐵 𝐴

Al igual que en el campo gravitatorio el campo electroestático es conservativo, si la trayectoria fuese cerrada el W=0.

Hechos a tener en cuenta:

• La F electroestática es una fuerza central, al estar dirigida hacia un punto denominado centro.

• Su módulo depende de la distancia al centro.

• 𝑢𝑟 es un vector unitario en la dirección y sentido de 𝑟

El trabajo eléctrico de una fuerza eléctrica siempre será positivo salvo que

intervenga alguna fuerza externa que provoque un desplazamiento

(19)

Energía potencial eléctrica: Al ser conservativo el campo eléctrico se define la energía potencial de manera que: 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = −∆𝐸𝑝 = 𝐸𝑝 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝐸𝑝 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

Como:

𝑊

𝐴→𝐵

= 𝐾𝑄𝑞

1

𝑟

2

𝑑𝑟 == −

𝐾𝑄. 𝑞

𝑟

𝐵

+

𝐾𝑄. 𝑞

𝑟

𝐴

= −𝐸

𝑝𝐵

+ 𝐸

𝑝𝐴

= −∆𝐸

𝑝 𝐵 𝐴

La Energía potencial eléctrica es aquella que tiene una determinada carga por encontrarse bajo la influencia electroestática de otra u otras cargas.

Desde el punto de vista físico podemos definir la energía potencial eléctrica como el W realizado por las F del campo para trasladar una partícula cargada desde un punto hasta otro fuera del campo (FE=0, se cumple si r ∞, por lo que la Ep =0), con velocidad constante. Se mide en julios (J)

𝑊 𝑖→∞ = 𝐹 . 𝑑𝑟 = −𝐾. 𝑄. 𝑞 𝑟 + 𝐾. 𝑄. 𝑞 𝑟𝑖 = 𝐾. 𝑄. 𝑞 𝑟𝑖 = 𝐸𝑝𝑖 ∞ 𝑖

𝐸

𝑝

=

𝐾. 𝑄. 𝑞

𝑟

• Si las dos cargas tienen el mismo signo, la Ep será +, las F no pueden traer una carga del mismo signo que la que crea el campo, desde fuera del campo hasta un punto del mismo, habría que hacer un W desde el exterior, que se almacena como aumento de la Ep.

(20)

Energía potencial de un sistema de partículas

Si el sistema está formada por más de dos cargas, la energía potencial

del sistema se obtiene calculando la energía potencial entre cada par de

cargas (una sola vez) y sumando algebraicamente los resultados

obtenidos.

𝐸

𝑝𝑇

= 𝐾

𝑄

𝑖

. 𝑄

𝑗

𝑟

𝑖𝑗

𝑖≠𝑗

𝑖,𝑗

(21)

Diferencia de energía potencial

Un cuerpo de carga q situado en un campo electroestático creado por otra carga Q, tendrá una Ep que dependerá del punto donde se encuentre, al desplazarse desde un punto A a otro B:

𝑊

𝑖→𝑓

= −

𝐾𝑄𝑞

𝑟𝑓

+

𝐾.𝑄.𝑞

𝑟𝑖

= − 𝐸

𝑝𝑓

− 𝐸

𝑝𝑖

(22)

Conservación de la energía mecánica en un campo electroestático

Del teorema de las fuerzas vivas:

𝑊𝑖→𝑓 = 𝐹 . 𝑑𝑟 = 𝑚. 𝑎 𝑓

𝑖

. 𝑑𝑟 = 𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡 . 𝑑𝑟 = 𝑚. 𝑑𝑣 . 𝑑𝑟

𝑑𝑡 = 𝑚. 𝑣 . 𝑑𝑣 →

𝑓

𝑖 𝑓

𝑖 𝑓

𝑖 𝑓

𝑖

𝑊𝑖→𝑓 = 𝑚. 𝑣. 𝑑𝑣 →

𝑓

𝑖 𝑊𝑖→𝑓 =

1

2𝑚𝑣2𝑓 − 1

2𝑚𝑣2𝑖 = ∆𝐸𝑐

Como el trabajo total: 𝑊𝑖→𝑓= 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣 + 𝑊𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣 Por ser campo

conservativo : 𝑊𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣=0 Como: 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣 = −∆𝐸𝑝 → ∆𝑬𝒄 = −∆𝑬𝒑

