UM MODELO PARA REPRESENTAÇÃO DAS REPOSTAS DOS TECIDOS DURANTE O PROCEDIMENTO DE APLICAÇÃO DA ANESTESIA EPIDURAL PARA UTILIZAÇÃO EM UM AMBIENTE DE REALIDADE VIRTUAL ASSOCIADO AO USO DE DISPOSITIVOS HAPTICOS Brazil André

UM MODELO PARA REPRESENTAÇÃO DAS REPOSTAS DOS TECIDOS DURANTE O PROCEDIMENTO DE APLICAÇÃO DA ANESTESIA EPIDURAL PARA UTILIZAÇÃO EM UM AMBIENTE DE REALIDADE VIRTUAL ASSOCIADO AO USO DE DISPOSITIVOS HAPTICOS

Conci1_{, A. ; Brazil}1_{, A.L. ; Bittencourt}2_{, L. K. ; Pérez}3_{, M. G. ; MacHenry}4_{, T. ;} Hernández5_{, N. J. R. ; and Rodríguez-Ramos}5_,R.

1_{Departamento de Ciência da Computação–Instituto de Computação,} 2_{Departamento de Radiologia Hospital Universitário Antonio Pedro,} Universidade Federal Fluminense (UFF), Niterói, RJ, 24210-346. Brazil

(abrazil, aconci)@ic.uff.br, lkayat@gmail.com

3_{Facultad de Ingeniería de Sistemas, Escuela Politécnica Nacional, Quito, Ecuador} maría.perez@epn.edu.ec

4_{Department of Mathematics and Statistics, York University, Toronto, ON, M3J 1P3. Canada} machenry@mathstat.yorku.ca

5_{Departamento de Matemáticas. Facultad de Matemáticas y Computación. Universidad de La Habana.} Habana, C.P 10400. Cuba.

(reinaldo@, n.rodriguez@lab,) matcom.uh.cu.

RESUMO

Apresentamos um modelo para a aplicação de anestesia epidural lombar, procedimento cego cuja localização correta se relaciona com a perda de resistência dos tecidos no ligamento interespinal, a fim de evitar puncionar a membrana dura-máter. O uso deste modelo mecânico com um dispositivo háptico permite ter-se durante o treinamento a sensação das reações dos tecidos envolvidos (camadas de ligamento, espaço epidural e dura-máter supra-espinhal). Os modelos constitutivos de cada tecido envolvido no procedimento são aproximados em um modelo elástico não linear homogêneo simplificado originário do estudo comparativo de diferentes abordagens. Como os hápticos são capazes de reproduzir as resistências aos movimentos, eles permitem que o operador efetivamente "sinta" a reação a seus movimentos como se suas ações fossem executadas no ambiente físico real. O dispositivo de toque usado na modelagem apresenta seis (6) graus de liberdade: três translações e três rotações. O objetivo principal deste trabalho é o de apresentar o modelo usado, a programação desenvolvida e as experiências realizadas para sua validação. Esse desenvolvimento deve ser integrado em um ambiente virtual de simulação da anestesia epidural para treinamento deste procedimento médico como já estamos fazendo e, do qual, nós apresentamos neste trabalho resultados preliminares.

INTRODUÇÃO

Vários procedimentos na medicina contemporânea envolvem a aplicação de anestesia. A fim de reduzir ou eliminar a sensação de dor, uma dose precisa e aplicada de maneira correta da anestesia deve ser administrada ao paciente, permitindo que o procedimento médico ocorra sem sofrimento. A localização da agulha e a forma de injeção do fluido são fatores muito importantes para o sucesso efetivo da anestesia. A anestesia epidural é a mais aplicada em obstetrícia e, mesmo tendo sido praticada durante décadas, a taxa de falhas de tal processo permanece muito alta, com conseqüências para o paciente que podem chegar a paralisia e mesmo à morte. A fim de reduzir a taxa de insucesso esse trabalho considera o uso de simuladores virtuais ou hápticos. Quando associado a um modelo de forças, deslocamentos e graus de liberdade adequados o háptico permite ao médico experimentar as sensações de resistências dos tecidos iguais as reais durante a execução deste procedimento pré-operatório ou anterior a um parto, mas em um ambiente virtual. Isso pode melhorar a curva de aprendizagem, reduzir o tempo necessário para adquirir a habilidade necessária e fornecer uma experiência mais realista. Neste trabalho apresentaremos um modelo que considera a introdução da agulha antes do inicio da aplicação do anestésico no espaço epidural lombar (localizado de 2 a 9 cm sob a pele), o que é um procedimento cego (uma vez que o médico não é capaz de ver o interior do corpo do paciente). A localização do espaço epidural lombar correto é guiada pela técnica chamada LOR do termo “perda de resistência” (em língua inglesa: Loss of

