C D
s
TEMA IV
PLANO VECTORIAL. PRODUCTO ESCALAR.
APLICACIONES.
VECTOR FIJO
Un vector fijo es un segmento cuyos extremos vienen dados en un cierto orden.
Ejemplo:
El segmento de extremos A y B (en este orden).
Se nota con (A, B) ó con AB.
Al primer punto, al A, se le llama origen.
Al segundo punto, al B, se le llama extremo.
• Por supuesto que
→ →
≠BA
AB .
Si coinciden el origen y el extremo del vector fijo, es decir si el origen y el extremo son el mismo punto, el vector se llama vector fijo nulo.
Ejemplo:
→
AA
MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO DE UN VECTOR FIJO. Se llama módulo de un vector fijo
→
AB, y se nota
→
AB , a la longitud del segmento AB.
• AA =0
→
• AB→ = BA→
Dos vectores fijos no nulos,
→
ABy
→
CD, se dice que tienen la misma dirección y se representa
→
AB
→
CD, si las rectas que pasan por A y B (r) y por C y D (s) son paralelas o coincidentes:
r s A
B
A
B r
A
B C
B
En caso contrario, se dice que
→
AB y
→
CD tienen distinta dirección y se representa
→
AB| | CD→
Los vectores fijos nulos no tienen dirección.
Dados dos vectores fijos, no nulos, con la misma dirección,
→
ABy
→
CD, diremos que tienen el mismo sentido, y lo representaremos
→
AB
→
CD, si:
• Estando colocados sobre rectas paralelas, los extremos B y D se encuentran en el mismo semiplano determinado por la recta que une los orígenes A y C.
B y D pertenecen al mismo semiplano determinado por la recta r.
• Estando colocados sobre la misma recta, (en vez de sobre rectas paralelas), tienen el mismo
sentido que otro vector fijo
→
MNsituado sobre una recta paralela a la que contiene a dichos vectores.
→
MN AB→ , y MN→ CD→ ⇒ AB→ CD→
En caso contrario, se dice que tienen sentido contrario, y se representa
→
AB
→
CD.
→
AB
→
MN, y
→
MN
→
CD ⇒
→
AB
→
CD.
Los vectores fijos nulos no tienen sentido.
Observación: De forma intuitiva, diremos que la dirección del vector fijo
→
ABes la de la recta que pasa por los puntos A y B.
A C D
B A
C
D r
A
B D
C
N
A C
D B
M A
B C
D
N
A
B C
D E
F
G
H
I
J El sentido del vector fijo
→
ABes el del recorrido de la recta cuando nos trasladamos desde A hasta B. Observa que en cada dirección hay dos sentidos, el que va de A a B y el de B a A.
VECTORES FIJOS EQUIPOLENTES
Dos vectores fijos,
→
ABy
→
CD, se dice que son equipolentes, y se representa
→
AB∼
→
CDsi tienen el mismo módulo, dirección y sentido, ó si son los dos nulos.
→
AB∼
→
CD
=
⇔
→ →
→ →
→ →
nulos dos los son ó
CD AB
CD AB
CD AB
• Dado un vector fijo
→
AB, hay un único vector fijo
→
OC equipolente a
→
ABcon origen en O.
→
OC∼
→
AB
• Hay infinitos vectores equipolentes a un vector fijo
→
ABdado; uno con origen en cada punto del plano.
• Los extremos A, B, C, D de dos vectores equipolentes
→
AB y
→
CD, que se encuentran sobre rectas paralelas, siempre forman un paralelogramo, (cuadrilátero de lados paralelos dos a dos).
• Todos los vectores fijos nulos son equipolentes.
→
AA ∼
→
BB ∼
→
CC ∼
→
DD∼.... O A
A
B
O VECTOR LIBRE
Al conjunto de todos los vectores fijos equipolentes a un vector fijo dado
→
AB, se le llama vector libre.