𝑬

𝑪𝒇

+ 𝑬

𝒑𝒇

= 𝑬

𝒄𝒊

+ 𝑬

𝒑𝒊

= 𝑬

𝒎

(23)

Aplicación: Sean dos cargas eléctricas puntuales de valor q1=-5nC y q2=3nC separadas una distancia de 7 cm. Sean dos puntos A y B situados sobre el segmento definido por las dos cargas, el primero de ellos a 1 cm de la carga -; y el segundo a 1 cm de la carga +. Si se aban dona en reposo un electrón en el punto A, calcula su velocidad cuando pasa por B.

Datos: Me=9,1.10-31 Kg y la carga del e-=-1,6.10-19 C

- +

q1=-5nC A B q2= 3nC

1 cm 1 cm

7 cm

El e- va de A hasta B por acción de fuerzas electroestáticas ejercidas por las dos cargas,

suponiendo que es la única interacción posible, se conserva la energía mecánica:

𝐸𝑐𝐴 + 𝐸𝑝𝐴 = 𝐸𝑐𝐵 + 𝐸𝑝𝐵 1

2𝑚𝑣2𝐴 + 𝐾.

𝑞1. 𝑒

𝑑1𝐴 + 𝐾 𝑞2.𝑒 𝑑2𝐴 =

1

2𝑚𝑣2𝐵 + 𝐾.

𝑞1. 𝑒

𝑑1𝐵 + 𝐾 𝑞2.𝑒 𝑑2𝐵

Como vA=0, se abandona en reposo y sustituyendo el resto de valores (S.I ), nos queda:

𝑣𝐵 = 6,48. 10−16 + 3,12. 10−16

(24)

Potencial eléctrico

Desde un punto de vista energético una carga Q origina un campo eléctrico, que se pone de manifiesto al colocar otra carga , q, en un punto del mismo, adquiriendo este una Ep. Una energía que dependía de las cargas de los dos cuerpos.

Podemos definir una nueva magnitud, el potencial eléctrico (V), en un punto, como la

energía potencial que le correspondería a la unidad de carga testigo positiva (q) colocada en ese punto. 𝑉 = 𝐸𝑞𝑝 → 𝑉 = 𝐾.𝑄𝑟 ; S.I  julios/culombios = voltios

Físicamente se define como el W que realizan las F del campo para llevar la unidad de carga desde ese punto hasta fuera del campo con velocidad constante. El potencial fuera del campo (infinito) será cero y en el interior dependerá del signo de la carga:

• Si Q es +, el potencial es +, ya que para traer la unidad positiva de carga desde fuera del campo hasta el interior habrá que hacer un W en contra de las fuerzas del campo.

• Si Q es -, el potencial es -, son las fuerzas del campo las que realizan el W.

Potencial en un punto debido a un sistema de cargas puntuales:

𝑉𝑇 = 𝑉𝑖 = 𝐾 𝑄𝑖 𝑟𝑖

𝑛

(25)

Diferencia de potencial

La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos es igual y de signo contrario al trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar la unidad positiva de carga

entre esos dos puntos, esa diferencia de potencial dependerá del signo de la carga que crea el campo y si nos alejamos o acercamos a esa carga, suponemos que no varía su Ec.

𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 𝐾𝑄 1 𝑟𝐵 − 1 𝑟𝐴 𝑊𝐴→𝐵 = 𝐹 . 𝑑𝑟 = −∆𝐸𝑝 → 𝑊𝐴→𝐵 𝑞 = 𝐹 𝑞 𝐵 𝐴 . 𝑑𝑟 = −∆𝐸𝑝 𝑞 𝐵 𝐴 = −∆𝑉

En general podemos concluir, para un campo electroestático

Nota: el

electronvoltio (eV) es la energía que adquiere un e- cuando es

acelerado mediante una diferencia de potencial de 1 voltio.

