Dos tipos de operadores cerradura en la categoría R Mod

Benem´

erita Universidad

Aut´

onoma de Puebla

FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICO MATEM ´ATICAS LICENCIATURA EN MATEM ´ATICAS

DOS TIPOS DE OPERADORES CERRADURA EN LA CATEGOR´IA R-MOD

TESIS

QUE PARA OBTENER EL T´ITULO DE LICENCIADO EN MATEM ´ATICAS

PRESENTA

JES ´US JONATHAN TORRES DE JORGE

DIRECTOR DE TESIS

DR. IVAN FERNANDO VILCHIS MONTALVO

Agradecimientos

Le agradezco a mis padres Armando y Gabriela por todo su amor y cari˜no, por depositar su confianza en m´ı, por tenerme tanta paciencia, por cuidar tan bien de m´ı, por ser unos padres ejemplares y amorosos. Les agradezco infinitamente por su apoyo, porque juntos hemos hecho de este un sue˜no una realidad.

Le agradezco a mi hermano Christian por todo su apoyo, por su compa˜nia, por su solidaridad conmigo y por tantas risas juntos. Gracias por ser el mejor hermano que alguien puede tener.

Le agradezco a mi novia Ana por todo su apoyo, por su gran cari˜no y aprecio, por alentarme a continuar en los momentos dif´ıciles, por siempre darme ´animos, por preocuparse tanto por mi. Gracias Ana por escucharme, por ser tan buena conmigo y por tantos bellos momentos. Gracias por ser parte de mi vida.

i

Introducci´

on

El prop´osito de este trabajo es la investigaci´on sistem´atica de operado-res de cerradura en la categor´ıa de m´odulos: propiedades, tipos principales, su caracterizaci´on por varios m´etodos, operaciones, etc. Adem´as de exponer dos tipos de operadores cerradura: uno bajo un enfoque reticular y otro ba-jo un enfoque propio de las categor´ıas de R-m´odulos. El estudio realizado en el Cap´ıtulo 2 nos llev´o a estudiar m´as acerca de la teor´ıa de ret´ıculas y la relaci´on que guarda con los operadores cerradura en la categor´ıas de R-m´odulos. Dando as´ı el surgimento del Cap´ıtulo 1 en el cual se exponen las propiedas m´as relevantes de las ret´ıculas completas, modulares, compac-tamente generadas, continuas y pseudo-complementadas. En el Cap´ıtulo 2, tres tipos importantes de operadores de cerradura en la categor´ıaR-Mod son analizados: operadores d´ebilmente hereditarios, idempotentes y d´ebilmente hereditarios e idempotentes. Tales operadores cerraduras Cson descritos por las funciones abstractas asociadas _FC

´Indice general

Introducci´on I

1. Ret´ıculas Modulares 1

1.1. Ret´ıculas . . . 1

1.2. Modularidad . . . 7

1.3. Ret´ıculas Distributivas . . . 10

1.4. Ret´ıculas Continuas . . . 16

1.5. Ret´ıculas Pseudo-complementadas . . . 24

1.6. Operadores Cerradura . . . 28

1.7. Conexiones de Galois . . . 32

2. Operadores Cerradura en la Categor´ıa de M´odulos 43 2.1. Introducci´on y Hechos preliminares . . . 43

2.2. Operadores Cerradura D´ebilmente Hereditarios . . . 49

2.3. Operadores Cerradura Idempotentes . . . 54 2.4. Operadores Cerradura D´ebilmente Hereditarios e Idempotentes 59

A. Ideales y Filtros en ´Algebras Booleanas 63

Conclusi´on 74

Bibliograf´ıa 75

Dos Tipos de Operadores Cerradura en la

Categor´ıa

R-Mod

Jes´

us Jonathan Torres de Jorge

Cap´ıtulo 1

Ret´ıculas Modulares

1.1.

Ret´ıculas

Definici´on 1.1. Sea (P,_) un conjunto parcialmente ordenado (COPO) y S un subconjunto de P:

1. Una cota superior para S en P es un elemento x ₂ P tal que s _ x, para todo s2S.

2. Un elemento s0 2 S es el mayor elemento en S, si para todo s 2 S, s s0.

3. Una cota inferior para S en P es un elemento x 2 P tal que x  s, para todo s₂S.

4. Un elemento s0 2 S es el menor elemento en S, si para todo s 2 S, s0 _s.

5. Definimos el supremo de S como el menor de las cotas superiores de S. Es decir, x0 2 P es el supremo de S, si x0 es cota superior de S y si x2P es cota superior de S, entonces x0 x.

6. Definimos el ´ınfimo de S como el mayor de las cotas inferiores de S. Es decir, x0 2 P es el ´ınfimo de S, si x0 es cota inferior de S y si x₂P es cota inferior de S, entonces x_x0.

Definici´on 1.2. Una ret´ıcula es un COPO, tal que para cada par de elemen-tos a, btienen supremo e ´ınfimo denotados por a_b ya^b, respectivamente.

El supremo tambi´en es llamado uni´on o yunta, por otro lado el ´ınfimo tam-bi´en es llamado intersecci´on o cu˜na.

Supongamos que (L,_) es una ret´ıcula, donde el supremo y el ´ınfimo es´an denotados por_ y^, respectivamente. Definimos la ret´ıcula Lop _{como sigue:}

Lop_{=L y el orden parcial en L}op_{, denotado por}op_{, est´a dado por:}

aop _{b si y s´olo si ba en L.}

Verifiquemos queLop _{es una ret´ıcula.}

1. Para todo a2L se cumple quea a. De ah´ı que en Lop_{, a}op _a.

2. Sia _op_{b yb}op _aenLop_{, entoncesb ay abenL. As´ı quea=b.}

3. Si a _op _{b y b }op _{c en L}op_{, entonces b  a y c  b en L. De donde}

c_a enL, as´ı pues a_op _{cen L}op_.

Por lo tantoLop _{es un COPO. Denotemos al ´ınfimo y al supremo de L}op _por

^op _{y _}op_{, respectivamente, entonces _}op _{= ^ y ^}op _{= _. En efecto, sean}

a, b2Lop_{, entonces a^bay a^bb enL. De ah´ı quea}op _{a^by b}op

a_^b enLop_{. Esto nos dicea^b es cota superior de {a, b}enL}op_{. Sea xcota}

superior de{a, b} enLop_{, entoncesa }op _{xy b}op _xenLop_{. De dondexa}

y xb en L, lo cual implica xa^b en L. De manera que a^b op _{x en}

Lop_{, por lo tanto_}op _{=^. De manera dual obtenemos ^}op _{=_. Por lo tanto}

Lop _{es una ret´ıcula, la cual es llamada la ret´ıcula opuesta o dual de L.}

Definici´on 1.3. Si L y L0 _{son ret´ıculas, un morfismo de ret´ıculas es una}

funci´on ↵:L!L0 _{tal que para todo x, y 2L satiface:}

1. ↵(x_^y) =↵(x)_^↵(y); 2. ↵(x_{_}y) =↵(x)_{_}↵(y).

Decimos que↵es un isomorfismo de ret´ıculas, si↵ es un morfismo de ret´ıcu-las biyectivo.

Definici´on 1.4. Una funci´on f : (A,_A) ! (B,B) entre dos conjuntos

parcialmente ordenados es un morfismo de orden, si para todo a, a0 _{2A tales}

1.1 Ret´ıculas 3

Definici´on 1.5. Un isomorfismo de orden, es un morfismo de orden biyectivo tal que su inversa tambi´en es un morfismo de orden.

Lema 1.6. Si f : L ! L0 es un isomorfismo de ret´ıculas, entonces f 1 _: L0 _{!L es morfismo de ret´ıculas.}

Demostraci´on. Seanx0_{, y}0 _2L0_{, comof es funci´on sobreyectiva, existenx, y 2}

L tales que f(x) = x0 _{y f(y) = y}0_{, de donde f} 1_(x0_{) = x y f} 1_(y0_{) = y.}

Ahora bien f(x^y) = f(x)^f(y) = x0^y0. De ah´ı que x^y = f 1_(x0_^

y0). Finalmente f 1(x0)^f 1(y0) = f 1(x0^y0). Dualmente f 1(x0_y0) = f 1_(x0_{)_f} 1_(y0_).

Proposici´on 1.7. Si L y L0 _{son ret´ıculas y f :L!L}0 _{es funci´on, entonces}

f es isomorfismo de orden si y s´olo si f es isomorfismo de ret´ıculas.

Demostraci´on. Seanx, y ₂L. Supongamos quef :L_!L0 _{es un isomorfismo}

de orden, entonces f(x^y)f(x), f(y). Esto nos dice que f(x^y) es cota inferior de {f(x), f(y)}. Sea a0 cota inferior de {f(x), f(y)} en L0, entonces a0 _{ f(x), f(y), de donde f} 1_(a0_{)  x, y. As´ı que f} 1_(a0_{)  x^y, luego}

a0 _{ f(x^y). Por lo tanto f(x^y) es el ´ınfimo de {f(x), f(y)}, es decir,}

f(x^y) =f(x)^f(y). Dualmente f(x_y) = f(x)_f(y).

