Los apuntes que ellos no quieren que sepas de

Texto completo

(1)

Un Resumen Extendido

De

Matemática IV

WhittiLeaks

(2)

Repaso: Básico

 

2 2

2

2 2

1

2 2

/ ,

.

. 1

arg arctan

cos sen 2

cos sen (Formula De Moivre)

i

i z z a ib a b

z a b w q z wz qz

z a ib z z a b z a ib a ib z

a ib a ib a b b

z

a

e k i k

z z i e

   

  

    

  

  

     

 

  

  

 

 

 

    

  

cos sen

2 2

iz iz iz iz

e e e e

z z

i

 

 

 

Potencias

 

1/

/ /

2 2

n

n i n i n

n i

n n

n n i n

z e e n

z w w Re

R R

w z z R e k

n k

n n

 

 

 

 

   

  

 

  

     

    



Logaritmo de un complejo ( 2 )

ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ( 2 )

i k

i

z e

z e i k

 

 

     

Es importante notar que en variable compleja la función exponencial no es inyectiva. ¿Qué significa esto?

( 2 2 ) ( 2)

( 2 2 ) ( 2) ABSURDO!

i i

e   e  i

i

La primera parte vale… pero aplicando logaritmo nos da un absurdo. Otro caso:ez  2, NUNCA aplicas logaritmo para resolver. La forma correcta de operar seria la siguiente:

2

;

2

ln 2

2

x iy i

x

y

k

k

e e

e

x

e

 

 

Ahí si aplicas logaritmo porque

x

. Función de variable compleja

( ) ( ) / :

z x iy g z g x iy g z z z z

     

 

Operaciones de potencias m

n zw

1) Veo que m

n no pueda reducirse

2) Calculamos wm y después la raíz enésima Considerar:

no es ordenado no tiene sentido hablar de desigualdades como z1z2(¡MAL!)

Representación de funciones complejas:

( ) ( , ) ( , )

f zu x yiv x y donde

/ ,

z x iy x y

Análisis Complejo

Limite

0

0

lim ( ) L 0 ( ) / 0 ( ) L

zz f z      d   z z   f z  

Continuidad

:

f  , decimos que f es continua en z0

0

0

lim ( )

( )

zz

f z

f z

1) La suma de continuas es continua

2)

f g

,

C

0

g

C

0

z

0

/ ( )

f z

0

0

f

   

a. Dice que con tal que lo de abajo no se haga cero, va ser continua.

Derivada

0 0

0 0

( ) ( )

Si lim '( )

z

f z z f z

L f z L z

 

  

   

Casos de una función

Sea :f A  /wf z( ); 0

z

es un cero de f

  

z

0

A

f z

( )

0

0

0 0 / ( , )0

z Df r E z r Df

    

f derivable en 0 0

0 0

( ) ( )

lim z

f z z f z z

z

 

    

0 0

f z Df f z

 

(3)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

( ) ( , ) ( , )

( , ) ( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

f z u x y iv x y

z x y f z u x y iv x y z z x y x y

 

   

  

0 0

0 ( , ) ( , )

fC en z  u u x y  v v x y son campos escalaresC Condición de Cauchy-Riemann

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

( ) ( ) ( , ) ( , )

( , ), ( , ), ( , ), ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x y x y

x y

y x

w f z z f z u x y iv x y z x iy u x y u x y v x y v x y

u x y v x y u x y v x y

  

   

 

 

es derivable en siendo y

y ademas vale

Cauchy-Riemann en Coordenadas Polares

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

.

cos

; 0

sen 1

; 0

Coord Polares

x

f z x iy

y

u v

C R

u v

 

 

 

 

 

   

  

Si es derivable en

Condición suficiente de derivabilidad

0 0 0 0

1

0 0

0 0 0 0

0 0 0

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( )

x y

y x

u x y v x y u v C E x y

u x y v x y

f z u iv z x iy

 

   

  

    

Si en

es derivable en

Funciones analíticas

0 0 / ( , );0

f z Df r z E z r f

     

holomorfa (anal tica) en í derivable

( )

( ) ,

f A Df f A

w f z f z

f f D f

  

    

  

es holomorfa en es derivable en es entera

en es cte

( ) / ( ) ( )

f g xg xf x

/

Abiero

f en B A A  B f en A: Nos dice que para todo conjunto cerrado donde f  , existe el conjunto abierto (A) que contiene a todo B donde también f  .

