Teoría y ejercicios de Derivadas

(1)

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

s = B + m v r = A + l u

B

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Derivadas

Fco Javier Gonz´alez Ortiz

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Tabla de Contenido

1. Introducci´on

1.1.El problema de la tangente

•Idea intuitiva de la reta tangente•Ecuaci´on de la reta tangente

2. Definici´on de derivada en un punto

• Derivabilidad y continuidad•Derivadas laterales

3. Derivada en un intervalo 3.1.Funci´on Derivada 4. Reglas de Derivaci´on

• Derivada de una constante• Derivada de la potencia•Regla de

la suma • Regla del producto • Regla del cociente • Regla de la

cadena

5. Derivadas de las funciones trascendentes

• Trigonom´etricas• Exponenciales •Logar´ıtmos •Derivadas

Log-ar´ıtmicas

6. Regla de la inversa

• Derivadas de Arcos trigonom´etricos

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Secci´on 1: Introducci´on 3

1. Introducci´on

Los cient´ıficos de los ´ultimos a˜nos del siglo XVII dedicaron gran parte de

su tiempo y energ´ıa a resolver el problema de la tangente que tiene relaci´on

en cuestiones como las siguientes:

En óptica, el ángulo con el que un rayo de luz incide en una superficie de una lente está definida en términos de la tangente a la superficie.

En f´ısica, la direcci´on de un cuerpo en movimiento en un punto de su

recorrido es la de la tangente en ese punto.

En geometr´ıa, al ´angulo entre dos curvas que intersecan es el ´angulo

entre las tangentes en el punto de intersecci´on.

¿Cómo encontraremos la ecuación de la tangente? Usaremos el método

ya desarrollado por Fermat en 1629.

El concepto de derivada es el fundamento del C´alculo. La definici´on de

deriva-da puede aborderiva-darse de dos formas. Una es geom´etrica (como la pendiente de

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1.1. El problema de la tangente

•

Idea intuitiva de la reta tangente

Se llama tangente a una curva en un punto, a la recta que pasa por el

punto con la misma direcci´on que la curva.

¿Puede la recta tangente cortar a la curva en m´as de un punto?.

¿Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?.

A

I

Las figuras muestran la respuesta afirmativa a ambas preguntas.

A continuaci´on veremos como se determina la pendiente de la recta

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•

Ecuaci´on de la reta tangente

Dada una funcióny=f(x) y un puntoA(a, f(a)) del grafo de la función se trata de determinar la pendiente de larecta tangenteal grafo de la función

en el puntoA. Consideremos la recta secante desdeAaB. Siendo los puntos

A(a, f(a)) y B(a+h, f(a+h)),

la secanteABtiene pendiente

m=4f

h =

f(a+h)−f(a)

h

A medida que h → 0, B → A, y

definimos la pendiente de la

tan-gente mtan como

mtan= lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h

A

B

f

(

x

)

a

+

h

a

0 ←

h

∆

f

Esta pendiente la escribiremos como f0(a) quedando la ecuaci´on de la

tan-gente de la forma

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Secci´on 2: Definici´on de derivada en un punto 6

2. Definici´on de derivada en un punto

Definici´on 2.1 Seaf una funci´on ya∈Dom(f). Definimos derivada def

en x=aal siguiente l´ımite cuando existe y es finito

f0(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h (2)

Observaciones:

Cuando dicho l´ımite sea infinito se dice que la funci´on no es derivable, aunque tiene derivada infinita. (Gr´aficamente significa que la recta tan-gente en ese punto es vertical).

Para que la derivada exista, la funci´on tiene que estar definida en un

entorno del punto.

Observar que la definición de derivada coincide con la definición de pen-diente de la recta tangente y, con la definición de variación instantánea

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Ejemplo 2.1.Hallar enx= 2 la tangente a la curvaf(x) =x2.

Soluci´on: El punto de la curva en x = 2 =⇒ f(2) = 22 = 4, A(2,4). La pendiente de la tangente es

f0(2) = lim

h→0

f(2 +h)−f(2)

h = limh→0

(2 +h)2−4

h

= lim

h→0

4 + 4h+h2−4

h = limh→0(4 +h) = 4

Siendo la recta tangente

y−4 = 4(x−2)

Ejemplo 2.2.Hallar enx= 1 la tangente a la curvaf(x) = 1

x.

Soluci´on: El punto de la curva en x = 1 =⇒ f(1) = 1

1 = 1, A(1,1). La

pendiente de la tangente es

f0(1) = lim

h→0

f(1 +h)−f(1)

h = limh→0

1 1+h−1

h

= lim

h→0

−h

(1 +h)h = limh→0

−1

1 +h =−1

Siendo la recta tangente

y−1 =−(x−1)

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•

Derivabilidad y continuidad

En el cap´ıtulo anterior se estudió la continuidad de las funciones. La deri-vabilidad de una función es una propiedad más((fuerte)) que la continuidad, ya que no todas las funciones continuas tienen tangente en un punto.

En al figura se representan dos funciones f(x) y g(x). En el punto x = 2

dichas funciones no son derivables y no tienen tangente en dicho punto. En

f(x) por no ser continua y eng(x) porque cambia la pendiente((bruscamente)) en dicho punto.

1 2 3

1 2

3 f(x)

1 2 3

1 2

3 g(x)

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•

Derivadas laterales

Definici´on 2.2 Seaf una funci´on ya∈Dom(f)decimos quef es derivable en x=acuando

lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h existe

y en este caso, definimos la derivada enx=a,f0(a) como

f

0

(

a

) = lim

h→0

f

(

a

+

h

)

−

f

(

a

)

h

(3)

En los ejemplos anteriores hemos calculado la pendiente de la tangente a una función con esta definición. Puede ocurrir que dicha pendiente no esté definida ya que el l´ımite anterior no siempre existe y los l´ımites laterales pueden ser distintos, lo que nos lleva a considerar los limites por la izquierda y por la derecha.

