Coordinación General del Sistema para la Innovación del Aprendizaje

(1)

1

Universidad de Guadalajara

Centro Universitario de los Valles

Campus Ameca

Curso:

“

Precalculo I

”

INNOVACIÓN PARA EL APRENDIZAJE

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

Coordinación General del Sistema

para la Innovación del Aprendizaje

G u í a

(2)

Dr. Víctor Manuel González Romero

Rector general de la

Universidad de Guadalajara

Dr. Misael Gradilla Damy

Vicerrector Ejecutivo de la

Universidad de Guadalajara

Mtro. José Trinidad Padilla López

Secretario General de la

Universidad de Guadalajara

Dr. Adolfo Espinoza de los Monteros Cárdenas

Coordinador Ejecutivo del

Centro Universitario de los Valles

Dr. Víctor Manuel Rosario Muñoz

Secretario Académico del

Centro Universitario de los Valles

Dr. Juan Manuel de Santos Ávila

Coordinador General del Sistema

Para la Innovación del Aprendizaje

Mtro. Manuel Moreno Castañeda

Coordinador de Diseño Instruccional

Y Ambiente de Aprendizaje

(3)

3

Universidad de Guadalajara

Centro Universitario de los Valles

Campus Ameca

Contenidos:

Mat. Laura Verónica Mendoza Sanchez

Supervisión técnico-pedagógica:

Adriana Tiburcio

J. Guadalupe Pérez Mares

Edición:

Ileana Martínez Castillo

Corrección de estilo:

Jaime Larios K.

Curso:

“

Precalculo I ”

Coordinación General del Sistema para la

Innovación del Aprendizaje

2000

Guía

INNOVACIÓN PARA EL APRENDIZAJE

(4)

PAGINAS

Introducción 5

Unidad 1

Conceptos Fundamentales de Álgebra 12

Unidad 2

Polinomios 13

Unidad 3

Ecuaciones 14

Unidad 4

Funciones Polinomiales y Gráficas 16

Unidad 5

Geometría Analítica 18

Unidad 6

Funciones Exponenciales y Logarítmicas 20

Unidad 7

Sistema de Ecuaciones Lineales 21

Unidad 8

Trigonometría 22

(5)

5

INTRODUCCIÓN

Ésta guía se diseñó para tí alumno de la Lic. en Informática del Centro Universitario Valles, el objetivo principal al escribirla es que tu como estudiante la puedas leer, comprender y valorar sabiendo que te ayudará a una mejor asimilación y por consiguiente aplicación de cada uno de los tópicos vistos en la materia de precálculo, de tal forma que al finalizar el curso hayas reunido las herramientas necesarias para resolver el caso integrador, es decir, una actividad final en la cual se precisan y conjuntan los conocimientos que adquieras a través de todas las unidades tratadas en este curso.

Nadie aprende matemáticas sólo observando, hay que leer, comprender, y sobretodo, practicar, y mientras más ejercicios practiques y más problemas resuelvas, tu acondicionamiento mental será mejor y podrás enfrentarte a nuevos retos, como cursos posteriores a los cuales llevarás buenas bases matemáticas y aun más allá, en tu vida profesional, donde podrás relacionar algunos problemas con planteamientos matemáticos.

No está por demás recordarte que sólo a tí beneficia la honestidad que sé pondrás en la elaboración de trabajos que se te encomienden a lo largo del curso, si tienes dudas contarás con un asesor al cual acudirás para poder avanzar en el logro de objetivos.

Toda obra humana está al margen de la perfección, por eso las sugerencias y críticas constructivas serán bienvenidas, siempre que contribuyan a mejorar la presente guía.

Este curso de Precálculo abarca tres ramas de la matemática: álgebra, geometría analítica y trigonometría.

OBJETIVO GENERAL.

(6)

PERFIL.

Al terminar el curso podrás identificar y resolver problemas que se te presenten utilizando conceptos y teoremas fundamentales de álgebra, trigonometría o geometría analítica.

La guía consta de

:

UNA ACTIVIDAD PRELIMINAR. Aquí nos daremos cuenta de tus bases y de los alcances que llegarás a tener pues dicha actividad consta de problemas que deberás poder resolver al finalizar el curso. También tiene una sección de ejercicios que podrás autoevaluar y después corregir las pequeñas deficiencias que pudieras tener.

