Un Resumen Extendido
De
Matemática IV
WhittiLeaks
Repaso: Básico
2 2
2
2 2
1
2 2
/ ,
.
. 1
arg arctan
cos sen 2
cos sen (Formula De Moivre)
i
i z z a ib a b
z a b w q z wz qz
z a ib z z a b z a ib a ib z
a ib a ib a b b
z
a
e k i k
z z i e
cos sen
2 2
iz iz iz iz
e e e e
z z
i
Potencias
1/
/ /
2 2
n
n i n i n
n i
n n
n n i n
z e e n
z w w Re
R R
w z z R e k
n k
n n
Logaritmo de un complejo ( 2 )
ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ( 2 )
i k
i
z e
z e i k
Es importante notar que en variable compleja la función exponencial no es inyectiva. ¿Qué significa esto?
( 2 2 ) ( 2)
( 2 2 ) ( 2) ABSURDO!
i i
e e i
i
La primera parte vale… pero aplicando logaritmo nos da un absurdo. Otro caso:ez 2, NUNCA aplicas logaritmo para resolver. La forma correcta de operar seria la siguiente:
2
;
2
ln 2
2
x iy i
x
y
k
k
e e
e
x
e
Ahí si aplicas logaritmo porque
x
. Función de variable compleja( ) ( ) / :
z x iy g z g x iy g z z z z
Operaciones de potencias m
n zw
1) Veo que m
n no pueda reducirse
2) Calculamos wm y después la raíz enésima Considerar:
no es ordenado no tiene sentido hablar de desigualdades como z1 z2(¡MAL!)
Representación de funciones complejas:
( ) ( , ) ( , )
f z u x y iv x y donde
/ ,
z x iy x y
Análisis Complejo
Limite
0
0
lim ( ) L 0 ( ) / 0 ( ) L
zz f z d z z f z
Continuidad
:
f , decimos que f es continua en z0
0
0
lim ( )
( )
zz
f z
f z
1) La suma de continuas es continua
2)
f g
,
C
0g
C
0z
0/ ( )
f z
00
f
a. Dice que con tal que lo de abajo no se haga cero, va ser continua.
Derivada
0 0
0 0
( ) ( )
Si lim '( )
z
f z z f z
L f z L z
Casos de una función
Sea :f A /w f z( ); 0
z
es un cero de f
z
0A
f z
( )
0
0
0 0 / ( , )0
z Df r E z r Df
f derivable en 0 0
0 0
( ) ( )
lim z
f z z f z z
z
0 0
f z Df f z
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
( ) ( , ) ( , )
( , ) ( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
f z u x y iv x y
z x y f z u x y iv x y z z x y x y
0 0
0 ( , ) ( , )
fC en z u u x y v v x y son campos escalaresC Condición de Cauchy-Riemann
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) ( , ) ( , )
( , ), ( , ), ( , ), ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
x y x y
x y
y x
w f z z f z u x y iv x y z x iy u x y u x y v x y v x y
u x y v x y u x y v x y
es derivable en siendo y
y ademas vale
Cauchy-Riemann en Coordenadas Polares
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
.
cos
; 0
sen 1
; 0
Coord Polares
x
f z x iy
y
u v
C R
u v
Si es derivable en
Condición suficiente de derivabilidad
0 0 0 0
1
0 0
0 0 0 0
0 0 0
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( )
x y
y x
u x y v x y u v C E x y
u x y v x y
f z u iv z x iy
Si en
es derivable en
Funciones analíticas
0 0 / ( , );0
f z Df r z E z r f
holomorfa (anal tica) en í derivable
( )
( ) ,
f A Df f A
w f z f z
f f D f
es holomorfa en es derivable en es entera
en es cte
( ) / ( ) ( )
f g x g x f x
/
Abiero
f en B A A B f en A: Nos dice que para todo conjunto cerrado donde f , existe el conjunto abierto (A) que contiene a todo B donde también f .
0
0 0
, , .