Definici´on 2.3 Seaf una funci´on ya∈Dom(f)

1. Definimos la derivada por la izquierda de f ena cuando

f0(a−) = lim

h→0−

f(a+h)−f(a)

h existe (4)

2. Definimos la derivada por la derecha de f en acuando

f0(a+) = lim

h→0+

f(a+h)−f(a)

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Teorema 2.2.Seaf una funci´on definida en un intervalo abierto conteniendo ax, entoncesf0(x) existe si y solo si existen las derivadas lateralesf0(x−) y

f0(x+) y son iguales. En este caso

f0(x) =f0(x−) =f0(x+)

Demostraci´on: Se deduce de la propia definici´on de l´ımite, ya que para que

un l´ımite exista deben existir los l´ımites laterales y ser iguales.

Ejemplo 2.3.¿Es derivablef(x) =|x| enx= 0 ?.

Soluci´on: Siendof(x) =|x|=

−x ≤0

x >0

f0(0−) = lim

h→0−

f(0 +h)−f(0)

h =

= lim

h→0− −h

h =−1

f0(0+) = lim

h→0+

f(0 +h)−f(0)

h =

= lim

h→0+

h h = 1

Como f0(0−) 6= f0(0+) la funci´on no es

derivable enx= 0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y=|x|

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Ejemplo 2.4.Analizar gr´afica y anal´ıticamente la derivada enx= 0 def(x):

f(x) =

(x+ 2)2 x <0

−x2+ 4 0≤x

Soluci´on: Hallamos las derivadas lateralesf0(0−)yf0(0+)

f0(0−) = lim

h→0−

f(0 +h)−f(0)

h =

= lim

h→0−

(h+ 2)2−4

h

= lim

h→0−

h2_{+ 4}_h

h =4

f0(0+) = lim

h→0+

f(0 +h)−f(0)

h =

= lim

h→0+

(−h2_{+ 4)}₋₄

h

= lim

h→0+(−h) =0

-3 -2 -1 0 1 2 3 1

2 3 4 5

−x2_{+ 4} (x+ 2)2

Comof0(0−)6=f0(0+) la funci´on no es derivable enx= 0.

En el gr´afico se aprecia que la funci´on es continua pero no es derivable.. En

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Ejercicio 1.Estudiar la derivabilidad def(x) =x− |1−x|enx= 1.

Ejercicio 2.Dada la funci´on:

f(x) =

x2+ 4 x≥0 (x+ 2)2 x <0

¿Es derivable enx= 0 ?.

Ejercicio 3.Hallaraybpara quef(x) sea una funci´on derivable en x= 0

f(x) =

a(1 +ex) x <0

b+ln(x+ 1) x≥0

Ejercicio 4.Probar quef(x) es derivable enx= 1

f(x) =

 

 √

x 0< x≤1

1 +x

2 1≤x

Ejercicio 5.Hallaraybpara quef(x) sea una funci´on derivable en x= 0

f(x) =

Ln(a+ senx) x <0

x3+ax+b x≥0

Ejercicio 6.Calcularlos valores deaycpara quef(x)

f(x) =

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Secci´on 3: Derivada en un intervalo 13

sea derivable en x = 1, y en ese caso dar la ecuaci´on de la tangente a la

gr´afica enx= 1.

Ejercicio 7.Hallarapara quef(x) sea una funci´on derivable

f(x) =

(

xlnx 0< x≤1

a(1−e1−x) 1≤x

Ejercicio 8.Dada la funci´on

f(x) =x2sen 1 x

si definimosf(0) = 0 demostrar que es derivable enx= 0 .

Test.Sif(x) es continua enx=aentonces es derivable.

(a)Si (b)No

Test.Sif(x) es derivable enx=aentonces es continua.

(a)Si (b)No

3. Derivada en un intervalo

Definici´on 3.1 Seg´un sea el intervalo se tiene

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Secci´on 3: Derivada en un intervalo 14

Sea f una funci´on y el intervalo cerrado[a, b], decimos quef es deriv-able en[a, b]cuando es derivable en todo punto de(a, b)y existenf0(a+)

y f0(b−).

3.1. Funci´on Derivada

Definici´on 3.2 Seafuna funci´on. Si calculamos la derivada def en cualquier

xque se cumpla

f0(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h existe

hemos definido lafunci´on derivadaf0(x)de la funci´on f.

En general se tiene queDom(f0)_jDom(f)

Ejercicio 9. Sea la funci´on f(x) = √x. Demuestra con la definici´on de derivada que

f0(x) = 1

2√x

y comprobar queDom(f0)_jDom(f).

A continuaci´on vamos a obtener las reglas de derivaci´on de las funciones

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Secci´on 4: Reglas de Derivaci´on 15

4. Reglas de Derivaci´on

•

Derivada de una constante

Teorema 4.1.Sea f una funci´on constantef(x) =c ∀x∈R, siendo cun n´umero real, entonces

f0(x) = 0 ∀x∈R

•

Derivada de la potencia

Teorema 4.2. (Regla de la potencia) Consideremos la funci´on f(x) = xn,

para alg´un n´umero naturaln∈N. Entonces

f0(x) =nxn−1 x∈R (6)

Nota al Teorema. La regla anterior se extiende y funciona cuando el

ex-ponente es cualquiern´umero real.

