CAPÍTULO 4
COMBINACIONES LINEALES Y BASES
Recordemos que hemos definido subconjunto de un espacio vectorial, linealmente independiente para el caso finito ahora formalizamos esto para cualquier tamaño de conjuntos.
Combinación lineal, independencia lineal, base 4.1 Definición: Sea W © Z donde es un espacio vectorial sobre .Z ‘
i Una “combinación lineal de elementos de ” es un elemento de la forma W 5 = â 5 =" " D D con
5 −i ‘ y = − WÞi El parámetro no es fijo.D
ii W denota el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos WÞ
iii Se dice “linealmente independiente ” si toda escritura de ! − Z como combinación lneal de elementos de Wtiene coeficientes . Es decir si ! 5 = â 58= œ ! Ê 5 œ !" " 8 3 para
3 œ "ß #ß âß 8
iv W se dice una “base de ” si es linealmente independiente y Z W W œ Z.
Subespacio generado
Note que W es un subespacio de Z. se denomina el subespacio de Z generado por W. Naturalmente es una base de W W cuando es linealmente independiente. Pero el ejemplo normalW
y seguramente mas importante de base esta dado para ‘8:
4.2 Proposición: Sea / œ Ð!ß !ß âß "ß !ß âß !Ñß3 3 donde " " significa 1 en la posición , en "3 3 ‘8Þ
Entonces ˜/ / â /1, ,2 , 8™es una base de ‘8=9,</ Þ‘
Demostración: ejercicio.
La base de 4.2 se llama la base canónica de ‘8ÞSobre independencia lineal se tienen las siguientes propiedades.
4.3 Proposición:
i W es linealmente independiente si y solo si cada elemento de W tiene una sola escritura en
W . Es decir que
5 = 5 = â 5 = œ 2 = 2 = â 2 =" " # # D D " " # # D / con = − W 5 ß 2 − ß3 y 3 3 ‘ entonces 5 œ 2 a œ "ß âß3 3 3 z.
ii Si ? Á ! Ê Ö?×es linealmente independienteÞ iii Si es linealmente independiente W Ê ! Â WÞ
iv Si W ∩ X œ !y W Xy son linealmente independiente Ê W ∪ Xes linealmente independiente
v Si W © X y es linealmente independiente entonces es linealmente independienteX W
Demostración:
i Suponga que todo elememto d e Ñ W tiene escritura única. Suponga ahora que
5 = â 5 = œ !Þ" " t t Como ! œ != != â !=" # D los coeficientes deben coincidir entonces
Suponga ahora independencia lineal y veamos que se tiene escritura única: si
5 = â 5 = œ 2 = â 2 = Ê Ð5 & 2 Ñ= â Ð5 & 2 Ñ= œ !" " D D " " D D 3 3 3 D D 3
y por independencia lineal (5 & 2 œ ! Í 5 œ 2 a3 œ "ß âß >3 3) 3 3 . Si le asalta la duda de que si los elementos de usados en las dos escrituras no están sobre los mismos W = − Wßnote que siempre se pueden llevar las dos escrituras al mismo conjunto de generadores. Por ejemplo si @ ß âß @" 8 y
A ß âß A" 8no coinciden
α" "@ α# #@ â α8 8@ œα" "@ α# #@ â α8 8@ A A â A0 " 0 # 0 7 ""A " "#A â # "8A œ !@ !@ â !@ 7 " # 8 ""A " "#A â # "8A7
y los dos quedan escritos en terminos del mismo conjunto a saber Ö@ ß ÞÞÞß @ ß A ß ÞÞÞß A ×" 8 " 7 que es la reunión Ö@ ß âß @" 8× ∪ ÖA ß âß A ×" 8 .
ii es obvia y se deja como ejercicio. la parte iii se introdujo por completar. Ya se habia dejado comoÑ Ñ
ejercicio.
