01. Durante la fisión nuclear, un núcleo de uranio 238 que contiene 92 protones, se divide en dos pequeñas esferas, cada una con 46 protones y un radio de 5,9·10-15 m. ¿Cuál es la fuerza eléctrica con la que se repelen?
Suponemos que las esferas están en contacto y cada una tiene una carga de 46 protones:
19 18 15 14
18 18
9 1 2
2 14 2
q 46·1,6·10 7,36·10 C d 2R 2·5,9·10 1,18·10 m
q q 7,36·10 ·7,36·10
F k 9·10 3501,34N
d (1,18·10 )
02. Cuatro cargas de 3C están colocadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcular la fuerza que ejercen sobre una carga de 2C colocada:
a) en el centro del cuadrado.
La fuerza total es cero por simetría; las fuerzas se anulan dos a dos. b) en el punto medio de una arista.
Las componentes verticales se anulan y la fuerza total es
6 6
9
TOT 2 2
3·10 ·2·10 2
F 2·F ·cos 2·9·10 0,0773N
5 5
2
c) en el eje X, a 1 m del centro del cuadrado.
Las componentes verticales se anulan y la fuerza total es
TOT 2 1
12 12
9 9
2 2
F 2·F ·cos 2·F ·cos 45
6·10 3 6·10 2
2·9·10 2·9·10 0,194N
2 10
10 2
2 2
03. Tres cargas puntuales de 4 C están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. Calcular la fuerza eléctrica ejercida sobre cada una de ellas.
Cada carga es repelida por las otras dos y la fuerza total es la suma vectorial de las dos:
12 9
1 2
16·10 3
F 2·F ·cos30 2·9·10 0,249N 2
1
04. Dos cargas puntuales de 5 C están colocadas en los puntos (-3,3) y (-3,-3). Dos cargas iguales de valor q están colocadas en los puntos (5,1) y (5,-1). Calcular el valor de la carga q sabiendo que el campo eléctrico se anula en el origen de coordenadas.
Las componentes verticales del campo se anulan dos a dos. Para que el campo se anule en (0,0) las componentes horizontales han de ser iguales:
1 2
6
1 2 2
2
2 2
1 2
E E
q q 5·10 q
2·k 2·k ; ; q 7,22 C
18 26
d d
45
F1
F1 F2
F2
F2 F2 F1
F1
F1
05. Una partícula de masa m y carga q describe una trayectoria circular de radio R alrededor de una carga Q. Calcular la velocidad orbital y su energía cinética.
Datos: m = 9,1·10-31 kg q = -1,6·10-19 C R = 5,3·10-11m Q = 3,2·10-18C La fuerza de atracción como masas es despreciable. Igualamos las fuerzas:
9 19 18
2
6 1
1 2 1 2
2 31 11
q q v k q q 9·10 ·1,6·10 ·3,2·10
k m v 9,77·10 ms
R mR
R 9,1·10 ·5,3·10
2 17
C
1
E mv 4,34·10 J 2
06. Dos esferas puntuales están suspendidas de hilos de la misma longitud y de masa despreciable, de forma que se están tocando. Se cargan las dos con la misma carga, repeliéndose hasta que los hilos forman un ángulo de 90°. Poco a poco las esferas van perdiendo carga uniformemente. Calcular el tanto por ciento de carga perdida cuando el ángulo es de 60°.
Al principio la distancia entre las cargas es 2·Lsen45
2 0 REP
2 2
k q F
1 tg45
P mg·4L sen 45
Al final la distancia entre las cargas es 2·Lsen30
2
REP F
2 2
F k q
1
tg30
P mg·4L sen 30
3
si dividimos las dos expresiones, tenemos:
2 2 2
F F
2 2 2
0 0
q ·sen 45 q
1 sen 30
; 0,537
q q ·sen 30
3 3·sen 45
La carga que se ha perdido es el 46,3% de la carga inicial
07. En tres de los vértices de un cuadrado de lado 1 m, hay cargas de 4C. Calcular: a) el campo eléctrico en el cuarto vértice,
b) el trabajo necesario para llevar una carga de -5C desde el cuarto vértice hasta el centro del cuadrado.
