Algunos problemas clásicos Ejercicio 2 (Distancia mínima entre dos puntos de un plano) La longitud de una curva

Matemática para Economistas

Curso 6

Práctica 11: Optimización dinámica: Cálculo de Variaciones

Ejercicio 1 Calcule, aplicando la regla de Leibniz, las derivadas con respecto a x de

las siguientes integrales definidas:

a. _I

( )

b 4 _d

a

x =

∫

x ⋅ t b. I

( )

b x t d

a

x ₌ e− ⋅ _⋅ t

∫

c.

( )

2

0

I _{x =}

∫

⋅x_et_⋅d_{t d.}

( )

2

0

I _{x =}

∫

⋅x_{t e⋅ ⋅}x d_t

Respuestas:

a. _I

( )

₄ b 3 _d a

x x t

′ = ⋅

∫

⋅ b. I

( )

b x t d

a

x t e− ⋅ t

′ =

∫

− ⋅ ⋅

c. _I′

( )

_{x = ⋅2 e}2⋅x _d.

( )

2

0

I_{′ x = ⋅ ⋅ +}4 _{x e}x

∫

⋅x_{t e⋅ ⋅}x d_t

Algunos problemas clásicos

Ejercicio 2 (Distancia mínima entre dos puntos de un plano) La longitud de una curva

plana, L , se puede aproximar a partir de la siguiente suma: 1

( )

2

( )

2

1

L n _{i i}

i

x y

−

=

≅

∑

∆ + ∆ .

Cuando la subdivisión de los intervalos se hace cada vez más pequeña aquella expresión converge a:

[ ]

2

L b 1 d

a

y =

∫

+y′ ⋅ x

(a) Determine la curva de mínima longitud de arco que une los puntos y a

( )

=y_a e

( )

b

y b =y .

Respuesta: _{y x}

( )

yb ya _x y b y aa b

b a b a

− ⋅ − ⋅

   

=_{ }⋅ +_{ }

− −

   

Ejercicio 3 (Superficie de revolución de área mínima) Determinar la curva que, con sus

puntos frontera dados, al girar alrededor del eje de abscisas forme una superficie, S , de área mínima. La superficie engendrada por cada lado, x_i, es igual a

[ ]

2

S b2 1 d

a

y =

∫

⋅ ⋅ ⋅π y +y′ ⋅ x

Respuesta:

( )

(

)

(

( 2) 1 ( 2) 1

)

(

)

1 2 1 cosh 2 1

t c c t c c

y x ₌ c _⋅ e + ₊e− + _{= ⋅}c _ x c₊ c _

 

Ejercicio 4 (Curva de deslizamiento más rápido) Determinar la curva que une dos

puntos, O 0,0 y

(

)

A

(

x y₁, ₁

)

, tal que el deslizamiento de un punto material por dicha curva entre los puntos dados se realice en el mínimo tiempo. La velocidad de la partícula, v, que cae desde una altura y como consecuencia de la gravedad únicamente es igual a v= 2⋅ ⋅g y. Por otro lado, la velocidad es el cociente entre la variación de la longitud de arco recorrida y la variación del tiempo: v=d ds t. Juntando ambas expresiones resulta: dt=ds 2⋅ ⋅g y. Teniendo en cuenta que la longitud de arco es _{ds= 1+y′}2 _{⋅dx y sumando obtenemos el siguiente funcional:}

[ ]

1 2

0

1

t d

2

x _y

y x

g y

′ +

= ⋅

⋅ ⋅

∫

Respuesta: Familia de cicloides:

( )

1

(

(

)

)

2

2 sen 2

2 c

x u = ⋅ ⋅ −u ⋅u +c ,

( )

1

(

_{1 cos 2}

(

)

)

2 c

y u = ⋅ − ⋅u

Ejercicio 5 Encuentre, si es posible, los extremales de los siguientes funcionales:

a.

[ ]

1 2

0

V y =

∫

1+y′ ⋅dt s.a

( )

( )

0 0

1 1

y y

= 

 ₌



Rta: _{y t}*

( )

_=t

b.

[ ]

1

(

2

)

0

V y =

∫

t y⋅ + ⋅2 y′ ⋅dt s.a:

( )

_{( )}

0 1

1 2

y y

= 

 ₌



Rta: *

( )

1 3 23 ₁

24 24

y t = ⋅ +t ⋅ +t

c.

[ ]

1

0

V y =

∫

t y y⋅ ⋅ ⋅′ dt s.a:

( )

( )

0 0

1 1

y y

= 

 ₌



d.