/ ( ) 0
f g A f g f g A
g
z A g z f
g z
h f g h z
f z
Si en en
en
en en
Condición Necesaria y suficiente para holomorfismo:
1
0 0 0
,
( ) x y ; ( , ) ( , )
y x
u v C
w f z z Df u v x y E x y u v
en
Dado que f , se puede derivar como una función de una variable. Ej. f z( )4z2 3 f z'( ) 8 z
Función logarítmica
arg
0 ln
arg [0, 2 )
L ln arg
( ) L ; / ;
z
z
w u iv
w z z e z e e z
z z i z
f z z f A z z x x
Por motivos de inyectividad,
La funcion toma la forma exponencial y nos lo devuelve en forma binomica.
Sea en
Curvas
imagen( :[ , ] )
una curva a b
( )t x t( ) iy t( )
Si es inyectiva es curva simple
( ) ( ) ( , )
Si es inyectiva a b cerrada en a b
1
, ] ; '( ) 0 '( )
en [ suave
es el vector tg en cada punto
C a b t t
'( )t x t'( ) iy t'( )
(dx dy, )dx idy dzdz x t'( )iy t dt'( )
(dx dy, )dx idy dzdz x t'( )iy t dt'( )
Integral de línea complejo
0
( ) ( )
( ) ; : / [ , ]
( ) ( , ) ( , ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ' ( , ) ' ( , ) ' ( , ) '
en simple, orientada
Definimos:
b
a t t
w f z C A a b A
f z dz u x y iv x y dx idy
u x y dx v x y dy i u x y dy v x y dx u x y x v x y y i u x y y v x y x dt
Re ( ) , '( ) Im ( ) , '( ) :
:Trabajo del campo vectorial
Flujo del campo vectorial b
a
b
a
f z dz u v t dt
f z dz u v t dt
Propiedades:
Si es integrable sobre (se cumple lo siguiente)f
1 2 0 0
1
(1) ( ) ( ) ;
(2) ( ) ( ) ( )
(3) / ( , )
( ) ( )
(4) ( ) ( ) (5)
(5) max ( ) ; ( ) .
(6)
Longitud de
j
n i j i j
n
j
kf z dz k f z dz k
f g z dz f z dz g z dz
x y f z dz f z dz
f z dz f z dz
f z M z f z dz M
( ) ( )
una reparametrizaci n que invierte la orientacionó
f z dz f z dz
Teorema Cauchy-Goursat
( ) ;
; ( . .)
( )
0
en cerrada, simple, suave
simplemente conexo , orientada positivamente
abierto
f A
D D S C
D A
f z dz
Consecuencia de Cauchy-Goursat(Demostrado):
1 2 1 2
2
1 2
1 2
1 2 1 2
( ) . .
, ; ;
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
( )
T.C.G.
Orien.Invertida a
en Hipotesis:
es independiente del camino y s
w f z D S C
z z D M M D
f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz
f z dz
2 1
( ) ( )
e anota:
Tesis:
i
z z
f z dz f z dz
Extensión T.C.G para dominios simplemente conexos ( . ).;
( )
0
Si en
cerrada,suave,simple, orientada pos.
f A S C A
f z
dz
Para conjuntos múltiple conexos:
( ); /
en abierto ext
f D A AD
1
( ) ( )
ext j
n
j
f z dz f z dz
Caso para integral de f z( )
z z0
1
1 0
1
0 1 :
/ Elijo
Como
z z r D D
f z
f D D
Consecuencia de T.C.G. para f z( )
z z0
1
1
0 0
1 1
2
dz dz i
z z z z
Formula integral de Cauchy
00
0
0 . . ;
( ) ;
1 ( )
( ) 2 en
es simple,cerrada,suave a trozos, orientada
f A S C z A D D A z D
f z
f z dz
i z z
Primitiva
( ) '( ) ( )
es una primitiva de en
F w f z A F z f z
( ) /
Si tiene primitiva en f ATiene infinitas: F z k k a ib
Propiedades de primitivas
2
1 2 1
. .
. . ( ) ( ) ( )
func. Pot.
