APUNTES DE FÍSICA III Profesor: José Fernando Pinto Parra
Dualidad Onda-Partícula
Uno de los debates más profundos en la historia de la ciencia fue el que se realizó sobre la naturaleza de la luz, que tradicionalmente se consideraba como una onda ya que, que entre otras cosas, se refleja y se refracta, pero que también se puede comportar como un conjunto de partículas (fotones). Einstein lo tuvo en cuenta para explicar el efecto fotoeléctrico.
Es así, como fenómenos como el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton ofrecen una rigurosa evidencia de que cuando la luz y la materia interactúan, la luz se comporta como si estuviera compuesta de partículas con energía hf y momento h/m·c, es decir, que la luz tiene un comportamiento dual, es una onda y es una partícula. ¿Pero cuál modelo es el correcto?, respondamos a esta pregunta recordando, que en el mundo macroscópico resulta muy evidente la diferencia entre una partícula y una onda; pero que dentro de los dominios de la mecánica cuántica, las cosas son diferentes.
Antes de continuar, realicemos el siguiente análisis para precisar la magnitud de la que se habla; ¿Cuántos átomos contiene una hormiga? Una hormiga es mil veces más pequeña que un niño (10-3m) Un microbio es mil veces más pequeño que una hormiga (10-6m) Un átomo es diez mil veces más pequeño que un microbio (10-10m) Un núcleo es diez mil veces más pequeño que un átomo (10-14m) ¡Si el volumen de una hormiga es 1mm3, entonces caben en la hormiga unos 1021 átomos!
Postulados de De Broglie
Según la hipótesis de De Broglie, cada partícula en movimiento lleva asociada una onda, de manera que la dualidad onda-partícula puede enunciarse de la siguiente forma: una partícula de masa m que se mueva a una velocidad v puede, en condiciones experimentales adecuadas, presentarse y comportarse como una onda de longitud de onda, λ.
Esta idea, que en un principio era una simple propuesta teórica, fue confirmada experimentalmente en 1927, cuando se consiguió que haces de electrones experimentasen un fenómeno muy característico de las ondas: la distorsión de la onda al atravesar una rendija muy estrecha, este fenómeno es conocido como difracción.
Basado en la analogía de los fotones, de Broglie desarrolla un álgebra sencilla para expresar sus ideas. Según Planck, la energía correspondiente a un fotón viene dada por la ecuación:
E = h f = h·
Teniendo en cuenta la ecuación de Einstein:
Al fotón, considerado como partícula, le correspondería un momento lineal que va a estar relacionado con su longitud de onda y se puede deducir de las expresiones anteriores:
h c/m·c2
⇒
λ= h / m·cDe Broglie, asignó a las partículas una onda asociada cuya longitud de onda viene dada por la siguiente expresión:
λ= h / m·v
Ejemplo: Considere las longitudes de onda de De Broglie de un electrón y de un protón. Razonar ¿cuál es menor? Teniendo:
a) El mismo módulo de la velocidad. b) La misma energía cinética.
Supongamos velocidades no relativistas.
a) e e e v m h p p p v m h
Si las velocidades son iguales ve = vp , la relación entre las longitudes de onda de Broglie será: p e e p p e e p p e m m Como m m
1 e p m mb) La misma energía cinética Ec e= Ec p= Ec
Paquete de onda asociada a la materia
Consideremos dos ondas de igual amplitud pero que difieren en su velocidad angular y en la constante de propagación, cuyas ecuaciones son las siguientes:
, ( )1 x t ASen Kxt
y 2
x,t ASen
KdK
x
d
t
La resultante de la suma de las dos ecuaciones,
x
,
t
1
x
,
t
2
x
,
t
, ya la conocemos de los resultados obtenidos aplicando el principio de superposición, quedando:
x t ACos Kx t Cos dK x d t 2 2
2
,
Gráficamente el resultado es el siguiente:
Velocidad de fase.
Como ya se señaló es la velocidad con que se propaga cada una de las ondas y cuya ecuación es:
f vf . . Desde el punto de vista cuántico la ecuación es la siguiente:
mv mc mv
E ph hE vf
2
v c vf
2
Difracción de electrones:
La hipótesis de De Broglie se comprobó para los electrones, mediante la observación de la difracción de electrones en dos experimentos independientes, realizados por Thomson; Davisson y Germen, quienes hicieron pasar un haz de electrones a través de una rejilla cristalina, en el llamado experimento de la doble rendija.
La difracción ocurre cuando se hace pasar una onda por una abertura de un tamaño no mayor que su longitud de onda, con lo que al otro lado de la abertura se produce un patrón de interferencia, en el caso de la luz, una serie de bandas o anillos de luz y sombra alternas. En el caso del agua, cuando una ola llega a la playa y hay una pequeña roca semisumergida en la orilla, la ola golpea la roca y forma detrás de ella una serie de anillos concéntricos con la roca.
Pero, si lo que se hace pasar son “pequeñas bolitas” a través del minúsculo agujero, al otro lado deberían verse los impactos de las bolitas justo detrás del agujero, pero lo que se encuentra es algo casi exactamente igual a la difracción de los rayos X. La conclusión era absolutamente inevitable: los electrones eran ondas. En pocos años se observó lo mismo con otras partículas subatómicas e incluso con átomos enteros… todos interferían y se difractaban.
La Difracción de electrones es frecuentemente utilizada en física y química de sólidos para estudiar la estructura cristalina de los sólidos y consiste en la utilización de un microscopio electrónico por transmisión en el que los electrones son acelerados mediante electroestática potencial para así obtener la energía deseada e incrementar su longitud de onda antes de que este interactúe con la muestra en estudio.