0

0 0

, , .

/ ( ) 0

f g A f g f g A

g

z A g z f

g z

h f g h z

f z

    

   

 

   

Si en en

en

en en

Condición Necesaria y suficiente para holomorfismo:

1

0 0 0

,

( ) x y ; ( , ) ( , )

y x

u v C

w f z z Df u v x y E x y u v

 

      

    en

Dado que f  , se puede derivar como una función de una variable. Ej. f z( )4z2 3 f z'( ) 8 z

Función logarítmica

 

 

 

arg

0 ln

arg [0, 2 )

L ln arg

( ) L ; / ;

z

z

w u iv

w z z e z e e z

z z i z

f z z f A z z x x

    

  

     

Por motivos de inyectividad,

La funcion toma la forma exponencial y nos lo devuelve en forma binomica.

Sea en

Curvas

imagen( :[ , ] )

una curva  a b

     

( )t x t( ) iy t( )

  

Si es inyectiva   es curva simple

( ) ( ) ( , )

Si es inyectiva  a  b   cerrada en a b

1

, ] ; '( ) 0 '( )

en [ suave

es el vector tg en cada punto

C a b t t

  

 

 '( )t x t'( ) iy t'( )

  

(dx dy, )dx idy dzdzx t'( )iy t dt'( )

(dx dy, )dx idy dzdzx t'( )iy t dt'( )

Integral de línea complejo

 

0

( ) ( )

( ) ; : / [ , ]

( ) ( , ) ( , ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ' ( , ) ' ( , ) ' ( , ) '

en simple, orientada

Definimos:

b

a t t

w f z C A a b A

f z dz u x y iv x y dx idy

u x y dx v x y dy i u x y dy v x y dx u x y x v x y y i u x y y v x y x dt

 

     

    

     

 

  

       

Re ( ) , '( ) Im ( ) , '( ) :

:Trabajo del campo vectorial

Flujo del campo vectorial b

a

b

a

f z dz u v t dt

f z dz u v t dt

  

 

 

   

 

(4)

Propiedades:

Si es integrable sobre (se cumple lo siguiente)f  

1 2 0 0

1

(1) ( ) ( ) ;

(2) ( ) ( ) ( )

(3) / ( , )

( ) ( )

(4) ( ) ( ) (5)

(5) max ( ) ; ( ) .

(6)

Longitud de

j

n i j i j

n

j

kf z dz k f z dz k

f g z dz f z dz g z dz

x y f z dz f z dz

f z dz f z dz

f z M z f z dz M

 

  

 

   

     

            

  

   

     

 

( ) ( )

una reparametrizaci n que invierte la orientacionó

f z dz f z dz

 

   

Teorema Cauchy-Goursat

( ) ;

; ( . .)

( )

0

en cerrada, simple, suave

simplemente conexo , orientada positivamente

abierto

f A

D D S C

D A

f z dz

  

  

 

 

Consecuencia de Cauchy-Goursat(Demostrado):

1 2 1 2

2

1 2

1 2

1 2 1 2

( ) . .

, ; ;

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

( )

T.C.G.

Orien.Invertida a

en Hipotesis:

es independiente del camino y s

w f z D S C

z z D M M D

f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz

f z dz

 

   

 

 

  

 

     



     

    

2 1

( ) ( )

e anota:

Tesis:

i

z z

f z dz f z dz

Extensión T.C.G para dominios simplemente conexos ( . ).;

( )

0

Si en

cerrada,suave,simple, orientada pos.

f A S C A

f z

dz

   

Para conjuntos múltiple conexos:

( ); /

en abierto ext

fD   A AD

1

( ) ( )

ext j

n

j

f z dz f z dz

 

Caso para integral de f z( )

z z0

1

 

 

1 0

1

0 1 :

/ Elijo

Como

z z r D D

f z

f D D

  

       

      

Consecuencia de T.C.G. para f z( )

z z0

1

 

1

0 0

1 1

2

dz dz i

z z z z

       

Formula integral de Cauchy

0

0

0

0 . . ;

( ) ;

1 ( )

( ) 2 en

es simple,cerrada,suave a trozos, orientada

f A S C z A D D A z D

f z

f z dz

i z z

 

 

 

     

  

Primitiva

( ) '( ) ( )

es una primitiva de en

F wf z A F zf z

( ) /

Si tiene primitiva en f ATiene infinitas: F zk k a ib

Propiedades de primitivas

2

1 2 1

. .

