Identificación de comportamiento fractal en generador de números aleatorios basado en memristor

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(1)Identificación de comportamiento fractal en generador de números aleatorios basado en memristor. Marı́a Camila Téllez Rodrı́guez Johan Steven Mejı́a Mogollón. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de ingenierı́a Grupo de investigación IDEAS 23 de agosto de 2019 BOGOTÁ D.C..

(2) Identificación de comportamiento fractal en generador de números aleatorios basado en memristor. Marı́a Camila Téllez Rodrı́guez Johan Steven Mejı́a Mogollón Modalidad: Monografı́a. Director: Hans Igor López Chávez Co-director: Cesar Augusto Hernández Suárez. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de ingenierı́a Grupo de investigación IDEAS 23 de agosto de 2019 BOGOTÁ D.C..

(3) Dedicatorias. “A mis padres”, frase pronunciada repetidas veces por mi hermano, les agradezco por el constante apoyo que me brindaron en todo el proceso que llevé a cabo. A mi hermano, por preocuparse tanto por mı́ y desearme siempre lo mejor. A Marı́a Camila Téllez Rodrı́guez, por el constante apoyo y el esfuerzo que se necesitó para lograrlo; y a Hugo Ferney Rodrı́guez Muñenton, por la preocupación y el deseo de que alcanzaramos la meta. Johan Steven Mejı́a Mogollón. Agradezco a mi madre porque siempre ha sido un apoyo incondicional en mi vida, sus enseñanzas y consejos están presentes en todo lo que hago. A mi hermano que es la persona que siempre me cuida y apoya en cada momento. A Johan Steven Mejı́a Mogollón que, además de ser mi compañero en la investigación brindando esfuerzo y tiempo, me ha apoyado en mi formación personal. Marı́a Camila Téllez Rodrı́guez.

(4) Agradecimientos Los autores agradecen en primera instancia a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, por el apoyo a lo largo del curso de esta investigación. De igual forma se agradece a los profesores Hans Igor López Chávez del grupo IDEAS de la facultad de ingenierı́a, y Cesar Augusto Hernández de la facultad de tecnologı́a, por el constante apoyo brindado tanto en conocimientos, orientación y rumbo de la investigación. Por último, los autores desean brindar su gratitud al grupo IDEAS de la facultad de ingenierı́a, por permitir los espacios de desarrollo del proyecto..

(5) Índice general Abreviaturas. 9. Introducción. 10. 1. Formulación del problema. 12. 2. Objetivos 14 2.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Objetivos especı́ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Marco referencial 3.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Marco teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Memristor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Pruebas NIST . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Diagrama varianza-tiempo . . . . . . . . . 3.2.4. Diagrama log-escala . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Diagrama multiescala y multiescala lineal . 3.2.6. Espectro multifractal . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Cascadas binomiales conservativas . . . . . 4. Generador de números aleatorios 4.1. Sistemas caóticos . . . . . . . . . 4.1.1. Sistema 1 . . . . . . . . . 4.1.2. Sistema 2 . . . . . . . . . 4.1.3. Sistema 3 . . . . . . . . . 4.1.4. Sistema 4 . . . . . . . . . 4.1.5. Sistema 5 . . . . . . . . . 4.1.6. Sistema 6 . . . . . . . . . 4.2. Generador de números aleatorios. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 15 15 16 16 17 18 19 20 22 23. . . . . . . . .. 26 27 27 27 28 29 29 30 31. 5. Resultados 33 5.1. Generador de números aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2. Comparación con el método de cascadas binomiales conservativas . . 40 6. Conclusiones. 41. 5.

(6) Índice de figuras 3.1. Detección de LRD en una traza de tiempos entre paquetes consecutivos recibidos en los laboratorios Bellcore a partir de la estimación del parámetro de Hurst por medio del VTD. (a) Serie de tiempos con LRD. (b) Diagrama varianza-tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Detección de LRD en una serie de tiempos a partir de la estimación del parámetro de Hurst por medio de LD. (a) Serie de tiempos con LRD. (b) Diagrama log-escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. (a) Diagrama multiescala de los tiempos de arribos de la traza BCpAu89 y del ruido fraccional gausiano. (b) Diagrama multiescala lineal de estos dos procesos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. (a) Exponentes de masa τ (q). (b) Exponente singular α(q). (c) Dimensión local f (α) (transformada de Legendre). (d) Espectro multifractal de las trazas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Sı́ntesis del modelo Wavelet multifractal mediante una cascada binomial conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Sı́ntesis traza con algoritmo β-MWM y H = 0.9 . . . . . . . . . . . 3.7. (a) VTD para la traza sintetizada con el algoritmo β-MWM. (b) LD para la traza sintetizada con el algoritmo β-MWM . . . . . . . . . . 3.8. (a) MD para la traza sintetizada por el algoritmo β-MWM. (b) LMD para la traza sintetizada por el algoritmo β-MWM. (c) MS para la traza sintetizada por el algoritmo β-MWM. . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Diagrama esquemático de la metodologı́a implementada en la investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Circuito caótico implementado con un diodo de Chua. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de VC2 (t) versus VC1 (t) del atractor caótico. 4.3. Circuito caótico simple. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de VC (t) versus i(t) del generador caótico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Implementación de un nuevo sistema caótico basado en memristor. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de ϕ(t) versus VC2 (t) del atractor caótico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Generador de un sistema caótico utilizando memristor. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de VC2 (t) versus ϕ(t) del atractor caótico. . 4.6. Circuito caótico basado en un memristor con una función a trozos lineal. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de ϕ(t) versus VC1 (t) del atractor caótico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Circuito caótico simple para encriptación de información. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de VC (t) versus iL (t) del atractor caótico. . 4.8. Diagrama de bloques de un generador de números aleatorios a partir de una señal caótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Diagrama de bloques del generador de números aleatorios modificado con reducción de taza de muestreo y normalización de la señal de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. . 19. . 20. . 21. . 23 . 24 . 24 . 25. . 25 . 26 . 27 . 28. . 28 . 29. . 30 . 30 . 31. . 32.

(7) 4.10. Diagrama de bloques del generador de números aleatorios implementado en la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.1. (a) Sı́ntesis de datos monofractales a partir del RNG del sistema 5 con una combinación b = 8, n = 16, m = 13. (b) Sı́ntesis de datos multifractales a partir del RNG del sistema 1 con una combinación b = 8, n = 12, m = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. (a) VTD para una traza de datos monofractales sintetizados. (b) VTD para una traza de datos multifractales sintetizados. . . . . . . . . . 5.3. (a) LD para una traza monofractal sintetizada. (b) LD para una traza multifractal sintetizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. (a) MD para las trazas monofractales y multifractales. (b) LMD para las trazas monofractales y multifractales. . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. MS de las trazas analizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. (a) Variación de la estimación del parámetro de Hurst alterando la condición inicial de la variable x. (b) Variación del espectro multifractal utilizando diferentes condiciones iniciales de la variable x. . .. 7. . 36 . 37 . 37 . 38 . 38. . 39.

(8) Índice de tablas 5.1. Parámetros ajustados para las pruebas p2, p8, p10 - p14 del banco de pruebas NIST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Tabla de resultados para el sistema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Tabla de resultados para el sistema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Tabla de resultados para el sistema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Tabla de resultados para el sistema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Tabla de resultados para el sistema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Tabla de resultados para el sistema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Resultados de análisis multifractal de los sistemas 1 - 3 . . . . . . . 5.9. Resultados de análisis multifractal de los sistemas 4 - 6 . . . . . . . 5.10. Tabla de resultados de las pruebas NIST para el la sı́ntesis de datos con el algoritmo β-MWM y su parámetro de Hurst . . . . . . . . .. 8. . . . . . . . . .. 33 34 34 34 35 35 35 39 39. . 40.

(9) Abreviaturas β-MWM modelo Wavelet multifractal β. 6, 8, 10–12, 24, 25, 33, 40–42 H parámetro de Hurst. 6–8, 11, 12, 15, 18–21, 24–26, 36–41 ADC conversor analógico a digital. 31–33, 41 CBC cascada binomial conservativa. 6, 10, 12, 13, 23, 24, 40, 41 CWT descomposición Wavelet continua. 19 DAC conversor digital a analógico. 32, 33, 41 DWT descomposición Wavelet discreta. 19, 26 LD diagrama log-escala. 6, 7, 12, 14, 16, 19, 20, 25, 26, 37 LMD diagrama multiescala lineal. 6, 7, 12, 14, 16, 20, 21, 25, 26, 38 LRD dependencia de rango largo. 6, 10–16, 18–23, 26, 33, 36, 41, 42 MD diagrama multiescala. 6, 7, 12, 14, 16, 20, 21, 25, 26, 38 MS espectro multifractal. 6, 7, 10, 12, 14, 16, 22, 23, 25, 26, 38, 41 MWM modelo Wavelet multifractal. 6, 10, 12, 15, 23, 24 NIST instituto nacional de estándares y tecnologı́a. 8, 15–18, 26, 31, 33, 36, 40, 41 PRNG generador de números pseudo-aleatorios. 10 RNG generador de números aleatorios. 7, 10–15, 17, 31–33, 36, 37, 41, 42 VTD diagrama varianza-tiempo. 6, 7, 12, 14, 16, 18, 19, 25, 26, 36, 37, 40. 9.

(10) Introducción Los comportamientos de algunos fenómenos fı́sicos en la naturaleza son tratados como sistemas complejos (Flake, 2001). A menudo, los sistemas complejos con propiedades emergentes son colecciones altamente paralelas de unidades simples. Esto puede observarse en colonias de hormigas, formación de bosques, creación de tejidos, e incluso, la formación de una población (Burn & Mandelbrot, 1984). Los procesos emergentes expresan una relación compleja entre diversos factores, incluso (en algunos casos) con factores externos, como el clima (Das & Ghosh, 2015). Se ha encontrado que el clima no solo depende de magnitudes fı́sicas como: la temperatura, la presión, los flujos de aire, la humedad; sino que es un proceso dependiente en la escala (Sheluhin et al., 2018). La temperatura del dı́a de hoy depende de la temperatura de hace dos meses, y el registro de la temperatura de un año es consecuencia de la temperatura de un siglo. Otros ejemplos factibles son la bolsa de valores (Mandelbrot & Hudson, 2004) y el tráfico de vı́deo en MPEG-4 (Wang & Qiu, 2005). Actualmente, existen sistemas que modelan procesos emergentes con dependencia en la escala, y suelen implementar RNGs o sintetizadores de trazas de datos independientes entre sı́, sabiendo aún que los fenómenos naturales exhiben dependencia de rango largo (Das & Ghosh, 2015; Mandelbrot & Hudson, 2004; Wang & Qiu, 2005) y es necesario un registro amplio del proceso para modelarlos (Das & Ghosh, 2015). Además, estos modelos se basan en generadores de números pseudoaleatorios (PRNGs) como: las cascadas binomiales conservativas (CBCs) en conjunto con el modelo Wavelet multifractal (MWM) (Riedi, 2003), y el modelo modelo Wavelet multifractal β que permite la modificación del espectro multifractal (Tuberquia et al., 2016). Ambos modelos presentan comportamientos únicamente multifractales (Riedi, 1995). Para desarrollar generadores de números aleatorios (RNGs) o sintetizadores de trazas, existen diversos métodos (Tlelo-Cuautle et al., 2016; Corinto et al., 2016; Li et al., 2011). Sin embargo, algunas resultan más versátiles que otras. En el 2010, Muthuswamy & Chua (2010) diseñaron e implementaron un circuito caótico usando el memristor, evidenciando la aplicación de este como RNG. El memristor es propuesto por Chua (1971) como dispositivo no lineal de dos terminales que permite relacionar directamente las variables flujo y la carga, de la ley de inducción de Faraday. Sin embargo, no se ha implementado un RNG basado en memristor, que permita la sı́ntesis de trazas para el modelamiento de procesos emergentes. De acuerdo con lo anterior, el presente proyecto de investigación tiene por objetivo la identificación de la existencia de comportamientos fractales (ya sean monofractales o multifractales) en secuencia de datos sintetizadas a partir de un generador de números aleatorios implementado con base a la señal caótica obtenida de un circuito memristivo.. 10.