iv) es particularmente importante como se verá luego. Por ahora demostrémola. Por hipótesis W y Xson linealmente independientes y W ∩ X œ !ÞVeamos que W ∪ X /=L.I . Suponga queÀ
Ї‡Ñ 5 = â 5 = 6 > â 6 > œ !" " 8 8 " " 3 3 con = − Wß > − X ß = ß 6 −3 3 3 3 ‘
entonces: 5 = â 5 = œ & 6 > â Ð & 6 Ñ>" " 8 8 " " 3 3y el lado izquierdo está en W y el derecho en X ÞPero el derecho es igual al izquierdo luego:
5 = â 5 = − W ∩ X œ !" " 8 8 y lo mismo
& 6 > â Ð & 6 Ñ> − W ∩ X œ !" " 3 3
Los dos son por tanto cero. Ahora 5 = â 5 = œ ! Ê 5 œ !Þ" " 8 8 3 De igual manera
& 6 > â Ð & 6 Ñ> œ ! Ê & 6 œ ! Ê 6 œ !" " 3 3 3 3 asi que todos los coeficientes de Ї‡Ñson cero y W ∪ Xes L.I
La parte v es obvia y queda como ejercicio. Ñ
Note: como se usa la parte iv . SiÑ Wes linealmente independiente hay dos posibilidades
W œ Z ó W Á Z
Si W œ Z entonces es una base de W Z Þ
Si W Á Z entonces el conjunto que es linealmente independientes se puede expandir asi: tomeW ? − Z & W ÞEntonces W ∩ ? œ !{ } por que si A − W ∩ ? ß A œ 5 = â 5 =" " D Dy A œ 5?ÞSi A Á !ß entonces 5 Á0 y como 5? œ 5 = â 5 = Ê ? œ" " > > 55"= â " 5D5= − W D . Lo cual es una contradicción. Asi pues
W ∩ ? œ !{ } y como además W y Ö?× son L.I, entonces W ∪ Ö?×es linealmente independiente. Es decir que al conjunto se le agregó un generador mas y el conjuntu resultante sigueW
siendo L.I.
El concepto detrás del símbolo tiene sus propios intereses. Ahora los reunimos pero inicialmente tiene que ver con qué hacer cuando WÐ © Z Ñno es un subespacio de y se quería que lo fuera. LaZ
solución W lo que hace es “arreglar ” W agregando justo lo necesario para obtener un subespacio que no es pero depende W “exactamente ” de WÞEn efecto.
En lo que sigue "©/"significa subespacio.
4.4 Proposición: Tomando 9 œ Ö!× entonces
i aW © Z ß W existe.
ii W es un subespacio de Z W © Z( / ).
iii W © W Þ
iv Si [ ©/ yW © [ Ê W © [ Þ/
v Si W © X Ê W © X /
vii = œ =
viii Si W © X © W Ê X œ W
Demostración:
iÑ /s evidenteÞ In cuanto a iiÑ siW œ ß9
W œ 9 œ Ö!×
que es un subespacio de . Si Z W Á9 y = − W Ê !Þ= − W (por la manera como de definió W ) por tanto ! − W y W Á9. Sean ?ß A − W y los escribimos con un conjunto de generadores común, agregando coeficientes donde sea necesario. Así pues si ? œ 5 = â 5 =" " D D y
A œ 6 = â 6 =" " D D con k3ß 6 −3 ‘, entonces
? A œ Ð5 6 Ñ = â Ð5 6 Ñ= − W 3 3 3 3 3 3 y tambien
5? œ Ð55 Ñ= â Ð55 Ñ= − W Þ" " " D Así que W
©
/Z ÞLa parte ) es evidente. En cuanto a iii 3@Ñ es suficiente demostrar, en general, que si [
©
/Z y= ß âß = − [ ß" D entonces 5 = â 5 = − [ Þ3 3 D D Pero esto es una situación de cerradura de W
primero por multiplicación por escalar y en seguida cerradura para la suma de [.
En cuanto a v , Ñ W © X Ê W © X © X ÞLuego W © X y por ii y iv
W © X Þ
En cuanto a la parte vi si suponemos que Ñ W œ W ß entoncesW
©
/Z por que W©
/Z.
Para la otra implicación, es decir si W
©
/Z Ê W œ W:Note que siempre se tiene W © W Þ Ahora, si W
©
/Z la otra inclusión W © W se tienen por que si D − W Ê D œ 5 = â 5 =" " 8 8 y como = − W3©
/Z entonces 5 = − W3 3 y5 = â 5 = −" " 8 8 S. O sea D − WÞNote que de paso esto muestra que el mecanismo de corrección W
para subespacios no le hace “nada” a si este es un subespacio. Lo deja quieto. la parte @33Ñ sigue de @3ÑÞ I n cuanto a la parte @333Ñ
W © X © W Ê W © X © W
y el resultado sigue por @33Ñ.
El mecanismo matemático no funciona únicamente en espacios vectoriales De hecho se usa yÞ
funciona en prácticamente cualquier rama de las matemáticas. Se llama un operador de adherencia. Note que ii, iii iv de 4.4 establecen que ß W es un espacio que contiene a y de hecho que W es el menor subespacio de Z que contiene a WÞ
Hay otra manera de construir W que explicaremos ahora. Recuerde que si Y es una familia de conjuntos se llama la intersección de a Y Y Se denota ó Y Se tiene
Y
ÖBÎB − Eß aE − ×Þ E Þ
E −
+ +
entonces que: B − E aE − ß B − E Þ E −
+
Y
× Y
En ocasiones las familias se denotan E3−MóÖE ×3 3−MÞ En este caso la intersección se denota
+ +
i
ó A
− ME3 3−MÞ
Por ejemplo si Ð+Þ,Ñ œ ÖB − Î+ B ,ב y Ò+Þ,Ó œ ÖB − Î+ Ÿ B Ÿ ,ב entonces:
+ +
n m
[- ] y
-− ß œ Ö!× −Ð ß Ñ œ Ö!×
" " " "
Sea la familia de de todos los subespacios de que contienen a . Es claro que mismo está el ,Y Z W Z Y luego no es vacía. Así + existe, es un subespacio vectorial de , que esta y por tanto +
[ −Y[ Z [ −Y[
Y
es el menor subespacio de que contiene a . Es decir que Z f f œ + [ .