Si en en
Si en z
z
f A S C F A
f A S C f z dz F z F z
Teorema de las derivadas de Cauchy
0
0
0 2
0 ( . .);
( )
; ;
1 ( )
'( )
2 ( )
! ( )
( ) en
simple,cerrada,suave a trozos, orientada
n
f A S C z A
D D A z D f z
f z dz
i z z
n f z
f z dz
Consecuencias:
( )
0 0
( 1) ( )
1
1
(1) ( . .) ( ) 1
(2) ; ''( ) ; '( )
(3) ( ) ;
, /
(4) , ,
'( ) en
Si en
Si en
en en
en son diferenciables
(
en n
n n
x y
y x
x x
f A S C z A f z n z A f z z A f z A
f z A f A
f z u iv f A u v u v C A
u v
u v C A u v A
f z u iv
Falta informacion)
Series Complejas
Sucesión numérica
: / ( )
lim L; L converge
n
n n
n
f f n z
z z
Serie numérica
1 1
1
1 1 1
;
Sea una nueva sucesion de sumas parciales de una
converge
Donde
converge convergen
n n
n x n
n n n x y n
n
n y n
n n n
n n n
n n n
S z
a S
S z S S iS S
b S z a ib
z a b
Condición necesaria de convergencia:
1
lim 0 lim 0
es convergente
n n n
n n
n
z z z
Serie geométricas
0
; , Son de la forma j
j
aq a q
Convergencia absoluta
1 1
1 1
en
converge absolutamente converge
converge absolutamente converge
n n
n n
n n
n n
z z
z z
Criterios para
1
/ 0
n n n
z z
Criterio D’Alambert
1
L 1
lim L L 1
L 1 Si
no informa n
n n
CV z
DV z
Criterio de Cauchy
L 1
lim L L 1
L 1 Si
no informa n
n n
CV
z DV
Sucesión de funciones
: n( ); n( ) converge lim n( ) ( )
n
F f z f z f z f z
Campo de convergencia
: k / n( )k sea convergente
A z Df f z
Serie de funciones
1
( ) es una serie de funciones n
n
f z
Condición necesaria de convergencia: (Falta Inf.)
Serie de potencias
Serie potencial enésima: 1 0
; 1
1 n n n
q
b q q
q
Serie de potencias: ( )
0 0
( ) ; es el coeficiente de cada potencia
n
f z n
n n
n
a z z a
El campo de convergencia es: / lim 1( ) 1 ( ) n n
n
f z z
f z
Propiedades:
0
(1) /
(2) (3)
Converge uniformemente es el radio de convergencia
Converge uniformemente a una en
Toda serie de potencias se puede derivar e integrar en y la serie derivada o integrada conver
z z z R
R
g R
R
ge a la funcion original, derivada o integrada respectivamente
g
Teorema de unicidad 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) : convergen a n n n n n n n n
a z z b z z w f z
z z z R a b n
Teorema de Taylor
0 ( ) 0 0 0 0 0 ( . .); ( ) ( ) ( ) : ! 0 en
Cuando la serie se denomina Serie McLauren n
n n
f D S C z D f z
z z f z z z z R D n z
Ceros
( ) 0 0 0 0( ) ( 1)
1
0 0 0
0 0
( ) 0
( ) 0 0
( ) 0
0 0
( ) ( 1)
0 0
0
:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0! ! ( 1)!
( )
( ) ( ) ; !