Todos los problemas fueron extraídos de tu libro de texto.

LECTURAS. Las lecturas te ayudarán a una mejor comprensión de los temas para que así puedas abordar las secciones de ejercicios. La mayoría de lecturas son de tu libro de texto de no ser así se te especificará el libro al cual te debes remitir. Búscalo en la bibliografía.

Conforme avances en las lecturas deberás ir completando un glosario del curso.

Se representan con el icono .

EJERCICIOS O PROBLEMAS SUGERIDOS. Estas secciones vamos a llamarlas de acondicionamiento mental, te servirán para prepararte paso a paso de tal forma que cada vez puedas resolver problemas de mayor reto.

Los ejercicios serán de tu libro de texto a menos que se especifique algún otro.

Reconocerás ésta sección con el icono .

EJERCICIOS OBLIGATORIOS. Estos ejercicios son llamados obligatorios porque deberás entregarlos en las fechas estipuladas.

Los ejercicios serán de tu libro de texto y algunos otros contenidos en esta guía.

(7)

7

El icono usado para este punto es

.

ACTIVIDAD INTEGRADORA. A lo largo del manual encontrarás actividades integradoras que deberás resolver y entregar cuando este estipulado. El resolver estas actividades te servirá para que al final puedas resolver el caso integrador.

Se usará este icono para identificarla

.

(8)

ACTIVIDAD PRELIMINAR

INSTRUCCIONES.

1. Lee cada uno de los problemas.

2. Trata de resolver el mayor número posible de ellos, si no puedes llegar a la solución de alguno o varios no te preocupes recuerda que al finalizar el curso podrás resolverlos todos. ☺

3. En aquellos ejercicios que pudiste obtener una solución identifica que área de la matemática utilizaste para resolverlos. En los que no llegaste a obtener la solución escribe a cuál área te imaginas que pertenece dicho problema.

4. Si ya terminaste con la sección de problemas pasa a la segunda parte que es la de ejercicios. No uses calculadora.

5. De igual forma trata de resolver el mayor número de ellos, aquellos que no sepas o no recuerdes como se resuelven déjalos en blanco, no influye para tu calificación pero si nos servirá para saber en que áreas debes mejorar.

6. Autoevalúa la sección de ejercicios con la hoja de respuestas. Esta forma te remite a la sección y ejemplos del libro 1 de la bibliografía sugerida que debes repasar para que no tengas problema alguno cuando se te presente este tipo de operaciones.

PROBLEMAS DE LA ACTIVIDAD PRELIMINAR

1. Un estudiante de álgebra obtiene notas de 75, 82, 71 y 84 en exámenes. ¿Qué calificación deberá obtener en su siguiente prueba para elevar su promedio a 80?

2. Un fabricante de latas desea construir una lata cilíndrica circular recta de 20 cm de altura y volumen de 3000 cm3. Encuentra el radio interior rde la lata.

3. Encuentra el centro y el radio del círculo con ecuación

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9

4. Por lo general se considera que el modelo Jenss es la fórmula más precisa para predecir la estatura de los preescolares. Si y es la estatura ( en cm ) y x es la edad ( en años ), entonces y = 79.041 + 6.39x – e3.261 – 0.993x para ¼ < x < 6. Por cálculo integral, la tasa de crecimiento R (en cm/año) está dada por :

R = 6.39 + 0.993 e3.261 – 0.993x.

Encuentra la estatura y tasa de crecimiento de un niño normal de un año.

5. La pantalla de un monitor rectangular de computadora mide 4 cm más de ancho que de largo, y su diagonal es 7 cm más larga que su altura. ¿Cuáles son las dimensiones del monitor?

6. ¿Hay un número real x tal que x = 2-x? Decídelo al graficar el sistema

y = x

y = 2-x

7. Un vendedor vende dos tamaños de pizza por rebanadas; la chica mide 1/6 de una pizza circular de 18 pulgadas de diámetro y se vende en 2 dólares. La grande, que mide 1/8 de una pizza circular de 26 pulgadas de diámetro, se vende en 3 dólares. ¿Cuál rebanada tiene más pizza por dólar?