Resistance) e, se baseia na observação de que no lugar correto não há, como resposta à introdução da agulha,

uma resistência dos tecidos, inibindo a sua movimentação. Após a inserção da agulha, no ligamento interespinal (região entre as vértebras), o médico deve inserir um líquido salino. A fim de evitar puncionar a membrana dura-máter, a agulha epidural tem ponta curva (denominado agulha Tuohy). O uso do háptico melhora a sensação das reações dos tecidos sendo primeiro, na insersão da agulha, modelado a reação dos tecidos ao seu deslocamento e depois a medida que os diversos tecidos são ultrapassados é modelado a região onde ocorre a perda de resistência e há a possibilidade de administrar a anestesia. Os diversos tecidos envolvidos (camadas de ligamento, espaço epidural e dura-máter supra-espinhal) estão incluídos unificados para descrever o modelo mecânico proposto de representação da inserção da agulha; ou seja: os modelos constitutivos de cada tecido envolvido no procedimento, ao invés de considerados separadamente, são agrupados neste primeiro modelo como representados em um modelo elástico não linear homogêneo em que a resistência é função da profundidade e posição da agulha. Um sistema de coordenadas cilíndrico é usado para modelar o corpo do paciente. Os graus de liberdade restritos pelos ossos da coluna espinhal também são incluídos no modelo desenvolvido. Apresentamos uma modelagem completa do problema a partir do zero, etapa inicial do desenvolvimento das equações a partir do deslocamento possível da agulha é o objetivo deste trabalho. Assim, apresentamos um modelo paramétrico e teórico consciente que virá a permitir a evolução para técnicas mais próximas do modelo físico logo que for possível incluir outros parâmetros geométricos do corpo do paciente a ser representado, especialmente quando se tiver conhecimento dos demais parâmetros que regem os modelos constitutivos dos diversos materiais biológicos envolvidos. Como os hápticos são capazes de reproduzir as resistências aos movimentos, eles permitem que o operador efetivamente "sinta" a reação a seus movimentos como se suas ações fossem executadas no ambiente físico real. O dispositivo de toque usado na modelagem apresenta seis (6) graus de liberdade: 3 translações e 3 rotações. O objetivo principal deste trabalho é o de apresentar o modelo usado, a implementação desenvolvida e as experiência realizadas para sua validação, bem como o ambiente virtual de simulação da anestesia peridural que está sendo implementado neste projeto multidisciplinar que visa, com seus resultados, auxiliar no treinamento de médicos anestesistas através da inclusão de características de realidade virtual e treinamento em simulador neste procedimento médico.

MODELAGEM FÍSICA E GEOMÉTRICA DO PROBLEMA.

seja, na periferia das "envoltórias" que guardam a medula espinal, local por onde passa a informação da dor que é levada ao cérebro, no espaço limitado pela membrana dura-máter, que constitui a capa interior das meninges. Na chamada anestesia raquidiana, o anestésico é injetado após a penetração da dura-máter, no líquor. Assim a anestesia raquidiana funciona mais rápido que a anestesia peridural, mas traz um problema: a paciente não consegue mexer nenhuma parte do corpo abaixo do umbigo e não participa do trabalho de parto nem consegue ajudar na aceleração das contrações que antecedem o nascimento do bebê. O anestésico pode ser aplicado em dose única, pode ser repetido ou ser usado de forma contínua durante todo o procedimento cirúrgico, o que exige a colocação de um cateter que permanecerá no local durante todo o tempo da anestesia (Fig.1 direita). Dentro de alguns minutos, após a injeção do anestésico, a pessoa deixará de sentir determinadas partes do corpo (geralmente da cintura para baixo), em virtude da anestesia das raízes nervosas correspondentes [1].

Fig.1: Diagramas idealizados da localização da agulha no processo (dentro e fora do corpo do paciente).