Ejemplo 4.1.Hallar las derivadas de

f(x) =x6 g(x) =x−5 h(x) =x5/3

Soluci´on:f0(x) = 6x5 g0(x) =−5x−6 h0(x) = 5 3x

2/3

Ejercicio 10.Calcular las derivadas.

a) f(x) = 2x13 b) f(x) =√x3

c) f(x) = 5

√

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•

Regla de la suma

Teorema 4.3.(Derivada de la suma) Sean las funcionesu=f(x) yv=g(x). Entonces

[f(x) +g(x)]0=f0(x) +g0(x) (7)

[

u

+

v

]

0

=

u

0

+

v

0 (8)

f(x) =x3+x4 g(x) =x2−x−3

Soluci´on:

f0(x) = 3x2+ 4x3 g0(x) = 2x+ 3x−4

a) f(x) = 3x2−5x−3 b) f(x) =x2−3, x5

c) f(x) =x10+x−10 d) f(x) =x−√3

x5

e) f(x) =x8+x8,003 f) f(x) =

√

(17)

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•

Regla del producto

Teorema 4.4. (Derivada del producto) Sean las funciones u=f(x) y v =

g(x). Entonces

[f(x)g(x)]0 =f0(x)g(x) +f(x)g0(x) (9)

[

u

· v

]

0

=

u

0

· v

+

u

· v

0 (10)

Ejemplo 4.3.Hallar la derivada del producto

f(x) = (x3+x4)(x2−x−3)

Soluci´on:

f0(x) = (3x2+ 4x3)·(x2−x−3) + (x3+x4)·(2x+ 3x−4)

a) f(x) = (x2+ 10)(1−x2) b) f(x) = (x+x2+ 1)·(1 +x)

c) f(x) = (x10+ 1)(1−x) d) f(x) = (x2−2x)·(1−x2)

e) f(x) = (x2+x3)·(3 +x) f) f(x) = (

√

(18)

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•

Regla del cociente

Teorema 4.5.(Derivada del cociente) Seanu=f(x) yv=g(x)

_f₍_x₎

g(x)

0

= f

0₍_x₎_g₍_x₎₋_f₍_x₎_g0₍_x₎

g(x)2 (11)

u

v

0

=

u

0

_·

_v

₋

_u

_·

_v

0

v

2 (12)

Ejemplo 4.4.Hallar la derivada del cocientef(x) = x

3₊_x4

x2₋_x−3

Soluci´on:

f0(x) = (3x

2_{+ 4}_x3₎₍_x2₋_x−3₎₋₍_x3₊_x4₎₍₂_x_{+ 3}_x−4₎

(x2₋_x−3₎2

a) f(x) = 1

x b) f(x) =

x2+ 1

x

c) f(x) =x

10_{+ 1}

1−x d) f(x) =

x2₊_x

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•

Regla de la cadena

Teorema 4.6.(Regla de la cadena) Sea las funciones y=f(u) yu=g(x).

Supongamos queges derivable enxyf es derivable enu, entonces la funci´on

compuestaf◦g es derivable enxy su derivada es

(

f

◦

g

)

0

(

x

) =

f

0

(

g

(

x

))

g

0

(

x

)

(13)

f(x) = (2x+x2+ 5)3 g(x) = (2−x12)6

Soluci´on:

f0(x) = 3(2x+x2+ 5)2(2 + 2x)

g0(x) = 6(2−x12)5(−12x11)

a) f(x) = (1 + 2x)3 b) f(x) = (x+x2)3

c) f(x) = (x10+ 1)2 d) f(x) = (2x3+x)3

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Secci´on 5: Derivadas de las funciones trascendentes 20

5. Derivadas de las funciones trascendentes

•

Trigonom´etricas

Teorema 14.Las derivadas trigonom´etricas elementales son:

(a) (senx)0 = cosx (b) (cosx)0=−senx (c) (tanx)0 = 1

cos2_x

f(x) = sen 6x g(x) = cos(1 +x2) h(x) = tanx3

Soluci´on: Del teorema y aplicando la regla de la cadena se tiene

f0(x) = 6 cos 6x g0(x) =−2xsen(1 +x2) h0(x) = 3x

2

cos2_x3

a) f(x) = sen(3x+ 1) b) f(x) = sen(x3+ 1)

c) f(x) = sen3(x2+ 1) d) f(x) = cos( x

1−x)

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•

Exponenciales

Teorema 15.Las derivadas de la funci´on exponencial son:

(a)

(

e

x

)

0

=

e

x

(b)

(

a

x

)

0

=

a

x

ln

a

(0

< a

6 = 1)

f(x) =e6x g(x) =e1+x2 h(x) = 6senx

Soluci´on: Del teorema y aplicando la regla de la cadena se tiene

f0(x) = 6e6x g0(x) = 2x e1+x2 h0(x) = 6senxln 6 cosx

a) f(x) =e−5x+4x2 b) f(x) =exsenx

c) f(x) =e1−sen2x d) f(x) = 2tan 3x

e) f(x) =

3 5

x2+3x

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•

Logar´ıtmos

Teorema 16.Las derivadas de la funci´on logar´ıtmica son:

(a)

(lnx)0= 1

x (14)

(b)

(log_ax)0= 1

xlna (15)

f(x) = ln(5x−x2) g(x) = ln(5−senx) h(x) = log₃(x2+ex) Del teorema y aplicando la regla de la cadena se tiene

f0(x) = 5−2x

5x−x2 g

0₍_x_{) =} −cosx

5−senx h

0₍_x_{) =} 1 ln 3

2x+ex x2₊_ex

a) f(x) = ln(x+√x+ 1) b) f(x) = ln(x2+ senx)

c) f(x) = ln(x2 senx) d) f(x) = ln2(1 +ex)

e) f(x) = ln2(1 + lnx) f) f(x) = log₅( 1

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•

Derivadas Logar´ıtmicas

Dada una funci´on y =f(x), la derivaci´on logar´ıtmica consiste en tomar

logaritmos en los dos miembros de la igualdad y derivar, despu´es de

simpli-ficar. La derivaci´on logar´ıtmica se aplica:

Para derivar funciones del tipo y=f(x)g(x).

Para simplificar la derivaci´on de productos y cocientes.

Ejemplo 5.4.Derivar y=xsenx.

Soluci´on: Tomando ln y derivando en ambos miembros resulta:

lny= lnxsenx=⇒lny= senx·lnx y0

y = cosx·lnx+

senx

x

y se despejay0,

y0=xsenxcosx·lnx+senx

x

Ejemplo 5.5.Derivar y= cosxx.