a) Se calcula el campo creado por cada carga y se suman:
3 1 3 1
1 2 3
2
q
E k E E 36·10 N·C E 18·10 N·C d
3 3
x 2 3 x 1
3 3
y 1 3 y
E E E cos 45 E 36·10 9 2 ·10
E 68,91 N·C E E E sen45 E 36·10 9 2 ·10
b) los potenciales en el centro del cuadrado y en el cuarto vértice son:
6 6 6 6 6 6
4 4
C 4
4·10 4·10 4·10 4·10 4·10 4·10
V k k k 15,28·10 v; V k k k 9,75·10 v
1 1
2 2 2 2
2 2 2
y el trabajo necesario es:
6 4 4MOVIL F 0
W q V V 5·10 (15,28·10 9,75·10 ) 0,277 J
08. En los extremos de dos hilos de peso despreciable y 1 m de longitud están sujetas dos esferas de 10 g de masa y carga q. Los hilos forman un ángulo de 30º con la vertical.
a) Dibujar el diagrama de las fuerzas que actúan sobre las esferas y calcular el valor de q. b) Si se duplica el valor de las cargas, ¿qué valor deben tener las masas para que no se modifique el ángulo de equilibrio?
FREP
P L
E1
a) la distancia entre las cargas es d 2·1·sen30 1 . En la figura, tenemos:
2 2
2
6 2
q·q
k k q mg d ·tg30
3 F d
tg30 q 2,53·10 C
3 P mg mg d k
b)tg30 3 F
3 P
Si se duplica q, F es 4 veces mayor
y P debería cuadruplicarse para que la relación se mantenga constante.
09**. Tres pequeñas bolas idénticas de 2 g están suspendidas de un punto fijo por medio de tres hilos, cada uno con una longitud de 50 cm y de masa despreciable. En el equilibrio, las tres bolas forman un triángulo equilátero cuyos lados miden 30 cm. ¿Cuál es la carga que tiene cada bola?
En la base del triángulo h 0,3020,152 0,26m
2 30,26
sen 0,347
0,50
luego 20,28º
Las fuerzas de repulsión son F1 F2 k q22 0,3
La suma de ellas es F F1 F2 2k q22cos30 0,3
En el triángulo en el que está el peso, tenemos:
2
2 3
2k q cos30 F
tg20,28
P 0,3 ·2·10 ·10
Y de ahí despejamos el valor de q q=2,07·10-7C
10. Dos cargas puntuales de 3 C y 12 C, están situadas en los puntos A y B que distan 20 cm. a) Cómo varía el campo entre los puntos A y B y representarlo gráficamente.
b) ¿Hay algún punto de la recta AB en el que el campo E sea cero? El campo se anula en un punto intermedio P
3 3
P 3 12 2 2
2 2
27·10 108·10
E E E 0
x (0,2 x)
1 4 2 x 0,2 x x 0,067m
x (0,2 x)
Para cualquier punto intermedio:
3 3
INT 2 2
27·10 108·10 E
x (0,2 x)
que en el intervalo (0, 0.2) es decreciente, corta al eje OX en x=0,067 y tiene dos asíntotas verticales: x=0 y x=0,2
11. Una esfera cargada, de 20 g de masa se encuentra suspendida de un hilo de 1 m de longitud, en una zona en la que hay un campo eléctrico uniforme horizontal de 104 NC-1. Calcular el valor de la carga sabiendo que alcanza el equilibrio cuando el hilo forma 15º con la vertical.
F
P T
x 0,2-x
P
A B
x
0,067 0,2
E
3
6 4
F E·q tg
P mg m·g·tg 20·10 ·10·tg15
q 5,36·10 C
E 10
La tensión del hilo es
2 2 4 6 2 2
E
T F P (10 ·5,36·10 ) 0,2 0,21N
12. Una carga positiva de 6 C está en el origen de coordenadas. Calcular:
a) El potencial a 5 m de la carga, V kq 9·1096·10 6 10800 v
d 5
b) El trabajo que hay que hacer para traer una carga de 2 C desde el infinito hasta ese punto.
6 2
MOVIL F 0
W q (V V ) 2·10 10800 0 2,16·10 J
c) La energía potencial de esa carga en esa posición.
