Respuestas - PC - ETS2 - A y B - 2017.pdf

A

Problema 1 (2 puntos)

1) Realiza las siguientes divisiones de polinomios.

a) mediante división larga:

𝑥

5

+

1

₂

𝑥

4

−

1

₂

𝑥

3

− 2𝑥

2

− 𝑥 − 12

−2𝑥

2

_{+ 3𝑥 − 1}

Solución:

−

1

2

𝑥

3

_{− 𝑥}

_{− 𝑥}

________________________________

−2𝑥

_{+ 3𝑥 − 1}

_𝑥

₊

𝑥

4

₋

𝑥

3

_{− 2𝑥}

_{− 𝑥 − 12}

−𝑥

+

2

𝑥

₋

2

𝑥

________________

+2𝑥

− 1𝑥

− 2𝑥

−2𝑥

_{+ 3𝑥}

_{− 𝑥}

____________________

+2𝑥

− 3𝑥

− 𝑥 − 12

−2𝑥

_{+ 3𝑥}

_{− 𝑥}

_______________

= −2𝑥 − 12

Respuesta:

−

𝟏

𝟐

𝒙

𝟑

_{− 𝒙}

_{− 𝒙 +}

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟐

A

b)

Mediante división sintética:

−1 + 6𝑡 −

1

₃

𝑡

2

−

2

₃

𝑡

3

− 3𝑡

5

𝑡 +

1

₃

Solución:

Respuesta:

= −𝟑𝒕

+ 𝒕

− 𝒕

+ 𝟔 −

𝟑

𝒕 +

𝟏

_𝟑

= −𝟑𝒕

_{+ 𝒕}

_{− 𝒕}

_{+ 𝟔 −}

𝟗

𝟑𝒕 + 𝟏

-3

0

- 2/3 - 1/3

6

-1

t = -1/3

1

- 1/3

1/3

0

-2

A

Problema 2 (2 puntos) Simplificar la siguiente expresión por racionalización y evaluar para

x =

3

:

√𝑥 + 5

3

− √11 − 𝑥

3

𝑥

2

_{− 9}

Respuesta:

√𝑥 + 5

− √11 − 𝑥

𝑥

_{− 9}

[(𝑥 + 5)

_{+ (𝑥 + 5)}

3

(11 − 𝑥)

3

_{+ (11 − 𝑥)}

_]

[(𝑥 + 5)

_{+ (𝑥 + 5)}

3

(11 − 𝑥)

3

_{+ (11 − 𝑥)}

_]

=

=

𝑥 + 5 − 11 + 𝑥

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)[(𝑥 + 5)

_{+ (𝑥 + 5)}

3

_{(11 − 𝑥)}

3

_{+ (11 − 𝑥)}

_]

=

2𝑥 − 6

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)[(𝑥 + 5)

_{+ (𝑥 + 5)}

3

(11 − 𝑥)

3

_{+ (11 − 𝑥)}

_]

=

2

(𝑥 + 3)[(𝑥 + 5)

_{+ (𝑥 + 5)}

3

(11 − 𝑥)

3

_{+ (11 − 𝑥)}

_]

→ 𝑥 = 3

=

2

(3 + 3)[(3 + 5)

_{+ (3 + 5)}

3

(11 − 3)

3

_{+ (11 − 3)}

_]

=

2

6[8

_{+ 8}

₈

1 3

_{+ 8}

2 3

_]

=

1

A

Problema 3 (2 puntos) Determinar para la función cuadrática: dominio, contradominio, intersección con los

ejes, vértice completando trinomio cuadrado perfecto, intervalos de crecimiento y decrecimiento, e intervalo

donde f(x)<0.