(11) A diferencia de otros trabajos realizados en el área, el presente proyecto lograrı́a construir un RNG con comportamiento fractal y parámetro de Hurst variable que permitirı́a la emulación de procesos en áreas como: el tráfico de redes, las finanzas, la geofı́sica, el modelamiento de texturas, entre otras; siendo posible encontrar comportamientos multifractales ó monofractales variando los parámetros circuitales de la configuración y/o los parámetros del RNG, a diferencia del algoritmo modelo Wavelet multifractal β, que permite siempre la sı́ntesis de trazas multifractales con dependencia de rango largo. El resto de la investigación está estructurado como sigue. El Capı́tulo 1 formula el problema de investigación y su importancia. Los objetivos se aprecian en el Capı́tulo 2. Posteriormente, el Capı́tulo 3 menciona algunos de los trabajos relacionados con RNGs, dependencia de rango largo y análisis multifractal; y expone los fundamentos del memristor, los sistemas caóticos, la dependencia de rango largo y la identificación de monofractalidad y multifractalidad. El Capı́tulo 4 describe la construcción e implementación del generador de números aleatorios propuesto. Y por último, el Capı́tulo 5 presenta el análisis de los resultados alcanzados en la investigación, presentando las respectivas conclusiones y trabajos futuros en el Capı́tulo 6.. 11.

(12) 1. Formulación del problema Los generadores de números aleatorios (RNGs) son usados en la actualidad para encriptar información (Patidar et al., 2009) y modelar procesos naturales (Flake, 2001). En el área de la encriptación, los RNGs permiten codificar la información que se transmite de un punto a otro sin correr el riesgo de que un agente externo la descifre (Ditto & Munakata, 1995), con procesos complejos de encriptación para descifrar la información únicamente a través de la clave de cifrado, lo suficientemente largas y aleatorias posibles (Menezes et al., 1996). Además, los RNGs han sido utilizados para describir comportamientos naturales, como los autómatas celulares (Flake, 2001) y redes de tráfico (Wang & Qiu, 2005; Beran et al., 1995; Leland et al., 1994), incluso podrı́an modelar aspecto social como la interacción entre personas ó el crecimiento de una población. Por otro lado la naturaleza presenta una geometrı́a diferente a la euclidiana conocida como la geometrı́a fractal, ejemplificada en la forma de los árboles, la estructura de los tejidos orgánicos y la complejidad de los sistemas circulatorio y nervioso (Burn & Mandelbrot, 1984), entre otros. Se ha demostrado que muchos comportamientos fractales (monofractal y multifractal) de la naturaleza poseen caracterı́sticas de autosimilitud, considerándolo en diferentes escalas (Sheluhin et al., 2007) e implicando una dependencia de rango largo (LRD) (Park & Willinger, 2000) como por ejemplo: la detección de zonas de clima (Das & Ghosh, 2015), el comportamiento del mercado (Mandelbrot & Hudson, 2004) y el tráfico de vı́deo en MPEG-4 (Wang & Qiu, 2005).. Se ha logrado estimar el parámetro de Hurst para la detección de LRD a través del diagrama varianza-tiempo (VTD) y el diagrama log-escala (LD), que utilizan la autocovarianza y la descomposición de Wavelet, respectivamente. Para la identificación del comportamiento multifractal han sido utilizados el diagrama multiescala (MD) y el diagrama multiescala lineal (LMD), que estiman el parámetro de Hurst en diferentes escalas y determinan si este valor se mantiene constante (monofractal) o es una función de la escala (multifractal). Adicionalmente el espectro multifractal (MS) permite observa parámetros relacionados con la multifractalidad como el ancho del espectro y la dimensión fractal. Su cálculo se basa en la transformada de Legendre. Actualmente, los sistemas que modelan procesos naturales implementan RNGs con trazas de datos independientes entre sı́, sabiendo aún que los fenómenos naturales exhiben dependencia de rango largo (Das & Ghosh, 2015; Mandelbrot & Hudson, 2004; Wang & Qiu, 2005), y es necesario un registro amplio del proceso para modelarlos (Das & Ghosh, 2015). Las cascadas binomiales conservativas (CBCs) en conjunto con el modelo Wavelet multifractal (MWM) (Riedi, 2003) y el modelo Wavelet multifractal β (β-MWM) son ejemplos de ello. Lo anterior conlleva a la inexistencia de sistemas capaces de emular las carac-. 12.

(13) terı́sticas de LRD y comportamiento fractal en procesos naturales, ya que serı́a necesario la adquisición y almacenamiento de los datos del sistema en tiempo real, produciendo un consumo de tiempo considerable que aumenta si se desea analizar el fenómeno a mayores escalas, llegando incluso (en algunos casos) a no ser escalables.. Es ası́ como se evidencia la necesidad de implementar un RNG cuyas trazas sintetizadas presenten LRD y comportamiento fractal, como solución alternativa a las CBCs. Se ve en el memristor la oportunidad de servir como base para construir el RNG, dado su comportamiento no lineal y la falta de trabajos para exponer su comportamiento fractal, además de permitir su implementación en un sistema de bajo consumo. Lo anterior plantea la siguiente pregunta de investigación: ¿Cuál es el comportamiento fractal de un generador de números aleatorios basado en memristor para la sı́ntesis de datos con dependencia de rango largo?. 13.

(14) 2. Objetivos 2.1.. Objetivo general. Determinar el comportamiento fractal (monofractal o multifractal) de un generador de números aleatorios (RNG) implementado con base a un sistema caótico construido por medio de un circuito memristivo para usarse en la sı́ntesis de datos con dependencia de rango largo.. 2.2.. Objetivos especı́ficos. Realizar la revisión literaria de los fundamentos y propiedades del memristor, haciendo énfasis en su aplicación orientada a los sistemas caóticos y a la generación de números aleatorios. Implementar un generador de números aleatorios a partir de un sistema caótico generado por un circuito memristivo. Identificar la presencia de dependencia de rango largo y el comportamiento multifractal de los datos generados a partir de herramientas como el diagrama varianza-tiempo, el diagrama log-escala, el diagrama multiescala, el diagrama multiescala lineal y el espectro multifractal.. 14.

(15) 3. Marco referencial En la Sección 3.1 se muestran algunas publicaciones e investigaciones que se han realizado entorno a las temáticas: sistemas caóticos basados en memristor, generador de números aleatorios, dependencia de rango largo y comportamiento multifractal. Las temáticas tratadas se desarrollan en la Sección 3.2.. 3.1.. Antecedentes. En el campo de los sistemas caóticos, se han publicado varios trabajos que describen diferentes circuitos y funciones de memristancia. En principio, Cruz & Chua (1992) desarrollan matemáticamente un sistema caótico utilizando un dispositivo al cual se le denominó el diodo de Chua. Posteriormente, Muthuswamy & Chua (2010) generaron otro oscilador caótico utilizando un memristor. Con ello, diversos autores han realizado modificaciones tanto en la función de memristancia - memconductancia como en el circuito para aplicaciones especı́ficas. Por ejemplo, en (Li et al., 2012) y (Li et al., 2013) se implementan nuevas funciones para generar sistemas caóticos. En los años 2016 y 2017 se propusieron nuevos circuitos para encriptación y desencriptación de imágenes y textos (Yang et al., 2016; Hu et al., 2017). Por medio de las anteriores investigaciones se han construido varios RNGs. Algunas de las propuestas se pueden estudiar en (Tlelo-Cuautle et al., 2016) y (Corinto et al., 2016), donde se implementan RNGs con base en una señal caótica emulada por una FPGA y muestreando la señal presentada en (Muthuswamy & Chua, 2010). El resultado de ambos artı́culos es la implementación de un sistema capaz de aprobar el banco de pruebas del instituto nacional de estándares y tecnologı́a (NIST) para su aplicación en sistemas de seguridad informática. Otros generadores son expuestos por Melgarejo & Piraján (2002), quienes proponen un RNG a partir de una señal ruidosa emanada por un diodo Zener con distribución normal ó uniforme y con caracterı́sticas estadı́sticas particulares; y Li et al. (2011), quienes construyeron un RNG con base en una señal caótica emanada por un láser, con posibilidad de generar bits aleatorios cada 10 Gb/s. Por otra parte Leland et al. (1994) observaron la naturaleza autosimilar del tráfico Ethernet, mostrando que dicho tráfico es estadı́sticamente autosimilar, y evidenciando que el grado de autosimilitud es un indicativo de la variabilidad del tráfico, estimado en términos del parámetro de Hurst. Lo expuesto en (Leland et al., 1994) permitió concluir que los modelos usados hasta ese momento eran incapaces de capturar esta propiedad, abriendo el camino a la caracterización y modelado del tráfico moderno. Esta necesidad condujo al estudio del tráfico fractal por medio de la transformada Wavelet (Alzate Monroy, 2002; Huimin Chen et al., 2002; Shimizu, 2004; Lashermes et al., 2005). Por tal motivo Riedi et al. (1999) propusieron un modelo Wavelet multifractal (MWM) que caracteriza y sintetiza datos positivos con LRD. Posteriormente, Tuberquia et al. (2016) desarrollaron un algoritmo para generar series de tiempo multifractales con parámetro de Hurst y ancho del espectro 15.

