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Academic year: 2020

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(1)ING. FABIÁN SABADINI. 4. Compresión Excéntrica en el Campo Elástico. La compresión excéntrica en el campo elástico Hasta ahora, cuando determinábamos las tensiones en una estructura, se hacían todos los cálculos sobre la configuración inicial sin tener en cuenta que la misma cambia ante la acción de las cargas actuantes. Este procedimiento es válido para las barras normales de estructuras usuales en construcción que son bastante rígidas y con un sistema de cargas tal que provoque en las barras esfuerzos M, Q y N. En el caso en que la carga actuante sobre una barra sea una compresión centrada, ya vimos el fenómeno de inestabilidad del equilibrio que puede producir el colapso de la barra con tensiones de compresión sumamente reducidas. Aquí estudiaremos las tensiones sobre la configuración deformada de la barra, aunque hacíamos una simplificación (y’2 ≅ 0) válida también por estar en el campo de las pequeñas deformaciones (barras de construcción). Calcular las tensiones sobre la configuración curva de la barra, le permitió a Euler llegar a su célebre fórmula: 2. π σ ki =   .E λ Ahora nos planteamos el estudio de barras en las que la carga de compresión se halla descentrada o bien está centrada pero además hay otras cargas que provocan una flexión. El estudio se debe hacer sobre la configuración curva de la barra y de los resultados obtenidos se verá si es importante o no esta consideración. Ejemplo: a) Compresión excéntrica Calculando sobre la forma inicial de la barra tendremos una flecha y0(x); M0x = P.e = cte. A la excentricidad inicial que es una constante, le sumamos la que corresponde a la deformada de la barra: x. M 0 = P.e. M x = P.(e + y( x ) ) = P.e + P.y( x ) x. M x = M0 + MP. x.

(2) CÁTEDRA DE CONSTRUCCIONES METÁLICAS - CAPÍTULO 4: COMPRESIÓN EXCÉNTRICA EN EL CAMPO ELÁSTICO. P. P e x y0(x) yP(x). y(x). M0x = P.e = cte. Mx Mpx = P. y (x). b) Compresión centrada y cargas de flexión q(x) P. P x y0(x) y(x). yP(x) M0 x. Mx Mp x. y0x : Elástica obtenida a partir de la configuración recta de la barra (elástica de primer orden). ypx : Elástica que se obtiene calculando sobre la barra deformada (elástica de segundo orden). x. M x = M 0 + P.y( x ) M máx = M 0 máx + P.y máx. (barras con cargas simétricas). 2.

(3) CÁTEDRA DE CONSTRUCCIONES METÁLICAS - CAPÍTULO 4: COMPRESIÓN EXCÉNTRICA EN EL CAMPO ELÁSTICO. Llamando: M máx η= M 0 máx. ∴. M máx = η.M 0 máx. Donde η es un factor corrector de valor mayor o igual a la unidad (η ≥ 1). M máx P M P σ = + máx = + η 0 F W F W En todos los casos el problema consiste en hallar el valor de η.. Solución general para M0x polinomial La ecuación de la elástica es: Mx x M x = M 0 + P.y → E.J x x M0 M0 P.y P y' ' = − .y = − − → y' '+ E.J E.J E.J E.J x M ∴ y' '+ k 2 .y = − 0 E.J Donde esta última ecuación es una ecuación diferencial no homogénea y' ' = −. En el caso de pandeo centrado habíamos resuelto la homogénea: y’’ + k2 . y = 0 cuya solución es: y = A.sen k.x + B.cos k.x Cuando M0x es polinomial se soluciona la no homogénea mediante un cambio de variables: x x x x x M M '' 0 M iv 0 M ( 2i − 2 ) 0 M ( 2i ) 0 y=t− 0 + ... − + ± m P P.k 2 P.k 4 P.k ( 2i − 2) P.k ( 2i ) Reemplazando en la ecuación diferencial no homogénea: x x '' x iv x vi x ( 2i ) x  '' x iv x ( 2i − 2 ) x   M( 2i ) 0  0  t ' '− M 0 − M 0 + M 0 − ... ± M 0  + k 2  t − M0 + M 0 − M 0 + ... ± M m = 2 4 ( 2i − 2 )  2 4 ( 2i − 2 ) ( 2i )    P P P . k P . k P . k P . k P . k P . k P . k     =−. x. M0 k2 x = − .M0 E.J P. Quedando finalmente:. t’’ + k2 . t = 0. Ecuación homogénea que tiene la ya conocida solución: t = A.sen k.x + B.cos k.x. 3.

