Clara M. Neira U.
Departamento de Matem´
aticas
Introducci´on 5
0. Teor´ıa de Conjuntos 7
0.1. Definiciones b´asicas . . . 7
0.2. Uni´on, intersecci´on y diferencia - Diferencia sim´etrica . . . 8
0.3. Uniones e intersecciones arbitrarias . . . 12
0.4. Producto cartesiano . . . 14
0.5. Funciones . . . 15
0.6. Productos arbitrarios . . . 19
0.7. Relaciones . . . 21
0.8. Cardinalidad . . . 24
1. Espacios M´etricos 26 1.1. M´etricas y seudom´etricas . . . 26
1.2. Funciones continuas . . . 31
1.3. Topolog´ıa de un espacio m´etrico . . . 33
2. Espacios Topol´ogicos 39 2.1. Bases para una topolog´ıa - Conjuntos abiertos . . . 39
2.2. Espacios topol´ogicos . . . 42
2.3. Vecindades . . . 47
2.4. Conjuntos cerrados . . . 54
2.5. Adherencia de un conjunto . . . 57
2.6. Puntos de acumulaci´on . . . 64
2.7. Interior, exterior y frontera de un conjunto . . . 67
2.8. Subespacios . . . 71
3. Funciones continuas 76 3.1. Funciones continuas . . . 76
3.2. Homeomorfismos e inmersiones . . . 84
4. Topolog´ıas iniciales y Topolog´ıas finales 88 4.1. Estructuras iniciales - Topolog´ıa inicial . . . 88
4.2. Topolog´ıa Producto . . . 91
4.3. Productos arbitrarios . . . 93
4.4. Estructuras finales - Topolog´ıa final . . . 98
4.5. Topolog´ıa cociente . . . 100
5. Propiedades de Separaci´on y de enumerabilidad 105 5.1. Espacios T0 y espacios T1 . . . 105
5.2. Espacios de Hausdorff - T2 . . . 109
5.3. Espacios regulares y Espacios T3 . . . 113
5.4. Espacios completamente regulares y Espacios de Tychonoff . . 116
5.5. Espacios normales . . . 119
5.6. El Lema de Urysohn y el Teorema de Extensi´on de Tietze . . 122
5.7. Propiedades de enumerabilidad . . . 127
6. Convergencia - Filtros 131 6.1. Filtros sobre un conjunto . . . 131
6.2. Bases y sub-bases para un filtro . . . 134
6.3. Convergencia de filtros . . . 137
6.4. Ultrafiltros . . . 142
7. Espacios compactos 145 7.1. Espacios Compactos . . . 145
7.2. La Caracterizaci´on de Kuratowski-Mr´owka . . . 148
7.3. Algunos resultados sobre compacidad . . . 151
7.4. El Teorema de Tychonoff . . . 155
7.5. Compacidad local - Compactificaci´on de Alexandroff . . . 157
7.6. La compactificaci´on de Stone- ˇCech . . . 159
8. Espacios Conexos 167
8.1. Espacios Conexos . . . 167
8.2. Propiedades de los espacios conexos . . . 171
8.3. Componentes conexas . . . 174
8.4. Conexidad por arcos . . . 177
8.5. Espacios localmente conexos . . . 180
Estas notas de topolog´ıa nacieron de la necesidad de presentar los contenidos b´asicos de topolog´ıa general, de la forma m´as clara posible, a estudiantes de la carrera y del posgrado en Matem´aticas de la Universidad Nacional de Colombia.
Poco a poco se vislumbr´o la posibilidad de dar a conocer a trav´es de ellas presentaciones novedosas de conceptos conocidos, as´ı como algunas demos-traciones y resultados originales.
Es bien conocido por ejemplo, que cualquier espacio topol´ogico T0 se puede
sumergir en un producto de espacios de Sierpinski. Como una generalizaci´on de este resultado, se muestra aqu´ı que cualquier espacio topol´ogico, goce o no de la propiedad de ser T0, se puede sumergir en un producto de espacios
de Sierpinski de tres puntos.
En el cap´ıtulo de compacidad se hace especial ´enfasis en la Caracterizaci´on de Kuratowski-Mr´owka de los espacios topol´ogicos compactos, que da una visi´on categ´orica del concepto y es una herramienta valiosa que permite dar demostraciones alternativas de resultados ya conocidos sobre compacidad. Es de resaltar la asombrosa sencillez de la demostraci´on del Teorema de Tychonoff que, en el caso finito, brinda esta caracterizaci´on.
Al final de cada secci´on se ofrece una variada selecci´on de ejercicios, algunos de los cuales buscan reforzar los conocimientos en los estudiantes, mientras que otros les ofrecen la oportunidad de poner a prueba su creatividad y su ingenio.
Cap´ıtulo
0
Teor´ıa de Conjuntos
En esta secci´on se presentan muy brevemente conceptos b´asicos de la Teor´ıa de Conjuntos, as´ı como la notaci´on que se utilizar´a en adelante. Suponemos que el lector est´a familiarizado con estas definiciones y resultados por lo cual no incluimos demostraciones.
0.1.
Definiciones b´
asicas
Asumimos que el significado de la palabra “conjunto” es intuitivamente claro y, como es costumbre, utilizamos preferiblemente letras may´usculasA, B, ...
para denotar los conjuntos y letras min´usculas a, b, ... para denotar los ele-mentos de un conjunto.
Si a y b son elementos distintos, escribimos a 6= b y con A 6= B estamos indicando que A y B son conjuntos distintos.
Si un elemento a pertenece al conjunto A utilizaremos la notaci´on a ∈ A y si deseamos expresar que a no es un elemento del conjunto A escribiremos
a /∈ A. Para indicar que todos los elementos del conjunto A pertenecen tambi´en al conjunto B, esto es que que A es un subconjunto de B o que el conjuntoAest´a contenido enB, escribiremosA⊂By si deseamos especificar que, aunque A es un subconjunto de B, existen elementos de B que no pertenecen a A, escribiremos A ( B. En este caso diremos que A es un
subconjunto propio deB. Como es natural, si A ⊂B y B ⊂A entonces A y
B tienen los mismos elementos, en este caso escribimos A=B.
Para describir un conjunto podemos listar de manera expl´ıcita sus elementos
como cuando escribimos A = {2, 3, 5, 7}, o indicar una propiedad que los caracterice, como cuando utilizamos la notaci´on
A={x:xes un n´umero primo menor que 10},
o equivalentemente
A={x|xes un n´umero primo menor que 10}.
Denotamos con el s´ımbolo∅ al conjunto vac´ıo y afirmamos que ∅ ⊂X para todo conjuntoX.
SiX es un conjunto cualquiera, la colecci´on de todos los subconjuntos deX
es un conjunto que denotamos con el s´ımboloP(X) y llamamos el conjunto “partes de X”, o conjunto “potencia de X”.
Por ejemplo, si X ={0, 1, 2}, entonces
P(X) ={∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0,2}, {1, 2},{0, 1,2}}.
Observamos que siX es un conjunto finito con n elementos, entonces P(X) contiene 2n elementos.
0.2.
Uni´
on, intersecci´
on y diferencia -
Dife-rencia sim´
etrica
Si A y B son conjuntos entonces la uni´on de A y B, que denotamos
A∪B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B. Es decir
Si A y B son conjuntos entonces la
intersecci´on deA y B, que denota-mos A∩B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a
A y simult´aneamente pertenecen a
B. Es decir
A∩B ={x:x∈A y x∈B}.
Si A∩B =∅, decimos que los conjuntosA y B son disyuntos.
De las definiciones se concluye que A ⊂ A∪B, B ⊂ A∪B, A∩B ⊂ A y
A∩B ⊂B.
Adem´as se satisfacen las siguientes propiedades:
1. A∪A =A y A∩A =A para cada conjunto A.
2. A∪ ∅=A y A∩ ∅=∅ para cada conjunto A.
3. A∪B =B∪AyA∩B =B∩Apara todo conjuntoA y todo conjunto
B.
4. A∪B =A si y s´olo si B ⊂A. 5. A∩B =A si y s´olo si A⊂B.
6. A∪(B∪C) = (A∪B)∪C para A, B y C conjuntos arbitrarios. 7. A∩(B∩C) = (A∩B)∩C para A, B y C conjuntos arbitrarios.
8. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) para A, B y C conjuntos arbitrarios. 9. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) para A, B y C conjuntos arbitrarios.
Si A y B son conjuntos entonces la
diferencia ArB es el conjunto for-mado por los elementos que perte-necen a A y no pertenecen a B. Es decir
ArB ={x∈A:x /∈B}.
Si estamos trabajando con subconjuntos de un conjunto fijo X y A ⊂ X
nos referiremos a XrA como el complemento deA enX y lo denotaremos tambi´en con Ac o con {A.
Las siguientes propiedades se conocen con el nombre deLeyes de De Morgan
y resultan de gran utilidad en el trabajo con conjuntos.
1. SiA y B son subconjuntos de X entonces (A∪B)c =Ac∩Bc. 2. SiA y B son subconjuntos de X entonces (A∩B)c =Ac∪Bc.
´Intimamente relacionada con la operaci´on diferencia de conjuntos est´a la
diferencia sim´etrica.