(16) multifractal, muestrales y ajustables. Como se evidencia no existen trabajos que generen números aleatorios con base en un sistema caótico con LRD y que exhiban comportamiento fractal. Las investigaciones relacionadas permiten generar números aleatorios sin realizar el análisis fractal de las trazas sintetizadas. En esta investigación se desarrolla una propuesta de un modelo que parte de una señal fı́sica para generar trazas con LRD y comportamiento fractal.. 3.2.. Marco teórico. En esta sección se exponen las principales temáticas para el desarrollo de la investigación: el memristor, los sistemas caóticos, las pruebas NIST, la detección de LRD a través del diagrama varianza-tiempo y el diagrama log-escala; y la identificación del comportamiento fractal por medio del diagrama multiescala, el diagrama multiescala lineal y espectro multifractal.. 3.2.1.. Memristor. En la década de los 60’s se inicio la investigación de un dispositivo que representara el lazo perdido en la relación de las cuatro variables circuitales expuesta en la deducción de la ley de inducción de Faraday: voltaje (v), corriente (i), flujo (ϕ) y carga (q) (Radwan & Fouda, 2015). Fue entonces cuando Widrow (1960) desarrolló un nuevo dispositivo llamado memistor. El memistor es un dispositivo de tres terminales donde la conductancia entre dos de sus terminales es controlada por la integral del tiempo de la corriente en el tercer terminal, y su resistencia por la carga. Chua (1971), quién es considerado el padre de los circuitos no lineales, predijo la existencia de un elemento faltante que relacionara la carga con el flujo. A éste elemento el profesor Chua lo denominó memristor. El memristor es un dispositivo no lineal de dos terminales que relaciona directamente el flujo y la carga. Existen dos modelos de memristor: uno controlado por carga y otro controlado por flujo, los cuales se describen en la Eq. 3.1 y Eq. 3.2:  v(t) = M (q(t))i(t)[V]     dϕ(q) charge-controlled Memristor = M (q) = [Ω]  dq    p(t) = M (q(t))i2 (t)[W]  i(t) = W (ϕ(t))v(t)[A]     dq(ϕ) flux-controlled Memristor = W (ϕ) = [S]  dϕ    p(t) = W (ϕ(t))v 2 (t)[W]. (3.1). (3.2). Chua (1971) denominó la función M (q(t)) como la memristancia y W (ϕ(t)) como memductancia. Para que un dispositivo sea considerado memristor, debe cumplir con las siguientes caracterı́sticas (Biolek et al., 2013; Adhikari et al., 2013): 16.

(17) El dispositivo debe exhibir un lazo de histéresis pellizcado en el plano voltaje – corriente para algún periodo de señal de excitación. El área del lóbulo de histéresis pellizcado debe decrementar monótonamente con excitaciones de incrementos en frecuencia. El lazo de histéresis pellizcado debe encogerse para un valor de función sencilla cuando la frecuencia tiende al infinito. Los memristores tienen un rango amplio de aplicaciones: memristor basado en osciladores sinusoidales (Talukdar et al., 2010, 2011, 2012), circuitos analógicos programables (Shin et al., 2009), filtros adaptativos (Kozma et al., 2012; Driscoll et al., 2010), circuitos neuromórficos (Pershin & Di Ventra, 2010), sistemas caóticos (Muthuswamy & Chua, 2010; Li et al., 2012, 2013), memorias RRAM (Waser & Aono, 2007; Robinett et al., 2010; An Chen et al., 2005), implementación lógica (Borghetti et al., 2010) y generadores de números aleatorios (RNGs) (Zhang et al., 2017; Rai et al., 2018).. 3.2.2.. Pruebas NIST. El banco de pruebas NIST, descrito en (Bassham et al., 2010) consiste en 15 pruebas estadı́sticas para probar la aleatoriedad de secuencias binarias (arbitrariamente largas) producidas por generadores aleatorios o pseudoaleatorios basados en software o hardware, para ser implementados en aplicaciones de encriptación de información. Los datos sintetizados por el generador se someten a estas pruebas con el fin de descartar trazas con baja tasa de aprobación. Las pruebas que el banco realiza son: 1. The Frequency (Monobit) Test 2. Frequency Test within a Block 3. The Cumulative Sums (Cusums) Test 4. The Runs Test 5. Tests for the Longest-Run-of-Ones in a Block 6. The Binary Matrix Rank Test 7. The Discrete Fourier Transform (Spectral) Test 8. The Overlapping Template Matching Test 9. Maurer’s “Universal Statistical”Test 10. The Approximate Entropy Test 11. The Serial Test 12. The Linear Complexity Test 13. The Random Excursions Test 14. The Random Excursions Variant Test 15. The Non-overlapping Template Matching Test 17.

(18) Cada prueba parte de la hipótesis que los datos son aleatorios. Dicha hipótesis se rechaza si el resultado del P-value (resultado matemático de cada prueba) es inferior a una constante α. Por defecto α = 0.01, indicando que solo se acepta un error igual o inferior al 1 %. El banco de pruebas NIST es riguroso porque su enfoque se centra en secuencias utilizadas para la encriptación de información, siendo necesario trazas de datos con independencia y/o baja correlación, como lo demuestran las pruebas: Tests for the Longest-Run-of-Ones in a Block, The Discrete Fourier Transform (Spectral) Test y Overlapping Template Matching Test (Barker & Bassham, 2018).. 3.2.3.. Diagrama varianza-tiempo. En este apartado se enuncia a grandes rasgos el procedimiento para detectar la LRD a partir de la estimación del parámetro de Hurst por medio del VTD. Luego se expone una traza de ejemplo y se estima H con esta herramienta. Para un proceso estocástico de tiempo discreto X[k], k ∈ N, se define su proceso agregado X (m) , con un nivel de agregación m, como se muestra en la Eq. 3.3 (Park & Willinger, 2000): X. (m). 1 [i] = m. mi X. X[k]. (3.3). k=m(i−1)+1. Si la función de autocovarianza de X es asintóticamente autosimilar de segundo orden (Eq. 3.4): 2   σX (k + 1)2H − 2k 2H + (k − 1)2H (3.4) m→∞ 2 Si γ es la función de autocovarianza y el parámetro de Hurst (H) esta entre 0.5 < H < 1, se dice que el proceso estocástico X posee dependencia de rango largo. Esto evidencia una relación de los datos del proceso estocástico, dado que para valores de H < 0.5, la autocovarianza de X[k] se vuelve cercana a cero. Mientras que para H = 1, la autocovarianza es igual a la varianza, presentando ası́ un caso particular (Park & Willinger, 2000). Además, si el proceso X[k] es exacta o asintóticamente autosimilar, la varianza muestral del proceso agregado se encuentra a partir de la Eq. 3.5:. lı́m γ m [k] =. 2 2 2H−2 SX (m) = σX m. (3.5). Ahora, al aplicar la función logaritmo en ambos lados de la Eq. 3.5, se obtiene la Eq. 3.6: 2 2 log SX (m) = log σx + (2H − 2) log m. (3.6). 2 Con lo cual, si se asume en una gráfica que y = log SX (m) y x = log m, se podrı́a estimar el parámetro de Hurst por medio de una regresión lineal. En la literatura esta gráfica se conoce como el diagrama varianza-tiempo (Sheluhin et al., 2007). Un ejemplo de detección de LRD usando la estimación del H por medio del VTD. 18.

(19) se ve en la Fig. 3.1b, donde fueron medidos los tiempos entre arribos consecutivos de paquetes recibidos en los laboratorios de Bellcore (Fig. 3.1a) (Kant, 1999).. Fig. 3.1: Detección de LRD en una traza de tiempos entre paquetes consecutivos recibidos en los laboratorios Bellcore a partir de la estimación del parámetro de Hurst por medio del VTD. (a) Serie de tiempos con LRD. (b) Diagrama varianzatiempo. Sheluhin et al. (2007) muestran el desempeño del VTD y explican que es una herramienta utilizada como diagnóstico, dado que es sesgada y además, el sesgo aumenta con el crecimiento de H. Por otro lado, el uso de la transformada wavelet para la estimación del parámetro de Hurst no es paramétrica y el estimador de su varianza no es sesgado (Park & Willinger, 2000). Por tal motivo se usan herramientas como el diagrama log-escala.. 3.2.4.. Diagrama log-escala. En esta sección se presenta el modelo matemático para la construcción del LD. El fundamento de esta herramienta es la descomposición wavelet discreta del proceso estocástico X[k], calculando con ello los coeficientes de detalle por medio de un banco de filtros con múltiples tasas de muestreo. La descomposición Wavelet continua (CWT) de una señal X(t) es una transformación lineal definida por la Eq. 3.7 (Abry et al., 2000):   Z ∞ t−b dt, a, b ∈ R (3.7) TX (a, b) := X(t)Ψ a −∞. Una caracterı́stica fundamental de la CWT es su redundancia, ya que los coeficientes vecinos comparten información sobre X(t). Para reducir dicha redundancia, es introducida la descomposición Wavelet discreta (DWT) en la Eq. 3.8 (Sheluhin et al., 2007): dX (j, k) = TX (2j , 2j k),. j, k ∈ Z. (3.8). Siendo dX (j, k) los coeficientes de detalle de la DWT. La respectiva función de escala se obtiene con un banco de filtros multitasas (Abry et al., 2000, 2009). Un estimador temporal posee una varianza pequeña cuando existe falta de correlación 19.

(20) entre los coeficientes de detalle. Esta puede ser estimada para el proceso dX (j, ·) mediante la Eq. 3.9 (Abry et al., 2009; Sheluhin et al., 2007): nj 1 X µj = ||dX (j, k)||2 nj k=1. (3.9). Con nj el número de coeficientes de detalle en la octava j y µj ≈ E[|dX (j, k)|2 ]. Dado que el segundo momento de los coeficientes de detalle sigue una ley de potencias con exponente 2H − 1, es posible estimar el parámetro de Hurst con la Eq. 3.10 (Sheluhin et al., 2007): yj = log2 µj = (2H − 1)j + log2 C. (3.10). La gráfica de j versus yj se conoce como el diagrama log-escala (Abry et al., 2009). El valor de H es una aproximación que depende de la cantidad de coeficientes de detalle utilizados y la cantidad de octavas empleadas en la regresión lineal. Tomando la trama expuesta en (Kant, 1999), en la Fig. 3.2 se muestra la serie de tiempos con LRD (Fig. 3.2a) y la estimación del H con el LD entre las octavas 3 y 14 (Fig. 3.2b).. Fig. 3.2: Detección de LRD en una serie de tiempos a partir de la estimación del parámetro de Hurst por medio de LD. (a) Serie de tiempos con LRD. (b) Diagrama log-escala.. 3.2.5.. Diagrama multiescala y multiescala lineal. Ahora se muestran el MD y el LMD usados como primer acercamiento al análisis multifractal, explicando a groso modo el fundamento matemático de cada diagrama e ilustrando la implementación de cada herramienta con dos trazas como ejemplo. Se considera el estimador de orden q de un proceso dx (j, ·) mostrado en la Eq. 3.11 como un concepto extendido del estimador de la Eq. 3.9 a los momentos de orden superior (Abry et al., 2000; Sheluhin et al., 2007). µqj. nj 1 X = ||dX (j, k)||q nj k=1. 20. (3.11).