(4) CÁTEDRA DE CONSTRUCCIONES METÁLICAS - CAPÍTULO 4: COMPRESIÓN EXCÉNTRICA EN EL CAMPO ELÁSTICO. que si reemplazamos este valor de “t” en la ecuación del cambio de variables: x. y = A. sen k.x + B. cos k.x −. x x x x M0 M ii 0 M iv 0 M vi 0 M ( 2i ) 0 ... + − + − ± P P.k 2 P.k 4 P.k 6 P.k ( 2i − 2). Solución general para M0x polinomial.. Caso de Compresión Excéntrica P. P e x l. M0x = P.e = cte. M0x = P . e = cte. M0x ’= M0x ’’= M0x (n) = 0 y = A.sen k.x + B.cos k.x −. que reemplazadas en la solución general queda: P.e P. A y B se hallan como siempre aplicando las condiciones de borde Condiciones de borde: Para Para. x=0 →y =0 x = l/2 → y’ = 0 (por simetría de la elástica, tangente horizontal). x=0 → x = l/2 →. A.0 + B.1 – e = 0 ∴ B=e l l A.k. cos k. 2 − B.k. sen k. 2 = 0. l 2 k.l y = e.(tg 2 . sen k.x + cos k.x - 1). de donde:. A = e. tg k.. x = l/2 ⇒ ymáx. 4.

(5) CÁTEDRA DE CONSTRUCCIONES METÁLICAS - CAPÍTULO 4: COMPRESIÓN EXCÉNTRICA EN EL CAMPO ELÁSTICO. y máx = e.(tg =. k.l 2. (. e . sen 2 k.l cos 2. . sen k.l 2. k.l 2. + cos k.2l - 1) =. + cos 2. k.l 2. ). − cos k.2l =. e .(1 − cos k.2l ) cos k.2l.   e M máx = P.(e + y máx ) = P. e + .(1 − cos k.2l ) = k.l cos 2    cos k.2l  1  = P.e. sec k.2l = P.e1 + − k.l k.l  cos cos 2 2   x M 0 = P.e η=. M máx M0. x. = sec k.2l x. M máx = η.M 0 = sec k.2l .P.e σ máx. (Fórmula de la secante). x. M P = + η. 0 F W. σ máx =. P P.e + sec k.2l . F W. donde k 2 =. P E.J. Influencia de la relación P/PE sobre η P. P e l. x. M máx = η.M 0 = η.P.e η=. 1 cos k2l. ; k=. η = sec k2.l P E.J. 2. π PE =   .E.J l y si hacemos P = α.PE. 5.

(6) CÁTEDRA DE CONSTRUCCIONES METÁLICAS - CAPÍTULO 4: COMPRESIÓN EXCÉNTRICA EN EL CAMPO ELÁSTICO. 1. η=. α.PE l E .J 2. cos. 1. =. 2. cos. π α.  .EJ l l EJ 2. =. 1. [( ) ]. cos . π 2. α. Hacemos una tabla con los valores de η según la variación de α: α = P/PE 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.8 0.85 0.90. η 1.14 1.31 1.53 1.83 2.25 2.88 3.94 6.03 8.18 12.25. α = P/PE 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00. η 12.25 13.85 15.93 17.69 21.23 31.84 39.79 63.66 106.10 ∞. Vemos que a medida que P se va acercando a la carga crítica de Euler va creciendo el valor de η en forma muy veloz.. Caso de barra con carga uniformemente repartida de flexión y carga centrada de compresión q P. P x. M0 x x. ql x2 .x − q. 2 2 ql = − q.x 2. M0 = M '0. x. Polinomio de segundo grado. x. M ''0 = −q x. x M0 M ''0 y = A.sen k.x + B.cos k.x − + − ... P P.k 2 q q.l q 2 y = A.sen k.x + B.cos k.x − .x + .x − 2 2.P 2.P k .P. 6.

(7) CÁTEDRA DE CONSTRUCCIONES METÁLICAS - CAPÍTULO 4: COMPRESIÓN EXCÉNTRICA EN EL CAMPO ELÁSTICO. Condiciones de borde: x=0 ⇒y=0 q =0 k .P. y = B−. de donde:. 2. B=. q k .P 2. ∴ y' = A.k. cos k. 2l − B.k. sen k. 2l −. x = l/2 ⇒ y’ = 0. q.l 2/ .q. l + =0 2.P 2/ .P. 2. q  sen k. 2l  A= . tg k. 2l l  .B = 2 cos k. k .P 2 . x = l/2 ⇒ ymáx q q q.l l q. l 2 q k.l k.l k.l + − + − 2 = tg . sen cos 2 2 2 2 2 2.P 2 2.P 4 k .P k .P k .P 2 q q.l q = 2 (tg k.2l . sen k.2l + cos k.2l ) − − 2 = 8.P k .P k .P. y máx = y máx. y máx =.  q.l 2 q  sen 2 k. 2l k.l   − + = cos – 1 2 cos k. 2l 8 . P k 2 .P  . y máx =. q  sen 2 . k 2 .P . y máx =. q q.l 2 k.l ( ) − − . sec 1 2 8.P k 2 .P. Mmáx=. k.l 2. + cos 2. k.l 2. cos k.2l.  q.l 2  q.l 2 q  1 − − 1 − = 2 . − 1 k.l  8.P = 8 . P cos k . P  2  . q.l2 q.l2 q q.l2 q +Py máx= + 2 (sec k.2l −1) − = 2 (sec k.2l −1) 8 8 k 8 k. M0xmáx=. q.l2 8. q (sec k.2l −1) 2 Mmáx k2 η= x = = k.l 2 (sec k.2l −1) 2 q . (2) l M0 máx 8. 7.