Si A y B son conjuntos entonces la diferencia sim´etrica entre A y
B, A∆B, es el conjunto (ArB)∪ (BrA). Expresado de otra forma,
Ejercicios
0.1-2
1. Demuestre con todo detalle cada una de las siguientes afirmaciones:
a) A∪A=A y A∩A=A para cada conjunto A.
b) A∪ ∅=A y A∩ ∅=∅ para cada conjunto A.
c) A∪B = B∪A y A∩B = B ∩A para todo conjunto A y todo conjunto B.
d) A∪B =A si y s´olo si B ⊂A.
e) A∩B =A si y s´olo si A⊂B.
f) A∪(B∪C) = (A∪B)∪C para A,B y C conjuntos arbitrarios.
g) A∩(B∩C) = (A∩B)∩C para A,B y C conjuntos arbitrarios.
h) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩(A ∪ C) para A, B y C conjuntos arbitrarios.
i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪(A ∩ C) para A, B y C conjuntos arbitrarios.
j) SiA y B son subconjuntos deX entonces (A∪B)c =Ac∩Bc.
k) SiA y B son subconjuntos deX entonces (A∩B)c =Ac∪Bc.
l) Si X es un conjunto con n elementos, entonces P(X) contiene exactamente 2n elementos.
2. Escriba los siguientes conjuntos en t´erminos de uniones e intersecciones de los conjuntos A, B y C.
a) {x:x∈A y (x∈B ox∈C)}.
b) {x:x∈A o (x∈B y x∈C)}.
c) {x: (x∈A y x∈B) o x∈C}.
d) {x: (x∈A o x∈B) y x∈C}.
3. En los siguientes literales d´e una demostraci´on de las afirmaciones que considere verdaderas o ejemplos que muestren que determinadas afir-maciones son falsas. En caso de que una igualdad no se satisfaga veri-fique si por lo menos una de las contenencias es cierta.
b) A\(B\A) = A\B.
c) A∩(B\C) = (A∩B)\(A∩C).
d) A∪(B\C) = (A∪B)\(A∪C).
e) A∆A=A para cada conjunto A.
f) A∆∅=A para cada conjunto A.
g) A∆B =B∆A para todo conjuntoA y todo conjunto B.
h) A∆B =A si y s´olo si B =∅.
i) A∆(B∆C) = (A∆B)∆C para A, B y C conjuntos arbitrarios.
j) Si A y B son subconjuntos de X entonces (A∆B)c =Ac∆Bc.
0.3.
Uniones e intersecciones arbitrarias
As´ı como es posible conseguir un nuevo conjunto uniendo o intersectando dos conjuntos dados, es posible formar nuevos conjuntos construyendo la uni´on o la intersecci´on de una colecci´on arbitraria de conjuntos, o dicho de otra manera, de una familia arbitraria de conjuntos.
Dada una colecci´on A de conjuntos definimos la uni´on de la colecci´on como el conjunto
[
A∈A
A={x:x∈A para alg´unA∈ A}
y la intersecci´on de la colecci´on como el conjunto
\
A∈A
A={x:x∈A para cada A∈ A}.
Si la colecci´onA es vac´ıa, ning´un elementoxsatisface la condici´on necesaria para poder afirmar que pertenece a S
A∈AA. Entonces
S
A∈AA=∅. Pero la
expresi´on T
A∈AA s´olo tiene sentido si estamos pensando en un conjunto X
que sea todo nuestro “universo”. De ser as´ı, cada elementox∈X pertenece a T
A∈AA porque de lo contrario existir´ıa A ∈ A=∅ tal que x /∈A, lo cual
es absurdo. Entonces T
A∈AA=X.
SiA es una colecci´on de subconjuntos de un conjunto X entonces las Leyes de De Morgan tienen la siguiente presentaci´on:
1. S
A∈AA
c
=T
2. T
A∈AA
c
=S
A∈AAc.
Ejercicios
0.3
1. Demuestre las leyes de De Morgan:
a) S
A∈AA
c
=T
A∈AAc.
b) T
A∈AA
c
=S
A∈AAc.
2. Justifique cuidadosamente cada una de las siguientes afirmaciones:
a) SiA es una familia vac´ıa de conjuntos entoncesS
A∈AA=∅.
b) SiAes una familia vac´ıa de subconjuntos deXentoncesT
A∈AA=
X.
3. Para cada n∈N sea An= [−n, n]. Calcule
S
n∈NAn. 4. Para cada n∈N sea An= [−n, n]. Calcule
T
n∈NAn.
5. Para cada n∈N sea An= (−n, n). Calcule Sn∈NAn.
6. Para cada n∈N sea An= (−n, n). Calcule
T
n∈NAn. 7. Para cada n∈N sea An=
1
n,2−
1
n
. Calcule S
n∈NAn.
8. Para cada n∈N sea An=
1
n,2−
1
n
. Calcule T
n∈NAn.
9. Para cada n∈N sea An={x∈R: −1
n < x <
1
n}. Calcule
S
n∈NAn.
10. Para cada n∈N sea An={x∈R: −1
n < x <
1
n}. Calcule
T
n∈NAn.
11. En los siguientes literales d´e una demostraci´on de las afirmaciones que considere verdaderas o ejemplos que muestren que determinadas afir-maciones son falsas.
a) Six∈S
b) Si x∈A para al menos un elemento A∈ A entonces x∈S
A∈A.
c) Si x∈S
A∈A entonces x∈A para cada elemento A∈ A.
d) Si x∈A para cada elementoA∈ A entonces x∈S
A∈A.
e) Si x∈T
A∈A entonces x∈A para al menos un elemento A∈ A.
f) Si x∈A para al menos un elemento A∈ A entonces x∈T
A∈A.
g) Si x∈T
A∈A entonces x∈A para cada elemento A∈ A.
h) Si x∈A para cada elementoA∈ A entonces x∈T
A∈A.
0.4.
Producto cartesiano
Antes de dar la definici´on precisa del producto cartesiano de dos conjuntos nos referiremos brevemente al concepto de pareja ordenada. Rigurosamente hablando la pareja ordenada (a, b) es el conjunto {{a},{a, b}}. La primera coordenada de la pareja es el elemento que aparece en los dos conjuntos que la definen y la segunda coordenada es el elemento que aparece s´olo en uno de los conjuntos. Si a= b entonces la pareja (a, b) se reduce al conjunto {{a}} y en este caso la primera coordenada es igual a la segunda.
Sean X y Y dos conjuntos. El producto cartesiano X×Y es el conjunto de parejas ordenadas que tienen como primera coordenada un elemento de X y como segunda coordenada un elemento deY. Esto es:
X×Y ={(x, y) :x∈X y y∈Y}.
De la definici´on se tiene que siXyY son conjuntos entoncesX×∅=∅×Y = ∅y que, en general, X×Y 6=Y ×X.
Ejercicios
0.4
1. Muestre con un ejemplo que siAyBson conjuntos arbitrarios entonces no es siempre cierto queA×B =B×A. ¿Bajo qu´e condiciones es cierta esta igualdad?
2. Determine cu´ales de los siguientes subconjuntos de R2 se pueden ex-presar como el producto cartesiano de dos subconjuntos de R.
b) {(x, y) :x es un natural par y y∈Q}.
c) {(x, y) :y < x}.
d) {(x, y) :x es un m´ultiplo entero de π}.
e) {(x, y) :x2 −y2 <1}.
3. Determine cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu´ales son falsas. En cada caso d´e una demostraci´on o un contraejemplo indi-cando adem´as si por lo menos es cierta una contenencia.
a) A×(A\B) = (A×A)\(A×B).
b) A×(B\A) = (A×B)\(A×A).
c) A×(B\C) = (A×B)\(A×C).
d) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
e) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C).
f) (A∪B)×(C∪D) = (A×C)∪(B ×D).
g) (A∩B)×(C∩D) = (A×C)∩(B ×D).
h) (A\B)×(C\D) = (A×C)\(B ×D).
0.5.
Funciones
Sean X y Y conjuntos. Una funci´on (o aplicaci´on) f de X en Y, que deno-tamos por f :X −→Y, es un subconjunto de X×Y tal que:
1. Para cada x∈X existey∈Y tal que (x, y)∈f. 2. Si (x, y)∈f y (x, z)∈f entonces y=z.
La relaci´on (x, y)∈f se suele simbolizar por y =f(x) yf(x) se acostumbra llamar la imagen de x por la funci´on f. Tambi´en utilizaremos la notaci´on
x 7−→ f(x) para indicar que (x, f(x)) ∈ f. Informalmente hablando, una funci´on de un conjunto X en un conjunto Y se puede describir dando una regla que permita calcular f(x) para cada x ∈ X, como cuando se estudia c´alculo y se describe una funci´on de R2 en
R por medio de la expresi´on
f(x, y) = 1
0.5.1 EJEMPLO. Sean X un conjunto y A ⊂ X. La funci´on λA : X −→ {0, 1} definida por
λA(x) =
(
0 si x /∈A
1 si x∈A
es la funci´on caracter´ıstica de A. N´otese que esta funci´on caracteriza y est´a completamente caracterizada por el conjunto A.
Sif :X −→Y es una funci´on entonces el conjunto X se llama eldominio de
f, el conjuntoY es elcodominio def y el subconjunto deY cuyos elementos son las im´agenes de los elementos deX, esto es el conjunto{f(x) :x∈X}, es el rango def. Denotamos por Domf el dominio def, por Codf el codominio def y por Ranf el rango de la funci´onf.
Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codo-minio y si act´uan de la misma manera sobre cada elemeno del dominio. Esto es, si f(x) = g(x) para cada x∈ Domf.
0.5.2 EJEMPLO. Si X es un conjunto y A, B ⊂X, entonces A=B si y s´olo si las funciones caracter´ısticas λA y λB son iguales.
En efecto, SiAyB son subconjuntos deX,λA yλB tienen el mismo dominio
y el mismo codominio y siA=B, entonces para cadax∈X, λA(x) =λB(x).
De manera rec´ıproca, siλA=λB, entonces dadoa ∈A, se tiene queλA(a) = 1 =λB(a), de dondea∈B. De la misma forma se obtiene que cada elemento de B tambi´en es elemento de A, lo que prueba que A=B.
Sif :X −→ Y es una funci´on y A ⊂X, existe una funci´on con dominio A, que llamamos la restricci´on de f al conjunto A y denotamos f A, definida porf A(a) =f(a) para cadaa ∈A. De manera an´aloga, sif(X)⊂B ⊂Y, entonces podemos considerar la co-restricci´on de f a B que es una funci´on que act´ua de la misma forma que f sobre los elementos de X, pero tiene como codominio el conjunto B. No utilizaremos una notaci´on especial para la co-restricci´on de una funci´on.
Una funci´on f definida de un conjunto X en un conjunto Y determina de manera natural dos aplicaciones. La primera, que se acostumbra denotar por el mismo s´ımbolo f, con dominio P(X) y codominio P(Y), se denomina
imagen directa y aplica al subconjunto A de X en el subconjunto de Y f(A) = {f(x) : x ∈ A}. La segunda aplicaci´on, que se denomina imagen rec´ıproca y se denota porf−1, est´a definida de P(Y) enP(X) porf−1(B) =
Decimos que una funci´on f : X −→ Y es uno a uno o inyectiva si f(x) 6=
f(y) siempre que x sea diferente de y, sobreyectiva (o simplemente sobre) si
f(X) =Y y biyectiva si es uno a uno y sobre.
N´otese que una funci´onf :X −→Y es uno a uno si y s´olo sif−1(f(A)) =A
para todo A ⊂ X y que f es sobreyectiva si y s´olo si f(f−1(B)) = B para
todo B ⊂Y.
Si f : X −→ Y es una funci´on biyectiva, existe una funci´on de Y enX que se llama la inversa de f y se denota por f−1 definida por f−1(y) = x si y
s´olo si f(x) = y. El hecho de que f sea sobreyectiva garantiza la existencia de x=f−1(y) para cada y∈Y y el quef sea uno a uno garantiza que talx
es ´unico.
Si f :X −→Y y g : Y −→Z son funciones entonces la funci´on compuesta
g◦f :X −→Z est´a definida por g◦f(x) = g(f(x)). Formalmente hablando, (x, z)∈g◦f si y s´olo si existe y∈Y tal que (x, y)∈f y (y, z)∈g.
Ejercicios
0.5
1. D´e un ejemplo de una funci´on deRenRuno a uno pero no sobreyectiva.
2. D´e un ejemplo de una funci´on de R en R sobreyectiva pero no uno a uno.
3. D´e un ejemplo de una funci´on biyectiva deN enQ.
4. Sea f : X −→ Y una funci´on. Si A y B son subconjuntos de X y
A⊂B pruebe que f(A)⊂f(B).
5. Sea f : X −→ Y una funci´on. Si C y D son subconjuntos de Y y
C ⊂D pruebe que f−1(C)⊂f−1(D).
6. Sea f : X −→Y una funci´on. Si A y B son subconjuntos de X prue-be que f(A∪B) = f(A)∪f(B). Si A es una familia cualquiera de subconjuntos de X, ¿se puede afirmar que f(S
A∈AA) =
S
A∈Af(A)?
Justifique completamente su respuesta.
7. Sea f :X −→Y una funci´on. SiAyB son subconjuntos deX muestre con un contraejemplo que no siempre se satisface la igualdadf(A∩B) =
8. Sea f : X −→ Y una funci´on. Si C y D son subconjuntos de Y
pruebe que f−1(C ∪ D) = f−1(C)∪ f−1(D) y que f−1(C ∩ D) = f−1(C)∩f−1(D). M´as a´un, pruebe que si C es una familia
cualquie-ra de subconjuntos de Y entonces f−1(S
C∈CC) =
S
C∈Cf−1(C) y
f−1(T
C∈CC) =
T
C∈Cf
−1(C).
9. Determine cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas, en cu´ales se satisface s´olo una inclusi´on y en cu´ales las dos inclusiones resultan ser falsas. En cada caso justifique completamente su respuesta con una demostraci´on o con un contraejemplo.
a) Sea f : X −→ Y una funci´on. Si A y B son subconjuntos de X
entonces f(A\B) =f(A)\f(B).
b) Sea f : X −→ Y una funci´on. Si A y B son subconjuntos de X
entonces f((A\B)∪(B\A)) = (f(A)\f(B))∪(f(B)\f(A)).
c) Sea f : X −→ Y una funci´on. Si C y D son subconjuntos de Y
entonces f−1(C\D) = f−1(C)\f−1(D).
10. Consideremosf1 :X1 −→ Y1 y f2 : X2 −→ Y2 dos funciones y
defina-mos la funci´ong :X1×X2 −→Y1×Y2 porg(x1, x2) = (f1(x1), f2(x2)).
Pruebe o refute cada una de las siguientes afirmaciones:
a) g es uno a uno si y s´olo si f1 y f2 lo son.
b) g es sobreyectiva si y s´olo si f1 y f2 lo son.
11. Seanf :X −→Y una funci´on, A⊂X y B ⊂Y.
a) Demuestre que A⊂f−1(f(A)).
b) D´e un contraejemplo que muestre que no siempre se tiene que
f−1(f(A))⊂A.
c) ¿Bajo qu´e condiciones es cierta la igualdadf−1(f(A)) =A?
d) Demuestre que f(f−1(B))⊂B.
e) D´e un contraejemplo que muestre que no siempre se tiene que
B ⊂f(f−1(B)).
f) ¿Bajo qu´e condiciones es cierta la igualdadB =f(f−1(B))?
a) SiM ⊂Z,entonces (g◦f)−1(M) = f−1(g−1(M)).
b) Sif y g son uno a uno, tambi´en lo es g◦f.
c) Sif y g son sobreyectivas, tambi´en lo es g◦f.
d) Si g◦f es uno a uno, entonces f es uno a uno pero g podr´ıa no serlo.
e) Si g◦f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva pero f podr´ıa no serlo.
13. Demuestre que A∆(B∆C) = (A∆B)∆C para A, B y C conjuntos arbitrarios, probando que las funciones caracter´ısticas de A∆(B∆C) y (A∆B)∆C son iguales. (Sugerencia: Considere X =A∪B ∪C.)
0.6.
Productos arbitrarios
Hasta ahora nos hemos referido ´unicamente al producto cartesiano de dos conjuntos. En realidad estudiar este producto nos permite de manera inme-diata definir el producto cartesiano de una colecci´on finita de conjuntos. En efecto, si X1, X2, ..., Xn es una colecci´on de conjuntos entonces el producto cartesiano X1×X2×...×Xn, que tambi´en denotaremos por
Q
i=1,...,nXi, se define como el conjunto de n-tuplas
{(x1, x2, ..., xn) :xi ∈Xi para cada i= 1, ..., n}.
El ejemplo m´as inmediato y seguramente conocido por todos es el conjunto Rn ={(x1, x2, ..., xn) :xi ∈R}. En este caso todos los factores del producto son iguales al conjunto de los n´umeros reales.
Un an´alisis un poco m´as detallado nos muestra que en realidad cada elemento
x= (x1, x2, ..., xn) del producto cartesianoX1×X2×...×Xnes una funci´on del conjunto {1, 2, ..., n} en el conjunto S
i=1,...,nXi, definida por x(i) =xi para cada i= 1, ..., n.
Este hecho, que podr´ıa parecer una complicaci´on innecesaria, permite gene-ralizar la noci´on de producto cartesiano a familias arbitrarias de conjuntos como lo muestra la siguiente definici´on.
0.6.1 Definici´on. Sea {Xj}j∈J una familia de conjuntos. El producto
car-tesiano de esta familia se denota por Q
j∈JXj y es el conjunto de todas las
funciones x:J −→S
Con frecuencia utilizamos xj para denotar a x(j) y denotamos al elemento
x∈Q
j∈JXj por (xj). 0.6.2 EJEMPLOS.
1. Si J = N entonces cada elemento del producto Q
n∈NXn se puede
es-cribir como una sucesi´on (x1, x2, ...) donde xn∈Xn para cada n∈N.
2. Si Xj =X para cada j ∈ J, entonces
Q
j∈JXj es el conjunto de todas
las funciones definidas deJ en X. Denotamos porXJ a este conjunto. 3. Si Xj ⊂Yj para cada j ∈J entonces Qj∈JXj ⊂
Q
j∈JYj.
Ejercicios
0.6
1. Sea (Xi)i∈I una familia de conjuntos. Muestre que siXi =∅para alg´un
i∈I entonces Q
i∈IXi =∅.
2. Muestre que si n > 1 y X1, ..., Xn son conjuntos, entonces existe una funci´on biyectiva definida del conjunto X1 ×...×Xn en el conjunto (X1×...×Xn−1)×Xn.