2 P
E q·V 2,16·10 J
13. Un electrón con una velocidad de 105 m·s-1 entra en un condensador de 10 cm de longitud y 2cm de separación, paralelamente a las láminas por el centro. Calcular el valor del campo en el interior sabiendo que sale “rozando” una de las láminas.
La velocidad en horizontal es siempre 105 ms-1 y el electrón atraviesa el condensador en
6 5 H
L 0,1
t 10 s
v 10
En ese tiempo desciende 1cm
2 V 10 2
V 2
2·e 1
e a t a 2·10 ms
2 t
y como la fuerza que tira del electrón hacia abajo es
31 10
19
ma 9,1·10 ·2·10 N
F E·q ma E 0,114
q 1,6·10 C
14. Un electrón con una velocidad de 105 m/s penetra en una zona de 10 cm de anchura en la que hay un campo eléctrico uniforme. Sale de esa zona sin desviarse pero con una velocidad igual a un tercio de la inicial. Calcular el valor del campo eléctrico e indicar su orientación.
Si se frena, la fuerza del campo va en contra del movimiento. Si la velocidad se reduce a un tercio, la aceleración es:
2 2 9 10
2 2 F O 10 2
F O
v v 1,11·10 10
v v 2a e a 4,45·10 ms
2e 2·0,1
la fuerza de frenado es la fuerza del campo eléctrico:
31 10
1 19
m·a 9,1·10 ·4,45·10
E·q m·a E 0,25N·C
q 1,6·10
Si el electrón se mueve hacia la derecha, el campo que se encarga de frenarlo está dirigido hacia la derecha.¿? ¡Ojo! La carga es negativa y el campo indica cómo se movería una carga positiva.
FE
P L
15. Se tienen dos placas metálicas horizontales cargadas separadas 10 cm. La intensidad del campo eléctrico en la zona comprendida entre ambas es uniforme y de módulo igual a 200 N·C1. Una partícula de 10 g de masa y 104 C de carga se suelta, con velocidad inicial nula, en la placa positiva. Determina:
a) El módulo de la aceleración que experimenta la partícula. b) La diferencia de potencial eléctrico entre las dos placas.
c) La energía cinética de la partícula cuando llega a la placa negativa.
El peso no es despreciable y la fuerza que actúa sobre la carga es:
4 1
2 2
E·q mg 200·10 10
F E·q mg m·a a 12ms
m 10
La diferencia de potencial entre placas es VA VB E·d 20 v
La velocidad es 2 2 1
F 0 F
v v 2a e v 1,56m·s y 2 2 C
1 2
E mv 1,2·10 J
16. Una carga de +1 µC se coloca a 1 cm de un hilo largo delgado, cargado con +5 µC/m. Calcular: a) La fuerza que ejerce el hilo sobre esa carga.
b) La diferencia de potencial entre ese punto y otro situado a 3 cm del hilo. c) Trabajo que hay que realizar para llevar la carga desde este punto al anterior.
a) El campo creado por el hilo es
6
6 1
12
5·10
E 9·10 N·C
2 d 2 8,85·10 ·0,01
y la fuerza sobre la carga F E·q 9·10 ·10 6 6 9N
b) El campo a 1 cm de distancia es 9·10 NC6 1 y a 3 cm el campo es 3·10 NC6 1
El potencial es
V E·d
luego los potenciales son 9·10 v4 y 3·10 v4c) El trabajo es 6 4 4 2
MOVIL F 0 MOVIL 1 3
W q (V V ) q (V V ) 1·10 (9·10 3·10 ) 6·10 J
17. En el interior de un condensador plano horizontal hay un campo eléctrico de 104 N/C dirigido hacia arriba. La longitud del condensador es de 5·10-2m y la separación de 2·10-2m. Equidistante de las láminas penetra un electrón con una velocidad de 107 m/s. Calcular:
a) Lo que desciende el electrón dentro del condensador b) El valor de la velocidad de salida (módulo y dirección)
c) El punto de impacto con una pantalla vertical situada a 10 cm del final.