Ejemplo: En el último dibujo, el vector libre formado por
→
ABy todos sus equipolentes:
→ → → → →
... , IJ , GH EF, , CD , AB
• Se nota con cualquiera de ellos entre corchetes, →
AB , ó →
CD , ó →
EF , etc...; ó con una
letra minúscula y una flecha encima
= → → → → →
→
... , IJ , GH EF, , CD , AB a
• A cada uno de los vectores fijos AB, CD,EF,GH,IJ,....
→ → → → →
que forman el vector libre
→
a, se le llama representante de
→
a.
El vector libre nulo se le nota con
→
0, y está formado por todos los vectores fijos nulos.
= → → → → →
→
... , EE , DD CC, , BB , AA 0
MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO DE UN VECTOR LIBRE
Se llama módulo, dirección y sentido de un vector libre, al módulo dirección y sentido de cada uno de sus representantes.
• El vector nulo o vector libre cero
→
0, tiene módulo 0 y carece de dirección y sentido. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS VECTORES LIBRES
El origen y el extremo de un vector fijo del plano, son siempre puntos fijos del plano. Los vectores libres del plano, como su nombre indica, se pueden aplicar “libremente” a cualquier punto del plano que se quiera. Con la única condición de que tengan el mismo módulo, dirección y sentido.
Esta propiedad es la más importante de los vectores libres del plano, que enunciaremos así:
“Si →
AB es un vector libre del plano y O un punto cualquiera del plano, existe un único
representante de →
OPERACIONES CON VECTORES LIBRES
En el conjunto de todos los vectores libres del plano, que se nota con V2, se definen las siguientes operaciones:
SUMA DE VECTORES LIBRES
Dados dos vectores libres,
→
a y
→
b del plano, se llama suma de
→
a y
→
b, y se representa
→
a+
→
b, al vector libre que se obtiene del siguiente modo:
Tomamos un punto O cualquiera del plano. Con origen en O se toma un vector fijo
→
OA, representante de
→
a, y con origen en A se toma un vector fijo
→
AB, representante de
→
b; el vector fijo
→
OB es un representante del vector libre
→ a+ → b. → a= → OA , → b= → AB , → a+ → b= → OB
• La suma de vectores libres es independiente del punto O elegido.
La suma de dos vectores libres es otro vector libre que cumple las siguientes propiedades:
1. Asociativa:
→ → → → → → + + = +
+ b c a b c
a , ∀ , , ∈V2
→ → → c b a
2. Conmutativa:
→ → → → + = +b b a
a , ∀ , ∈V2
→ →
b a
3. Hay elemento neutro: 0(vector librenulo)
→ ∃ / → → → = + a
a 0 , ∀ ∈V2
→
a
4. Hay elemento opuesto: V2, - ∈V2 ∃ ∈
∀→a →a /
→ → → = −
+ a 0
a
→
−a se obtiene como un vector libre que cumple:
→ →
= −a a ,
→
−a →a,
→ −a → a Ejemplo: →
AB ⇒
→
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR LIBRE
Dados un vector libre
→ →
≠ 0
a del plano vectorial y un número real cualquiera k ≠0; se llama producto del número real k por el vector libre
→
a, y se nota por
→
⋅a
k , a un nuevo vector libre que se obtiene de la siguiente forma:
Su módulo es el valor absoluto de k por el módulo de
→
a
⋅ = ⋅→a k →a k
Su dirección es la misma que la de
→
a. (
→
⋅a k
→
a)
Su sentido es el mismo que el de
→
a si k es positivo, u opuesto al de
→
asi k es negativo. (
→
⋅a k
→
a si k>0 ;
→
⋅a k
→
a si k<0)
Si k = 0 ó
→ →
=0
a , se define
→ →
= ⋅a 0 k
Ejemplo:
El producto de un número real por un vector libre es otro vector libre que cumple las siguientes propiedades:
1. Distributiva respecto de la suma de vectores:
→ → →
→
⋅ + ⋅ =
+
⋅ a b k a k b
k , ∀k∈ℜ, ∀ , ∈V2
→ →
b a
2. Distributiva respecto de la suma de números reales:
(
k
+
h
)
⋅
a
r
=
k
⋅
a
r
+
h
⋅
a
r
, ∀k ,h∈ℜ, ∀ar∈V23. Seudoasociativa:
( )
k
⋅
h
⋅
a
r
=
k
⋅
( )
h
⋅
a
r
, ∀k ,h∈ℜ, ∀ar∈V24.