3. Muestre que si (Xi)i∈I una familia de conjuntos y si J y K son sub-conjuntos de I no vac´ıos y disyuntos, tales que I = J ∪K, entonces existe una funci´on biyectiva definida del producto Q
i∈IXi en el con-junto (Q
j∈JXj)×(
Q
k∈KXk).
4. Con frecuencia se denota al conjuntoRN con el s´ımbolo
Rω. Determine cu´ales de los siguientes subconjuntos de Rω se pueden expresar como producto cartesiano de subconjuntos deR.
a) {x:xn∈Z para todon}.
b) {x:xn≥n para todo n}.
c) {x:xn=xn+1 para todo n primo}.
5. Sean (Xi)i∈I y (Yi)i∈I dos familias de conjuntos. Determine cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu´ales son falsas. En cada caso d´e una demostraci´on o un contraejemplo indicando adem´as si por lo menos es cierta una contenencia.
a) Q
i∈I(Xi\Yi) =
Q
i∈IXi \
Q
i∈IYi.
b) Q
i∈I(Xi∪Yi) =
Q
i∈IXi∪
Q
i∈IYi.
c) Q
i∈I(Xi∩Yi) =
Q
i∈IXi∩
Q
i∈IYi.
0.7.
Relaciones
Una relaci´on sobre un conjunto X (o en un conjuntoX) es un subconjunto
R del producto cartesianoX×X. Si (x, y)∈Rescribimos x R y. N´otese que una funci´on definida de un conjunto X en s´ı mismo es una relaci´on f en X
en la que cada elemento de X aparece como la primera coordenada de un elemento de f exactamente una vez. En este sentido las relaciones son una generalizaci´on de las funciones.
Una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto X es una relaci´on ∼ en X
que satisface las siguientes propiedades: 1. (Reflexividad) x∼xpara todo x∈X. 2. (Simetr´ıa) Si x∼y, entoncesy ∼x.
3. (Transitividad) Si x∼y y y∼z, entonces x∼z.
Dada una relaci´on de equivalencia ∼ sobre un conjunto X y un elemento
x ∈ X definimos la clase de equivalencia de x como el conjunto [x] ={y ∈
X :x∼ y}. De la definici´on se obtiene que x∈[x] para cada x∈X lo cual significa que S
x∈X[x] = X y tambi´en que dadas dos clases de equivalencia [x] y [y], se tiene que [x] = [y] o [x]∩[y] = ∅. Expresamos estos dos hechos diciendo que la relaci´on∼ induce una partici´on de X.
Formalmente, una partici´on de un conjunto X es una colecci´on de subcon-juntos disyuntos de X cuya uni´on es X.
Una relaci´on de orden parcial sobre un conjunto X es una relaci´on≤ enX
que satisface las siguientes propiedades:
2. (Antisimetr´ıa) Six≤y y y≤x, entonces x=y. 3. (Transitividad) Six≤y y y≤z, entonces x≤z.
Si≤es una relaci´on de orden parcial sobre un conjuntoX existe una relaci´on
< sobre X definida por x < y si x ≤ y y x 6= y. La relaci´on < no es reflexiva pero s´ı transitiva. Una relaci´on transitiva < sobre un conjunto X
que adem´as tenga la propiedad de que si x < y entonces x 6=y se llama un
orden estricto. Entonces cada relaci´on de orden parcial determina un orden estricto y, rec´ıprocamente, un orden estricto < determina un orden parcial ≤definido por x≤y si x < y ox=y.
Una relaci´on de orden parcial≤sobre un conjuntoXes unorden total si para cada parx, y de elementos deX se tiene exactamente una de las situaciones
x=y,x < yoy < x. En este caso decimos que el conjuntoXest´atotalmente ordenado.
Ejercicios
0.7
1. Determine cu´ales de las siguientes relaciones definidas sobreRson rela-ciones de equivalencia. Para cada relaci´on de equivalencia que encuentre determine las clase de equivalencia de cadax∈R.
a) x∼y sii x−y∈Z.
b) x∼y sii x−y∈Q.
c) x∼y sii x−y∈R.
d) x∼y sii xy∈Z.
e) x∼y sii xy∈Q.
f) x∼y sii x≤y.
g) x∼y sii |x|=|y|.
h) x∼y sii x= 2y.
2. Determine cu´ales de las siguientes relaciones definidas sobre R2 son relaciones de equivalencia. Para cada relaci´on de equivalencia que en-cuentre determine las clase de equivalencia de cada (x, y)∈R2.
b) (x1, y1)∼(x2, y2) sii x2−y1 ∈Q.
c) (x1, y1)∼(x2, y2) sii x1−y2 ∈R.
d) (x1, y1)∼(x2, y2) sii x1y2 ∈Z.
e) (x1, y1)∼(x2, y2) sii x1y2 ∈Q.
f) (x1, y1)∼(x2, y2) sii y1 ≤x2.
g) (x1, y1)∼(x2, y2) sii
p
x2
1+y12 =
p
x2 2+y22.
h) (x1, y1)∼(x2, y2) sii x1 =x2.
3. Consideremosf :X −→Y una funci´on y definamos la relaci´on∼sobre
X por a∼b sii f(a) = f(b).
a) Demuestre que ∼ es una relaci´on de equivalencia.
b) Demuestre que sif es sobreyectiva y siX/∼es el conjunto de cla-ses de equvalencia, entonces existe una correspondencia biyectiva entreX/∼y el conjunto Y.
c) SiX =Y =Rdescriba un m´etodo geom´etrico que permita visua-lizar la clase de equivalencia de un n´umero real.
4. Demuestre que dada una colecci´on de relaciones de equivalencia sobre un conjunto X, la intersecci´on de la colecci´on tambi´en es una relaci´on de equivalencia sobre X.
5. ¿Es la uni´on de relaciones de equivalencia sobre un conjunto X una relaci´on de equivalencia sobre X?
6. Demuestre que la relaci´on≤ definida en R2 por:
(x1, y1)≤(x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1 < x2 o (x1 =x2 y y1 < y2)) es una relaci´on de orden.
Esta relaci´on recibe el nombre deorden lexicogr´afico.
7. Determine cu´ales de las siguientes relaciones definidas sobre R2 son
relaciones de orden.
a) (x1, y1)≤(x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1−y2 ∈N).
c) (x1, y1)≤(x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1−y2 ∈Z).
d) (x1, y1)≤(x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1y2 ∈Z).
e) (x1, y1)≤(x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1y1 ∈Q).
f) (x1, y1)≤(x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (
p
x2
1+y21 <
p
x2
2+y22).
g) (x1, y1)≤(x2, y2) sii ((x1, y1) = (x2, y2)) o (x1 < x2 y y1 < y2). 8. Demuestre que un elemento en un conjunto totalmente ordenado tiene
a lo m´as un predecesor inmediato y a lo m´as un sucesor inmediato.
0.8.
Cardinalidad
Decimos que dos conjuntosX y Y son equipotentes si existe una funci´on bi-yectiva deX enY. Afirmamos que existen conjuntos que se llamann´umeros cardinales, de tal manera que cada conjunto X es equipotente con exac-tamente un n´umero cardinal que se denota por |X| y recibe el nombre de
cardinal deX.
SiA y B son n´umeros cardinales, decimos que A≤B si y s´olo si existe una funci´on uno a uno definida de X en Y. La relaci´on ≤ es un orden parcial sobre el conjunto de n´umeros cardinales. Los siguientes hechos son evidentes:
1. |X|=|Y| si y s´olo si X y Y son equipotentes.
2. |X| ≤ |Y| si y s´olo si X es equipotente con alg´un subconjunto de Y.
Veamos ahora algunos n´umeros cardinales. El conjunto vac´ıo es el cardinal 0 y el conjunto{0, ..., n−1} es el cardinal n. Un conjunto X es enumerable si y s´olo si X es equipotente con el conjunto N de los n´umeros naturales. En este caso escribimos |X| = ℵ0. Si X es equipotente con el conjunto R
de los n´umeros reales, escribimos |X| = c. Un conjunto X es contable si es enumerable o su cardinal es n para alg´un n= 0,1, ..., esto es, X es contable si es enumerable o es finito.
Con frecuencia utilizaremos los siguientes hechos:
1. n <ℵ0 <c para todo n= 0,1, ....
3. El producto de dos conjuntos contables es un conjunto contable 4. El conjunto Q de los n´umeros racionales es contable.
Finalizamos esta breve introducci´on a la teor´ıa de conjuntos enunciando un axioma aceptado por la gran mayor´ıa de matem´aticos.
Axioma de Elecci´on. Dada una colecci´onAde conjuntos no vac´ıos disyuntos dos a dos, existe un conjuntoCque tiene exactamente un elemento en com´un con cada elemento de A.
El Axioma de Elecci´on afirma que cuando tenemos una colecci´on de conjuntos no vac´ıos, es posible construir un nuevo conjunto escogiendo un elemento de cada conjunto de la colecci´on.
Ejercicios
0.8
1. Demuestre que Q es un conjunto contable.
2. Demuestre que una uni´on contable de conjuntos contables es contable. ¿Qu´e ocurre con la uni´on no contable de conjuntos contables?
3. Demuestre que un producto finito de conjuntos contables es contable. ¿Qu´e ocurre con el producto infinito de conjuntos contables?