La aceleración vertical sobre el electrón, dentro del condensador
4 19
15 2
31
E·q 10 ·1,6·10
F E·q ma a 1,76·10 ms
m 9,1·10
El electrón está dentro del condensador un tiempo t
2
9 7
HOR
5·10 L
t 5·10 s
v 10
en ese tiempo recorre, en vertical 2 15 9 2 2 1
1 1
2 2
y a t 1,76·10 ·(5·10 ) 2,2·10 m
A partir de ese punto ya no hay aceleración y el movimiento es uniforme. La velocidad es
7 1
HOR 2 2 7 1
HOR VERT
6 1
VERT
v 10 ms
v v v 1,33·10 ms v a·t 8,8·10 ms
y el ángulo es
VERT HOR
v
arctg 41,35º v
+
-si la escribimos en notación vectorial sería: 7 6
HOR VERT
v v i v j 10 i 8,8·10 j
Para llegar a la pantalla tiene que recorrer 10 cm, en lo que tarda 8 7
0,10
t 1·10 s
10
y en ese tiempo
recorre en vertical 6 8 2
2 VERT
y v ·t 8,8·10 ·10 8,8·10 m , luego choca con la pantalla
2 2
1 2
y y y 2,2·10 8,8·10 0,11m por debajo de la trayectoria inicial del electrón.
18. Tres cargas puntuales iguales de 3·10-7 C están colocadas en los vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. Calcular:
a) El campo eléctrico en el centro del triángulo. b) La energía potencial del sistema.
El campo en el centro es cero, por simetría: tres vectores iguales dirigidos hacia los vértices de un triángulo equilátero.
La energía potencial de un sistema de tres cargas es:
1 3 2 3
1 2 P
12 13 23
q q q q q q
E k k k
r r r
, como q1q2 q3 r12 r13 r23
7 2 2
9 3
P
(3·10 ) q
E 3k 3·9·10 2,43·10 J
d 1
19. Una esfera conductora de 8 cm de radio tiene una carga de 0,3 C. Calcular: a) el potencial en A(r=4 cm), en B(r=8 cm) y en C(r=12 cm)
El campo en esos puntos es
6 6
5 5
A B 2 2 C 2 2
B C
0,3·10 0,3·10
N q N q N
E 0 E 4,22·10 E 1,87·10
C 4 R 4 (0,08) C 4 R 4 (0,12) C
y el potencial es V E·d VA 0 v VB 33760 v VC 22440 v
b) la densidad superficial de carga sobre la esfera
6
6
2 2
0,3·10
q 3,73·10 C
S 4 (0,08) m
20. Una gota de agua de 2 mm de radio se carga a un potencial de 300 voltios. Calcular la carga que adquiere. Si se unen dos gotas como esa para formar una sola, ¿cuál sería el potencial de la gota resultante?.
A partir del potencial obtenemos la carga, 3 11
9
V·r 300·2·10 q
V k q 6,66·10 C
r k 9·10
El volumen de la gota es V 4 r3 4 (2·10 )3 3 3,35·10 m8 3
3 3
si se unen dos gotas el volumen es el doble y el radio de la nueva gota es
3 3 INI 3
FIN INI FIN FIN
3·2 V 4
V 2 V R R 2,52·10 m
3 4
y el potencial
FIN FIN
FIN
q
V k 476,43 V r
21. Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario separadas por una distancia 2a.
En un punto situado en la línea que une las cargas:
2 2
2 2 2 2
k q k q 2x 4ax 4a
E E E k q
x (2a x) x (2a x)
La distancia entre cada carga y el punto P es: x2a2
El campo en cualquier punto es paralelo al dipolo y vale:
T 2 2 2 2 2 2 3
2k qa
q a
E 2·E sen 2·k
x a x a (x a )
22. Un electrón se encuentra en reposo en un punto situado a 1 m de una esfera conductora de 1 cm de radio, que tiene una carga de 10-8 C. El electrón es atraído por la esfera y se mueve hacia ella. Calcular la velocidad de éste cuando haya recorrido 50 cm desde el punto inicial hacia la esfera.
