Departamento de sistemas y computación Semestre Agosto-Diciembre 2013 Ingeniería en tecnologías de la información y comunicación Materia: Álgebra Lineal SERIE: 6TI3 Unidad: II Nombre de la tarea: Proyecto de la 2da Unidad

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Arenas Romero Yolanda Guadalupe Página 1

Departamento de sistemas y computación

Semestre Agosto-Diciembre 2013

Ingeniería en tecnologías de la información y comunicación

Materia: Álgebra Lineal SERIE: 6TI3

Unidad: II

Nombre de la tarea: Proyecto de la 2da Unidad

Alumno(a):

Arenas Romero Yolanda Guadalupe.

11211277

Profesor: María Eugenia Bermúdez Jiménez.

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Matrices y Determinantes.

Definición de matriz

.

• Concepto………5

• Graficas………5

• Formulas. ……….………5

• Problemas……….………6

Operaciones con matrices.

• Concepto………7

• Graficas..………7

• Formulas..……….8

• Problemas……….8

Clasificación de matrices.

• Concepto………9 y 10 • Graficas. ……….……10

• Formulas……….…11

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Arenas Romero Yolanda Guadalupe Página 3

Transformaciones elementales por renglón.

• Concepto……….12

• Graficas..……….13

• Formulas..………..13

• Problemas………..14

Calculo de la matriz inversa.

• Concepto………15

• Graficas……… • Formulas……..………..… • Problemas……..………

Definición de determinantes de una matriz.

• Concepto……..……….17

• Graficas……..……….17

• Formulas…….…..……….18

• Problemas……..….……….18

Propiedades de los Determinantes.

• Concepto……..……….19

• Graficas………..……….19

• Formulas….……..……….19

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Arenas Romero Yolanda Guadalupe Página 4

Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

• Concepto……..……….20

• Graficas.……..………21

• Formulas. ……..………21

• Problemas……..………21

Aplicación de matrices y determinantes.

• Concepto……..……….22

• Graficas………..……….23

• Formulas……..………..24

• Problemas……..………..24

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Definición de matriz.

Concepto

Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en m filas y n columnas. Las líneas horizontales reciben el nombre de filas, renglones o hileras y las líneas verticales se llaman

columnas. El numero de filas puede ser menor, igual o mayor que el numero de las columnas.

Ejemplo: a)

- Las filas se numeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha. En el ejemplo a): La primera fila de la matriz es la segunda fila es , la primera columna es y la segunda columna es .

Graficas.

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Problemas.

El registro federal de automóviles está organizado en dos departamentos él A que atiendo los trámites relativos a automóviles y el B atiende a los camiones. La composición del personal que trabaja en el departamento A es de 27 hombres y 18 mujeres y en el departamento B es de 32 hombres y 6 mujeres.

Resolver:

a. En forma tabular. b. En forma matricial

Solución:

a.

b. A =

Depto.

Personal

Hombres

mujeres

A

27

18

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Operaciones con matrices.

Concepto.

Se considera un algebra de matrices, en la que definimos sobre ellas operaciones con sus respectivas propiedades.

Las operaciones más comunes son:

Operaciones de transposición: la transpuesta de una matriz A = de orden (m,n) es una matriz de orden (n,m), que se obtiene intercambiando filas por columna (o l que es igual, columnas por filas).

Suma: Dadas dos matrices del mismo orden A = [ ] y B = se definen la suma como otra matriz C= de igual orden.

Diferencia: Dadas dos matrices del mismo orden A = [ ] y B = [ ] se definen la diferencia como otra matriz C=[ ] de igual orden.

Producto por un numero: Dada una matriz y un numero , el producto B = que se obtiene multiplicando por cada uno de los elementos de la matriz A.

Combinación lineal: Dadas las matrices A = , todas del mismo orden y los números , se dice que la matriz A + = N, es combinación lineal.

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Formulas.

Operaciones de transposición: = su transpuesta es Suma: C = A + B a que es igual a

Diferencia: C = A – B = A + ()-B a lo que es igual

Producto por un numero: B = , tiene por elementos genéricos para todo i,j

Combinación lineal: α ∙ A + β ∙ B + δ ∙ C + μ ∙ M = N

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Clasificación de matrices.

Concepto

Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en m filas y n columnas. Las líneas horizontales reciben el nombre de filas, renglones o hileras y las líneas verticales se llaman

columnas. El numero de filas puede ser menor, igual o mayor que el numero de las columnas. Y las podemos clasificar de la siguiente manera:

matriz cuadrada.

Esta es un matriz diagonal. matriz nula.

matriz cuadrada. matriz asimétrica Matriz escalar. Matriz identidad. Matriz transpuesta.