(26)
(27)

𝑊𝐴→𝐵 = 𝐹 . 𝑑𝑟 = −∆𝐸𝑝 → 𝑊𝐴→𝐵 𝑞 = 𝐹 𝑞 𝐵 𝐴 . 𝑑𝑟 = −∆𝐸𝑝 𝑞 𝐵 𝐴 = −∆𝑉 → ∆𝐸𝑝 = 𝑞. ∆𝑉

De la anterior expresión:

𝐸

𝐸. 𝑑𝑟

𝐵 𝐴

= −∆𝑉

En una región en la que el campo eléctrico sea constante, esta expresión nos queda como: 𝐸. ∆𝑟 = −∆𝑉 , esta situación se da entre dos placas (zonas) cargadas con cargas iguales pero signos opuestos.

Nota: Entre dos placas de un condensador, las cargas + se mueven

espontáneamente en el sentido del campo, y las negativas , en el sentido opuesto al campo.

∆𝑉 = 𝐸. 𝑑

Conclusiones:

El vector campo tiene el sentido de los potenciales decrecientes.

Una carga + se mueve espontáneamente en el sentido de potenciales decrecientes.

La carga – se mueve espontáneamente en el sentido de potenciales crecientes.

• La relación entre campo y potencial viene dada porque el campo es igual al gradiente (negativo) del potencial 𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉 = −𝑑𝑉𝑑𝑦 (ver dibujo)

Si se abandona una carga en reposo en un punto de un campo electrostático, se acelera ganando energía cinética. Este incremento de su energía cinética coincide con la disminución de su energía potencial, ∆𝐸𝑐 = −∆𝐸𝑝 , (conservación de la energía, campo conservativo).

(28)

Representación del campo electroestático

Líneas de campo o líneas de fuerza: son líneas imaginarias tangentes al vector intensidad de campo en cada punto del espacio.

Un campo eléctrico podrá representarse:

• Módulo: mediante el número de líneas de campo por unidad de superficie colocada perpendicularmente (densidad de líneas de campo).

• Dirección: La de la tg a la línea de campo en cada punto.

• Sentido: mediante flecha colocada en la línea de campo que indique el sentido de la fuerza que ejercería sobre una carga testigo positiva colocada en dicho punto.

Propiedades

• Las cargas + son manantiales y las – son sumideros.

• No se pueden cortar dos líneas de fuerza, en ese punto existirían dos valores para la intensidad de campo, lo cual es imposible, ya que la intensidad del campo tiene un valor único en cada punto. En el caso de la imagen, difieren en la dirección del vector intensidad de campo (tg).

• El nº de líneas que salen o entran es proporcional al valor de dicha carga.

(29)
(30)

Superficies equipotenciales

Regiones del espacio para las cuales el potencial eléctrico tiene el mismo valor. Por ello el trabajo necesario para desplazar una carga de un punto a otro de la superficie equipotencial será nulo. 𝑊𝑖→𝑓 = −∆𝐸𝑝 = − 𝑞𝑉𝑓 − 𝑞𝑉𝑖 = 0

• Las superficies equipotenciales no se pueden cortar, en el pto de corte, el potencial tendría dos valores distintos, lo cual es imposible.

(31)

La figura adjunta representa las superficies equipotenciales en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico uniforme. Determina el vector campo eléctrico y dibuja las líneas de campo eléctrico. ¿Qué trabajo se realiza al trasladar un electrón desde el punto A hasta el punto B de la figura?

Las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales y tienen el sentido del potencial decreciente, por lo que su sentido es el de la parte positiva del eje X. Como las superficies equipotenciales están uniformemente espaciadas, el campo

eléctrico es uniforme en esa región.