Fig.2: As diversas estruturas e tecidos envolvidos no processo. Localização da medula, vértebras, e dos diversos tecidos da medula espinhal até a dura-máter no corpo humano. A seta e a região marcada em amarelo na última imagem indicam o espaço epidural, que contém as raízes nervosas, onde o anestésico deve ser injetado.

Para atingir a região epidural, a agulha deve atravessar até cinco camadas de tecido (Fig.2), cada uma com características próprias: pele, gordura subcutanea, o ligamento supraespinal, ligamento interespinal e ligamento

flavum (ou amarelo). Nesta aproximação todos estes tecidos serão considerados como um único homogêneo

incompressível e elástico não linear. Em nosso modelo, consideramos ainda que o espaço epidural, os tecidos circundantes e o corpo do paciente podem ser aproximados inicialmente por um modelo cilíndrico (Fig.3).

Simplificações e hipóteses na geometria do modelo

Na Fig.3, apresenta-se em cinza escuro o espaço epidural, onde o líquido anestésico deve ser inserido, e todos os demais tecidos do corpo da paciente são modelados em cinza claro. Consideram-se conhecidos os raios internos

0

(a) do espaço epidural e externos do corpo do paciente ( )b₀ iniciais, na configuração em que a força aplicada na agulha na direção radial, f_r é0 ou não há deformação (undeformed configuration) na pele ou nos tecidos do

paciente ou modelo, i.e. na configuração B_U [2]. Mostra-se nesta figura também a configuração deformada Bd

com os raios internos ( )a do espaço epidural e externos do corpo do paciente ( ).b Nesta configuração ambos

podem ser deformados pela compressão da agulha na superfície da pele (i.e.bb₀ ) ou pela inflamação causada

tecidos na agulha, P, a reação no háptico a essa força, N, e as coordenadas do vetor de posição de um ponto na posição inicial



  , ,



e deformada



r , , z .



Fig.3: Espaço epidural rodeado por tecidos aproximados por um sistema de coordenadas cilíndrico e as configurações iniciais, indeformada B_U e deformada B_d.

Modelando a Cinemática pela Mecânica do Continuo

Considerando uma deformação axissimétrica, a posição de um ponto nas configurações inicias B_U e deformada

d

B são descritos como [3]:

r z

e_ e ,_ re ze .

 

   

ρ r (1)

De modo que a deformação entre elas pode ser relacionada com:

( )

rr  ,   , z , (2)

ondeλé a razão da deformação axial do cilindro na posição deformada em relação a indeformada. Considerando o sistema de coordenadas cilíndrico da Fig.3, o tensor gradiente pode ser descrito por [3]:

1

:

U , , ,

B G  e , G   e , G   e , G  e , G  e , G  e , (3)

:

U d , r , , z

B B g_ r_ r ' e , g_ r_ re ,_ g_ r_  e . (4)

De modo que o tensor gradiente de deformação pode ser escrito como [3]:

r z

r

g G g G g G r ' e e e e e e . 

            

F (5)

Para calcular as componentes do tensor de Lagrange em relação à configuração inicial, primeiro vejamos a componente a direta do tensor de deformação de Cauchy-Green, pela relação [3]:

i j

IJ I J ij IJ

C F F g g . (6)

As componentes deste tensor podem ser calculadas pelo tensor métrico, de modo que:

    



2

2

2

IJ IJ I J

r ' 0 0

C g g g 0 r 0 .

0 0 

   (7)

De onde se pode ter [3]:

 





2

2 2

2 1

1 1

2 2

1

IJ IJ IJ

r ' 0 0

E C G 0 r 0 ,

0 0

 



   



(8)

e como Eˆ_IJ E_IJ / G G



_{II JJ}



1/2, temos:

2

2 2

2 1

1 2

1 IJ

r ' 0 0

ˆ

E 0 r / 0 .

0 0

 

     



(9)

Considerando as relações constitutivas hiperelásticas e as condições de contorno

especiais do modelo elástico de Cauchy. Se a hipótese de material incompreensível e hiperelástico puderem ser assumidas, o tensor de Cauchy pode ser escrito como [3]:

T W p .    

σ F F I

E (10)

Reescrevendo essa equação em termos das tensões relativas às bases ortogonais do corpo deformado, temos:

ij i j ˆ e e . 