[ ]

2

(

2 2

)

0

V _{y =}

∫

2_{⋅ ⋅ +y e}t _{y +y′ ⋅}d_{t s.a:}

( )

( )

2 2

0 2

2 2

y

y e e−

=  

= ⋅ + 

Rta: _{y t}*

( )

_{= +e}t _e−t₊

( )

_{1 2 ⋅ ⋅t e}t

e.

[ ]

2

(

2 2

)

0

V y =

∫

y +t y′ ⋅dt s.a:

( )

( )

0 0 2 2 y y =   = 

Rta: _{y t}*

( )

_=t

f.

[ ]

(

2 2

)

0

V y =

∫

T t +y′ ⋅dt

s.a: (1)

( )

(

)

0 0 1 2 y y T =   _{= =}

 (2)

( )

(

)

0 4 2 libre y

y T

= 

 ₌

 (3)

( )

(

)

0 2 2 3 y y T =   _{= ≥}

 (4)

( )

( )

0 4 5 y y T =   ₌ 

Rtas: (1) _{y t}*

( )

_{= ⋅2 t (2) y t}*

( )

_{=4 (3) y t}*

( )

₌

( )

_{1 2 ⋅ +t 2 (4) y t}*

( )

_{= +t 4}

g.

[ ]

2 3

0

V y =

∫

7⋅y′ ⋅dt s.a:

_{( )}

( )

0 9

2 11 y y =   ₌ 

Rta: _{y t}*

( )

_{= +t 9}

h.

[ ]

1 2

0

1

V d

2

y = _y y y y+ ⋅ + + ⋅′ ′ y′ _⋅ t

 

∫

s.a:

( )

( )

0 2 1 5 y y =   ₌ 

Rta: _{y t}*

( )

₌

( )

_{1 2 ⋅ +t}2

( )

_{5 2 ⋅ +t 2}

i.

[ ]

1

(

2 2

)

0

V y =

∫

y + ⋅ ⋅ + ⋅4 y y′ 4 y′ ⋅dt s.a:

( )

( )

1 2 0 2 1 1 y e y e  = ⋅   = + 

Rta:

( )

( ) ( )

1 1

1 1

* 2 t 2 t

y t =e ⋅ + +e ⋅ −

j.

[ ]

2

(

2 2

)

0

V y =

∫

π y −y′ ⋅dt s.a:

₍

( )

0

₎

0

2 1 y y π =   ₌ 

Rta: _{y t}*

( )

_=cos

( )

_t

k. V

[ ]

y T y₃2 dt

t

′

 

= _{ }⋅

 

∫

s.a:

( )

( )

0 0 3 y

y T T

= 

 _{= −}

Rta: *

( )

4

432 t

y t = − , _T*₌₆

Ejercicio 6 Encuentre, sobre el primer cuadrante, el extremal del problema siguiente:

2 0

Min V[ ]y =

∫

T 1+y′ ⋅dt

s.a:

( )

( )

2

0 0

4 y

y T T

= 

 _{= − +}



Interprete geométricamente el problema.

Respuesta: _{y t}*

( )

₌

(

_{1 14}

)

_{⋅t, T}* _{= 7 2}

Ejercicio 7 Determinar las distancia más corta desde el punto

(

1,0 a la elipse:

)

2 2

4⋅T + ⋅9 y =36. Asuma T >0.

Respuesta:

• La distancia más corta es: V  =_{ }y*

( )

4 5 ⋅ 5 1,8≅ y se alcanza con la trayectoria

dada por: _{y t}*

( )

_{= ⋅ −2 t 2. La “duración” de la trayectoria es igual a: T}*_{=9 5.}

• De la condiciones de contorno y transversalidad se obtiene un segunda trayectoria:

**

V_y  =_ 2, _{y t}**

( )

_{≡0 y T}** _{=3. Esta trayectoria es, entre todas las lineales, la de}

mayor distancia (hacer un gráfico).

Aplicaciones económicas

Ejercicio 1 (Consumo y ahorro intertemporal) Un consumidor obtiene su demanda de

bienes de consumo y activos (o pasivos) a partir maximizar el valor presente descontado de la utilidad instantánea del consumo sujeta a una restricción de presupuesto intertemporal. En este problema el horizonte de tiempo es finito y determinado. Una solución particular del problema se encuentra estableciendo dos condiciones de contorno. El problema, en tiempo continuo, puede plantearse de la siguiente forma:

( ) ( ), 0 ₀

( )

Max U Tu t d

c t b t c t e t

ρ

− ⋅

=

∫

_ _⋅ ⋅

s.a:

( )

( ) ( )

[

]

( )

( )

0

, 0, , dado 0

0

b t y r b t c t t T T

b b

b T

 = + ⋅ − ∈

 = 

 _≥



El consumo instantáneo y el stock de bonos en el instante t se denotan por c t

( )

y

tasa de interés que rinden los bonos. Se asumen funciones constantes del tiempo. La tasa de impaciencia se denota por ρ >0. Los activos o pasivos iniciales se denotan por b₀ mientras que la cantidad de activos en el instante de tiempo final debe ser no negativo. La función de utilidad instantánea, u_c t

( )

_, viene dada por u

( )

c =ln

( )

c .

