Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana asienrag@gmail.com
1. El modelo Cobb-Douglas
Si adoptamos la función de utilidad Cobb-Douglas sobre el ortante de un es-pacio específico obtenemos un modelo específico de laTCD. Aquí desarrolla-remos el modelo para L = 2. Es interesante observar que la función Cobb-Douglas representa una relación de preferencia clásica. En la construcción de cualquier modelo se requiere obtener las siguientes funciones:
(1) La funciónde demanda walrasiana, la cual asigna a cada sistema de precios-riqueza (p1;p2;w) el menú de consumo ( ˆx1;xˆ2) =(p1;p2;w) que maximiza la utilidad del agente bajo ese sistema. Esta función se obtiene resolviendo elPMU.
(2) La función indirecta de utilidadv, la cual asigna a cada (p1;p2;w) la utilidad máxima que el consumidor puede alcanzar en esa situación; es decir, la utilidad que le brinda su consumo óptimo:v(p1;p2;w) =
u[(p1;p2;w)℄.
(3) La función de demanda hicksiana h, la cual asigna a cada vector (p1;p2;u˜), donde ˜u es un nivel de utilidad determinado, el menú de consumo ( ˇx1;xˇ2) que minimiza el costo de alcanzar el nivel de utilidad ˜
u:h(p1;p2;u˜) = ( ˇx;ˇy). Esta función se obtiene resolviendo elPMG. (4) La función de gastoe, la cual asigna a cada (p1;p2;u˜), donde ˜ues un
nivel de utilidad determinado, el costo mínimo de alcanzar el nivel de utilidad ˜u:e(p1;p2;u˜) = p1ˇx1+p2xˇ2 = ph(p1;p2;u˜). Debe verificarse quee(p1;p2;(p1;p2;w)) =w.
Así, para un consumidor con una función Cobb-Douglas se requiere resol-ver el PMU, el PMG y determinar las funciones siguientes:
(1) La función de demanda walrasiana(p1;p2;w); (2) la función de utilidad indirectav(p1;p2;w); (3) la función de demanda hicksianah(p1;p2;u˜); (4) la función de gastoe(p1;p2;u˜)
Una vez hecho esto, hay que hacer lo siguiente: (5) Demostrar que
e(p1;p2;v(p1;p2;w)) =w y v(p1;p2;e(p1;p2;u˜)) =u˜: (6) Demostrar que
r(p
1;p2)e(p1
;p2;u˜) =h(p1;p2;u˜):
(7) Demostrar que las funciones satisfacen la Ecuación de Slutsky:
Dph(p;u) =Dp(p;w)+[1(p;w)Dw(p;w)L(p;w)Dw(p;w)℄: (8) Demostrar que satisfacen la Identidad de Roy:
(p;w) =
1 rwv(p;w)
rpv(p;w): Se procede primero a resolver el PMU:
Maximizarx
1x1
2
sujeto ap1x1+p2x2=w
Para ello, comenzamos por formular el lagrangiano:
L(x1;x2;) =x
1x1
DerivandoLcon respecto ax1,x2y, e igualando las derivadas a cero, obte-nemos las condiciones de primer orden:
x 1
1 x1
2 p1=0 (1)
(1 )x
1x
2 p2=0 (2)
w p1x1 p2x2=0: (3)
Despejandoen (1) y (2), obtenemos
=p
1
1 x
1
1 x1
2 (4)
y
=p
1
2 (1 )x
1x
2 (5)
Así,
p11x 1
1 x
1
2 =p
1
2 (1 )x
1x
2 : (6)
Para separar variables, multiplicamos ambos lados de (6) porx
2 y
obtene-mos
p11x 1
1 x2=p
1
2 (1 )x
1: (7)
Multiplicando ahora ambos lados de (7) porx1
1 ,
p11x2=p
1
2 (1 )x1: (8)
Despejandox2, obtenemos x2=p1
1p 1
2 (1 )x1: (9)
Al sustituir la parte derecha de (9) porx2en la tercera condición, obtenemos: w =p1x1+p2p1
1p 1
2 (1 )x1 =p1x1+p1
1(1
)x1 =p1
x1+
1(1
)x1
=p1
1+
1(1
)
x1
=p1
Luego, ˆx1=p
1
1 wy, sustituyendoxcon ˆx en la ecuación (9), obtenemos
ˆ
x2=p1
1p 1
2 (1 )p
1
1 w
=(1 )p
1 2 w:
Por lo tanto, la función de demanda walrasiana es
(p1;p2;w) = "
p
1
1 w
(1 )p
1
2 w
#
(10)
La función de utilidad indirecta se calcula así:
v(p1;p2;w) =u[(p1;p2;w)℄ =
p
1
1 w
(1 )p
1
2 w
1
=
p
1 w
(1 )
1
p 1
2 w1
=
(1 )
1
p
1 p
1
2 w
Procedemos ahora a resolver elPMGpara determinar la función de deman-da hicksiana. El problema es
Minimizar(x1;x2)≧0p1x1 +p2x2
sujeto ax 1x1
2 =u˜
Nuevamente, procedemos a través de la introducción de un lagrangiano.