 

σ (11)

Onde os vetores unitários e_i estão definidos pela expressão e_i g / g_i

 

_ii 1/2, e a notação “”indica que são componentes física, que no caso do tensor de Cauchy podem ser descritas por:

rr rr zz zz

ˆ p, ˆ  p, ˆ p.

         (12)

De modo que:

2

2 2 2

rr W r W W zz W

r ' , , .

ˆ ˆ ˆ ˆ

E E E E

                  _{ }  

 _{ }    (13)

Pela simetria, suposta das configurações, a tensão deve ser independente de  e z. Considerado a ausência de massa e apenas as forças originárias da direção radial (pela punção da agulha), f_r as equações de equilíbrio podem ser descritas como [3]:

0, rr rr r ˆ ˆ ˆ f r r      _  _{ }  (14) 2 ( ) ( ) 0, 0. r rz ˆ ˆ r r r r       

  (15)

Como na configuração deformada, em ra haverá uma pressão interna P, e assumindo em rbuma reação

N em resposta a força aplicada f ,_r tem-se: 2 ₂ b

zz

a ˆ

a P N r dr .

    

_

Como as componentes de força atuam

apenas na direção r ,as Eqs. (15) podem ser integradas obtendo-se após a aplicação das condições de contorno,

de modo que:r = rz 0 _{em todas as posições , e considerando o modelo incompressível}

1

J detF . De

modo que r dr 1

dR 

  que ao ser integrada resulta:





2 2 2 2 2

0

r  a a



   onde a constante de integração foi

encontrada a partir da condição r a

 

₀ a. Se forem conhecidos a razão de deformação  e a , a deformação

do raio externo pode ser calculada por:

 





1/2

2 2 2

2

0 0 0

b r b b a a .



 

 _   _

  Conhecendo então r

 

 , pode-se calcular as componentes de pressão. ComW E

 

ˆ_IJ especificado, as componentes do tensor de Cauchy fornecem

as tensões em termos do multiplicador de Lagrange p [3], que para ser determinado substitui-se as componentes na equação radial de equilíbrio, que é integrada obtendo-se:

2

2 2 2

( ) ( )

b

r r

W r W W W dr

p r r' r' r f .

ˆ ˆ ˆ ˆ _r

E_  E_  E_ E_

_{ } 

   

  _{ }    





_     _ (16)

A pressão interna para manter a deformação é encontrada substituindo o valor resultante na condição final de contorno da superfície curva:ˆrr( )a  P obtendo-se:

2

2 2

b

r a

r W W W dr

P r' r f .

ˆ ˆ ˆ _r

E_  E_ E_

 _{    }   _{  }           



(17)

Para se calcular N , primeiro se re-escreve o equilíbrio na direção radial como:





2

2 .

b b

zz rr rr

a a

ˆ ˆ ˆ

a P N r dr r dr

    _     _

Que integrando a ultima integral por partes resulta:

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

b b rr b rr

rr rr b rr rr r

a

a a a

ˆ f

r d r b a

ˆ r dr ˆ r dr dr ˆ ˆ r dr .

dr r



 



        _{ }   _

 







(19)

Finalmente considerando as condições de contornoˆrr( )a  P, ˆrr( )b 0 e substituindo o resultado na Eq. (19), tem-se expressão sem o termo p relacionado ao Multiplicador de Lagrange









P + N= P P

b b

2 2 zz rr 2 zz rr

a a

ˆ ˆ ˆ

a a 2  r dr a 2  r dr .

  

_

    

_

   (20)

Considerando o tecido homogêneo, incompressível e hiperelástico, a densidade de energia pode ser considerada como:

(

Q

1)

W



C e



onde Qa E₁ˆ_2 a E₂ˆ_2 a E₃ˆ_2 2 a E_ ₄ˆ_Eˆ_ a E E₅ˆ_ˆ_ a E E₆ˆ_ ˆ__ (21)