→ →
= ⋅a a
1 , siendo 1 el número real unidad y ∀ar∈V2
Estas operaciones y sus propiedades nos permiten realizar operaciones combinadas con vectores libres con la misma prioridad que para los números
→
a
→
⋅ −2 a
→
⋅a 3
→
⋅ −1,5 a
→
Ejercicio: Dados los vectores siguientes:
Calcula: 1)
→ → →
+ ⋅ −
⋅a 3 b c
2 2)
→ → →
⋅ + ⋅ −
⋅a 2 b 3 c 2
1
3)
+ ⋅ −2 →a →b
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Utilizando estas dos operaciones que se acaban de definir en V2, vemos que a partir de unos vectores se pueden obtener otros, sin más que sumar los primeros previamente multiplicados por
números reales: Ejemplo:
→ →
⋅ + ⋅ −
= a b
ur 2 3 .Se dice que ur .depende linealmente de
→ →
b y
a .o que ur .es combinación lineal de
→ →
b y a .
Un vector ur .depende linealmente de
→ →
b y
a o es combinación lineal de ellos, si ur se puede expresar
→ →
⋅ + ⋅
= a b
ur
α
β
, siendoα
⋅yβ
números reales.DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
Dos vectores libres del plano vectorial
→
a y
→
b se dice que son linealmente dependientes (l.d.) ó colineales, si tienen la misma dirección, ó alguno de ellos es el vector nulo.
Ejemplo:
En ambos casos,
→
a y
→
bson linealmente dependientes.
Se cumple la siguiente propiedad importante: “Dados dos vectores libres no nulos y linealmente dependientes, siempre se puede expresar uno de ellos como producto de un número real por el otro vector y viceversa” (cada uno depende linealmente del otro)
En el ejemplo anterior,
a
b
r
r
⋅
−
=
2
, y b arr
⋅ − =
2 1
, ya que a b
r r
⋅ =2
Dos vectores libres del plano vectorial
→
a y
→
b se dice que son linealmente independientes, (l.i.) si ninguno de ellos es el vector nulo y tienen distinta dirección.
Ejemplo:
→
a
→
c
→
b
→
a
→
b
→
a
→
→
a y
→
b son linealmente independientes.
BASE DE V
2. BASE ORTONORMAL.
Una base de V2, está formada por dos vectores libres ury vr distintos de
0
r
, que sean linealmente
independientes (l.i.).
Se suelen dibujar sus representantes con origen en un mismo punto O.
En el plano se pueden elegir infinitas bases distintas.
Una base
B
=
{ }
u
r
,
v
r
se llama base ortonormal, si se cumplen dos condiciones:1. Que los vectores que la forman sean unitarios, es decir que
u
r
=
v
r
=
1
.2. Que ury vr sean perpendiculares (ury vr sean ortogonales, ur ⊥vr)
Son bases ortonormales las siguientes:
Hay infinitas bases ortonormales.
COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE DE V
2EN UNA BASE
Si elegimos como base de V2 la base
B
=
{ }
u
r
,
v
r
del dibujo:Observamos que en la base B, los vectores ar,
b
r
, cr,d
r
, y er, se expresan:
( )
Ba v u
ar= r+3⋅r⇔ r1,3
( )
Bb
v
u
b
2
3
2
,
3
r
r
r
r
⇔
⋅
+
⋅
=
(
)
Bc v u
cr=2⋅r−2⋅r⇔ r 2,−2
(
)
Bd
v
u
d
=
−
2
⇔
1
,
−
2
r
r
r
r
(
)
Be v u
er=−r+r ⇔r −1,1
→
b
→
a
vr
O ur
u
r
vr
O´ ur
vr O´´
u
r
vr
u
r
vrvr
u
r
vr
u
r
ur
v
r
ar
cr
b
r
d
Se dice que ar tiene de coordenadas (1, 3) en la base B, y se nota ar
( )
1,3 B. De igual manera parab
r
,cr,
d
r
, y er.Al cambiar de base, cambian las coordenadas de los vectores ar,
b
r
, cr,
d
r
, y er, pero en cada base las coordenadas de cada uno de ellos son únicas.