Soluci´on: lny= ln cosxx=⇒lny=x·ln cosx

y0= cosxxln cosx−xsenx

cosx

(24)

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Secci´on 6: Regla de la inversa 24

6. Regla de la inversa

Teorema 6.1.(Regla de la inversa) Sea la funci´onf(x) y su inversaf−1(x).

f

−1

(

x

)

0

=

1 f

0

₍

_f

−1

₍

_x

₎₎

(16)

Ejemplo 6.1.Hallar la derivada de la inversa def(x) =x2.

Soluci´on: Como

f−1(x) =√x x≥0 De la ecuaci´on (16),

(√x)0 = 1

2(f−1₍_x₎₎=

1 2√x

Ejemplo 6.2.Hallar la derivada de la inversa def(x) =ex.

Soluci´on: Como

f−1(x) = lnx

(lnx)0 = 1

ef−1₍_x₎ =

1

elnx =

1

x

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•

Derivadas de Arcos trigonom´etricos

Teorema 17.Las derivadas de los arcos trigonom´etricos son:

(a)(arc senx)0= √ 1

1−x2.

(b)(arc cosx)0= √−1

1−x2.

(c) (arctanx)0= 1

1 +x2.

f(x) = arc sen 6x g(x) = arctanx3

Soluci´on:

f0(x) = _p 6

1−(6x)2 g

0₍_x_{) =} 3x2 1 + (x3₎2

a) f(x) = arc sen(−x) b) f(x) = arctan(x2)

c) f(x) = arc sen(lnx+x) d) f(x) = arc cos(1−x)

(26)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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a) f(x) = ln2(1 + cosx)3 b) f(x) = senx(1 + cosx)3

c) f(x) =e1−senx d) f(x) = 8x−lnx

a) f(x) = ln(1−√x)2 b) f(x) = ln

r

1 + tanx

1−tanx

a) f(x) =x2·arctanx−1/2 b) f(x) =xx

a) f(x) = (tanx)senx b) f(x) =ex·√x_x

Ejercicio 23.Hallaraybpara quef(x) sea una funci´on derivable enx= 1

f(x) =

x3−1 x≤1

a x+b 1< x

Ejercicio 24.Dada la funci´on

f(s) =

( x

ex₋₁ x6= 0

1 x= 0

¿Es continua en x = 0? ¿Es derivable en x = 0? ¿Es continua la funci´on

(27)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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ad

a

s

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Soluciones a los Ejercicios 27

Soluciones a los Ejercicios

Prueba del Teorema 2.1. Veamos que la derivabilidad implica la con-tinuidad.

f0(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h existe

multiplicando porh

lim

h→0h·f

0₍_a_{) = lim}

h→0h·hlim→0

f(a+h)−f(a)

h

lim

h→0h·f

0₍_a_{) = lim}

h→0(f(a+h)−f(a))

0 = lim

h→0(f(a+h)−f(a))

lim

h→0f(a+h) =f(a) =⇒f(x) continua enx=a

(28)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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ad

a

s

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Ejercicio 1.Siendof(x) =x− |1−x|=

2x−1 ≤1

1 >1

f0(1−) = lim

h→0−

f(1 +h)−f(1)

h =

= lim

h→0−

2(1 +h)−1−1

h = 2

f0(1+) = lim

h→0+

f(1 +h)−f(1)

h =

= lim

h→0+

1−1

h = 0

(29)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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Ejercicio 2.Siendo

f(x) =

x2+ 4 x≥0 (x+ 2)2 x <0

f0(0−) = lim

h→0−

f(0 +h)−f(0)

h =

= lim

h→0−

(h+ 2)2₋₄

h = limh→0−

h2_{+ 4}_h

h = 4

f0(0+) = lim

h→0+

f(0 +h)−f(0)

h =

= lim

h→0+

(h2+ 4)−4

h = 0

(30)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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ad

a

s

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Ejercicio 3.Siendo

f(x) =

a(1 +ex) x <0

b+ ln(x+ 1) x≥0

Para que sea continua enx= 0

f(0−) = 2a=f(0+) =b=⇒2a=b

Para que sea derivable enx= 0.

f0(0−) = lim

h→0−

f(0 +h)−f(0)

h =

= lim

h→0−

(a(1 +eh₎₋₂_a h

(1)

= lim

h→0− a h

h =a

f0(0+) = lim

h→0+

f(0 +h)−f(0)

h =

= lim

h→0+

b+ ln(h+ 1)−b h

(2)

= lim

h→0+

h h = 1

f0(0−) =a=f0(0+) = 1 =⇒ a= 1 Sustituyendo en la ecuaci´on 2a=b, se tiene b= 2

(31)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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ad

a

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Ejercicio 4.

f(x) =

 

 √

x 0< x≤1

1 +x

2 1≤x

f0(1−) = lim

h→0−

f(1 +h)−f(1)

h = limh→0−

√

1 +h−1

h

(1)

= lim

h→0−

h

(√1 +h+ 1)h = 1/2

f0(1+) = lim

h→0+

f(1 +h)−f(1)

h = limh→0+

2+h

2 −1

h

= lim

h→0+

h

2h = 1/2

f0(1−) =f0(1+) =⇒ es derivable enx= 1

(32)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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ad

a

s

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Ejercicio 5.Siendo

f(x) =

ln(a+ senx) x <0

x3+ax+b x≥0

f(0−) = lna=f(0+) =b=⇒lna=b

f0(0−) = lim

h→0−

f(0 +h)−f(0)

h = limh→0−

ln(a+ senh)−b h

= lim

h→0−

ln(a+ senh)−lna

h = limh→0−

ln(1 +senh a ) h

= lim

h→0−

senh a

h = limh→0−

1

a

senh

h =

1

a

f0(0+) = lim

h→0+

f(0 +h)−f(0)

h = limh→0+

(h3₊_ah₊_b₎₋_b

h =a

Igualando f0(0−) =f0(0+) se tiene que 1

a =a=⇒a =±1. Comob = lna

se descarta a = −1, luego para que f sea derivable en x = 0, a= 1 y

(33)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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a

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Ejercicio 6.Siendo

f(x) =

ax2+c x≤1 lnx 1< x

Debe ser continua enx= 1, luegof(1−) =a+c=f(1+) = 0 =⇒ c=−a.

f0(1−) = lim

h→0−

f(1 +h)−f(1)

h =

= lim

h→0−

a(1 +h)2+c−0

h = limh→0−

2ah+h2 h = 2a

f0(1+) = lim

h→0+

f(1 +h)−f(1)

h = limh→0+

ln(1 +h)−0

h

(1)

= lim

h→0+

h h= 1

En (1) hemos usado infinit´esimos ln(1 +α(x))∼α(x).