𝐸. ∆𝑟 = −∆𝑉 → E = − 40 − 50 0,05 =

200𝑁 𝐶 𝑜

𝑉 𝑚

De manera vectorial: 𝐸 = 200𝑖 V/m

𝑊𝐴→𝐵 = −𝑞. ∆𝑉 = − −1,6. 10−19. 10 − 50 = −6,4. 10−19𝐽𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠

Hace falta una fuerza exterior que haga ese trabajo, el proceso no es espontáneo

Nota: recordar que las cargas negativas se desplazan hacia potenciales crecientes.

Nota: Al avanzar según el eje x, el vector campo tiene el mismo sentido y

dirección que el

(32)

Un electrón se deja en reposo en el origen de coordenadas donde actúa un campo

eléctrico uniforme de intensidad 𝐸 = −400𝑖 𝑁/𝐶 . Determina la diferencia de potencial entre el origen de coordenadas (supondremos cero voltios) y el punto A (5,0) cm. Calcula la velocidad del electrón cuando pasa por el punto A. Datos: me= 9,1.10-31 kg.

El desplazamiento va desde el origen hasta el punto (5,0) en sentido contrario al campo aplicado.

𝐸 = −∆𝑉

∆𝑟 ; −400 = − ∆𝑉

0,05 → ∆𝑉 = 20 𝑉

Al ir el campo en el sentido de los potenciales decrecientes el potencial en A será mayor que en el origen (consideramos en el origen un potencial cero), el potencial en A será 20 voltios.

Al ser conservativo ∆𝐸𝐶 = −∆𝐸𝑝 → 𝐸𝐶𝐴 = −𝑞𝑒. ∆𝑉

1

2𝑚𝑣𝐴

2 = −𝑞

(33)

Cargas en el seno de campos uniformes

Cargas suspendidas en campos eléctricos uniformes:

Para un cuerpo cargado que cuelga de un hilo en el interior de un

campo eléctrico uniforme, este genera una fuerza que desplaza el

cuerpo cargado un ángulo θ respecto la vertical.

En el equilibrio:

𝐹 = 0

Para el eje vertical:

𝑇 cos 𝜃 = 𝑃 = 𝑚𝑔

Para el eje horizontal:

𝑇 sin 𝜃 = 𝐹

𝐸

= 𝑞. 𝐸

(34)

Movimientos de partículas cargadas en campos uniformes

Dependiendo de la relación entre la dirección y el sentido del campo y la dirección y el sentido de la velocidad se dan distintas situaciones.

Campo eléctrico paralelo al desplazamiento inicial de la carga: Un campo eléctrico de intensidad 𝐸 ejerce sobre una partícula cargada, de carga q , una fuerza 𝐹 .Esta fuerza produce una aceleración 𝑎 . El resultado es que si la carga es positiva se verá sometido a un mrua (al moverse en el sentido del campo) y si es negativa, decelerado (sentido contrario al campo), pudiendo llegar a pararse si el desplazamiento es muy prolongado y cambiar su sentido de movimiento.

𝐹 𝐸 = 𝑞. 𝐸 = 𝑚. 𝑎 → 𝑎 = 𝑞. 𝐸

𝑚 𝑣 = 𝑣 0 +

𝑞. 𝐸 𝑚 . 𝑡

Otra forma de tratarlo: Al desplazarse la q, en la dirección del campo una distancia r se realiza un W. Como

𝑊 = 𝐹 . 𝑑𝑟 → 𝑊 = 𝑞. 𝐸. 𝑑𝑟 → 𝑊 = 𝑞. 𝐸. 𝑟 (al ser 𝐸 𝑐𝑡𝑒)

1

2𝑚𝑣2𝑓 − 1

2𝑚𝑣2𝑖 = 𝑞. 𝐸. 𝑟 → 𝑣𝑓2 = 𝑣𝑜2 +

(35)

Movimiento de partículas cargadas que inciden perpendicularmente al campo.