En general, cualquier vector xr∈V2, se puede expresar como xr =
α
⋅ur+β
⋅vr, conα
yβ
∈ℜ únicos para xr en la baseB
=
{ }
u
r
,
v
r
.A la pareja ordenada
(
α
,
β
)
de números reales, se les llama coordenadas de xr en la base B, y se nota xr(
α
,β
)
B.Así pues:
Ejemplo:
(
)
Bx v u
xr=−2⋅r+3⋅r ⇔ r −2 ,3
v
u
y
y
B
r
r
r
r
⋅
−
⋅
=
⇔
−
4
2
1
4
,
2
1
Los vectores , ,y 0
r r r
v
u se pueden expresar: v
u
ur=1⋅r+0⋅r ⇔ u
( )
1,0 Br
( )
Bv v u
vr =0⋅r+1⋅r ⇔ s 0,1
( )
Bv
u
0
0
0
,
0
0
0
r
r
r
r
⇔
⋅
+
⋅
=
[image:9.595.64.497.219.752.2]Ejercicio: Expresa los vectores de la figura en función de la base
{ }
i j Br r
,
= , incluidos i
r y j
r .
(
)
x u vxr
α
,β
B ⇔ r =α
⋅r+β
⋅ri
r
j
r
ar cr
b
r
gr
d
r
er
f
OPERACIONES CON VECTORES LIBRES, USANDO SUS
COORDENADAS.
En la base
B
=
{ }
u
r
,
v
r
, supongamos que ar =(
a1 ,a2)
B y queb
=
(
b
1,
b
2)
Br
. Es decir, que
v
a
u
a
a
r
=
1⋅
r
+
2⋅
r
, y que b b u b vr r
r
⋅ + ⋅
= 1 2 .
• Si sumamos ar y
b
r
, tendremos que:
ar+
b
r
=
(
a
1⋅
u
r
+
a
2⋅
v
r
)
+(
b
1⋅
u
r
+
b
2⋅
v
r
)
=(
a
1+
b
1)
⋅
u
r
+
(
a
2+
b
2)
⋅
v
r
⇔a
+
b
(
a
1+
b
1,
a
2+
b
2)
Br
r
Con esto hemos demostrado que las coordenadas del vector ar+
b
r
, son la suma de las coordenadas de los vectores ar y
b
r
.• Por otra parte, si multiplicamos un número real k por el vector ar:
(
a
u
a
v
) (
k
a
)
u
(
k
a
)
v
k
a
k
⋅
r
=
⋅
1⋅
r
+
2⋅
r
=
⋅
1⋅
r
+
⋅
2⋅
r
⇔ k⋅a(
k⋅a1,k⋅a2)
Br
Por tanto, las coordenadas del vector k⋅ar son las coordenadas de armultiplicadas por k. Ejemplo: Dados los vectores ar =
(
1,−2)
B yb
=
(
3
,
−
5
)
Br
, calcula ar+
b
r
, 3⋅ar, y
a
b
r
r
⋅
−
⋅
3
2
Respuesta:
ar+
b
r
(4, −7)B , a
r
⋅
3 (3, −6)B ,
b
a
r
r
⋅
−
⋅
3
2
(
2⋅1−3⋅3,2⋅( )
−2 −3⋅( )
−5)
B⇒
2
⋅
a
−
3
⋅
b
(
−
7
,
11
)
Br
r
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL, USANDO LAS
COORDENADAS
En la base
B
=
{ }
u
r
,
v
r
, supongamos que a=(
a1,a2)
Br
y que
b
=
(
b
1,
b
2)
Br
.
Se verifica que:
1. ar y
b
r
son l.d.
2 2
1 1
b
a
b
a
=
⇔
2. ar y
b
r
son l.i.