Para que sea derivable enx= 1,

f0(1−) = 2a=f0(1+) = 1 =⇒ a= 1 2

Siendo f(1) = 0 y f0(1) = 1, la ecuaci´on de la recta tangente enx= 1 es

y=x−1

(34)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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a

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Ejercicio 7.

f(x) =

(

xlnx 0< x≤1

a(1−e1−x) 1≤x

f0(1−) = lim

h→0−

f(1 +h)−f(1)

h = limh→0−

(1 +h) ln(1 +h)−0

h

(1)

= lim

h→0−

(1 +h)h

h = 1

f0(1+) = lim

h→0+

f(1 +h)−f(1)

h = limh→0+

a(1−e−h₎ h

(2)

= lim

h→0+

ah h =a

f0(1−) =f0(1+) =⇒ a= 1

(35)

s = B + m v r = A + l u

B

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Ejercicio 8.Siendo

f(x) =x2sen 1 x

f0(0) = lim

h→0

f(0 +h)−f(0)

h = limh→0

h2_sen 1

h−0 h

= lim

h→0

h2_sen 1

h

h = limh→0h sen

1

h

(1)

= 0

(36)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Ejercicio 9.

f0(x) = lim

h→0−

f(x+h)−f(x)

h = limh→0−

√

x+h−√x

h =

0 0

(1)

= lim

h→0− √

x+h−√x

h ·

√

x+h+√x

√

x+h+√x

= lim

h→0−

h

h√x+h+√x

= lim

h→0−

1

√

x+h+√x =

1 2√x

luego

f(x) =√x=⇒f0(x) = 1 2√x

Se tiene que Dom(f) = [0,+∞) y f0(0) no existe, luego el Dom(f0) =

(0,+∞)_jDom(f) = [0,+∞)

(37)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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ad

a

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Soluciones a los Teoremas 37

Prueba del Teorema 4.1.Seaf una funci´on constantef(x) =c ∀x∈R

f0(x) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h

= lim

h→0

c−c h = 0

(38)

s = B + m v r = A + l u

B

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Prueba del Teorema 4.2.Seaf(x) =xn conn∈N. Se tiene que

f0(x)(x+h) = (x+h)n=

= xn+nxn−1h+h2{ polinomio enh}

En la diferencia def(x+h)−f(x) se eliminaxn y queda

f(x+h)−f(x) =nxn−1h+h2{ polinomio enh}

luego en la expresi´on

f(x+h)−f(x)

h =nx

n−1₊_h_{ _{polinomio en}_h_}

al ser la derivada f0(x) el l´ımite de esta expresi´on cuando h→ 0, como el segundo sumando

lim

h→0h{ polinomio enh}= 0

f0(x) =nxn−1

(39)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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a

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Ejercicio 10.

a) Sif(x) = 2x13,

f0(x) = 26x12

b) f(x) =√x3₌_x3/2_{. Luego}

f0(x) = 3 2x

1/2

c) f(x) = 5

√

x7₌_x7/5_{. Luego}

f0(x) = 7 5x

2/5

d) f(x) = 2x−30. Luego

f0(x) =−60x−31

(40)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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Prueba del Teorema 4.3.Siendo (f+g)(x) =f(x) +g(x), se tiene que

(f+g)(x+h)−(f+g)(x)

h =

= f(x+h) +g(x+h)−f(x)−g(x)

h

= f(x+h)−f(x)

h

| {z }

(1)

+g(x+h)−g(x)

h

| {z }

(2)

Al pasar al l´ımite cuandoh→0,

(1) f(x+h)−f(x)

h −→f

0₍_x₎

(2) g(x+h)−g(x)

h −→g

0₍_x₎

obteni´endose

[f(x) +g(x)]0=f0(x) +g0(x)

(41)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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ad

a

s

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Ejercicio 11.

a) Sif(x) = 3x2−5x−3,

f0(x) = 6x+ 15x−4

b) Siendo f(x) =x2−3x5,

f0(x) = 2x−15x4

c) Sif(x) =x10+x−10,

f0(x) = 10x9−10x−11

d) Siendo f(x) =x−√3x5_,

f0(x) = 1−5

3x

2/3

e) Siendo f(x) =x8+x8,003,

f0(x) = 8x7+ 8,003x7,003

f) Siendo f(x) =

√

x3₊√5_x_,

f0(x) = 3 2x

1/2₊1

5x −4/5

(42)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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Prueba del Teorema 4.4.Siendo (f g)(x) =f(x)g(x), se tiene que

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)

h = introduciendog(x+h)f(x)

= f(x+h)g(x+h)−g(x+h)f(x) +g(x+h)f(x)−f(x)g(x)

h

= f(x+h)−f(x)

h g(x+h)

| {z }

(1)

+f(x)g(x+h)−g(x)

h

| {z }

(2)

(1) f(x+h)−f(x)

h g(x+h)−→f

0₍_x₎_g₍_x₎

(2) f(x)g(x+h)−g(x)

h −→f(x)g

0₍_x₎

obteni´endose

[f(x)g(x)]0 =f0(x)g(x) +f(x)g0(x)

(43)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Deriv

ad

a

s

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Ejercicio 12.