Rec´ıprocamente, seaf un isomorfismo de ret´ıculas. Si x, y ₂L son tales que x  y, entonces x^y = x  y = x_y. Adem´as como f(x ^y) = f(x)^f(y)  f(x)_f(y) = f(x _y), se sigue que f(x)  f(y). Por lo que f es un morfismo de orden. Por el Lema 1.6, f 1 _{tambi´en es morfismo} de ret´ıculas. Sean x0_{, y}0 _{2 L}0 _{tales que x}0 _{ y}0_{, an´alogamente, obtenemos}

f 1_(x0_)f 1_(y0_{). Por lo que f} 1 _{tambi´en es un morfismo de orden.}

Definici´on 1.8. Un morfismo de ret´ıculas ↵ : Lop ! L0, es llamado un anti-morfismo de L a L0_.

Un ejemplo sencillo de anti-morfismo es el siguiente: SeanX un conjunto no vac´ıo y (L,_) = (P(X),_✓). Definimos↵ : (Lop_,

op)!(L,) por↵(A) =

X A, para todo A 2 Lop_{. Es f´acil ver que ↵ es un morfismo de ret´ıculas.}

As´ı pues ↵ es un anti-morfismo de P(X) a P(X).

Definici´on 1.9. Sean L una ret´ıcula y L0 ✓ L. Decimos que L0 es una subret´ıcula de L, si x, y ₂L0 _{entonces x^y, x_y2L}0_.

Definici´on 1.10. Una ret´ıcula L es completa si para cada S ✓ L, existe el supremo e ´ınfimo de S en L.

Observaci´on 1.11. En una ret´ıcula completa L, existen el elemento mayor y el elemento menor, los cuales son denotados por 1 y 0, respectivamente. Adem´as 1 =inf_; y 0 =sup_;.

Demostraci´on. Notar que la proposici´on ₈x (x _{2 ; )} 1 _ x) es verdadera. As´ı que 1 es cota inferior de _;. Sea y ₂ L cota inferior de _;, dado que 1 = supL entonces y  1. Por lo tanto 1 = inf;. Dualmente se demuestra que 0 =sup_;.

Proposici´on 1.12. Sea L un COPO no vac´ıo.

1. Si cada subconjunto deLtiene supremo enL, entoncesLes una ret´ıcula completa;

2. Si cada subconjunto de Ltiene ´ınfimo en L, entoncesL es una ret´ıcula completa.

Demostraci´on. Demostraremos 1. Para cada S _✓L, consideremos: B ={b 2L|b es cota inferior de S}.

Notar que B es no vac´ıo, pues ; ✓ L y por hip´otesis existe sup; el cual coincide con 0 ₂ L. De manera que 0 = sup_; es cota inferior de S. Sea x = supB, el cual existe por hip´otesis. Si s 2 S, entonces b  s, para todo b 2 B. De manera que x s, para todo s 2 S. Esto nos dice que x es cota inferior deS. Seay₂Lcota inferior deS, entoncesy ₂B. De ah´ı quey _x. Por lo tantox=inf S. Dualmente se demuestra 2.

Definici´on 1.13. Sea L una ret´ıcula completa. Una subret´ıcula completa de L es una subret´ıcula L0 _{tal que para todo S ✓L}0_{, supS e inf S (tomados en}

L) pertenecen a L0_.

1.1 Ret´ıculas 5

Ejemplo 1.14. Intervalos. Sean L una ret´ıcula con a, b 2 L tales que a _b, entonces [a, b] =_{x₂L_|a_x_b_} es una subret´ıcula de L llamada el intervalo entre ayb. En efecto, seanx, y ₂[a, b], entoncesa_x, y _b, en consecuencia existen x^y, x_y2L. Dado quea x yay, se tiene que a es cota inferior de _{x, y_}, de ah´ı que a _x_^y. Adem´as como x_^y_x_{_}y, entonces a_x_{_}y. Por otro lado x_b y y_b implicanx_{_}y _b. Adem´as x^yb. Por lo tanto x^y, x_y 2[a, b].

Ejemplo 1.15. Ideales y filtros. Si L es una ret´ıcula, un subconjunto I de L es llamado un ideal si satisface:

1. a ₂I y x_a implican x₂I; 2. a, b₂I implica a_{_}b ₂I; 3. Si L tiene 0 entonces 02I.

En particular, para cualquier a ₂L obtenemos el ideal principal:

#a=_{x₂L_|x_a_}.

Dualmente, definimos la noci´on de flitro. Un subconjunto F de L es un filtro si satiface:

1. a ₂F ya _x implican x₂F; 2. a, b2F implica a^b2F; 3. Si L tiene 1, entonces 12L.

Adem´as para todo a₂L obtenemos el filtro principal:

"a=_{x₂L_|a _x_}.

Ejemplo 1.16. La ret´ıcula de subm´odulos. Si M es un R-m´odulo, en-tonces los subm´odulos de M forman una ret´ıcula completa. En efecto, si

{M_i}i2I es una familia de subm´odulos deM, entoncessup{Mi}i2I =Pi2IMi

e inf_{Mi}i2I =\i2IMi. A dicha ret´ıcula la denotaremos porL(M). Adem´as,

1. Para todo N 2 [K, L],'(N) 2 [0, L/K]. Sea N 2 [K, L], entonces K _N _L, de donde N/K es un R-m´odulo. Ahora bien, si x₂N/K entoncesx=x+K, para alg´un x₂N _L. As´ı que x₂Lyx₂L/K. Por lo tanto N/K L/K.

2. Para todo N, N0 _{2[K, L], '(N \N}0_{) ='(N)\'(N}0_{) y '(N +N}0_{) =} '(N) +'(N0). Sean N, N0 2 [K, L], entonces '(N ^N0) = '(N \ N0_{) = (N \N}0_{)/K y '(N) ^'(N}0_{) = N/K \N}0_{/K.Tenemos que}

x 2 (N \N0_{)/K si y s´olo si x = x+K , para alg´un x 2 N \N}0 _si

y s´olo si x = x+K , para alg´un x 2 M tal que x 2 N y x 2 N0 si y s´olo si x = x +K ₂ N/K y x = x+K ₂ N0_{/K si y s´olo si}

x₂N/K_\N0_{/K. Por lo tanto'(N\N}0_{) = '(N)\'(N}0_{). Por otro lado} '(N_N0) = '(N+N0) = (N+N0)/K y'(N)_'(N0) = N/K+N0/K. Tenemos entonces que x ₂ (N +N0_{)/K si y s´olo si x = x+K, para}

alg´un x₂N+N0 _{si y s´olo si x=x+K, con x=n+n}0_{, donde n 2N}

y n0 2 N0 si y s´olo si x = (n+n0) + K, con n 2 N y n0 2 N0 si y s´olo si x = (n +K) + (n0 _{+K), con n 2 N y n}0 _{2 N}0 _{si y s´olo si}

x₂ N/K+N0_{/K. Por lo tanto '(N +N}0_{) ='(N) +'(N}0_{). As´ı que} ' es morfismo de ret´ıculas.

3. ' es inyectiva. Sean N, N0 2[K, L] tales que '(N) ='(N0), entonces N/K =N0_{/K. Seax2N, entoncesx+K 2N/K =N}0_{/K, de ah´ı que}

x+K ₂ N0_{/K, por lo que x2 N}0_{. An´alogamente si x2N}0_{, entonces}

x2N. Por lo tanto N =N0.

4. ' es suprayectiva. Sean J ₂ [0, L/K] y x ₂ J entonces x ₂ L/K, de ah´ı que x = x+K, para alg´un x 2 L. Entonces x+K 2 J. Sea N =_{x₂L_|x+K ₂J_}. ClaramenteN ₂[K, L], luego sea x₂N/K, entonces x=x+K, para alg´un x₂N. De donde x+K ₂J, esto nos dice que N/K J. Sea x2J entonces x=x+K, para alg´un x2L, as´ı que x₂N y por endex+K ₂N/K, esto nos dice que J _N/K. Por lo tanto J =N/K.

Ejemplo 1.17. Completaciones. Sea L es una ret´ıcula completa. Si C es un subconjunto deL, el cual es cerrado bajo ´ınfimos, esto es, siS _✓C implica inf S 2 C. Se sigue de la Proposici´on 1.12 que C es una ret´ıcula completa. Al conjunto C se le llama sistema cerrado en L. Notar que el ´ınfimo de S en C es el mismo que en L, pero el supremo en C est´a dado por:

1.2 Modularidad 7

1.2.