( ) ( ) ( ) ( )
! ( 1
Si es un cero de orden de
i k k k k f z f z n n n k k k k
z k f z z R
f z f z f z
f z z z z z
k k
f z
f z z z z z R
n
f z f z
f z z z
k k
0 0 0 ( ) ; )!/ ( ) 0
Donde el desarollo converge en a
z z z z R
R g g z
0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) 0
tiene un cero de orden en
Donde en
k
f k z f z z z g z
g E z g z
Series de Laurent
1
0 0 0
0
( ) ( ) ( )
Parte Tayloriana Parte Principal
Se llama Serie de Laurent toda serie de funciones de la forma:
n n n
n n n
n n n
a z z a z z a z z
Convergencia de serie de Laurent:
0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 ( ) : 1 ( ) 1 1 : 1 ( ) : converge Converge
Tiene que valer para que haya campo de convergencia converge
n n n
n n p
n n p
n n p
n n n
a z z z z z R
w a z z a w a w
z z
w w r r z z
z z r
R r
a z z z
1 01
r z z R
r Propiedades:
0 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) (2) : ' (3)Unicidad Si ambas
convergen a en
Toda serie de laurent converge uniformemente en
a una en
Toda serie de Laurent se
n n
n n
n n
n n a z z b z z f r z z R a b n
D r r z z r R f D
puede derivar e integrar en su corona de convergencia y la serie que se obtiene tiene la misma corona de convergencia que la original
Teorema de Laurent
1 0 0 1 0 1 0 ( ) ( )
1 ( )
;
2 ( )
en
que converge en la corona siendo n
n n
n n
w f z r z z R a z z
f z
a dz r z z R
i z z
Singularidades 0 0 0Se dice que tiene una singularidad aislada en si el desarollo Laurent en la corona < pero en
f z
r z z R z
0 0 0 0 01 2 3
0
-{ }
( ) ; 0
(1) 0 0
(2) ( ) 0,
0
(3) 0
Sea en
es sing. evitable si
tiene orden de polo positivo si pero
es una sing. esencial si c para una cantida n
n n
n
m
m m m
k
f z
f z c z z z z R
z c n
z m c
c c c
z
d infinita de enteros kTeoremas
00 0
0
0 lim ( ) ( ) L
L 0
Si en
tiene polo orden en m z z
f z z R z z f z
f m z
0
0 0
0
0 ( ) ( ) ( )
( ) 0; ( )
Si en
tiene cero orden en tiene polo orden en
h g z z R f z h z g z
h z g z m z
f m z
0
0 0
( ) ( ) ( ) 0
( )
Si en
tiene cero orden en tiene cero orden en tiene polo orden en solosi
f z h z g z h g z z R
h k z g m z
f m k z m k
El Teorema de Residuos
( 1)
( 1)
0 0 0
-1
( ) 2 ( )
Res , ( )
Si evaluamos el teorema de Cauchy de las Derivadas en obtenemos lo siguiente:
Denominamos el coeficiente del primer termino del D.S.L centrado en :
n
f z dz i f z
z f z f z
Teorema Principal
0 1
0 1 0 1
1
, ,
, ,
, ,
( ) 2 Res ,
Dado en simple,
cerrada sobre que encierra los puntos singularidades aisladas de
m
m m
m
j j
f A z z z
A z z z
z z z f
f z dz i f z
Teoremas
0 Res , 0 0
Si tiene sing. evitable en f z f z
0
0
0 0
Res , lim . ( )
Si tiene un polo simple en
z z
f z
f z z z f z
0
0
1
0 1 0
1
Res , lim ( ) . ( )
( 1)! Si tiene un polo orden m en
Util para polos de orden bajo, si no es un quilombo derivar
m
m m
z z
f z
d
f z z z f z
m dz
Corolario
0
0 0
0 0
0 0
0
( ) ( ) ( ) ; ( ) 0 ( ) 0
( ) Res ,
'( )
Sea en
en (cero simple)