𝑓(𝑥) = 4𝑥

2

+ 8𝑥 − 5

Respuesta:

𝐷

: ℝ

𝐼

: 𝑓 = 0 → 4𝑥

+ 8𝑥 − 5 = 0

(2𝑥 + 5)(2𝑥 − 1) = 0 → 𝑥 = −

5

2

→ 𝑥 =

1

2

→ 𝐼

(−

5

2

, 0) → 𝐼

(

1

2

, 0)

𝐼

: 𝑥 = 0 → 𝑓(0) = −5 → 𝐼

(0, −5)

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝐶𝑇𝐶𝑃: 𝑓(𝑥) = 4𝑥

+ 8𝑥 − 5

𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 2)

_{− 4 − 5}

𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 2)

_{− 9 → 𝑉(−1, −9)}

𝑅

: [−9, +∞)

(−∞, −1): 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 (−1, +∞): 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒

𝑓 < 0: (−

5

2

,

A

Problema 4 (2 puntos) Para la función racional obtener dominio, rango, intersecciones con los ejes, asíntotas,

trazar su gráfica, su función inversa y comprobar

𝑓 ∘ 𝑓

_{ó 𝑓}

_{∘ 𝑓}

𝑓(𝑥) =

−2𝑥 + 4

−2𝑥 + 3

Respuesta:

(𝑓)(−2𝑥 + 3) = −2𝑥 + 4

→ −2𝑓𝑥 + 3𝑓 = −2𝑥 + 4

−2𝑓𝑥 + 2𝑥 = 4 − 3𝑓 → 𝑥 =

4 − 3𝑓

−2𝑓 + 2

→ 𝑓

₌

4 − 3𝑥

−2𝑥 + 2

𝐷

: ℝ − {

3

2

} 𝑅

: ℝ − {1}

𝑎. 𝑣. 𝑥 =

3

2

𝑎. ℎ. 𝑦 = 1

𝐼

: 𝑓 = 0 →

−2𝑥 + 4

−2𝑥 + 3

= 0 → 𝑥 = 2 → 𝐼

(2,0)

𝐼

: 𝑓(0) =

−2(0) + 4

−2(0) + 3

=

4

3

→ 𝐼

(0,

4

3

)

𝑓 ∘ 𝑓

=

−2 (

4 − 3𝑥

−2𝑥 + 2) + 4

−2 (

_{−2𝑥 + 2) + 3}

4 − 3𝑥

=

−8 + 6𝑥 − 8𝑥 + 8

−8 + 6𝑥 − 6𝑥 + 6

=

A

Problema 5 (2 puntos) Halle la solución de la ecuación logarítmica

[log

₄

(x)]

3

_{+ log}

4

(x

−4

) = log

9

(4 − 3)

Solución:

𝑆𝑖 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔

₄

(𝑥)

.

𝑡

3

− 4𝑡 = 0

;

𝑡(𝑡

2

− 4) = 0

; t

(𝑡 − 2)(𝑡 + 2) = 0

;

𝑡 = 0, 𝑡 = 2, 𝑡 = −2

𝑙𝑜𝑔

₄

(𝑥) = 0

anti-logaritmo

4

𝑙𝑜𝑔

(𝑥)

_{= 4}

0

_;

_{𝑥 = 1}

𝑙𝑜𝑔

₄

(𝑥) = 2

anti-logaritmo

4

𝑙𝑜𝑔

(𝑥)

_{= 4}

2

_;

_{𝑥 = 16}

𝑙𝑜𝑔

₄

(𝑥) = −2

anti-logaritmo

4

𝑙𝑜𝑔

(𝑥)

_{= 4}

−2

_;

_{𝑥 =}

1

16

A

Problema 6 (2 puntos) Dada la siguiente función exponencial, determinar el dominio, el rango, puntos de

intersección con los ejes cartesianos, asíntotas, y hacer un bosquejo gráfico de dicha función.