4. Muestre que el Axioma de Elecci´on es equivalente a la siguiente afirma-ci´on: Para cualquier familia (Ai)i∈I de conjuntos no vac´ıos, con I 6=∅,
el producto cartesiano Q
Cap´ıtulo
1
Espacios M´etricos
En este cap´ıtulo estudiaremos el concepto de distancia entre dos puntos de un conjunto. Con este prop´osito definiremos una estructura matem´atica sobre un conjunto dado, que nos permita decidir cu´ando un punto est´a “cerca” de otro.
1.1.
M´
etricas y seudom´
etricas
1.1.1 Definici´on. SeaX un conjunto. Una m´etricasobreX es una funci´on
ρ:X×X −→R tal que: 1. ρ(x, y)≥0,
2. ρ(x, y) = 0 si y s´olo si x=y, 3. ρ(x, y) =ρ(y, x) y
4. ρ(x, y)≤ρ(x, z) +ρ(z, y) (desigualdad triangular)
para todo x, y, z ∈ X. Si ρ es una m´etrica sobre X decimos que (X, ρ), o simplemente X, si no hay lugar a confusi´on sobre la m´etrica con la que se trabaja, es un espacio m´etrico.
1.1.2 EJEMPLOS.
1. Si X es un conjunto cualquiera, la funci´on ρ :X ×X −→R definida por
ρ(x, y) =
(
0 si x=y
1 si x6=y
es una m´etrica sobre X que se llama la m´etrica discreta.
2. El conjunto R de los n´umeros reales, junto con la funci´on distancia
ρ definida por ρ(x, y) = |x−y|, es un espacio m´etrico. En adelante diremos que esta funci´on es la m´etrica usual de R y, a menos que se especifique lo contrario, cuando nos refiramos a los n´umeros reales estaremos considerando esta m´etrica sobre R.
En general, Rn con la m´etrica usual definida por
ρ((x1, ..., xn),(y1, ..., yn)) =
v u u t
n
X
i=1
(xi−yi)2
es un espacio m´etrico.
3. El plano R2, junto con la funci´on ρ
1 definida por
ρ1((x1, y1),(x2, y2)) =|x1−x2|+|y1 −y2|
es un espacio m´etrico. La funci´on ρ1 se suele llamar la m´etrica del
taxista.
4. El plano R2, junto con la funci´on ρ2 definida por
ρ2((x1, y1),(x2, y2)) = m´ax{|x1−x2|, |y1−y2|}
es un espacio m´etrico.
5. Sea X el conjunto de todas las funciones acotadas f : R −→ R (una funci´on f :R−→R es acotada si existe un n´umero real M >0 tal que
|f(x)| < M para todo x ∈ R). La funci´on ρ : X×X −→ R definida por ρ(f, g) = sup{|f(x)−g(x)|:x∈R} es una m´etrica sobre X. 6. Sea C(I) el conjunto de todas las funciones continuas definidas del
intervalo I = [0,1] en R. La funci´on ρ : C(I)×C(I) −→ R definida por ρ(f, g) = R1
7. Cualquier subconjunto Y de un espacio m´etrico (X, d) es un espacio m´etrico con la restricci´on dY×Y de la funci´on d a Y ×Y.
8. Si X = {x1, x2, ...} es un conjunto contable, entonces la funci´on d : X×X −→R definida por
d(xi, xj) =
1 + 1
i+j si i6=j
0 si i=j
es una m´etrica sobre X. El espacio (X, d) se llama el Espacio M´etrico de Sierpinski yd se llama la m´etrica de Sierpinski.
En un espacio m´etrico, adem´as de medir la distancia entre dos puntos, es posible medir la distancia entre un punto y un conjunto.
1.1.3 Definici´on. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Si A es un subconjunto no vac´ıo de X entonces la distanciad(x, A) de un punto x∈X al conjunto
A se define como el ´ınfimo de los n´umeros d(x, a) donde a∈A; esto es,
d(x, A) = inf{d(x, a) :a∈A}.
N´otese que si (X, d) es un espacio m´etrico y A ⊂ X entonces d(x, A) = 0 para todox∈ A; pero que d(x, A) = 0 no implica que x sea un elemento de
A. Si consideramos por ejemplo el conjunto R de los n´umeros reales con la m´etrica usual y A={1
n :n∈N} entonces d(0, A) = 0 y 0∈/ A.
1.1.4 Definici´on. Sea(X, d)un espacio m´etrico. SiAes un subconjunto no vac´ıo deX entonces el di´ametro deA,diam Aes sup{d(x, y) :x, y ∈A}. Si
diam A < ∞entonces decimos que el conjuntoA es acotado. Por definici´on
diam A= 0.
De la definici´on se tiene que el espacio m´etrico X es acotado si la funci´on
d es acotada. Las condiciones que debe satisfacer la funci´on distancia d en un espacio m´etrico X son bastante rigurosas. En ocasiones una funci´on d :
1.1.5 Definici´on. Sea X un conjunto. Una funci´on ρ : X×X −→ R tal que
1. ρ(x, y)≥0, 2. ρ(x, x) = 0, 3. ρ(x, y) =ρ(y, x) y
4. ρ(x, y)≤ρ(x, z) +ρ(z, y)
para cada x, caday y cada z en X, se llama una seudom´etrica sobre X. Si
ρ es una seudom´etrica sobre X decimos que (X, ρ) (o simplemente X) es un espacio seudom´etrico.
N´otese que en un espacio seudom´etrico (X, ρ) pueden existir puntos distintos
x y y con ρ(x, y) = 0.
1.1.6 EJEMPLOS.
1. Toda m´etrica sobre un conjunto X es tambi´en una seudom´etrica. 2. Si X es un conjunto entonces la funci´on ρ:X×X −→R definida por
ρ(x, y) = 0 es una seudom´etrica sobre X.
3. Sea x0 ∈[0,1]. La funci´onη :C(I)×C(I)−→Rdefinida porη(f, g) =
|f(x0)−g(x0)| es una seudom´etrica sobre C(I).
Ejercicios
1.1
1. Demuestre que las siguientes funciones son m´etricas sobre los conjuntos dados.
a) Si X es un conjunto cualquiera, sea ρ : X×X −→ R la funci´on definida por
ρ(x, y) =
(
0 six=y
b) En R la funci´on definida porρ(x, y) =|x−y|.
c) En Rn la funci´on definida por
ρ((x1, ..., xn),(y1, ..., yn)) =
v u u t
n
X
i=1
(xi−yi)2.
d) En el plano, la funci´on definida por
ρ1((x1, y1),(x2, y2)) =|x1−x2|+|y1−y2|.
La funci´on ρ1 se suele llamar la m´etrica del taxista.
e) En el plano, la funci´on definida por definida por
ρ2((x1, y1),(x2, y2)) = m´ax{|x1−x2|, |y1−y2|}.
f) En el conjunto X de todas las funciones acotadas f :R−→R, la funci´onρ:X×X −→Rdefinida porρ(f, g) = sup{|f(x)−g(x)|:
x∈R}.
g) En el conjuntoC(I) de todas las funciones continuas definidas del intervaloI = [0,1] enR, la funci´onρ :C(I)×C(I)−→Rdefinida por ρ(f, g) = R01|f(x)−g(x)|dx.
h) En cualquier conjunto contable X = {x1, x2, ...}, la funci´on d : X×X −→R definida por
d(xi, xj) =
1 + 1
i+j si i6=j
0 si i=j.
2. Demuestre que las funciones definidas a continuaci´on son seudom´etricas sobre los conjuntos dados.
a) En un conjunto X, la funci´on ρ : X ×X −→ R definida por
ρ(x, y) = 0.
b) Seax0 ∈[0,1]. EnC(I), la funci´onη:C(I)×C(I)−→Rdefinida
por η(f, g) =|f(x0)−g(x0)|.
3. Sean (X, d) y (Y, m) dos espacios m´etricos. ¿Es la funci´onρ: (X×Y)× (X×Y)−→R, definida porρ((x1, x1),(x2, y2)) = m´ax{d(x1, x2), m(y1, y2)},
4. Sea ρ una seudom´etrica definida sobre un conjunto X. Definimos la relaci´on ∼sobre X por x∼y siiρ(x, y) = 0.
a) Pruebe que ∼ es una relaci´on de equivalencia sobre X.
b) Sea X/∼ el conjunto de todas las clases de equivalencia determi-nadas por ∼. Demuestre que la funci´on d : X/∼ ×X/∼ −→ R definida por d([x],[y]) =ρ(x, y) es una m´etrica sobre X/∼.
1.2.
Funciones continuas
Sin duda el concepto m´as ´util e importante en el estudio de los espacios m´etricos, seudom´etricos y en general de los espacios topol´ogicos es el concepto de continuidad.
1.2.1 Definici´on. Sean(X, ρ)y(Y, η)espacios m´etricos (resp. seudom´ etri-cos). Una funci´on f : X −→ Y es continua en un punto x0 ∈ X si dado >0 existe δ >0 tal que si ρ(x, x0)< δ, entonces η(f(x), f(x0))< .
Si la funci´on f es continua en cada punto de X decimos simplemente que
f es continua.
Los siguientes son ejemplos t´ıpicos de funciones continuas. 1.2.2 EJEMPLOS.
1. Si (X, d) es un espacio m´etrico entonces IdX : X −→ X, la funci´on
id´entica de X, es continua. En efecto, si x0 ∈ X y si es un n´
ume-ro real positivo y consideramos δ = entonces d(x, x0) < δ implica d(IdX(x), IdX(x0))< .