(21) Para procesos con LRD, el estimador de la Eq. 3.11 sigue la ley de potencias mostrada en la Eq. 3.12 (Abry et al., 2000). q. µqj ≈ E [||dX (j, k)||q ] = Cq 2j (ζ(q)− 2 ). (3.12). Donde Cq es una función que depende del orden del estimador y ζ(q) es una función que permite distinguir entre procesos monofractales y multifractales. Si el estimador de la Eq. 3.9 es igual al de la Eq. 3.11, se satisface la expresión ζ(q) = qH, con lo cual se deduce que dicho proceso es monofractal (Sheluhin et al., 2007). Ası́, de manera similar al análisis realizado en la Eq. 3.6 y Eq. 3.10, se obtiene el diagrama multiescala al realizar la gráfica de la Eq. 3.13. q 2 Donde αq puede ser computado por la Eq. 3.14. ! nj X 1 log2 µqj = log2 ||dX (j, k)||q ≈ αq j + log2 Cq nj k=1 ζ(q) = αq +. (3.13). (3.14). En la Fig. 3.3a se analizan dos procesos con LRD: Interarrival times of BCpAu89 trace con multifractalidad y Fractional gaussian noise con monofractalidad. Para q > 0 la serie de tiempo con multifractalidad es convexa, pero determinar empı́ricamente este hecho resulta complejo. Por tal motivo se utiliza el diagrama multiescala lineal descrito por la Eq. 3.15. H(q) =. αq 1 + q 2. (3.15). Si el proceso con LRD presenta monofractalidad, la Eq. 3.15 satisface la expresión H(q) = H y por ende, dicho proceso presenta el mismo parámetro de Hurst en todos los ordenes. A manera de ejemplo, en la Fig. 3.3b se muestra el LMD de una traza de datos en una red Ethernet (Kant, 1999) y ruido fraccional gausiano. Se evidencia en la Fig. 3.3b la naturaleza multifractal de la traza Interarrival times of BCpAu89 trace al no poseer un mismo parámetro de Hurst a través de los ordenes q > 0, en contraposición con la traza Fractional gaussian noise.. Fig. 3.3: (a) Diagrama multiescala de los tiempos de arribos de la traza BCpAu89 y del ruido fraccional gausiano. (b) Diagrama multiescala lineal de estos dos procesos.. 21.

(22) 3.2.6.. Espectro multifractal. Como última herramienta se introduce la transformada de Legendre como fundamento principal para la construcción del espectro multifractal. Se expone brevemente el procedimiento de transformación de los exponentes de masa a su dimensión local, permitiendo diferenciar secuencias multifractales de monofractales. Por medio de la trasformada de Legendre se puede analizar la multifractalidad en un proceso con LRD, siendo necesario conocer los exponentes de masa τ (q) (Eq. 3.16) (Riedi et al., 1999). τ (q) = qH(q) − 1. (3.16). A partir de la Eq. 3.16 se define el exponente singular α(q) (Eq. 3.17). α(q) =. dτ (q) dq. (3.17). En este punto se utiliza la transformada de Legendre, definida por la Eq. 3.18, la cual representa la dimensión local del conjunto multifractal (Chen, 2012). f (α(q)) = qα(q) − τ (q). (3.18). Finalmente, el espectro multifractal se obtiene al graficar el exponente singular versus la dimensión local del conjunto multifractal. El resultado es un arco largo cóncavo hacia abajo donde la diferencia entre el mı́nimo de α(q) y su máximo es llamado ancho del espectro multifractal (Ihlen, 2012) para procesos multifractales y un punto local para proceso monofractales. Para una explicación más detallada consultar a (Tuberquia et al., 2016). En la Fig. 3.4 se muestra el proceso de transformación de la serie de tiempos Interarrival times of BCpAu89 trace (Kant, 1999) y la traza Fractional gaussian noise. En principio, se calcula los exponentes de masa τ (q) (Fig. 3.4a) para ası́ encontrar el exponente singular α(q) y la transformada de Legendre de las series de tiempos (Fig. 3.4b y Fig. 3.4c, respectivamente). Por último, en la Fig. 3.4d se observa el comportamiento multifractal de las trazas, concluyendo la naturaleza multifractal de la traza Interarrival times of BCpAu89 trace y la naturaleza monofractal de Fractional gaussian noise.. 22.

(23) Fig. 3.4: (a) Exponentes de masa τ (q). (b) Exponente singular α(q). (c) Dimensión local f (α) (transformada de Legendre). (d) Espectro multifractal de las trazas.. 3.2.7.. Cascadas binomiales conservativas. El modelo Wavelet multifractal (MWM) propuesto por (Riedi et al., 1999) proporciona un algoritmo para la sı́ntesis de datos con LRD por medio de una cascada binomial conservativa (CBC) de complejidad computacional O(N ). La cascada binomial conservativa se aprecia en la Fig. 3.5. Este algoritmo se usa como punto de referencia en la investigación. Riedi et al. (1999) establece la posibilidad de generar trazas de datos multifractales con LRD, si se asume que los coeficientes multiplicadores p y p − 1 deben ser variables aleatorias, idénticamente distribuidas, con media de 0.5, que tomen valores en el intervalo [0, 1] y tenga una distribución de probabilidad beta definida en la Eq. 3.19 (Canavos, 1998):   Γ(α + β) xα−1 (1 − x)β−1 fX (x; α, β) = Γ(α)Γ(β)  0. 23. 0<x<1 x 6∈ (0, 1). α, β > 0. (3.19).

(24) U0,0. j=0. p1 U0,0. j=1 p1 p2 U0,0. p1 (1 − p2 )U0,0. (1 − p1 )p3 U0,0. (1 − p1 )(1 − p3 )U0,0. ···. j=2. (1 − p1 )U0,0. Fig. 3.5: Sı́ntesis del modelo Wavelet multifractal mediante una cascada binomial conservativa Cuando los parámetros α y β son iguales (Eq. 3.20), la función de densidad beta es simétrica con respecto a 0.5 y por tanto, la media toma el valor de 0.5. Riedi et al. (1999) demuestran que utilizando una función de densidad de probabilidad beta simétrica como la expresada en la Eq. 3.20 para los multiplicadores de los coeficientes Wavelet es posible controlar el parámetro de Hurst cuando se modifica el parámetro β de los multiplicadores. A este modelo se le conoce como el modelo Wavelet multifractal β (β-MWM). La relación propuesta por Riedi et al. (1999) se muestra en la Eq. 3.21.   Γ(2β) xβ−1 (1 − x)β−1 fX (x; β, β) = Γ(β)2  0 2H−1. β=. 2 −1 2H−1 2−2. 0<x<1. β>0. (3.20). x 6∈ (0, 1) (3.21). Un ejemplo de implementación del algoritmo β-MWM se muestra en la Fig. 3.6 para una longitud de datos 220 , condición U0,0 = 100 y H = 0.9.. Fig. 3.6: Sı́ntesis traza con algoritmo β-MWM y H = 0.9 La estimación del parámetro de Hurst para ésta traza se muestra en la Fig. 3.7a y Fig. 3.7b. Nótese la estimación del parámetro de Hurst con respecto al introducido en el algoritmo.. 24.

(25) Fig. 3.7: (a) VTD para la traza sintetizada con el algoritmo β-MWM. (b) LD para la traza sintetizada con el algoritmo β-MWM En la Fig. 3.8a, Fig. 3.8b y Fig. 3.8c se expone el MD, el LMD y el MS, respectivamente. Con estos diagramas se afirma el comportamiento multifractal de la traza generada por el algoritmo β-MWM. Cabe resaltar que el ancho del espectro puede ser modificado con distintos valores de H.. Fig. 3.8: (a) MD para la traza sintetizada por el algoritmo β-MWM. (b) LMD para la traza sintetizada por el algoritmo β-MWM. (c) MS para la traza sintetizada por el algoritmo β-MWM.. 25.

(26) 4. Generador de números aleatorios El esquema de la Fig. 4.1 representa la metodologı́a usada en esta investigación. Inicialmente, se presenta los sistemas caóticos basados en memristor implementados para generar las señales fı́sicas usadas en el modelo de LRD propuesto, que sintetiza las trazas de datos a analizar. Posteriormente, se utiliza el banco de pruebas NIST para medir el grado de aleatoriedad de los datos (Bassham et al., 2010). A algunas de estas secuencias se les estimó el parámetro de Hurst (H) para la detección de LRD a partir de dos herramientas: el diagrama varianza-tiempo (VTD) y el diagrama log-escala (LD). La primera calcula los momentos de agregación y la autocovarianza del proceso X[k] (Park & Willinger, 2000). La segunda computa el promedio de los coeficientes de detalle de la descomposición Wavelet discreta (Abry et al., 2000, 2009). Si estas trazas poseen dependencia de rango largo pueden ser clasificadas como monofractal o multifractal con el diagrama multiescala (MD) y el diagrama multiescala lineal (LMD) (Abry et al., 2000; Sheluhin et al., 2007). De igual forma el espectro multifractal (MS) permite analizar procesos fractales a partir de la transformada de Legendre (Riedi et al., 1999), proporcionando información de la traza de datos, como su dimensión fractal, ancho del espectro y la dimensión de información (Feder, 1988).. Chaotic system. Memristor Generation process Analysis Tools. M. Select m-LSBs. True situation Random Not random. n+1 xb[k]. Conclusion Accept H0 Reject H0 No error Type I error Type II error No error. MD. RNG. NIST test Buffer Chaotic x[t] Photo- x[k] 8-bit xn[k] 1 2 3 signal detector ADC. RNG. MS analysis tools. LMD. Detection of LRD. MS. VT plot. LD. Fig. 4.1: Diagrama esquemático de la metodologı́a implementada en la investigación.. 26.

(27) 4.1.. Sistemas caóticos. En esta sección se exponen, en orden cronológico, los sistemas caóticos que sintetizan las señales de entrada para el generador de números aleatorios, basados en memristor como dispositivo que proporciona la no linealidad. Cada sistema visualiza el diagrama de fase de dos variables eléctricas medidas en su respectivo circuito eléctrico, además de presentar el sistema de ecuaciones que lo describen.. 4.1.1.. Sistema 1. Uno de los primeros circuitos propuestos por Cruz & Chua (1992) como generador de sistemas caóticos se expone en la Fig. 4.2a, con el diagrama de fase de la Fig. 4.2b. Cruz & Chua (1992) utilizaron el diodo de Chua para este fin, el cual emula una función a trozos lineal en forma de corriente que depende del diferencial de potencial entre sus dos terminales. El desarrollo matemático de la Fig. 4.2a se muestra en la Eq. 4.1. (a). (b). R. iL. iD. + L. C1. + VC1. C2. −. V C2 −. M iM. Fig. 4.2: Circuito caótico implementado con un diodo de Chua. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de VC2 (t) versus VC1 (t) del atractor caótico.  VC VC dVC2   = 1 − 2 − iD (VC2 ) C2   dt R R   dVC1 VC2 VC1 C1 = − + iL  dt R R     L diL = −VC 1 dt. 4.1.2.. (4.1). Sistema 2. Muthuswamy & Chua (2010) desarrollaron un modelo de generador caótico atractivo (Fig. 4.3b) utilizando un memristor, una bobina y un capacitor (Fig. 4.3a). Este generador posee un modelo de memristor con una variable de estado interna xs , apreciada en la Eq. 4.2 que describe el sistema.. 27.