2 2
1 1
b
a
b
a
≠
⇔
Ya que si ar y
b
r
son l.d.
a
k
b
r
r
⋅
=
⇔
⋅
=
⋅
=
2 2
1 1
b
k
a
b
k
a
⇔
= =
2 2 1 1
b a k
b a k
⇔
2 2
1 1
b
a
b
a
=
En caso contrario serán linealmente independientes (l.i.).
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES LIBRES
Dados dos vectores libres ur y vr, se define su producto escalar, y se nota ur⋅vr, como el número real que se obtiene del siguiente modo:
( )
= =
≠ ≠
⋅ ⋅ = ⋅
0 ó 0 si 0
0 y 0 si , cos
r r r r
r r r r r r r
r r r
v u
v u
v u v
u v u
Siendo
( )
u
r
,
v
r
el ángulo que forman los vectores ur y vr.• Observa que el producto escalar de dos vectores es siempre un número real, que puede ser positivo, negativo o cero.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
1. ur⋅ur≥0 ∀ur∈V2
Demostración:
u
r
⋅
u
r
=
u
r
⋅
u
r
⋅
cos
( )
u
r
,
u
r
= ur2⋅cos00 = ur2⋅1= ur2 ≥02. Conmutativa: ur⋅vr = vr⋅ur ∀ur,vr∈V2
Demostración: ur⋅vr =
u
r
⋅
v
r
⋅
cos
( )
u
r
,
v
r
=v
r
⋅
u
r
⋅
cos
[
−
( )
v
r
,
u
r
]
=v
r
⋅
u
r
⋅
cos
( )
v
r
,
u
r
= vr⋅ur(1)
( )
u
r
,
v
r
y( )
v
r
,
u
r
son ángulos opuestos.(2) Como son ángulos opuestos, tienen el mismo coseno
3. Homogénea:
k
⋅
( ) ( )
u
r
⋅
v
r
=
k
⋅
u
r
⋅
v
r
=
u
r
⋅
( )
k
⋅
v
r
∀k∈ℜ, ∀ur,vr∈V24. Distributiva respecto de la suma de vectores:
u
r
⋅
(
v
r
+
w
r
)
=
u
r
⋅
v
r
+
u
r
⋅
w
r
∀ur,vr,wr∈V2EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES,
EN UNA BASE ORTONORMAL.
En la base ortonormal
{ }
, jr r
i
B= , supongamos que a =
(
a1,a2)
Br
y que
b
=
(
b
1,
b
2)
Br
. El producto
escalar de ar por
b
r
, se puede calcular en este caso de una forma muy fácil:
(1) (2)
( )
ur,vr( )
vr,ur ur vr2 2 1
1 b a b a
b
a⋅ = ⋅ + ⋅
Demostración:
(
)
(
)
⋅ + ⋅ = ⇔ = ⋅ + ⋅ = ⇔ = j b i b b b b b j a i a a a a a B B r r r r r r r r 2 1 2 1 2 1 2 1 , ,Aplicando las propiedades del producto escalar:
(
a i a j) (
b i b j)
b a r r r r r ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =⋅ 1 2 1 2 =
(
a b)
( )
i ir r
⋅ ⋅ ⋅ 1
1 +
(
a b)
( )
i jr r
⋅ ⋅ ⋅ 2
1 +
(
a b)
( )
j ir r
⋅ ⋅ ⋅ 1
2 +
+
(
a b)
( )
j jr r ⋅ ⋅ ⋅ 2 2
Y como: i i i i
( )
i ir r r r r r , cos ⋅ ⋅ =
⋅ = 1⋅1⋅1=1 , j j j j
( )
j jr r r r r r , cos ⋅ ⋅ =
⋅ = 1⋅1⋅1=1
( )
j ii j i j j i r r r r r r r r , cos ⋅ ⋅ = ⋅ =
⋅ = 1⋅1⋅0=0
Queda: a⋅b =a1⋅b1⋅1+a1⋅b2⋅0+a2 ⋅b1⋅0+a2⋅b2⋅1
r r
=
a
1⋅
b
1+
a
2⋅
b
2 c.s.q.d.EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL MÓDULO DE UN VECTOR, EN UNA BASE
ORTONORMAL.