f z h z g z h z h C z
g z g z
h z f z
g z
Demostración para poder aplicar el Teorema del Residuo Logarítmico
0
0 0 0
1
0 0
0 0
0
'( ) ( )
( )
( ) . ( ) / ( ) ( ) 0 . ( ) . '( )
'( ) '( )
( ) . ( ) ( )
'( ) ( )
Sea
supongamos que es un cero orden de
en
tiene polo simple aislado en
n
n n
f z
g z f z
z n f
f z z z h z h E z h z
n z z h z z z h z
f z n h z
f z z z h z z z h z
z
f z n
f z z
0
0
0 0
0 0
L 0
0 0
DSL 0
( ) Res ( ),
CV en
en
es polo simple de
DST z z r
n n
n DS
z z
a z z z z r
z
z g z g z z n
T. del Residuo Logarítmico
/
( ) 0 '( )
2 ( )
Sea una curva simple,cerrada,suave y orientada
sobre excepto en sus polos
puede tener ceros en
ceros de en contados con su multiplicidad
j
D
f D z D
f z z f N D
f z
dz i N P f z
N f D
P
total de polos contados con su orden
Resolución de integrales por Teorema de los Residuos
2
0 1
2 2
cos ,sen ( )
1 1
cos sen
2 2
z i
R d f z dz
dz idz
z e d iz z
z z
z iz
Integrales Impropias
( )
lim
R( )
a
f x dx
x af x dx
Valor Principal de Cauchy
( ) lim R ( ) de Cauchy
R x R
f x dx f x dx VP
( ) ( ) 0
Si f x es impar VP f x dx
0 ( )
( ) /
( )
( ) 0 2
( ) ( )
Sea polinomios
convergen
P x
f x P Q
Q x
Q x x grado Q grado P f x dx f x dx
0
( ) 1 ( )
( ) 2 ( )
Si es parf P x dx P x dx
Q x Q x
Calculo de Integrales Impropias en Mate IV
:[- , ] / : / [0, ]
Trabajando con la misma de arriba verifico que converge
Defino i
f
R R z Re
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
lim 1
( ) ( ) ( )
( )
lim lim . 0
( )
Tenemos una nueva integral:
R R R
R R
P z dz Q z
P z P z P x
dz dz dx
Q z Q z Q x
P z
dz M L Q z
Encuentro raices n complejas: ( )j 0 / j j
Q z z z
Estas raíces tienen que, si o si, estar dentro de
1( ) ( )
2 Res , 2
( ) ( )
n
j j
P z P z
dz i z
Q z Q z
1 2 ( ) 2 Res
( ),
Residuo en el semiplano superior
j
f x dx i f z z
Transformada de Laplace
Definición:
0
( ) ( ) /
Si converge
st
f s
e f t dt sNotación:
f ( )t F s( ) f t( )F s( ) Función Seccionalmente Continua ( SC )
1 1 2
( , ) lim ( ) lim ( ) en
en
i i
S
i i
x x x x
f C
f C x x f x L f x L
Función de Orden Exponencial (O.E.)
.
0, 0, /
( ) ;
en de O.E. S
p x
f C f k T p
f x ke x T
Definición
Condición suficiente para existencia de T.D.L
00 ( )
( ) ( ) / Re( ) /
abscisa de convergencia
en de O.E. t Converge
S st
f C f e f t dt
F s f t s s a a
( ) / Re( )
Se puede probar que F s s s a
Corolario
0 lim ( ) 0
Si S de O.E. t
s
s f C f F s
Unicidad del Transformador de Laplace
0
[0, ) ; ( ) ( ) / ( ) ( )
( ) ( ) 0
Si f g C t F s G s F s G s
f t g t t
0 ; ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) 0
Si
excepto en los puntos de discontinuidad
S
f g C t F s G s F s G s
f t g t t
1
( ) ( ) ( ) ( )
Si
Donde es la transformada inversa de
F s f t f t F s
f F
( ) 0 0 es una
f t t f funcion causal
Función Heaviside
1 0
( )
0 0
1
( ) ;
0
t u t
t t a
u t a a
t a
Funciones Periódicas
00 ( )
( ) 1
Sea S, causal y de periodo T st
st
f C T t
e f t dt f t
e
Propiedades T.D.L.