(a) Muestre que sustituyendo la restricción de presupuesto en la función objetivo resulta el siguiente problema de cálculo de variaciones:

( ) ₀

( ) ( )

Max lnT t d

b t y r b t b t e t

ρ

− ⋅

 + ⋅ − ⋅ ⋅

 

∫

s.a:

( )

( )

0

0

0 dado

b b

b T T

= 

 _≥



(b) Obtenga la ecuación de Euler del problema. Determine su solución general. Obtenga la condición de transversalidad del problema y concluya que la demanda de activos en el instante final es cero: b T

( )

=0.

(c) Obtenga la demanda de consumo y activos.

(d) Interprete el resultado en términos de un diagrama de fase en el plano

( )

b c, .

(e) A partir de los resultados anteriores obtenga las funciones de demanda de consumo y activos si el horizonte de tiempo se extiende hasta T → ∞. Interprete.

Respuestas:

(b) b− ⋅ −

(

2 r ρ

)

⋅ + ⋅ −b r r

(

ρ

)

⋅ = − −b

(

r ρ

)

⋅y.

También se puede expresar como una ecuación diferencial en el consumo:

(

)

c c = −r ρ .

(c)

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

0

1 1

( )

1 1

r t r t T

r T T r t T

t T

r t

T T

e e e e e _y

e e

b t b e

e e r

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

− ⋅ ⋅ −

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

− ⋅ − ⋅

⋅

− ⋅ − ⋅

 − ⋅ + − + − 

 − 

=_{ }⋅ ⋅ + ⋅

− _ − _

  _{ }

( )

₀ 0 1

1 1

r T

T T

y

b e

c

e ρ e ρ r

ρ  _{− ⋅}  − _{− ⋅}− ⋅  

= ⋅_ +_{ }⋅ _

− _ − _

 

( )

0 1 ( )

1 1

r T

r t

T T

y

b e

c t e

e e r

ρ

ρ ρ

ρ − ⋅ − ⋅

− ⋅ − ⋅

  −  

= ⋅_ +_{ }⋅ _⋅

− _ − _

 

(e)

( )

0 (r )t

y y

b t b e

r r

ρ

− ⋅

 

=_ + _⋅ −

 

0

(0) y

c b

r

ρ  

= ⋅_ + _

 

( )

y (r )t

Ejercicio 2 Una firma se constituye y comienza financiando sus actividades emitiendo acciones. El objetivo de la misma es maximizar su valor actual, esto es, el valor descontado de su flujo de caja neto (de esta forma se maximiza también el valor descontado del flujo de dividendos que recibirán sus accionistas):

(

)

(

( ) ( )

)

( )

( )

0

, , , F , r t d

V K L K t ₌ +∞_p_⋅ K t L t _{− ⋅}w L t _{− ⋅}p K t _⋅e− ⋅ _⋅ t

 

∫

Los ingresos de la empresa están dados por p⋅F

(

K L,

)

, mientras w L⋅ es el pago por salarios y p K⋅ el gasto corriente en bienes de capital (inversión). El precio del único bien de la economía se denota por p y se asume constante, en tanto que w indica el salario nominal. El flujo de caja se descuenta a la tasa nominal de interés r.

(a) Determine bajo qué condiciones la empresa maximiza su valor actual. Compare con las que se obtienen en el caso estático de maximización de beneficios.

Respuesta:

La ecuación de Euler es la siguiente: F_K′

(

K L,

)

=r.