RESULTADOS

Para verificar as possibilidades das equações desenvolvidas na modelagem um comportamento real em um sistema háptico, que permitisse ao usuário experimentar as sensações das repostas aos seus movimentos, como reações do dispositivo simulando a agulha ao ser inserida durante o procedimento de anestesia epidural, primeiro modelamos as respostas a uma perfuração com agulha em tecidos usando os parâmetros apresentadas em [4]. Nesse trabalho experimentações feitas ao se perfurar com agulhas fígados suínos e um modelo desenvolvido a partir destas são relatados [4]. Os autores também apresentam a resposta à penetração da agulha em termos de reação em Newtons versus deslocamentos em milímetros da ponta da agulha. Esse estudo [4] sobre a penetração da agulha em tecido biológico é o mais completo que descobrimos na literatura. O modelo final apresentado em [4], que pode ser dividido em duas partes, é apresentado (Fig.4) junto como alguns dos resultados experimentais reportados no trabalho. Na Figura 4, à esquerda, apresentamos exatamente o gráfico proposto pelos autores, por isso deixamos o mesmo em inglês. O modelo apresentado é o indicado pela seta “model”e representado em linha cheia. Em linhas tracejadas são apresentados os dados experimentais reais de dois dos experimentos realizados, indicados pelas linhas tracejadas e com as setas:“Actual data #1”, e“Actual data #3”. Observe que há uma etapa elástica não linear inicial onde a agulha se desloca no tecido sem perfurá-lo, apenas deslocando o mesmo ou aprofundando a pele. Dependendo de outros parâmetros do corpo do paciente modelado como a taxa de gordura corpórea [5] essa deformação pode chegar a ser visível no procedimento real e precisa ser modelada, por isso decidimos incluí-la no sistema programado no simulador a ser desenvolvido, como representado na primeira tela da Fig.5, que mostra nossos resultados até aqui. Nesta etapa a força é modelada como um polinômio do segundo grau na forma f z( )c z₁ c z₂ 2 da onde z é a penetração da agulha, ou o deslocamento na direção radial, no modelo apresentado na seção anterior e as constantes c , c_{1 2} são medidas (tabela 1) para diversos experimentos e depois sugeridas na forma de um modelo que interpola a média das curvas experimentais obtidas [4]. Depois de chegar a um deslocamento máximo z ,₂ a força de reação do tecido decai

fortemente (de F_M a F_m) devido ao corte causado pela penetração da agulha, z , que é seguida de uma forte perda de intensidade ao iniciar perfuração, passando a reação a ser de representado por 3 componentes, relacionados respectivamente ao atrito, à força de corte e à rigidez interna do tecido [4]:

( ) ( ) ( ) ( )

r a c

f z  f z  f z  f z . A força de atrito, f za( ), que ocorre pelo deslocamento da agulha no tecido e ao

longo de seu comprimento é considerada pelos autores uma combinação do atrito de Coulomb com a adesão e o amortecimento do tecido [4]. Essa força é modelada pelos autores [4] como com um valor constante inicial, até uma velocidade de penetração da agulha de 0,005 mm/s e depois como uma função desta velocidade e de diversos parametros de amortecimento. A força de resistência devida ao corte dos tecidos e suas fibras, f zc( ), é

0 0,5 1 1,5 2 2,5

1 3 5 7 9 ₁1 ₁3 ₁5

1

6

,7 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Força Rigidez Força Fricção Força Corte Força Resultante Tabela 1: Medições dos tecidos estudados em [4]e valores utilizados e obtidos na simulação do modelo.

Parâmetro (unidades) Tecido 1 Tecido 2 Valores usados na simulaçao implentada 1

c (N/mm) 0,0480 0,0020 0,0480

2

c (N/mm2_{) 0,0052 0.0023 0,0052}

M

F (N) 2,3040 1,4000 2,241

2

z (mm) 16,6514 15,0000 16,6514

m

F (N) 0,6579 0,9000 1,0472

Fig.4: Modelo de Força x deslocamento para a penetração da agulha apresentado em [4]. Curvas correspondentes a f zr( ) do modelo [4] usada em nosso trabalho f zr( )(Newtons) x deslocamento (em mm).

Após esta validação preliminar a Eq. (20) pode ser programada desde que os parâmetros adequados sejam usados [5]. No programa desenvolvido esses são parâmetros que podem ser variados como dados de entrada no modelo, de modo a tornar o experimento mais realista ou à medida que se tenham valores experimentais adequados. As imagens na Fig.5, são telas do sistema em desenvolvimento, onde as reações do tecido devem voltar ao usuário como residência no háptico e restrições aos movimentos de sua mão ao mover o mesmo. A primeira imagem mostra que dependendo de fatores incluídos pode ser modelado o aprofundar da agulha na pele antes de sua perfuração. A imagem central mostra o artifício de transparência que é acionado para que, no treinamento, seja possível identificar a região entre as vértebras e a agulha possa ser inserida adequadamente. A última imagem mostra os diversos modelos geométricos incluídos no sistema até agora.