Modularidad

Sea L una ret´ıcula, es claro que las operaciones _^ y _{_} son conmutativas y asociativas. Adem´as para todo a, b2 L tales que ab y para todo x2L se cumple:

(x^b)_a(x_a)^b. (1.1) En efecto, tenemos quex^b xy x^bb, lo que implica (x^b)_ax_a y (x_^b)_{_}a _ b_{_}a = b. De manera que (x_^b)_{_}a es cota inferior del conjunto _{(x_{_}a), b_}. De ah´ı que (x_^b)_{_}a _(x_{_}a)_^b.

Definici´on 1.18. Una ret´ıcula L es modular si la desigualdad inversa de (1.1) tambi´en se cumple, es decir, para todo a, b ₂L tales que a _b y para todo x2L se cumple:

(x_^b)_{_}a= (x_{_}a)_^b.

Notar que toda subret´ıcula de una ret´ıcula modular tambi´en es modular.

Proposici´on 1.19. Seana, belementos de una ret´ıcula modularL. Entonces existe un isomorfismo de ret´ıculas [a_^b, a]_![b, a_{_}b].

Demostraci´on. Veamos primero que para todox2[a^b, a],x_b2[b, a_b] y que para todo y ₂ [b, a_{_}b], y_^a ₂ [a_^b, a]. Sea x ₂ [a_^b, a], entonces a_^b _ x _ a, de donde (a_^b)_{_}b _ x_{_}b _ a_{_}b. Como b _ (a_^b)_{_}b, entonces b x_b  a_b. Por lo tanto x_b 2[b, a_b]. Sea y2 [b, a_b], entonces b_y_a_{_}b, de dondeb_^a _y_^a_(a_{_}b)_^a_a. Por lo tanto y_^a₂[a_^b, a]. Ahora bien, sean ↵ y como sigue:

↵: [a^b, a]![b, a_b] dada por↵(x) = x_b, : [b, a_{_}b]_![a_^b, a] dada por (y) = y_^a. Para todo x₂[a_^b, a] tenemos que:

( ↵)(x) = (↵(x)) = (x_b) = (x_b)^a = (b_{_}x)_^a.

(↵ )(y) =↵( (y)) =↵(y_^a) = (y_^a)_{_}b = (a_^y)_{_}b = (a_b)^y =y.

Por lo tanto↵ es la funci´on inversa de y viceversa. Sean x1, x2 2[a^b, a], entonces↵(x1)_↵(x2) = (x1_b)_(x2_b) = (x1_x2)_b=↵(x1_x2). Sean y1, y2 ₂[b, a_{_}b], entonces (y1)_^ (y2) = (y1_^a)_^(y2_^a) = (y1_^y2)_^a=

(y1^y2). Ahora bien:

↵(x1 ^x2) = (x1^x2)_b

= [ ↵(x1)^ ↵(x2)]_b = [↵(x1)_^↵(x2)]_{_}b = ([↵(x1)_^↵(x2)]_^a)_{_}b = (a_^[↵(x1)_^↵(x2)])_{_}b.

Como b _ ↵(x1)^↵(x2), entonces por la modularidad de L tenemos que (a _^[↵(x1)_^↵(x2)])_{_} b = (a_{_}b)_^[↵(x1)_^↵(x2)] = ↵(x1)_^ ↵(x2). De manera que↵ es morfismo de ret´ıculas. As´ı que por Lema 1. 6, tambi´en lo es.

Definici´on 1.20. Sea L una ret´ıcula con 0 y 1.

1. Dado a ₂L, un complemento de a en L es un elemento c₂ L tal que a^c= 0ya_c= 1. La ret´ıculaL es complementada, si cada elemento en L tiene complemento en L.

2. Un intervalo I = [a, b] de L es llamado complementado, si para todo x₂I, existez ₂I tal que x_^z =a yx_{_}z =b. En este caso, diremos quez es un complemento relativo de x con respecto de I.

1.2 Modularidad 9

Demostraci´on. Sean a, b 2 L tales que a  b y d 2 [a, b]. Como L es com-plementada, existe c ₂ L tal que d _^c = 0 y d _{_}c = 1. Afirmamos que (c_^b)_{_}a = (c_{_}a)_^bes el complemento deden [a, b]. Notar quea_(c_^b)_{_}a y (c_a)^bb, de manera que (c^b)_a= (c_a)^b2[a, b]. Ahora bien:

[(c_^b)_{_}a]_^d= [(c_^b)_^d]_{_}a = [(c_^d)_^b]_{_}a = (0^b)_a = 0_a =a. Adem´as:

[(c_a)^b]_d= [(c_a)_d]^b = [(c_d)_a]^b = (1_a)^b = 1_^b =b.

La modularidad de L depende ´unicamente de la propiedad de unicidad de complementos relativos, esto es:

Proposici´on 1.22. La ret´ıcula L es modular si y s´olo si cada intervaloI de L tiene la siguiente propiedad: si c₂I tiene dos complementos a, b₂I tales que a_b, entonces a=b.

Demostraci´on. Si L es modular, entonces todo intervalo de L tambi´en lo es. As´ı que podemos asumir que I = L. Supongamos que c ₂ L tiene dos complementos a, b tales quea_b. Entonces:

b = 1^b = (c_a)^b = (c^b)_a = 0_{_}a =a.

x:= (b^c)_a(a_c)^b =:y.

Afirmamos que x, y son complementos de c en el intervalo [b_^c, a_{_}c]. En efecto, notar que:

a_^c_a _(b_^c)_{_}a;

b_^c_(b_^c)_{_}a. (1.2)

(a_c)^bb b_c;

(a_{_}c)_^b_a_{_}c. (1.3)

1. De las desigualdades (1.2) obtenemos que (a_^c)_{_}(b_^c)_(b_^c)_{_}a y dado que (a^c)_(b^c)c. Se sigue queb^c= (a^c)_(b^c) [(c^b)_a]^c= x^c, donde la primera igualdad se da pues a  b. Por otro lado dado quex_y_b, entonces x_^c_b_^c. Por lo tanto x^c =b^c. Ahora bien, x_c = [(b^c)_a]_c= (b^c)_(a_c). Dado que b^cca_c, se sigue que x_c=a_c.

2. Tenemos que y_^c= [(a_{_}c)_^b]_^c= (a_{_}c)_^(b_^c) =b_^c, por lo que y_^c= b_^c. Por otro lado de las desigualdades (1.3) obtenemos quey_c= [(a_c)^b]_c(a_c)^(b_c) = a_cque junto con el hecho de que a_y implican y_{_}c=a_{_}c.

De la hip´otesis se sigue que x=y, lo cual demuestra la modularidad deL.

Ejemplo 1.23. La ret´ıcula de subm´odulos de un m´odulo. Si M es un m´odulo, entonces la ret´ıcula L(M) es modular. En efecto, sean K, N1, N2 subm´odulos deM tales que N1 N2, tenemos lo siguiente: six2(K+N1)\ N2, entonces x ₂ K+N1, x ₂N2. De donde x=k+n1, para alg´un k ₂K y para alg´un n1 2 N1. Luego k =x n1 2N2, de manera que k 2K \N2. Entoncesk+n1 2(K\N2)+N1, de dondex2(K\N2)+N1. Rec´ıprocamente, x₂(K_\N2) +N1 implica x=y+n1, para alg´un y₂K _\N2 y para alg´un n1 2 N1. Como y 2 K, y 2 N2, entonces y+n1 2 N2, y +n1 2 K +N1. Finalmente x₂(K+N1)\N2.

1.3.

Ret´ıculas Distributivas

1.3 Ret´ıculas Distributivas 11

1. (a^b)_c= (a_c)^(b_c); 2. (a_{_}b)_^c= (a_^c)_{_}(b_^c); 3. (a_{_}c)_^b_(a_^b)_{_}c.

Demostraci´on. Supongamos que se cumple 1. Tenemos que b_b_{_}c, de ah´ı que (a_{_}c)_^b _(a_{_}c)_^(b_{_}c) = (a_^b)_{_}c. Por lo tanto (a_{_}c)_^b_(a_^b)_{_}c. Rec´ıprocamente, si se satisface 3. Tenemos que a^ba y a^bb, de ah´ı que (a_^b)_{_}c_a_{_}cy (a_^b)_{_}c_b_{_}c. Entonces (a_^b)_{_}c_(a_{_}c)_^(b_{_}c). Por otro lado, si x=b_{_}c, entonces (a_{_}c)_^x_(a_^x)_{_}c. De donde:

(a_{_}c)_^(b_{_}c)_[a_^(b_{_}c)]_{_}c = [(b_{_}c)_^a]_{_}c [(b^a)_c]_c = (a^b)_c

Por lo tanto (a_^b)_{_}c = (a_^c)_{_}(b_^c). Finalmente, 1. si y s´olo si 2. se sigue del principio de dualidad.