2. Si (X, ρ) y (Y, η) son espacios m´etricos y si k ∈ Y es un punto arbi-trario pero fijo de Y, entonces la funci´on constante f : X −→ Y de valor k es una funci´on continua. Para demostrar esto basta observar que si x0 ∈ X, si > 0 y si δ es un n´umero real arbitrario, entonces ρ(x, x0)< δ implica η(f(x), f(x0)) =η(k, k) = 0< .
1.2.3 Proposici´on. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X, A 6= ∅. La funci´on de X en los n´umeros reales definida por x7−→d(x, A) es continua. Demostraci´on. Sean x0 ∈ X y > 0. Si d(x, x0) < , entonces para cada a∈A se tiene que
d(x, A)≤d(x, a)
≤d(x, x0) +d(x0, a) < +d(x0, a).
Esto significa qued(x, A)− < d(x0, a) para todoa ∈A. Entoncesd(x, A)− ≤d(x0, A), es decir
d(x, A)−d(x0, A)≤.
De la misma forma se obtiene que
d(x0, A)−d(x, A)≤,
luego
|d(x, A)−d(x0, A)| ≤.
Esto completa la demostraci´on.
Ejercicios
1.2
1. Demuestre que siX tiene la m´etrica discreta yY es un espacio m´etrico cualquiera, entonces cualquier funci´on definida de X enY es continua. ¿Qu´e ocurre si Y es un espacio seudom´etrico?
2. Demuestre que si X es un espacio m´etrico cualquiera y Y tiene la seudom´etrica definida por d(w, z) = 0 para todo w y todo z en Y, entonces cualquier funci´on definida deXenY es continua. ¿Qu´e ocurre siX es un espacio seudom´etrico?
3. De un ejemplo de dos m´etricas d1 y d2, definidas sobre un mismo
con-juntoX, de tal manera que la funci´on id´entica de (X, d1) en (X, d2) no
4. Suponga qued1 yd2 son dos m´etricas definidas sobre un mismo
conjun-toX. Si la aplicaci´on id´entica definida de (X, d1) en (X, d2) es continua,
¿qu´e puede afirmar de d1 y d2? Demuestre su conjetura.
5. Dos espacios m´etricos (X, d) y (Y, m) son isom´etricos si existe una funci´on biyectiva f :X −→Y tal que
d(x1, x2) =m(f(x1), f(x2))
para cada x1 y cada x2 en X. La funci´on f se llama una isometr´ıa.
a) Pruebe que sif :X −→Y es una isometr´ıa, entoncesf yf−1 son
funciones continuas.
b) Pruebe que el intervalo [0,1] es isom´etrico a cualquier otro inter-valo cerrado deR de la misma longitud.
c) Pruebe que si Ry R2 tienen cada uno su m´etrica usual, entonces no son isom´etricos.
d) Pruebe que siX yY tienen cada uno la m´etrica discreta entonces
X y Y son isom´etricos si y s´olo si tienen la misma cardinalidad.
e) Defina una m´etrica en el intervalo abierto (0,1), de tal manera que el espacio m´etrico resultante sea isom´etrico a Rcon la m´etrica usual.
1.3.
Topolog´ıa de un espacio m´
etrico
1.3.1 Definici´on. Sean (X, d) un espacio m´etrico, x ∈ X y > 0. El conjunto B(x, ) = {y ∈ X : d(x, y)< } se llama la bola abierta centrada en x con radio . El conjunto B[x, ] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ } se llama la bola cerrada centrada en x con radio .
N´otese que en R, la bola abierta centrada en un n´umero real x con radio
es el intervalo abierto (x−, x+).
La siguiente figura muestra la bola abierta de radio 1 centrada en el origen, para cada una de las m´etricasρ,ρ1 y ρ2 definidas sobreR2 en los numerales
Por su parte, la bola abierta de radio
centrada en una funci´on f : R−→ R que pertenezca al espacio m´etrico des-crito en el numeral 5. de los ejemplos 1.1.2., est´a formada por las funciones acotadas que tienen su gr´afica conte-nida en la franja que se muestra en la figura.
SiXes un espacio discreto, es decir si enXconsideramos la m´etrica discreta, entonces la bola abierta de radio >0 centrada en un puntox∈X se reduce a{x} si ≤1 y es todo el conjuntoX si >1.
Si X es el Espacio M´etrico de Sierpinski definido en el numeral 8 de 1.1.2. entonces la bola de radio 0 < ≤ 1 centrada en cualquier punto x ∈ X se reduce a {x}.
Una de las propiedades m´as bonitas y relevantes de las bolas en un espacio m´etrico se enuncia en el siguiente resultado:
Para probar esta proposici´on basta considerarγ = m´ın{−d(a, x), δ−d(x, b)} y utilizar la desigualdad triangular.
En los espacios m´etricos tenemos la posibilidad de hablar de “cercan´ıa”. Decir que un punto est´a tan cerca de otro como queramos, significa que los puntos est´an a una distancia menor que un n´umero positivo que hemos fijado con anterioridad. En otras palabras, si para nosotros “estar suficientemente cerca” de un punto a significa estar a una distancia menor que un cierto n´umero > 0, entonces los “vecinos” de a o los puntos “suficientemente cercanos a a” son precisamente los elementos del conjunto B(a, ). Estas consideraciones sugieren la siguiente definici´on:
1.3.3 Definici´on. Sean X un espacio m´etrico y x∈X. Un subconjunto V
de X es una vecindad de x si existe >0 tal que B(x, )⊂ V. Denotamos por V(x) al conjunto de todas las vecindades del punto x.
1.3.4 EJEMPLOS.
1. En los n´umeros reales el intervalo [1,+∞) es una vecindad de 3 (en realidad es una vecindad de cualquier real mayor que1); pero no es una vecindad de 1.
3. La bola cerrada B[x,1] es una vecindad de x= (0,0) en R2.
4. El conjunto A = {(x, y) : y < x} ⊂ R2 es una vecindad de cada uno
sus puntos.
5. El conjunto {f : |f(x)| < 2 para cada x ∈ R} es una vecindad de la funci´on arctanx en el espacio de funciones acotadas definido en el numeral 5. de 1.1.2..
Los items 2 y 4 de los ejemplos anteriores muestran conjuntos muy especiales en los que se basar´a todo nuestro estudio en topolog´ıa. Tienen en com´un la caracter´ıstica de ser vecindades de cada uno de sus puntos. De estos conjuntos diremos que son conjuntos abiertos.
1.3.5 Definici´on. Un subconjunto A de un espacio m´etrico X es un con-junto abierto en X si A es vecindad de cada uno de sus puntos.
Consideremos un espacio m´etrico X. De la definici´on se infieren de manera inmediata los siguientes hechos:
1. El conjunto vac´ıo ∅ y el conjuntoX son conjuntos abiertos.
2. SiA y B son conjuntos abiertos en X entonces A∩B es un conjunto abierto enX.
3. La uni´on de cualquier familia de conjuntos abiertos enXes un conjunto abierto enX.
N´otese que en un espacio m´etricoX las bolas abiertas son conjuntos abiertos y que cada conjunto abierto se puede expresar como una uni´on de bolas abier-tas. Decimos entonces que las bolas abiertas “generan” los conjuntos abiertos. M´as adelante expresaremos este hecho diciendo que las bolas abiertas “ge-neran la topolog´ıa del espacio X” o que “son una base para la topolog´ıa de
X”.
1.3.6 Definici´on. Dos m´etricas sobre un conjunto X son equivalentes si generan los mismos conjuntos abiertos.
1.3.7 EJEMPLOS.
1. Hemos visto que siX es un conjunto contable entonces los subconjuntos unitarios de X son bolas abiertas, tanto si consideramos la m´etrica discreta sobre X, como si consideramos la m´etrica de Sierpinski. Estas dos m´etricas generan entonces los mismos conjuntos abiertos en X. En otras palabras, estas m´etricas son equivalentes.
2. Los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen m´etricas equivalentes sobre
R2.
3. Si (X, d) es un espacio m´etrico, la funci´on d1 : X ×X −→ R
defi-nida por d1(x, y) = m´ın{d(x, y), 1} es una m´etrica acotada sobre X
equivalente a la m´etrica d.
Estudiaremos otros conceptos topol´ogicos en espacios m´etricos a lo largo de los siguientes cap´ıtulos.
Ejercicios
1.3
1. Sea X un espacio m´etrico. Demuestre los siguientes hechos:
a) El conjunto vac´ıo ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.
b) SiAyBson conjuntos abiertos enXentoncesA∩Bes un conjunto abierto en X.
c) La uni´on de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es un conjunto abierto en X.
d) Todo intervalo abierto de R es un conjunto abierto.
a) Los subconjuntos de X que tienen exactamente un punto son cerrados.
b) Si A y B son conjuntos cerrados en X entonces A ∪ B es un conjunto cerrado en X.
c) La intersecci´on de cualquier familia de conjuntos cerrados en X
es un conjunto cerrado en X.
d) SiX tiene la m´etrica discreta entonces todo subconjunto deX es abierto y cerrado.
e) Todo intervalo cerrado de R es un conjunto cerrado.