Fig.5: Modelo de visualização do deslocamento da agulha no tecido para simular o deslocamento modelado já programados e incluídos no sistema até agora.

CONCLUSÕES

trabalho as equações que permitem modelar o comportamento da agulha se a hipótese de incompressibilidade for adicionada ao mesmo. Embora essa simplificação em termos de homogeneidade das estruturas envolvidas seja muito grande, podemos com ela dar um primeiro passo no sentido de desenvolver um modelo teórico da cinemática envolvida e no futuro incluir no modelo comportamentos mais realistas até poder modelar-se em um ambiente virtual todas as estruturas e movimentos envolvidos. Obviamente o primeiro passo neste sentido seria consegui uma relação tensão x deformação ou força x deslocamento da região do corpo humano onde a agulha será introduzida, semelhante a reportada em [4] para o fígado suíno, pois certamente essa deve ter resistência ao corte diferente da região do nosso estudo [6]. Outra idéia neste sentido seria a possibilidade de replicar este estudo do fígado, medindo as forças e resistências em procedimentos de anestesia epidural em tecidos humano e preferencialmente em tecidos vivos, pois as respostas à punção podem vir a ser diferentes.

REFERENCIAS

1. J. Delfino; N. Vale, Anestesia Peridural: Atualização e Pesquisa, Atheneu, 2000.

2. A. Conci,“Large Displacement Analysis of Thin-Walled Beams with Generic Open Section”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 33 (10), 2109-2127, 1992.

3. L. A. Taber, Nonlinear theory of elasticity: applications in biomechanics, World Scientific Pub., 2004. 4. A. M. Okamura, C. Simone, M. D. O'Leary, “Force modeling for needle insertion into soft tissue”. IEEE

Transactions on Biomedical Engineering, 51(10), 1707-1716, 2004.

5. N. Vaughan, V. N. Dubey, M. Y. Wee, R. Isaacs,“Parametric model of human body shape and ligaments for patient-specific epidural simulation”,Artificial intelligence in medicine, 62(2), 129-140, 2014.

6. N. Abolhassani, R. Patel, M. Moallem, “Needle insertion into soft tissue: A survey”,Medical Engineering &

Physics, 29, 413–431, 2007.

UNIDADES E NOMENCLATURA

0

a e b₀ raios internos (a₀) e externos ( )b₀ iniciais, na configuração indeformada 0 ou U ,

a e b raios internos ( )a e externos ( )b na configuração deformada d .

1 2

c , c constantes da parte elástica não linear inicial, pré corte do tecido, do modelo de Okanura [4].

d relativo a configuração deformada.

i

e componentes de deformações na direção i.

( )

f z parte inicial da expressão de força, antes da agulha perfurar a pele, no modelo de Okamura [4].

m M

F , F valores mínimos, m , e máximos, M, da força no modelo de Okamura [4], em Newtons ( ).N

r

f força aplicada na agulha para penetrar nos tecidos na direção radial, r.

z medida do deslocamento da agulha, em mm, a partir da superfície da pele no modelo de Okamura [4].

2

z deslocamento máximo na parte inicial, antes da agulha perfurar a pele, no modelo de Okamura [4]. B configurações e sistemas de coordenadas respectivos.

i i

g , G vetores bases nas respectivas configurações i.

F tensor gradiente de deformação.

C tensor de deformação de Cauchy-Green.

LOR do termo “perda de resistência”(Loss of Resistance). N reação no háptico ao deslocamento da agulha. P pressão interna dos tecidos na agulha.

U subíndice relativo à configuração indeformada 0 ou U , antes da penetração da agulha. W densidade de energia de deformação.

0 sub índice relativo à configuração indeformada 0 ou U , i.e. antes de iniciar a penetração da agulha.



  , ,



coordenada cilíndricas na configuração indeformada.



r, , z



coordenada cilíndricas na configuração deformada.

 razão da deformação axial na posição deformada em relação a indeformada. ij

,