Definici´on 1.25. Una ret´ıcula es distributiva, si satisface alguna de las con-diciones de la Proposici´on 1.24.

Corolario 1.26. Cada ret´ıcula distributiva es modular.

Demostraci´on. Sea L una ret´ıcula distributiva. Dados x, y, z ₂ L tales que y  z, siempre se cumple (x^z)_y (x_y)^z. Por la Proposici´on 1.24 tenemos que (x_y)^z (x^z)_y.

Proposici´on 1.27. Un elemento en una ret´ıcula distributiva tiene a lo m´as un complemento.

Demostraci´on. SeanL una ret´ıcula distributiva con 0 y 1 ya₂L. Suponga-mos que b y cson complementos de a enL, entonces:

An´alogamente b=b^c. Por lo tantoc=b.

Definici´on 1.28. Una ret´ıcula complementada distributiva con 0y 1 es lla-mada ´algebra booleana.

Notaci´on 1.29. Sea L un ´algebra booleana. Para cada a2L denotamos a⇤ al ´unico complemento de a.

Proposici´on 1.30. Sea L una ret´ıcula con 0y 1, las siguientes propiedades son equivalentes:

1. L es una ´algebra booleana;

2. Cada a₂L tiene un ´unico complemento a⇤_{, y a^b= 0 se cumple si y}

s´olo si b _a⇤_.

Demostraci´on. Supongamos que L es un ´algebra booleana, entonces todo elemento deLtiene un ´unico complemento. Ahora bien, sia_^b = 0, entonces:

b=b_^1

=b_^(a_{_}a⇤) = (b^a)_(b^a⇤) = 0_(b^a⇤) =b^a⇤.

De manera queb =b_^a⇤_{, luego ba}⇤_{. Rec´ıprocamente, sib a}⇤_{, entonces}

a_^b_a_^a⇤ _{= 0. Por lo tanto a^b= 0.}

Rec´ıprocamente, supongamos que se cumple 2. Notemos que a = (a⇤)⇤, pues ambos son complementos dea⇤ _{y por hip´otesis el complemento es ´unico.}

Seanx, y ₂L, entoncesl ₂Lsatisface (x_^l)_ysi y s´olo si y⇤_{^(x^l) = 0.}

Ahora bien, notemos que existe el elemento mayorl2Lque satisfacex^l  y, el cual esl = (x_^y⇤₎⇤_{. En efectoy}⇤_^[x^(x^y⇤₎⇤_{] = (y}⇤_^x)^(y⇤_^x)⇤ _{= 0.}

De ah´ı quex_^(x_^y⇤₎⇤ _{y. Ahora bien, seal}0 _{2Ltal quex^l}0 _{y, entonces}

l0 ^x  y. Luego l0 ^(x^y⇤)  y^y⇤ = 0, es decir, (x^y⇤)^l0 = 0. De ah´ı que l0 _{ (x^y}⇤₎⇤_{. Denotaremos (x^y}⇤₎⇤ _{por (y : x). Sean x, y, z 2 L}

1.3 Ret´ıculas Distributivas 13

(x^z)  w. An´alogamene y  (w : z). De ah´ı que x_y  (w : z), lo cual implica (x_{_}y)_^z _(w:z)_^z _w= (x_^z)_{_}(y_^z). Esto demuestra la distributividad, pues la desigualdad contraria siempre se cumple.

En una ´algebra boolena completa los supremos e ´ınfimos arbitrarios son distributivos.

Proposici´on 1.31. Si L es un ´algebra booleana completa, entonces para cualquier familia arbitraria {ai}i2I y cen L se cumple:

(W_i2Iai)^c=Wi2I(ai^c);

(V_i2Iai)_c=Vi2I(ai_c).

Demostraci´on. Para todai2I se cumple queai W_i2Iai de dondeai^c

(W_i2Iai)^c. EntoncesWi2I(ai^c)(Wi2Iai)^c. Para obtener la desigualdad

inversa demostraremos que (W_i2I ai)^c  u para cada u cota superior del

conjunto {ai^c}i2I. Sea u cota superior del conjunto {ai ^c}i2I, entonces

para toda i2I se cumple que: ai = 1^ai

= (c_c⇤)^ai

= (c_^ai)_(c⇤^ai)

u_{_}(c⇤ _^a) u_{_}c⇤.

Esto es, ai u_c⇤, de donde W_i2Iai u_c⇤. Luego:

(_

i2I

ai)^c(u_c⇤)^c

= (u^c)_(c⇤^c) =u^c

u.

Es decir, (W_i2Iai)^c u. En particular para u=Wi2I(ai^c) se tiene que

Definici´on 1.32. Una sub´algebra de un ´algebra booleanaLes una subret´ıcula L0 _{de L tal que 02L}0 _{y tal que a2L}0 _{implica a}⇤ _2L0_.

Definici´on 1.33. Un homomorfismo entre dos ´algebras booleanas A y B es un morfismo de ret´ıculas ↵:A!B tal que ↵(a⇤) = ↵(a)⇤, para todo a2A.

Ejemplo 1.34. Algebras booleanas de subconjuntos´ . Si S es un con-junto, entonces el conjunto P(S) es un ´algebra booleana completa. En efec-to, tomamos 0 = ;, 1 = S, ^ = \ y _ = [ entonces V_ISi = TISi y

W

ISi =

S

ISi, para cualquier familia de subconjuntos (Si)i2I deS. Para todo

S0 _{✓Sexiste un ´unicoS}0⇤_{subconjunto de S tal queS}0_\S0⇤ _=;yS0_[S0⇤ _=S,

a saber S0⇤ = S S0. Adem´as para todo S1, S2, S3 2 P(S) se cumple que S1_\(S2_[S3) = (S1_\S2)_[(S1_\S3) yS1_[(S2_\S3) = (S1_\S2)_[(S1_\S3).

Ejemplo 1.35. Idempotentes centrales. Recordemos que un idempotente central de un anilllo A es un elemento e 2Z(A) = {x 2A | xa = ax, para todo a₂A_}, tal que e2 _{=e. Afirmamos que el conjunto de los idempotentes} centrales de un anillo A forman un ´algebra booleana, la cual denotaremos por B(A). En efecto, notar primero que B(A)6=; ya que 1A cumple con la

definici´on de elemento idempotente. Definimos el orden parcial enB(A) por:

e_f si y s´olo si ef =e. Veamos que _ es un orden parcial en B(A).

1. ee=e2 _{=e, entonces e e}

2. Si e_f y f _e, entonces ef =e y f e=f. Por lo que e=f.

3. Si e  f y f  g, entonces ef = e y f g = f.Luego, eg = (ef)g = e(f g) = ef =e. Esto es, eg=e, por lo tanto e_g.

B(A) se convierte en una ret´ıcula complementada con:

e_^f =ef, e_{_}f =e+f ef, e⇤ _{= 1 e.}

1.3 Ret´ıculas Distributivas 15

1. Tenemos que (ef)e = e(ef) = (ee)f = e2_{f = ef.De ah´ı que ef  e.} An´alogamente, ef _ f. De manera que ef es cota inferior de _{e, f_}. Sea x ₂ B(A) cota inferior de _{e, f_}. Veamos que x _ ef, lo cual ocurre siempre que x(ef) = x. Como xeyxf, entoncesxe =x y xf =x, lo cual implica (xe)f =xf. De donde x(ef) =x, por lo tanto ef =e_^f.

2. Dado que e(e +f ef) = ee +ef ef = e2 _{+ 0 = e, se cumple} que e _ (e+ f ef).An´alogamente f _ (e+ f ef). Por lo que e+f ef es cota superior de _{e, f_}. Sea x ₂ B(A) cota superior de

{e, f}, entonces e  x y f  x, esto implica que ex = e y f x = f. Luego, (e+f ef)x=ex+f x (ef)x=e+f e(f x) = e+f ef, de manera que e+f ef _x. Por tanto e+f ef =e_{_}f.

3. Es claro que 0,12B(A) y para todo e 2B(A), se cumple que 0e y e_1.

4. Seae2B(A), veamos que1 e2B(A). Seaa2A, entonces(1 e)a = 1a ea = a ea = a1 ae = a(1 e). De modo que 1 e ₂ Z(A). Adem´as

(1 e)2 = (1 e)(1 e) = 1(1 e) e(1 e) = 1 e e+e2 = 1 e e+e = 1 e.

Por lo tanto1 e₂B(A). Ahora bien, dado que e_^(1 e) = e(1 e) = e1 e2 _{=e e= 0ye_(1 e) =e+(1 e) e(1 e) = e+1 e 0 = 1.} Se sigue que 1 e es complemento de e. Sea x 2 B(A) complemento de e, entonces e_^x= 0 y e_{_}x= 1, esto es, ex= 0 y e+x ex= 1, de ah´ı que e+x= 1. Por tanto x= 1 e. De manera que e⇤ _{= 1 e.}

5. Por ´ultimo, supongamos que e_^f = 0, entonces ef = 0 As´ı que f(1 e) = f1 ef = f 0 = f. Por tanto f _ e⇤_{. Rec´ıprocamente, si}

1.4.

