DINÁMICA DE LOS FLUIDOS

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APUNTES DE FÍSICA II DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Profesor: José Fernando Pinto Parra APUNTES DE FÍSICA II

Profesor: José Fernando Pinto Parra

UNIDAD 2

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS

LA DINÁMICA DE LOS FLUIDOS

Los fluidos en movimiento son mucho más complejos que los fluidos en reposo. Es difícil aplicar las leyes de Newton a una única «partícula» de fluido, siguiendo el movimiento de la partícula de uno a otro lado en un sistema complicado. En su lugar haremos uso de la segunda ley de Newton para encontrar las propiedades del fluido en cada punto del sistema, mientras las partículas del sistema fluyen de uno a otro lado. Así pues, la descripción del movimiento de fluido consiste en hallar su densidad, su presión y su velocidad en todos los puntos. Las magnitudes que escriben la dinámica de los fluidos, y que ya analizamos en la Unidad, son:

 La densidad del fluido 𝛿 𝑟, 𝑡 esta magnitud es en los fluidos análoga a la masa de una partícula, siendo la masa por unidad de volumen.

 La velocidad del fluido 𝑣 𝑟, 𝑡 es la velocidad de un elemento pequeño del fluido en la posición r y en el tiempo t.

 La presión 𝑃 𝑟, 𝑡 .

 La densidad de cantidad de movimiento 𝐽 𝑟, 𝑡 esta magnitud es análoga en los fluidos a la cantidad de movimiento y se relaciona con la densidad y la velocidad por

𝐽 𝑟, 𝑡 = 𝛿 𝑟, 𝑡 . 𝑣 𝑟, 𝑡

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APUNTES DE FÍSICA II DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Profesor: José Fernando Pinto Parra FLUIDO IDEAL

Cuando un fluido está en movimiento, el flujo se puede clasificar en dos tipos:

1. Flujo estacionario o laminar si cada partícula de fluido sigue una trayectoria uniforme y estas no se cruzan, es un flujo ideal, en este caso la velocidad en cada punto es constante.

2. Flujo turbulento es un flujo irregular con regiones donde se producen torbellinos, en este caso la densidad es constante.

El flujo laminar se vuelve turbulento por efecto de la fricción que también está presente en los fluidos y surge cuando un objeto o capa del fluido que se mueve a través de él desplaza a otra porción de fluido; lo notas por ejemplo cuando corres en el agua. La fricción interna en un fluido es la resistencia que presenta cada capa de fluido a moverse respecto a otra capa. La fricción interna o roce de un fluido en movimiento se mide por un coeficiente de

viscosidad η. Por efecto de la viscosidad parte de la energía cinética del fluido se

transforma en energía térmica, similar al caso de los sólidos.

En un principio vamos a trabajar con lo que llamaremos fluido ideal, es decir un fluido que es incompresible y que no tiene rozamiento interno o viscosidad.

 La hipótesis de incompresibilidad es una suposición razonable para líquidos pero no para los gases. Un gas puede tratarse como incompresible si su movimiento es tal que las diferencias de presión que aparecen no son demasiado grandes.

 El rozamiento interno en un fluido da lugar a esfuerzos cortantes cuando dos capas adyacentes se mueven la una sobre la otra o cuando el fluido se mueve por tubos o se encuentra a un obstáculo. En algunos casos estos esfuerzos son despreciables si se comparan con fuerzas gravitatorias o con la originadas por diferencias de presión Entonces, decimos de que estamos frente de un fluido ideal, cuando consideramos que su comportamiento es de un régimen estable, irrotacional, incompresible y no viscoso. Todo volumen v de un líquido se considera como un medio continuo formado, en reposo, por láminas superpuestas que pueden deslizarse las unas sobre las otras. La experiencia muestra que si se desplaza una de las láminas, las capas adyacentes son arrastradas. Existe, entonces, fuerzas de rozamiento internas, denominados esfuerzos tangenciales o cortantes, y el líquido se llama Viscoso.