(28) (a). (b). C −. +. i. VC. L. M iM. Fig. 4.3: Circuito caótico simple. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de VC (t) versus i(t) del generador caótico..  dVC1   C =i     dt di −L = VC1 + β(x2s − 1)i  dt    dx   s = i − αxs − ixs dt. 4.1.3.. (4.2). Sistema 3. Li et al. (2012) implementaron un nuevo sistema caótico (Fig. 4.4a) basado en memristor, cuyo diagrama de fase se muestra en la Fig. 4.4b, introduciendo su análisis de bifurcación. La ecuación iM = W (ϕ)vM modela al memristor, donde W (ϕ) es su memristancia que depende del flujo. La Eq. 4.3 describe el circuito de la Fig. 4.4a. (a). (b). L iL + −G. C1. + V C1. −. C2. VC2 −. M iM. Fig. 4.4: Implementación de un nuevo sistema caótico basado en memristor. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de ϕ(t) versus VC2 (t) del atractor caótico.. 28.

(29)  dVC2   C2 = iL − W (ϕ)VC2   dt     i  L L = VC1 − VC2 dt  dVC1   C = GVC1 − iL  1  dt    ϕ   = VC2 dt. 4.1.4.. (4.3). Sistema 4. Un año más tarde, Li et al. (2013) implementaron un nuevo generador caótico basado en memristor (Fig. 4.5a), con su correspondiente Eq. 4.4. Este modelo permite obtener distintos comportamientos: desde periodos de órbita, hasta atractores caóticos (Li et al., 2013). Un ejemplo de atractor caótico se observa en la Fig. 4.5b, en la cual los parámetros son escogidos de tal forma que 0.639 < k < 0.66, λ1 > 0, λ2 = 0 y λ3 , λ4 < 0 (Li et al., 2013). (a) R. iL −r. + C1. L. (b). + VC1 C 2. −. V C2 −. −G. M iM. Fig. 4.5: Generador de un sistema caótico utilizando memristor. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de VC2 (t) versus ϕ(t) del atractor caótico.  dVC2 VC1 − VC2   C = + GVC2 − W (ϕ)VC2  2  dt R      C1 dVC1 = VC2 − VC1 − iL dt R  iL   L = VC1 + riL   dt    ϕ   = VC2 dt. 4.1.5.. (4.4). Sistema 5. Los generadores caóticos han sido utilizados para la encriptación y desencriptación de información. Yang et al. (2016) diseñaron e implementaron un circuito caótico (Fig. 4.6a) en el que la memristancia es una función lineal a trozos, similar. 29.

(30) a la expuesta en el diodo de Chua. Yang et al. (2016) describen los pasos para encriptar y desencriptar texto e imágenes. La estructura del circuito se presenta en la Fig. 4.6b, el cual es generado por la Eq. 4.5. (a) L. (b) iL. + −G. C1. + V C1 C 2. V C2. −. −. M iM. Fig. 4.6: Circuito caótico basado en un memristor con una función a trozos lineal. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de ϕ(t) versus VC1 (t) del atractor caótico.  dVC2   = iL − VC2 W (ϕ) C2   dt      C1 dVC1 = GVC1 − iL dt  di L  L = VC1 − VC2   dt      ϕ = VC2 dt. 4.1.6.. (4.5). Sistema 6. Por último, un modelo alternativo de generador caótico fue planteado en (Hu et al., 2017), el cual sugiere adicionar un resistor al modelo expuesto en (Muthuswamy & Chua, 2010) para la encriptación de imágenes (Fig. 4.7a). El nuevo atractor se aprecia en la Fig. 4.7b con la Eq. 4.6. a). b) L. iL. −. R. C. VC +. M iM. Fig. 4.7: Circuito caótico simple para encriptación de información. (a) Circuito eléctrico. (b) Diagrama de VC (t) versus iL (t) del atractor caótico.. 30.

(31)  VC VC   = iL − C   R   dt iL L = −VC − β(x2s − 1)iL  dt    xs   = −iL − αiL + il xs dt. 4.2.. (4.6). Generador de números aleatorios. A continuación se explica el procedimiento realizado para generar una secuencia de números aleatorios a partir de una señal caótica de entrada. El punto de partida yace en el modelo presentado por Li et al. (2011) (Fig. 4.8), modificado (incluyendo la propuesta de Corinto et al. (2016)) para sintetizar datos con mayor aleatoriedad. El grado de aleatoriedad es medido con el banco de pruebas NIST. El diagrama de bloques de la Fig. 4.8 expone el proceso para un RNG dependiente de una señal caótica (por ejemplo, la emanada por un rayo láser) (Li et al., 2011). En esta investigación la señal caótica será generada por cada uno de los 6 sistemas presentados anteriormente. Chaotic signal. x[t]. Photo- x[k] 8-bit detector ADC. xn [k]. Buffer 1. 2. 3. Select m-LSBs. n+1 xb [k]. RNG. Fig. 4.8: Diagrama de bloques de un generador de números aleatorios a partir de una señal caótica La resolución del bloque conversor analógico a digital (ADC) depende de los n-bits del conversor, permitiendo distinguir valores más cercanos entre sı́ con una mayor cantidad de bits. Esto sugiere que a una tasa alta de muestreo, un ADC con baja resolución permitirá la conversión de datos iguales consecutivos, disminuyendo la aleatoriedad del generador. Por ende, es necesario adicionar un bloque intermedio que reduzca la tasa de muestreo dependiendo de la cantidad de bits del conversor para eliminar la información innecesaria de la señal caótica muestreada. También se agrega un bloque de normalización con el fin de disminuir la taza de muestreo del procesador multitasa. El cálculo de esta tasa se muestra en la Eq. 4.7 y Eq. 4.8.. TN =. (máx(Xk ) − mı́n(Xk )) máx (|X[k] − X[k − 1]|) ∗ 2n − 1 Ts   TN N= Ts. (4.7) (4.8). La intención de la Eq. 4.7 es encontrar la mayor diferencia entre datos consecutivos de la señal muestreada y normalizada de entrada, con el fin de reducir la tasa de muestreo usando los valores lı́mites de la señal y esta diferencia, sin descuidar la 31.

(32) cantidad de bits del ADC. Este valor debe ser calculado a-priori y ser reducido a una constante. Las modificaciones son presentadas en la Fig. 4.9. Chaotic signal. x(t). Sampling and Normalize TS. x̃[k]. ↓N. x̃↓N [k]. n-bits xn [k] Select ADC m-LSBs. Xb [k]. TN. Fig. 4.9: Diagrama de bloques del generador de números aleatorios modificado con reducción de taza de muestreo y normalización de la señal de entrada Con el fin de otorgar mayor aleatoriedad al RNG, inspirados en (Corinto et al., 2016), el generador combina las primeras tres variables de estado de cada sistema caótico, muestreadas con el proceso de la Fig. 4.9 y genera una única secuencia binaria. A continuación se inserta un conversor digital a analógico (DAC) de b-bits y otro bloque de normalización a la salida para entregar números discretos en un rango más amplio al binario (W̃ [K] ∈ [0, 1]). La Fig. 4.8 se amplia a la Fig. 4.10 con estas modificaciones. Xb [k]. Yb [k]. Sequence (X1 , X2 , ..., Xm , Y1 , Y2 , ..., Ym , Z1 , Z2 , ..., Zm ). Wb [k]. B-bits DAC. W [k]. Normalize. W̃ [k]. Out. Zb [k]. Fig. 4.10: Diagrama de bloques del generador de números aleatorios implementado en la investigación. 32.

(33) 5. Resultados En los resultados se exponen las combinaciones del RNG usadas para sintetizar las distintas secuencias aleatorias sometidas a las pruebas NIST. Luego, se visualiza el resultado de las herramientas aplicadas a los datos para la detección de LRD y análisis multifractal. Por último, se realiza una breve comparación entre el generador propuesto y el algoritmo β-MWM.. 5.1.. Generador de números aleatorios. Utilizando el RNG expuesto en la Fig. 4.10 para las señales caóticas de los 6 sistemas, se sintetizaron secuencias aleatorias de longitud 1 × 106 variando los parámetros del generador, como la cantidad n-bits empleados en el ADC, la cantidad m-LSBs tomados del ADC y la cantidad de b-bits empleados en el DAC, siendo b = 0 la salida del RNG una secuencia de datos puramente binaria (no se utiliza el DAC). Al sintetizar las distintas secuencias se evidenció que algunas combinaciones presentaban un comportamiento determinista o no se detecto LRD, por lo cual, el análisis se limitó a las combinaciones expuestas entre la Tabla 5.2 hasta la Tabla 5.7, donde fue necesario implementar la función threshold (Eq. 5.1) a las trazas generadas con b 6= 0, debido a que las pruebas NIST solo se implementan para datos binarios. ( 0 Para x < 0.5 fh (x) = (5.1) 1 Para x ≥ 0.5 Cada secuencia fue sometida a las catorce (14) primeras pruebas NIST, con parámetros escogidos según la Tabla 5.1 (en aquellas pruebas que necesitaran un parámetro externo). Tabla 5.1: Parámetros ajustados para las pruebas p2, p8, p10 - p14 del banco de pruebas NIST Prueba Parámetro p2 p8 p10 p11 p12 p13 p14. M = 10500 m=5 m=6 m=2 M = 500 x = +1 x = +1. Desde la Tabla 5.2 hasta la Tabla 5.7 se muestra el cómputo del P-value para cada combinación definida por cada prueba NIST. Se toma el valor por defecto de α para discriminar las secuencias, siendo P-value < α una prueba reprobada. Las posibles causas de un P-value < α son debidas a los datos correlacionados o que la función de threshold no se adapta a los datos. Se observa que las pruebas con menor tasa de aprobación son: frequency test within a block, the discrete fourier transform (spectral) test y the overlapping template matching test mientras que las pruebas 33.