[ −Y
En cuanto a las bases recogemos a continuación sus principales propiedades::
4.5 Proposición:
i Si F" y F#son base de y = Z F © F Ê F œ F Ð" # " # no hay base contenida en baseÑ ii Si F es “maximal linealmente independiente” es decir linealmente independiente y no esta
contenido en otro linealmente independiente, entonces es una base de F Z Þ
iii Si Fes un conjunto de generadores minimal no hay un subconjuto de generadores deÐ Ñ Zentonces Fes una base de FÞ
iv Si Ftiene una base finita entonces toda otra base es finita y del mismo número de elementos. Demostración:
iÑSi F © F" #yF Á F3 #entonces hay un elemento, − F & F Þ# " Como , − F " entonces
, œ , , − F © F Þ ! œ & , 8 , ,ß ,
3 œ "
α3 3 con 4 " # Entonces + α3 3 con 3todos distintos y coeficientes
no todos cero luego F# es linealmente dependiente.
iiÑSuponga maximal L.I. Entonces F F œ Z por que si no existe @ − Z & F y por tanto
F ∪ Ö@× es L.I lo cual no puede ser por maximalidad de .F
iiiÑSi es un conjunto minimal de generador entonces es L.I por que si no existen F F ß α"ß âßα>ßno todos cero con ß α" ", â α> >, œ !Si suponemos
α1 Á ! Ê , œ Ð & Ñ , â Ð & Ñ" αα D αα1 ,D
D D
3 1
Es decir que está generado por los demás y entonces ," ,3 F & Ö, ×" genera a Z lo cual no puede ser por la minimalidad de ..F
ivÑDamos un bosquejo: Si Ö, ß , ß âß , ×" # D yÖ, ß âß , ß â,w" wD D"w ß âß , ×w8 son bases de Z ßcada es,w4 combinación lineal de Ö, ß , ß âß , ×" # > , Esto implica que los son combinaciones lineales de los .,3 ,4w Luego
por tanto
, ß , ß âß , œ , ß , ß âß , © , ß , ß âß , œ Z" # > w" w# wD "w w# w8
no seria un conjunto minimal de generadores y por tanto no es una base
Ö, ß , ß âß , ×w w w
" # 8
4.6 Definición: Si #F œ 8donde es una base de , entonces se dice la F Z 8 “dimensional de ”Z Þ
Si las bases tienen infinitos elementos se dice que V es de dimensión infinita.
En lo que sigue demostraremos que los espacios con la misma dimensión son matematicamente indistiguibles. Para eso necesitamos dar los elementos de comparación de los espacios vectoriales. Se llaman las funciones lineales y a continuación concretamos quienes son y cómo actúan.
Funciones lineales
Para comparar espacios vectoriales se usan las funciones entre ellos que “preservan ” las conbinaciones lineales.
4.7 Proposición: Considere un función 0 À Z Ä [ en donde Z y [son espacios sobre . las‘ siguientes afirmaciones son equivalentes.
i 0 Ð5 @ Ñ œ5 0 Ð@ Ñpara 8 − ß 5 − ß ? − Z Ð0preserva combinaciones linealesÑÞ
3œ" 3œ" 8 8
ii 0 Ð5@Ñ œ 50 Ð@Ñ Ð0 preserva el escalar y Ñ 0 Ð@ @ Ñ œ 0 Ð@ Ñ 0 Ð@ Ñ Ð0" # " # preserva la suma .Ñ
Demostración: 3 Ê 33Ñ es claro tomando un solo sumando en el primer caso y tomando dos sumandos y coeficientes en el segundo."
iiÊi) Para 7 œ "es 0 Ð5@Ñ œ 50 Ð@ÑÞSupongamos que cumple para menos de 8 " sumandos y veamos que se cumple para 8 "sumandos:
=
0Š5 @‹œ 0Š5 @ 5 @ ‹ œ 0Š 5 @‹ 5 0 Ð@ Ñ
3œ" 3œ" 3œ" 8" 8 8"
3 3 3 3 8" 8" 3 3 8" 8"
3œ" 3œ" 8" 8"
3 3 8" 8" 3 3 3
5 0 Ð@ Ñ 5 0 Ð@ Ñ œ 5 @ 0 Ð@ Ñ
Para la segunda igualdad se tomo como un elemento de con coeficiente y se usó la 3œ"
8" 3 3
5 @ Z "
hipotesisi de inducción Para la tercera se usó la hipotesisi de inducción y para loss demás sonÞ
reescrituras únicamente.