3. SeanX yY espacios m´etricos y seaf :X−→Y una funci´on. Demues-tre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) f es continua.
b) Si A es un subconjunto abierto de Y entonces f−1(A) es un
sub-conjunto abierto de X.
c) SiK es un subconjunto cerrado deY entoncesf−1(K) es un sub-conjunto cerrado de X.
4. Muestre que los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen m´etricas equi-valentes sobreR2.
5. Sea (X, d) es un espacio m´etrico. Muestre que la funci´ond1 :X×X −→
Cap´ıtulo
2
Espacios Topol´
ogicos
La distancia definida en un espacio m´etrico da lugar al concepto de bola abierta, que a su vez permite hablar de las vecindades de un punto y de los conjuntos abiertos en el espacio. En este cap´ıtulo generalizamos estas ideas a otros conjuntos en los que no necesariamente se tiene la noci´on de distancia.
2.1.
Bases para una topolog´ıa - Conjuntos
abiertos
Hemos visto que en un espacio m´etrico (X, d) las bolas abiertas satisfacen las siguientes propiedades:
1. S
x∈X,>0B(x, ) = X.
2. Si a, b∈X, si , δ >0 y si x∈B(a, )∩B(b, δ) entonces existe γ >0 tal que B(x, γ)⊂B(a, )∩B(b, δ).
Con estas propiedades en mente y teniendo en cuenta que la colecci´on de bolas abiertas en un espacio m´etrico da lugar a conceptos tan importantes como el concepto de vecindad y el de conjunto abierto que nos permiten estudiar el espacio m´etrico a profundidad, formulamos la siguiente definici´on:
2.1.1 Definici´on. SeaX un conjunto. Una colecci´onB de subconjuntos de
X es una base para una topolog´ıa sobre X si se satisfacen las siguientes condiciones:
1. S
B∈BB =X.
2. Si B1, B2 ∈ B y x∈ B1∩B2 entonces existe C ∈ B tal que x ∈C y C ⊂B1∩B2.
La primera condici´on nos dice que todo elemento de X debe pertenecer a un elemento de B y la segunda que la intersecci´on de dos elementos de la colecci´on B se puede expresar como una uni´on de elementos de la misma colecci´on.
2.1.2 EJEMPLOS.
1. La colecci´on de todas las bolas abiertas en un espacio m´etricoX es una base para una topolog´ıa sobre X.
2. La colecci´on de todos los intervalos de la forma [a, b)cona yb n´umeros reales y a < b es una base para una topolog´ıa sobre R.
Al igual que sucede en los espacios m´etricos, el concepto de base para una topolog´ıa da lugar al concepto de conjunto abierto.
2.1.3 Definici´on. Sean X un conjunto y B una base para una topolog´ıa sobre X. Un subconjunto A de X es un conjunto abierto en X si es uni´on de una familia de elementos de B.
La colecci´on de todos los conjuntos abiertos en X es la topolog´ıa sobre X
generada porB. Esta definici´on justifica el t´ermino “base para una topolog´ıa” sobre X.
N´otese que, al igual que en los espacios m´etricos, la topolog´ıa sobre X gene-rada porB tiene las siguientes propiedades:
2. Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A∩B es un conjunto abierto en X.
3. La uni´on de cualquier familia de conjuntos abiertos enXes un conjunto abierto en X.
Ejercicios
2.1
1. Pruebe que la colecci´on de todos los intervalos de la forma [a, b) con a
y b n´umeros reales y a < b es una base para una topolog´ıa sobre R. 2. Pruebe que la colecci´on de todos los rect´angulos abiertos (es decir, sin
sus bordes) es una base para una topolog´ıa sobre el plano.
3. Para cada entero positivo n, sea Sn = {n, n+ 1, ...}. Muestre que la colecci´on de todos los subconjuntos de N que contienen a alg´un Sn es una base para una topolog´ıa sobre N.
4. Sean X un conjunto yS una colecci´on de subconjuntos deX. SeaB la colecci´on de todas las intersecciones finitas de elementos de S.
a) Demuestre que la uni´on de la colecci´onBesX. (Sugerencia: Con-sidere la intersecci´on de una familia vac´ıa de elementos de S.)
b) Pruebe que si A y B pertenecen a B y si x ∈ A ∩B, entonces existeC ∈ B tal que x∈C y C ⊂A∩B.
Se ha demostrado que B es una base para una topolog´ıa sobre X. La colecci´on S es una sub-base para la topolog´ıa, que genera la base B. Los elementos de S se dicen ser sub-b´asicos.
5. Considere la colecci´on S de conjuntos de la forma (−∞, a) junto con los conjuntos de la forma (b,∞). Esta colecci´on es una sub-base para una topolog´ıa sobre R.
a) Describa la base B generada por S.
b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.
6. Considere la colecci´onS de todas las lineas rectas en el plano.
b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.
7. SeaXun conjunto yBuna base para una topolog´ıa sobreX. Demuestre cada una de las siguientes afirmaciones:
a) El conjunto vac´ıo ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.
b) SiAyBson conjuntos abiertos enXentoncesA∩Bes un conjunto abierto en X.
c) La uni´on de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es un conjunto abierto en X.
2.2.
Espacios topol´
ogicos
La colecci´on de todos los conjuntos abiertos determinados por una base para una topolog´ıa sobre un conjuntoX, es la mayor base que genera la misma to-polog´ıa sobreX. Con frecuencia tomaremos como punto de partida esta base particular para nuestro estudio. Trabajaremos con la siguiente definici´on:
2.2.1 Definici´on. Sea X un conjunto. Una colecci´on τ de subconjuntos de
X tal que
1. el conjunto vac´ıo ∅ y el conjunto X pertenecen a τ, 2. si A, B∈τ entonces A∩B ∈τ,
3. la uni´on de cualquier familia de elementos de τ pertenece a τ
es una topolog´ıa sobre X. Los elementos de la colecci´on τ se llaman con-juntos abiertos y la pareja (X, τ), o simplemente X si no cabe duda sobre cu´al es la colecci´on τ, se llama un espacio topol´ogico.
2.2.2 EJEMPLOS.
La topolog´ıa usual sobre R, y en general sobre Rn, es la topolog´ıa
gene-rada por la m´etrica usual.
Si la topolog´ıa sobre un espacio X est´a generada por una m´etrica deci-mos que X es un espacio metrizable.
2. Sea X un conjunto cualquiera. La colecci´on P(X) de todos los subcon-juntos de X es una topolog´ıa sobreX que recibe el nombre de topolog´ıa discreta. El espacio (X,P(X)) se llama espacio discreto. N´otese que esta topolog´ıa est´a generada por la m´etrica discreta sobre X.
3. Sea X un conjunto cualquiera. La colecci´on {∅, X} es una topolog´ıa sobre X que se llama topolog´ıa trivial o topolog´ıa grosera. El espacio
X con esta topolog´ıa es un espacio trivial o espacio grosero.
4. La colecci´on τ = {∅, {0}, {0, 1}} es la topolog´ıa de Sierpinski so-bre el conjunto X = {0, 1}. El espacio (X, τ) se llama el espacio de Sierpinski.
5. La colecci´on {(a,+∞) :a ∈R} ∪ {R} es una topolog´ıa sobre R que se acostumbra llamar la topolog´ıa de las colas a derecha. Por su parte, la colecci´on {(−∞, a) : a ∈ R} ∪ {R} es tambi´en una topolog´ıa sobre R que se llama la topolog´ıa de las colas a izquierda.
6. Sea X un conjunto infinito. La colecci´on
{A⊂X :Ac es finito } ∪ {∅}
es una topolog´ıa sobre X que recibe el nombre de topolog´ıa de los com-plementos finitos.
7. Sea X un conjunto. La colecci´on
{A⊂X :Ac es contable } ∪ {∅}
es una topolog´ıa sobre X que recibe el nombre de topolog´ıa de los com-plementos contables.
8. Un subconjuntoAdel planoR2 se llama radialmente abiertosi por cada
uno de sus puntos existe un segmento abierto de linea recta en cada direcci´on, que contiene al punto y est´a contenido en el conjunto. Es inmediato que la colecci´on de todos los conjuntos radialmente abiertos es una topolog´ıa sobre R2 que se llama topolog´ıa radial. El plano
R2
9. SeaX un conjunto totalmente ordenado por la relaci´on<. Dos elemen-tos a, b∈X con a < b, determinan los siguientes intervalos:
Intervalo abierto: (a, b) = {x∈X :a < x < b},
(a, b] ={x∈X :a < x≤b},
[a, b) ={x∈X :a≤x < b},
Intervalo cerrado: [a, b] ={x∈X :a≤x≤b}.
Sea B la colecci´on que consiste de los siguientes tipos de intervalos:
a) Todos los intervalos abiertos (a, b) en X.
b) Todos los intervalos de la forma [a0, b) donde a0 es el elemento
m´ınimo de X (si lo hay).
c) Todos los intervalos de la forma (a, b0] donde b0 es el elemento
m´aximo de X (si lo hay).
La colecci´onBes una base que genera la as´ı llamadatopolog´ıa del orden
sobre X. Un conjunto totalmente ordenado junto con la topolog´ıa del orden se llama un espacio ordenado.