Ret´ıculas Continuas

A lo largo de esta secci´on consideraremos a cada ret´ıcula, una ret´ıcula completa.

Definici´on 1.36. Un COPO I es llamado dirigido, si para cada par i, j ₂I, existe k2I tal que ik y j k.

Definici´on 1.37. Una ret´ıcula L es superiormente continua, si para cada subconjunto dirigido D de L y para cada a₂L, se cumple:

(W_d2Dd)^a=W_d2D(d^a).

Si la ret´ıcula opuesta Lop _{es superiormente continua, entonces decimos que}

L es inferiormente continua. Finalmente, decimos que L es continua si es superiormente e inferiormente continua.

Proposici´on 1.38. Sea L una ret´ıcula modular y complementada, entonces L es superiormente continua si y s´olo si satisface la siguiente condici´on: Si D es un subconjunto dirigido de L para el cual existe c 2 L {0} tal que c^d= 0, para todo d2D, entonces W_d2Dd <1.

Demostraci´on. Supongamos que Les superiormente continua y que D es un subconjunto dirigido deL para el cual existe c₂L _{0_}, tal que c_^d= 0, para todod2D, entonces (W_d2Dd)^c=W_d2D(d^c) = 0. Supongamos que

W

d2Dd = 1, entonces 0 =

W

d2D(d^c) = 1^c=c. De donde c= 0, lo cual

es una contradicci´on. Por lo tanto W_d2Dd <1.

Rec´ıprocamente, seaDun subconjunto dirigido deLy seaa₂L. Siempre se cumple que W_d2D(d^a)  (W_d2Dd)^a. Para demostrar la desigualdad contraria consideremos el intervaloI = [0,(W_d2Dd)_^a], tenemos entonces que

W

d2D(d^a)2I. Por la Proposici´on 1.21, I es una ret´ıcula complementada,

as´ı que existec2I tal que

[W_d2D(d_^a)]_^c= 0; [W_d2D(d^a)]_c= (W_d2Dd)^a.

1.4 Ret´ıculas Continuas 17

0_d = d, por ser L modular se sigue que (b _d)^(W_d2Dd) = d. De lo anterior obtenemos que para todo d₂D se satisface:

(b_{_}d)_^c= (b_{_}d)_^[(_

d2D

d)_^c]

= [(b_{_}d)_^(_

d2D

d)]_^c

=d^c =d_^(a_^c) = (d_^a)_^c [_

d2D

(d_^a)]_^c = 0

Entonces (b_{_}d)_^c= 0, para todod₂D. Supongamos que c₆= 0, entonces por hip´otesis se sigue que 1 = (W_d2Dd)_{_}b = W_d2D(d_{_}b) < 1. Lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto c= 0. Finalmente:

(_

d2D

d)^a= [_

d2D

(d^a)]_c = [_

d2D

(d_^a)]_{_}0

= _

d2D

(d^a).

Definici´on 1.39. Un elemento c₂L es compacto si se satiface lo siguiente: SicWd2Ddpara alg´un subconjunto dirigidoDdeL, entonces existed0 2D

tal que c_d0.

Observaci´on 1.40. Si Les superiormente continua, entoncesces compacto si y s´olo si tiene la siguiente propiedad: si c=W_d2Ddpara alg´un subconjunto dirigido D de L, entonces existe d0 2D tal que c=d0.

Rec´ıprocamente, sea D subconjunto dirigido de L tal que c = W_d2Dd, entonces c = c_^(W_d2Dd). Puesto que L es superiormente contiuna, c =

W

de2D(c^d). Notar que D0 = {c^d}d2D es un subconjunto dirigido de L,

por hip´otesis, existe d0 2 D tal que c=c^d0. Luego c d0, por lo tanto c es compacto.

Definici´on 1.41. La ret´ıcula L es compacta, si 1 es un elemento compac-to. L es compactamente generada, si cada elemento de L es el supremo de elementos compactos.

Lema 1.42. Si a y b son compactos, entonces a_b es compacto.

Demostraci´on. Sean a, b elementos compactos en L. Supongamos que a _ b  Wd2Dd, para un subconjunto dirigido D de L, entonces a 

W

d2Dd y

b_W_d2Dd, de ah´ı que existend0, d1 ₂D tales quea_d0 y b_d1. ComoD es dirigido, existed2 2Dtal qued0, d1 d2. As´ı quea_bd0_d1 d2.

Observaci´on 1.43. Sea L una ret´ıcula compactamente generada, entonces para cada a 2 L existe D subconjunto dirigido de L tal que a =WD y todo elemento de D es compacto.

Demostraci´on. Sea a ₂ L, entonces existe X _✓ L tal que a = WX y para todo x ₂ X, x es compacto. Sea D = _{WF _| F _✓ X y F es finito_}. ClaramenteWD=WX. Ahora bien, por el Lema 1.42, para todo WF 2D,

W

F es compacto. Por ´ultimo, dados WF,WF0 _{2 D, F, F}0 _{✓ X son finitos,}

de donde F _[F0 _{✓X es finito y es tal que} W_F,W_F0 _W_{(F [F}0_).

Proposici´on 1.44. Toda ret´ıcula L compactamente generada es superior-mente continua.

Demostraci´on. Sean L una ret´ıcula compactamente generada, D un sub-conjunto dirigido de L y a ₂ L. Siempre se cumple que W_d2D(a _^ d) _ a _^ (W_d2Dd). Para la desigualdad contraria, es suficiente demostrar que c  Wd2D(a^d), para cada c compacto tal que c  a ^(

W

d2Dd). Como

c_ a_^(W_d2Dd) _W_d2Dd, entonces c _W_d2Dd. Dado que c es compacto, existe d0 ₂ D tal que c _ d0, adem´as como c _ a, entonces c _ a_^d0 _

W

d2D(a^d). As´ı que c 

W

d2D(a^d). Ahora bien, de la hip´otesis, existe

1.4 Ret´ıculas Continuas 19

As´ı que para todo x 2 X, x es compacto y x  a ^ (W_d2Dd), entonces x_W_d2D(a_^d). De donde a_^(W_d2Dd) =W_x2Xx_W_d2D(a_^d).

Teorema 1.45. (Teorema de Zermelo). Sea X un conjunto, entonces existe una funci´on inyectiva tal que su dominio es un n´umero ordinal y su im´agen es X.

Demostraci´on. Ver ´Apendice de [5].

Lema 1.46. Una ret´ıculaL es superiormente continua si y s´olo si para cada elemento a ₂L, X _✓L y =P0(X) el conjunto de todos los subconjuntos finitos de X se cumple que a^(WX) = W_F2 [a^(WF)].

Demostraci´on. Sea F 2 , entonces WF  WX, de ah´ı que a ^(WF)  a^(WX). De donde W_F2 [a^(WF)]a^(WX). Si X es un subconjunto finito de L, entonces X ₂ . Con lo cual se da la igualdad. Supongamos que X es infinito y que L es superiormente continua, verificaremos la igualdad por inducci´on transfinita. En efecto, supongamos que la igualdad se cumple para cada subconjunto de L de cardinalidad menor que_|X_|. Por el Teorema 1.45, existe una funci´on inyectiva cuyo dominio es un n´umero ordinal y cuya im´agen es X. Sea ↵ el menor n´umero ordinal tal que |↵| = |X|, entonces podemos ordenar los elementos de X en una sucesi´on (posiblemente trans-finita) x0, x1, ..., x⇢, ... (⇢ < ↵). Si X⇠ = {x⇢ | ⇢ < ⇠}, entonces para cada ⇠ < ↵ uno obtiene |X⇠| < |X| y los elementos WX⇠ forman una sucesi´on

creciente y de ah´ı que forman un subconjunto dirigido en L. Como lo fue previamente, denotamos por ⇠ el conjunto de todos los subconjuntos finitos

de X⇠, entonces:

1. WX = W_⇠<↵(WX⇠). En efecto, sea ⇠ < ↵, entonces WX⇠  WX.

De donde W_⇠<↵(WX⇠)  WX. Por otro lado, sea x 2 X,

enton-ces existe ⇠0 _{< ↵ tal que x 2 X}

⇠0. De donde x  WX⇠0 y como

W

X⇠0  W_⇠<↵(WX_⇠), se sigue que x  W_⇠<↵(WX_⇠). Por lo tanto

W

X _W_⇠<↵(WX⇠). De manera que se da la igualdad.