Graficas.

matriz cuadrada. Una matriz de n por m elementos, es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas, es decir, n = m y se dice, entonces que la matriz es de orden n.

matriz diagonal. es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es

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Arenas Romero Yolanda Guadalupe Página 10 matriz nula. Es una matriz con todos sus elementos iguales a cero. Algunos

ejemplos de matrices nulas son:

matriz antisimétrica. es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su negativa, es decir vale la relación AT = -A. Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas) :

Matriz escalar. es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

A=

Matriz identidad. Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus

dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. la matriz identidad de tamaño n, se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de la diagonal principal, y 0 en el resto. Así:

Matriz transpuesta. Sea A una matriz con m filas y n columnas. La matriz transpuesta, denotada con está dada por

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Formulas.

matriz cuadrada. n*m matriz diagonal. A=

matriz nula. Todos sus elementos son ceros (0) matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada n*m Matriz escalar.

=

Matriz identidad.

, con

Matriz transpuesta.

Problemas

Escriba un ejemplo de una matriz de orden (2*2) que cumpla con las

siguientes condiciones:

a.

Antisimétrica.

b.

Triangular inferior, no diagonal.

c.

Simétrica y escalar.

d.

Simétrica, diagonal, no escalar.

e.

Simétrica, escalar y no diagonal.

f.

Triangular inferior y escalar.

a.

b.

c.

d.

e.

No existe

f.

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Transformaciones elementales por renglón.

Concepto.

Si se intercambian dos filas cualesquiera de una matriz dada, llamamos a esta operación una operación de transformación elemental en las filas de una matriz. Se denota por R¬ij¬¬, lo cual implica que se intercambian las filas i y j de la matriz dada. Esta operación también se denota por R¬i¬ <→ R-j¬. Un punto digno de notar es que esta operación no es de naturaleza singular. De hecho se ha demostrado, que todas las matrices no singulares son el resultado de la

transformación elemental en la fila de una matriz. Si esto es cierto, entonces podemos concluir, que para todas las matrices no singulares también tenemos una matriz inversa, la cual tampoco es singular y es también el resultado de la transformación elemental en la fila de una matriz. Esta matriz elemental se denomina la matriz identidad I y tenemos el resultado A x I = A-1

Existen tres operaciones básicas que pueden realizarse para transformar la fila de una matriz dada: 1. Intercambiar dos filas de la matriz dada, es decir, poner los elementos de una fila en el lugar del otro y viceversa. 2. Realizar la operación de multiplicación a cualquier fila de la matriz dada, multiplicando todas las entradas de esa fila con un elemento escalar. 3. Extraer un múltiplo común de todas las entradas de una fila y agregarlo a las entradas de la otra fila. La transformación de fila es una operación básica importante de las matrices, la cual generalmente no altera el rango de la matriz dada. Podemos continuar la transformación de las filas de la matriz hasta que

obtengamos una como la primera entrada diferente de cero apareciendo en cada fila. Para que un sistema de ecuaciones u otros elementos representados a través de una matriz para designar estos como linealmente dependientes deba existir un vector de elementos escalares tal que satisfaga la ecuación dada

Podemos obtener la matriz cuadrada de una matriz, tomando, una parte de la matriz r x r de la matriz dada. Y llamamos a sus determinantes filas menores de r para la matriz de entrada. Entre todas las submatrices, el determinante que tenga el valor más alto distinto de cero, y que también es la submatriz más grande para la matriz dada, puede determinar el rango de la matriz dado que su orden igual al rango de la matriz actual.

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Arenas Romero Yolanda Guadalupe Página 13 Esto significa que no podemos tener un rango de tres así que intentemos con la submatriz de

orden dos, la cual da el rango de la matriz actual,

El determinante resulta ser 20, el cual es el más grande y por lo tanto, el rango de la matriz dada es dos.

Graficas.

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Problemas.

La matriz A =

Se transforma en la matriz B=

Intercambiando la segunda y el tercer fila. A su vez, esta se transforma en la

matriz.

C=

Multiplicando la segunda fila por el número (-2). Esta última se transforma en

la matriz

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Calculo de la matriz inversa.

Concepto.

Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

Método de Gauss-Jordán para el cálculo de la matriz inversa El método de Gauss - Jordán para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

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Arenas Romero Yolanda Guadalupe Página 16 triangularización superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangularización inferior) se obtiene

una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.

Graficas.

Formulas.

Problemas.

Sean las matrices diagonales de orden 3:

A = y B=

Efectuando l0s productos C

C∙D = = =

D∙C = = =

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Definición de determinantes de una matriz.

Concepto.