. . ( ) ( ) ( )

func. Pot.

Si en en

Si en z

z

f A S C F A

f A S C f z dz F z F z

  

 

  

Teorema de las derivadas de Cauchy

 

0

0

0 2

0 ( . .);

( )

; ;

1 ( )

'( )

2 ( )

! ( )

( ) en

simple,cerrada,suave a trozos, orientada

n

f A S C z A

D D A z D f z

f z dz

i z z

n f z

f z dz

 

   

     

   

  

(5)

Consecuencias:

( )

0 0

( 1) ( )

1

1

(1) ( . .) ( ) 1

(2) ; ''( ) ; '( )

(3) ( ) ;

, /

(4) , ,

'( ) en

Si en

Si en

en en

en son diferenciables

(

en n

n n

x y

y x

x x

f A S C z A f z n z A f z z A f z A

f z A f A

f z u iv f A u v u v C A

u v

u v C A u v A

f z u iv

      

      

     

  

 

    

 

 

Falta informacion)

Series Complejas

Sucesión numérica

: / ( )

lim L; L converge

n

n n

n

f f n z

z z



 

   

Serie numérica

1 1

1

1 1 1

;

Sea una nueva sucesion de sumas parciales de una

converge

Donde

converge convergen

n n

n x n

n n n x y n

n

n y n

n n n

n n n

n n n

S z

a S

S z S S iS S

b S z a ib

z a b

 

  

  

  



   



 

 

Condición necesaria de convergencia:

1

lim 0 lim 0

es convergente

n n n

n n

n

z z z

 

   

Serie geométricas

0

; , Son de la forma j

j

aq a q

 

Convergencia absoluta

1 1

1 1

en

converge absolutamente converge

converge absolutamente converge

n n

n n

n n

n n

z z

z z

 

 

 

 

Criterios para

1

/ 0

n n n

z z

 

Criterio D’Alambert

1

L 1

lim L L 1

L 1 Si

no informa n

n n

CV z

DV z

 

  

 

  

Criterio de Cauchy

L 1

lim L L 1

L 1 Si

no informa n

n n

CV

z DV



  

 

  

Sucesión de funciones

: n( ); n( ) converge lim n( ) ( )

n

F f z f z f z f z



  

Campo de convergencia

: k / n( )k sea convergente

A zDf f z

Serie de funciones

1

( ) es una serie de funciones n

n

f z

 

Condición necesaria de convergencia: (Falta Inf.)

Serie de potencias

Serie potencial enésima: 1 0

; 1

1 n n n

q

b q q

q

  

 

Serie de potencias: ( )

0 0

( ) ; es el coeficiente de cada potencia

n

f z n

n n

n

a z z a

 

El campo de convergencia es: / lim 1( ) 1 ( ) n n

n

f z z

f z

 

 

Propiedades:

0

(1) /

(2) (3)

Converge uniformemente es el radio de convergencia

Converge uniformemente a una en

Toda serie de potencias se puede derivar e integrar en y la serie derivada o integrada conver

z z z R

R

g R

R

  

ge a la funcion original, derivada o integrada respectivamente

g

(6)

Teorema de unicidad 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) : convergen a n n n n n n n n

a z z b z z w f z

z z z R a b n

 

 

   

      

Teorema de Taylor

0 ( ) 0 0 0 0 0 ( . .); ( ) ( ) ( ) : ! 0 en

Cuando la serie se denomina Serie McLauren n

n n

f D S C z D f z

z z f z z z z R D n z              

Ceros

( ) 0 0 0 0

( ) ( 1)

1

0 0 0

0 0

( ) 0

( ) 0 0

( ) 0

0 0

( ) ( 1)

0 0

0

:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0! ! ( 1)!

( )

( ) ( ) ; !

( ) ( ) ( ) ( )

! ( 1

Si es un cero de orden de

i k k k k f z f z n n n k k k k

z k f z z R

f z f z f z

f z z z z z

k k

f z

f z z z z z R

n

f z f z

f z z z

k k                           

0 0 0 ( ) ; )!