(34) con mayor tasa de aprobación son: the random excursions variant test, the random excursions test y the linear complexity Test. Tabla 5.2: Tabla de resultados para el sistema 1 Intervalo H Parámetro H Parámetros del RNG. Pruebas NIST. b n m p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13 p14. Tasa aprobación. 0.5 < H < 0.6 0.6 < H < 0.7 0.7 < H < 0.8 0.8 < H < 0.9 0.5218 0.5756 0.6510 0.6757 0.6913 0.7196 0.7738 0.7958 0.8171 0.8253 8 16 12 16 10 8 0 8 0 0 8 8 8 10 10 12 12 10 10 10 4 7 7 9 8 10 9 10 8 9 0.3638 0.7665 0.4384 0.0000 0.0000 0.7192 0.0000 0.9999 0.0000 0.0000 0.0000 0.8905 0.3062 0.2602. 0.0784 0.6337 0.1069 0.0169 0.0002 0.4932 0.0000 0.9999 0.0000 0.0000 0.0123 0.1969 0.8364 0.7119. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.4457 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.5713 0.7000 0.8875. 0.6369 0.0002 0.4135 0.4853 0.0580 0.3003 0.0000 0.0000 0.1358 0.0000 0.7001 0.5318 0.3845 0.5600. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0605 0.0553 0.6490. 0.0341 0.0000 0.2635 0.9980 0.0578 0.3979 0.0000 0.0000 0.0000 0.0108 0.1061 0.6755 0.4942 0.2850. 0.1795 0.0000 0.0310 0.0000 0.2928 0.6861 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.1527 0.1527 0.8007 0.8162. 0.3756 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2339 0.4128 0.0453. 0.4629 0.0000 0.0120 0.1137 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2178 0.2952 0.4972 0.6462. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.5528 0.5544 0.7806. 8/14. 10/14. 4/14. 10/14. 3/14. 10/14. 8/14. 4/14. 7/14. 3/14. Tasa de aprobación. 7/10 2/10 6/10 4/10 3/10 6/10 0/10 2/10 1/10 1/10 5/10 10/10 10/10 10/10. Tabla 5.3: Tabla de resultados para el sistema 2 Intervalo H Parámetro H b n m. Parámetros del RNG. Pruebas NIST. p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13 p14. Total pruebas aprobadas. 0.5 < H < 0.6 0.6 < H < 0.7 0.7 < H < 0.8 0.8 < H < 0.9 0.5334 0.5488 0.6157 0.6300 0.6650 0.7656 0.7795 0.7932 0.8367 0.8302 16 12 0 0 8 10 10 8 8 10 12 10 12 12 16 16 12 12 12 12 4 3 3 4 10 13 9 9 11 11 0.3886 0.0000 0.3532 0.0668 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2215 0.1287 0.2392 0.0100 0.6658. 0.0137 0.0000 0.0008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.9999 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.4517. 0.8010 0.0000 0.4983 0.9012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1307 0.9085 0.9613 0.9267 0.5236 0.8994. 0.0425 0.0000 0.0352 0.0028 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0015 0.2011 0.8491 0.3711. 0.0078 0.0000 0.0058 0.6562 0.0451 0.6194 0.0000 0.0000 0.0013 0.5968 0.0265 0.0941 0.7370 0.2474. 0.0004 0.0000 0.0006 0.0119 0.9154 0.0769 0.0000 0.0000 0.0000 0.1502 0.0000 0.6206 0.2172 0.1474. 0.0124 0.0000 0.0000 0.5168 0.0642 0.6514 0.0000 0.0000 0.0000 0.0058 0.0358 0.9391 0.9715 0.6795. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3168 0.0468 0.0000 0.0000 0.0000 0.0028 0.0000 0.4925 0.4552 0.7209. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.8999 0.3282 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0090 0.0188 0.2094 0.9219. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0016 0.1468 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1688 0.8429 0.5096 0.8208. 8/14. 3/14. 9/14. 5/14. 8/14. 7/14. 8/14. 5/14. 5/14. 5/14. Tasa de aprobación. 5/10 0/10 3/10 5/10 5/10 6/10 0/10 1/10 1/10 4/10 5/10 9/10 9/10 10/10. Tabla 5.4: Tabla de resultados para el sistema 3 Intervalo H Parámetro H Parámetros del RNG. Pruebas NIST. b n m p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13 p14. Total pruebas aprobadas. 0.5 < H < 0.6 0.6 < H < 0.7 0.7 < H < 0.8 0.8 < H < 0.9 0.5494 0.5519 0.6376 0.6780 0.6977 0.7396 0.7632 0.7978 0.8345 0.8569 10 10 12 16 10 8 8 0 16 10 12 10 12 16 16 16 12 12 10 16 4 2 5 10 1 9 7 2 7 14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3062 1.0000. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.8931 1.0000. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1381 0.6831. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.9626 0.4795. 0.0000 0.0080 0.0160 0.0019 0.0000 0.4288 0.0624 0.0000 0.1902 0.0000 0.0020 0.0035 0.8931 1.0000. 0.7489 0.0000 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.6568 0.4785. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2206 0.4796. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1091 1.0000. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.9626 0.4795. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.8491 0.3173. 2/14. 2/14. 2/14. 2/14. 6/14. 3/14. 2/14. 2/14. 2/14. 2/14. 34. Tasa de aprobación. 1/10 0/10 1/10 0/10 0/10 1/10 1/10 0/10 1/10 0/10 0/10 0/10 10/10 10/10.

(35) Tabla 5.5: Tabla de resultados para el sistema 4 Intervalo H Parámetro H. 0.5 < H < 0.6 0.6 < H < 0.7 0.7 < H < 0.8 0.8 < H < 0.9 0.5389 0.5693 0.6281 0.6665 0.6756 0.7534 0.7746 0.7988 0.8233 0.8593 8 0 0 0 12 0 8 0 10 8 16 10 12 12 16 16 12 8 12 12 9 1 3 4 11 9 9 6 9 11. b n m. Parámetros del RNG. p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13 p14. Pruebas NIST. Total pruebas aprobadas. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.9755 0.8693 0.0000 0.0000 0.0900 0.0084 0.8446 0.2437 0.8761 0.3428. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0401 0.4831 0.8066 0.1521. 0.4088 0.0000 0.1350 0.2751 0.1988 0.3941 0.9694 0.0000 0.0335 0.0772 0.3916 0.0387 0.6134 0.1090. 0.3777 0.0053 0.3271 0.7060 0.3840 0.0000 0.0000 0.0000 0.3331 0.3620 0.6305 0.0468 0.2208 0.6746. 0.7641 0.0000 0.0801 0.1757 0.3411 0.1275 0.8688 0.0000 0.0002 0.0000 0.3832 0.5918 0.7217 0.4680. 0.0312 0.0000 0.0372 0.7298 0.5645 0.4350 0.0000 0.0000 0.0324 0.5108 0.0923 0.4177 0.2206 0.7237. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0029 0.6070 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.8877 0.9626 0.4795. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2412 0.7150. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0492 0.2297 0.0101 0.0000 0.0000 0.0000 0.6599 0.3209 0.9626 0.4796. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1112 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0278 0.8491 0.3172. 7/14. 4/14. 12/14. 10/14. 10/14. 11/14. 4/14. 2/14. 7/14. 4/14. Tasa de aprobación. 4/10 0/10 4/10 4/10 6/10 7/10 2/10 0/10 4/10 3/10 7/10 9/10 10/10 10/10. Tabla 5.6: Tabla de resultados para el sistema 5 Intervalo H Parámetro H. 0.5 < H < 0.6 0.6 < H < 0.7 0.7 < H < 0.8 0.8 < H < 0.9 0.5458 0.5998 0.6666 0.6726 0.6938 0.7456 0.7718 0.7845 0.8104 0.8614 12 16 8 8 10 8 8 8 16 0 12 16 12 16 16 10 16 12 16 10 3 9 5 9 11 5 13 9 15 6. b n m. Parámetros del RNG. p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13 p14. Pruebas NIST. Total pruebas aprobadas. 0.5286 0.0000 0.1292 0.7436 0.0000 0.0686 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.7349 0.8879 0.1835 0.3337. 0.0000 0.0046 0.0079 0.5809 0.2046 0.8804 0.0034 0.0000 0.7511 0.1902 0.0155 0.7832 0.7439 0.5930. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1259 0.8603 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0148 0.6853 0.0700 0.2636. 0.0010 0.0000 0.0015 0.1419 0.4249 0.0413 0.0000 0.0000 0.5834 0.0441 0.1453 0.6494 0.8801 1.0000. 0.0074 0.0000 0.0020 0.0262 0.5282 0.4437 0.0000 0.0000 0.5741 0.0085 0.0266 0.6990 0.9194 0.5023. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0497 0.0022 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.7398 0.0206 0.0752 0.1336. 0.0185 0.0000 0.0020 0.1488 0.4171 0.2841 0.0000 0.0000 0.0022 0.0000 0.0223 0.3344 0.2596 0.0868. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0035 0.8427 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1713 0.6419 0.4906 0.6817. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0508 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.9085 0.4964 0.3428. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0283 0.0000 0.2667 0.5930. 8/14. 9/14. 6/14. 9/14. 8/14. 5/14. 8/14. 4/14. 4/14. 3/14. Tasa de aprobación. 2/10 0/10 1/10 5/10 6/10 7/10 0/10 0/10 3/10 2/10 9/10 9/10 10/10 10/10. Tabla 5.7: Tabla de resultados para el sistema 6 Intervalo H Parámetro H Parámetros del RNG. Pruebas NIST. b n m p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13 p14. Total pruebas aprobadas. 0.5 < H < 0.6 0.6 < H < 0.7 0.7 < H < 0.8 0.8 < H < 0.9 0.5806 0.5897 0.6070 0.6149 0.6574 0.7154 0.7719 0.7954 0.8153 0.8362 12 8 0 12 0 0 16 10 8 10 12 12 10 16 12 12 10 10 10 12 5 5 1 9 3 4 7 7 7 11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3390 0.4223 0.6621 0.7257. 0.0001 0.0000 0.0001 0.6203 0.2742 0.0236 0.0000 0.0000 0.0202 0.0179 0.6086 0.9328 0.2581 0.1657. 0.0002 0.0000 0.0000 0.0421 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0405 0.0000 0.0186 0.5692. 0.3134 0.0000 0.1252 0.1864 0.0000 0.2163 0.0000 0.0000 0.0000 0.0250 0.2517 0.9213 0.5140 0.8026. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.6720 1.0000. 0.9920 0.0000 0.0004 0.1201 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2980 0.0000 0.8057 0.7102. 0.0004 0.0000 0.0000 0.0029 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0028 0.5784 0.8931 1.0000. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.7825 0.1452 0.3606 0.2170. 0.0234 0.0000 0.0000 0.5776 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0654 0.0396 0.9436 0.6097. 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0144 0.9079 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.8103 0.8061 0.8761 0.8551. 4/14. 9/14. 4/14. 9/14. 2/14. 5/14. 3/14. 4/14. 6/14. 6/14. 35. Tasa de aprobación. 3/10 0/10 1/10 5/10 2/10 3/10 0/10 0/10 1/10 2/10 8/10 7/10 10/10 10/10.