(8) CÁTEDRA DE CONSTRUCCIONES METÁLICAS - CAPÍTULO 4: COMPRESIÓN EXCÉNTRICA EN EL CAMPO ELÁSTICO. 2. x. σ máx. ql M0 P P = + η. = + η. 8 = W F W F. σ máx. ql P P 2 = + η. 8 = + k.l 2 (sec F W F (2). 2. σ máx =. k.l 2. P q + 2 (sec F k .W. − 1). k.l 2. ql 2. 8. W. =. − 1). Caso de barra con curvatura previa sinusoidal x. P. P wx. ax yx. amáx ymáx. La curvatura previa obedece a la ecuación: a x = a m . sen w x = a x + yx. π x l. w máx = a m + y x máx y' ' = −. M E.J. y' ' = −. M P.(a x + y x ) =− E.J E.J. M = P.w x = P.(a x + y x ). ;. y' '+ k 2 .y = − k 2 a x = − k 2 .a m . sen. ; k2 =. P E.J. π x l. La solución que se propone es la que sigue: π y = y máx . sen x l Verificamos: π π y' = y máx . . cos x l l 2. π π π y' ' = − y máx .  . sen x = − y.  l l l. 2. 8.

(9) CÁTEDRA DE CONSTRUCCIONES METÁLICAS - CAPÍTULO 4: COMPRESIÓN EXCÉNTRICA EN EL CAMPO ELÁSTICO. Reemplazando en la ecuación diferencial:   π 2  y. −   + k 2  = − k 2 .a x  l    P Sabemos que PE = (π ) 2 .E.J y que k 2 = l E.J ∴ P  P  P y. − E + .a x =− E.J  E.J E.J  ∴ P y= ax PE − P Cuando ax = am es y = ymáx y máx =. P am PE − P. La ecuación propuesta se verifica si el ymáx es igual al anterior.. M máx = P.(a m + y máx ) = P.(a m +   1 x = M 0 máx   P 1−  PE ∴   1 η=  P 1−  PE. P −P+P P P a m ) = P.a m (1 + ) = P.a m ( E )= PE − P PE − P PE − P.    = M x máx .η 0   .       x. M máx P P.a m P σ = + η. 0 = + η. F W F W. 9.

(10) CÁTEDRA DE CONSTRUCCIONES METÁLICAS - CAPÍTULO 4: COMPRESIÓN EXCÉNTRICA EN EL CAMPO ELÁSTICO. Hacemos una tabla de valores de η con P/PE P/PE 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.8 0.85 0.90. η 1.11 1.25 1.43 1.67 2.00 2.50 3.33 5.00 6.67 10.00. P/PE 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00. η 11.11 12.50 14.29 16.67 20.00 25.00 33.33 50.00 100.00 ∞. Flexo – Compresión según C.I.R.S.O.C. 302 y 302-1 Borde comprimido. Borde traccionado at. ac G. G ac. at Borde traccionado. Borde comprimido. 1) Según C.I.R.S.O.C. 302 – 2.4 I). ac ≥ at ω.. N M + ≤ σ adm A Wc. II) ac < at  N M ω. A + W ≤ σ adm c    N 300 + 2.λ M ω. + ≤ σ adm 877 Wt  A Wc =. I xx ac. ;. Wt =. I xx at 10.

(11) CÁTEDRA DE CONSTRUCCIONES METÁLICAS - CAPÍTULO 4: COMPRESIÓN EXCÉNTRICA EN EL CAMPO ELÁSTICO. 2) Según C.I.R.S.O.C. 302-1 – 5.2 Se puede verificar la seguridad de la pieza mediante teoría de segundo orden. Suponiendo un diagrama tensión – deformación del acero elástico – plástico ideal se debe verificar que la tensión máxima en la pieza cargada con las cargas multiplicadas por γkr sea inferior a σF: (σmáx)* ≤ σF (σmáx)* es la tensión máxima calculada con teoría de segundo orden en la barra cargada con cargas multiplicadas por γ kr = 87 γ .. 11.

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