4.8 Definición: Una función 0 À Z Ä [ que preservba combinaciones lineales se dice una función lineal.
Las funciones lineales preserva otras cosas ademas de combinaciones lineales.
4.9 Proposición: Si 0 À Z Ä [ es una función lineal entonces i 0 Ð!Ñ œ ! Ðpreserva el móduloÑ
ii 0 Ð & @Ñ œ & 0 Ð@Ñ Ð Preserva inversosÑ
iii Si es un subespacio de X Z Ê 0 ÐX Ñ es un subespaci de [ Ð preserva subespacios imagen directaÑ
iv Si es un subespacio de X [, entonces 0&"ÐX Ñ es un subespacio de [ Ð preseva subespacios imagen recíproca .Ñ
Demostracion: 0 Ð!Ñ œ !sigue por el mismo argumento que se usó para demostrar que αÞ! œ !, por ejemplo en multiplicación por escalar Que Þ & 0 Ð@Ñes0 Ð & @Ñse verifica de manera directa. |En cuanto a la parte ) recuerde que:3@ 0&"ÐX Ñ œ Ö@ − Z Î0 Ð@Ñ − X ×
Naturalmente como ß ! − Z y 0 Ð!Ñ œ ! − X entonces 0− 0&"ÐX Ñ y este no es, entonces, vacío. Para ver que0&"ÐX Ñ es cerrado para la multiplicación por escala, si @ − 0&" X y5 − ß‘ entonces
0 Ð5?Ñ œ 50 Ð?Ñ − X ß porque 0 Ð?Ñ − X. Así que 5? − 0&"ÐX ÑÞ
En cuanto a cerradura para À
Si @ ß @ − 0" # &"ÐX Ñ Ê 0 Ð@ Ñß 0 @" # − X ÞLuego 0 Ð@ Ñ 0 @" # − X por que es un subespacio deX [ ÞPero como 0 Ð@ Ñ 0 Ð@ Ñ œ 0 Ð@ @ Ñß" # " # entonces0 Ð@ @ Ñ − X ß" # o lo que es lo mismo
@ @ − 0" # &" X Þ Los detalles y , y la parte 3 33 333 quedan como ejercicio
Antes de dar ejemplos corrijamos una omisión:
Espacio Cociente
4.11 Proposición: Sea Z un espacio vectorial y [ un subespacio de Z. Se denota Z Î[ el conjunto cuyos elementos son de la forma ? [ Ð œ Ö? AÎA − [ ×Ñcon las siguientes características:
i Conjunto Z Î[ œ Ö? [ Î@ − Z ×
iv Multiplicación por escalar 5Ð@ [ Ñ œ Ð5@ Ñ [ Þ" " Con estas especificacion es Z Î[es un espacio vectorial sobre .‘ Demostración: queda como ejercicio.
4.12 Definición: Con la notación de la proposición precedente:
i Z Î[se llama el espacio cociente de por Z [ ( o sobre [) ii ? [ se llama la clase de equivalencia de por ? [
iii la función 1À Z ÒZ Î[con 1Ð?Ñ [ se llama la función proyección de Z en Z Î[ Þ
Regresamos ahora a ejemplos. Note que como !
©
/[ ß si 0 À Z Ò[es lineal, entonces 0&"Ð!Ñes un subespacio de . Así mismo como Z Z
©
/Z ßentonces 0 ÐZ Ñ©
/[ ÞImagen y kernel
4.13 Definición: Para 0 À Z Ò[ ß 0 ÐZ Ñ se llama la imagen de 0 y 0&"Ð!Ñse llama el K rnel/ o el núcleo de 0. Se denotam M7Ð0 Ñ 5/<Ð0 Ñy ó M70 ß 5/<0respectivamente. .
La parte importante de esto es:
4.14 Proposición: Si 0 À Z Ò[ es lineal entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes i 5/<0 œ !
ii 0 ÐBÑ œ 0 ÐCÑÖB œ C Ð0es " & "Ñ
iii 0 ÐBÑ œ !ÖB œ !
Demostración:
iÑÖiiÑ 0 ÐBÑ œ 0 ÐCÑ×0 ÐBÑ & 0 ÐCÑ œ !×0 ÐBÑ Ð & 0 ÐCÑÑ œ !