En resumen un Fluido ideal es aquel que cumple con las siguientes características: 1. Es incompresible, su volumen no cambia al moverse

2. La densidad 𝛿 es constante para todos los elementos de fluido y para todos los tiempos.

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APUNTES DE FÍSICA II DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Profesor: José Fernando Pinto Parra Se puede imaginar un líquido sin viscosidad donde las láminas líquidas, completamente independientes las unas de las otras, pueden deslizar sin rozamiento. Bien entendido, un fluido tal, llamado Líquido Perfecto, no existe; pero en ciertos casos, su estudio teórico conduce a leyes que aplicadas a líquidos reales, permite explicar o predecir con una buena aproximación los resultados experimentales.

VELOCIDAD Y LÍNEAS DE CORRIENTE

Al estudiar el movimiento de los fluidos, necesariamente tendremos que considerar la descripción de un campo de velocidades, la velocidad del fluido en un punto cualquiera se define como la velocidad instantánea del centro de gravedad del volumen dV que instantáneamente rodea al punto. Por lo tanto, si definimos una partícula de fluido como la pequeña masa de fluido completamente identificada que ocupa el volumen dV, podemos definir la velocidad en el punto como la velocidad instantánea de la partícula de fluido, que en el instante dado, está pasando a través de ese punto. En un instante dado el campo de velocidades, v , es una función de las coordenadas del espacio x, y, z, es decir v = v(x, y, z). La velocidad en cualquier punto del campo de flujo puede cambiar de un instante a otro. Por lo tanto, la representación completa de la velocidad (es decir, del campo de velocidades) está dado por

v

= v(x, y, z, t)

Si las propiedades de fluido en un punto en un campo no cambian con el tiempo, se dice que el flujo es estacionario.

Por otro lado, al realizar el análisis de problemas de dinámica de fluidos se hace necesario una representación visual del campo de flujo. Tal representación se puede obtener mediante las trayectorias, las líneas del trazador y las líneas de corriente.

Una trayectoria está constituida por la curva trazada en su movimiento por una partícula de fluido. Para determinar una trayectoria, se puede identificar a una partícula de fluido en un instante dado, por ejemplo, mediante el uso de un colorante, y tomar fotografías de su movimiento con un tiempo de exposición adecuado. La línea trazada por la partícula constituye entonces una trayectoria.

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APUNTES DE FÍSICA II DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Profesor: José Fernando Pinto Parra fluido identificables en el flujo, todas las cuales han pasado en algún momento a través del punto fijo previamente seleccionado. La línea que une todas estas partículas define una línea del trazador.

Por su parte, las líneas de corriente son líneas dibujadas en el campo de flujo de tal manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la dirección del flujo en cada punto del campo de flujo. La forma de las líneas de corriente puede cambiar de un instante a otro si la velocidad del flujo es una función del tiempo, es decir, si se trata de un flujo no estacionario. Dado que las líneas de corriente son tangentes al vector velocidad de cada punto del flujo, el fluido nunca puede cruzar una línea de corriente.

TUBOS DE CORRIENTE O DE FLUJO

Para realizar el análisis es necesario dibujar una línea de corriente en cada punto del fluido, al seleccionar un número finitos de líneas de corriente, es decir un haz de flujo, y la región tubular se denomina “tubo de flujo”.

La línea de corriente es una curva cuya tangente en un punto cualquiera tiene la dirección de la velocidad del fluido en ese punto. En el régimen estacionario las líneas de corriente coinciden con las líneas de flujo. Si dibujamos todas las líneas de corriente que pasan por el contorno de un elemento del fluido de área S1 o S2 del tubo de corriente. En virtud de la

definición de línea de corriente el fluido no puede atravesar las paredes de un tubo de flujo y en régimen estacionario no puede haber mezcla de fluidos de dos tubos diferentes.