8. Una tienda se especializa en mezclas de café para exigentes. El dueño desea preparar bolsas de una libra que se venden en $8.50 combinando granos de Colombia, Brasil y Kenia. El costo por libra de estos cafés es $10, $6 y $8 respectivamente. El café de Colombia debe triplicar al de Brasil. Da la cantidad de cada tipo de café de la mezcla.

EJERCICIOS DE LA ACTIVIDAD PRELIMINAR

1. Escribe -35 como una fracción con un denominador de 1

2. Encuentra una fracción equivalente a 4/5 con un denominador de 20

3. Encuentra una fracción equivalente a 12/18 con un denominador de

3

(10)

5. Encuentra 7 •(13/11)

6. Resuelve 5

÷

7. Encuentra 2 +

Resuelve 1 - 2

9. Escribe 345.712 en forma expandida 10. Escribe 0.075 como fracción reducida 11. Escribe 5.16 como fracción reducida 12. Suma 516.32 + 7.547

13. Resta 125.35 – 13.4 14. Multiplica 3.417 x 0.0023 15. Divide 8.4/0.125

16. Escribe 3/8 como decimal 17. Escribe 78.5% como decimal 18. Escribe 0.731 como porcentaje 19. Escribe 37% como fracción 20. Escribe

6/8 como porcentaje

1 3

1

6 2 ₇

3 4

1 9

4

(11)

11

RESPUESTAS A LA SECCIÓN DE EJERCICIOS DE LA ACTIVIDAD PRELIMINAR

Respuesta Si te equivocaste repasa Sección Ejemplos Página 1. –35/1 R.1 1 2

2. 16/20 R.1 2 3

3. 2/3 R.1 3 4

4. 3/5 R.1 4 5

5. 26/3 R1 5-7 6-7 6. 217/12 R.1 8,9 8 7. 103/36 R.1 10 10-11 8. -7/6 R.1 11-13 13-15 9. 300 + 40 + 5 + 7/10 + 1/100 + 2/ 1000 R.2 1 18

10. 3/40 R.2 2 18-19 11. 129/25 R.2 3 19 12. 523.867 R.2 4 19 13. 111.95 R.2 5-6 20 14. 0.0078591 R.2 7 21

15. 67.2 R.2 8 22

(12)

OBJETIVO: Reafirmarás los conceptos fundamentales del álgebra

TEMA :

I.1 NÚMEROS REALES

CONTENIDO :

I.1.1 Propiedades de los números reales I.1.2 Ordenamiento de los números reales Lectura 1 pp. 2-12

Ejercicios 1.1

Ejercicios obligatorios 1

TEMA :

I.2 EXPONENTES Y RADICALES

CONTENIDO :

I.2.1 Leyes de los exponentes

I.2.2 Simplificación de expresiones con exponentes I.2.3 Propiedades de los radicales

I.2.4 Simplificación de factores de radicales I.2.5 Racionalización de denominadores Lectura 2 pp. 15-24

Ejercicios 1.2

Unidad

Conceptos

(13)

13

OBJETIVO: Realizarás operaciones fundamentales con polinomios y expresiones fraccionarias

TEMAS :

II.1 Definición de expresión algebraica II.2 Monomios, binomios y trinomios II.3 Definición de polinomio

CONTENIDO :

II.3.1 Suma y resta de polinomios II.3.2 Multiplicación de polinomios

II.3.3 División de un polinomio entre un monomio

TEMAS :

II.4 Productos notables II.5 Factorización Lectura 3 pp.26-36 Ejercicios 1.3

TEMA :

II.6 Expresiones fraccionarias

CONTENIDO :

II.6.1 Simplificación y operaciones con expresiones fraccionarias II.6.2 Fracciones complejas

Lectura 4 pp. 38-44 Ejercicios 1.4

Actividad integradora 1

Unidad

Polinomios

Unidad

(14)

OBJETIVO: Aplicarás diversos métodos para resolver ecuaciones.