El electrón se mueve desde A hasta B. La energía total en los dos puntos es la misma y suponemos que en A está parado
P A PB 2
A B P A PB
1 2
2·(E E )
E E E 0 E mv v
m
8 19
9 17
1 2
A 17
A 6 1
31
8 19
9 17
1 2 B
B
q ·q 10 ·1,6·10
E k 9·10 1,44·10 J
r 1 2·( 1,44 2,88)·10
v 5,63·10 ms
9,1·10 q ·q 10 ·1,6·10
E k 9·10 2,88·10 J
r 0,5
23. Tres cargas iguales de +5 µC se encuentran situadas en tres vértices de un cuadrado de 20 mm de lado. Hallar el campo y el potencial en el cuarto vértice. Qué pasaría si las cargas fuesen de -5 µC.
6
9 8 1
1 2 2 3 2
7 1
2
5·10 q
E E k 9·10 1,13·10 NC
d 20·10
q
E3 k 5,65·10 NC 2d
8
X 1 3 2 2 8 1
X Y
8
Y 2 3
E E E cos 45 1,53·10
E E E 2,16·10 NC E E E sen45 1,53·10
El potencial es 9 6 6
1 2 3 3
9·10 ·5·10
q q q 1
V V V V k k k 1 1 6,09·10 V
d d 2d 20·10 2
Si las cargas son negativas, el campo cambia de sentido y el potencial de signo.
24. Dos cargas iguales +q están separadas una distancia de 6 m. En el punto situado en la mediatriz del segmento que une ambas cargas, y a una distancia de 4 m del punto medio entre ellas, la intensidad del campo eléctrico es de 2 V/m. Calcular la intensidad del campo eléctrico en un 5unto situado en la misma mediatriz, a 8 m del punto medio entre ambas cargas. Calcular el trabajo realizado cuando una carga de +10 µC pasa desde el primer punto al segundo.
2a-x x
+
-
2a
-+
P
E+ E
-ET
x
B A
E1
El campo total en A es A 2 A
q 4
E 2·k cos cos 5 d
y la carga es
2 2
9 A
9
E d 2·5
q 3,47·10 C
2k cos 2·9·10 ·0,8
El campo total en B es
9
9 1
B 2
B
3,47·10
q 8
E 2·k cos 2·9·10 0,80 Vm
73
d 73
Los potenciales en los dos puntos son:
9 9
9 9
A B
A B
3,47·10 3,47·10
q q
V 2·k 2·9·10 12,49 V V 2·k 2·9·10 7,31V
d 5 d 73
y el trabajo es 6 5
MOVIL F 0 MOVIL B A
W q (V V ) q (V V ) 10·10 (7,31 12,49) 5,18·10 J
25*. En una zona del espacio hay un potencial variable V(x)=x2-3x. Escribir la ecuación del campo eléctrico E. Calcular los valores del campo y del potencial en x=4 m. Calcular el trabajo necesario para mover una carga de 10 µC desde x=4 hasta x=10.
El potencial es la derivada del campo cambiada de signo y el campo la integral (-) del potencial:
2 1 3 3 2
3 2 E
V(x)dx
(x 3x)dx x xpara x=4, el potencial vale
V 4
2
3·4 4v
y el campo es 1 3 3 23 2
N
E 4 4 2,66
C
el potencial en los puntos x=4 y x= 10 es V4 4 v V10 70 v
y el trabajo es 6 4
MOVIL F 0 MOVIL 10 4
W q (V V ) q (V V ) 10·10 (70 4) 6,6·10
26*. Una esfera conductora tiene una densidad superficial de carga . A una distancia L de su centro, el potencial es la décima parte del potencial superficial. Calcula:
a) El radio de la esfera conductora. b) La carga eléctrica de la esfera. c) El potencial eléctrico de la esfera.
d) La intensidad del campo en un punto muy próximo a la superficie. e) La intensidad del campo en un punto del interior de la esfera. Los potenciales en la superficie de la esfera y en el punto que dista L son:
S
S L L
q
V k V L
R 10 R 0,1·L
q V R
V k L
La carga de la esfera es q 4 R 2 4·102L2
El potencial en la superficie es:
2 S
4 R q
V k k 4k R 0,4k L
R R
El campo en la superficie es:
2
SUP 2 2
4 R q
E k k 4 k
R R
y en el interior EINT 0 A B
27*. ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro geométrico de un anillo que posee una carga Q uniformemente distribuida? ¿y a una distancia d medida sobre el eje?