(36) Las pruebas NIST son rigurosas dado que su enfoque es evaluar sistemas para la encriptación de información. Sin embargo, debido a que en general los datos sintetizados aprueban varios test se puede evidenciar la aleatoriedad de las secuencias para su uso en modelado de sistemas y no para la encriptación. La Tabla 5.2, Tabla 5.3, Tabla 5.5, Tabla 5.6 y Tabla 5.7 presentan secuencias de datos con una tasa de aprobación mayor en contraste a las tasas de la Tabla 5.4, con tasa moda es de 2/14. La causa de esto podrı́a ser que la señal caótica no se acopla al tipo de generador utilizado. Las combinaciones seleccionadas en la Tabla 5.2 y Tabla 5.6 superan la mitad de test aprobados y fueron escogidas para exponer el proceso de LRD y su análisis multifractal. Por conveniencia, la combinación escogida en la Tabla 5.6 será nombrada como Synthesis of monofractal data y la secuencia escogida de la Tabla 5.2 será nombrada como Synthesis of multifractal data. La Fig. 5.1a y Fig. 5.1b muestran las trazas Synthesis of monofractal data y Synthesis of multifractal data en un intervalo de tiempo 4.5 × 105 < k < 4.55 × 105 . La longitud de cada traza es de un millón de datos.. Fig. 5.1: (a) Sı́ntesis de datos monofractales a partir del RNG del sistema 5 con una combinación b = 8, n = 16, m = 13. (b) Sı́ntesis de datos multifractales a partir del RNG del sistema 1 con una combinación b = 8, n = 12, m = 10. En la Fig. 5.2 se observa el VTD aplicado a las dos trazas con un intervalo de confianza para la primera traza de 0.77007 < H < 0.77347 y para la segunda traza de 0.71737 < H < 0.72174. Entonces se detecta dependencia de rango largo en las dos trazas por que el parámetro de Hurst se estima entre los valores 0.5 < H < 1.0, y las dos secuencias sintetizadas presentan correlación entre sus datos debido a que son generados por medio de una señal fı́sica en la cual el valor x[k] en el instante k depende de los estados anteriores x[k − 1], x[k − 2], . . . , x0 de la señal. Es en este punto donde se observa realmente el concepto de dependencia de rango largo en la secuencia.. 36.

(37) Fig. 5.2: (a) VTD para una traza de datos monofractales sintetizados. (b) VTD para una traza de datos multifractales sintetizados. Para realizar el diagrama mostrado en la Fig. 5.3 se escogieron las octavas de análisis j1 = 3, j2 = 14 para Synthesis of monofractal data y las octavas j1 = 5, j2 = 13 para Synthesis of multifractal data, con el fin de tomar valores tal que la regresión fuera lo más lineal posible. Además, el generador de números aleatorios estimando se acerca a los valores planteados en la Tabla 5.2 y Tabla 5.5. En consecuencia las octavas definidas por medio de este diagrama serán las utilizadas para el análisis multifractal.. Fig. 5.3: (a) LD para una traza monofractal sintetizada. (b) LD para una traza multifractal sintetizada. Con el fin de analizar el tipo de multifractalidad presente en los datos se realizan los diagramas de la Fig. 5.4. En la Fig. 5.4a no se observa una diferencia notable entre los datos Synthesis of monofractal data y Synthesis of multifractal data, por lo que se realiza la Fig. 5.4b, donde se muestra que para los datos Synthesis of monofractal data se traza una linea recta horizontal en los q > 0 indicando que el parámetro de Hurst se mantiene constante en un valor ∼ 0.76 (como lo habı́a estimado la Fig. 5.2a y Fig. 5.3a) evidenciando ası́ la monofractalidad de la traza. En contraposición, los datos Synthesis of multifractal data trazan una curva suave decreciente debido a que el parámetro de Hurst se altera a través de los ordenes, sugiriendo la presencia de multifractalidad. Se aprecia que cuando q = 2 el valor de H ≈ 0.7784 (como se habı́a estimado en la Fig. 5.2b y Fig. 5.3b).. 37.

(38) Fig. 5.4: (a) MD para las trazas monofractales y multifractales. (b) LMD para las trazas monofractales y multifractales. A partir de la transformada de Legendre se dibuja el MS (Fig. 5.5). La traza Synthesis of monofractal data queda reducida a su valor de dimensión fractal el cual coincide con la estimación del parámetro de Hurst, dado que el exponente singular en este caso es una constante (H). Por otro lado, la traza Synthesis of multifractal data presenta un MS cóncavo hacia abajo, cuya dimensión fractal (valor máximo) es la estimación del parámetro de Hurst. Adicionalmente, f (mı́n(α)) > f (máx(α)), representando la existencia de una mayor concentración de valores altos en comparación con la concentración de valores bajos. Otra medida es el ancho del espectro, el cual se encuentra aproximadamente entre 0.7 a 1.7.. Fig. 5.5: MS de las trazas analizadas Es posible, alterando las condiciones iniciales del sistema de ecuaciones, las condiciones circuitales y los parámetros de la función de la memristancia en el sistema caótico, modificar las propiedades del espectro multifractal de las secuencias sintetizadas (Fig. 5.6b). Sin embargo, estos parámetros no varı́an significativamente la estimación del parámetro de Hurst (Fig. 5.6b).. 38.

(39) Fig. 5.6: (a) Variación de la estimación del parámetro de Hurst alterando la condición inicial de la variable x. (b) Variación del espectro multifractal utilizando diferentes condiciones iniciales de la variable x. Un resumen del tipo de multifractalidad encontrado para todas las combinaciones de la Tabla 5.2, Tabla 5.3, Tabla 5.4, Tabla 5.5, Tabla 5.6, Tabla 5.7 se ve en la Tabla 5.8 y Tabla 5.9 donde el sı́mbolo • representa una traza monofractal y el sı́mbolo ∩ una traza multifractal. En las tablas se observa que 9 de 60 casos poseen multifractalidad.. Combinaciones Resultado bits n m 16 12 4 • 12 10 3 ∩ 0 12 3 • 0 12 4 • 8 16 10 • 10 16 13 • 10 12 9 • 8 12 9 • 8 12 11 • 10 12 11 •. Sistema 3. Combinaciones Resultado bits n m 8 8 4 ∩ 16 8 3 • 16 10 9 ∩ 12 8 7 • 10 10 8 • 8 12 10 ∩ 0 12 9 • 8 10 10 ∩ 0 10 8 • 0 10 9 •. Sistema 2. Sistema 1. Tabla 5.8: Resultados de análisis multifractal de los sistemas 1 - 3 Combinaciones Resultado bits n m 10 12 3 • 10 10 2 • 12 12 5 • 16 16 10 • 10 16 1 • 8 16 9 • 8 12 7 • 0 12 2 • 16 10 7 • 10 16 4 •. Combinaciones Resultado bits n m 12 12 3 ∩ 16 16 9 • 8 12 5 • 8 16 9 • 10 16 11 • 8 10 5 • 8 16 13 • 8 12 9 • 16 16 15 • 0 10 6 ∩. 39. Sistema 6. Combinaciones Resultado bits n m 8 16 9 • 0 10 1 • 0 12 3 • 0 12 4 • 12 16 11 • 0 16 9 • 8 12 9 • 0 8 6 ∩ 10 12 9 • 8 12 11 •. Sistema 5. Sistema 4. Tabla 5.9: Resultados de análisis multifractal de los sistemas 4 - 6 Combinaciones Resultado bits n m 12 12 5 • 8 12 5 • 0 10 1 • 12 16 9 • 0 12 3 • 0 12 4 • 16 10 7 • 10 10 7 • 8 10 7 • 10 12 11 ∩.

(40) 5.2.. Comparación con el método de cascadas binomiales conservativas. Para realizar la comparación se usó el ejemplo mostrado en la Fig. 3.6. A esta traza se le aplicaron las pruebas NIST (Tabla 5.10) implementando la función de la ecuación threshold (Eq. 5.2) usando como valor discriminador su media, encontrando que la tasa de aprobación es de 2/14. Luego, se utilizó el VTD para estimar el parámetro de Hurst, computando H = 0.8792. ( 0 Para x < 1.6911 × 10−5 fh (x) = (5.2) 1 Para x ≥ 1.6911 × 10−5 Tabla 5.10: Tabla de resultados de las pruebas NIST para el la sı́ntesis de datos con el algoritmo β-MWM y su parámetro de Hurst Parámetro H. Pruebas NIST. p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13 p14. Total pruebas aprobadas. 0.8792 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1051 0.8744 2/14. Para tener otra visión de los resultados, se utilizó el formato binario de números decimales con punto flotante simple de la IEEE (Standards & Society, 2008) con el fin de representar los datos sintetizados por el algoritmo β-MWM, llegando a resultados similares. En contraste con la investigación realizada la sı́ntesis de secuencias usando el algoritmo β-MWM presenta una menor tasa de aprobación al aplicar las pruebas NIST. Esto sugiere una desventaja con relación a los datos sintetizados en la investigación, dado que se presentan combinaciones con una mayor tasa de aprobación. Sin embargo, la causa podrı́a ser la función threshold necesaria para el desarrollo de las pruebas NIST. Por otra parte, los datos sintetizados por la cascada binomial conservativa están caracterizados de tal forma que varı́en el ancho del espectro y la estimación del parámetro de Hurst, generando únicamente trazas multifractales. En contraposición, el modelo presentado logró alterar el ancho del espectro y variar H de forma empı́rica, sin ser caracterizado, y pudiendo generar trazas tanto monofractales como multifractales. Otra diferencia entre los dos modelos es su construcción, dado que el algoritmo β-MWM es recursivo y utiliza un sintetizador de trazas aleatorias, a diferencia del propuesto en la investigación que parte de una señal fı́sica que depende de las condiciones iniciales del sistema de ecuaciones. 40.