TEMA :

III.1 Definición de ecuación

CONTENIDO :

III.1.1 Solución de una ecuación lineal

III.1.2 Solución de una ecuación que contiene expresiones racionales

Lectura 5 pp.50-57 Ejercicios 2.1

CONTENIDO :

III.1.3 Problemas aplicados Lectura 6 pp.58-66

Ejercicios 2.2

TEMA :

III.2 Ecuaciones cuadráticas

CONTENIDO :

III.2.1 Solución por Factorización

III.2.2 Solución completando el cuadrado III.2.3 Fórmula cuadrática

(15)

15

III.3 Números complejos

CONTENIDO :

III.3.1 Definición

III.3.2 Suma y multiplicación de números complejos III.3.3 Conjugado

III.3.4 Cociente de números complejos

III.3.5 Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas Lectura 8

pp. 83-88 Ejercicios 2.4

TEMA :

III.4 Otros tipos de ecuaciones Lectura 9 pp. 89-96

Ejercicios 2.5

Unidad

Funciones

Polinomiales y

(16)

OBJETIVO: Aplicarás los teoremas relacionados con el tema para encontrar raíces de polinomios.

TEMA :

IV.1 Sistema de coordenadas rectangulares Lectura 10 p. 122

Ejercicios 3.1 del 1 al 6

TEMA :

IV.2 Definición de función

CONTENIDO :

IV.2.1 Gráfica de funciones Lectura 11 pp. 164-176 Ejercicios 3.4

TEMA :

IV.3 División de polinomios

CONTENIDO :

IV.3.1 Algoritmo de la división IV.3.2 Teorema del residuo IV.3.3 Teorema del factor IV.3.4 División sintética Lectura 12 pp.256-262 Ejercicios 4.

TEMA :

(17)

17

CONTENIDO :

IV.4.1 Número de raíces de un polinomio IV.4.2 Regla de los signos de Descartes IV.4.3 Cotas para raíces reales de polinomios Lectura 13 pp.264-274

Ejercicios 4.3

TEMA :

IV.5 Raíces complejas y racionales de polinomios Lectura 14 pp. 277-283

Ejercicios 4.4

Unidad

(18)

OBJETIVO: Identificarás y graficarás la ecuación de una recta así como de las secciones cónicas

TEMA :

V.1 Distancia entre dos puntos, punto medio y pendiente V.2 Ecuación de una recta

CONTENIDO :

V.2.1 Forma punto-pendiente V.2.2 Forma general

V.2.3 Forma común

V.2.4 Rectas paralelas y rectas perpendiculares Lectura 16 pp.144-158

Ejercicios 3.3

TEMA :

V.3 Secciones Cónicas

CONTENIDO :

V.3.1 Circunferencia Lectura 17 pp.136-140 Ejercicios 3.2

CONTENIDO : V.3.2 Parábola

(19)

19

Ejercicios 4.6

CONTENIDO :

V.3.3 Elipse

CONTENIDO :

V.3.4 Hipérbola

Unidad

Funciones

(20)

OBJETIVO: Resolverás ecuaciones que involucren logaritmos y exponenciales a partir de la definición y propiedades de estos

TEMA :

VI.1 Funciones exponenciales Lectura 21 pp.344-354

Ejercicios 5.1

TEMA :

VI.2 Función exponencial natural Lectura 22 pp. 358-366

Ejercicios 5.2

TEMA :

VI.3 Funciones logarítmicas Lectura 23 pp.369-381 Ejercicios 5.3

TEMA :

VI.4 Propiedades de los logaritmos Lectura 24 pp. 385-391

Ejercicios 5.4

TEMA :

VI.5 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Lectura 25 pp. 393-401

Ejercicios 5.5

Unidad

Sistema de

Ecuaciones

(21)

21

OBJETIVO: Utilizarás los métodos analítico, gráfico y Cramer, encontrando la solución de problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales de 2 o 3 incógnitas

TEMA :

VII.1 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Lectura 26, libro 1, pp.135-143

Ejercicios 4.1, libro 1

TEMA :

VII.2 Sistemas de ecuaciones lineales de tercer orden Lectura 27,libro 1, pp. 145-149

Ejercicios 4.2, libro1

TEMA :

VII.3 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones Lectura 28, libro 1, pp. 150- 156

Ejercicios 4.3, libro 1

TEMA :

VII.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por determinantes (Regla de Cramer)