×0 ÐBÑ 0 Ð & CÑ œ !×0 ÐB & CÑ œ !×B & C − 5/<0 Þ
Asi que si 5/<0 œ !ß B & C − 5/<0 Ê B & C œ ! Ê B œ CÞ
iiÑÖiii Si Ñ 0 ÐBÑ œ 0 ÐCÑ Ê B œ Cßentonces 0 ÐBÑ œ !×0 ÐBÑ œ 0 Ð!Ñ y por tanto B œ !Þ
Las demas implicaciones quedan como ejercicio.
Nomo, epi, isomorfismos 4.15 Definición:
i Una función lineal 0 À Z Ò[ con kerrnel 0 se llama un monomorfismo o una inyección lineal. ii Una función lineal tal que M70 œ [se dice una sobreyección lineal o un epimorfismo.
iii Un monomorfismo, epimorfismo se llama un isomorfismo.
iv Si existe un isomorfismo 0 À Z Ò[se dice que Z es isómorfo a [ y se denota Z z [.
En cuanto a ejemplos tenemos:
4.16 Proposición:
i " À ZZ ÒZ Ð" Ð?Ñ œ ?ÑZ es un monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo.
ii Si Z Ò0 [ Ò1 Dy 0 ß 1son monomorfismos entonces 1 ‰ 0 es un monomorfismo. Si 0 ß 1
son epimorfismo entonces 1 ‰ 0 es un epimorfismo y si y son isomorfismos, entonces 0 1 1 ‰ 0
es isomorfismo.
Para i Suponga Ñ 0 À Z Ò[ ß 1 À [ Ò^ monomorfismos. Supongamos ahopra que
Ð1 ‰ 0 ÑÐ@ Ñ œ 1 ‰ 0 Ð@ Ñ" # y veamos que @ œ @" #. Como
Ð1 ‰ 0 ÑÐ@ Ñ œ Ð1 ‰ 0 ÑÐ@ Ñ" # ×1Ð0 Ð@ ÑÑ œ 1Ð0 Ð@ ÑÑÞ" # Por ser 1 monomorfismo se tiene que
f(v )" œ 0 @ Þ# Por ser monomorfismo, 0 @ œ @" #.
Suponga que y epimorfismos. Entonces 0 1 0 ÐZ Ñ œ [ y1Ð[ Ñ œ ^ÞAhora
Ð1 ‰ 0 ÑÐZ Ñ œ 1Ð0 ÐZ ÑÑ œ 1Ð[ Ñ œ ^
asi que Ð1Þ0 ÑÐZ Ñ œ ^luego 1 ‰ 0 es un epimorfismo. Los demás quedan como ejercicio.
Con lo precedente se concluye ya zes una relación de equivalencia entre espacios vectoriales sobre .‘ Aceptamos que matemáticamente son “iguales ” cuando Z z [aunque físicamente no lo sean.
4.17 Proposición:
i Los isomorfismos cumplen las siguientes propiedades: 1 la identidad de es un isomorfismo
a Zß Z
El compuesto de isomorfismos es un isomorfismo b
Si es un isomorfismo entonces tambien lo es c 0 0&"Þ
ii La relación de isomorfiazes una relación de equivalencia entre espacios vectoriales. Demostración: ejercicio .
Ahora que hemos visto que existe la relación z entre espacios y que es de equivalencia y por tanto es un tipo de “igualdad ” supondremos la pregunta inmediata en cuanto a que? Lo veremos en cuanto a dimensión. Es que las bases tienen el mismo cardinal o equivalentemente, segun convenga, que hay una función entre dos de ellas que es uno a uno y sobre. Partimos por supuesto de que dos bases de un espacio tienen el mismo cardinal (dimensión) lo cual demostramos para el caso finito y aceptamos para el infinito.
4.18 Proposición: Z z [ ×.37Z œ .37[ Þ
Demostración: ÖÑSi Z z [, entonces existe 0 À Z Ò[un isomorfismo. Sea una base deF
Z. Veremos que 0 ÐFÑes una base de [ y en tal caso se tiene que 0¸F À FÒ0 ÐFÑ es uno a uno y sobre por tanto #F œ 0 ÐFÑ# ×.37Z œ .37[ Þ
Que 0 ÐFÑes una base de [: Veamos primero que [ œ 0 ÐFÑ Þ
Sea A − [ Þ Como 370 œ [, entonces A − 370 ß luego existe @ − Z tal que 0 Ð@Ñ œ AÞComo F
es de base de , Z @ œ5 @ con 5 − ß @ − FÞAsí que 3œ"
8
3 3 3 ‘ 3
A œ 0 Ð@Ñ œ 0 Ð5 @ Ñ œ5 0 Ð@ Ñ 5 − ß 0 Ð@ Ñ − 0 ÐFÑ
3œ" 3œ" 8 8
3 3 3 3 y 3 ‘ 3 Así que [ œ 0 ÐFÑ Þ
Veamos ahora que 0 ÐFÑes linealmente independiente: Si 0 Ð5 @ Ñ œ !con 5 − , @ − F. 3œ"
8
3 3 3 ‘ 3
Entonces 0 Ð5 @ Ñ œ ! y como es uno a uno, 0 5 @ œ !. Como @ − F y es L.I F Êk œ !