a) Sif(x) = (x2+ 10)(1−x2),

f0(x) = (2x)·(1−x2) + (x2+ 10)·(−2x)

b) Siendo f(x) = (x+x2+ 1)·(1 +x),

f0(x) = (1 + 2x)·(−2x) + (x+x2+ 1)·(−2)

c) Sif(x) = (x10+ 1)(1−x),

f0(x) = (10x9)·(1−x) + (x10+ 1)·(−1)

d) Siendo f(x) = (x2−2x)·(1−x2),

f0(x) = (2x−2)·(1−x2) + (x2−2x)·(−2x)

e) Siendo f(x) = (x2+x3)·(3 +x),

f0(x) = (2x+ 3x2)·(3 +x) + (x2+x3)·(1)

f) Siendo f(x) = (√x3₊_x₎_·₍_x₋√5_x_).

f0(x) = (3 2x

1/2_{+ 1)}_·₍_x₋√5_x_{) + (}√_x3₊_x₎_·₍₁₋1

5x −4/5₎

(44)

s = B + m v r = A + l u

B d CIENCIAS CIENCIAS

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ad

a

s

JJ II J I

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Prueba del Teorema 4.5.Siendo (f g)(x) =f(x)g(x), se tiene que

f(x+h)

g(x+h)−

f(x)

g(x)

h = (Coperando)

= f(x+h)g(x)−g(x+h)f(x)

hg(x+h)g(x) (Cintroduciendof(x)g(x))

= f(x+h)g(x)−g(x)f(x) +g(x)f(x)−g(x+h)f(x)

hg(x+h)g(x)

= f(x+h)−f(x)

h

g(x)

g(x+h)g(x)

| {z }

(1)

− f(x)

g(x+h)g(x)

g(x+h)−g(x)

h

| {z }

(2)

(1) f(x+h)−f(x)

h

g(x)

g(x+h)g(x) −→f

0₍_x₎g(x)

g(x)2

(2) f(x)

g(x+h)g(x)

g(x+h)−g(x)

h −→

f(x)

g(x)2g

0₍_x₎

obteni´endose la f´ormula para la derivada del cociente.

_f₍_x₎

g(x)

0

= f

0₍_x₎_g₍_x₎₋_f₍_x₎_g0₍_x₎

g(x)2

(45)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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a

s

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J I

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Ejercicio 13.

a) Sif(x) = 1

x,

f0(x) = (0)(x)−(1)

x2 =−

1

x2

b) Sif(x) = x

2_{+ 1}

x ,

f0(x) =(2x)(x)−(x

2_{+ 1)(1)}

x2 =

x2₋₁

x2

c) Sif(x) = x

10_{+ 1}

1−x ,

f0(x) = (10x

9₎₍₁₋_x₎₋₍_x10_{+ 1)(}₋₁₎

(1−x)2

d) Siendo f(x) =x

2₊_x

x+ 3 ,

f0(x) =(2x+ 1)(x+ 3)−(x

2₊_x₎₍₁₎

(x+ 3)2

(46)

s = B + m v r = A + l u

B

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a

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Prueba del Teorema 4.6.Siendo (f◦g)(x) =f(g(x)), y llamando a

4g=g(x+h)−g(x)

se tiene que

(f◦g)(x+h)−(f◦g)(x)

h =

f(g(x+h))−f(g(x))

h

= f(g(x) +4g)−f(g(x))

h

= f(g(x) +4g)−f(g(x))

4g

4g h =

= f(g(x) +4g)−f(g(x))

4g

| {z }

(1)

g(x+h)−g(x)

h

| {z }

(2)

(1) f(g(x) +4g)−f(g(x))

4g −→f

0₍_g₍_x₎

(2) g(x+h)−g(x)

h −→g

0₍_x₎

(47)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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a

s

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J I

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Ejercicio 14.

a) Sif(x) = (1 + 2x)3,

f0(x) = 3(1 + 2x)2(2)

b) Siendo f(x) = (x+x2)3,

f0(x) = 3(x+x2)2(1 + 2x)

c) Sif(x) = (x10+ 1)2,

f0(x) = 2(x10+ 1)(10x9)

d) Siendo f(x) = (2x3+x)3,

f0(x) = 3(2x3+x)2(6x2+ 1)

e) Sif(x) =f(x) =x2(2x3+x)3,

f0(x) = 2x(2x3+x)3+x23 (2x3+x)2(6x2+ 1)

f) Siendo f(x) = (1−x2)3(5 +x)5,

f0(x) = 3(1−x2)2(−2x)(5 +x)5+ (1−x2)35 (5 +x)4

(48)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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Teorema 14(a) Sea f(x) = senx

lim

h→0+

sen(x+h)−senx

h =

0

0 desarrollando

= lim

h→0

senxcosh+ cosxsenh−senx

h =

= senxlim

h→0

cosh−1

h + cosxhlim→0

senh

h =

= senxlim

h→0

cosh−1

h

| {z }

0

+ cosxlim

h→0

senh

h

| {z }

1

= cosx

(49)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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J I

JDoc Doc_I

Teorema 14(b) Sea f(x) = cosx

lim

h→0+

cos(x+h)−cosx

h =

0

0 desarrollando

= lim

h→0

cosxcosh−senxsenh−cosx

h =

= cosxlim

h→0

cosh−1

h −senxhlim→0

senh

h =

= cosxlim

h→0

cosh−1

h

| {z }

0

−senxlim

h→0

senh

h

| {z }

1

=−senx

(50)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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Teorema 14(c) Seaf(x) = tanx=senx

cosx. Aplicando la regla del cociente,

(tanx)0=senx cosx

0

= cosxcosx−senx(−senx) cos2_x

= cos

2_x_{+ sen}2_x

cos2_x

= 1

cos2_x

(51)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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MaTEX

Deriv

ad

a

s

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J I

JDoc Doc_I

Ejercicio 15.