Lectura 29, libro 1, pp. 159- 167 Ejercicios 4.4, libro 1

TEMA :

VII.5 Fracciones parciales

CONTENIDO :

VII.5.1 Factores lineales distintos VII.5.2 Factores lineales repetidos VII.5.3 Factores cuadráticos distintos VII.5.4 Factores cuadráticos repetidos Lectura 30 pp. 442-447

Ejercicios 6.4

Unidad

(22)

OBJETIVO: Resolverás ecuaciones trigonométricas mediante la aplicación de los principales tópicos e identidades de la trigonometría

TEMA :

VIII.1 Ángulos

TEMA :

VIII.2 Funciones trigonométricas de ángulos Lectura 32 pp.510-524

Ejercicios 7.2

TEMA :

VIII.3 Funciones trigonométricas de números reales VIII.4 Gráficas trigonométricas

TEMA :

VIII.5 Identidades trigonométricas Lectura pp. 604-607

Ejercicios 8.1

(23)

23

EJERCICIOS OBLIGATORIOS

Ejercicios obligatorios 1

I. Si N, Z, I, Q, R y C representan respectivamente los conjuntos de los números naturales, enteros, irracionales, racionales, reales y complejos, representa mediante un diagrama de Venn la relación que guardan entre sí los conjuntos anteriores.

II. Se tiene el conjunto M={-2, 0, - 2 , 1/3, 7π, 0.6, 1 + i, -5 }. Escribe los elementos del conjunto que pertenecen a N, Z, I, Q, R y C.

III. En el enunciado, completa el lado derecho de la igualdad, utilizando la propiedad dada

5 + b = conmutativa (b + 3) + 2 = asociativa 7 + 0 = identidad aditiva 3 + (-3) = inverso aditivo

8(1) = identidad multiplicativa 3(a + b) = distributiva

-(-2) = doble negación

I. Escribe tres ejemplos de cada uno de los 5 puntos del subtema Exponentes y Radicales.

II. Efectúa (-x2)3 · (-x -3)2 · xa · xb · -xc, donde a = 32, b = -32_{y c = (-3)}2_.

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I. Haz una clasificación de las expresiones algebraicas de acuerdo a

a) su número de términos b) la naturaleza del exponente c)

II. Indica cada una de las partes del siguiente término algebraico -5 a2x3.

III. De acuerdo a sus exponentes, clasifica las siguientes expresiones algebraicas como racional entera o irracional.

3abc + a2_b

xy + 1/2x2yz (a2b4) – 3ab2 2x / (y-1) + x + y 3x-2 + x + y 2x-2 + x + y 3xy / (x + y)

x2 + x-2 + x_p½

IV. Dados los polinomios:

P(x) = ax2_{+ 3x + bx + 5x}2_{+ c – 2}

Q(x) = 7x2_{+ 5x – 1}

(25)

25

V. Completa las columnas con la letra y número correspondiente.

(a) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)

(b) z3 + 64

(c) (x + 2)(2x - 5 )(2x + 5 )

(d) z3 – 64 (e) (x –5)(x + 5)

(1) por agrupación (2) diferencia de cuadrados (3) diferencia de cubos

(4) suma de cubos

Letra Número X2_{– 25 = _________ _______}

4x3_{+ 8x}2_{– 5x – 10 = _________} _{_______}

(z + 4)(z2_{– 4z + 16) = _________} _{_______}

x4 – 1 = _________ _______ (z – 4)(z2 + 4z + 16)= _________ _______

De la sección de ejercicios 2.1 pp.57-58, resuelve a) 10 ejercicios del 1 al 44

(26)

d) 5 ejercicios del 59 al 72 (aquellos que por alguna razón te parecen interesantes, especifica el motivo por el cual los escogiste)

e) ejercicio 74

I. Escoge cinco números pares del 2 al 38.

II. De la sección 2.2 de tu libro de texto resuelve los problemas señalados con los números que escogiste.

De la sección de ejercicios de repaso de tu libro de texto página 116 resuelve

a) los ejercicios del 1 al 26 b) los ejercicios del 45 al 54

c) los ejercicios del 55 al 80, pero solo aquellos que sean divisibles por 4.