(41) 6. Conclusiones En la investigación se desarrolló un generador de números aleatorios con dependencia de rango largo a partir de distintas señales caóticas de entrada, siendo posible la variación de H por medio de los parámetros del RNG (como la cantidad de bits en los ADC y DAC y la cantidad de bits menos significativos tomados del ADC). Se encontró que las combinaciones analizadas (Tabla 5.2 hasta Tabla 5.9) poseen en su mayorı́a propiedades monofractales, con posibilidad de implementar secuencias multifractales, permitiendo el estudio de sı́ntesis de datos con comportamiento fractal. Este modelo puede usarse como marco de referencia para posibles aplicaciones en el ámbito financiero, geofı́sico, modelamiento de texturas, predicción del clima, caracterización del comportamiento social y crecimiento de organismos, entre otras.. Por otra parte, la forma de discriminar las secuencias aleatorias dependió principalmente de la función threshold y el estándar para el formato de números decimales con coma flotante IEEE, obteniendo ası́ en ambas resultados similares, dejando abierta la posibilidad de implementar otro tipo de función para representar los datos no binarios (dado que las pruebas NIST solo admiten datos binarios como entrada) o la modificación al modelo presentado del RNG para lograr obtener una mejor tasa de aprobación en las pruebas realizadas. Cabe resaltar que algunas de las pruebas ejecutadas tienen como finalidad detectar la existencia de patrones en los datos. Por lo cual, si la traza posee dependencia de rango largo, está claro que las reprobarı́a. Ejemplo de estas pruebas son: The Discrete Fourier Transform (Spectral) Test y Approximate Entropy Test. En cambio, el enfoque de pruebas como: Frequency (Monobits) Test y Linear Complexity Test, analizan la aleatoriedad de la traza de manera más global, estimando su complejidad. La tasa de aprobación en estas pruebas para los sistemas seleccionados superan la media. Para hacer un análisis más profundo de la aleatoriedad de las trazas sintetizadas por el RNG, se espera en un trabajo adicional poder implementar otro tipo de pruebas que evalúen la aleatoriedad en datos continuos. Otro aspecto a considerar es que, al descartar combinaciones que tenı́an un comportamiento determinista o sin LRD, no fue posible modelar el parámetro de Hurst a través de una expresión matemática, y por ende parametrizar el generador (como lo hace el algoritmo de las cascadas binomiales conservativas (CBCs) usando β-MWM). Además, la selección de las escalas para hacer el MS es un factor crı́tico. Al no existir la suficiente cantidad de datos (idealmente infinita), se afecta la escalabilidad del proceso. Por lo tanto, se plantea la posibilidad de implementar en un futuro una red neuronal que permita emular el sistema global teniendo la posibilidad de variar el parámetro de Hurst a un valor deseado y alterar las propiedades del espectro multifractal, obteniendo un modelo más general comparable con el algoritmo β-MWM y que permita la sı́ntesis de trazas tanto monofractales como multifractales, dando pie a su implementación fı́sica por medio de dispositivos electrónicos, y con la posibilidad de generar mayores secuencias de datos, logrando un sistema más. 41.

(42) versátil en comparación con el algoritmo β-MWM. Con esto serı́a posible su uso en una aplicación especı́fica, observando en mayor medida las ventajas y desventajas que presenta el sistema. Por último se encontró una nueva aplicación para el memristor. Debido a su comportamiento no lineal puede ser utilizado para la construcción de diferentes sistemas caóticos que sirven como señal fı́sica de entrada para un RNG con LRD que posee caracterı́sticas multifractales.. 42.

Figure

Fig. 3.1: Detecci´on de LRD en una traza de tiempos entre paquetes consecutivos recibidos en los laboratorios Bellcore a partir de la estimaci´on del par´ametro de Hurst por medio del VTD
Fig. 3.1: Detecci´on de LRD en una traza de tiempos entre paquetes consecutivos recibidos en los laboratorios Bellcore a partir de la estimaci´on del par´ametro de Hurst por medio del VTD p.19
Fig. 3.2: Detecci´on de LRD en una serie de tiempos a partir de la estimaci´on del par´ametro de Hurst por medio de LD
Fig. 3.2: Detecci´on de LRD en una serie de tiempos a partir de la estimaci´on del par´ametro de Hurst por medio de LD p.20
Fig. 3.3: (a) Diagrama multiescala de los tiempos de arribos de la traza BCpAu89 y del ruido fraccional gausiano
Fig. 3.3: (a) Diagrama multiescala de los tiempos de arribos de la traza BCpAu89 y del ruido fraccional gausiano p.21
Fig. 3.4: (a) Exponentes de masa τ (q). (b) Exponente singular α(q). (c) Dimensi´on local f (α) (transformada de Legendre)
Fig. 3.4: (a) Exponentes de masa τ (q). (b) Exponente singular α(q). (c) Dimensi´on local f (α) (transformada de Legendre) p.23
Fig. 3.5: S´ıntesis del modelo Wavelet multifractal mediante una cascada binomial conservativa
Fig. 3.5: S´ıntesis del modelo Wavelet multifractal mediante una cascada binomial conservativa p.24
Fig. 3.7: (a) VTD para la traza sintetizada con el algoritmo β-MWM. (b) LD para la traza sintetizada con el algoritmo β-MWM
Fig. 3.7: (a) VTD para la traza sintetizada con el algoritmo β-MWM. (b) LD para la traza sintetizada con el algoritmo β-MWM p.25
Fig. 3.8: (a) MD para la traza sintetizada por el algoritmo β-MWM. (b) LMD para la traza sintetizada por el algoritmo β-MWM
Fig. 3.8: (a) MD para la traza sintetizada por el algoritmo β-MWM. (b) LMD para la traza sintetizada por el algoritmo β-MWM p.25
Fig. 4.1: Diagrama esquem´atico de la metodolog´ıa implementada en la investigaci´on.
Fig. 4.1: Diagrama esquem´atico de la metodolog´ıa implementada en la investigaci´on. p.26
Fig. 4.2: Circuito ca´otico implementado con un diodo de Chua. (a) Circuito el´ectrico
Fig. 4.2: Circuito ca´otico implementado con un diodo de Chua. (a) Circuito el´ectrico p.27
Fig. 4.3: Circuito ca´otico simple. (a) Circuito el´ectrico. (b) Diagrama de V C (t) versus i(t) del generador ca´otico.
Fig. 4.3: Circuito ca´otico simple. (a) Circuito el´ectrico. (b) Diagrama de V C (t) versus i(t) del generador ca´otico. p.28
Fig. 4.4: Implementaci´on de un nuevo sistema ca´otico basado en memristor. (a) Circuito el´ectrico
Fig. 4.4: Implementaci´on de un nuevo sistema ca´otico basado en memristor. (a) Circuito el´ectrico p.28
Fig. 4.5: Generador de un sistema ca´otico utilizando memristor. (a) Circuito el´ectri- el´ectri-co
Fig. 4.5: Generador de un sistema ca´otico utilizando memristor. (a) Circuito el´ectri- el´ectri-co p.29
Fig. 4.7: Circuito ca´otico simple para encriptaci´on de informaci´on. (a) Circuito el´ectrico
Fig. 4.7: Circuito ca´otico simple para encriptaci´on de informaci´on. (a) Circuito el´ectrico p.30
Fig. 4.6: Circuito ca´otico basado en un memristor con una funci´on a trozos lineal. (a) Circuito el´ectrico
Fig. 4.6: Circuito ca´otico basado en un memristor con una funci´on a trozos lineal. (a) Circuito el´ectrico p.30
Fig. 4.8: Diagrama de bloques de un generador de n´ umeros aleatorios a partir de
Fig. 4.8: Diagrama de bloques de un generador de n´ umeros aleatorios a partir de p.31
Fig. 4.9: Diagrama de bloques del generador de n´ umeros aleatorios modificado con reducci´on de taza de muestreo y normalizaci´on de la se˜ nal de entrada
Fig. 4.9: Diagrama de bloques del generador de n´ umeros aleatorios modificado con reducci´on de taza de muestreo y normalizaci´on de la se˜ nal de entrada p.32
Fig. 4.10: Diagrama de bloques del generador de n´ umeros aleatorios implementado
Fig. 4.10: Diagrama de bloques del generador de n´ umeros aleatorios implementado p.32
Tabla 5.2: Tabla de resultados para el sistema 1

Tabla 5.2:

Tabla de resultados para el sistema 1 p.34
Tabla 5.3: Tabla de resultados para el sistema 2

Tabla 5.3:

Tabla de resultados para el sistema 2 p.34
Tabla 5.6: Tabla de resultados para el sistema 5

Tabla 5.6:

Tabla de resultados para el sistema 5 p.35
Tabla 5.7: Tabla de resultados para el sistema 6

Tabla 5.7:

Tabla de resultados para el sistema 6 p.35
Tabla 5.5: Tabla de resultados para el sistema 4 Intervalo H 0.5 &lt; H &lt; 0.6 0.6 &lt; H &lt; 0.7 0.7 &lt; H &lt; 0.8 0.8 &lt; H &lt; 0.9 Tasa de aprobaci´ onPar´ametro H0.5389 0.5693 0.6281 0.6665 0.6756 0.7534 0.7746 0.7988 0.8233 0.8593Par´ametros de

Tabla 5.5:

Tabla de resultados para el sistema 4 Intervalo H 0.5 &lt; H &lt; 0.6 0.6 &lt; H &lt; 0.7 0.7 &lt; H &lt; 0.8 0.8 &lt; H &lt; 0.9 Tasa de aprobaci´ onPar´ametro H0.5389 0.5693 0.6281 0.6665 0.6756 0.7534 0.7746 0.7988 0.8233 0.8593Par´ametros de p.35
Fig. 5.1: (a) S´ıntesis de datos monofractales a partir del RNG del sistema 5 con una combinaci´on b = 8, n = 16, m = 13
Fig. 5.1: (a) S´ıntesis de datos monofractales a partir del RNG del sistema 5 con una combinaci´on b = 8, n = 16, m = 13 p.36
Fig. 5.2: (a) VTD para una traza de datos monofractales sintetizados. (b) VTD para una traza de datos multifractales sintetizados.
Fig. 5.2: (a) VTD para una traza de datos monofractales sintetizados. (b) VTD para una traza de datos multifractales sintetizados. p.37
Fig. 5.3: (a) LD para una traza monofractal sintetizada. (b) LD para una traza multifractal sintetizada.
Fig. 5.3: (a) LD para una traza monofractal sintetizada. (b) LD para una traza multifractal sintetizada. p.37
Fig. 5.5: MS de las trazas analizadas
Fig. 5.5: MS de las trazas analizadas p.38
Fig. 5.4: (a) MD para las trazas monofractales y multifractales. (b) LMD para las trazas monofractales y multifractales.
Fig. 5.4: (a) MD para las trazas monofractales y multifractales. (b) LMD para las trazas monofractales y multifractales. p.38
Tabla 5.8 y Tabla 5.9 donde el s´ımbolo • representa una traza monofractal y el

Tabla 5.8

y Tabla 5.9 donde el s´ımbolo • representa una traza monofractal y el p.39
Fig. 5.6: (a) Variaci´on de la estimaci´on del par´ametro de Hurst alterando la condici´on inicial de la variable x
Fig. 5.6: (a) Variaci´on de la estimaci´on del par´ametro de Hurst alterando la condici´on inicial de la variable x p.39
Tabla 5.10: Tabla de resultados de las pruebas NIST para el la s´ıntesis de datos con el algoritmo β-MWM y su par´ametro de Hurst

Tabla 5.10:

Tabla de resultados de las pruebas NIST para el la s´ıntesis de datos con el algoritmo β-MWM y su par´ametro de Hurst p.40

Referencias

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