3œ" 3œ"
8 8
3 3 3 3 3 3
para 3 œ "ß #ß âß 8Þ
ÕÑSuponga .37Z œ .37[ ÞSi es una base de y una base de F Z G [ debe existir una función
2 À F ÒG uno y sobre por tener la misma cardinalidad. Recuerde que > œ 2&1 À G ÒF y se tiene que " œ 2G ‰ 2&" À G ÒGß " œ 2F &"‰ 2à FÒF. Cada una de las funciones 2ß >ß "G y "F a vez inducen
L À Z Ò[
X À [ ÒZ
" À ZZ ÒZ
respectivamente. Entonces "[ À [ Ò[, por ser inducida por : C
2 ‰ 2&" 2Ò&" FÒ2 G
da como resultado
[ ÒX Z ÒL [
y como 2 ‰ 2&" es " entoncesL ‰ X œ " Þ
G [
De igual manera X ‰ L œ " ÞZ Por estas igualdades se tiene que L yXson isomorfismos y X œ L&".
Primer teorema de las funciones lineales(Dominio-kernel-imagen)
El dominio, el kernel y la imagen de una función lineal están estrechamente relacionados. Esto sucede no sólamente el funciones lineales sino en cualquier estructura algebraica y las funcines que preservan esa estructura. Por ejemplo en el caso de grupos abelianos y las funciones entre ellos que preservan la suma tienen nombre propio: primer teorema de homorfismos de grupos. Todavia es cierto agregando multiplicación por escalar y tomando las funciones que tambien la preservan que son las funciones lineales. En cualquiera de ellas se establece la relación entre dominio, el kernel y la imagen:
4.19 Proposición: Suponga que 0 À Z Ò[es una función lineal. Entonces 370 z Z Î5/<0 Þ
Demostración: Si A − 370entonces A œ 0 Ð@Ñcon @ − Z y @ 5/<0 − Z Î5/<0 Þ
Tomamos pues la fución Z Î5/<0 Ò: M70 dad por :Ð@ 5/<0 Ñ œ 0 Ð@ÑÞVeamos que esta bien: definida. Es decir que si@ 5/<0 œ @ 5/<0" # entonces0 Ð@ Ñ œ 0 Ð@ Ñ3 # Þ
Pero esto es claro por que
@ 5/<0 œ @ 5/<0" # ×@ & @ − 5/<0" # ×0 Ð@ & @ Ñ œ !" # ×
0 Ð@ Ñ & 0 Ð@ Ñ œ !" # ×0 Ð@ Ñ œ 0 Ð@ Ñ" # × :Ð@ 5/<0 Ñ œ Ð@ 5/<0 ÑÞ" : #
Con esta serie de equivalencias se demuestra además que es uno a uno. Que es sobre es claro:: :
A − 370 ×bA − [ tal que A œ 0 Ð@Ñ œ Ð@ 5/<0 ÑÞ:
Ahora veamos que preserva la suma y la multiplicación por escalar::
:ÐÐ@ 5/<0 Ñ Ð@ 5/<0 ÑÑ œ Ð@ @ Ñ5/<0 œ 0 Ð@ @ Ñ œ 0 Ð@ Ñ 0 Ð@ Ñ œ" # : " # " # " #
œ Ð@ 5/<0 Ñ Ð@ 5/<0 ÑÞ: " : #
Ademas :Ð5Ð@ 5/<0 ÑÑ œ Ð@ 5/<0 Ñ œ 0 Ð5@ Ñ œ 50 Ð@ Ñ œ 5" : " " " :@ 5/<0 Þ"
El teorema que sigue es básico en el uso de la dimensión
4.20 Proposición: Sea 0 À Z Ò[una función lineal. Entonces
.37Z œ .37 M70 .37 5/<0 Þ
Demostración: Si 5/<0 œ !ß entonces es uno a uno y 0 0 À Z ÒM70es un isomorfismo. Así que
.37 Z œ .37M70 œ .37 M70 ! œ .37 M70 .37 5/<0 Þ
Si 5/<0 Á !ß sea Ö@ à âß @ ×" D una base de 5/<0 ÞEste se completa en una base de Z digamos
Ö@ß âß @ ß @D D"ß â @ ×Þ, 8 Veremos que Ö0 Ð@D"Ñß âß 0 Ð@ Ñ×8 es base de M70 Þ En efecto, si A − M70 entonces b@ − Z tal que 0 Ð@Ñ œ AÞ Pero
@ œ 5 @ â 5 @ 5" " D D D" D"@ â 5 @8 8 luego A œ 0 Ð@Ñ œ 5 0 Ð@ Ñ â 5 0 Ð@ Ñ 5" " D D D"0 Ð@D"Ñ â 5 0 Ð@ Ñ8 8
œ 5D"0 Ð@D"Ñ â 5 0 Ð@ Ñ Þ8 8
Suponga ahora que αD"0 Ð@D"Ñ â α80 Ð@ Ñ œ !8 y veamos que αD" œ
αD# œ â œα8 œ !Þ
En efecto: αD"0 Ð@D"Ñ â α80 Ð@ Ñ œ !8 ×0 ÐαD" D"@ â α8 8@ Ñ œ !×
α" "@ αD D@ â αD D@ œαD" D"@ â α8 8@ n Êα" œ !ßα# œ !ß ÞÞÞÞÞÞßαD" œ !ß ÞÞÞÞß
α8œ !.