Sea A= una matriz de 2x2 y definimos la determinante de A como:

A = copn frecuencia denotaremos det A como

Mostraremos que A es invertible si y solo si A . Como veremos, este importante teorema es válido para matrices de nxn.

Determinante de 3x3

Sea A = entonces

Det A= = - +

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Formulas.

Problemas

1. Sea A = calcule

SOLUCION:

= =3(2) – 5(19) + 2(10) = -69

2. Sea A =

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Propiedades de los Determinantes.

Concepto.

Los determinantes tienen muchas propiedades que pueden facilitar los cálculos. Empezaremos a describir estas propiedades estableciendo un teorema, del cual deduciremos lo demás. La demostración de este teorema es difícil y se pospondrá para la próxima sección:

Graficas.

Formulas.

Det A=

Problemas.

Para A=

Det A =

= 4 = -4(16) + 2(14) -3(11)= -69

Análogamente, si se desarrolla en la tercera columna Det A= 2

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Inversa de una matriz cuadrada a través de

la adjunta.

Concepto.

Definición: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula). Definición: Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.

La inversa de A se representa por A-1. Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I. No toda matriz cuadrada tiene una inversa.

Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.

Teoremas:

Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.

Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A. Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.

Sean A y B matrices de orden n x n invertibles. entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

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Graficas.

Formulas.

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Aplicación de matrices y determinantes.

Concepto.

Matrices cuadradas: Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad).

Para cualquier matriz A, A· I = I ·A = A.

Matrices triangulares: Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices.

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales:Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas.

Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

Traspuesta de una matriz La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la traspuesta de

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es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)T = AT + BT. 2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar). 4. (AB)T = BTAT.

Matrices simétricas Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.

Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales: Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:

Si A es ortogonal entonces:

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Formulas.

1.

A• I = I •A = A.

2.

(A + B)T = AT + BT.

3.

(AT)T = A.

4.

(kA)T = kAT (si k es un escalar).

5.

(AB)T = BTAT.

Problemas.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

INVERSA DE UNA MATRIZ ATRAVEZ DE LA ADJUNTA

Definición: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula). Y Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n. [ 3 ]

1.- Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.

2.- Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A.

3.- Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.

4.- Sean A y B matrices de orden n x n invertibles. entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I. Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1. [ 3 ]

APLICACIONES CON MATRICES

En 4 semanas, las dos compañías, Hirter y Zipfer, necesitan las siguientes cantidades de materia prima de levadura, malta y agua (unidades de cantidad: ME): [ 4 ]

1ª semana:

(25)

Arenas Romero Yolanda Guadalupe Página 25 Zipfer: 6 ME levadura, 3 ME malta, 12 ME agua.

2ª semana:

Hirter: 10 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME agua

Zipfer: 9 ME levadura, 5 ME malta, 4 ME agua

3ª semana:

Hirter: 7 ME levadura, 8 ME malta, 5 ME agua

Zipfer: 7 ME levadura, 0 ME malta, 5 ME agua.

4ª semana:

Hirter: 11 ME levadura, 7 ME malta, 9 ME agua

Zipfer: 11 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME agua.

Los datos se representan de manera sencilla.

Levadura malta agua

1ª semana 8 4 12

Hirter 2ª semana 10 6 5

3ª semana 7 8 5

4ª semana 11 7 9

Matriz resultante [ ]

10

Levadura malta agua

1ª semana 6 3 12

Zipfer 2ªsemana 9 5 4

3ªsemana 7 0 5

4ª semana 11 6 5

Matriz resultante [ ]

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Arenas Romero Yolanda Guadalupe Página 26 Ahora los elementos pueden ser comparados directamente y fácilmente para conseguir más información acerca de las dos compañías o compararlas, se requiere la suma y resta de matrices

Matriz H = [ ] Matriz Z = [ ]

¿Qué cantidad de materia prima se necesita para ambas compañías en cada semana? En la primera semana la compañía Hirter necesita 8 ME y la compañía Zipfer 6 ME de la materia prima levadura, lo que significa: 8+6 =14 ME levadura, lo mismo ocurre para la malta: 4+3=7 ME malta, y para el agua: 12+12=24 ME agua. [ 4 ]

[ ] + [ ] = [ ]

Hirter Zipfer Ambas (Consumos)

¿Cuánto es el consumo de materia prima por semana para 5 compañías como Hirter, suponiendo que necesitan la misma cantidad de materia prima que la compañía Hirter? [ 4 ]

Producto escalar:

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Arenas Romero Yolanda Guadalupe Página 27

Bibliografía

Matices aplicaciones matemáticas en economía y administración

-Ariel Kleiman

-Elena K. De Kleiman

Editorial: limusa, México, 1980

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Referencias

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