En este caso tendrá un movimiento bidimensional, la carga + tendrá un movimiento uniforme en la dirección que tenía su velocidad inicial ( 𝑣𝑜𝑖 ) y uniformemente acelerado en la dirección del campo

𝐸𝑘 (similar al tiro

horizontal) + ++ ++++++++++++++++++++

---

𝑄. 𝐸 = 𝑚𝑎𝑧

Al entrar en la región, actúa una F perpendicular a su trayectoria inicial, 𝐹𝑧 = 𝑄. 𝐸

𝑎𝑧 = 𝑄. 𝐸 𝑚

Su movimiento en el eje x será: 𝑥 = 𝑣𝑜𝑡

Su movimiento en el eje z será:

𝑧 = 12𝑎𝑧. 𝑡2 = 𝑄.𝐸 2𝑚 𝑡2

z=

2𝑚𝑣𝑄.𝐸

(36)

Teorema de Gauss. Introducción

Hasta ahora:

Hemos supuesto que el campo lo crea un punto material.

Correcto para puntos muy alejados del elemento que crea el campo,

respecto el tamaño del cuerpo que creaba ese campo.

En este punto:

El tamaño no es despreciable respecto las distancias trabajadas.

Calculamos el campo en zonas que están dentro del cuerpo que crea el

campo o próximas a él.

Son campos creados por una distribución continua de carga que tienen una

simetría sencilla (esferas, barras, planos…)

El

teorema de Gauss

nos permite calcular el campo y el potencial creado

por distribuciones continuas de carga en cualquier punto del espacio y en

el interior del cuerpo que crea el campo.

Para su estudio es necesario estudiar el

concepto de flujo

.

(37)

Flujo del campo eléctrico

El flujo del campo eléctrico se define

como la cantidad de líneas de campo que

atraviesan una superficie S por unidad de

tiempo.

Esta definición encierra dos ideas fundamentales.

• Número de líneas de fuerza: proporcional al campo aplicado.

• Superficie: Toda superficie puede representarse mediante un vector

𝑆 perpendicular ella y cuyo módulo es el área, sentido de la parte cóncava a la convexa (hacia fuera de la curvatura)

Como se aprecia en la figura anterior, el

número de líneas de campo que atraviesan

una determinada superficie depende de la orientación de esta última con respecto a las líneas de campo. Por tanto, el flujo del campo eléctrico debe ser definido de tal modo que tenga en cuenta este hecho.

Máximo (perpendicular a l a la superficie)

Nulo (paralelo a la superficie)

Para un campo uniforme se define como el producto escalar: Φ = 𝐸. 𝑆 𝑁𝑚2/𝐶

De forma general el flujo será:

Φ = 𝐸. 𝑑𝑆

𝑆

(38)

Teorema de Gauss

El flujo neto que atraviesa una superficie que se sitúa en el interior de un campo depende de la carga encerrada por dicha superficie

Suponemos una carga puntual y que la superficie de Gauss es una esfera con centro en dicha carga.

Φ = 𝐸. 𝑑𝑆 = 𝐸. cos 𝜃. 𝑑𝑆

𝑆

𝑆 = 𝐸. 𝑑𝑆 = 𝐸. 𝑆𝑆 A la distancia r todos tienen el mismo E por lo que es constante.

𝐸 = 𝐾.𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟2 =

1 4𝜋𝜀

𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑟2 Sustituyendo:

Φ = 1 4𝜋𝜀

𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑟2 . 4π𝑟2 → Φ =

𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝜀

(39)

El resultado es independiente del tamaño de la esfera, e independiente de la superficie que elijamos, el número de líneas que salen es el mismo independientemente de que sea un cubo, esfera o superficie irregular

Cálculo de campos eléctricos a partir del teorema de Gauss:

• Se elige la superficie cerrada, de modo que el campo sea perpendicular a ella.

• Se calcula el flujo con la expresión: Φ = 𝐸. 𝑑𝑆 𝑆

• Se iguala el flujo obtenido a la expresión del teorema de Gauss.

Se tratarán distintos casos:

• Campo electroestático creado por un conductor esférico cargado en equilibrio.

• Campo creado por un hilo infinito cargado de manera uniforme.

• Campo eléctrico creado por una superficie plana infinita cargada de manera uniforme.