Partiendo de la figura anterior, imaginemos a un solo electrón que produce ondas secundarias en fase cuando llegan a una de las rendijas, la separación angular αentre el máximo de probabilidad y el mínimo vecino, se obtiene por la siguiente ecuación:
2
dsen
Aplicando la ecuación de De Broglie, se obtiene que:
dmv h
2
Debido a que el fenómeno muestra interferencia, el electrón debe estar presente simultáneamente en ambas rendijas, por tanto, para detectarlo en cualquier punto particular de la pantalla debemos considerar que el mismo debe estar en un estado de superposición dado por la ecuación cuántica de la onda:
2
1
De manera que la probabilidad de detectarlo en la pantalla es 12 2, dada por la
ecuación:
1 2 2 12 2 2 2 1 2 cos
Principio de incertidumbre de Heisenberg
En la búsqueda de una estructura que fuera compatible con la mecánica cuántica Heisenberg descubrió el llamado “principio de incertidumbre, según el cual ciertos pares de variables físicas, como la posición y el momento p de una partícula, no pueden calcularse simultáneamente con la precisión que se quiere. Es decir, si repetimos el cálculo de la posición y el momento de una partícula cuántica determinada, encontraremos que dichos cálculos fluctúan en torno a valores medíos.
Según el principio de incertidumbre, el producto de esas incertidumbres en los cálculos no puede reducirse a cero. Si la partícula obedeciese las leyes de la mecánica newtoniana, la incertidumbre podría reducirse a cero, entonces la posición y el momento del electrón se determinarían con toda precisión, pero en la mecánica cuántica sólo se permite conocer una distribución de la probabilidad de esos cálculos, es decir, es intrínsecamente estadística. Es decir que responde a la transformada de Fourier:
Del análisis de la figura anterior se desprende:
En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el espacio x, tiene contribuciones prácticamente iguales en todas las ondas con número de ondas k.
En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posición del paquete de ondas, también es posible definir el número de ondas o el momento de la partícula.
En el último caso vemos que para definir bien el momento de la partícula, entonces su posición queda completamente indefinida.
Es posible determinar el ancho, o la incertidumbre, del paquete de ondas tanto en el espacio normal como en el espacio de momentos .
Es así como Heisenberg postuló, que en la mecánica cuántica es imposible conocer exactamente, en un instante dado, los valores de dos variables canónicas conjugadas (posición-impulso, energía-tiempo,…, etc.) de forma que una medición precisa de una de ellas implica una total indeterminación en el valor de la otra.
Matemáticamente, se expresa para la posición y el impulso en la siguiente forma:
2
x
p
donde x, corresponde a la incertidumbre en la medida de la posición; y p, a la medida del impulso.
Para la energía, E, y el tiempo, t, se tiene:
2
E t
en ambas relaciones el límite de precisión posible viene dado por la constante de Planck, h, donde:
2h
Postulados de Bohr
El modelo de Rutherford plantea que las órbitas del átomo eran similares a las del sistema planetario, pero este modelo no permitía explicar los espectros emitidos por los átomos incandescentes por medio de las leyes clásicas de la mecánica y el electromagnetismo. Bohr valiéndose de los trabajos de Planck y Einstein encontró una respuesta a esta duda, modificando el modelo de Rutherford y concibió una nueva imagen del átomo, bajo el concepto de que estos responden a los postulados de la mecánica cuántica, introduciendo el concepto de cuanto de Planck.
En éste modelo los electrones giran en órbitas circulares alrededor del núcleo; ocupando la órbita de menor energía posible, o sea la órbita más cercana posible al núcleo. Bohr para desarrollar su modelo atómico utilizó el átomo de hidrógeno. Describió el átomo de hidrógeno con un protón en el núcleo, y girando a su alrededor un electrón.
En el modelo, cada órbita electrónica está caracterizada por un número cuántico, siendo la más próxima al núcleo aquélla con un cuanto, la órbita K, seguida por la de dos quantum, llamada L, y así sucesivamente. Si el electrón salta de una de las órbitas exteriores a la órbita L, el átomo irradia las líneas espectrales de la serie Balmer, que cruzan la parte visible del espectro del hidrógeno.
Representación de las órbitas n distancia
1 0,53 Å
2 2,12 Å
3 4,76 Å
4 8,46 Å
5 13,22 Å
6 19,05 Å
7 25,93 Å
Los postulados de Bohr se resumen en los siguientes:
1.Los electrones orbitan el átomo en niveles discretos y cuantizados de energía, es decir, no todas las órbitas están permitidas, tan sólo un número finito de éstas.
2.Los electrones pueden saltar de un nivel electrónico a otro sin pasar por estados intermedios.
3.El salto de un electrón de un nivel cuántico a otro implica la emisión o absorción de un único fotón cuya energía corresponde a la diferencia de energía entre ambas órbitas. 4.Las órbitas permitidas tienen valores discretos o cuantizados del momento angular
orbital p de acuerdo con la siguiente ecuación:
2 . . n h n
p
En el átomo más simple, el hidrógeno, solamente orbita un electrón, siendo la orbita de menor radio o radio de Bohr:
2 2 0 4 e m a e o
Generalizando la ecuación del radio de Bohr, obtenemos:
2 2 2 0 4 e m n r e n
o 0
. 2
a
n
r
n
La cuantización del radio de órbita, permitió la cuantización de la energía
2 0 0
2
8 a n
e En
Y arrancando del tercer postulado de Bohr podemos obtener la frecuencia del fotón emitido:
2 2
0 0
2
1 1
8 f i
f i n n h a e h E E f
Y como la cantidad medida es la longitud de onda, se obtiene:
2 2
Donde
1 7
0 0
2
10 0973732 ,
1 8
R m
hc a e
H
Que se conoce como la constante de Rayberg, de esta forma queda la ecuación:
12 12
1
i f H
n n R