( )
( ) 1 ( 1)
/ ( )
(1) ( ) ( ) (2) . ( ) '( ) (3) . ( ) ( 1) . ( ) (4) '( ) . ( ) (0)
(5) ( ) . ( ) (0) (0)
causales y de O.E.
n n n
n n n n
f g f F s
af t bg t a f b g t f t F s
t f t F s f t s F s f
f t s F s s f f
( ) 0 ( ) ( ) Si son causales y de O.E.t
f g
f g t f u g t u du
( ) ( ). ( ) causales y de O.E.f g
f g t F s G s
Consecuencia:
1 0( ). ( ) ( ) t ( ) ( )
F s G s f g t f u g t u du
Propiedades:
(1) ( ) ( )
(2) ( ) ( ) ( )
(3) ( ) ( ) ( )
f g t g f t
f g h t f g h t f g h t f g h t f g t f h t
Anti transformada por Residuos
1
1 ( )
( ) ;
( )
grado( ) grado( )
( ) ( ) ( )
Res . , /
( ) ( ) ( )
Si siendo polinomios
tal que polos de n st k k k P s
F s P Q
Q s
P Q
P s P s P s
e s s
Q s Q s Q s
Series de Fourier
1 2 1 2
1 1
( ) / 0 1
( )
1 ( )
2
Sea en
un D.S.L.
Donde
n n n
n z n
w f z H r z r r r f z c z
f z c dz i z
Serie Exponencial de Fourier
2 2 0 ( ) ( ) / : / ( ) 1 ( ) 2
Serie exponencial de Fourier
Donde
i i i
i n n n
i n n
f e g g D z e
g c e
c g e d
Serie Trigonométrica de Fourier
0 0 0 0 0 1 0 : / ( ) ( ) 2 2 cos sen 2 2 2 ( ).cos 2 2 ( ).senSea Osea, es periodica
Donde n n n T n T n
g g g T
a n n
g a b
T T
n
a g d n
T T
n
b g d n
T T
Relaciones
0 0 2 2 2 n n nn n n
n n n
n n n
a
c a ib
c a c c
a ib c
b i c c
Identidad de Parseval
2 2 2 2 20 0
1
[0, ]; ' [0, ] /
1
( )
2 2
en en periodo de
S S
T
n n
n
n n
f C T f C T T f
a b
f x dx c c
T
Propiedad de la Practica
( )
( ) s
f t
F d
t
Teorema
0
; ' [0, ] /
en en periodo de
D.S.Fourier converge absolutamente y uniformemente a
S
f C f C T T f
f t
Derivación e Integración de D.S.F. Derivación
0
1
; ' [0, ]
2 2 2 2
'( ) cos cos
Si es en de periodo es en
n n
S
n n
n
A B
f C T f C T
n n n n
f t b t a t
T T T T
Integración 0 0 1' [0, ]
2 2 2
( ) cos cos
2 2 2
de periodo es Sen t
n n
n
f T f C T
a t T n T n
f x dx b t a t
n T n T
Extensión Par o Impar de una función
† 0 1 † 1 / ( ) ( ) [0, ]
( ) (0, ) . : ( )
( ) ( ,0)
( ) (0, )
. : ( )
( ) ( ,0)
( ) cos
2
( ) sen
Sea de periodo Definida en
n n
n n
f T f f T
T
f T
Ext par f
f T
f T
Ext impar f
Anexo D.S. Fourier
Derivación e Integración de D.S.F.
0 0
0
1
; ' [0, ]
'
'( ) '( )
lim lim
2 2
Si es en de periodo es en
La derivada del D.S.Fourier converge a donde y en los puntos de disc. converge a
S
x x x x
f C T f C T
f f C
L f x f x
L
Teorema de Dirichlet
0 0
0
0 0
1
/ [0, ]
(0, ) lim '( ) lim '( )
( , )
converge puntualmente
Si tiene periodo en
es un punto de disc. en tal que existen
D.S.Fourier en donde sea
continua converge en los S
x x x x
i i
f T f C T
x T
f x f x
f x x
puntos de disc. al promedio
de los limites laterales
Método para probar f constante
2 2
( , ) : 5 3
:
,
.
es entera. Dada una ecuacion de y probar que es cte. Ejemplos de
Obtengo poner todo en funcion de solo o usando C-R
Aislar o en ambos y Igu
x y y x
x y
x x x y
f m u v f
m
m u v u uv v
C R u v u v
m m u v
u v m m
/