I. De las siguientes gráficas señala aquellas que pertenecen a una función

II. ¿Cuáles de las siguientes funciones representan una función?

(27)

27

I. Selecciona dos puntos (x,y). II. Ubícalos en un plano cartesiano. III. Obtén la distancia que hay entre ellos.

IV. Determina y señala en el plano el punto medio. V. Une los puntos originales con una línea recta. VI. ¿Qué pendiente tiene ésta recta?

VII. Obtén la ecuación de la recta, expresándola en sus tres formas.

VIII. Escribe la ecuación de una recta que sea paralela a la anterior. Grafícala con un color diferente en el mismo plano.

IX. Determina la ecuación de una recta perpendicular a las dos anteriores y trázala en el plano.

I. Escribe la definición de circunferencia.

II. ¿Cuál es la ecuación general de la circunferencia? III. ¿Qué coordenadas tiene el centro?

IV. ¿Cuánto mide el radio?

V. Un caso particular es la circunferencia con centro en el origen, ¿cuál es su ecuación?

VI. Haz dos gráficas donde se note la diferencia entre una circunferencia centrada en el origen y una trasladada.

Completa cada recuadro con lo que se te pide.

(28)

Ecuaciones estándar de una parábola con vértice en (0,0)

y2₌

Vértice: Foco: Directriz:

Simetría con respecto al eje Haz la gráfica cuando

a) a<0 (abre hacia la izquierda) b) a>0 (abre hacia la derecha)

X2 = Vértice: Foco: Directriz:

Simetría con respecto al eje Haz la gráfica cuando

a) a<0 (abre hacia abajo) b) a>0 (abre hacia arriba)

I. Si todo lo que tienes a la mano fueran dos clavos, un lápiz y una cuerda, ¿cómo podrías trazar una elipse? II. Toma una hoja blanca, dos tachuelas o clavos y un

pedazo de cordón.

a) Indica la medida del cordón que elegiste.

b) Con el procedimiento anterior dibuja sobre la hoja una elipse.

(29)

29

¿En qué coordenadas quedaron los focos y los vértices?

Quizá no te des cuenta de los muchos usos importantes de las formas hiperbólicas, tales como:

I. Estudio de cometas

II. Sistema Loran de navegación para cruceros, barcos y aviones

III. Movimiento de capilaridad IV. Torres de enfriamiento nuclear V. Óptica

VI. Radiotelescopios

VII. Estructuras arquitectónicas contemporáneas Escoge alguno de los tópicos anteriores y desarrolla una investigación al respecto. Recuerda anotar la bibliografía. Escribe mínimo media cuartilla.

I. Busca en la biblioteca cualquier libro de Cálculo Diferencial e Integral.

II. En el libro que seleccionaste localiza la sección de ejercicios de integrales con fracciones parciales.

III. De esa sección identifica una fracción de cada caso y haz la separación en fracciones parciales.

IV. Anota la bibliografía.

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Completa la siguiente tabla.

Grados 0° 45° 90° 135° 180°

Radianes π/6 π/3 2π/3 5π/6

I. Subraya una de las dos funciones f(x) = sen x, f(x) = cos x II. Toma los grados de la tabla anterior y para cada uno de ellos obtén las evaluaciones de f(x), f(-x), -f(x), f(x) + 2, f(x + 2).

I. Usando los radianes del ejercicio obligatorio 14 y la función que elegiste en el ejercicio 15 evalúa f(x), f(x), -f(x), f(x) + 2, f(x + 2).

II. ¿Qué relación guardan estos resultados con los del ejercicio obligatorio 15?

III. Grafica por separado cada una de las funciones evalúa f(x), f(-x), -f(x), f(x) + 2, f(x + 2).

IV. ¿Qué observas con respecto de cada una de las gráficas en relación con la función original f(x)?

Verifica la siguiente identidad trigonométrica tan2 x – sen2 x = (tan2 x)(sen2 x)

I. Analíticamente II. Gráficamente

ACTIVIDADES INTEGRADORAS

(31)

31

Resuelve los ejercicios de repaso del capítulo 1 del texto, pp. 46-48.

Actividad integradora 2

Escoge el inciso que corresponda a la respuesta correcta. Anexa los procedimientos que utilizaste para llegar al resultado.