Consideremos sobre el conjunto de los n´umeros reales la topolog´ıa usualτusual y la topolog´ıa de las colas a derecha τC. N´otese que cada conjunto abierto en el espacio (R, τC) es un conjunto abierto en (R, τusual). Expresamos este hecho diciendo queτC esmenos fina que τusual o que τusual es m´as fina que
τC. En general tenemos la siguiente definici´on:
2.2.3 Definici´on. SeanX un conjunto yτ1,τ2 topolog´ıas sobreX. Decimos
que τ1 es menos fina que τ2 o que τ2 es m´as fina que τ1 si τ1 ⊂τ2.
Como es natural, siτ1es menos fina que τ2 yτ2 es menos fina queτ1entonces
τ1 =τ2.
1. Recordemos la m´etrica del taxista ρ1 definida sobre R2 por ρ1((x1, y1),(x2, y2)) =|x1−x2|+|y1−y2|.
Si (x1, y1)∈R2 y >0 entonces
{(x, y) :|x−x1|+|y−y1|< }
⊂ {(x, y) :p(x−x1)2+ (y−y1)2 < }.
Esto implica que la topolog´ıa usual sobre R2 es menos fina que la
to-polog´ıa generada por la m´etrica del taxista.
Adem´as se tiene que
(
(x, y) :p(x−x1)2+ (y−y1)2 <
√ 2
2
)
⊂ {(x, y) :|x−x1|+|y−y1|< }.
Entonces la topolog´ıa usual sobreR2
Aunque ya lo hab´ıamos mencionado, las consideraciones anteriores im-plican que la m´etrica usual y la m´etrica del taxista generan la misma topolog´ıa sobre R2.
2. Si z es un punto en una bola abierta en R2 con la topolog´ıa usual,
para cada posible direcci´on existe un segmento abierto de linea en esta direcci´on, que contiene a z y que est´a contenido en la bola. Esto implica que la topolog´ıa usual de R2 es menos fina que la topolog´ıa radial.
Ejercicios
2.2
1. Describa todas las topolog´ıas que existen sobre un conjunto de dos elementos y determine para cada par de ellas si una es mas fina o menos fina que la otra.
2. Determine cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu´ales son falsas. En cada caso, justifique su respuesta con una demostraci´on o un contraejemplo.
a) La intersecci´on de dos topolog´ıas sobre un conjunto X es una topolog´ıa sobre X.
b) La intersecci´on de cualquier familia de topolog´ıas sobre un con-junto X es una topolog´ıa sobre X.
c) La uni´on de dos topolog´ıas sobre un conjuntoX es una topolog´ıa sobre X.
d) La uni´on de cualquier familia de topolog´ıas sobre un conjunto X
es una topolog´ıa sobre X.
3. Demuestre que siB es una base para una topolog´ıa sobre X, entonces la topolog´ıa generada por B es igual a la intersecci´on de todas las topolog´ıas sobreX que contienen a B.
4. Demuestre que si S es una sub-base para una topolog´ıa sobre X, en-tonces la topolog´ıa generada por S es igual a la intersecci´on de todas las topolog´ıas sobreX que contienen a S.
6. Sea X un conjunto totalmente ordenado. Verifique que la colecci´on B que consiste de los siguientes tipos de intervalos:
a) todos los intervalos abiertos (a, b) en X,
b) todos los intervalos de la forma [a0, b) donde a0 es el elemento
m´ınimo de X (si lo hay),
c) todos los intervalos de la forma (a, b0] donde b0 es el elemento
m´aximo deX (si lo hay),
es una base para una topolog´ıa sobre X.
7. Considere la topolog´ıa del orden lexicogr´afico sobreR2.
a) Haga un bosquejo que muestre los distintos tipos de intervalos que se pueden encontrar.
b) Muestre que la funci´ond∗:R2×
R2 −→R definida por
d∗((x1, y1),(x2, y2)) =
(
m´ın{|y1−y2|,1} six1 =x2
1 six1 6=x2
es una m´etrica sobre R2.
c) Compare la topolog´ıa generada por la m´etrica d∗con la topolog´ıa del orden lexicogr´afico sobre R2.
2.3.
Vecindades
Ahora estamos en capacidad de definir el concepto de vecindad de un punto en un espacio topol´ogico.
2.3.1 Definici´on. Sean X un espacio topol´ogico y x∈X. Un subconjunto
V de X es una vecindad de x si existe un conjunto abierto A tal que x∈A
y A⊂V. Denotamos por V(x) el conjunto de todas las vecindades de x.
N´otese que un subconjunto A de un espacio topol´ogico X es un conjunto abierto si y s´olo si A es vecindad de cada uno de sus puntos.
2.3.2 Proposici´on. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico. 1. x∈V para cada V ∈ V(x).
2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩V ∈ V(x).
3. Si U ∈ V(x) entonces existe V ∈ V(x) tal que U ∈ V(y) para cada
y∈V.
4. Si U ∈ V(x) y U ⊂V entonces V ∈ V(x).
Demostraci´on.
1. La primera afirmaci´on es consecuencia inmediata de la definici´on de vecindad.
2. Si A, B ∈ τ, x ∈ A, x ∈ B, A ⊂ U y B ⊂ V entonces A∩B ∈ τ,
x∈A∩B y A∩B ⊂U ∩V. 3.
Puesto que U ∈ V(x) existe V ∈τ
tal que x ∈ V y V ⊂ U. Entonces para cada y ∈V,U ∈ V(y).
4. Si A ∈ τ es tal que x ∈ A y A ⊂ U entonces tambi´en A ⊂ V y as´ıV ∈ V(x).
En nuestra discusi´on incial de este cap´ıtulo vimos c´omo generar una topo-log´ıa sobre un conjuntoX partiendo de una colecci´on de subconjuntos deX
veremos que si tomamos como punto de partida colecciones con las mismas propiedades de las vecindades de los puntos, tambi´en podemos generar una topolog´ıa sobre el conjunto X.
2.3.3 Proposici´on. Sea X un conjunto. Si para cadax∈X se ha asignado una colecci´on no vac´ıa V(x) de subconjuntos de X tal que:
1. x∈V para cada V ∈ V(x),
2. si U, V ∈ V(x) entonces U ∩V ∈ V(x),
3. si U ∈ V(x) entonces existe V ∈ V(x) tal que U ∈ V(y) para cada
y∈V,
4. si U ∈ V(x) y U ⊂V entonces V ∈ V(x),
entonces existe una topolog´ıa sobre X tal que para cada x ∈ X la colecci´on
V(x) es precisamente la colecci´on de vecindades de x.
Demostraci´on. Diremos que un conjuntoA⊂Xes “abierto” si para cadax∈
Ase tiene que A∈ V(x). Demostraremos ahora que la colecci´on de conjuntos “abiertos” es una topolog´ıa sobreX y que la colecci´on de vecindades de cada
x∈X es V(x).
1. Es inmediato que ∅y X son conjuntos “abiertos”.
2. SiAyBson conjuntos “abiertos” y six∈A∩B, entoncesA, B∈ V(x). Por hip´otesis A∩B ∈ V(x), luego A∩B es un conjunto “abierto” . 3. Si A es una familia de conjuntos “abiertos” y x∈SA
entoncesx∈A
para alg´unA∈ A. Se tiene queA∈ V(x), as´ıS
A ∈ V(x) y se concluye que S
A es un conjunto “abierto” .
Entonces la colecci´onτ de conjuntos “abiertos” es una topolog´ıa sobre X. Veamos ahora que para cada x ∈ X, la colecci´on de vecindades de x es precisamente V(x).
Si W es una vecindad de x existe A ∈ τ tal que x ∈ A y A ⊂ W. Como
A ∈τ, se tiene que A∈ V(x), entonces W ∈ V(x). De manera rec´ıproca, si V ∈ V(x) y si adem´as
entonces U contiene a x, est´a contenido en V y es un conjunto abierto. En efecto, si y ∈U, entonces V ∈ V(y). Por hip´otesis, existeW ∈ V(y) tal que
V ∈ V(w) para cada w∈W. Esto implica que W ⊂U, de donde U ∈ V(y), lo cual permite concluir que U es abierto. Entonces V es una vecindad de
x.
EnR con la topolog´ıa usual los intervalos abiertos centrados en un punto x
dan lugar a todas las vecindades dex en el siguiente sentido: Toda vecindad dex contiene un intervalo abierto centrado en x. Diremos que los intervalos abiertos centrados enx son unsistema fundamental de vecindades del punto
x. En general tenemos la siguiente definici´on:
2.3.4 Definici´on. Sean X un espacio topol´ogico y x∈X. Un subconjunto
B(x) de V(x) es un sistema fundamental de vecindades de x si para cada
V ∈ V(x) existe U ∈ B(x) tal que U ⊂ V. Llamamos a los elementos de
B(x) vecindades b´asicas de x.
2.3.5 EJEMPLOS.
1. SeanX un espacio topol´ogico yx∈X. La colecci´on de todas las vecin-dades abiertas dex es un sistema fundamental de vecindades de x. 2. Si X es un espacio topol´ogico discreto y x ∈ X entonces el conjunto
cuyo ´unico elemento es {x} es un sistema fundamental de vecindades de x.
3. Si X es un espacio m´etrico y x ∈ X, el conjunto de todas las bolas abiertas centradas enx es un sistema fundamental de vecindades de x. Tambi´en lo es el conjunto de todas las bolas abiertas con radio racional, centradas en x.
De la definici´on se infiere que siXes un espacio topol´ogico y para cadax∈X
la colecci´onB(x) es un sistema fundamental de vecindades de x entonces:
1. SiV ∈ B(x), entonces x∈V.