/ ( ) 0

Donde el desarollo converge en a

z z z z R

R g g z

            0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) 0

tiene un cero de orden en

Donde en

k

f k z f z z z g z

g E z g z

  

 

Series de Laurent

1

0 0 0

0

( ) ( ) ( )

Parte Tayloriana Parte Principal

Se llama Serie de Laurent toda serie de funciones de la forma:

n n n

n n n

n n n

a z z a z z a z z

  

  

    

Convergencia de serie de Laurent:

0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 ( ) : 1 ( ) 1 1 : 1 ( ) : converge Converge

Tiene que valer para que haya campo de convergencia converge

n n n

n n p

n n p

n n p

n n n

a z z z z z R

w a z z a w a w

z z

w w r r z z

z z r

R r

a z z z

                                 

1 0

1

r z z R

r     Propiedades:

0 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) (2) : ' (3)

Unicidad Si ambas

convergen a en

Toda serie de laurent converge uniformemente en

a una en

Toda serie de Laurent se

n n

n n

n n

n n a z z b z z f r z z R a b n

D r r z z r R f D

                   

puede derivar e integrar en su corona de convergencia y la serie que se obtiene tiene la misma corona de convergencia que la original

Teorema de Laurent

1 0 0 1 0 1 0 ( ) ( )

1 ( )

;

2 ( )

en

que converge en la corona siendo n

n n

n n

w f z r z z R a z z

f z

a dz r z z R

i z z

                  

Singularidades 0 0 0

Se dice que tiene una singularidad aislada en si el desarollo Laurent en la corona < pero en

f z

r z z R z

   

0 0 0 0 0

1 2 3

0

-{ }

( ) ; 0

(1) 0 0

(2) ( ) 0,

0

(3) 0

Sea en

es sing. evitable si

tiene orden de polo positivo si pero

es una sing. esencial si c para una cantida n

n n

n

m

m m m

k

f z

f z c z z z z R

z c n

z m c

c c c

z                        

d infinita de enteros k

Teoremas

 

0

0 0

0

0 lim ( ) ( ) L

L 0

Si en

tiene polo orden en m z z

f z z R z z f z

f m z

      

  

0

0 0

0

0 ( ) ( ) ( )

( ) 0; ( )

Si en

tiene cero orden en tiene polo orden en

h g z z R f z h z g z

h z g z m z

f m z

      

 

0

0 0

( ) ( ) ( ) 0

( )

Si en

tiene cero orden en tiene cero orden en tiene polo orden en solosi

f z h z g z h g z z R

h k z g m z

f m k z m k

      

(7)

El Teorema de Residuos

( 1)

( 1)

0 0 0

-1

( ) 2 ( )

Res , ( )

Si evaluamos el teorema de Cauchy de las Derivadas en obtenemos lo siguiente:

Denominamos el coeficiente del primer termino del D.S.L centrado en :

n

f z dz i f z

z f z f z

 

  

Teorema Principal

0 1

0 1 0 1

1

, ,

, ,

, ,

( ) 2 Res ,

Dado en simple,

cerrada sobre que encierra los puntos singularidades aisladas de

m

m m

m

j j

f A z z z

A z z z

z z z f

f z dzi f z

   

Teoremas

0 Res , 0 0

Si tiene sing. evitable en f zf z

0

0

0 0

Res , lim . ( )

Si tiene un polo simple en

z z

f z

f z z z f z

  

0

0

1

0 1 0

1

Res , lim ( ) . ( )

( 1)! Si tiene un polo orden m en

Util para polos de orden bajo, si no es un quilombo derivar

m

m m

z z

f z

d

f z z z f z

m dz

  

  

Corolario

0

0 0

0 0

0 0

0

( ) ( ) ( ) ; ( ) 0 ( ) 0

( ) Res ,

'( )

Sea en

en (cero simple)

f z h z g z h z h C z

g z g z

h z f z

g z

   

  

 

Demostración para poder aplicar el Teorema del Residuo Logarítmico

0

0 0 0

1

0 0

0 0

0

'( ) ( )

( )

( ) . ( ) / ( ) ( ) 0 . ( ) . '( )

'( ) '( )

( ) . ( ) ( )

'( ) ( )

Sea

supongamos que es un cero orden de

en

tiene polo simple aislado en

n

n n

f z

g z f z

z n f

f z z z h z h E z h z

n z z h z z z h z

f z n h z

f z z z h z z z h z

z

f z n

f z z

     

  

  

 

 