2. W_⇠<↵(W_{F2 ⇠}[a_^(WF)]) =W_F2 [a_^(WF)]. En efecto, sea ⇠ <↵, en-tonces_{a_^(WF)_{}F2 ⇠ ✓{}a_^(WF)_}F2 . De dondeW_{F2 ⇠}[a_^(WF)]_

W

F2 [a^(

W

otro lado, sea F 2 , entonces existe ⇠0 < ↵ tal que F 2 ⇠0, de ah´ı

quea_^(WF)_W_F2

⇠0[a^(

W

F)]. Lo cual implicaW_F2 [a_^(WF)]_

W

⇠<↵(

W

F2 ⇠[a^(

W

F)]). De manera que se cumple la igualdad. Tenemos entonces:

a_^(_X) = a_^[_

⇠<↵

(_X⇠)]

= _

⇠<↵

[a_^(_X⇠)]

= _

⇠<↵

( _

F2X⇠

[a_^(_F)])

= _

F2

[a^(_F)].

Rec´ıprocamente, sea D 6= ; un subconjunto dirigido de L. Para cada subconjunto finitoF deD, existe un elementodF 2Dtal queWF dF. En

efecto, si _|F_| = 0, y como D ₆=_;, existe d ₂ D. Luego WF =W_; = 0 _d. Supongamos que |F| = n y que existe dF 2 D tal que WF  dF. Sea

d0 2 D F y F0 =F [{d0}, entonces WF0 = (WF)_d0  dF _d0. Como D es dirigido, existe d0 _{2D tal que d}

F, d0 d0, de ah´ı queWF0 d0. Ahora

bien:

a^(_D) = _

F2 F

[a^(_F)]

 _

F2 F

(a^dF)

 _

d2D

(a^d).

Por otro lado, para cualquier subconjuntoD deL se tiene para todod 2D, d_WD, de donde a_^d_a_^(WD). As´ı puesW_d2D(a_^d)_a_^(WD).

Definici´on 1.47. Un subconjunto{ai}i2I de elementos no cero de una

ret´ıcu-la L es llamado independiente, si para todo i2I se cumple:

1.4 Ret´ıculas Continuas 21

Lema 1.48. En una ret´ıcula superiormente continua, un subconjunto {ai}i2I

es independiente si y s´olo si cada uno de los subconjuntos finitos de _{a_i}i2I

es independiente.

Demostraci´on. Supongamos que {ai}i2I es independiente. SeaF ✓I finito,

entonces para todo i2F se cumple:

ai^(W_{j2F {i}}aj)ai^(W_{j2I {i}}aj) = 0.

Rec´ıprocamente, sean i0 un elemento arbitrario fijo en I y ={F ✓ I |

i0 2/ F y F es finito}. Entonces W_{j2I {io}}aj = WF2 (

W

j2F aj). En efecto,

sea F 2 , entonces W_j2F aj  Wj2I {i0}aj. De donde WF2 (

W

j2F aj) 

W

j2I {i0}aj. Por otro lado, para todoj 2I {i0},{aj}=Fj 2 . De donde

aj =WFj W_F2 (W_j2Faj). Entonces W_{j2I {i0}}aj W_F2 (W_j2F aj). Ahora

bien, usando el Lema 1.46, obtenemos que

ai0 ^(W_{j2I {i0}}aj) =W_F2 [ai0 ^(W_j2F aj)] = 0.

Definici´on 1.49. Un elemento a ₂ L _{0_} es un ´atomo, si b < a implica b = 0. L es localmente at´omica, si cada elemento de L es el supremo de ´atomos.

Lema 1.50. Sea L una ret´ıcula superiormente continua, entonces la uni´on de toda cadena _{{si}i2Jk}k2K de subconjuntos independientes de L tambi´en es independiente.

Demostraci´on. Sean{{si}i2Jk}k2K una cadena de subconjuntos independien-tes de Ly A_✓S_k2K{si}i2Jk finito, entonces existek0 2K tal que para todo a 2 A, a 2 {si}i2J_k0, esto nos dice que A ✓ {si}i2Jk0. Dado que {si}i2Jk0 es independiente, se sigue que A tambi´en es independiente. Por el Lema 1.48

S

k2K{si}i2Jk es un subconjunto independiente deL.

Proposici´on 1.51. Toda ret´ıcula Llocalmente at´omica, superiormente con-tinua y modular es complementada.

donde 1 =a, lo que es una contradicci´on. Por lo tanto, existe s 2 L ´atomo tal que a_^s = 0. Ahora bien, si _{s_i}i2I denota el conjunto de todos los

´atomos de L, consideremos:

={J ✓I | {si}i2J es independiente ya^(Wi2Jai) = 0}.

Notemos que ( ,_✓) es un COPO. Adem´as ₆= _; ya que si denotamos a s porsi0, tenemos que:

si0 ^Wi2{i0} {i0}si =s^(W;) =s^0 = 0.

Esto nos dice que{si}i2{i0} ={s}es un subconjunto independiente. Adem´as

a_^ (W_i2{i0}si) = a^ s = 0. Por lo tanto {s} = {si}i2{i0} 2 . As´ı que

podemos aplicar el Lema de Zorn. Por el Lema 1.50 la uni´on de una cade-na{{si}i2Jk}k2K de subconjuntos independientes, tambi´en es independiente. Adem´as, si para cada k ₂ K, bk = W_i2Jksi. Entonces {bk}k2K es una

ca-dena en L y a ^bk = 0, de ah´ı que a ^(W_k2Kbk) = W_k2K(a ^bk) = 0.

As´ı que existe una familia m´axima independiente{si}i2J0 de ´atomos tal que

a_^(W_i2J0si) = 0. Escribiremos c =W_i2J0si. Para demostrar que c es

com-plemento dea, es suficiente demostrar quea_ccontiene todos los ´atomos de L, es decir, para todos 2L ´atomo de L, se cumple ques a_c, de donde 1_a_{_}c. Supongamos que existe s0 _{2L ´atomo tal que s}0 _{⇥ a_c, entonces}

s0^(a_c) = 0. Dado que ca_c, usando la modularidad de L tenemos: a_^(c_{_}s0)_(a_{_}c)_^(c_{_}s0)

= (c_s0)^(a_c) =c_[s0^(a_c)] =c_0

=c.

De donde a_^[a_^(c_{_}s0_{)]  a^c = 0, es decir, a^(c_s}0_{) = 0. Lo cual}

contradice la maximalidad de la familia_{si}i2J0.

Teorema 1.52. Las siguientes propiedades en una ret´ıcula modular L son equivalentes:

1.4 Ret´ıculas Continuas 23

3) L es superiormente continua y localmente at´omica.

Demostraci´on. 1) ) 2) Es consecuencia directa de la Proposici´on 1.44 y la Proposici´on 1.51.

2) ) 3) Usando nuevamente la Proposici´on 1.44, tenemos que L es su-periormente continua. Ahora bien, sea z ₂L _{0_} un elemento compacto y consideremos =_{y ₂ L _|y < z_}. Dado que 0< z, ₆= _;. Sea _✓ una cadena, entonces es un subconjunto dirigido de L y W  z. Suponga-mos que W = z. Dado que z es compacto, por la Observaci´on 1.40, existe y0 ₂ tal que y0 = z, lo cual es una contradicci´on. Por lo que W < z, de donde W 2 . Por el Lema de Zorn, existe m 2 elemento m´aximo. Como L es complementada, existe k ₂ L tal que m_{_}k = 1 y m_^k = 0. Luego z = 1_^z = (m _{_}k)_^z = m_{_} (k _^z). Por la Proposici´on 1.19, [m, z] = [m,(k^z)_m]⇠= [m^(k^z), k^z] = [0, k^z]. As´ı pues, si l2L es tal que l < k_^z, entonces l = 0. Por lo tanto k _^z es ´atomo tal que k_^z _z. Esto ´ultimo nos dice que para todo elemento compacto z no cero, existe un ´atomo atal que az. Ahora bien, sea x2L {0}. Por hip´otesis, xes supremo de compactos, as´ı que existez ₂Lno cero tal quez _x. Por lo demostrado anteriormente, existe un at´omoa₂Ltal quea_z, luegoa_x, entonces B = {b 2 L | b es ´atomo y b  x} 6=;. Consideremos el intervalo I = [0, x] el cual, por la Proposici´on 1.21, es complementado. Entonces existe l ₂I tal quel_^WB = 0 yl_{_}WB =x. Supongamos quel ₆= 0, por hip´otesis, existe D subconjunto dirigido de L tal que l = WD y para todo d 2 D, d es compacto. As´ı que existe d0 2 D tal que d0 6= 0, luego existe b0 ´atomo tal que b0 _ d0 _ WD = l. De donde b0 = WB_^b0 _ WB _^l = 0, lo que implica b0 = 0, lo que es una contradicci´on. Por lo que l = 0, as´ıx =WB, lo cual demuestra que L es localmente at´omica.