(40)

Campo electroestático creado por un conductor esférico cargado en equilibrio

Cuando se comunica una carga a un conductor las cargas se redistribuyen y se suelen situar en su parte más exterior y en posiciones equidistantes, está en equilibrio porque las cargas se repelen por igual, sería como si fuese una esfera hueca con cargas en el exterior.

Situaciones posibles:

Campo en un punto dentro del conductor (r<R), cualquier superficie de gauss que elijamos en el interior obtendremos que el flujo es cero, ya que no existe carga en el interior. Como Φ =

𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

𝜀𝑜 y Φ = 𝐸. 𝑑𝑆 𝑆 , el campo E será nulo.

Campo en un punto fuera del conductor (r>R), cualquier superficie gaussiana que elijamos,

𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 será = carga total (QT), la situación sería como un punto material situado en el centro de la esfera que contiene toda la carga de la misma, el campo será: 𝐸 = 𝐾.𝑟𝑄2𝑢𝑟, el vector unitario tendrá la dirección y sentido del radio.

(41)
(42)

Campo creado por un hilo infinito cargado de manera uniforme

El objetivo es calcular el campo en un punto a una distancia r, al ser suficientemente larga podemos despreciar los efectos de las cargas en los bordes del hilo.

La superficie gaussiana sería el cilindro dibujado de radio r.

𝐸. 𝑑𝑠 = 𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

𝜀 𝐸. 𝑑𝑠 = 𝐸. 𝑑𝑠 𝑆

𝐿

+ 𝐸. 𝑑𝑠

𝑆𝐴

+ 𝐸. 𝑑𝑠

𝑆𝐵

En las bases E y S son perpendiculares (90º), las integrales serían cero. En la superficie lateral son paralelos (0º), quedaría: 𝐸. 𝑑𝑆𝑆

𝐿 = 𝐸. 𝑆𝑙𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝐸. 2𝜋𝑟. 𝐿

Nota: al estar r a la misma distancia E es constante, L sería la longitud del nuestro hilo.

Nos quedaría: 𝐸. 2𝜋𝑟. 𝐿 = 𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

𝜀 → 𝐸 =

𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 2𝜋𝑟𝐿𝜀

(43)

Campo eléctrico creado por una superficie plana infinita cargada de manera uniforme.

Suponemos que su tamaño es muy grande en comparación con la distancia a la que se encuentran los puntos donde vamos a calcular el campo, por ello podremos ignorar los efectos de las cargas en los bordes. Para calcular el E en un pto próximo encerramos un fragmento de la misma en un cilindro

𝐸. 𝑑𝑠 = 𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝜀

Igual que antes tendremos el área de las bases y lateral.

En el lateral los vectores son perpendiculares, por lo que la integral será cero, y en las bases son paralelos, habría dos bases, al ser un cilindro la superficie gaussiana, SA= SB

𝐸. 𝑑𝑠 = 𝐸. 𝑑𝑠

𝑆𝐿 + 𝐸. 𝑑𝑠 𝑆𝐴 + 𝐸. 𝑑𝑠 𝑆𝐵 → 𝐸. 𝑑𝑠 = 2. 𝐸. 𝑆á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

Igualando y despejando el valor del campo: 𝐸 = 𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

2𝜀 .

1 𝑆á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

Definiendo la densidad de carga por unidad de superficie: 𝜎 = 𝑄𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎𝑆 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 →

𝐸 =

1

2𝜀

. 𝜎

(44)

Campo eléctrico creado por dos láminas infinitas planas, paralelas y con idéntica densidad de carga pero opuesta.

La forma más sencilla de un condensador consiste en dos placas metálicas muy cercanas entre sí con cargas q en una y -q en la otra. Este tipo de condensador se denomina plano-paralelo.

El módulo del campo eléctrico creado por cada una de las placas del condensador, como se ha visto en el ejemplo anterior, venía dado por:

𝐸 =

1

2𝜀

. 𝜎

Por tanto, en el exterior del condensador el campo es nulo y en el interior su módulo es el doble del campo que crearía una sola de las placas:

𝐸 =

𝜎

Referencias

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