Ejercicio 3 (Recursos naturales no-renovables) Considere una firma que posee el

derecho a explotar un recurso no renovable como, por ejemplo, un yacimiento de oro o un pozo de petróleo. Esto significa que el bien es no reproducible y, por lo tanto, su cantidad es finita (en algún momento su producción se agota). El stock existente del recurso en el instante t es x t

( )

mientras q t

( )

representa la producción o extracción instantánea de dicho recurso. El ingreso esta dado por p t q t

( ) ( )

⋅ mientras que el costo de extracción depende de la cantidad del recurso en el yacimiento: C

( )

x , donde C′ <0. La pendiente negativa de la función de costos indica que cuanto más mineral hay en el yacimiento menor es el costo de extracción. El problema de la firma puede entonces plantearse como:

( ) ₀

( ) ( )

( )

Max CT r t d

x t p t q t x t e t

− ⋅

 ⋅ − _ _⋅ ⋅

 

∫

s.a:

( )

( )

0 0

x a

x T

= 

 _≥

 ,

donde r es la tasa de interés y q t

( )

= −x t

( )

. Esta última ecuación dice que el stock del recurso cae en el tiempo de acuerdo a la producción (extracción) del mismo. Asuma que la función de costos instantánea es: C

( )

x = − ⋅C c x (x C c≤ ).

(a) Muestre que la firma estará indiferente entre explotar o no explotar el yacimiento siempre que:

( )

( )

( )

p t c r p t +p t =

(Regla de Hotelling)

(b) Suponga que la función de demanda viene dada por:

( )

5

( )

si 5 0 si 5

p t p

q t

p

− <



=  _≥

 y

(para simplificar cálculos) que: c=0 y C=0. Determine las trayectorias de p t

( )

,

( )

q t y x t

( )

. ¿Se anima a graficar las trayectorias de p y q?

Respuestas:

(a) La regla de Hotelling puede también interpretarse en términos de un intervalo de tiempo suficientemente pequeño:

( )

(

)

r t t t r s t( ) _d

t

p t =p t+ ∆ ⋅t e− ⋅∆ +

∫

+∆ c e⋅ − ⋅ − ⋅ s

(b) _{p t}*

( )

_{= ⋅5 e}r t T(− *)_{, donde T}* _{es la solución de la siguiente ecuación}

(

)

1_{+ ⋅r a} 5_{−T =e}− ⋅r T_.

( )

( *)

* _{5 1} r t T q t = ⋅ −_ e⋅ − _

 

( )

( )

( *) _*

* _{5 5} r t T r T

x t _{= − ⋅ +}a t r _⋅e⋅ − ₋e− ⋅ 

 

 

Ejercicio 4 Dado el problema:

( )

( )

1

0

Max d 1

t c t

c t

e t

δ

ρ

δ

− +∞

− ⋅

⋅ ⋅

−

∫

,

(

δ >0

)

s.a:

( )

( ) ( )

[

)

( )

0

, 0, 0

y r b t b t c t t

b b

 + ⋅ = + ∈ ∞



 ₌



(a) Obtenga las funciones de demanda de consumo y la evolución de los activos en el tiempo.

(b) Muestre que cuanto más elevado es δ más “suave” es la trayectoria del consumo.

Respuesta:

(a) (0)

(

1

)

₀

1

r y

c b

r

ρ δ

δ

− ⋅ −

   

=_{ }⋅_ + _

−  

  ,

(

ρ− ⋅ −r

(

1 δ

)

>0

)

(

)

0

1 ( )

1

r _t

r y

c t b e

r

ρ δ

ρ δ

δ

−  _⋅    

− ⋅ −

   

=_{ }⋅_ + _⋅

−  

 

( )

0

r _t

y y

b t b e

r r

ρ δ

−  _⋅    

 

=_ + _⋅ −

 

Ejercicio 5 (Monopolio de un recurso no-renovable) En este ejercicio se busca determinar

extraída desde el instante inicial 0 hasta el instante t. La tasa de producción, q t

( )

, es entonces igual a q t

( )

=x t

( )

_{. Se asume que el precio neto corriente del recurso}

depende de la tasa de producción, del stock extraído y de factores autónomos, es decir p p x q t=

(

, ,

)

. El valor de mercado del yacimiento viene dado por:

[ ]

(

)

0

V _{x =} T_{p x q t q e}, , _{⋅ ⋅} − ⋅r t_⋅d_t

∫

En el instante inicial la cantidad extraída es nula en tanto que la cantidad de mineral es finita. Por lo tanto las condiciones de contorno son:

( )

( )

(

)

0 0

0 x

x T a a

= 

 _{= >}



Suponga que p x q t

(

, ,

)

= − ⋅ − ⋅ + ⋅α β x c x g t , siendo α β >, ,c 0.

(a)Determine la familia de extremales y el sistema de ecuaciones a partir del cual se pueden determinar las dos constantes arbitrarias y el instante final.