3))1) Veamos primero queLsuperiormente continua implica que cada ´atomo es compacto. Seaa ₂L´atomo yD subconjunto dirigido de Ltal que a  Wd2Dd. Si a ⇥ d, para todo d 2 D. Entonces a ^d = 0, de ah´ı que

a =a^Wd2Dd=

W

d2D(a^d) = 0, lo cual contradice que el hecho de que a

1.5.

Ret´ıculas Pseudo-complementadas

A lo largo de esta secci´on,L ser´a una ret´ıcula modular con 0 y 1.

Definici´on 1.53. Un pseudo-complemento de un elemento a 2 L es un elementoc tal quea^c= 0 y ces m´aximo con esta propiedad, es decir, si c0 es tal que a_^c0 _{= 0 y cc}0_{, entonces c=c}0_.

Definici´on 1.54. Una ret´ıcula L es pseudo-complementada, si para cada intervalo I ✓L y cada a 2I, existe el pseudo-complemento de a en I.

Lema 1.55. Cada complemento es un pseudo-complemento.

Demostraci´on. Sea c complemento de a y supongamos que a^c0 _{= 0, para}

alg´un c0 tal que cc0, entonces:

c= 0_c = (a^c0)_c = (a_{_}c)_^c0 = 1_^c0 =c0.

Corolario 1.56. Sea Luna ret´ıcula modular complementada, entonces L es pseudo-complementada.

Proposici´on 1.57. Si L es una ret´ıcula modular superiormente continua, entonces L es pseudo-complementada.

Demostraci´on. Sean [a, b] _✓ L y d ₂ [a, b]. Consideremos C = _{c ₂ [a, b] _| c_^d=a_}. Dado quea_^d=a, entoncesa₂C. De manera que (C,_L) es un

1.5 Ret´ıculas Pseudo-complementadas 25

Si c es pseudo-complemento de a en L, entonces a _ c resulta ser un elemento “bastante grande” en L, en el siguiente sentido:

Definici´on 1.58. Un elemento a es esencial en L, si a^c 6= 0, para cada c ₆= 0 en L. De manera m´as general, si a _ b entonces b es una extensi´on de a, sia es esencial en [0, b]. Finalmente,a es esencialmente cerrado en L, si a no tiene extensiones distintas de a en L, esto es, si existe c2L tal que a _cy a es esencial en [0, c], entonces a =c.

Observaci´on 1.59. Los elementos esenciales forman un filtro en L.

Demostraci´on. 1. Seaaesencial enLyc2Ltal queac, entonces para todo x₂L _{0_} se cumple 0₆=a_^x_c_^x. De donde c_^x₆= 0. 2. Supongamos que a y b son esenciales en L. Sea c₂ L _{0_}, entonces

b_^c ₆= 0, de donde (a_^b)_^c = a_^(b_^c) ₆= 0. Por tanto a_^b es esencial L.

3. Seac2L {0}, entonces 1^c=c6= 0. Por lo que 1 es esencial en L.

Proposici´on 1.60. Si ces un pseudo-complemento dea enL, entoncesa_c es esencial en L.

Demostraci´on. Sea d2L tal que (a_c)^d= 0, entonces: a_^(c_{_}d)_(a_{_}c)_^(c_{_}d)

= (c_{_}d)_^(a_{_}c) =c_[d^(a_c)] =c_[(a_c)^d] =c_0

=c.

As´ı que a^(c_d)c, de donde a^(c_d) =a^[a^(c_d)]a^c= 0, por lo que a_^(c_{_}d) = 0. Como c _ c_{_}d y c es pseudo-complemento de a en L, c=c_d. Esto nos dice que d c lo cual implica d  a_c. Por lo tanto d= (a_c)^d= 0.

Proposici´on 1.62. Sea L una ret´ıcula pseudo-complementada. Si b es un pseudo-complemento dea enL, entonces existe un pseudo-complementocde b tal que a_c. M´as a´un, c es entonces una extensi´on esencial m´axima de a en L.

Demostraci´on. Sea cun pseudo-complemento dea_{_}b en [a,1], el cual existe puesLes pseudo-complementada. Entonces a_c, de dondea_{_}(b_^c) = (a_{_} b)^c=a. Afirmamos queces pseudo-complemento deb enL. Tenemos que a_{_}(b_^c) = a, esto nos dice queb_^c_a, entoncesb_^c= (b_^c)_^a_b_^a= 0. De dondeb_^c= 0. Ahora bien, sea x₂Ltal queb_^x= 0 yc_x, entonces a x, de donde x 2[a,1]. Luego (a_b)^x=a_(b^x) =a_0 =a. Por serc pseudo-complemento de a_{_}b en [a,1],x =c. Para demostrar que a es esencial en [0, c], supongamos qued_c y a_^d= 0. Entonces:

a_^(b_{_}d) = (a_^c)_^(b_{_}d) =a^[c^(b_d)] =a^[(d_b)^c] =a^[d_(b^c)] =a_^[d_{_}0] =a_^d = 0.

Dado queb_b_{_}dybes pseudo-complemento deaenL,b =d_{_}b. De donde d  b y como d  c, entonces d  b^c = 0. As´ı que d = 0. Finalmente, si c0 _{es un elemento en L tal que c < c}0_{, entonces c}0 _{^b 6= 0, esto pues c es}

pseudo-complemento de b. Notemos quec0_{^(b^a) b^a= 0, de manera}

que c0^b 2 [0, c0] es tal que c0^b 6= 0 y (c0^b)^a = 0. As´ı pues a no es esencial. Por lo tanto ces extensi´on esencial m´axima de a en L.

Proposici´on 1.63. SeaLuna ret´ıcula pseudo-complementada. Un elemento a 2 L es un pseudo-complemento de alg´un elemento en L si y s´olo si a es esencialmente cerrado en L.

Demostraci´on. Supongamos que a es un pseudo-complemento de alg´un b ₂ L. Sea b0 un pseudo-complemento de a tal que b  b0, el cual existe por la Proposici´on 1.62. Afirmamos que a es un pseudo-complemento de b0_{. En}

efecto, como b0 _{es pseudo-complemento de a, b}0 _{^a = 0. Sea x 2 L tal que}

1.5 Ret´ıculas Pseudo-complementadas 27

la Proposici´on 1.62, a es una extensi´on m´axima de s´ı mismo en L. Por lo tanto a es esencialmente cerrado en L.

Rec´ıprocamente, consideremos el intervalo I = [a,1]. Como L es pseudo-complementada, existe b 2 I tal que b es pseudo-complemento de a. En el contexto de la Proposici´on 1.62, se debe cumplir que a =c. De ah´ı que a es un pseudo-complemento de b.

Proposici´on 1.64. Sea L una ret´ıcula pseudo-complementada, modular y compactamente generada, entonces el supremo de todos los ´atomos de L es igual al ´ınfimo de todos los elementos esenciales de L.

Demostraci´on. Sea a un ´atomo y b esencial en L, entonces a ₆= 0 y por la definici´on de esencial, tenemos que a_^b₆= 0. Como a_^b _a y a es ´atomo, entoncesa^b=a, por lo quea b. Denotemos ascomo el supremo de todos los ´atomos de L y a e como el ´ınfimo de todos los esenciales en L. Tenemos entonces que dado b esencial, para todo ´atomo a se cumple que a _ b, de ah´ı que s b. Es decir, para todo b esencial en L se tiene que s b, lo que implica s _e. Por otro lado, como L es compactamente generada, entonces el intervalo [0, e] tambi´en lo es. Ahora bien, procederemos a demostrar que [0, e] es complementado, entonces por el Teorema 1.52 obtenemos que [0, e] es localmente at´omico, por lo que e es supremo de ´atomos y de ah´ı que s =e. Supongamos que x _ e. Sea c un pseudo-complemento de x ₂ L, por la Proposici´on 1.60, x_ces esencial enL, de ah´ı queex_c. Afirmamos que c_^e es un complemento de x en [0, e]. En efecto,

(c^e)^x=x^(c^e) = (x^c)^e = 0^e = 0

Adem´as (c^e)_x=x_(c^e) = (x_c)^e=e.

Ejemplo 1.65. La ret´ıcula de subm´odulos. SiM es un m´odulo, entonces la ret´ıcula L(M) de subm´odulos de M es superiormente continua, por la Proposici´on 1.57, L(M) es pseudo-complementada.

Ejemplo 1.66. Ret´ıculas distributivas. SiL es una ret´ıcula distributiva, entonces un elemento a ₂ L tiene a los m´as un pseudo-complemento en L. En efecto, sean b, c ₂ L pseudo-complementos de a, entonces a_^ b = 0 y a^c = 0. De ah´ı que a^(b_c) = (a^b)_(a^c) = 0_0 = 0. Dado que b _ b_{_}c y c_ b_{_}c, por ser b m´aximo, b =b_{_}c. An´alogamene c =b_{_}c. Por lo tanto b=c.