4.21 Colorario: Si [es un subespacio de y tiene dimensión finita, entoncesZ Z
( )
.37 Z Î[ œ .37Z & .37[ Þ
Demostración: 1 À Z ÒZ Î[es lineal como se vió. Además se sabe que 5/<1© [ Þ/ Como es1 sobreyectiva (sobre),entonces
.37 Z œ .37 ÐZ Ñ .375/<1 1 ×.37 Z Î[ .37[( ) de donde .37 Z Î[ œ .37Z & .37[ Þ( )
Consideramos ahora como ejemplo E −‘7‚8ß\ −‘8ßy la función 0 Ð\Ñ œ E\ÞEntonces
0 À‘8 Ò‘7 y por tanto M70 œ ÖE\ l \ −‘8×ÞComo E\ B E B E â B E= " " # # 8 8 entonces M70 œ E ß âß E © /" 7 ‘7Þ
Además 5/<0 œ Ö\lE\ œ !× es decir que 5/<0es el espacio solución de E\ œ !que hemos estudiadoÞ
Espacios nulo, colunma, Nulidad y rango de E
4.22 Definición:
i El espacio solución de E\ œ ! se llama el "espacio nulo de ",y se denota E R ÐEÑ. ii La dimensión del espacio nulo de se llama E la nulidad de E, y se denota 8E.
iii M70 œ E ß E âE " # 8 se llama el espacio de columna de E y se denota GÐEÑÞ
iv La dimensión del espacio o columna se llama el rango por columnas de E, y se denota #E.
Se tiene entonces que:
4.23 Proposición: Si E −‘7‚8 entonces:
i #E 8 œ 8E
ii 8 œ !E × #Eœ 8×Las columnas de son L.IE
iii Si es E 7 ‚ 8ß #Eœ !×8 œ 8E × E ß E âE œ" # 8 ‘8 Demostración:
La parte i es otra manera de escribir la antigua formula .37Z œ .37M70 .375/<0 ÞEn cuanto a ii la primera equivalencia es obvia. Para la segunda .37 E ß E" #, â E œ 8, 8 significa que
ÖE ß E âE ×" # 8 es linealmente independiente. Como es el máximo número de vectores LINEALMENTE8
INDEPENDIENTES en ‘8 entonces ‘8. " # 8
E ß E âE œ
Ejercicios suplementarios 1 Demuestre 4.2
2 Demuestre que si [ [1ß #
©
/Z Ö[ ∩ [3 #©
/Z3 muestre que si [ Z ß a œ "ß #ß âß 8entonces 8 [ Z Þ 3 œ "
3
©
/ 3 + 3©
/Mas generalmente si [3−M es una familia de subespacios de Z ßentonces +[3−M es un subespacio deZ Þ
4 Muestre que si Y , entonces Para eso
Y
œ Ö[ Z ÎW © [ × W œ [ Þ
[ −
©
/ +a + es un subespacio de
[ −Y[ Z
b W © [
[ −
+
Y
c Si h y S h h es decir que es el menor
Y Y
©
/Z © Ê [ © Ð [[ − [ −
+ +
subespacio de que contiene a Z WÑ
5 Usamos B ß âß B " 8 en cambio de ÖB ß âß B × " 8 . Calcule en ‘$ß ! ß Ð"ß #ß $Ñß Ð$ß #ß "Ñ Ð"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß !Ñß Ð"ß "ß "Ñ ß W ∪ ÖB× , si B − W Þ
6 Determine si Ð$ß & %ß #Ñ − Ð"ß #ß $Ñß Ð"ß & %ß &Ñ .
7 HB es una función lineal si se toma como dominio el conjunto de las funciones Ò+ß ,ÓÒ ‘
derivables y como codominio al conjunto de todos las funciones Ò+ß ,ÓÒ ‘. Demuéstrelo. Debe incluir la demostración de que el dominio y el codominio son en, efecto espacios, vectores. 8 '-BÐ Ñ.>es una función lineal con dominio las funciones integrables de Ò+ß ,ÓÒ ‘, - − Ò+ß ,Ó
y con codominio las funciones continuas Ò+ß ,ÓÒ ‘ÞDemuestrelo.