a) Sif(x) = sen(3x+ 1).

f0(x) = 3 cos(3x+ 1)

b) Sif(x) = sen(x3+ 1).

f0(x) = 3x2 cos(x3+ 1)

c) Sif(x) = sen3(x2+ 1). Luego

f0(x) = 3 sen2(x2+ 1) cos(x2+ 1) (2x)

d) Sif(x) = cos( x 1−x).

f0(x) =−sen( x 1−x)

1 (1−x)2

e) Sif(x) = tan(1 + 2x2+x3),

f0(x) = 1

cos2_{(1 + 2}_x2₊_x3₎(4x+ 3x 2₎

f) Sif(x) = sec(1−x2) = 1

cos(1−x2₎

f0(x) = −sen(1−x

2_{) (}₋₂_x₎

cos2₍₁₋_x2₎

(52)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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MaTEX

Deriv

ad

a

s

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Teorema 15(a) Sea f(x) =ex

lim

h→0+

ex+h₋_ex

h =

0

0 desarrollando

= lim

h→0

ex_eh₋_ex

h =

= exlim

h→0

eh₋₁ h

| {z }

1

=ex

(53)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Deriv

ad

a

s

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J I

JDoc Doc_I

Teorema 15(b) Sea f(x) =axcon (a >1)

lim

h→0+

ax+h₋_ax

h =

0

0 /(desarrollando)

= lim

h→0

axah−ax

h = / (factor)

= axlim

h→0

ah₋₁

h / a

h₌_ehlna

= axlim

h→0

ehlna−1

h / e

α(x)_∼_{1 +}_α₍_x₎

= axlim

h→0

hlna

h / (simplificando)

= axlna

(54)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Deriv

ad

a

s

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Ejercicio 16.

a) Sif(x) =e−5x+4x2.

f0(x) =e−5x+4x2(−5 + 8x)

b) Sif(x) =exsenx.

f0(x) =exsenx(senx+xcosx)

c) Sif(x) =e1−sen2x. Luego

f0(x) =e1−sen2x(−2 senxcosx)

d) Sif(x) = 2tan 3x.

f0(x) = 2tan 3xln 2 3 cos2₃_x

e) Sif(x) =

3 5

x2+3x

,

f0(x) =

₃

5

x2+3x

(2x+ 3) ln3 5

f) Sif(x) =asenx+cosx

f0(x) =asenx+cosxlna(cosx−senx)

(55)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Deriv

ad

a

s

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Teorema 16(a) Sea f(x) = lnx

lim

h→0+

ln(x+h)−lnx

h =

0

0 / agrupando

= lim

h→0

lnx+_xh

h =

= lim

h→0

ln(1 +h

x)

h = / ln(1 +α(x))∼α(x)

= lim

h→0

h x h =

1

x

(56)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Deriv

ad

a

s

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Teorema 16(b) Seaf(x) = log_a x (a >1). Efectuando el cambio de base se tiene de forma directa que

log_a x= 1

lnalnx

(log_ax)0= 1

xlna (0< a6= 1)

(57)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Deriv

ad

a

s

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Ejercicio 17.

a) Sif(x) = ln(x+√x+ 1).

f0(x) = 1

x+√x+ 1(1 + 1 2√x)

b) Sif(x) = ln(x2+ senx) f0(x) = 1

x2_{+ sen}_x(2x+ cosx)

c) Sif(x) = ln(x2senx).

f0(x) = 1

x2 _sen_x(2xsenx+x 2_cos_x₎

d) Sif(x) = ln2(1 + lnx).

f0(x) = 2 ln(1 +ex) 1 1 +exe

x

e) Sif(x) = ln2(1 + lnx).

f0(x) = 2 ln(1 + lnx) 1 1 + lnx

1

x

f) Sif(x) = log5(

1 1 + senx).

f0(x) = 1 ln 5

1

1 1+senx

−cosx

(1 + senx)2 =−

1 ln 5

cosx

1 + senx

(58)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Deriv

ad

a

s

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Prueba del Teorema 6.1.Sea la funci´onf(x) y su inversag(x) =f−1(x). Teniendo en cuenta la identidad

(f ◦g)(x) =x

derivando con la regla de la cadena se tiene

f0(g(x))·g0(x) = 1 despejandog0(x)

g0(x) = 1

f0₍_g₍_x₎₎ luego

f−1(x)0

= 1

f0₍_f−1₍_x₎₎

(59)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Deriv

ad

a

s

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Teorema 17(a) Teniendo en cuenta la identidad

sen(arc senx) =x

cos(arc senx)·(arc senx)0= 1 (17)

Teniendo en cuenta que

cos(f) =p1−sen2_f

cos(arc senx) =p1−sen2_{(arc sen}_x_{) =}p₁₋_x2

y despejando en (17),

(arc senx)0 =√ 1

1−x2

(60)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Deriv

ad

a

s

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Teorema 17(b) Teniendo en cuenta la identidad

cos(arc cosx) =x

−sen(arc cosx)·(arc cosx)0 = 1 (18)

sen(f) =p1−cos2_f

sen(arc cosx) =p1−cos2_{(arc cos}_x_{) =}p₁₋_x2

(arc cosx)0= √−1

1−x2

(61)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Deriv

ad

a

s

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J I

JDoc Doc_I

Teorema 17(c) Teniendo en cuenta la identidad

tan(arctanx) =x

derivando con la regla de la cadena se tiene 1

cos2_(arctan_x₎·(arctanx)

0_{= 1} ₍₁₉₎

cos2(f) = 1

1 + tan2_f

cos2(arctanx) = 1

1 + tan2_(arctan_x₎ =

1 1 +x2

(arctanx)0= 1

1 +x2

(62)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Deriv

ad

a

s

JJ II

J I

JDoc Doc_I

Ejercicio 18.

a) Sif(x) = arc sen(−x) f0(x) =−_p 1

1−(−x)2

b) Sif(x) = arctan(x2) f0(x) =√ 2x

1 +x4

c) Sif(x) = arc sen(lnx+x).