𝑓(𝑥) = −5

−𝑥+1

+

1

5

Respuesta (GPL):

𝐷

: (−∞, +∞)

𝐼

: 𝑓 = 0 → −5

_{+ 5}

_{= 0}

→ −𝑥 + 1 = −1 → 𝑥 = 2 → 𝐼

(2,0)

𝐼

: 𝑥 = 0 → 𝑓(0) = −(5

) + 5

= −

24

5

→ 𝐼

(0, −

24

5

)

𝐴. 𝐻. 𝑦 =

B

Problema 1 (2 puntos)

1) Realiza las siguientes divisiones de polinomios.

a) mediante división larga:

𝑥

5

− 𝑥

4

−

3

₄

𝑥

3

− 3𝑥

2

−

1

₄

𝑥 − 9

−4𝑥

2

_{+ 4𝑥 − 1}

Solución:

−

1

4

𝑥

3

₊

1

4

𝑥 + 1

________________________________

−4𝑥

+ 4𝑥 − 1

𝑥

− 𝑥

−

4

𝑥

3

_{− 3𝑥}

₋

𝑥 − 9

−𝑥

_{+ 𝑥}

₋

4

𝑥

________________

−𝑥

_{− 3𝑥}

₋

4

𝑥 − 9

+𝑥

− 𝑥

+

4

𝑥

____________________

−4𝑥

+ 0𝑥 − 9

+4𝑥

− 4𝑥 + 1

_______________

= −4𝑥 − 8

Respuesta:

−

𝟏

𝟒

𝒙

𝟑

₊

𝟏

𝟒

𝒙 + 𝟏 +

B

b)

Mediante división sintética:

8 + 𝑡 +

5

₂

𝑡

2

+ 4𝑡

4

+ 4𝑡

5

𝑡 +

3

₂

Solución:

Respuesta:

= 𝟒𝒕

− 𝟐𝒕

+ 𝟑𝒕

− 𝟐𝒕 + 𝟒 +

𝟐

𝒕 +

𝟑

_𝟐

= 𝟒𝒕

_{− 𝟐𝒕}

_{+ 𝟑𝒕}

_{− 𝟐𝒕 + 𝟒 +}

𝟒

B

Problema 2 (2 puntos) Simplificar la siguiente expresión por racionalización y evaluar para

x =

4:

√𝑥 + 4

3

− √12 − 𝑥

3

𝑥

2

_{− 16}

Respuesta:

√𝑥 + 4

− √12 − 𝑥

𝑥

_{− 16}

[(𝑥 + 4)

_{+ (𝑥 + 4)}

3

(12 − 𝑥)

3

_{+ (12 − 𝑥)}

_]

[(𝑥 + 4)

_{+ (𝑥 + 4)}

3

(12 − 𝑥)

3

_{+ (12 − 𝑥)}

_]

=

=

𝑥 + 4 − 12 + 𝑥

(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)[(𝑥 + 4)

_{+ (𝑥 + 4)}

3

(12 − 𝑥)

3

_{+ (12 − 𝑥)}

_]

=

2𝑥 − 8

(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)[(𝑥 + 4)

_{+ (𝑥 + 4)}

3

(12 − 𝑥)

3

_{+ (12 − 𝑥)}

_]

=

2

(𝑥 + 4)[(𝑥 + 4)

_{+ (𝑥 + 4)}

3

(12 − 𝑥)

3

_{+ (12 − 𝑥)}

_]

→ 𝑥 = 4

=

2

(4 + 4)[(4 + 4)

_{+ (4 + 4)}

3

(12 − 4)

3

_{+ (12 − 4)}

_]

=

2

(8)[8

_{+ 8}

₈

1 3

_{+ 8}

2 3

_]

=

1

4(4 + 4 + 4)

=

1

4(12)

=

B

Problema 3 (2 puntos) Determinar para la función cuadrática: dominio, contradominio, intersección con los

ejes, vértice completando trinomio cuadrado perfecto, intervalos de crecimiento y decrecimiento, e intervalo

donde f(x)<0.