I Halla las raíces de 5x2_{– 3x – 2 = 0}

a) {1, -2/5} c) {-1, -2/5} e) {-2, -1/5}

b) {-1, 2/5} d) {1/5, -2}

II Al resolver la ecuación 1 = x/2 + 1 la raíz mayor es:

1 + 1 . 1 + 1/x

a) 0 b) –3/2 c) 3/2 d) 1 e) –1

III Al resolver 5x2 – 3x – 1 = 0 se obtiene: a) dos raíces reales iguales

b) dos raíces reales conjugadas c) dos raíces complejas conjugadas d) una raíz real y otra imaginaria

e) dos raíces racionales y desiguales

IV Si las raíces de una ecuación de segundo grado son X1 = (5 + 2i) / 3 y X2 = (5 – 2i) / 3; entonces la ecuación

que le dio origen es: a) 9x2 – 30x – 29 = 0 b) 9x2 + 30x + 29 = 0 c) 9x2 – 30x + 29 = 0 d) 9x2 + 30x – 29 = 0

e) ninguna de las anteriores

(32)

a) una solución real y otra imaginaria b) dos soluciones reales

c) una solución extraña y otra solución real d) dos soluciones complejas y conjugadas e) es una ecuación sin soluciones

I. Identifica a que figura pertenece cada una de las siguientes ecuaciones.

a) 4x2 – 9y2 = 36 b) y = 3x + 2 c) x2 + y2 = 4 d) y = x2 + 2 e) 4x2 + 9y2 = 36

I. Haz la gráfica de cada una de ellas.

II. Analiza cada gráfica señalando sus características principales (focos, pendiente, vértices, etc.).

I. Las funciones f(x) = 2x y g(x) = x3 son crecientes

A) ¿Cuál de las dos funciones aumenta más rápido que la otra, para valores grandes de x?

B) Ilustra este hecho calculando los valores de ambas funciones para varios valores grandes de x.

C) Grafica ambas funciones y determina el número de puntos de intersección.

(33)

33

b) Ilustra este hecho calculando los valores de ambas funciones para varios valores grandes de x.

c) Grafica ambas funciones y determina el número de puntos de intersección.

I. Las siguientes 11 funciones aumentan sin límite para x > 1. Ponlas en orden iniciando con la función que aumenta lentamente y terminando con la función que aumenta con rapidez: x, 2x, log x, x6, x(ln x), ex, x0.1, ln(ln x), 2x, ln x, ea (donde a = x2).

I Escribe un sistema de 2x2.

II. Resuelve el sistema que escribiste explicando paso a paso a) el método de sustitución

b) el método de igualación c) el método de reducción

d) el método de los determinantes e) el método gráfico

INSTRUCCIONES DEL CASO INTEGRADOR

(34)

2. Resuelve punto por punto identificando en cada caso el área (álgebra, geometría o trigonometría) y subtema o subtemas (suma de polinomios, secciones cónicas, valores de funciones trigonométricas, etc.) que utilizaste para la solución del problema.

3. Sé claro en tus procedimientos y escribe paso a paso el procedimiento que seguiste en la resolución de cada uno de los puntos.

4. En caso de que los hubiera, menciona los diferentes métodos por medio de los cuales se puede resolver un mismo punto.

5. Con referencia a la instrucción 4, explica por qué escogiste cierto procedimiento en la solución de algún punto en lugar de cualquier otro.

CASO INTEGRADOR

Se desea construir un domo circular de 25π m2 de área. Supón que pudieras trazarlo sobre un eje cartesiano de tal forma que la puerta de entrada quedase en la coordenada (3,1) y la puerta de salida al este de la entrada formando imaginariamente los extremos del diámetro del círculo.

1. ¿Qué radio debe tener el domo?

2. ¿En qué coordenada quedaría el centro del domo?

3. ¿En qué coordenada quedará ubicada la puerta de salida del domo?

4. Dibuje una gráfica y escriba una ecuación que se ajuste a las condiciones anteriores.

5. A 2m hacia el norte del centro del domo está ubicado un bafle en forma rectangular que está de frente a un pedestal para micrófono que se encuentra en la coordenada (2,3).

El ángulo entre la base del bafle y el soporte del micrófono es de 30° para que no entre en un campo de visión de sonido.