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APUNTES DE FÍSICA II DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Profesor: José Fernando Pinto Parra Se llama flujo turbulento cuando se hace más irregular, caótico e impredecible, las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos. Aparece a velocidades altas o cuando aparecen obstáculos abruptos en el movimiento del fluido.

Laminar Turbulento

FLUJO ESTACIONARIO EN UN FLUIDO INCOMPRESIBLE

En un flujo estacionario, la velocidad en cada punto del campo permanece constante con el tiempo y en consecuencia, las líneas de corriente no cambian de un instante a otro. Lo anterior implica que una partícula localizada en una línea de corriente determinada permanecerá en la misma línea de corriente. Lo que es más, partículas consecutivas que pasan a través de un punto fijo del espacio se encontrarán en la misma línea de corriente y permanecerán en ella. Se concluye, entonces, que en el caso de flujo estacionario, las trayectorias, las líneas del trazador y las líneas de corriente son idénticas para todo el campo. En el caso de un flujo no estacionario las tres curvas no coinciden.

Por otro lado, este tipo de flujo se caracteriza porque las condiciones de velocidad de escurrimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, o sea que permanecen constantes con el tiempo o bien, si las variaciones en ellas son tan pequeñas con respecto a los valores medios. Así mismo en cualquier punto de un flujo permanente, no existen cambios en la densidad, presión o temperatura con el tiempo, es decir:

𝜕𝛿

𝜕𝑡 = 0; 𝜕𝑃

𝜕𝑡 = 0; 𝜕𝑇

𝜕𝑡 = 0;

Dado al movimiento errático de las partículas de un fluido, siempre existen pequeñas fluctuaciones en las propiedades de un fluido en un punto, cuando se tiene flujo turbulento. Para tener en cuenta estas fluctuaciones se debe generalizar la definición de flujo permanente según el parámetro de interés, así:

𝑁

𝑡

=

1

𝑡

𝑁𝑑𝑡

𝑡

0

Donde: Nt es el parámetro velocidad, densidad, temperatura, etc.

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APUNTES DE FÍSICA II DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Profesor: José Fernando Pinto Parra ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. PRESIÓN Y VELOCIDAD

Volviendo a la figura siguiente:

En el cual áreas transversales, perpendiculares a las líneas de corriente, son 𝑆1 𝑦 𝑆2. Si las rapideces de las partículas en un fluido de densidad δ constante son 𝑣1 𝑦 𝑣2, entendiendo que este fluido pasa por las regiones 1 y 2, en un intervalo de tiempo Δ𝑡, tan pequeño que no permita que ni v ni S cambien, tal que un elemento de fluido avanza una distancia 𝑣. Δ𝑡, definiendo la masa que avanza por las regiones 1 y 2, de la forma siguiente:

Δ𝑚1 = 𝛿 𝑆1. 𝑣1 . Δ𝑡 y Δ𝑚2 = 𝛿 𝑆2. 𝑣2 . Δ𝑡

De forma tal que el flujo de fluido en las regiones 1 y 2, queda representado por:

Δ𝑚1

Δ𝑡 = 𝛿 𝑆1. 𝑣1 y Δ𝑚2

Δ𝑡 = 𝛿 𝑆2. 𝑣2 .

Considerando que el fluido no sale por las paredes del tubo y que no existen salidas adicionales, la masa en cualquier sección del tubo por unidad de tiempo debe ser la misma, lo que define que:

Δ𝑚1

Δ𝑡 = Δ𝑚2

Δ𝑡 y 𝑆1. 𝑣1 = 𝑆2. 𝑣2

Y definitivamente, la ecuación de la continuidad viene a ser:

𝑆. 𝑣 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Esta expresión se conoce como Caudal, Gasto o Flujo de Volumen y se denota por la letra

Φ

,

y la ecuación como:

Φ

= 𝑆. 𝑣

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APUNTES DE FÍSICA II DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Profesor: José Fernando Pinto Parra ECUACIÓN DE BERNOULLI