L(x1;x2;) = p1x1 p2x2+[u˜ x
1x1
2 ℄
con condiciones de primer orden
L
x1
= p1 x 1
1 x1
2 =0 (11)
L
x2
= p2 (1 )x
1x
2 =0 (12)
L
=u˜ x
1x1
Despejandodos veces e igualando,
p1
1x1
1 x
1
2 = p2(1 )
1x
1 x
2:
Multiplicando por x
1x1
2
p1
1x1
1 x
1x
1
2 x1
2 =p2(1 )
1x
1 x
1x
2x1
2
p1
1x
1=p2(1 )
1x 2
Despejandox2, x2=
1(1
)p1p
1 2 x1:
Sustituyendo en la condición 3,
x
1[
1(1
)p1p
1 2 x1℄
1
=u˜; de donde
x1[
1(1
)p1p
1 2 ℄
1
=u˜ y así,
ˇ
x1=[p1p
1
2 (1 )℄
1
1
˜
u:
Sustituyendo en (2), y haciendo algunas transformaciones algebraicas, ˇ
x2=[p1p
1
2 (1 )℄
˜
u:
La resolución del PMG establece que la función de demanda hicksiana es
h(p1;p2;u˜) = "
1
(1 ) 1
p 1
1 p1
2 u˜
(1 )
p
1p
2 u˜
#
(14)
La función de gasto es
e(p1;p2;u˜) =
(1 ) 1
p
1p1
pues
1
(1 ) 1
+
(1 )
=
1
(1 )
(1 )
1
+
(1 )
=
1
(1 )
1
+
(1 )
=
(1 )
1
+1
(1 )
=
(1 )
1
+(1 )(1 )
1
(1 )
=
[+(1 )℄(1 )
1(1
)
=
[+(1 )℄(1 ) 1
=
(1 ) 1
Por lo tanto, e
p1 =
1
(1 ) 1
p 1
1 p1
2 u˜ (16)
e
p2 =
(1 )
p
1p
2 u˜: (17)
Las ecuaciones (13) y (14) implican que r(p
1;p2)e(p1
;p2;u˜) =h(p1;p2;u˜) (18) Para demostrar que la función Cobb-Douglas satisface la Ecuación de Slutsky, observemos que
D(p;q)h(p
;q;uˆ) = "
1
(1 )
p 2
q1 ˆ
u
1
(1 )
p 1
q ˆ
u
1
(1 )
p 1
q ˆ
u
1
(1 )
p
q (+1) ˆ u # Ahora bien, 1
(1 )
p 2
q1 ˆ
u=
1
(1 )
p 2
q1
(1 )
1
p
q 1
w
=( 1)p
2w
1
(1 )
p 1
q ˆ
u=
1
(1 )
p 1
q
(1 )
1
p
q 1
w
=(1 )p
1
(1 )
p 1
q ˆ
u=
1
(1 )
p 1
q
(1 )
1
p
q 1
w
=(1 )p
1 1 p21w
1
(1 )
p
q (+1) ˆ
u=
1
(1 )
p
q (+1)
(1 )
1
p
q 1
w
=( 1)q
2w
De manera que
D(p;q)h(p
;q;uˆ) = "
( 1)p
2w
(1 )p
1 1 p21w
(1 )p
1
1 p21w ( 1)q
2w
#
:
Por otra parte,
D(p;q)
(p;q;w) = "
p
2w 0
0 ( 1)q
2w
#
:
Además,
Dw(p;q;w) = "
p
1 1
(1 )p
1 2
#
:
Así,
Dp(p;w)+[1(p;w)Dw(p;w) 2(p;w)Dw(p;w)℄=
= "
p
2w 0
0 ( 1)q
2w
#
+ "
2p 2w