0

0

0 0

0 0

L 0

0 0

DSL 0

( ) Res ( ),

CV en

en

es polo simple de

DST z z r

n n

n DS

z z

a z z z z r

z

z g z g z z n

  

  

  

     

 

  

T. del Residuo Logarítmico

/

( ) 0 '( )

2 ( )

Sea una curva simple,cerrada,suave y orientada

sobre excepto en sus polos

puede tener ceros en

ceros de en contados con su multiplicidad

j

D

f D z D

f z z f N D

f z

dz i N P f z

N f D

P

   

  

   

  

total de polos contados con su orden

Resolución de integrales por Teorema de los Residuos

2

0 1

2 2

cos ,sen ( )

1 1

cos sen

2 2

z i

R d f z dz

dz idz

z e d iz z

z z

z iz

  

 

    

 

  

Integrales Impropias

( )

lim

R

( )

a

f x dx

x a

f x dx





Valor Principal de Cauchy

( ) lim R ( ) de Cauchy

R x R

f x dx f x dx VP 

    

( ) ( ) 0

Si f x es impar VP  f x dx



 

 

0 ( )

( ) /

( )

( ) 0 2

( ) ( )

Sea polinomios

convergen

P x

f x P Q

Q x

Q x x grado Q grado P f x dx f x dx

 



 

     

0

( ) 1 ( )

( ) 2 ( )

Si es parf P x dx P x dx

Q x Q x

 



(8)

Calculo de Integrales Impropias en Mate IV

:[- , ] / : / [0, ]

Trabajando con la misma de arriba verifico que converge

Defino i

f

R R   z Re  

  

 

0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

lim 1

( ) ( ) ( )

( )

lim lim . 0

( )

Tenemos una nueva integral:

R R R

R R

P z dz Q z

P z P z P x

dz dz dx

Q z Q z Q x

P z

dz M L Q z

  

 

 

 

 

 

 

Encuentro raices n complejas: ( )j 0 / j j

Q z z z

   

Estas raíces tienen que, si o si, estar dentro de 

 

1

( ) ( )

2 Res , 2

( ) ( )

n

j j

P z P z

dz i z

Q zQ z

 

 

 

   

1 2 ( ) 2 Res

( ),

Residuo en el semiplano superior

j

f x dxi f z z

 

 

Transformada de Laplace

Definición:

 

0

( ) ( ) /

Si converge

st

f s

 e f t dt s

Notación:

 

f ( )tF s( )  f t( )F s( ) Función Seccionalmente Continua ( S

C )

1 1 2

( , ) lim ( ) lim ( ) en

en

i i

S

i i

x x x x

f C

f C x x f x L f x L

 

 

    

Función de Orden Exponencial (O.E.)

.

0, 0, /

( ) ;

en de O.E. S

p x

f C f k T p

f x ke x T

      

  

Definición

Condición suficiente para existencia de T.D.L

 

0

0 ( )

( ) ( ) / Re( ) /

abscisa de convergencia

en de O.E. t Converge

S st

f C f e f t dt

F s f t s s a a

 

    

    

( ) / Re( )

Se puede probar que F s  s sa

Corolario

0 lim ( ) 0

Si S de O.E. t

s

s f C f F s



       

Unicidad del Transformador de Laplace

0

[0, ) ; ( ) ( ) / ( ) ( )

( ) ( ) 0

Si f g C t F s G s F s G s

f t g t t

       

   

0 ; ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) 0

Si

excepto en los puntos de discontinuidad

S

f g C t F s G s F s G s

f t g t t

      

   

 

1

 

( ) ( ) ( ) ( )

Si

Donde es la transformada inversa de

F s f t f t F s

f F

  

( ) 0 0 es una

f t    t f funcion causal

Función Heaviside

1 0

( )

0 0

1

( ) ;

0

t u t

t t a

u t a a

t a

 

 

 

 

 

Funciones Periódicas

 

0

0 ( )

( ) 1

Sea S, causal y de periodo T st

st

f C T t

e f t dt f t

e

 

  

 

Propiedades T.D.L.