f0(x) = _p 1

1−(lnx+x)2(

1

x+ 1)

d) Sif(x) = arc cos(1−x).

f0(x) =_p −1

1−(1−x)2(−1)

e) Sif(x) = arctan(senx).

f0(x) = 1

1 + (senx)2cosx

f) Sif(x) = arctan(lnx).

f0(x) = 1 1 + (lnx)2

1

x

(63)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

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Deriv

ad

a

s

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Ejercicio 19.

a) Sif(x) = ln2(1 + cosx)3.

f0(x) = 2 ln(1 + cosx)3 1

(1 + cosx)33(1 + cosx)

2₍₋_sen_x₎

=−6 ln(1 + cosx)3 senx

(1 + cosx)

b) Sif(x) = senx(1 + cosx)3.

f0(x) = cosx(1 + cosx)3+ senx3(1 + cosx)2(−senx)

c) Sif(x) =e1−senx.

f0(x) =−e1−senxcosx

d) Sif(x) = 8x−lnx.

f0(x) = 8x−lnx·ln 8·(1−1

x)

(64)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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Ejercicio 20.

a) Sif(x) = ln(1−√x)2.

f0(x) = 1

(1−√x)22(1−

√

x) −1 2√x

= −√ 1

x(1−√x)

b) Sif(x) = ln

r

1 + tanx

1−tanx.

f0(x) = _r 1

1 + tanx

1−tanx

· 1

2

r

1 + tanx

1−tanx

·

·sec

2_x₍₁₋_tan_x_{) + (1 + tan}_x_{) sec}2_x

(1−tanx)2

= 1−tanx

2(1 + tanx)·

2 sec2_x

(1−tanx)2

= sec

2_x

(1 + tanx)(1−tanx)

(65)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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Ejercicio 21.

a) Sif(x) =x2·arctanx−1/2.

f0(x) = 2x·arctan√1

x+x

2_· 1

1 + (_√1

x)

2 ·

−1

2 x

−3/2

= 2x·arctan√1

x−

1 2

√

x

1 + (√1

x)

2

b) Sif(x) =xx. Aplicando logaritmos

lnf(x) =xlnx

f0(x)

f(x) = lnx+x· 1

x

f0(x) = (lnx+ 1)·xx

(66)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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Ejercicio 22.

a) Sif(x) = (tanx)senx. Aplicando logaritmos lnf(x) = senxln tanx

f0(x)

f(x) = cosxln tanx+ senx sec2_x

tanx

f0₍_x₎

f(x) = cosxln tanx+ 1

cosx

f0(x) = (cosxln tanx+ 1

cosx)·(tanx)

senx

b) Sif(x) =ex·√x_x_{. Aplicando logaritmos}

lnf(x) =x+1

xlnx f0(x)

f(x) = 1− 1

x2 lnx+

1

x

1

x f0(x)

f(x) = 1− lnx

x2 +

1

x2

f0(x) = (1−lnx

x2 +

1

x2)·e

x_· √x_x

(67)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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Ejercicio 23.Siendo

f(x) =

x3−1 x≤1

a x+b 1< x

f(1−) = 0 =f(1+) =a+b=⇒a+b= 0

f0(x) =

3x2 x <1

a 1< x

f0(1−) = 3 =f0(1+) =a=⇒ a= 3

Sustituyendo en la ecuaci´ona+b= 0, se tiene b=−3

(68)

s = B + m v r = A + l u

B d CIENCIAS CIENCIAS

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Deriv

ad

a

s

JJ II J I

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Ejercicio 24.Siendo

f(x) =

( x

ex₋₁ x6= 0

1 x= 0

•f es continua enx= 0, pues

f(0) = lim

x→0f(x) = limx→0

x

ex₋₁ = 1 (e x

∼1 +x)

•f es derivable enx= 0, pues

f0(0) = lim

h→0

f(0 +h)−f(0)

h =

= lim

h→0

h eh₋₁ −1

h = limh→0

h−eh_{+ 1} h(eh₋₁₎

(1)

=−1

2

El l´ımite en (1) se ha calculado por la regla de L’Hopital.

•Hallamos la funci´on derivadaf0 def, parax6= 0

f0(x) =

_x

ex₋₁

0

= e

x₋_xex₋₁

(ex₋₁₎2

•f0 es continua enx= 0, pues

f0(0) = −1

2 lim

x→0f

0₍_x₎ ₌ _lim

x→0

ex₋_xex₋₁

(ex₋₁₎2 (2)

= −1

(69)

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

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Deriv

ad

a

s

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(70)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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ad

a

s

JJ II

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Soluciones a los Tests 70

Soluciones a los Tests

Soluci´on al Test:La continuidad no implica la derivabilidad. Por ejemplo

f(x) =|x|

(71)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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Soluciones a los Tests 71

Soluci´on al Test:la derivabilidad implica la continuidad.

f0(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h existe

multiplicando porh

lim

h→0h·f

0₍_a_{) = lim}

h→0h·hlim→0

f(a+h)−f(a)

h

lim

h→0h·f

0₍_a_{) = lim}

h→0(f(a+h)−f(a))

0 = lim

h→0(f(a+h)−f(a))

lim

h→0f(a+h) =f(a) =⇒f(x) continua enx=a

(72)

s = B + m v r = A + l u

B

d

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Deriv

ad

a

s

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´_{Indice alfab´}_etico

derivabilidad y continuidad,8

derivada,6,9

de una constante,15

de una potencia,15

en un intervalo,13

en un punto,6,9

funci´on,14

laterales,9

derivadas

arcos trigonom´etricos,25

exponenciales,21

logar´ıtmicas,22

trigonom´etricas,20

Ecuaci´on de la tangente, 5

ecuaci´on de la tangente,5

El problema de la tangente,4

regla,16

de la cadena,19

de la inversa,24

de la suma,16

del cociente,18

del producto,17