El módulo de un vector ur, se puede calcular usando el producto escalar, ya que: 2
u u
ur⋅r = ⇒ ur = ur⋅ur Esta es la expresión vectorial del módulo.
Y como el producto escalar es muy fácil de calcular si se conocen las coordenadas con respecto a una base ortonormal, si las coordenadas del vector ur con respecto una base ortonormal B fuesen
( )
x,
y
, nos quedaría que: ur = ur⋅ur = x⋅x+ y⋅y = x2 + y2Por tanto la expresión analítica del módulo de ur
( )
x,y B, con respecto a una base ortonormal B es:Ejemplo:
Calcula el módulo de uv
( )
2,3 B, si la base B es ortonormal:u
r
=
2
2+
3
2=
13
VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN DE UN VECTOR DADO
Dado un vector vr ≠0, se pueden obtener dos vectores unitarios ur y ur′, con la misma dirección que vr, (uno con el mismo sentido que vr, y otro con sentido contrario a vr) de la siguiente forma:
v
v
u
r
r
r
⋅
=
1
,v
u
r
r
−
1
=
′
2 2y
x
u
r
=
+
ur′
Estas son las expresiones vectoriales de los vectores unitarios.
Si conociésemos las coordenadas de vr(x, y) con respecto a una base ortonormal, como 2
2
y
x
v
r
=
+
, nos quedaría que:
+
+
2 2 22
,
y
x
y
y
x
x
u
r
,
+ − +
− ′
2 2 2
2 ,
y x
y y
x x ur
Estas son las expresiones analíticas de los vectores unitarios.
ÁNGULO DE DOS VECTORES
Sabemos que
u
r
⋅
v
r
=
u
r
⋅
v
r
⋅
cos
( )
u
r
,
v
r
, (con ur y vr0
r
≠
)Luego:
( )
v
u
v
u
v
u
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
=
,
cos
. Expresión vectorial del ángulo de dos vectores.Si conociésemos las coordenadas deur y vr con respecto a una base ortonormal B, u ,r
( )
x y B,(
x y)
Bvr ′, ′ tendríamos que:
( )
, 2 2 2 2cos
y x y x
y y x x v
u
′ + ′ ⋅ +
′ ⋅ + ′ ⋅ =
r r
Esta es la expresión analítica del ángulo de dos vectores, respecto a una base ortonormal.
VECTORES ORTOGONALES. CONDICIÓN DE ORTOGONALIDAD
Dados dos vectores libres no nulos, ur y vr, son ortogonales
(
u
r
⊥
v
r
)
⇔ ur⋅vr =0 Esta es la condición de ortogonalidad vectorial.Demostración:
)
⇒ Si ur⊥vr ⇒
( )
u
r
,
v
r
= 90º ó 270º ⇒cos
( )
u
r
,
v
r
=
0
. Luegou
r
⋅
v
r
=
u
r
⋅
v
r
⋅
cos
( )
u
r
,
v
r
=u
⋅
v
⋅
0
= 0)
⇐ Si ur⋅vr =0 ⇒
u
r
⋅
v
r
=
u
r
⋅
v
r
⋅
cos
( )
u
r
,
v
r
= 0, y como ur y vr no son nulos, sus módulos no son cero, luegocos
( )
u
r
,
v
r
=
0
⇒( )
u
r
,
v
r
= 90º ó 270º , es decir queu
r
yv
r
son ortogonales. c.s.q.d.Si conociésemos las coordenadas de ur y vrcon respecto a una base ortonormal B, u ,r
( )
x y B,(
x y)
Bvr ′, ′ , tendríamos que: ur ⊥vr⇔ur⋅vr =0 ⇔ x⋅x′+y⋅y′=0
SISTEMA DE REFERENCIA AFÍN
Si consideramos el plano como conjunto de puntos, un sistema de referencia afín S es un conjunto formado por un punto, llamado origen, y una base del plano vectorial.