 

 

 

( )

( ) 1 ( 1)

/ ( )

(1) ( ) ( ) (2) . ( ) '( ) (3) . ( ) ( 1) . ( ) (4) '( ) . ( ) (0)

(5) ( ) . ( ) (0) (0)

causales y de O.E.

n n n

n n n n

f g f F s

af t bg t a f b g t f t F s

t f t F s f t s F s f

f t s F s sf f

 

  

   

 

   

(9)

( ) 0 ( ) ( ) Si son causales y de O.E.

t

f g

f g t f u g t u du

  

( ) ( ). ( ) causales y de O.E.

f g

f g t F s G s

    Consecuencia:

 

1 0

( ). ( ) ( ) t ( ) ( )

F s G s f g t f u g t u du

Propiedades:

(1) ( ) ( )

(2) ( ) ( ) ( )

(3) ( ) ( ) ( )

f g t g f t

f g h t f g h t f g h t f g h t f g t f h t

  

       

       

 

Anti transformada por Residuos

1

1 ( )

( ) ;

( )

grado( ) grado( )

( ) ( ) ( )

Res . , /

( ) ( ) ( )

Si siendo polinomios

tal que polos de n st k k k P s

F s P Q

Q s

P Q

P s P s P s

e s s

Q s Q s Q s

           

 

Series de Fourier

1 2 1 2

1 1

( ) / 0 1

( )

1 ( )

2

Sea en

un D.S.L.

Donde

n n n

n z n

w f z H r z r r r f z c z

f z c dz i z                  

Serie Exponencial de Fourier

2 2 0 ( ) ( ) / : / ( ) 1 ( ) 2

Serie exponencial de Fourier

Donde

i i i

i n n n

i n n

f e g g D z e

g c e

c g e d

                       

Serie Trigonométrica de Fourier

 

0 0 0 0 0 1 0 : / ( ) ( ) 2 2 cos sen 2 2 2 ( ).cos 2 2 ( ).sen

Sea Osea, es periodica

Donde n n n T n T n

g g g T

a n n

g a b

T T

n

a g d n

T T

n

b g d n

T T                                                  

Relaciones

0 0 2 2 2 n n n

n n n

n n n

n n n

a

c a ib

c a c c

a ib c

b i c c

             

Identidad de Parseval

2 2 2 2 2

0 0

1

[0, ]; ' [0, ] /

1

( )

2 2

en en periodo de

S S

T

n n

n

n n

f C T f C T T f

a b

f x dx c c

T                   

Propiedad de la Practica

( )

( ) s

f t

F d

t  



Teorema

0

; ' [0, ] /

en en periodo de

D.S.Fourier converge absolutamente y uniformemente a

S

f C f C T T f

f t

  

 

Derivación e Integración de D.S.F. Derivación

0

1

; ' [0, ]

2 2 2 2

'( ) cos cos

Si es en de periodo es en

n n

S

n n

n

A B

f C T f C T

n n n n

f t b t a t

T T T T

                

Integración 0 0 1

' [0, ]

2 2 2

( ) cos cos

2 2 2

de periodo es Sen t

n n

n

f T f C T

a t T n T n

f x dx b t a t

n T n T

                  

Extensión Par o Impar de una función

† 0 1 † 1 / ( ) ( ) [0, ]

( ) (0, ) . : ( )

( ) ( ,0)

( ) (0, )

. : ( )

( ) ( ,0)

( ) cos

2

( ) sen

Sea de periodo Definida en

n n

n n

f T f f T

T

f T

Ext par f

f T

f T

Ext impar f

(10)

Anexo D.S. Fourier

Derivación e Integración de D.S.F.

0 0

0

1

; ' [0, ]

'

'( ) '( )

lim lim

2 2

Si es en de periodo es en

La derivada del D.S.Fourier converge a donde y en los puntos de disc. converge a

S

x x x x

f C T f C T

f f C

L f x f x

L

 

 

 

 

Teorema de Dirichlet

0 0

0

0 0

1

/ [0, ]

(0, ) lim '( ) lim '( )

( , )

converge puntualmente

Si tiene periodo en

es un punto de disc. en tal que existen

D.S.Fourier en donde sea

continua converge en los S

x x x x

i i

f T f C T

x T

f x f x

f x x

 

 

  

 puntos de disc. al promedio

de los limites laterales

Método para probar f constante

2 2

( , ) : 5 3

:

,

.

es entera. Dada una ecuacion de y probar que es cte. Ejemplos de

Obtengo poner todo en funcion de solo o usando C-R

Aislar o en ambos y Igu

x y y x

x y

x x x y

f m u v f

m

m u v u uv v

C R u v u v

m m u v

u v m m

  

    

/

Figure

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