(1 )p
1 1 p21w
(1 )p
1
1 p21w (1 )
2q 2w
#
=
= "
( 1)p
2w
(1 )p
1 1 p21w
(1 )p
1
1 p21w ( 1)q
2w
#
=
=D(p ;q)h(p
;q;uˆ)
Finalmente, para verificar que la función satisface la Identidad de Roy, no-temos que
1 rwv(p;q;w)
=
(1 ) 1
p
Además,
rpv(p;q;w) = "
+1
(1 )
1
p (+1)
q 1
w
(1 )
2
p
q 2
w
#
Una par de sencillas multiplicaciones muestra que
(p;q;w) =
1 rwv(p;q;w)
r( p;q)v(p
;q;w): DEFINICIÓN1 Sea :
Æ R
+
! una función de demanda walrasiana. Entonces
(1) Sibpes un vector de precios fijo, la funciónE b
p:R+
!, que asigna a cada cantidad de dinerow el menú(bp;w), es llamada lafunción de
Engelotrayectoria de expansión de la riqueza.
(2) Elefecto riquezapara el bienlen el punto (p;w) es l
w (p;w):
(3) Se dice quel es unbien normalen (p;w) syss[l=w℄(p;w) 0; es decir, si el efecto riqueza paral es no negativo en (p;w).
(4) Se dice quelesinferioren (p;w) syss no es normal en (p;w).
(5) Se dice que la (función de) demanda esnormalsyss todo bien es normal en todo (p;w).
(6) El efecto preciosobre la demanda del del preciopk del bien k en el punto (p;w) es
l
pk (p;w):
(7) Se dice quel es unbien de Giffen syss[l=pk℄(p;w) >0; es decir, si su efecto precio es positivo en todo (p;w).
(p;w) si aumentase su riqueza en una unidad. Análogamente, el efecto del precio dek sobre l en (p;w) es la tasa de cambio de la demanda del bien l con respecto al precio del bienky expresa cuántas unidades del bienl estaría dispuesto a adquirir el consumidor si aumentase el precio de k en una uni-dad. Los efectos riqueza y precio pueden ser recogidos convenientemente en sendas matrices, la matriz de efectos riqueza
Dw(p;w) 2 6 6 6 6 4 1 w (p;w)
.. .
L
w (p;w)
3 7 7 7 7 5
y la matriz de efectos precio
Dp(p;w) 2 6 6 6 6 6 4 1 p1
(p;w) 1
pL (p;w) ..
. . .. ...