𝑓(𝑥) = −4𝑥

2

+ 4𝑥 + 8

Respuesta:

𝐷

: ℝ

𝐼

: 𝑓 = 0 → −4𝑥

_{+ 4𝑥 + 8 = 0}

−(2𝑥 − 4)(2𝑥 + 2) = 0 → 𝑥 = 2 → 𝑥 = −1

→ 𝐼

(2,0) → 𝐼

(−1,0)

𝐼

: 𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 8 → 𝐼

(0,8)

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝐶𝑇𝐶𝑃: 𝑓(𝑥) = −4𝑥

+ 4𝑥 + 8

= −(4𝑥

_{− 4𝑥 − 8)}

𝑓(𝑥) = −((2𝑥 − 1)

− 1 − 8)

𝑓(𝑥) = −(2𝑥 − 1)

+ 9 → 𝑉(

1

2

, 9)

𝑅

: (−∞. 9]

(−∞,

1

2

) : 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 (

1

B

Problema 4 (2 puntos) Para la función racional obtener dominio, rango, intersecciones con los ejes, asíntotas,

trazar su gráfica, su función inversa y comprobar

𝑓 ∘ 𝑓

_{ó 𝑓}

_{∘ 𝑓}

𝑓(𝑥) =

2𝑥 − 5

−3𝑥 + 3

Respuesta:

(𝑓)(−3𝑥 + 3) = 2𝑥 − 5

→ −3𝑓𝑥 + 3𝑓 = 2𝑥 − 5

−3𝑓𝑥 − 2𝑥 = −3𝑓 − 5 → 𝑥 =

−3𝑓 − 5

−3𝑓 + 2

→ 𝑓

₌

−3𝑥 − 5

−3𝑥 − 2

=

3𝑥 + 5

3𝑥 + 2

𝐷

: ℝ − {1} 𝑅

: ℝ − {−

2

3

}

𝑎. 𝑣. 𝑥 = 1 𝑎. ℎ. 𝑦 = −

2

3

𝐼

: 𝑓 = 0 →

2𝑥 − 5

−3𝑥 + 3

= 0 → 𝑥 =

5

2

→ 𝐼

(

5

2

, 0)

𝐼

: 𝑓(0) =

2(0) − 5

−3(0) + 3

= −

5

3

→ 𝐼

(0, −

5

3

)

𝑓 ∘ 𝑓

=

2 (

3𝑥 + 5

3𝑥 + 2) − 5

−3 (

3𝑥 + 5

_{3𝑥 + 2}

) + 3

=

6𝑥 + 10 − 15𝑥 − 10

−9𝑥 − 15 + 9𝑥 + 6

=

B

Problema 5 (2 puntos) Halle la solución de la ecuación logarítmica

[𝑙𝑜𝑔

₉

(𝑥)]

3

_{+ 𝑙𝑜𝑔}

9

(𝑥

−9

) = 𝑙𝑜𝑔

4

(9 − 8)

Solución:

𝑆𝑖 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔

₉

(𝑥)

.

𝑡

3

− 9𝑡 = 0

;

𝑡(𝑡

2

− 9) = 0

;

𝑡(𝑡 − 3)(𝑡 + 3) = 0

;

𝑡 = 0, 𝑡 = 3, 𝑡 = −3

𝑙𝑜𝑔

₉

(𝑥) = 0

anti-logaritmo

9

𝑙𝑜𝑔

(𝑥)

_{= 9}

0

_;

_{𝑥 = 1}

𝑙𝑜𝑔

₉

(𝑥) = 3

anti-logaritmo

9

𝑙𝑜𝑔

(𝑥)

_{= 9}

3

_;

_{𝑥 = 729}

𝑙𝑜𝑔

₉

(𝑥) = −3

anti-logaritmo

9

𝑙𝑜𝑔

(𝑥)

_{= 9}

−3

_;

_{𝑥 =}

1

729

intersección con los ejes cartesianos, asíntotas, y hacer un bosquejo gráfico de dicha función.

𝑓(𝑥) = 8

𝑥+1

− 2

Respuesta:

𝐷

: (−∞, +∞)

𝐼

: 𝑓 = 0 → 8

− 8

= 0 → 𝑥 + 1 =

1

3

→ 𝑥 = −

2

3

→ 𝐼

(−

2

3

, 0)

𝐼

: 𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 8

− 2 = 6 → 𝐼

(0,6)