{ }
{
O; i ,j}
Sr r
=
Nosotros siempre tomaremos para un sistema de referencia afín, una base ortonormal.
{ }
{
O; i ,j}
Sr r
=
COORDENADAS CARTESIANAS DE UN PUNTO DEL PLANO.
Sea S
{
O;{ }
i ,j}
r r
= el sistema de referencia anterior.
Si P es un punto cualquiera del plano, consideramos el vector libre
→
OP , que tendrá unas coordenadas
(
α
,
β
)
en la baseortonormal B
{ }
i jr r
,
= .
Al vector →
OP , ó pr, se le llama vector de posición del punto
P, y se dice que el punto P tiene de coordenadas
(
α
,
β
)
en el sistema de referencia S, y se nota P(
α
,
β
)
S.A las coordenadas de P en este sistema de referencia de referencia S, se les llama coordenadas cartesianas de P. (La base de S es ortonormal).
Luego: “Las coordenadas cartesianas de un punto P del plano, en el sistema de referencia S,
son las coordenadas de su vector de posición pr= →
OP en la base ortonormal de dicho sistema de referencia S.”
j
r
i
r
O
P
pr
(
)
S OP p(
)
B OP p i jr r r r
⋅ + ⋅ = =
⇔ =
⇔ →
α
β
→α
β
β
α
, ,P j
r
i
r
O origen
Ejemplo:
P(2, 3)S ⇔ pr =
→
OP
( )
2 ,3 B ⇔ pr
=
→
OP i j
r r
⋅ + ⋅ =2 3
COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE, CONOCIDAS LAS DEL
ORIGEN Y EXTREMO DE UNO DE SUS REPRESENTANTES.
Si en S
{
O;{ }
i ,j}
r r
= , sabemos que A
(
a1 ,a2)
S y B(
b1 ,b2)
S, entonces:
Pues:
=
+
→ → →
OB AB
OA
b AB a
r r
=
+ → ⇒ AB =br−ar
→
Y como:
(
)
(
)
(
)
(
)
⇒
⇔ ⇔
B S
B S
a a a a
a A
b b b b
b B
2 1 2
1
2 1 2
1
, ,
, ,
r r
(
b a b a)
Ba b
AB= − 1− 1, 2− 2
→ r r
Ejemplo: Si A(3, 4) y B(1, 4), entonces →
AB (1−3, 4−4), es decir →
AB (−2, 0).
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Dado el segmento de extremos A y B, de coordenadas conocidas A(a1, a2), B(b1, b2). Llamo M a su
punto medio.
Observa en el dibujo que
⋅ =
→ →
AM
AB 2 .
P(2, 3)
i
r
j
r
O
(
b a b a)
BAB 1− 1, 2 − 2
→
i
r
j
r
O
A
B ar
b
r
j
r
A
B ar
b
Como AB b ar
r
− =
→
, y AM=mr −ar
→
Sustituyendo: b ar
(
mr ar)
r
− ⋅ =
− 2
Operando :
b
a
r
m
r
a
r
r
⋅
−
⋅
=
−
2
2
⇔b
a
r
a
r
m
r
r
⋅
=
⋅
+
−
2
2
⇔b
a
r
m
r
r
⋅
=
+
2
.Si a las coordenadas del punto M les llamo
(
m
1,m
2)
, operando con las coordenadas en la última igualdad, tendremos que(
a
1+
b
1,
a
2+
b
2)
=
2
⋅
(
m
1,
m
2)
⇔(
a
1+
b
1,
a
2+
b
2) (
=
2
⋅
m
1,
2
⋅
m
2)
⇔⇔
+
=
⋅
+
=
⋅
2 2 2
1 1 1
2
2
b
a
m
b
a
m
⇔
+ =
+ =
2 2
2 2 2
1 1 1
b a m
b a m
. Luego:
Ejemplo:
El punto medio M del segmento de extremos A(3, 4) y B(1, 4), tiene de coordenadas M(2, 4).
+ +
2 , 2