L
p1
(p;w) L
pL (p;w)
3 7 7 7 7 7 5 Las expresiones l w (p;w)
w l p k
(p;w)
pk
expresan, respectivamente, la cantidad de bienlque el agente estaría dispues-to a consumir si aplicara dispues-toda su riqueza ese bien, y la cantidad de bienl que estaría dispuesto a consumir si el precio del bienlaumentarapkunidades. Por ejemplo, considérese la función de demanda
2 6 6 6 4 p1 p2 p3 w 3 7 7 7 5 7 ! 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 p1 p1+p2+p3
w p1
p3 p1+p2+p3
w p2
p1 p1+p2+p3
donde los bienes 1, 2 y 3 son, respectivamente, frijoles, tortilla y chile. Si el salario del agente es de $800 mensuales, los precios unitarios de los bienes son de $3, $4 y $3 respectivamente, y (p;w) =(3;4;3;800), obtenemos
2
w
(p;w) = 3
40 (20)
(21) 2
p1
(p;w) = 6 (22)
(23) 2
p2
(p;w) = 21 (24)
(25) 2
p3
(p;w) =14 (26)
Esto significa que el agente está dispuesto a consumir 0.075 tortillas adicio-nales por cada peso que aumente su riqueza. Si su riqueza aumentara hasta duplicar la que tiene en esa situación, es decir, w unidades adicionales, en-tonces el agente consumiría 60 tortillas adicionales. Asimismo, cada peso que aumente el precio del chile le predispone a consumir 14 tortillas adicionales, de modo que si duplicara su precio actual, aumentando p3 pesos su precio,
el agente consumiría 42 tortillas adicionales. Afortunadamente para su esta-do de salud, si los precios de las mismas tortillas y los frijoles aumentaran en la misma proporción, el agente consumiría 102 tortillas menos, por lo que el aumento neto en el consumo de tortillas ¡terminaría siendo nulo! En efecto,
2
w (p;w)
w=60
2
p1 (p;w)
p1= 18
2
p2 (p;w)
p2= 84
2
p3 (p;w)
p3=42
TEOREMA1 8(p;w) 2 Æ
R +: L X
k=1 l
pk
pk+ l
w
w=0:
De manera compacta,
Dp(p;w)x(p;w)p+Dw(p;w)x(p;w)w=[00℄ t
:
Otros teoremas interesantes que involucran los efectos riqueza y precio son los dos siguientes.
TEOREMA2 (AGREGACIÓN DECOURNOT) El gasto total no puede cambiar en res-puesta a un cambio de precios; e.e. para todo bien k y todo(p;w) 2
Æ R
+: L
X
l=1
pl l
p k
(p;w)+k(p;w) =0:
De manera compacta,
pDpx(p;w)+x(p;w) =[00℄ t
:
TEOREMA3 (AGREGACIÓN DEENGEL) El gasto total debe cambiar en una canti-dad igual a cualquier cambio de la riqueza; e.e. para todo(p;w) 2
Æ R
+: L
X
l=1
pl l
w
(p;w) =1:
De manera compacta,
pDwx(p;w) =[11℄ t
:
DEFINICIÓN2 Laelasticidad de la demanda del bien l con respecto a la riquezaes
"lw(p;w) = l
w
(p;w)
w
l(p;w) :
Laelasticidad de la demanda del bien l con respecto al precio del bien kes
"lk(p;w) = l
p k
(p;w)
pk
l(p;w)
:
Si"lw(p;w) 1, se dice que la demanda del bienl eselásticacon respecto a la riqueza; en caso distinto se dice que es inelástica. La definición de demanda elástica respecto del precio es análoga.
Como corolario del Teorema 1 se obtiene que un cambio porcentual en todos los precios y la riqueza deja la demanda invariante.
TEOREMA4 Para todo bien l y todo(p;w) 2 Æ
R +:
L X
k=1
"lk(p;w)+"lw(p;w) =0:
Como veremos adelante, es útil para efectos metodológicos caracterizar las elasticidades mediante logaritmos.
TEOREMA5 Para las elasticidades tenemos:
"
lw(p;w) =
logl logw
(p;w)
y
"lk(p;w) =
logl logpk
Demostración:Seay=logw, de donde podemos escribirw=e
y. Luego,
logl logw
=
logl y
(p;e y)
= 1 l
l
y
= 1 l
l
w
e y
y
= 1 l
l
w e
y
= 1 l
l
w w
= l
w
w
l
="lw:
La otra identidad se demuestra de manera completamente análoga, si hace-mosy=logpk.