Respuestas:

(a) _{x t}

( )

_{= ⋅A e}m t⋅ _{+ ⋅B e}− ⋅n t₊

( )

_{g c t⋅ − ⋅ ⋅}

(

_{2 β g c}2

)

₋

(

_{g c r⋅ +}

) ( )

_{α c , siendo m la raíz}

positiva y −n la raíz negativa.

( )

m t n t

( )

q t _{= ⋅ ⋅}A m e ⋅ _{− ⋅ ⋅}B n e− ⋅ ₊ g c

La condición de transversalidad es: _{q T}

( )

_{= = ⋅ ⋅}0 _{A m e}m T⋅ _{− ⋅ ⋅B n e}− ⋅n T ₊

( )

_{g c}

Ejercicio 6 (Reducción del problema (1) a un problema de extremos condicionados)

Considere nuevamente el problema (1) pero con horizonte de tiempo infinito:

( ) ₀

( )

Max ln t d

c t c t e t

ρ

+∞

− ⋅

⋅ ⋅

∫

s.a:

( )

( ) ( )

[

]

( )

0

, 0, 0

b t y r b t c t t

b b

 = + ⋅ − ∈ +∞

 

= 

(a) La idea del ejercicio es la siguiente: si integramos la restricción presupuestaria intertemporal, b desaparece y el problema se reduce a maximizar la función de utilidad sujeta a una restricción de presupuesto agregada (ó condición de solvencia). Muestre que la restricción agregada para el problema de extremos condicionados es:

( )

0

0 d

r t b ₌ ∞_c t _{− ⋅}y e_ − ⋅ _⋅ t

 

∫

(*)

¿Qué condición se debe asumir para alcanzar (*)? ¿Si no asume dicha condición, qué valores podría alcanzar el consumo?

Respuestas:

(a) lim r T 0

T→∞b eT⋅ − ⋅ = . Este supuesto asegura que el consumo corriente esté acotado.

(b) c

( )

0 b₀ y r

ρ  

= ⋅_ + _

 

( )

( )

0 r t

y

c t b e

r

ρ

ρ   − ⋅

= ⋅_ + _⋅

 

0

1 y b

r

λ ρ

=

 

⋅_ + _

 

Ejercicio 7 (Modelo neoclásico de crecimiento) Suponga una sociedad que a partir del

instante t=0 debe determinar un plan de consumo y de acumulación de capital para todo los instantes de tiempo futuros con el objetivo de maximizar el bienestar. El bienestar en esta sociedad se mide por el valor presente de la utilidad instantánea derivada del consumo. Suponemos que inicialmente la población es igual a L₀, crece a una tasa constante e igual a n y todos los individuos son idénticos. Por lo tanto, en cualquier instante de tiempo la utilidad de la sociedad es igual al producto de la utilidad de cada individuo (u

( )

c , donde c es el consumo per-cápita) y la cantidad de individuos, _{L e0⋅} n t⋅ _{. Para “traer” la utilidad futura a términos presentes la}

descontamos por una tasa ρ >0, que puede interpretarse como la tasa de impaciencia. Asumimos que la función de utilidad tiene las siguientes características:

( )

0

lim u_c↓ ′ c = +∞, u′

( )

c >0 y u′′

( )

c <0. La restricción física de la economía viene dadas por la función de producción, F

(

K L,

)

, homogénea de grado uno, con productividades marginales positivas pero decrecientes. La restricción de presupuesto en cada período viene dada por la igualdad entre el producto y la suma del consumo más la inversión (el capital no se deprecia): F

(

K L,

)

= +C K. Notemos que si dividimos la restricción de presupuesto por la población, L t

( )

, y tenemos en cuenta que la función de producción es homogénea de grado uno se puede escribir como: f

( )

k = + + ⋅c k n k . El problema es entonces:

( )

( )

( )

0 0

Max u n t d

c t L c e t

ρ

+∞

− − ⋅

⋅ ⋅ ⋅

∫

s.a:

( )

[

]

( )

( )

( )

0

f , 0,

0 0 0

k k n k c t

k k

k t c t

 = − ⋅ − ∈ +∞

 =  

≥ 

 _≥



(b) Analice cualitativamente las soluciones del sistema. Determine en el diagrama de fase la solución óptima.

(c) Describa la trayectoria óptima del consumo y del stock de capital en un entorno del equilibrio de estado estacionario.

(d) Pruebe que para interpretar la ecuación de Euler la misma puede escribirse como:

( )

(

)

(

(

)

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

u u t t tu f s t d

t

c t c t t e− ⋅∆ρ +∆ c s k s e− ⋅ −ρ s

′ = ′ + ∆ ⋅ +

∫

′ ⋅ ′ ⋅ ⋅