(35)

35

6. Al centro del domo se debe poner una duela en forma de rectángulo, con dos semicírculos en los extremos. Estos extremos quedarán en dirección de cada una de las puertas de entrada y salida.

La duela debe tener un perímetro de 20 m y el área de la porción rectangular debe ser el doble de la suma de las áreas de los dos extremos.

Encuentra el ancho y largo la porción rectangular, así como el radio para trazar los semicírculos.

7. Se va a acordonar la zona del público y para ello se cuenta con 14 m de listón azul. Ésta zona tiene forma rectangular ubicada hacia el sur del centro del domo cubriendo en total un área de 12 m2_.

¿Qué dimensiones debe tener la zona acordonada? ¿Cómo conviene acomodar la zona? Señálala en plano.

8. Supón que se desea acordonar también una zona para el jurado con una curva exponencial. Sabemos que f(x) = ex_{cruza el eje de}

las y en el punto (0,1). Traslada ésta función de tal forma que este punto quede localizado en la coordenada (-7,1)

Dibuja la curva donde se supone quedaría el listón que acordona la zona del jurado.

CONCEPTOS CLAVES DEL CURSO

NOTA : Tu actividad aquí, es elaborar un glosario con estos conceptos. Ayúdate de los libros.

Números reales Números naturales

Números enteros Números irracionales Números complejos Exponente

Coeficiente Simplificar una expresión Racionalización del denominador Expresión algebraica

Monomio Binomio

Trinomio Polinomio Grado de un polinomio Factorización

Expresión fraccionaria Fracción compleja

Conjugado Ecuación

Ecuación lineal Ecuación cuadrática

Raíz doble Fórmula cuadrática

Discriminante Ceros de un polinomio Sistema de coordenadas rectangulares Abscisa

Ordenada Función

Variable Variable dependiente

Recta Pendiente

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Sección cónica Circunferencia Parábola Elipse

Hipérbola Sistema de ecuaciones lineales Sistema de ecuaciones consistente Sistema de ecuaciones inconsistente Solución de un sistema de ecuaciones lineales Determinante

Fracción parcial Ángulo

Radián Cateto

Hipotenusa Triángulo rectángulo

Forma estándar de una ecuación cuadrática Solución de una ecuación cuadrática

Número e Función logarítmica

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Para que apruebes este curso de precálculo, requieres sumar porcentajes de acuerdo a los siguientes rubros :

EJERCICIOS OBLIGATORIOS 20% INVESTIGACIONES 5% ACTIVIDADES INTEGRADORAS 20% PROBLEMAS DE LA ACTIVIDAD PRELIMINAR 10% CASO INTEGRADOR 15%

GLOSARIO 5%

EXAMENES PARCIALES 25_%

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37 Sesión 1 Presentación Actividad preliminar Fecha Sesión 2 Ejercicios obligatorios

1, 2 y 3 Fecha Sesión 3 Actividad Integradora 1 Fecha Sesión 4 Examen 1 (cap. I y II)

Ej. Obligatorios

4 y 5 Fecha Sesión 5 Ej. Obligatorios 6 Fecha Sesión 6 Examen 2 (cap. III) Fecha Sesión 7 Actividad Integradora 2 Fecha Sesión 8 Examen 3 (cap.

IV) Fecha

Sesión 9 Ejercicios Obligatorios

8, 9 y 10 Fecha Sesión 10 Ej. Obligatorios 11,12 Activ. Integradora 3 Fecha Sesión 11 Examen 4 (cap. V) Fecha Sesión 12 Actividad Integradora 4 Fecha Sesión 13 Activ. Integradora 5 Ej. Obligatorios 13 Fecha Sesión 14 Ej. Obligatorios 14, 15, 16 y

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TEXTO Y BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA

TEXTO

Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica Swokowski & Cole

Novena Edición International Thomson

México, 1998

BIBLIOGRAFIA SUGERIDA

LIBRO 1 LIBRO 2

Álgebra Intermedia Álgebra Elemental Allen R. Ángel Ignacio Bello

Segunda Edición International Thomson Prentice hall México 1999 México, 1992

LIBRO

Álgebra y trigonometría con geometría analítica Gechtman