Definici´on 1.67. Una ret´ıcula L pseudo-complementada y distributiva es llamada ret´ıcula Brouwer.

1.6.

Operadores Cerradura

Definici´on 1.68. Sea L una ret´ıcula completa. Un operador cerradura en L es una funci´on :L_!L, denotado por (a) = ac_{, tal que:}

Cl1) a_b implica ac _bc_;

Cl2) a_ac_;

Cl3) (ac₎c _=ac

Definici´on 1.69. Un elemento a2L es cerrado bajo , si a=ac_.

Proposici´on 1.70. Los elementos cerrados forman una ret´ıcula completa Lc_.

Demostraci´on. Si{ai}i2I es una familia de elementos cerrados, entonces para

todo i ₂ I, V_i2Iai  ai, lo cual implica (V_i2Iai)c  (ai)c = ai. De ah´ı que

(V_i2Iai)c  V_i2Iai. Por otro lado, de la definici´on de operador cerradura,

V

i2I ai  (Vi2I ai)c. Por tanto Vi2Iai = (Vi2I ai)c. Esto nos dice que V es

el ´ınfimo en Lc_{. Por la Proposici´on 1.12, concluimos que L}c _{es una ret´ıcula}

completa.

Observaci´on 1.71. En generalLc _{no es una subret´ıcula deL. El ´ınfimo en}

Lc _{es la mismo que en L, pero el supremo} W

i2Iai en Lc esta dado por:

W

i2Iai = (Wi2Iai)c.

1.6 Operadores Cerradura 29

Demostraci´on. Dado que para todai2I se cumple queai Wi2Iai, se sigue

que ai = (ai)c (Wi2Iai)c. Por lo que (Wi2I ai)c es cota superior de {ai}i2I.

Por definici´on de operador cerradura, tenemos que [(W_i2Iai)c]c = (W_i2Iai)c.

Sea x2Lc _{cota superior de {ai}i}

2I, entonces x2L. De ah´ı queWi2Iai x.

Luego (W_i2Iai)c xc =x.

Lo anterior nos dice que los elementos cerrados forman un sistema cerrado en L, en el sentido del Ejemplo 1.17. Rec´ıprocamente:

Observaci´on 1.72. Si S es un sistema cerrado en L, entonces uno obtiene un operador cerradura, definiendo:

ac _{=inf{s2S |as}.}

En efecto, sea a₂L. Notar que ac _{2S, ya que S es cerrado bajo ´ınfimos.}

1. Sean a, b2L tales que a  b, entonces para todo s 2 S tal que b  s, tenemos que as. Esto implica que inf{t2S |a t}inf{s2S |

b _s_}, es decir ac _bc_.

2. Si a2S, entonces inf{s2S |as}=a, es decir, ac _=a.

Si a /2S, entonces a < inf{s2S |as}, es decir, a < ac_.

Por lo tanto a_ac_.

3. Dado que ac _{2S, entonces (a}c₎c _=ac_.

De esta manera uno obtiene una correspondencia biyectiva entre opera-dores cerradura y sistemas cerrados.

Un operador cerradura puede satisfacer uno de los siguientes axiomas adicionales:

Cl4) (a_b)c _=ac_{_b}c

Cl5) (a_^b)c _=ac_^bc

Observaci´on 1.73. Cuando se satisface Cl4), Lc _{es una subret´ıcula de L.}

Demostraci´on. Sean a.b, c elementos cerrados en L, con ab. Entonces: (a_{_}c)_^b= (a_{_}c)c_^b

= (a_{_}c)c_^bc = [(a_{_}c)_^b]c = [a_{_}(c_^b)]c

=a_(c^b).

Un resultado similar se cumple para la distributividad.

Proposici´on 1.75. Si L es una ret´ıcula distributiva completa con un opera-dor cerradura que satisface Cl5), entonces Lc _{es distributiva.}

Demostraci´on. Sean a, b, c elementos cerrados en L con a_b. Entonces: a^(b_c) =a^(b_c)c

=ac^(b_c)c = [a^(b_c)]c = [(a_^b)_{_}(a_^c)]c = (a_^b)_{_}(a_^c).

Definici´on 1.76. Un operador cerradura es llamado finitario, si para cada subconjunto dirigido D de L se cumple:

W

d2Ddc = (

W

d2Dd)c.

Es decir, si cada supremo dirigido de elementos cerrados es un elemento cerrado. Dado que esto implica que los supremos dirigidos en Lc _{son los}

mismos que en L, se sigue que:

Proposici´on 1.77. SiL es una ret´ıcula superiormente continua con un ope-rador cerradura finitario, entonces Lc _{es superiormente continua.}

1.6 Operadores Cerradura 31

a^(_

d2Dd) =a^(

_

d2D

d)c

=a_^(_

d2D

dc)

=a^(_

d2D

d)

= _

d2D

(a_^d)

= _

d2D

[(a^d)c] = [_

d2D

(a_^d)]c

=_

d2D(a^d).

Observaci´on 1.78. Si Les una ret´ıcula completa con un operador cerradura que satisface Cl4), Lc _{no necesariamente es una subret´ıcula completa de L.}

Demostraci´on. Consideremos el espacio topol´ogico (R,⌧e), donde ⌧e es la

topolog´ıa euclideana en R. Sea : P(R) _! P(R) definido por (A) = Cl_R(A). Entonces es un operador cerradura que satisface Cl4). En efecto:

1. SeaA ✓R, entoncesA⇢Cl_R(A).

2. Si A_✓B _⇢R, entonces Cl_R(A)_⇢Cl_R(B). 3. Para todoA ✓R,Cl_R(Cl_R(A)) =Cl_R(A).

4. SeanA, B _✓R, entonces Cl_R(A_[B) =Cl_R(A)_[Cl_R(B).

Ahora bien, consideremos = _{[1/n,₁)_}n2N, entonces es una familia de elementos cerrados en (R,⌧e) y es tal que S = (0,1) el cual no es cerrado

en (R,⌧e).

Proposici´on 1.79. Sea un operador cerradura finitario en una ret´ıcula compactamente generada L. Un elemento a es compacto en Lc _{si y s´olo si}

Demostraci´on. Supongamos que a es compacto en Lc_{. Dado que L}c _{✓ L}

y como L es compactamente generada, entonces a = W_d2Dd, para alg´un subconjunto dirigidoDdeL, donde cadades compacto. Como es finitario, a = ac _{= (}W

d2Dd)c =

W

d2Ddc. As´ı que a =

W

d2Ddc, donde {dc | d 2 D}

es un subconjunto dirigido de Lc_{. Dado que L compactamente generada,}

por la Proposici´on 1.44, L es superiormente continua y por la Proposici´on 1.77, Lc _{es superiormente continua. Dado que a es compacto en L}c_{, existe}

d0c 2{dc |d2D} tal que a=d0c, con d0 compacto enL.

Rec´ıprocamente, si a = bc_{, para alg´un b compacto en L y b}c _ W d2Dd

para alg´un subconjunto dirigido D de Lc_{. Como L}c _{✓L y b es compacto en}

L, entonces existed0 2 D tal que b d0. De ah´ı que bc  d0c =d0, esto es, a_d0. Por tanto a es compacto en Lc_.

Corolario 1.80. Si es un operador cerradura finitario en una ret´ıcula L compactamente generada, entonces Lc _{es compactamente generada.}

1.7.

Conexiones de Galois

Definici´on 1.81. Sean L y L0 _{ret´ıculas completas. Una conexi´on de Galois}

entre L y L0 _{es un par de funciones :L!L}0 _{y ⌧ :L}0 _{!L que satisfacen:}

1. Si x1, x2 ₂L son tales que x1 _x2, entonces (x2)_ (x1); 2. Si y1, y2 ₂L0 _{son tales quey1 y2, entonces ⌧(y2)⌧(y1);}

3. Para todo x₂L, x_⌧ (x) y para todo y₂L0_{, y ⌧(y).}

Sea x ₂ L, aplicando la condici´on 3. a y = (x) obtenemos que (x) _

⌧ (x). Adem´as, nuevamente por la condici´on 3, x  ⌧ (x). Luego, apli-cando 1. obtenemos que ⌧ (x) _ (x). De manera que para todo x ₂ L,

(x) = ⌧ (x). Dualmente, para todo y₂L0_{, ⌧(y) =⌧ ⌧(y).}

Observaci´on 1.82. Las funciones⌧ :L_!Ly ⌧ :L0 _!L0 _{son operadores}

cerradura en L y L0, respectivamente.

Demostraci´on. 1. Seax2L, por la condici´on 3.,x⌧ (x).

2. Sean x1, x2 2 L tales que x1  x2, entonces (x2)  (x1). Luego,