9 La función B: cuando [ § Z/ , entonces 0 À [ Ä Z dada por 0 ÐBÑ œ Bse denota simplemente por BÞMuesrte que esta es una función lineal. Esta función compite en simplicidad con otra ! À [ Ä Z ß dada por 0 ÐAÑ œ !ß aA − [ Þ Demuestre que es una función lineal.!
La función 1#À‘4 Ä‘dada por 1#ÐAß Bß Cß DÑ œ B se suele escribir simplemente como " "B en expresiones de la forma "$ABCD B C &# $ È# $ ÐD & BÑ" o cosas por el estilo. Muestre que 1# es una función lineal llamada "la proyeccion 2" de ‘4en ‘. Defina las proyecciones 1, 3, 4 ‘4en , demuestre que son lineales y de la notación corriente que ha usado.‘
10 E œÔ × Ô × Ô × ome
Õ Ø Õ Ø Õ Ø
1 1
2 2
3 3
, F œ ß G œ , t
& !
& !
'
0 À Eß Fß G Ä‘$ dada por
0 Ð5E 6F 7GÑ œ 50 ÐEÑ 60 ÐFÑ 70 ÐGÑ
en donde , 5ß 6ß 7 − ß‘ ß 0 ÐEÑ œ ! ß 0 ÐFÑ œ " ß 0 ÐGÑ œ ! Þ
! ! "
! !
Ô × Ô × Ô ×
Õ Ø Õ Ø Õ Ø
1
Detemine si es una función lineal. En su respuesta debe concretar el hecho de que en efecto 0 0
sea una función . Si tal es una 0 función lineal, entonces se dice que es “extensión lineal ” de la función.
ÖEß Fß G× Ä Ö/ ß / ß / ×" # $ con E È / F È / G È /", #, $.
11 Para ÖEß Fß ×C del ejercicio prrecedente, muestre que existe la extensión lineal de la función
Ö/ ß / ß /" # $× Ä ÖEß Fß ×2 C , con / È E" , / È F# , / È G$ . Llamela L y calcule
explícitamente LÐBß Cß DÑÞ
12 Supoga que 0 À [ Ä Z ß 3 œ "ß #ß âß 83 son funciones lieneales. Demuestre que 5 03 3es 3œ"
8
una función lineal. 13 Demuestre 4.11. 14 Demuestre 4.17.
16 Considere Y ‘Ð Ñel conjunto de todas las funciones con dominio y codominio ‘Þ
Demuestre que es linealmente independiente.
a Uœ Ö"ß Bß B ß B ß âß B ß â×# $ 8
Sugerencia: calcule en 0 las derivadas de las combinaciones lineales.
Sea . Dé la estructura de asi: elemento típico, igualdad, suma y
b ‘ÒBÓ œ U ‘ÒBÓ
multiplicación por escalar. Justifique sus afirmaciones cuidadosamente. Dé 3 subespacios distintos de de dimensión 4.
c ‘ÒBÓ
Verifique usando funciones lineales que los espacios de la parte son isomorfos.
d c
e Demuestre que los polinomios de grado 4 forman un subespacio de ‘ÒBÓÞ Denótelo ‘%ÒBÓ.
Discuta la afirmación: .
f exiten bases de ‘%ÒBÓ que contiene dos polinomios de grado 1 De ser cierto delas. De no serlo explique porqué. Se puede decir lo mismo de polinomios de grado 2?
Demuestre que la derivada es una función lineal con dominio . Debe decidir cual
g ‘%ÒBÓ
debe ser el codominio o informar de todas las opciones posibles.
17 Sea E œ . Calcule
" & " " & " # " ! & # $ & $ " ! & " " & " "
Ô ×
Ö Ù
Ö Ù
Õ Ø
La dimensión del espacio fila (espacio generado por las filas). a
La dimensión del espacio columna
b .
c La dimensión del espacio nulo.
d Describa por medio de una base a ‘%Î[, donde [ es el espacio columna de EÞ
18 Describa por medio de una base a ‘'Î[, donde [ es el hiperplano subespacio normal a