El Teorema de Bernoulli afirma, que la energía mecánica total de un flujo incompresible

y no viscoso es constante a lo largo de una línea de corriente. Esto implica una relación

entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para predecir, por ejemplo, la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

Partiendo de este esquema podemos señalar, que la dinámica de los fluidos responde al principio de la conservación de la energía, consideremos los puntos 1 y 2, de un fluido en movimiento, determinemos la energía mecánica de este a lo largo del tobo de flujo en el que se mueve, ahora si m es la porción de masa y considerando la rapidez , Y es la altura correspondiente, tomando como base la presión P y la densidad δ en cada uno de los puntos, el teorema de conservación de la energía se puede escribir como:

1 2𝑚. 𝑣1

2+ 𝑚. 𝑔. 𝑌 1+

𝑃1. 𝑚 𝛿1 =

1 2𝑚. 𝑣2

2+ 𝑚. 𝑔. 𝑌 2+

𝑃2. 𝑚 𝛿2

Como la masa es la misma se puede suprimir, obteniendo que:

1 2𝑣1

2 + 𝑔. 𝑌 1+

𝑃1 𝛿1 =

1 2𝑣2

2+ 𝑔. 𝑌 2+

𝑃2 𝛿2

Ahora, como consideramos que el fluido es incomprensible, es decir que la densidad es constante, se tiene:

1 2𝛿. 𝑣1

2+ 𝛿. 𝑔. 𝑌

1+ 𝑃1 = 1 2𝛿. 𝑣2

2 + 𝛿. 𝑔. 𝑌 2+ 𝑃2

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APUNTES DE FÍSICA II DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Profesor: José Fernando Pinto Parra APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

Así como la estática de una partícula es un caso particular de la dinámica de la partícula, igualmente la estática de los fluidos es un caso especial de la dinámica de los fluidos, donde la velocidad es cero, lo que genera que la ecuación de Bernoulli se convierte en:

𝑃1− 𝑃2 = 𝛿. 𝑔. 𝑌2− 𝑌1

Esta es precisamente la ecuación fundamental de la estática de los fluidos.

El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido fluya en horizontal un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.

Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que el aire que pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por debajo del ala, por lo que la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se levanta.

Puesto que la velocidad bajo el ala (v2) es menor que sobre el ala (v1), la presión bajo el ala

es mayor que sobre el ala, de manera que el ala se mantiene flotando, esta es la fuerza de sustentación del avión. Otra manera de entender cómo se mantiene un avión flotando en el aire es a partir de las leyes de Newton. Al moverse el avión, el aire choca contra el ala ligeramente inclinada, empuja el aire hacia abajo y por la tercera ley de Newton (acción-reacción) el ala se impulsa hacia arriba.

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APUNTES DE FÍSICA II DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Profesor: José Fernando Pinto Parra Cuando la ecuación de Bernoulli se escribe entre los puntos 1 y 2, se observa que Y1 = Y2.

Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli se reduce a:

1 2𝛿. 𝑣1

2 + 𝑃 1 =

1 2𝛿. 𝑣2

2 + 𝑃 2

Obsérvese también que la velocidad en el punto 2 es cero (un punto de estancamiento). De aquí que, la ecuación de Bernoulli se reduce a:

1 2𝛿. 𝑣1

2 + 𝑃 1 = 𝑃2

𝑣12 =2 𝑃2−𝑃1 𝛿

Por tanto, se puede apreciar que un medio muy simple, como este tubo curvo, puede ser utilizado para medir la velocidad de flujo.

Otro caso es el tubo de Pilot, que se denomina así en honor al ingeniero hidráulico francés del siglo XVIII que lo inventó, está basado en el mismo principio que el tubo de estancamiento, pero es mucho más versátil que este último.

El tubo de Pilot tiene una toma de presión corriente arriba, extremo frontal del tubo, para medir la presión de estancamiento.