En el centro el anillo:
Descomponemos el anillo en elementos de carga dq. Para cada elemento hay uno, en la posición opuesta, que crea el mismo campo pero en sentido contrario, por lo que el campo total en el centro del añillo es nulo. El campo se anula por simetría.
En el punto P: Descomponemos el anillo en elementos de carga dq. Cada uno crea un campo dE:
2 2
dq dE k
R d
El campo total es la suma de todos los campos diferenciales. La suma solo tiene componente en la dirección del eje OX, las otras se anulan por simetría:
2 2 2 2 2 2 3 2 2 3
Q d
dq d d
E dE·cos k k dq k
R d R d (R d ) (R d )
28*. Tres cargas se colocan como se ilustra en la figura. q1 es 2 C, pero no se conocen su signo ni el valor de la carga q2. La carga q3 es 14 C, y la fuerza neta sobre q3 va en la dirección negativa del eje x.
a) Considere los diferentes signos posibles de q1 y que hay cuatro posibles diagramas de fuerza que representan las fuerzas y que q1 y q2 ejercen sobre q3. Dibuje esas cuatro configuraciones de fuerza posibles.
b) Usando los diagramas y la dirección de F deduzca los signos de las cargas q1 y q2.
c) Calcule la magnitud de q2.
d) Determine F, la magnitud de la fuerza neta sobre q3.
Sabemos los valores de las cargas pero no los signos. Los ángulos son 37,87º el de la izquierda y 52,13º el de la derecha. Las configuraciones posibles son:
q1 + q2 + q3 + q1 - q2 - q3 + q1 - q2 + q3 + q1 + q2 - q3 +
q1 + q2 + q3 - q1 - q2 - q3 - q1 - q2 + q3 - q1 + q2 - q3 -
Vemos que solo son posibles dos configuraciones para que la fuerza total sea horizontal hacia la izquierda.
R
d
dE
dE
E
P
C
dE
dE
90 3 cm 4 cm
5 cm
q1 q2
q3
F
q1 q2
q3
F
q1 q2
q3
F
q1 q2
q3
F
q1 q2
q3
F
q1 q2
q3
F
q1 q2
q3
F
q1 q2
q3
F
q1 q2
q3
Para que la fuerza total se dirija hacia la izquierda, las componentes verticales de las dos fuerzas tienen que ser iguales para que se anulen.
Vamos a ver cualquiera de ellas:
6
9 2 6
2V 2 2
6 7
2 2
6 6
9
3V 2
14·10 q
F 9·10 sen52,13º 110,52·10 q N
0,03 110,52·10 q 96,68 q 8,75·10 C
2·10 ·14·10
F 9·10 sen37,87º 96,68N
0,04
q1 y q2 tienen que tener signos diferentes y las cargas q2 y q3 tienen que tener el mismo signo. La fuerza total sobre la carga q3 será:
6 7 6 6
9 9
TOT 2H 3H 2 2
14·10 8,75·10 2·10 ·14·10
F F F 9·10 cos52,13º 9·10 cos37,87º 199,53N
0,03 0,04
29**. Un alambre con una densidad de carga lineal uniforme se dobla como se muestra en la figura. Determine el potencial eléctrico en el punto O.
Tenemos tres elementos: uno curvo y dos rectos. El potencial es la suma del potencial creado por los tres elementos:
TOT RECTO CURVO RECTO RECTO CURVO
V V V V 2 V V
El más fácil es el curvo, se trata de una carga R a una distancia R VCURVO k R k R
El tramo recto dividimos en trozos diferenciales RECTO RECTO x 2R
x 0
dx dx
dV k V k
3R x 3R x
Hacemos un cambio de variable: t 3R x dt dx dx dt Lnt Ln(3R x)
3R x t
y entonces RECTO
x 2R
x 0
R
V k Ln 3R x k LnR Ln3R k Ln k Ln3
3R
y el potencial total es VTOT 2k Ln3 k k (Ln9 ) R
2 R 2 R