También hay varios puertos situados en la periferia del diámetro del tubo, por el frente y detrás de la zona de corriente abajo, para medir la presión estática en el fluido, donde la velocidad es esencialmente la misma que se busca. La ecuación para medir l velocidad, partiendo la ecuación de Bernoulli, queda de la manera siguiente:

T

𝑣2 =2

𝛿 𝑃1− 𝑃2

Al conectar un manómetro entre las tomas que llevan los puntos 1 y 2, resulta fácil de medir la velocidad de flujo con el tubo de Pilot. Una ventaja importante del tubo de Pilot es que se puede emplear para medir la velocidad en un tubo presurizado; un simple tubo de estancamiento no es conveniente en esta situación. Si un manómetro diferencial de presión se conecta a las tomas, la ecuación se simplifica a

𝑣= 2Δ𝑃 𝛿

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APUNTES DE FÍSICA II DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Profesor: José Fernando Pinto Parra Otro caso lo representa el Tubo de Venturi, este consiste en un tubo horizontal con una estrechez, como lo apreciamos en las figuras, este dispositivo se utiliza para medir la velocidad del flujo en fluidos incomprensibles.

Si con un manómetro se mide la presión en los puntos 1 y 2, se puede calcular la rapidez del flujo que sale o entra al dispositivo.

1 2𝛿. 𝑣1

2 + 𝑃 1 =

1 2𝛿. 𝑣2

2 + 𝑃 2

Aplicando la ecuación de la continuidad, donde 𝐴1= 𝑆1 𝑦 𝐴2= 𝑆2

𝑆1. 𝑣1= 𝑆2. 𝑣2 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑣1 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑣1 =𝑆2. 𝑣2 𝑆1

Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli, se obtiene:

1 2𝛿.

𝑆2. 𝑣2 𝑆1

2

+ 𝑃1= 1 2𝛿. 𝑣2

2 + 𝑃 2

𝑣2= 𝑆1 2 𝑃1− 𝑃2 𝛿 𝑆12− 𝑆22

Es necesario observar que debido a que 𝑆1 > 𝑆2 entonces 𝑃1 > 𝑃2, es decir, que la presión disminuye en la parte más angosta de la tubería, este hecho tiene diversas aplicaciones, por ejemplo, conectando un dispositivo como este al carburador de un automóvil, se hace pasar el vapor de gasolina a la cámara de combustión.

Otra aplicación de la ecuación de Bernoulli la representa la Ley de Torricelli, si se tiene un estanque que contiene un líquido de densidad δ, que tiene un orificio pequeño a una altura

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APUNTES DE FÍSICA II DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Profesor: José Fernando Pinto Parra Partiendo de estos elemento y analizando la figura se desprende los siguientes parámetros,

𝐴1 = 𝑆1 𝑦 𝐴2 = 𝑆2, como se observa el tanque tiene una superficie mucho mayor que la de agujero 𝐴2 ≫ 𝐴1, lo que significa que la rapidez de descenso del líquido mucho mayor que la rapidez de salida por el orificio 𝑣2 ≪ 𝑣1, aplicando la ecuación de Bernoulli, en los puntos 1 y 2, con

𝑃1= 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 = 𝑃0 y 𝑃 = 𝑃2 1

2𝛿. 𝑣1 2+ 𝑃

0 = 𝛿. 𝑔. 𝑌2− 𝑌1 + 𝑃 como 𝑕 = 𝑌2− 𝑌1 1

2𝛿. 𝑣1 2+ 𝑃

0 = 𝛿. 𝑔. 𝑕 + 𝑃

𝑣1 = 2 𝑃 − 𝑃0

𝛿 + 2𝑔𝑕

Esta es la Ecuación o Ley de Torricelli. De ella se desprenden dos casos:

1. Si 𝑃 ≫ 𝑃0entonces 2𝑔𝑕 ∼ 0 y 𝑣1 = 2𝑃

𝛿, lo que significa que la rapidez es función

de la presión.

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